4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení

Transkript

1 4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení

2 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování reklamy) Směšovací problémy Nutriční problém (spec. případ směšovacího problému) Úlohy o dělení materiálu (řezné problémy) Rozvrhování pracovníků Distribuční úlohy (dopravní problém a další) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2

3 12. Distribuční úlohy LP Úkolem celé velké skupiny distribučních úloh je zajistit distribuci (tj. rozdělení) určité homogenní komodity (např. zboží) z jedné oblasti (např. dodavatelé) do druhé oblasti (např. odběratelé). Proměnné: přiřazení jednotky z první skupiny k jednotce z druhé skupiny (např. doprava od daného dodavatele k danému odběrateli), hodnoty určují, zda k přiřazení dojde či ne (0/1) nebo jak intenzivní přiřazení je (množství převáženého zboží) Omezení: kapacity a požadavky Cíl: obvykle minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3

4 12. Distribuční úlohy LP dopravní problém kontejnerový dopravní problém obecný distribuční problém přiřazovací problém úloha o pokrytí okružní dopravní problém výrobně-přepravní problém atd. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4

5 12. Distribuční úlohy LP Liší se od běžných úloh LP svým specifickým matematickým modelem Řada z nich je charakteristická požadavkem celočíselnosti proměnných Řeší se proto specifickými metodami Nejjednodušším reprezentantem je dopravní problém (DP) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5

6 12.1 Dopravní problém (DP) DP řeší distribuci homogenní látky od dodavatelů k odběratelům Je dán: počet dodavatelů m (index i = 1, 2,, m) počet odběratelů n (index j = 1, 2,, n) kapacity dodavatelů a i požadavky odběratelů b j cena (náklady, vzdálenost atd.) za dodání jedné jednotky od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli c ij Kapacity dodavatelů jsou zadány ve stejných jednotkách jako požadavky odběratelů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6

7 12.1 Dopravní problém (DP) Úkol: určit, kolik jednotek dodá každý dodavatel každému odběrateli Cíl: uspokojit požadavky odběratelů tak, aby hodnota stanoveného cíle byla minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7

8 12.1 Příklad - zadání V okolí Mladé Boleslavi působí mimo jiné tři zemědělská družstva: Sever Loukovec, Čistá u Mladé Boleslavi a Luštěnice. Družstva disponují 15, 20 a 25 kombajny. Je potřeba posekat tři pole s obilím, přičemž na první je potřeba poslat 22 kombajnů, na druhé 20 a na třetí 18. Vzdálenosti mezi jednotlivými družstvy a poli jsou uvedeny v tabulce. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8

9 12.1 Příklad - zadání [km] Pole 1 Pole 2 Pole 3 Kapacity Sever Loukovec Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky Pole km Luštěnice Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9

10 4.1 Příklad - proměnné Proměnné označíme x ij Hodnota proměnné x ij určuje množství kombajnů v kusech dodaných i tým dodavatelem (družstvem) j tému odběrateli (poli) Proměnných je m n = 3 3 = 9 Vektor proměnných má složky x = x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23, x 31, x 32, x 33 T Na obrázku byla znázorněna volba náhodně zvolené proměnné x 32 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10

11 4.1 Dopravní problém formulace MM Proměnné v DP označíme x ij (dvojitý index) Hodnota proměnné x ij určuje množství homogenní látky dodané i tým dodavatelem j tému odběrateli Počet proměnných: m n Vektor proměnných má složky x = x 11, x 12,, x 1n, x 21, x 22,, x 2n,, x m1, x m2,, x mn T Předpokládá se rovnost součtu kapacit a součtu požadavků (vyrovnaný DP)* Omezení jsou proto formulována v rovnicích Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11

12 4.1 Příklad matematický model minimalizovat za podmínek: c ij O1 O2 O3 a i D D D b j z = 9x x x 33 x 11 + x 12 + x 13 = 15 x 21 + x 22 + x 23 = 20 x 31 + x 32 + x 33 = 25 x 11 + x 21 + x 31 = 22 x 12 + x 22 + x 32 = 20 x 13 + x 23 + x 33 = 18 x ij O1 O2 O3 a i D1 x 11 x 12 x D2 x 21 x 22 x D3 x 31 x 32 x b j x ij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12

