Řešení úloh 1. kola 47. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autořiúloh:P.Šedivý(1,2,4,6,7)aM.Jarešová(3,5) 1. a) Má-li být vlákno stále napnuto, nesmí být amplituda kmitů větší než prodloužení vláknavrovnovážnépoloze.zdeplatí mg=k l, kde kjetuhostvlákna.je-li vlákno při kmitání koule stále napnuto, platí pro úhlovou frekvenci kmitů Ztoho ω 2 = k m = g l. A= l= g gt2 ω 2= 4p 2 =0,358m. 1bod b) Potenciální energii soustavy v rovnovážné poloze položme rovnou 0. Při dosažení okamžitévýhylky y = A= lpřestanenakoulipůsobitsílavláknaapohyb pokračujejakosvislývrhvzhůru.jehopočátečnírychlost v 0určímezezákona zachování energie: 1 2 kb2 = 1 2 ka2 + 1 2 mv2 0, v0= 2 k m (B2 A 2 )=ω 2 3A 2 =3 g2 ω 2, Koule vystoupí nad rovnovážnou polohu do výšky v g 0= 3. ω y max= A+ v2 0 3g = A+ 2g 2ω 2 = A+ 3 2 A=5 2 A=0,895m avnejvyššípolozebudepodbodemzávěsuvláknavhloubce l 0 3 2 A=0,163m. c) Po uvolnění začne koule konat harmonický kmit popsaný rovnicí y= Bcos(ωt). Okamžitévýchylky y= A dosáhnevčase t 1.Platí A= 2Acos(ωt 1) cos(ωt 1)= 1 2, ωt 2p 1= T t1=2p 3, t1= T 3 =0,40s. Následující vrh trvá po dobu t 2= 2v0 g =2 3 ω = T 3 =0,662s p aponěmproběhnezbytekkmitu,vzhledemksymetriidějeopětzadobu t 1.Celá perioda kmitů je T =2t 1+ t 2= T ( ) 2 3 3 + p =1,462s. 1
d) y cm 100 80 60 parabola 40 20 0-20 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 t s -40 kosinusoida kosinusoida -60-80 T T 2
2. V úloze počítáme s efektivními hodnotami napětí a proudů. Odpor ideálního ampérmetrujenulovýanapětínaněmjenulové.svorkovénapětízdrojejerovnonapětí na kondenzátoru: U= X CI 1= I1 ωc. a) Zapojíme-li do obvodu sériově cívku a kondenzátor, mají napětí na nich opačnou fázi. Platí U= U C U L = X C X L 2I 1= X CI 1 2 1 = ωc ωl 1 ωc. Rovnicemádvěřešení L 1, L 2: 2 ωc 2ωL1= 1 L 1. ωc 1= 2ω 2 =0,5H, C 2ωL 2 2 ωc = 1 ωc L 2= 3 2ω 2 C b) Zmenší-li se po zapojení cívky proud na polovinu, platí. =1,5H. U= U C U L = X C X L 0,5I 1= X CI 1, 1 = ωc ωl 2 ωc. Úlozevyhovujevyhovujepouzekladnéřešení L 3: ωl 3 1 ωc = 2 L 3. ωc 3= ω 2 =3H. C 4body c) Připojíme-li cívku ke kondenzátoru paralelně, mají proudy v obou větvích opačnou fázi. Platí I= I L I C = U U = U = X L X C ωl UωC = UωC 1 ω 2 CL 1 = 1 I1 ω 2 CL 1. Proindukčnost L 1 dostaneme proud I = I 1(2 1) = I 1, proindukčnost L 2 2 dostanemeproud I = I 1 3 1 I = 1 aproindukčnost L3 dostanemeproud 3 1 = I= I 1 3 1 2I 1 3. 3
3. a) Platí zákon zachování hybnosti a zákon zachování energie: Mv 1= Mv 1+ mv 2 1, 2 Mv2 1= 1 2 Mv 2 1 + 1 2 mv 2 2 (v 1, v 1a v 2jsousouřadnicerychlostí.)Řešenímtétosoustavyrovnicdostaneme v 1= M m M+ m v1. Pak E k1= 1 ( ) M m 2 2 M v1 M+ m 2. b) k= E k1 E k1 = ( ) M m 2 = M+ m 1 m M 1+ m M 2. c) Protože M >0am >0, platízřejmě 0 k <1. 1bod k=0,jestliže m M =1.Vtakovémpřípaděsepřisrážcekinetickáenergieúplně předá částici o hmotnosti m. Pokud m M,můžemezlomek m M zanedbatoproti1.pak k 1. Pokud m M,můžeme1zanedbatoprotizlomku m.pakopět k 1.Vobou M případech si částice o hmotnosti M při srážce ponechá téměř celou kinetickou energii. 2body d) Známe-li relativní atomové hmotnosti částic, můžeme poměr k vyjádřit ve tvaru ( ) Ar(C) A 2 k= r(n) =0,714. A r(n)+a r(c) 2body e) Musíplatit k n <0,1, pozlogaritmování n log k < 1. Protože log k <0,musíplatit n > 1 log k =6,8. Musí proběhnout nejméně 7 srážek. 2body 4
