Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Transkript

1 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme je tak, že vyjádříme proměnnou či proměnné jako funkce zbývajících. Dosazením do funkce snížíme počet jejích proměnných a hledáme obyčejný lokální extrém. Ve složitějších případech volíme metodu Lagrangeových multiplikátorů k nalezení relativních stacionárních bodů. Poznamenejme, že v obecném případě je řešení příslušné soustavy nelineárních rovnic komplikované a ve většině případů musíme volit numerické řešení. Uvedené příklady k procvičení principů mají ilustrační charakter a z toho vyplývá jejich jednoduché zadání. Příklad 1. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x +y vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}. Řešení. a) Dosazením: Z dané podmínky vyplývá, že požadovaná podmínka pro bod (x, y) bude splněna, pokud y = 1 x, x R. Funkce f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(x) = f(x, 1 x) jako funkce jedné proměnné v R. Po dosazení dostaneme, že h(x) = x + (1 x) = x x + 1. Je Dále je h (x) = 4x a h (x) = 0 4x = 0 x = 1. h (x) = 4 h ( 1 ) > 0, má tedy funkce h = h(x) v nalezeném bodě lokální minimum. Pro x = 1 je y = 1 a tedy má funkce f(x, y) v bodě (1, 1 ) lokální minimum vzhledem k množině M. b) Metodou Lagrangeových multiplikátorů: 1. F (x, y) = x + y λ(x + y 1). Stacionární body jsou určeny soustavou Dostaneme F x = x λ = 0, F y = y λ = 0, x + y = 1. x = y = 1, λ = 1. 36

2 . Druhý diferenciál v bodě a = ( 1, 1 ) je d F (a) = dx + dy > 0, má tedy funkce f v bodě a lokální mimimum. Kvadratická forma d F je pozitivně definitní, nemusíme provádět 3. krok algoritmu, zúžení kvadratické formy. Příklad. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = xy vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 4}. Řešení. a) Dosazením: Vazební podmínkou je kružnice, kterou snadno popíšeme parametricky rovnicemi x = cos t, y = sin t, t R. Funkce f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(t) = f( cos t, sin t) jako funkce jedné proměnné v R. Je h(t) = 4 cos t sin t = sin t, h (t) = 4 cos t a h (t) = 8 sin t. a vzhledem k periodicitě goniome- Nulové body derivace jsou body π 4 + k π trických funkcí stačí uvažovat body t 1 = π 4, t = 3π 4, t 3 = 5π 4 a t 4 = 7π 4, kterým na kružnici odpovídají po řadě body a 1 = (, ), a = (, ), a 3 = (, ), a 4 = (, ). Protože je h (t 1 ) = h (t 3 ) = 8 < 0 a h (t ) = h (t 4 ) = 8 > 0 má funkce f(x, y) v bodech a 1, a 3 lokální maxima a v bodech a, a 4 lokální minima vzhledem k množině M. b) Metodou Lagrangeových multiplikátorů: 1. F (x, y) = xy λ(x + y 4). Stacionární body jsou dány soustavou F x Dostaneme = y λx = 0, F y = x λy = 0, x + y = 4. x = y = ±, λ 1 = 1 ; x = y = ±, λ = 1. 37