13 4.1 Příklad matematický model minimalizovat z = 9x x x 33 za podmínek: x 11 +x 12 +x 13 = 15 x 21 +x 22 +x 23 = 20 x 31 +x 32 +x 33 = 25 x 11 +x 21 +x 31 = 22 x 12 +x 22 +x 32 = 20 x 13 +x 23 +x 33 = 18 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13

14 4.1 Zvláštnosti MM DP Matice strukturních koeficientů A se skládá pouze z nul a jedniček Vektor strukturních koeficientů proměnné x ij má jedničku na i-tém a j + m-tém místě, ostatní prvky jsou rovny nule Ve vyrovnaném DP je vždy jedno vlastní omezení lineární kombinací ostatních Hodnost rozšířené matice A b vyrovnaného DP je vždy m + n 1 Všechny proměnné, kapacity i požadavky jsou ve stejných jednotkách Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14

15 4.1 Dopravní problém formulace MM Počet omezení DP je m + n m pro dodavatele (řádková omezení, zajišťují kapacitu) x i1 + x i2 + + x in = a i, i = 1, 2,, m n j=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m n pro odběratele (sloupcová omezení, zajišťují požadavky) x 1j + x 2j + + x mj = b j, j = 1, 2,, n m i=1 x ij = b j, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15

16 4.1 Dopravní problém formulace MM Podmínky nezápornosti: x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Účelová funkce: minimalizovat z = c 11 x 11 + c 12 x c mn x mn z = m n i=1 j=1 c ij x ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16

17 4.1 Dopravní problém obecný model minimalizovat za podmínek: m n z = c ij x ij i=1 j=1 n j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17

18 4.1 Dopravní problém formulace MM Každý vyrovnaný dopravní problém m a i = n i=1 j=1 má vždy přípustné řešení i optimální řešení Každý nevyrovnaný dopravní problém m a i i=1 j=1 lze převést na vyrovnaný dopravní problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18 n b j b j

19 4.1 Dopravní problém dopravní tabulka Zejména z důvodu přehlednosti Řádek tabulky odpovídá řádkovému omezení Sloupec tabulky odpovídá sloupcovému omezení Řádky a sloupce vymezují políčka Políčko tabulky odpovídá jedné dopravní cestě mezi dodavatelem a odběratelem, tj. jedné proměnné x ij O j D i c ij x ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19

20 4.1 Příklad dopravní tabulka z = 411 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D x D 2 x7 21 x 23 D x x b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20

21 4.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Každý nevyrovnaný dopravní problém m a i n i=1 j=1 lze převést na vyrovnaný dopravní problém Buď přidáním fiktivního dodavatele Nebo přidáním fiktivního odběratele b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22

22 4.1 Příklad - zadání Předpokládejme nyní, že Pole 3 je již posekané. Všechny ostatní informace zůstávají beze změny. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. [km] Pole 1 Pole 2 Kapacity Sever Loukovec Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky / 60 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23

23 4.1 Příklad fiktivní odběratel c ij O1 O2 a i D D D b j Cenové koeficienty fiktivního odběratele jsou nulové O 1 O 2 F 3 a i D D D b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24

24 4.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Přebytek kapacit nad požadavky m a i > n i=1 j=1 Přidání fiktivního odběratele (sloupec) s požadavkem m b n+1 = a i b j n i=1 j=1 Představuje neodeslané zboží (nevyčerpaná kapacita) b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25

25 4.1 Příklad - zadání Předpokládejme nyní, že oproti původnímu zadání má zemědělské družstvo Sever Loukovec celodružstevní dovolenou a jejich kombajny nemohou sekat. Všechny ostatní informace zůstávají beze změny. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. [km] Pole 1 Pole 2 Pole 3 Kapacity Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky / 45 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26

26 4.1 Příklad fiktivní dodavatel c ij O1 O2 O3 a i D D b j Cenové koeficienty fiktivního dodavatele jsou nulové O 1 O 2 O 3 a i D D F b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27

27 4.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Přebytek požadavků nad kapacitami m a i < n i=1 j=1 Přidání fiktivního dodavatele (řádek) s kapacitou n a m+1 = b j b j m j=1 i=1 Představuje nedodané zboží (nesplněný požadavek) a i Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28

28 4.2 Vlastnosti DP Definice 1: Přípustné řešení DP Přípustné řešení DP je vektor x = (x 11, x 12,, x mn ) T, jehož složky vyhovují všem omezením (vlastním i podmínkám nezápornosti) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29

