Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa

Podobné dokumenty
TGH09 - Barvení grafů

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Golayův kód 23,12,7 -kód G 23. rozšířený Golayův kód 24,12,8 -kód G 24. ternární Golayův kód 11,6,5 -kód G 11

U3V Matematika Semestr 1

Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

PROBLÉM ČTYŘ BAREV. Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu?

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Barevnost grafů MFF UK

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

8 Rovinnost a kreslení grafů

Rovinné grafy. In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp

Kreslení grafů na plochy Tomáš Novotný

VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5

10 Přednáška ze

07 Základní pojmy teorie grafů

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Vrcholová barevnost grafu

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

René Grežďo. Vrcholové barvení grafu

VLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1

Hamiltonovské kružnice, stromy, rovinné grafy

Geometrické vyhledávání

Bipartitní grafy. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011

Teorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66

Konvexní obal a množina

Antonín Slavík Katedra didaktiky matematiky MFF UK. 50. výročí KDM MFF UK

Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5

TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1

Graf. Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019

Teorie grafů Jirka Fink

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

H {{u, v} : u,v U u v }

Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016

4 Pojem grafu, ve zkratce

Teorie grafů. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů

Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra

Jan Březina. 7. března 2017

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů. študenti MFF 15. augusta 2008

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

5 Orientované grafy, Toky v sítích

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).

Rovinné grafy Kostra grafu Minimální kostra Toky v sítích Problém maximálního toku v síti. Stromy a kostry. Michal Bulant

Cvičení z Lineární algebry 1

autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy

Copyright 2013 Martin Kaňka;

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie her(povídání ke čtvrté sérii)

Aplikace matematiky. aneb Nedokonalosti dokonalé matematiky

SESTAVENÍ MODELU GEOMETRICKÉHO TĚLESA origami

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

1 Nenulové toky. 1.1 Úvod. 1.2 Definice

5.4.1 Mnohostěny. Předpoklady:

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

8 Přednáška z

CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Optimalizace. Obsah přednášky. DÚ LP - Okružní problém. Lineární optimalizace. DÚ LP - Okružní problém. DÚ LP - Okružní problém

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.

4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení

ROČNÍKOVÁ PRÁCE PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN

Matematický KLOKAN 2006 kategorie Junior

Maturitní témata profilová část

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Poznámka: U pravidelných těles lze sestrojit jejich síť i bez jejich zobrazení v Mongeově

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017

Hranová konzistence. Arc consistency AC. Nejprve se zabýváme binárními CSP. podmínka odpovídá hraně v grafu podmínek

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Metrické vlastnosti v prostoru

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014

Syntetická geometrie I

Problémy třídy Pa N P, převody problémů

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

11 Vzdálenost podprostorů

10 Podgrafy, isomorfismus grafů

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

Pravidelný dvanáctistěn

Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

VE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy

Rozvoj prostorové představivosti

Transkript:

Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa

strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště? Jak nalézt nejkratší cestu v grafu? Jak nalézt minimální kostru v grafu?

Barvení grafu Zobrazení b: U {1,2, k} takové, že pro každé dva sousední uzly u,v platí, že b(u) b(v), nazýváme obarvení grafu Minimální počet barev potřebný pro obarvení grafu (minimální k) nazýváme chromatické číslo grafu a značíme jej χ(g) Aplikace barvení grafu Skladování nebezpečných látek, které se ovlivňují Podávání léků, které nelze kombinovat Plánování procesů, které nemohou probíhat naráz (využívají stejný zdroj) rozvrh hodin, plánování schůzek a jednání,... Alokace registrů při překladu programu intervalové grafy Sudoku Barvení mapy

Vlastnosti χ(g) χ(g) = 1 pro diskrétní graf χ(g) = 2 pro bipartitní graf χ(g) = 2 pro strom χ(g) = 2 pro hyperkrychli χ(g) 3 obsahuje-li graf kružnici liché délky χ(g) 4 pro rovinný graf χ(g) U pro libovolný graf χ(g) = U pro úplný graf χ(g) max {d(u) u U} + 1