3 Tomu odpovídají čtyři body: ( ) ( a 1 =,, a 3 =, ), λ = 1 ; a = (, ) ( ), a 4 =,, λ = 1.. Druhý diferenciál je roven d F = dxdy, což je indefinitní kvadratická forma. Musíme tudíž provést zúžení této formy na tečný podprostor podle bodu 3 algoritmu. 3. Je dg = 0 xdx + ydy = 0 dy = y x dx, tedy d F = y x dx. Pro body a 1 a a 3 je d F = dx < 0, funkce f má v těchto bodech lokální maxima. Pro body a a a 4 je d F = dx > 0, funkce f má v těchto bodech lokální minima. Příklad 3. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xyz vzhledem k množině M = {(x, y, z); x + y + z = 3}. Řešení. a) Dosazením: Vazební podmínku můžeme přepsat do tvaru z = 3 x y, (x, y) R a funkce f(x, y, z) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít funkce h(x, y) = f(x, y, 3 x y) lokální extrém jako funkce dvou proměnných v R. Tyto extrémy nalezneme postupem, který jsme uváděli v kapitole 5. Je Dále je h(x, y) = xy(3 x y) = 3xy x y xy, (x, y) R. h x = 3y xy y, h x = y, h h y = 3x x xy, y = x, h = 3 x y. x y Stacionární body jsou určeny soustavou rovnic která má řešení y + xy 3y = 0, x + xy 3x = 0, (x 1, y 1 ) = (0, 0), (x, y ) = (0, 3), (x 3, y 3 ) = (3, 0) a (x 4, y 4 ) = (1, 1). 38

4 Jim odpovídají v množině M po řadě body a 1 = (0, 0, 3), a = (0, 3, 0), a 3 = (3, 0, 0), a 4 = (1, 1, 1). V označení z kapitoly 5 dostaneme pro jednotlivé body: a 1 = (0, 0, 3) : 1 = 0, = a = (0, 3, 0) : 1 = 6 < 0, = a 3 = (3, 0, 0) : 1 = 0, = a 4 = (1, 1, 1) : 1 = < 0, = 0, 3 3, 0 6, 3 3, 0 0, 3 3, 0 = 9 < 0;, 1 1, = 9 < 0; = 9 < 0; = 3 > 0; Odtud plyne, že funkce f(x, y) má v bodě a 4 = (1, 1, 1) lokální maximum vzhledem k množině M. V ostatních bodech lokální extrém nemá. b) Metodou Lagrangeových multiplikátorů: 1. F (x, y, z) = xyz λ(3 x y z). Stacionární body jsou řešením soustavy: F x = yz + λ = 0, F y = xz + λ = 0, F = xy + λ = 0, x + y + z = 3. Ta má řešení (x = y = z = 1, λ = 1. Dostaneme jediný stacionární bod a = (1, 1, 1).. Pro druhý diferenciál dostaneme vyjádření a v bodě a je d F = zdxdy + ydxdz + xdydz d F (a) = dxdy + dxdz + dydz. Tato kvadratická forma je ale indefinitní, musíme provést její zúžení podle 3. kroku algoritmu. 3. Je dg = 0 dx + dy + dz = 0 dz = dx dy, tedy d F (a) = dx dy dxdy. 39

5 Pro determinaty z kritéria dostaneme 1 = < 0,, 1 1, = 3 > 0. Kvadratická forma je tudíž negativně definitní, funkce f má v bodě a = (1, 1, 1) lokální maximum. Příklad 4. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x + y xy + x + y v množině A = {(x, y); x + y 3, x 0, y 0}. Nejprve hledáme stacionární funkce f(x, y) v množině G = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 3}. Je x = x y + 1, Stacionární body jsou řešením soustavy y = y x + 1. x y + 1 = 0 x y 1 = 0 x = 1 y = 1, ale tento bod není v množině G a nebudeme jej dále uvažovat. Nyní budeme vyšetřovat chování funkce na hranici. Ta se skládá ze tří úseček a nalezneme relativní stacionární body funkce na ke každé z nich. M 1 = {(x, y); y = 0, 0 < x < 3}. Hledáme stacionární body funkce h 1 (x) = f(x, 0) = x + x, 0 < x < 3. Protože je h 1(x) = x + 1 = 0 x = 1, funkce nemá lokální extrémy vzhledem k množině M 1. M = {(x, y); x = 0, 0 < y < 3.} Hledáme stacionární body funkce h (y) = f(0, y) = y + y, 0 < y < 3. Je h (y) = y + 1 = 0 y = 1, funkce nemá lokální extrémy vzhledem k množině M. M 3 = {(x, y); y = 3 x, 0 < x < 3.} Hledáme stacionární body funkce h 3 (x) = f(x, 3 x) = 3x 9x + 1, 0 < x < 3. Je h 3(x) = 6x 9 = 0 x = 3 a protože je bod (3, 3 ) bodem úsečky M 3, zahrneme jej do dalších úvah. Množinu bodů, ve kterých má funkce největší a nejmenší hodnotu tvoří tedy body a 1 = ( 3, 3 ), a = (0, 0), a 3 = (3, 0) a a 4 = (0, 3). V těchto bodech nabývá funkce f(x, y) po řadě hodnot f( 3, 3 ) = 1 4 = 51 4, f(0, 0) = 0, f(3, 0) = 1, f(0, 3) = 1 a tudíž má funkce maximum 1 v bodech (3, 0), (0, 3) a minimum 0 v bodě (0, 0). 40

