CVIČNÝ TEST 53. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 53 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána funkce f: y = x p, x R {3}, kde p je reálný parametr. x 3 max. 2 body 1.1 Určete hodnotu reálného parametru p tak, aby graf funkce procházel bodem [4, 3]. 1.2 Určete všechny hodnoty reálného parametru p takové, aby funkce f byla na obou intervalech svého definičního oboru klesající. max. 3 body 2.1 Určete, kolik lichých celých čísel se vejde mezi 86 a 294. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. 2.2 Určete součet všech přirozených čísel, která jsou větší nebo rovna 1 a menší nebo rovna a jsou mocninou 3. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Do vrcholů čtvercové mřížky tvořené čtverci o obsahu 1 cm 2, je vkreslen útvar (na obrázku je jeho hranice vyjádřena tučnou čarou). 3 Určete přesně jeho obsah v cm 2. 1 bod 2 Maturita z matematiky 09

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Firma Kocourkov s r. o. vyrábí denně m vegetariánských obědů, které rozváží po městě. Než začne porce rozvážet, musí jednu porci odložit pro případ kontroly Krajskou hygienickou inspekcí. Poté do místní školy rozveze p porcí, ze zbylých porcí třetinu odveze na zemědělský statek. Zbylé porce rozdělí firma rovnoměrně mezi svých n obchodních zástupců, kteří pokračují v prodeji. max. 2 body 4.1 Určete výraz, který popisuje, kolik porcí prodává jeden obchodní zástupce firmy. 4.2 Určete výraz, který popisuje, kolik procent z celkového počtu m vegetariánských obědů denně tvoří porce pro zemědělský statek. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V chráněné dílně balí dárkové balíčky. Do balíčku dávají některý z následujících produktů: ručně upletenou panenku, keramický šperk, voskovou svíčku, foukanou vánoční ozdobu, ručně uháčkovaný náramek a papírové přáníčko. K dispozici mají 8 stejných panenek, 12 totožných šperků, 10 stejných voskových svíček, 10 stejných ozdob, 12 totožných náramků a 8 stejných přáníček. V každém balíčku musí být přáníčko. 1 bod 5 Kolik existuje možností vytvořit dárkový balíček s pěti produkty, z nichž právě jeden bude přáníčko a alespoň jeden bude panenka? Produkty v balíčku se mohou opakovat. 6 Zjednodušte výraz pro x R { 2}: 2x2 4 2x 8. 1 bod Maturita z matematiky 09 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dána dvojice trojúhelníků ABC a BCD, kružnice k, l a přímka p. Platí, že B, C, D l, bod C leží na přímce p, přímka AC je tečnou kružnice l, kružnice k je vepsaná trojúhelníku ABC, bod Q je průsečíkem kružnice k a přímky AB a leží na přímce p, bod S je středem kružnice l a leží na přímce CD. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Trojúhelník ABC je rovnoramenný. 7.2 Trojúhelník ABC je pravoúhlý. 7.3 Trojúhelník BCD je pravoúhlý. 7.4 Přímka AC je rovnoběžná s přímkou BD. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Na číselné ose x je dán bod, pro něhož platí: x 2 = x + 2. Tento bod je právě jedním z bodů zobrazených na číselné ose. 8 Která z možností A E nejlépe určuje tento bod? A) bod A B) bod B C) bod C D) bod D E) bod E 2 body 4 Maturita z matematiky 09