4. a) Při průchodu proudu o okamžité hodnotě i působí na tyčinku vodorovným směrem magnetickásílaovelikosti F= Bil.Zavelmikrátkoudobu tudělítyčinceimpuls ovelikosti p=f t=bli t=bl Q, kde Qjenáboj,kterýzadobu tprošeltyčinkou.celkovýnáboj,kterýběhem vybíjení kondenzátoru projde tyčinkou, je Q = CU. Celkový impuls, který magnetická síla udělí tyčince, je tedy p=mv= BlQ=BlCU. Tyčinkazískápočátečnírychlost v= p m = BlCU.Úhel α,okterýsevychýlí m závěsy z rovnovážné polohy, určíme užitím zákona zachování energie: 1 2 mv2 = mgl 1(1 cos α) 1 cos α=2sin 2 α 2 = v2 = B2 C 2 U 2 l 2 2gl 1 2gl 1m 2. Pak α=2arcsin BCUl 2m, gl 1 Prodanéhodnoty α=2arcsin0,1030=11,8. b) Výchylka závěsů závisí na velikosti náboje, který prošel tyčinkou, zařízení tedy může sloužit jako měřič náboje. Promalévýchylky,cožjeipřípadúlohya),můžemepsát arcsin BCUl 2m BCUl gl 1 2m. gl 1 Pak α BCUl m = Bl gl 1 m Q, Q= m gl 1 α=aα. gl 1 Bl Prošlý náboj je přímo úměrný výchylce závěsu. V našem případě má konstanta úměrnosti hodnotu A= m gl 1 =0,485C rad Bl 1. Při známé kapacitě C kondenzátoru může zařízení sloužit jako voltmetr pro měření napětí zdroje, ze kterého jsme nabili kondenzátor. Přitom můžeme použít srovnávacímetodu.prodvěrůznánapětíaodpovídajícívýchylkyplatí U 1: U 2= α 1: α 2. Známe-li naopak napětí zdroje U, můžeme z výchylek porovnat kapacity dvou různýchkondenzátorů: C 1: C 2= α 1: α 2. 4body 5
5.a) Vyjdemezobr. R1. Nacívkupůsobí tíhovásíla F G,sílavlákna F areakce podložky, která má normálovou složku F natečnousložku F t(smykovétření). ε Platí F n= F G. Řešenímsoustavypohybových rovnic r a F F t= ma=mrε, (1) R Fr+ F tr=j 0ε (2) F G dostaneme ε= F(R+r) F n J 0+ mr 2, (3) F t J0 mrr F t= F J 0+ mr 2. (4) Obr. R1 Třecísílamůžemaximálnědosáhnoutvelikosti F tmax= mgf. Pak F F max= F tmax J0+ mr2 J 0 mrr = mgf(j0+ mr2 ) =246N, J 0 mrr b) VyjdemezobrR2,úlohupakřešíme stejně jako a), pouze rovnice (2) se změní na F tr Fr=J 0ε. (2 ) Řešením upravené soustavy rovnic dostaneme F max= mgf(j0+ mr2 ) J 0+ mrr ε= ε= mgf(r+r) J 0 mrr =144rad s 2. =27N, mgf(r r) J 0+ mrr =7rad s 2. 5bodů R ε r a F G F n 5bodů F F t Obr. R2 6