6 Příklad 5. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 3 + 4x + y xy v množině A = {(x, y); x y 4}. Nejprve hledáme lokální extrémy funkce f(x, y). Pro stacionární body této funkce dostaneme soustavu rovnic x = 6x + 8x y = 0, y = y x = 0, která má řešení (x, y) = (0, 0), (x, y) = ( 1, 1). Pouze bod (0, 0) patří do množiny A. Nyní budeme hledat lokální extrémy vzhledem ke hranici. Ta se skládá ze dvou částí. První je částí paraboly a druhou je úsečka. M 1 = {(x, y); y = x, < x < }. Budeme vyšetřovat funkci h 1 (x) = f(x, x ) = x 4 + 4x. Pro tuto funkci je h 1(x) = 4x 3 + 8x = 0, jestliže x = 0. Bod (0, 0) jsme již nalezli jako stacionární bod. M = {(x, y); y = 4, < x < }. Vyšetřujeme chování funkce h (x) = f(x, 4) = x 3 + 4x 8x Pro tuto funkci dostaneme h (x) = 6x + 8x 8 = 0 jestliže x 1 = 3 nebo x = 8 3. Pouze bod ( 3, 4) patří do množiny A. Množinu, ve kterých nabývá funkce f největší a nejmenší hodnoty tvoří body a 1 = (0, 0), a = ( 3, 4), a 3 = (, 4), a (a 4 = (, 4). Pro tyto body dostaneme po řadě funkční hodnoty f(0, 0) = 0, f( 35, 4) =, f(, 4) = 64, f(, 4) = Odtud plyne, že funkce f(x, y) má největší hodnotu 3 v bodech (, 4) a (, 4) a nejmenší hodnotu 0 v bodě (0, 0). Příklad 6. Pravoúhlý trojúhelník má přeponu délky a. Vypočtěte, pro které odvěsny bude mít trojúhelník největší obvod. Řešení. Označme x a y délky odvěsen. Potom hledáme maximum funkce f(x, y) = x + y + a, za podmínky x +y = a, která vyplývá z Pythagorovy věty. Odtud určíme, že y(x) = a x, 0 x a a po dosazení do funkce dostaneme pro obvod trojúhelníka vzorec g(x) = f(x, y(x)) = a + x + a x, 0 x a. 41

7 Pro tuto funkci hledáme její maximum. Protože má g derivaci, maximum bude buď ve stacionárním bodě a nebo v krajních bodech intervalu. Derivováním dostaneme podmínku pro stacionární bod g (x) = 1 + x a x = a x x a x = 0 x = a x. Úpravami získáme řešení rovnice ve tvaru x = a x x = a x 0 = a. Porovnáním funkčních hodnot v krajních bodech intervalu a ve stacionárním bodě získáme maximum funkce. Je g(0) = a + a = a, g(a) = a + a = a, g(x 0 ) = a + a + a a = a(1 + ). Největší je hodnota obvodu trojúhelníka pro odvěsnu, která má délku x 0. Z podmínky pravoúhlosti trojúhelníka, dostaneme pro druhou odvěsnu hodnotu y 0 = a a = a = x 0, a tedy maximální obvod má rovnoramený trojúhelník. Příklad 7. V rovině ρ : 3x z = 0 nalezněte bod X[x, y, z], pro který je součet čtverců vzdáleností od bodů A[1, 1, 1] a B[, 3, 4] minimální. Řešení. Pro hledaný součet vzdáleností dostaneme vyjádření f(x, y, z) = (x 1) + (y 1) + (z 1) + (x ) + (y 3) + (z 4). K tomu, aby hledaný bod ležel v rovině ρ, musí platit x 3z = 0 z = 3 x. Po dosazení z této podmínky dostaneme pro hledanou vzdálenost vzorec g(x, y) = (x 1) + (y 1) + ( 3 x 1) + (x ) + (y 3) + ( 3 x 4). 4