5 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Jsou dány vektory u = (1, 3), v =(1, 2) a body X[ 2, 1], Y[x, y]. Na obrázku jsou znázorněny orientované úsečky zobrazující cestu od bodu X do bodu Y. Orientované úsečky jsou rovnoběžné buď s vektorem u, nebo s vektorem v, a mají vždy s jedním z nich stejnou délku. 9 Která z možností A E určuje souřadnice bodu Y zobrazeného na obrázku? A) Y[4, 3] B) Y[5, 3] C) Y[3, 2] D) Y[5, 2] E) Y[5, 4] 2 body max. 4 body 10 Přiřaďte tělesu ( ) počet jeho vrcholů, stěn a hran (A F), které má pravidelný šestiboký jehlan 10.2 pravidelný osmistěn 10.3 pravidelný pětiboký komolý jehlan 10.4 pravidelný čtyřstěn A) 10 vrcholů, 7 stěn a 15 hran B) 7 vrcholů, 7 stěn a 12 hran C) 6 vrcholů, 8 stěn a 12 hran D) 6 vrcholů, 8 stěn a 8 hran E) 4 vrcholů, 4 stěny a 6 hran F) 4 vrcholy, 4 stěny a 4 hrany KONEC TESTU Maturita z matematiky 09 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána funkce f: y = x p, x R {3}, kde p je reálný parametr. x 3 max. 2 body 1.1 Určete hodnotu reálného parametru p tak, aby graf funkce procházel bodem [4, 3]. Rovnice funkce f: y = x p je předpisem nejspíše lineárně lomené funkce. x 3 Speciální případ nastane pro p = 3, poněvadž poté lze čitatele a jmenovatele zkrátit a jedná se o konstantní funkci. Jejím grafem je přímka s předpisem y = 1. Aby graf funkce procházel bodem [4, 3], musí platit f(4) = 3. 4 p = 3 4 p = 3 p = Řešení: p = Určete všechny hodnoty reálného parametru p takové, aby funkce f byla na obou intervalech svého definičního oboru klesající. Funkce y = 1 pro p = 3 je konstantní a podmínku zadání nesplňuje. Lineárně lomenou funkci f: y = x p x 3, x R {3}, p 3, napřed upravíme tak, abychom její monotónnost lépe popsali. Pro x 3: x p = x 3 p + 3 = x p = p. x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Funkce f bude rostoucí, jestliže výraz 3 p bude záporný. Funkce f je rostoucí pro 3 p < 0 p > 3. Řešení: p > 3 max. 3 body 2.1 Určete, kolik lichých celých čísel se vejde mezi 86 a 294. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Bude se jednat o konečnou aritmetickou posloupnost, jejíž první člen je 85, diference 2 a poslední člen 293. Určíme, kolik členů má. a n = a 1 + (n 1)d n = 1 + d a n a 1 n = ( 85) = Mezi 86 a 294 se nachází 190 lichých celých čísel. Řešení: Maturita z matematiky 09

7 2.2 Určete součet všech přirozených čísel, která jsou větší nebo rovna 1 a menší nebo rovna a jsou mocninou 3. Bude se jednat o konečnou geometrickou posloupnost, jejíž první člen je 1 a kvocient 3. Musíme určit poslední člen této posloupnosti a n 3 x log 3 3 x log x log x 11 Posledním členem posloupnosti bude 3 11 = Určíme, kolik členů má, poté určíme jejich součet. a n = a 1 q n 1 a n = q n 1 log a n a1 a1 = logq n 1 log a n V našem případě: log 311 n = = 1 + log311 = 1 + log log3 log = = 12. Budeme tedy počítat součet jejích 12 členů. s 12 = a q n 1 1 s q = = = log a n a1 = (n 1)logq n = 1 + logq a1 Řešení: VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Do vrcholů čtvercové mřížky tvořené čtverci o obsahu 1 cm 2, je vkreslen útvar (na obrázku je jeho hranice vyjádřena tučnou čarou). 3 Určete přesně jeho obsah v cm 2. 1 bod Maturita z matematiky 09 7