6. Příklad zpracování praktické úlohy zachycují následující tabulky a grafy. Byly použity diody(výrobce Kingbright): 1. L-53SRC-F(červená, λ m=640nm), 2. L-53SYC-E*G(žlutá, λ m=590nm), 3. L-53SGC*G(zelená, λ m=567nm), 4. L-53MBCK(modrá, λ m=466nm). Hodnotyvlnovýchdélek λ mudávanévýrobcemsouhlasilyshodnotaminaměřenými pomocí optické mřížky v úkolu c). Hodnoty získané měřením v zapojení podle obr. 5 byly zpracovány programem EXCEL. Celkový vzhled voltampérových charakteristik jezřejmýzgrafůnaobr.r8.znichjezřejmé,žeprovoznínapětídiodsrostoucí vlnovoudélkou λ mklesá největšíjeudiodymodré,nejmenšíučervené. " #! Obr. R8 Ověření exponenciálního průběhu charakteristiky pro I < 1 ma a lineárního průběhu pro I > 5 ma provedeme regresní analýzou příslušných částí charakteristik. Z ní také získámehodnotyveličin A, Barprojednotlivédiody.Naobr.R9jetoprovedeno prodioduč.1. 7
Exponenciální průběh charakteristiky pro proudy do 1 ma můžeme ověřit vložením exponenciálního trendu podle obr. R9a. Z rovnice trendu přímo čteme hodnoty veličin AaB.Nebovyjdemezlinearizovanéhovztahuln I=ln A+BUapoužijemelineární regresi(obr.r9b). 1 Lineární průběh charakteristiky pro proudy nad 5 ma ověříme lineární regresí podle obr. R9c. V rovnici regresní přímky y = ax + b odpovídá proměnná y číselné hodnotě proudu a proměnná x číselné hodnotě napětí. Z toho plyne {r}= x y =1 a. Diferenciální odpor diody r odpovídá ohmickému odporu oblastí P a N v diodě. 0 # &' &' 3 # # &' Obr. R9 a b c Výsledky získané regresní analýzou charakteristik diod jsou v následující tabulce. Zde jsou také uvedeny hodnoty provozních napětí diod a energie fotonů světla o vlnové délce λ m E= hf m= hc λ m přepočítané na ev. U většiny diod jsou téměř stejné jako elektrická práce W = = U pe spojenásprůchodemelektronudiodoupřiprovoznímnapětí U p.umodré diodyjetatopráceasiopolovinuvětší. λ Barva m h c λ 1 m U p A B r nm ev V A V 1 Ω červená 640 1,94 1,80 3,26 10 20 23,4 7,3 žlutá 590 2,10 1,98 6,41 10 22 23,4 5,7 zelená 567 2,19 2,12 2,65 10 25 27,3 12,1 modrá 466 2,66 4,03 1,27 10 13 6,82 30,0 1 Veličina Audávánasycenýprouddiodouzapojenouvzávěrnémsměru.Proveličinu B plynezteoriepřechodupnvztah B= e,kde ejeelementárnínáboj, kjeboltzmannova mkt konstanta, T je teplota přechodu a m je rekombinační koeficient, který se většinou pohybuje mezi1a2,umodrédiodyjevětší. 8
7. Nejprve určíme hmotnost M vodní páry, která ze 1 sekundu vznikne shořením vodíku ve spalovací komoře. Hoření je popsáno rovnicí 2H 2+O 2=2H 2O. Ze dvou molekul vodíku a jedné molekuly kyslíku vzniknou dvě molekuly vodní páry. Proto M m = Mr(H2O) = 18,015 M r(h 2) 2,016 =8,94, M=8,94m =450kg.. 2body Přivýstupuztryskymávodnípáraohmotnosti Mobjem V,kterýurčímezestavové rovnice: pv T = M M m R V = MRT pm m = 8,94mRT pm m, kde M m=18,015 10 3 kg mol 1 jemolárníhmotnostvody.tentoobjemječíselně roven objemovému průtoku Q V = V τ = Sv, kde τ=1sjeuvažovanádobaavjerychlostvytékajícívodnípáry.ztoho v= V τs =8,94mRT =3900m s pτsm 1. m 4body Jestliževodnípářeohmotnosti Mudělímezadobu τrychlost v,vzniknereakčnísíla F r= Mv τ = 8,94mv τ Celková tahová síla motoru je rovna součtu reakční síly a statické tlakové síly: F= Mv τ + ps= 8,942 m 2 RT pτ 2 SM m + ps=1,73 10 6 N+5 10 4 N=1,8 10 6 N.. 4body 9