Q-diagramy. Jiří Michálek ÚTIA AVČR

Transkript

1 Q-diagramy Jiří Michálek ÚTIA AVČR

2 Proč Q-diagramy? Nevýhody Shewhartových diagramů velikost regulačních mezí závisí na rozsahu logické podskupiny nehodí se pro krátké výrobní série normálně rozdělená vstupní data obvykle se pracuje s malým rozsahem podskupiny regulační meze se musí s novými daty přepočítat vstupní data mají být stochasticky nezávislá

3 Proč Q-diagramy? Výhody Q-diagramů konstantní regulační meze bez ohledu na rozsah podskupimy možnost nenormálně rozdělených vstupních dat

4 Základní myšlenka konstrukce Shewhartových diagramů Statistiky W i, i=,2,...,n pro sledování stability procesu, základ pro Shewhartovy meze E(W) ± 3 SD(W), resp. E(.) a SD(.) jsou nahrazeny vhodnými odhady

5 Základní myšlenka konstrukce Q-diagramů W i Q i pomocí vhodné transformace, kde {Q i } jsou téměř nezávislé a rozdělené N(0,) Nechť W i má distribuční funkci G i, spočítejme u i = G i (W i ), Q i = Φ - (u i ), kde Φ(.) je N(0,).

6 Základní myšlenka konstrukce Q-diagramů Pokud distribuce G i (.) závisí na neznámých parametrech, pak je nutno tyto vhodně odhadnout z dat α L, α U...zvolená rizika falešného poplachu, pak regulační meze pro Q-diagram jsou stanoveny jako: UCL(Q i ) = q(α U ) CL(Q i ) = 0 LCL(Q i ) = q(α L )

7 Nejjednodušší případ Normálně (přibližně) rozdělená data s různými rozsahy X, X 2,...X n Xbar, s X 2, X 22,...X 2n2 Xbar 2, s 2 X i, X i2,...x ini Xbar i, s i index i představuje průběžný čas

8 Nejjednodušší případ (pokr.) Spočítáme průběžný celkový průměr Xbar i = n j Xbar j / n j a průběžnou sdruženou směrodatnou odchylku pomocí vzorce s pi = ( (n j -)s 2 j / (n j -)) /2

9 Nejjednodušší případ (pokr.) Odvození Q-statistik závisí na znalosti parametrů µ,, σ normálního rozdělení např. nestranný odhad pro σčasto používaný je s pi / C 4 ( (n j -)) technické regulační meze vs. přirozené regulační meze

10 Nejjednodušší případ (pokr.) Technické meze pro Xbar jsou založeny na: parametry µ, σ jsou dány Q i (Xbar i ) = n i (Xbar i µ 0 )/ σ 0 Přirozené meze pro Xbar jsou založeny na: Q i (Xbar i )=Φ - (t Ni ( M i (Xbar i Xbar i- )/s pi ), N i = n +n n i i, M i =(n i (n +n n i- )/(N i + i)

11 Nejjednodušší případ (pokr.) Technické meze pro s jsou založeny na: parametr σ je dán Q i (s 2 i) = Φ - (χ 2 ni-( (n i -)s 2 i)/σ 2 0) Přirozené meze pro s jsou založeny na: Q i (s 2 i) = Φ - (F ni-,ni- (w i )), kde w i = s 2 i/ s 2 p,i-

12 Q-diagramy pro individuální hodnoty.konstrukce technických regulačních mezích pro parametr polohy je založena na statistice, parametry dány Q i (X i ) = (X i µ 0 )/σ 0 2.Konstrukce přirozených regulačních mezí pro parametr polohy je založena na statistice, parametry odhadovány Q i (X i ) = Φ - (t i- [ (i-)/i(x i Xbar i- )/s i- ], s i je odvozeno od klouzavého rozpětí R i = X i -X i-