8 Funkce g(x, y) má spojité parciální derivace a tedy může mít extrém pouze ve stacionárním bodě. Pro něj dostaneme soustavu rovnic g x = (x 1) + 3 (3 x 1) + (x ) + 3 (3 x 4) = 13 x 1 = 0, g = (y 1) + (y 3) = 4y 8. y Odtud dostaneme jediný stacionární bod y 0 =, x 0 = 1 13, z 0 = Že se jedná o minimum ověříme pomocí diferenciálu druhého řádu. Je tedy g x = 13, g y = 4, g x y = 0, d g = 13 dx + 4 dy > 0, tudíž má funkce g v bodě (x 0, y 0 ) lokální minimum, které je zároveň absolutním minimem. Pro minimální vzdálenost dostaneme hodnotu f(x 0, y 0, z 0 ) = g(x 0, y 0 ) = Příklad 8. V rovině je dán trojúhelník ABC, A[x 1, y 1 ], B[x, y ] a C[x 3, y 3 ]. Nalezněte bod X[x, y], pro který je součet čtverců jeho vzdáleností od bodů A, B a C minimální. Řešení. Hledáme minimum funkce f(x, y) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (x x ) + (y y ) + (x x 3 ) + (y y 3 ). Funkce je definována v R a má všude spojité derivace. Extrémy tedy budou pouze ve stacionárních bodech. Pro ně dostaneme rovnice x = (x x 1) + (x x ) + (x x 3 ) = 6 x (x 1 + x + x 3 ) = 0, y = (y y 1) + (y y ) + (y y 3 ) = 6 y (y 1 + y + y 3 ) = 0. Odtud dostaneme jediný stacionární bod [x 0, y 0 ] = [ 1 3 (x 1 + x + x 3 ), 1 3 (y 1 + y + y 3 )]. 43

9 Funkce má v tomto bodě lokální a tedy i absolutní minimum f(x 0, y 0 ) = 4 9 (x 1 + x + x 3 + y 1 + y + y 3). Že se jedná o jediný extrém zjistíme z toho, že funkce má limitu rovnu, jestliže se alespoň jedna z proměnných se blíží ±. Rovněž i pro diferenciál. řádu v tomto bodě dostaneme d f = 6 dx + 6 dy > 0. Všimněme si, že jsme dostali bod, ve kterém je těžiště tohoto trojúhelníka. Příklad 9. Do čtverce ABCD o straně a vepište čtyřúhelník A B C D takový, že na každé straně čtverce leží jeden vrchol a pro který je součet čtverců velikostí jeho stran minimální. Řešení. D x 3 C x 4 A x 1 A x C y y 4 D B y 3 y 1 B Hledáme tudíž minimum funkce x 1 + x = a, x 3 + x 4 = a, y 1 + y = a, y 3 + y 4 = a, A B = x + y 1 = (a x 1 ) + y 1, B C = y + x 4 = (a y 1 ) + (a x 3 ), C D = x 3 + y 4 = x 3 + (a y 3 ), D A = x 1 + y 3. f(x 1, x 3, y 1, y 3 ) = (a x 1 ) +y 1 +(a y 1 ) +(a x 3 ) +x 3+(a y 3 ) +x 1+y 3. Funkce je definovaná v R 4 a má všude spojité parciální derivace. Lokální a tedy i absolutní extrém může mít pouze ve stacionárních bodech. Pro ně dostaneme soustavu rovnic x 1 = x 1 (a x 1 ) = 4 x 1 a = 0 x 1 = a = x, x 3 = x 3 (a x 3 ) = 4 x 3 a = 0 x 3 = a = x 4, y 1 = y 1 (a y 1 ) = 4 y 1 a = 0 y 1 = a = y, y 3 = y 3 (a y 3 ) = 4 y 3 a = 0 y 3 = a = y 3. 44