8 Rozdělíme si obrazec například na 5 různých obrazců, pomocí nichž obsah spočteme jednoduše. Strana jednoho čtverce mřížky je 1 cm. Jedná se o čtvrtkruh (I), lichoběžník (II) a tři pravoúhlé trojúhelníky (II, IV a V). Čtvrtkruh má poloměr 2 cm, lichoběžník výšku 1 cm a střední příčku 2 cm. S = S I + S II + S III + S IV + S V = = π ( 2 cm)2 + (1cm) (2 cm) + (2 cm) (3 cm) + (1 cm) (1 cm) + (2 cm) (2 cm) = = (2π ,5 + 2) cm 2 = (2π + 7,5) cm 2 Řešení: (2π + 7,5) cm 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Firma Kocourkov s r. o. vyrábí denně m vegetariánských obědů, které rozváží po městě. Než začne porce rozvážet, musí jednu porci odložit pro případ kontroly Krajskou hygienickou inspekcí. Poté do místní školy rozveze p porcí, ze zbylých porcí třetinu odveze na zemědělský statek. Zbylé porce rozdělí firma rovnoměrně mezi svých n obchodních zástupců, kteří pokračují v prodeji. max. 2 body 4.1 Určete výraz, který popisuje, kolik porcí prodává jeden obchodní zástupce firmy. vyrobeno denně určeno k rozvozu (1 porce na kontrolu) do školy ve firmě po zásobení školy na zemědělský statek ve firmě po zásobení školy a zemědělského statku po rovnoměrném rozdělení připadá na jednoho z n obchodních zástupců m porcí m 1 porcí p porcí m 1 p porcí m 1 p porcí 3 2 m 1 p porcí 3 2 m 1 p porcí 3n Řešení: 2 m 1 p 3n 8 Maturita z matematiky 09

9 4.2 Určete výraz, který popisuje, kolik procent z celkového počtu m vegetariánských obědů denně tvoří porce pro zemědělský statek. podíl (v %) obědů do zemědělského statku na celkovém počtu obědů 100 m 1 p % 3m Řešení: 100 m 1 p 3m VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 V chráněné dílně balí dárkové balíčky. Do balíčku dávají některý z následujících produktů: ručně upletenou panenku, keramický šperk, voskovou svíčku, foukanou vánoční ozdobu, ručně uháčkovaný náramek a papírové přáníčko. K dispozici mají 8 stejných panenek, 12 totožných šperků, 10 stejných voskových svíček, 10 stejných ozdob, 12 totožných náramků a 8 stejných přáníček. V každém balíčku musí být přáníčko. 1 bod 5 Kolik existuje možností vytvořit dárkový balíček s pěti produkty, z nichž právě jeden bude přáníčko a alespoň jeden bude panenka? Produkty v balíčku se mohou opakovat. Zjistíme počet možností vytvořit dárkový balíček s pěti produkty, z nichž právě jeden bude přáníčko a žádný nebude panenka. Hledané možnosti budou pak všechny ostatní z možností, kdy budeme tvořit dárkový balíček s pěti produkty, z nichž právě jeden bude přáníčko. Budeme rozdělovat jen 4 produkty, protože tvoříme pětice a jedno musí být přáníčko a panenku do balení nepočítáme. Jedná se o kombinace s opakováním, tvoříme čtveřice (k = 4) ze 4 prvků (n = 4), přičemž prvky se mohou opakovat. ( n + k 1 k ) ( ) = ( 7 4 ) = 7! 4!3! = = 35 možností Pokud bychom tvořili balíček s pěti produkty, z nichž právě jeden bude přáníčko, a neměli žádných jiných podmínek, tvořili bychom čtveřice (k = 4) z 5 prvků (n = 5). Jedná se opět o kombinace s opakováním. ( n + k 1 k ) ( ) = ( 8 4 ) = 8! 4!4! = = = 70 možností Celkem je tedy = 35 možností vytvořit dárkový balíček s pěti produkty, z nichž právě jeden bude přáníčko a alespoň jeden bude panenka. Řešení: 35 možností Maturita z matematiky 09 9