Problém čtyř barev Obarvení politické mapy tak, aby žádné dva sousední státy nebyly obarveny stejnou barvou 1852 Francis Guthrie domněnka, že každou mapu lze obarvit 4 barvami 1976 Kenneth Appel, Wolfgang Haken důkaz 1936 různých možností rozdělení mapy dokázali, že to jsou všechny pro každou ukázali, že může být obarvena 4 barvami náročný počítačový výpočet Pěkný důkaz zatím neexistuje Problém rozhodnout, zda danou mapu lze obarvit 3 barvami, je NP-úplný Problém rozhodnout, zda obecný (nerovinný) graf lze obarvit 4 barvami, je NP-úplný

Algoritmy pro barvení grafu Barvení grafu je NP-úplný problém Následující algoritmy nezaručují nalezení optimálního řešení jsou to rychlé algoritmy poskytující relativně dobré řešení

Sekvenční barvení grafu Položme K=0 počet dosud použitých barev Dokud existuje neobarvený uzel Vybereme neobarvený uzel Určíme nejnižší přirozené číslo b, které může být obarvením uzlu a obarvíme jej Je-li b>k, aktualizujeme K

Pravidla pro výběr uzlu Náhodně Nerostoucí posloupnost podle velikosti stupňů nejdříve barvíme uzly s nejvyšším stupněm nakonec barvíme uzly s nejnižším stupněm Pro každý uzel určíme počet barev, které již byly použity k obarvení jeho sousedů vybereme uzel s nejvyšší hodnotou v případě rovnosti volíme ten, který má více neobarvených sousedů Smyslem je zbavit se nejprve nejobtížnějších uzlů

Barvení grafu pomocí nezávislých množin Množina uzlů A se nazývá nezávislá právě tehdy, když neexistuje hrana, která by spojovala dva uzly ležící v množině A Je-li dáno obarvení grafu, pak množina uzlů obarvených stejnou barvou, je nezávislá Algoritmus barvení grafu zvolíme neobarvený uzel u (podobně jako u sekvenčního barvení) určíme největší nezávislou množinu N(u) uzlů obsahující u obarvíme uzly z množiny N(u) novou barvou opakujeme tak dlouho, dokud existují neobarvené uzly

Barvení grafu slepováním uzlů Dokud graf není úplný vyber dva nesousední uzly u a v vybrané uzly nahraď jedním, který bude sousedit se všemi, s nimiž sousedily uzly u a v Obarvi každý uzel úplného grafu jinou barvou Uzly znovu rozděl

Varianty barvení grafu Barvení hran lze převést na barvení uzlů tzv. hranového grafu Barvení stěn lze převést na barvení uzlů tzv. duálního grafu

Platónská tělesa Platónské těleso je pravidelný konvexní mnohostěn z každého vrcholu vychází stejný počet hran všechny stěny tvoří stejný pravidelný mnohoúhelník Čtyřstěn, šestistěn (krychle), osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěn Nemůže jich být více?

Platónská tělesa Zdroj: Wikipedia

Důkaz počtu platónských těles I. V = počet vrcholů S = počet stěn H = počet hran Eulerova věta: V+S = H+2 platí pro všechny grafy, které lze rovinně nakreslit na sféru díky stereografické projekci platí i pro rovinu Důkaz indukcí přes počet stěn S = 1, graf je acyklický, je to strom a tedy H = V 1 Přidání 1 hrany nutně způsobí rozdělení některé stěny Přidání 1 uzlu na některou hranu způsobí její rozdělení

Důkaz počtu platónských těles II. V platónském tělese se v každém vrcholu potkává k n-úhelníků Dostáváme tedy n S = k V n S = 2 H Z velikosti vnitřních úhlů vyplývá, že v 1 bodě se mohou potkat nejvýše 3,4 nebo 5 rovnostranných trojúhelníků 3 čtverce 3 pravidelné pětiúhleníky Vždy tedy platí, že n 3 a k 3

Důkaz počtu platónských těles III. Z Eulerovy věty V+S = 2H a vztahů n S = k V = 2 H dostáváme H = 2nk/(2k+2n-nk) V = 4n/(2k+2n-nk) S = 4k/(2k+2n-nk) Odtud již vyplývají celočíselná řešení soustavy rovnic s parametry n,k