10 Hledaným čtyřúhelníkem je čtverec, jehož vrcholy leží ve středech stran původního čtverce. Strana tohoto čtverce má velikost a a tedy je součet čtverců délek stran roven 4 a = a. O tom, že se jedná o minimum se přesvědčíme z diferenciálu. řádu funkce f. Je totiž d f = 4 dx dx dy dy 3 > 0. Příklad 10. Najděte velikosti hran pravidelného hranolu, který má maximální objem při dané velikosti tělesové úhlopříčky d. Řešení. Jestliže si označíme x, y a z velikosti hran hranolu, pak pro jeho objem a velikost tělesové úhlopříčky platí V = x y z, d = x + y + z. Z vazební podmínky vyjádříme proměnnou z ve tvaru z = d x y a po dosazení dostaneme objem hranolu pomocí vzorce V (x, y) = x y d x y. Tato funkce bude mít maximum ve stacionárním bodě, neboť pro mezní hodnoty velikostí hran 0 a d dostaneme, že se objem rovná nule. Pro stacionární body dostaneme soustavu rovnic V x = y d x y x + x y d x y = 0, V y = x d x y y + x y d x y = 0, d x y = x, d x y = y. Jestliže obě rovnice od sebe odečteme dostaneme podmínku pro řešení ve tvaru x = y x = y, když uvážíme, že délka hran musí být kladná. Po dosazení do první z rovnic dostaneme řešení 3x = d x = d

11 Z podmínky x = y a po dosazení do vazební podmínky dostaneme, že hranolem s maximálním objemem bude krychle s délkou hrany a pro její objem dostaneme hodnotu V max = x 3 0 = x 0 = d 3 3 d = 3 9 d3. Příklad 11. Okno má tvar obdélníka k jehož horní straně je přidán půlkruh, který má průměr roven délce této strany. Stanovte rozměry obdélníka tak, aby mělo okno maximální plochu, jestliže má být obvod okna roven hodnotě l. Řešení. Jestliže si označíme x délku vodorovné strany obdélníka a y rozměr jeho svislé strany, pak pro jeho celkovou plochu dostaneme vzorec P = P o + P k = x y + π x 8, když uvážíme, že je průměr přidaného půlkruhu roven x. Vazební podmínka je ve tvaru l = x + y + π x. Z ní můžene vyjádřit třeba rozměr y = 1 (l x (1 + π ) ). Po dosazení do vzorce pro obsah okna získáme funkci P (x) = 1 x l 1 ( x 1 + π ) + π 8 x = l x 1 Pro stacionární body této funkce dostaneme rovnici P (x) = l ( 1 + π ) 4 x = 0 x 0 = ( 1 + π ) 4 l π + 4. Vodorovný rozměr okna se vzhledem k zadané vazební podmínce pohybuje l v intervalu (0, +π ). Protože je P (0) = 0, pak z derivace P (x) dostaneme, že je funkce P (x) rostoucí v intervalu (0, x 0 a klesající pro x > x 0. V nalezeném stacionárním bodě bude mít tedy funkce P (x) absolutní maximum. 46 x.