10 6 Zjednodušte výraz pro x R { 2}: 2x2 4 2x 8. 1 bod Výraz můžeme pro přípustné hodnoty zjednodušovat rozkladem na součin nebo usměrňováním zlomku. 2x 2 4 = 2(x2 2) = 2(x 2)(x + 2) = x + 2 2x 8 2x 2 2 2(x 2) nebo 2x 2 4 = 2x2 4 = 2x2 4 (x + 2) = (2x2 4) (x + 2) = (2x2 4) 2x 8 2x 2 2 2(x 2) (x + 2) 2(x 2 2) 2x 2 4 (x + 2) = x + 2. Řešení: x + 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dána dvojice trojúhelníků ABC a BCD, kružnice k, l a přímka p. Platí, že B, C, D k, bod C leží na přímce p, přímka AC je tečnou kružnice l, kružnice k je vepsaná trojúhelníku ABC, bod Q je průsečíkem kružnice k a přímky AB a leží na přímce p, bod S je středem kružnice l a leží na přímce CD. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Trojúhelník ABC je rovnoramenný. 7.2 Trojúhelník ABC je pravoúhlý. 7.3 Trojúhelník BCD je pravoúhlý. 7.4 Přímka AC je rovnoběžná s přímkou BD. ANO NE 10 Maturita z matematiky 09

11 7.1 Protože kružnice k je vepsaná trojúhelníku ABC a bod Q je průsečíkem kružnice k a přímky AB, je přímka p na přímku AB kolmá. Protože přímka p prochází bodem C, je zároveň osou úhlu ACB a trojúhelník ABC je tedy rovnoramenný. Tvrzení je pravdivé. 7.2 Protože přímka AC je tečnou kružnice l a přímka CD prochází středem S kružnice k, nikoliv přímka BC, je na přímku AC kolmá přímka CD. Konvexní úhel ACD je pravý, úhel ACB je tupý. Protože je trojúhelník ABC rovnoramenný, jsou zbylé dva jeho vnitřní úhly shodné a ostré. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Protože střed S kružnice l leží na úsečce CD a vrchol B trojúhelníka BCD leží na kružnici l, platí Thaletova věta a vnitřní úhel CBD trojúhelníka BCD je pravý. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Protože vnitřní úhel CBD trojúhelníka BCD je pravý, je konvexní úhel CDB ostrý, zatímco úhel ACD je pravý, jak bylo uvedeno dříve. Přímky AC a BD tedy nesvírají s přímkou CB shodné úhly a tak přímky AC a BD nemohou být rovnoběžné. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, NE, ANO, NE VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Na číselné ose x je dán bod, pro něhož platí: x 2 = x + 2. Tento bod je právě jedním z bodů zobrazených na číselné ose. 8 Která z možností A E nejlépe určuje tento bod? A) bod A B) bod B C) bod C D) bod D E) bod E 2 body Maturita z matematiky 09 11

12 Vztah x 2 = x + 2 říká, že vzdálenost bodu x od 2 je stejná, jako vzdálenost od 2. Najdeme-li obě hranice ( 2 a 2), bude hledaný bod x středem úsečky, jejímiž krajními body jsou tyto hranice. Najít 2 nečiní problém, ale 2? 2 je délka úhlopříčky ve čtverci o straně délky 1. Narýsujeme si tedy pravoúhlý trojúhelník o straně délky 1 (volíme jednotku z číselné osy) a přeneseme po kružnici délku její přepony od bodu 0 směrem vpravo po číselné ose. Jakmile určíme obě hranice, pomocí osy úsečky zjistíme, že správným řešením je bod C. Správně je možnost C. Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Jsou dány vektory u = (1, 3), v = (1, 2) a body X[ 2, 1], Y[x, y]. Na obrázku jsou znázorněny orientované úsečky zobrazující cestu od bodu X do bodu Y. Orientované úsečky jsou rovnoběžné buď s vektorem u, nebo s vektorem v, a mají vždy s jedním z nich stejnou délku. 9 Která z možností A E určuje souřadnice bodu Y zobrazeného na obrázku? A) Y[4, 3] B) Y[5, 3] C) Y[3, 2] D) Y[5, 2] E) Y[5, 4] 2 body 12 Maturita z matematiky 09

