Digitální modely terénu (3) Ing. Martin KLIMÁNEK, Ph.D. 411 Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta, Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně 1
Interpolace - úvod procedura odhadu neznámých hodnot ze známých hodnot v okolí interpolace extrapolace úkolem interpolace je určit vhodnou funkci y=f(x), která v daných (tzv. uzlových) bodech nabývá známých hodnot interpolační funkce f(x) - shoda s původními hodnotami v uzlových bodech aproximující funkce f(x) - nahrazuje původnp vodní funkci f o (x) s jistou přesností Dodržuj ují se známé hodnoty? interpolační (exaktní) ) metody (deterministické) aproximující metody (stochastické) 2
lokální Typy odhadů - odhad veličiny v bodě, kde nebyla zjištěna - gridování odhad pro body pravidelné sítě 3
Typy odhadů blokový globáln lní rozmíst stění měření - některé metody selhávaj vají pro silně nepravidelné sítě měření - zvláště problém m hodnot na profilech 4
Zdrojová data rozmíst stění zdrojových dat pravidelné rozmístění náhodné rozmístění transekty (profily) stratifikované náhodné shluky (skupiny) vrstevnice (izolinie) 5
Metody interpolace Vážený průměr D2 D 1 w 2 w 1 X = n i= 1 ( w i D i ) X w w 3 4 D 3 D 4 n i= 1 w i = 1 6
Metoda inverzních vzdálenost leností (ID, IDW) princip Velikost příspěvku je přímo úměrná velikosti hodnoty a na druhé straně nepřímo úměrná vzdálenosti. M X n i= 1 = n i= 1 M r 1 r i k i k i C X A 2 r = dx + lim M l i 0 X dy = M 2 i D B M i je známá hodnota v i-tém místě, r i vzdálenost i-tého místa od místa X a k je vhodná mocnina vzdálenosti (např. 1 nebo 2). 7
Metoda inverzních vzdálenost leností (ID) varianty: s výběrem z kvadrantů nebo oktantů rozdělen lení prohledávan vané oblasti do 4 nebo 8 sektorů se směrovým váženv ením rozdělen lení prohledávan vané oblasti do nepravidelných sektorů.. Vstupní parametry: úhlové rozpětí sektorů, váhy přiřazenp azené jednotlivým sektorům = (zavádění anizotropie pole) z každého sektoru je vybrán n 1 bod (nebo k bodů) ) a na tuto množinu vybraných bodů je aplikována metoda ID Shepardova metoda (SH) metoda inverzních vzdálenost leností + vyrovnání metodou nejmenší ších čtverců 8
Metoda triangulace s lineárn rní interpolací (TR) poskytuje odhad neznámé hodnoty pomocí lineárn rní závislosti. Lineárním útvarem je tedy rovina. r Rovnice roviny obsahuje tři t koeficienty - to o znamená, že e pro její určen ení jsou zapotřeb ebí tři i známé body: P=[x,y 1 1,z 1 ], Q=[x 2,y 2,z 2 ], R=[x 3,y 3,z 3 ]. R tři i body P, Q a R jsou vybrány tak, aby bod X ležel el uvnitř trojúheln helníka získaného jako průmět t trojúheln helníka P PQR. Těmito body b je určena rovina, Z x jejíž koeficienty lze získat řešením soustavy rovnic.. Hledaný odhad Z je x dán n vztahem: Q Z x ax + by + = 0 0 c X 9
Metoda triangulace s lineárn rní interpolací dodržuje naměřen ené hodnoty výhodná je pro modelování nespojitostí v poli (zlom, hrana) nevýhodná pro nespojitost vypočtených hodnot (kostrbatý průběh h izolinií) různé stupně vyhlazení 10
Metoda triangulace s lineárn rní interpolací interpolace izolinií 11
