Numerická matematika Písemky

Transkript

1 Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva příklady z typových příkladů (jeden za 5 a jeden za 10 bodů) a jedna teoretická otázka za 5 bodů. Příklady za 5 bodů 1. Najděte interpolační polynom (v Lagrangeově tvaru), který interpoluje data x i y i Najděte interpolační polynom (v Newtonově tvaru), který interpoluje data x i y i Sestavte soustavu normálních rovnic pro aproximaci metodou nejmenších čtverců, použijte funkci f (x) = a + be x. 4. Separujte kořeny rovnice: x 2 5 sin(x) 1 = 0 5. Spočítejte první až čtvrtou aproximaci metodou půlení intervalu kořene na intervalu 2, 1 rovnice e x 1 = (x + 2) 3 6. Ověřte předpoklady Newtonovy metody pro kořen na intervalu 9.10 rovnice ln(x 1) 1 x 2 = 0 Příklady za 10 bodů 1. Najděte metodou nejmenších čtverců předpis lineární funkce aproximující data x i y i Najděte metodou nejmenších čtverců předpis funkce f (x) = a + be x, aproximující data x i y i Metodou půlení intervalu najděte řešení rovnice s přesností ε = 10 2 : e x 1 = (x + 2) 3 1

2 4. Newtonovou metodou najděte řešení rovnice s přesností ε = 10 5 : ln(x 1) 1 x 2 = 0 Jedna teoretická otázka (za 5 bodů): 1. Interpolační polynomy. Vysvětlete tři způsoby sestavení. Věta o existenci jediného řešení. 2. Chyba při interpolaci polynomem. Uved te příklad, kdy má interpolační polynom špatné aproximační vlastnosti. 3. Interpolační splajny. 4. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odvození normální soustavy lineárních rovnic. Věta o existenci jediného řešení. 5. Uved te postupy separace kořenů u nelineárních rovnic. 6. Metoda půlení intervalu: vzorec, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 7. Newtonova metoda: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 8. Věta o globální konvergenci Newtonovy metody. 2

3 Písemka č. 2 Dva příklady z typových příkladů (jeden za 5 a jeden za 10 bodů) a jedna teoretická otázka za 5 bodů. Příklady za 5 bodů 1. Převed te soustavu lineárních rovnic na iterační tvar: 2. Jacobiho iterační metodou vypočtěte první až třetí aproximaci x 1 = 1 3 x x x 2 = x x 3 x 3 = 1 3 x Gauss-Seidlovou iterační metodou vypočtěte první až třetí aproximaci x 1 = 1 3 x x x 2 = x x 3 x 3 = 1 3 x Najděte numerické řešení diferenciální rovnice y = y 2 x, y(1) = 1 na intervalu 1, 3. Počítejte pro h = 0.5 a použijte Eulerovu metodu. 5. Najděte numerické řešení diferenciální rovnice y = y 2 x, y(1) = 1 na intervalu 1, 3. Počítejte pro h = 0.5 a použijte metodu Runge-Kutta. 3

4 Příklady za 10 bodů 1. Jacobiho iterační metodou najděte řešení soustavy lineárních rovnic s přesností ε = 10 2 : 2. Gauss-Seidlovou iterační metodou najděte řešení soustavy lineárních rovnic s přesností ε = 10 2 : 3. Spočítejte přibližnou hodnotu integrálu 2 0 x 2 e x2 dx Počítejte s přesností ε = 10 3, použijte složenou lichoběžníkovou formuli. 4. Spočítejte přibližnou hodnotu integrálu 2 0 x 2 e x2 dx Počítejte s přesností ε = 10 3, použijte složenou Simpsonovou formuli. Jedna teoretická otázka: 1. Gaussova eliminační metoda, její fáze a pracnost. 2. LU-rozklad, bez permutační matice, s permutační maticí. 3. Použití LU-rozkladu při řešení lineárních soustav, k výpočtu inverzní matice a determinantu. 4. Maticové normy a číslo podmíněnosti matice. Příklad špatně podmíněné matice. Jak ovlivňuje špatná podmíněnost výpočet? 5. Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Definice a výpočet. 4

5 6. Iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Jacobiova a Gauss-Seidelova. Maticový zápis metod. 7. Odvození jednoduchých a složených Newton-Cotesových vzorců pro numerický výpočet integrálu. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 8. Jak se odvodí chyba při numerické integraci u jednoduchých a složených integračních pravidel? 9. Výpočet integrálu se zadanou přesností: dvojný přepočet, Richardsonova extrapolace. 10. Odvození vzorců numerické derivace. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 5