13 Q-diagramy pro individuální hodnoty.technické regulační meze pro úroveň variability jsou založeny na statistice Q i (s) = Φ - (χ 2 [R 2 i/2σ 02 ] 2.Přirozené regulační meze pro úroveň variability jsou založeny na statistice Q i (s) = Φ - (F,v [vr i2 /(R 22 +R R i-2 )], kde v = i/2, pouze sudé hodnoty se zobrazují do grafu

14 Parametry µ=2, σ=0,02 jsou známé: Příklad rozsah průměr rozptyl odchylka Q(xbar) chí-kvadrát uniform Q(rozptyl) 5 2,08 0, , ,0246 3,200 0, ,0627 6,990 0, , , ,500 0,3300-0, ,003 0, , ,2598 2,50 0, ,4793 4,995 0, , , ,250 0,4600-0, ,004 0, , ,3464 2,300 0, , ,998 0, , ,2236 3,200 0, , ,990 0, , ,584 7,425 0, ,275 8,993 0, , , ,350 0, , ,003 0, , , ,375 0,96800, ,007 0, , ,9260 5,400 0, , ,000 0, , , ,900 0,0300-2,2262 5,999 0, , ,80 6,700 0,85300, ,024 0, , ,394 5,075 0,3400-0, ,04 0, ,097484, ,925 0, , ,00 0, ,097484, ,875 0, , ,008 0,0088 0, , ,800 0,9978 2,8494 6,982 0, , , ,25 0, , ,02 0,0032 0, , ,800 0, ,7394 9,985 0, , , ,400 0,86896, ,009 0,0006 0, , ,950 0,9380,53902

15 Příklad Q-diagram pro průměr 4 I Chart of Q(xbar) 3 UCL=3 Individual Value _ X= LC L= Observation

16 Příklad - Q-diagram pro rozptyl I Chart of Q(rozptyl) 4 3 UCL=3 Individual Value _ X= LC L= Observation

17 Příklad 2 Data: 30 podskupin po 5 hodnotách v podskupině, parametry neznámé, odhadované z dat x x2 x3 x4 x5 Data nejsou normálně rozdělena 5,00 4,959 4,996 4,979 4,986 4,98 5,09 4,95 5,026 4,972 5,006 4,976 4,999 5,08 5,08 5,0 4,953 4,973 5,000 5,005 5,02 4,990 5,00 5,06 4,988 4,986 5,00 5,006 5,02 4,966 4,985 4,980 4,962 4,99 5,020 4,999 4,966 4,969 4,995 4,974 5,04 5,024 5,044 4,965 5,008 5,02 4,987 5,002 4,992 4,983 4,98 4,968 5,000 5,08 4,998 4,998 4,969 4,984 4,984 4,966 5,006 4,989 4,99 4,97 5,08 5,04 4,999 5,025 4,998 4,959 5,026 4,962 5,004 5,07 5,02 5,058 5,056 5,08 4,92 5,03 5,005 5,02 4,959 5,064 4,974 4,909 4,993 5,024 5,023 5,048 4,994 5,00 4,993 5,08 5,04 4,977 4,90 4,944 4,978 5,008 5,06 5,005 5,025 5,05 5,026 4,976 5,026 4,958 5,043 4,99 4,979 5,68 5,052 4,993 4,999 4,937 4,928 5,059 5,067 4,989 5,003 5,026 5,029 5,078 5,022 5,002 5,00 4,997 5,00 4,99 4,983 4,973 4,940 4,979 5,027 5,059 5,070 5,02 4,97 5,030 5,034 4,966 5,047 5,044 4,98 5,0 4,968 5,028 5,057 5,007

18 Příklad 2 Q-diagram pro průměr I Chart of Q(průměr) 3 UCL=3 2 Individual Value 0 - _ X= LCL= Observ at ion

19 Příklad 2 Q-diagram pro rozptyl I Chart of Q(rozptyl) 3 UCL=3 2 Individual Value 0 - _ X= LCL= Observ ation

20 Příklad 2 Shewhartův diagram původní data Xbar-R Chart of x;...; x5 5,050 UCL=5,0499 Sample Mean 5,025 5,000 4,975 _ X=5,002 4, Sample LC L=4,9544 0,20 UCL=0,75 Sample Range 0,5 0,0 0,05 _ R=0,0828 0,00 LCL= Sample