Metoda triangulace s lineárn rní interpolací Skrývá jistý prvek náhodnosti. n S Uvažujme následujn sledující data: P=[1,1,1], Q=[3,1,10], S=[3,1,10], R=[3,3,1]. Odhad pro X=[2,2,?]?]. Náhodnost spočívá trojúheln helníka: Volbou PRS, je odhadem hodnota 1. Volbou QRS, je odhadem hodnota 10. ve volbě P U X Z Q R Problém m je tedy ve velkém rozdílu u dat mezi sousedními hodnotami. Bohužel právěp takový charakter mám mnoho geoprostorových dat, a proto zvláš áště na taková data není vhodné metodu aplikovat. S dobrými výsledky ji lze poup oužít v případech, p padech, kdy hodnoty nemají příliš velký rozptyl. 12
Thiessenovy (Dirichlet, Voronoi) polygony (TP) Představuj edstavují přesnou metodu interpolace, která vychází z předpokladu, p že e neznámé hodnoty bodů odpovídaj dají hodnotě nejbližší ších známých bodů. Zahrnuje šířen ení teritoria sdružen eného s bodem, které pokračuje tak dlouho, aža se narazí na obdobně zpracovávan vané teritorium sousedního bodu. Je-li rozmíst stění bodů nepravidelné,, výsledkem bude mozaika polygonů. 13
Thiessenovy (Dirichlet, Voronoi) polygony (TP) Toblerova pyknofylaktická metoda: f ( x, y) dxdy = R i H i H i jsou hodnoty v regionu R i pro všechna i v tis. osob v tis. osob Administrativní celky Pyknofylaktická interpolace 14
Metoda minimáln lní křivosti (MC) spline ine-funkce vych chází z interpolace pomocí (nejčastěji kubických) funkcí. Spojuje tedy dvojice daných bodů segmenty kubické křivky (ten je dán d čtyřmi body). Z prvních čtyř bodů se spočte kubická křivka a první dva body se spojí jejím segmentem. Pak se z druhého ho aža pátého bodu spočte kubická křivka a druhé dva body se spojí jejím m segmentem, atd. polynomické funkce, na hranách spojité (spojitost interpolující funkce a stanoveného počtu jejich derivací) povrch je interpolován n po částech hladké povrchy míra aproximace je dána d stanoven ením tolerance a počtem iterací 15
Metoda radiáln lních funkcí (RF) hladký povrch dodržuje naměř ěřené hodnoty multikvadriková metoda D 2 2 i ( x, y) = di ( x, y) + R D i (x,y) je radiáln lní funkce vzdálenosti d i (x,y) d i (x,y) je relativní,, anizotropní vzdálenost mezi místem měřm ěření (x i,y i ) a místem m odhadu (x, y) R 2 je vyhlazovací faktor V každém m místm stě jsou stanoveny optimáln lní váhy řešením soustavy lineárn rních rovnic. 16
ABOS Approximation Based On Smoothing (SurGe, M. Dressler,, http://mujweb.cz/www/surge/) přidělení nejbližší známé hodnoty každému nodu mřížky, (per partes konstantní interpolace, Thiessenovy polygony) průměrov ování hodnot mřížky m (vyrovnávání rozdílů): P vyhlazování hodnot mřížky m (s ohledem na požadovan adované parametry) několik iterací = 0,25 ( Pi + 1, k + Pi, j+ k + Pi k, j + Pi, i, j j k výsledný povrch se vypočte bilineárn rní interpolací z rohových nodů: f ( x, y) = axy + bx + cy + d ) 17
ABOS 18
19
Fourierova analýza (FA) obecný interpolační postup, který se používá v geostatistických metodách pro odhad průběhu povrchu pomocí série funkcí sinus a kosinus nejvhodnější pro datové soubory, které vykazují periodicitu analýza signálů, modelování klimatických změn, pohyb (vln v oceánu nu, sněhových závějí, z pískových dun apod.) a zpracování obrazu (odstranění šumu, korekce); redukce variability (kontrastů) ) v DMT pro snadnější identifikaci tvarů terénu (hřbety, údolí) f ( x) = a ( a cos( kωx) + b sin( kωx ) 0 + k k ) k = 1 amplituda = fáze = tan 1 ( b a 2 / a) + b 2 frekvence ( spektrum) = ln(1 + amplituda 2 ) ω = 2π/T 2 k = koeficient harmonické funkce a, b = koeficienty Fourierovy transformace Nyquistova frekvence nejvyšší frekvence = nejkratší vlna = 2 pixel2 20