12 Z vazební podmínky dostaneme i druhý rozměr okna a tedy maximální obsah bude mít okno pro rozměry x 0 = l π + 4, y 0 = l π + 4. Plocha okna v tomto případě bude rovna P max = l π + 4 l π π 4 ( l ) = π + 4 l (4 + π). Příklad 1. Určete rozměry pravidelného hranolu tak, aby měl maximální objem, jestliže je součet délek jeho hran roven a. Řešení. Označíme-li x, y a z délky hran, pak je jejich součet roven a jeho objem a = 4 (x + y + z) V = x y z. Z vazební podmínky pro součet hran můžeme vypočítat velikost hrany z = a 4 x y a po dosazení jeho objem ve tvaru ( ) a V (x, y) = x y 4 x y = a 4 x y x y x y. Funkce má spojité parciální derivace, takže budeme hledat stacionární body ze soustavy V x = a ( ) a 4 y x y y = y 4 x y, V y = a ( ) a 4 x x x y = x 4 x y. Pokud bychom uvažovali řešení x = 0 nebo y = 0 bude objem kvádru roven nule. Maximální hodnota bude tedy v bodě, který je nenulovým řešení soustavy. Je tedy x + y = a 4, x + y = a 4, x = y = z = a 1. Z geometrického významu vidíme, že bude v tomto bodě maximální hodnota objemu. Přesvědčíme se o tom i z diferenciálu. řádu, pro který dostaneme d V = y dx x dy. 47

13 Pro hodnoty x = y = a 1 dostaneme diferenciál ve tvaru d V = a 6 (dx + dy ) < 0, má tedy funkce V v tomto bodě maximální hodnotu V max = ( a 1) 3 = a Příklad 13. Určete rozměry válcové nádoby s daným pláštěm S tak, aby měla maximální objem. Horní podstava se do velikosti pláště nepočítá. je Řešení. Jestliže označíme r poloměr podstavy válce a h jeho výšku, pak Objem válce je dán vzorcem S = π r + π r h. V = π r h. Z vazební podmínky můžeme vyjádřit výšku válce h a po dosazení do vzorce pro objem dostaneme h = S π r V (r) = 1 π r (S r π r3 ). V limitních případech pro r = 0 nebo h = 0 je objem nulový a proto bude maximální v některém ze stacionárních bodů, které dostaneme z rovnice V (r) = 1 (S 3 π r ) = 0 r = S 3 π r 0 = Této hodnotě poloměru odpovídá výška válce h 0 = S π r 0 π r 0 = S 3 π. Pro maximální objem dostaneme hodnotu V max = π S S 3 π 3 π = S S 3 3 π. S 3 π. O tom, že je tato hodnota maximální se můžeme přesvědčit i ze znaménka. derivace objemu. Je V (r) = 3 π r V (r 0 ) = 3 π 48 S 3 π = 3 π S < 0.

14 Příklad 14. Stanovte rozměry pravidelného hranolu, který má povrch S tak, aby měl maximální objem. Řešení. Jestliže si označíme x, y a z délky hran hranolu, pak je jeho povrch roven S = (x y + x z + y z) a pro jeho objem platí V = x y z. Z vazební podmínky můžeme vypočítat velikost hrany z a pro objem hranolu po dosazení dostaneme z = S x y (x + y) V = S x y x y. (x + y) Je-li jedna z hran nulová, je roven nule i objem. Maximální hodnotu bude mít objem ve stacionárním bodě. Jeho souřadnice dostaneme ze soustavy rovnic V x = (S y 4 xy )(x + y) (S xy x y ) = y (S x 4 xy) = 0, (x + y) (x + y) V y = (Sx 4x y)(x + y) (Sx y x y ) = x (S y 4 xy) = 0. (x + y) (x + y) Protože hledáme kladné kořeny dostaneme pro souřadnice stacionárního bodu soustavu x + 4 x y = S y + 4 x y = S x y = 0 x = y > 0. Dosazením do první z rovnic dostaneme S = 6 x x 0 = S 6 = y 0. Po dosazení do vazební podmínky dostaneme i velikost třetí hrany. Je Maximální objem kvádru je roven S = S 3 + z 4 S 6 z 0 = V max = S 6 3. S 6. 49