13 Podle obrázku platí toto: X + 3u u + 4v = Y Nyní dosadíme souřadnice bodů a vektorů a určíme souřadnice bodu Y. [ 2, 1] + 3(1, 3) (1, 3) + 4(1, 2) = [x, y] { = x = y { x = 4 Y[4, 3] y = 3 Správně je tedy možnost A. Řešení: A max. 4 body 10 Přiřaďte tělesu ( ) počet jeho vrcholů, stěn a hran (A F), které má pravidelný šestiboký jehlan 10.2 pravidelný osmistěn 10.3 pravidelný pětiboký komolý jehlan 10.4 pravidelný čtyřstěn A) 10 vrcholů, 7 stěn a 15 hran B) 7 vrcholů, 7 stěn a 12 hran C) 6 vrcholů, 8 stěn a 12 hran D) 6 vrcholů, 8 stěn a 8 hran E) 4 vrcholů, 4 stěny a 6 hran F) 4 vrcholy, 4 stěny a 4 hrany 10.1 Pravidelný šestiboký jehlan má 1 vrchol tělesa a 6 vrcholů šestiúhelníku v podstavě, tj. 7 vrcholů, dále 6 boků a 1 podstavu, tj. 7 stěn. Podle Eulerovy věty o mnohostěnech musí mít tedy (7 + 7) 2 = 12 stěn. Na obrázku je síť tělesa. Řešení: B 10.2 Pravidelný osmistěn je jedno z tzv. Platónových těles. Je tvořen spojením dvou pravidelných čtyřbokých jehlanů, jejichž boční stěny tvoří rovnostranné trojúhelníky. Má 2 tělesové vrcholy a 4 vrcholy společné podstavy jehlanů, tj. 6 vrcholů, každý jehlan má 4, tj. celkem 8 stěn a podle Eulerovy věty tedy (6 + 8) 2 = 12 hran. Ty lze samozřejmě rovněž spočítat. 4 má horní jehlan, 4 dolní jehlan a 4 jsou ve společné podstavě. Řešení: C Maturita z matematiky 09 13

14 10.3 Pravidelný pětiboký komolý jehlan má dvě podstavy tvořené pravidelnými pětiúhelníky, tj. má 10 vrcho lů, protože každé dvojici podstavných hran odpovídá jedna stěna má, tj. celkem 7 stěn, připočítáme-li ještě 2 podstavy. Hrany oddělují boční stěny (těch je 10) a stěny od sebe (těch je 5), tudíž celkem 15. Řešení: A 10.4 Pravidelný čtyřstěn je jehlan se čtyřmi stěnami tvořenými rovnostrannými trojúhelníky. Je rovněž Platónovým tělesem. Má tedy 4 vrcholy, 4 stěny a 6 hran. Řešení: E KONEC TESTU 14 Maturita z matematiky 09

15 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů p = 7 1 bod 1.2 p > 3 1 bod Bude se jednat o konečnou aritmetickou posloupnost, jejíž první člen je 85, diference 2 a poslední člen 293. Určíme, kolik členů má. max. 2 body a n = a 1 + (n 1)d n = 1 + d a n a 1 n = ( 85) = Mezi 86 a 294 se nachází 190 lichých celých čísel. Řešení: bod 3 (2π + 7,5) cm 2 1 bod 4 m 1 p n 1 bod m 1 p 3m 1 bod 5 35 možností 1 bod 6 x bod Maturita z matematiky 09 15

16 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE 8 C 2 body 9 A 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b B 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b C 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b A 10.4 E 16 Maturita z matematiky 09

17 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 2.1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod max. 2 body bod 3 1 bod bod bod 5 1 bod 6 1 bod Maturita z matematiky 09 17

18 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 09