Krigování (KR) úvod teorie regionalizovaných proměnných nných,, která byla vytvořena G. Matheronem a D. G. Krigem (metoda interpolace dat získz skávaných při p vyhledávání a průzkumu ložisek nerostných surovin) vychází ze zjištění, že prostorová variabilita řady geoprostorových prvků je přílip liš nepravidelná než,, aby mohla být modelována pomocí vyhlazovacích ch matematických funkcí optimalizovaná soustava vah v každém m kroku s požadavkem minimáln lního rozptylu základ spočívá v nalezení průměrn rné hodnoty změn n v závislosti z na změně vzdálenosti mezi měřm ěřenými body vyhodnocování strukturáln lních funkcí optimalizuje prostorovou interpolaci tak, že e rozděluje prostorovou variabilitu do třít komponent: deterministickou variabilitu (různ zné trendy) prostorově autokorelovanou variabilitu nekorelovaný šum charakter prostorově korelované variability lze znázornit zornit jako semivariogram, který poskytuje informaci pro optimalizaci interpola olačních vah a prohledávac vacích ch poloměrů 21
Krigování (KR) úvod Výchozí předpoklady pro strukturáln lní analýzu a krigování: normáln lní distribuce transformace nebo použit ití nelineárn rních technik průměrn rná hodnota konstantní trend, univerzáln lní krigování prostorová autokorelace konstantní 22
Krigování (KR) experimentáln lní semivariogram Semivariogram je základnz kladní geostatistický nástroj n pro vizualizaci, modelování a využit ití prostorové autokorelace regionalizované proměnn nné. Semivariance je míra m variance. γ ( h ) = 1 2 n [ z ( x ) z ( x h )] i i + i 2 kde γ(h) ) je semivariance proměnn nné z pro vzdálenost h Základní schéma výpočtu pro vzdálenost h sestává z následujn sledujících ch kroků: v úvahu se vezmou všechny v takové páry z i a z j, jejichž vzdálenost padne do třídy t pro h vypočtou se rozdíly hodnot těchto t párůp sečtou se kvadráty těchto t rozdílů součet se vydělí dvojnásobkem počtu párůp Tak se pro všechny v hodnoty h experimentáln lní semivariance. získá řada hodnot nazývaných 23
Krigování (KR) teoretický semivariogram Funkční vztah, který pokud možno dobře e sleduje (modeluje) experimentáln lní semivariogram, se nazývá teoretický semivariogram Chování semivariogramu je možno (vícem ceméně) intuitivně popsat takto: velmi blízk zká data mají velmi malou odchylku data ve většív ších vzdálenostech mají větší odchylky, avšak ak odchylky pro velmi vzdálen lená data a velmi velice vzdálen lená data se už příliš neliší od jisté vzdálenosti užu vzájemn emné odchylky nerostou (např. také proto, že e vzdálenost překračuje rozměry ry zkoumané plochy nebo tělesat lesa) semivariance γ vzdálenost h 24
Krigování (KR) strukturní analýza proces hledání teoretického semivariogramu pro daný experimentáln lní semivariogram je nazýván strukturní analýzou ou.. Model nalezený pro danou množinu dat závisz visí jak na experimentáln lních, tak teoretických předpokladech. Vlastnosti, které prakticky vedou k určen ení konkrétn tního teoretického modelu, jsou: přítomnost nebo absence ploché části semivariogramu, to znamená, že při zvětšuj ující se vzdálenost lenosti se hodnoty variance nemění - existuje tzv. práh h (sill); je dán d n konstantou C vzdálenost, ve které semi- variance dosáhne prahové hodnoty - tzv. dosah (range); je dán d n konstantou a chování v počátku (tj. semi- variance mezi velmi blízkými body) semivariance (γ) dosah (a) (range) práh (C) model (sill) semivariogramu zbytkový rozptyl (nugget) vzdálenost (h) 25