15 Příklad 15. Vyjádřete kladné číslo p jako součin n kladných činitelů tak, aby byl jejich součet minimální. Řešení. Jestliže si hledané činitele označíme jako x 1, x,..., x n, pak hledáme minimum funkce za podmínky f(x 1, x,..., x n ) = x 1 + x x n x 1. x.... x n = p. Řešení nalezneme metodou Lagrangeových multiplikátorů. Položme F (x 1, x,..., x n ) = x 1 + x x n λ (p x 1. x.... x n ). Hledáme bod a, který je stacionárním bodem funkce F pro nějaké nenulové číslo λ. Pro stacionární bod dostaneme soustavu rovnic Tato soustava má řešení F = 1 + λ p = 0, 1 i n. x i x i x i = 1 λ p, 1 i n. To znamená, že bod a má všechny souřadnixe stejné. Je-li x i = α, 1 i n, pak z vazební podmínky dostaneme α n = p α = n p. K ověření minima funkce v tomto bodě vypočítáme diferenciál. řádu. Derivováním parciálních derivací 1. řádu dostaneme F x i = λ p x, i F x i x k = 0, 1 i, k n, i k. Číslo λ určíme z rovnice pro řešení x i = α = 1 λ p λ = 1 α p a odtud dostaneme pro derivace. řádu vzorce F x i = 1 α 3. 50

16 Po dosazení do vzorce pro diferenciál. řádu ve stacionárním bodě dostaneme jeho vyjádření ve tvaru d F = 1 α 3 n i=1 dx i > 0. Protože je kvadratická forma diferenciálu. řádu pozitivně definitní, má funkce v nalezeném bodě minimum. Příklad 16. Nalezněte elipsu, která má maximální obsah, je-li součet délek jejích hlavních os roven m. Řešení. Označme a a b velikosti poloos elipsy. Potom dostaneme pro její obsah vzorec P = π a b a vazební podmínku ve tvaru (a + b) = m. Úlohu budeme řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů. Položíme F (a, b) = π a b λ (m a b), a + b m = 0. Pro stacionární bod funkce F dostaneme soustavu F a = π b + λ = 0, Jestliže rovnice odečteme, dostaneme rovnici π (a b) = 0 a = b. F b = π a + λ = 0. Dosazením do vazební podmínky získáme hodnotu pro velikosti poloos 4 a = m a = b = m 4. Vlastnost minima v tomto bodě ověříme pomocí diferenciálu. řádu. Pro derivace. řádu máme vzorce F a = F b = 0, F a b = π. Odtud dostaneme diferenciál. řádu ve tvaru d F = π dadb. 51

17 protože je kvadratická forma diferenciálu. řádu indefinitní, musíme provést zúžení této formy. Derivováním vazební podmínky dostaneme da + db = 0 db = da. Po dosazení do diferenciálu. řádu dostaneme, že d F = π da < 0. Protože je tato kvadratická forma negativně definitní má funkce v tomto bodě maximum. Příklad 17. Čtverci o straně a opište čtverec, který má maximální obsah Řešení. D x y yd C A x x A a y x B y B C Trojúhelníky AA D, DD C, CC B a BB A jsou pravoúhlé s přeponou a. Jejich obsahy jsou rovny P t = 1 x y. Pro obsah celého čtverce dostaneme vzorec P = a + 4 P t, tedy P = a + x y. Z Pythagorovy věty plyne podmínka x + y = a. Odtud vyjádříme y = a x, 0 x a a dostaneme vzorec pro obsah čtverce P (x) = a + x a x, x 0, a. Protože má funkce P má spojitou derivace v intervalu (0, a) a P (0) = P (a) = a, bude mít extrém ve stacionárním bodě. Pro něj dostaneme rovnici P (x) = a x x a x = a x a x = 0. Odtud dostaneme hodnotu stacionárního bodu x 0 = a. Pro odpovídající hodnotu y 0 dostaneme, že y 0 = x 0 = a. Po dosazení dostaneme pro obsah čtverce hodnotu P max = a + a = a. Protože jsme dostali jediný stacionární bod a P (0) = P (a) = a < a je to maximální obsah. 5