21 Příklad 2 - Shewhartův diagram po Johnsonově transformaci Xbar-R Chart of y;...; y5 Sample Mean,0 0,5 0,0-0,5 UC L=,324 _ X=0,037 -,0 LC L=-, Sample ,8 UC L=4,79 Sample Range 3,6 2,4,2 _ R=2,232 0,0 LCL= Sample

22 Srovnání diagramů Shewhartův diagram i Q-diagram ukazují na tentýž problém ve variabilitě Shewhartův diagram pro data po transformaci nic takového neukazuje Shewhartovy diagramy jsou snáze pochopitelné pro obsluhu Konstrukce Q-diagramů je složitá, horší interpretace jejich průběhu

23 Q-diagramy pro atributivní znaky Analogie p-diagramu a) parametr p je známý nebo daný u i = B(x i,n i,p), kde n i je rozsah podskupiny, x i je počet zjištěných neshodných jednotek, B(,, ) je binomická distribuční funkce. Pak i =,2,.,n Q i = Φ - (u i ),

24 Příklad 3 Q-diagram pro neshodné Rozsah podskupiny je 63 požadovaná hodnota parametru p = 0, získaná data celkem 50 hodnot Analýza diagramu detekuje změnu v chování procesu u podskupiny 46

25 Příklad 3 Q-diagram pro neshodné 4 I Chart of Q 3 UCL=3 Individual Value _ X= LCL= Observation

26 Příklad 3 p-diagram pro porovnání P Chart of binom 0,25 0,20 UCL=0,234 Proportion 0,5 0,0 _ P=0, 0,05 0,00 LCL= Sample

27 Q-diagramy pro atributivní znaky Analogie p-diagramu b) parametr p odhadovaný z dat položme N i = n j, t i = x j, u i = H(x i,t i,n i,n i- ) a Q i = Φ - (u i ). H(x,n,N,N 2 ) je distribuční funkce hypergeometrického rozdělení, N je počet neshodných, N 2 je počet dobrých i = 2,3,.

28 Q-diagramy pro atributivní znaky Analogie u-diagramu pro neshody a) parametr λ Poissonova rozdělení je daný či známý c i je počet neshod v podskupině o rozsahu n i, u i = P(c i,λn i ) Q - i = Φ (u i ), kde P(, ) je distribuce Poissonova rozdělení

29 Příklad 4 Q-diagram pro neshody Jsou kontrolovány vždy 4 jednotky, parametr λ vůči jednotce má hodnotu,7 získaná data celkem 40 hodnot analýza Q-diagramu dokazuje stabilitu procesu

30 Příklad 4 Q-diagram pro neshody I Chart of Q(Poisson) 3 UCL=3 2 Individual Value 0 - _ X= LCL= Observ ation

31 Příklad 4 c-diagram pro porovnání C Chart of Poisson UCL=4,62 Sample Count _ C=6,8 LCL= Sample

32 Q-diagramy pro atributivní znaky Analogie u-diagramu parametr λ je neznámý a odhadovaný z dat položme u i = B(c i,t i,n i /N i ), Q i = Φ - (u i ) kde c i je počet neshod v podskupině rozsahu n i, t i je kumulativní součet počtu zjištěných neshod N i je kumulativní součet rozsahů podskupin B(,, ) je distribuce binomického rozdělení

33 Závěr Lze konstatovat, že Q-diagramy nepřinášejí příliš nového a jejich aplikace v praxi má smysl snad pouze u krátkých sérií Klasické Shewhartovy diagramy jsou názornější, přístupné v celé řadě softwarů Použitá literatura: Ch.P.Quesenberry SPC Methods for Quality Improvement, John Wiley&Sons, N.Y.997

34 Děkuji za vaši pozornost