Krigování (KR) strukturní analýza dosah (range) je mírou m korelace uvnitř množiny dat; dlouhý dosah indikuje vysokou korelaci, krátký korelaci nízkoun hodnota prahu (sill) je rovna celkovému rozptylu velmi často nenabývají experimentáln lní semivariogra- my v počátku nulové hodnoty; protínaj nají osu y v nenulové hodnotě,, která je nazývána zbytkový rozptyl (nugget effect).. To může ukazovat na rozptyl menší než je vzorkovací vzdálenost nebo na malou přesnost p měřm ěření (např.. jsou v datech obsaženy dva vzorky ze stejného místa, m pokaždé s jinou hodnotou). semivariance (γ) dosah (a) (range) práh (C) model (sill) semivariogramu zbytkový rozptyl (nugget) vzdálenost (h) 26
Krigování (KR) modely semivariogramů Sférický model γ h) γ ( h) = C = C 3h 2a 3 h 2a ( 3 pro h a pro h a Exponenciáln lní model γ ( h) = C ( h. a 1 e ) Gaussův v model γ 1 h 2 ( ) = a h C e 2 Složen ené modely každý zdroj variability je popsán n vlastní strukturní funkcí 27
Krigování (KR) modely semivariogramů a) sférický b) exponenciáln lní c) lineárn rní d) gaussovský 28
Krigování (KR) směrovost semivariancí mnohé fenomény ny nevykazují prostorovou isotropii rozptylu - naopak se chovají anisotropně rozsah influence je různý r v různých r směrech pro data, vykazující anisotropii, se využívá postupu spočívaj vajícího v konstrukci dílčích d semivariogramů pro stanovené směrov ové tolerance V nejjednodušší šším m případp padě rozdělíme všesmv esměrové pole rovnoměrn rně: například na směry sever ± 22.5 o, jih ± 22.5 o, východ ± 22.5 o, západ ± 22.5 o, severovýchod ± 22.5 o, jihovýchod ± 22.5 o, jihozápad ± 22.5 o, severozápad ± 22.5 o a zkonstruujeme osm dílčích d směrových semivariogramů tak, že e do každého z nich zahrneme pouze ty dvojice daných bodů,, jejichž směrový vektor padne do intervalu směrů daného dílčího d semivariogramu. 29
Krigování (KR) směrovost semivariancí Při směrov rově symetrických ch datech stačí zkonstruovat pouze polovinu počtu semivariogramů.. Po zjištění jejich dosahů se tyto dosahy zanesou do růžr ůžicového diagramu obsahujícího ho ty směry, pro něžn byly dílčí semivariogramy sestaveny. Anizotropická množina na dat je charakterizována směrem maximáln lní variance a směrem minimáln lní variance.. Tyto směry jsou směry hlavní a vedlejší poloosy tzv. elipsy anizotropie. Elipsa anizotropie je pak zjistitelná jako elipsa, která apro- ximuje dosahy vynesené do shora zmíněného růžr ůžicového diagramu. dosah semivariogramu pro úhel 180 ± 22,5 45 osy anizotropie 0 dosah semivariogramu pro úhel -45 ±22,5-45 30
Krigování (KR) varianty Základní krigování: : bodový odhad, (blokový odhad) krigování proto stanoví známých hodnot odhad v místm stě X jako součet vážených v n Z X = μ Z i= 1 i i minimalizace rozptylů odhadů v místm stě X vede k soustavě (n+1) lineárn rních rovnic,, přičemp emž K i,j jsou kovariance mezi i-tým i a j-tým j známým bodem vázanv zané se semivariancemi vztahem: σ 2 μ i K x, i + μi j = K, 2 μ K, x x i i j n i= 1 i j μ = 1 i K = γ ( ) γ ( h i, j ij ) Variance tohoto odhadu je dána d vztahem (kde λ je Lagrangeův multiplikátor) tor): s 2 = n i= 1 μ γ ( ) + λ i h Xi 31