18 Příklad 18. Na elipse dané rovnicí 4 x + 9 y = 36 nalezněte body, které mají nejmenší a největší vzdálenost od bodu A[1, 0]. Řešení. Protože je funkce x v intervalu (0, ) rostoucí, můžeme hledat extrém čtverce vzdálenosti. Má-li hledaný bod souřadnice (x, y), pak hledáme extrémy funkce f(x, y) = (x 1) + y za podmínky 4 x + 9 y = 36. Z ní vyjádříme y = x a po dosazení dostaneme vzdálenost popsanou vzorcem d(x) = (x 1) x, x 3, 3, neboť má elipsa na ose x poloosu velikosti 3. Funkce d má spojitou derivaci a z ní dostaneme pro stacionární body rovnici d (x) = (x 1) 8 9 x = 10 9 x = 0 x 0 = 9 5. Po dosazení dostaneme pro stacionární bod a krajní body hodnoty vzdálenosti d : ( 9 5 ) = 16 5 ; x = x 0 : d(x 0 ) = ( 9 5 1) x = 3 : d( 3) = ( 3 1) ( 3) = 16; x = 3 : d(3) = (3 1) = 4. Odtud dostaneme, že pro bod ( 3, 0) je vzdálenost maximální a pro body ( 9 5, ±3 15 je minimální. Příklad 19. Na parabole dané rovnicí y = x nalezněte bod, který je nejblíže bodu A[ 1, 5]. Řešení. Protože je funkce x rostoucí v intervalu (0, ), můžeme vyšetřovat minimum druhé mocniny vzdálenosti. Hledáme tudíž minimum funkce f(x, y) = (x + 1) + (y 5) za podmínky y = x. Jestliže z podmínky vyjádříme proměnnou x a dosadíme, dostaneme vzdálenost jako funkci proměnné y. Hledáme tudíž minimum funkce d(y) = (y + 1) + (y 5), y (, ). Funkce d má spojitou derivaci a lim y d(y) = lim y 53 d(y) =.

19 Minimum funkce bude tedy v některém ze stacionárních bodů. Pro ně dostaneme rovnici d (y) = ( y (y + 1) + (y 5) ) = 0 y y 5 = 0. Tato rovnice má řešení y = 1, kterému odpovídá hodnota x = 1. Jestliže vydělíme rovnici faktorem (y 1) dostaneme, že y y 5 = (y 1)( y + y + 5). Kvadratický polynom nemá další reálné kořeny, protože pro diskriminant rovnice dostaneme D = = 16 < 0. Funkce d má jediný stacionární bod a tudíž má v tomto bodě minimum d(1) = 4+16 = 0. Minimální vzdálenost od daného bodu A má naparabole bod X = [1, 1] a Neřešené úlohy. AX = f(1, 1) = 0 = Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = e xy vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = }. [v bodě (1, 1) je lokální maximum]. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = 5x 4y + 6x vzhledem k množině M = {(x, y); x y 1 = 0}. [lokální maximum v bodě (1, 1)] 3. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = e x y (3x + y ) vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 4}. [lokální maxima v bodech (, 0), (, 0), lokální minima v bodech (0, ), (0, )] 4. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x y vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}. [lokální maxima v bodech (1, 0), ( 1, 0), lokální minima v bodech (0, 1), (0, 1)] 5. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = 4x + 3y vzhledem k množině M = {(x, y); xy = 1}. [lokální minimum v bodě ( 3, 3 3 ); lokální maximum v bodě ( 3, 3 3 )] 6. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xy + xz + yz vzhledem k množině M = {(x, y, z); xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0}. [lokální minimum v bodě (1, 1, 1).] 54