29 4.2 Vlastnosti DP Věta 1: Každý DP má přípustné řešení. Důkaz: Položme x ij = a i b j K, pro všechna i a j, kde K = m i=1 Ukažme, že takové řešení je přípustné. n a i = j=1 b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30

30 4.2 Vlastnosti DP Důkaz: Položme x ij = a i b j, pro všechna i a j, K kde K = m n i=1 a i = j=1 b j Dosaďme do řádkových omezení: n j=1 x ij = n j=1 n j=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m ai b j K = a n i b K j = a i K K = a i j=1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31

31 Důkaz: 4.2 Vlastnosti DP Totéž pro sloupcová omezení: m i=1 x ij = m i=1 Řešení je přípustné i=1 x ij = b j, j = 1, 2,, n m ai b j K = b n j a K i = b j K K = b j j=1 Nevyrovnaný DP bychom nejprve vyrovnali a dokázali stejně Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32

32 4.2 Vlastnosti DP Definice 2: Základní přípustné řešení DP Základní přípustné řešení DP je přípustné řešení, které má nejvýše (m + n 1) kladných složek. Vektory strukturních koeficientů u kladných složek tvoří lineárně nezávislou soustavu. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33

33 4.2 Vlastnosti DP Věta 2: Každý DP má základní přípustné řešení. Důkaz: Položme x rs = min(a r, b s ), kde a r a b s jsou upravené požadavky a kapacity po vyškrtnutí řádku či sloupce (viz příklad). V posledním kroku vyškrtneme řádek i sloupec. Obsadíme tedy maximálně m + n 1 políček (základních proměnných). Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34

34 4.2 Vlastnosti DP Definice 3: Optimální řešení DP Optimální řešení je přípustné řešení, které minimalizuje účelovou funkci Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35

35 Věta 3: 4.2 Vlastnosti DP Každý DP má optimální řešení. Důkaz: Již jsme ukázali, že každý DP má přípustné řešení. Jedinou možností, jak nemít OŘ, by byla neomezená hodnota účelové funkce. Podmínky nezápornosti však z omezují zdola. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36

36 4.3 Duální problém k DP Duální proměnné přiřazené řádkovým omezením označíme u i Duální proměnné odpovídající sloupcovým omezením označíme v j Počet duálních proměnných je m + n Počet vlastních omezení je m n Vlastní omezení jsou nerovnice typu Účelovou funkci maximalizujeme minimalizovat z = za podmínek: Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37 n j=1 m i=1 m i=1 n j=1 c ij x ij x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n

37 4.3 Příklad duální problém minimalizovat z = 9x x x x x x x x x 33 za podmínek: 1 x x x x x x x x x 33 = 15 0 x x x x x x x x x 33 = 20 0 x x x x x x x x x 33 = 25 1 x x x x x x x x x 33 = 22 0 x x x x x x x x x 33 = 20 0 x x x x x x x x x 33 = 18 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 x ij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38

38 4.3 Příklad duální problém maximalizovat f = 15u u u v v v 3 za podmínek: u 1 + v 1 9 u 1 + v 2 3 u 1 + v 3 2 u 2 + v 1 7 u 2 + v 2 8 u 2 + v 3 4 u 3 + v 1 5 u 3 + v 2 6 u 3 + v 3 11 u i, v j libovolné, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39

39 minimalizovat z = za podmínek: n j=1 m i=1 4.3 Duální problém k DP m i=1 n j=1 c ij x ij x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n maximalizovat f = m i=1 a i u i + n j=1 b j v j za podmínek: u i + v j c ij, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n u i, v j - libovolné Nesymetrický duální problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40

40 4.4 Výchozí řešení DP DP by bylo možné řešit simplexovou metodou A většina softwarů to tak dělá Díky struktuře modelu DP používáme pro ruční výpočty dopravní tabulku a tzv. MODI metodu (modifikovaná distribuční metoda), Ta svým postupem v podstatě odpovídá simplexové metodě v kombinaci s řešením duální úlohy Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41

41 4.4 Výchozí řešení DP 1. krok Nalezení výchozího základního přípustného řešení 2. krok zlepšování řešení až do okamžiku, kdy je nalezeno optimální řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42

42 4.4 Výchozí řešení DP 1. krok Nalezení výchozího základního přípustného řešení Výchozím řešením může být libovolné základní přípustné řešení DP podle definice 2 Výchozí řešení lze vypočítat přímo (není třeba pomocných proměnných) Z řady aproximačních metod si představíme tři typické: metodu severozápadního rohu (SZR) indexní metodu (metoda maticového minima) Vogelovu aproximační metodu (VAM) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43