Krigování (KR) základní krigování (příklad) určit koeficienty μ 1, μ 2, μ t 3, tyto koeficienty jsou výsledkem řešení soustavy lineárn rních rovnic jako prvky rozší šířené matice soustavy vystupují hodnoty semivariance. Protože e jde o aproximované hodnoty, je prvním úkolem stanovení modelu (= teoretického semivariogramu) model = lineárn rní semivariogram bez zbytkového rozptylu se směrnic rnicí přímky rovné 4,0 m 2 /km γ(h)=4h Pro zjištění prvků rozší šířené matice soustavy je tedy zapotřeb ebí: zjistit souřadnice jednotlivých bodů zjistit vzájemn jemné vzdálenosti mezi nimi zjistit hodnoty semivariancí pro zjištěné vzdálenosti (142) (120) (???) (103) 32
Krigování (KR) základní krigování (příklad) Řešíme tedy soustavu: Řešením je čtveřice [μ 1, μ 2, μ 3, λ] = [0,5954; 0,0975; 0,3071; 0.7298]. Odhad v bodě X je tedy: Z X = 0,5954 120 + 0,0975 103 + 0,3071 142 = 125,1 [m] s variancí chyby odhadu: s 2 = 0,5954.4 + 0,0975 13,416 + 0,3071 7,889 0,7298 1 = 5,3826 [m 2 ] X = 125,1 ± 2,3 m 33
Krigování (KR) varianty simple kriging jednoduché krigování známá průměrn rná hodnota veličiny iny cokriging odhad proměnn nné na základz kladě hodnot korelovaných veličin, in, vztahy popsané pomocí vzájemn jemného semivariogramu lognormáln lní krigování indikátorov torové krigování transformace kvantitativních údajů na kvalitativní (ano/ne) výsledkem lokáln lního odhadu je pravděpodobnost; podobnost; (absolutní nebo relativní indikátory - problém m konzistence) probability kriging kombinace indikátor torů s původnp vodními údaji soft kriging kombinace hodnoty s další šími údaji 34
Krigování (KR) varianty (ukázky) a) b) c) a) Zdrojová data b) Třídy T četnosti záplavz c) Koncentrace Zn dle četnosti záplavz d) Indikátorov torové krigování: pravděpodobnost podobnost překročení hodnoty 1000 ppm Zn e) Soft krigování: pravděpodobnost podobnost překročení hodnoty 500ppm s využit itím pravděpodobn podobné hodnoty obsahu Zn v jednotlivých třídách t četnosti záplavz f) Kokrigování ln Zn a ln vzdálenosti od řeky d) e) f) 35
Podmíněná stochastická simulace (SS) 1. Vyberte náhodnn hodně dosud nezpracovaný bod (neznámé hodnoty) 2. Vypočítejte pro něj n j pomocí jednoduchého ho krigování odhad hodnoty a rozptyl odhadu s využit itím m známých (nebo již vypočítaných) hodnot. 3. Stanovte náhodnou n hodnotu z distribuce pravděpodobnosti podobnosti určen ené zjištěným průměrem rem (zjištěný odhad hodnoty) a rozptylem (zjištěný rozptyl odhadu). Výsledek představuje p simulovanou hodnotu pro dané místo. Bod se stává místem se známou hodnotou a vstupuje do další ších výpočtů. 4. Opakujte první 3 kroky, aža je pokryto celé území. 5. Opakujte první 4 kroky tolikrát, t, kolik simulací je potřebn ebné provést pro dostatečně věrohodný odhad modelu (např.. 100 krát). 6. Ze simulovaných hodnot vypočítejte průměrnou rnou hodnotu a rozptyl (resp. směrodatnou odchylku) pro každé místo. 36
Podmíněná stochastická simulace (ukázky) Podmíněná simulace obsahu Zn v půdě po 100 iteracích: vlevo očekávaná hodnota Zn vpravo chyba odhadu Podmíněná simulace obsahu Zn v půdě po 100 iteracích s využitím informace o pravděpodobné hodnotě obsahu Zn v jednotlivých třídách četnosti záplav: vlevo očekávaná hodnota Z vpravo chyba odhadu 37
Volba metody a parametrů Průzkumov zkumová analýza dat zkoumání distribuce hodnot, statistická (normalita, extrémn mní hodnoty), prostorová (existence trendu, anizotropie), uspořádání sítě měření. Transformace hodnot měřm ěření normáln lní distribuce (případn padně použit ití nelineárn rních technik) Eliminace trendu, model trendu, výpočet reziduáln lních hodnot (zvláš ášť výpočet základní hodnoty z průběhu trendové funkce a interpolace odchylky) Návrh vhodných parametrů pro vyhledávání s ohledem na existující síť (u některých n metod nutné pro získz skání korektního výsledku, jinde pro zrychlení výpočtu): volba sektorů počet bodů dosah hledání tvar prohledávan vané oblasti (kruh, elipsa) 38
Volba metody a parametrů Ověř ěření výsledku interpolace (verifikace) hodnocení srovnání s jinými metodami, s původnp vodně naměř ěřenými hodnotami: ručně provedená interpolace bumerangová metoda (cross validation) použit ití referenční funkce (známý vývoj v ploše) mapa chyb (střední chyba) změna průměrn rné hodnoty (rozptylu) velikost rozptylu u výsledku porovnání s původnp vodně naměř ěřenými hodnotami (požadavek exaktní interpolace) rozptylu, průběh h pole 39
Volba metody a parametrů Na čem tedy závisí výsledek? cíl l interpolace (exaktní interpolace aproximace průběh h pole) počet a rozmíst stění známých měřm ěření statistických charakteristikách zkoumaného souboru měřm ěření vazbě principu zvolené metody a vývoje sledovaného pole Nelze spoléhat na 1 metodu! 40
ID RF KR SH MC TR 41
42
Obecná indikace použit ití: metoda inverzních vzdálenost leností exaktní interpolační metoda,, tvorba koncentrických izolinií, při nepravidelné síti nebo anizotropii pole je třebat dodatečné úpravy metody metoda minimáln lní křivosti exaktní interpolační metoda (řízená tolerance), pozor na falešná maxima a minima krigování aproximační metoda, nutnost analýzy pole, poskytuje vyhodnocení rozptylu/chyb, potlačuje rozptyl simulace aproximační metoda, rozsáhl hlé pravděpodobnostn podobnostní hodnocení zpracování dat, poskytuje 43
Použitá literatura Burrough, P.A. Principles of GIS for Land Resources Assessment. Oxford: Clarendon Press, 1986. Burrough, P.A., Mcdonnell, R.A. Principles of Geographical Information Systems. USA, New York: Oxford University Press Inc., 1998. 333 p. ISBN 0-190 19-823366-3. 3. Clark Labs. Domovské stránky organizace [online]. Manuál k programu IDRISI Andes. Internet, < http://www.clarklabs.org/ >, 2008. Dressler, M. SurGe, gridding and mapping software. Manuál k programu [online]. Internet, < http://mujweb.cz/www/surge/ >, 2008. Golden software. Domovské stránky organizace [online]. Program Surfer, verze 8. Internet, < http://www.goldensoftware.com/products/surfer/surfer.shtml >, 2008. 08. Homola, V. Sylaby geostatistiky a geoinformatiky [online]. Internet, < http://homel.vsb.cz/~hom50/ >, 2004. Horák, J. Prostorová analýza dat [online]. Internet, < http://gis.vsb.cz/pad/ pad/ >, 2002. Horák, J., Staněk, F. Interpolace prostorových dat. Seminář při mezinárodním sympoziu GIS Ostrava 2004. VŠB TU Ostrava 28.1.2004. 44
Děkuji za pozornost. klimanek@mendelu.cz http://mapserver.mendelu.cz 45