43 4.4 Výchozí řešení DP Metoda severozápadního rohu (SZR) 1. Vybereme neobsazené políčko, které je nevíce nahoře (sever) a nejvíce vlevo (západ). Tím určíme základní proměnnou - x rs. (Začneme: x 11, r = 1, s = 1, a r = a r, b s = b s ) 2. Hodnotu této základní proměnné určíme x rs = min a r, b s = t 3. Upravíme zbytkovou kapacitu a požadavek: a r = a r t b s = b s t Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44

44 4.4 Výchozí řešení DP Metoda severozápadního rohu (SZR) 4. Pokud a r = 0, vyškrtneme r-tý řádek (tj. ostatní proměnné v řádku jsou nezákladní). 5. Pokud b s = 0, vyškrtneme s-tý sloupec (tj. ostatní proměnné ve sloupci jsou nezákladní). 6. Pokračujeme od bodu 1. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45

45 4.4 Výchozí řešení DP Metoda severozápadního rohu (SZR) Obsazujeme, dokud r < m a s < n Obsadíme tak m + n 2 políček (základních proměnných) Poslední políčko obsadíme zbytkovou kapacitou (a zbytkovým požadavkem): x mn = t = a m = b n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46

46 4.4 Příklad VŘ - SZR z = 528 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D x 11 D x x 22 D x b j x18 33 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47

47 4.4 Výchozí řešení DP Metoda maticového minima indexní (IND) 1. Obsazujeme vždy neobsazené políčko s nejnižší cenou. Tím určíme základní proměnnou - x rs. Další postup je analogický s postupem u metody severozápadního rohu 2. Určíme hodnotu vybrané základní proměnné podle bodu 2 3. Vypočteme zbytkové kapacity a požadavky podle bodu Vyškrtneme řádek či sloupec analogicky bodům 4 a Vracíme se k bodu 1 tohoto algoritmu. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48

48 4.4 Výchozí řešení DP Metoda maticového minima indexní (IND) Pokud se stane, že máme více políček s minimální cenou: Obsadíme políčko s vyšší možnou hodnotou proměnné (t) Tzn., že obsadíme políčko s minimální cenou, do kterého se vejde nejvíce Je li např. c 14 = 1 a x 14 = min(100, 200) = 100 a c 42 = 1 a x 42 = min(300, 200) = 200, obsadíme políčko proměnné x 42 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49

49 4.4 Výchozí řešení DP Metoda maticového minima indexní (IND) Poznámky: V posledním řádku či sloupci můžeme políčka obsazovat již v libovolném pořadí Máme-li model s fiktivním dodavatelem či odběratelem, jsou ceny fiktivních proměnných nulové Tyto proměnné obsazujeme až nakonec Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50

50 4.4 Příklad VŘ - IND z = 306 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D 1 15 x D 2 x17 23 x3 23 D x 31 x b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51

51 4.4 Výchozí řešení DP Vogelova aproximační metoda (VAM) 1. V každém řádku a sloupci vypočteme rozdíl (diferenci) dvou nejnižších cen u neobsazených políček (2. nejnižší cena mínus nejnižší cena) 2. Ze všech takto vypočtených diferencí najdeme nejvyšší (největší rozdíl) tím identifikujeme řádek či sloupec. 3. V identifikovaném řádku nebo sloupci vybereme políčko s nejnižší cenou. Tím určíme základní proměnnou - x rs. 1. min c ij 2. max d 3. min c ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 52

52 4.4 Výchozí řešení DP Vogelova aproximační metoda (VAM) Další postup je analogický s postupem u metody severozápadního rohu 4. Určíme hodnotu vybrané základní proměnné podle bodu 2 5. Vypočteme zbytkové kapacity a požadavky podle bodu 3 6. Vyškrtneme řádek či sloupec analogicky bodům 4 a 5 7. Vracíme se k bodu 1 tohoto algoritmu. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 53

53 4.4 Výchozí řešení DP Vogelova aproximační metoda (VAM) Pokud se stane, že máme více políček s maximální diferencí: Vybereme teoreticky obsazované políčko (kandidát) pro každou maximální diferenci Následně obsadíme to políčko, která má nejnižší cenu Pokud by i tak bylo kandidátů více, vybereme to s vyšší možnou hodnotou proměnné (t) Tzn., že obsadíme políčko s maximální diferencí, které má nejnižší cenu (příp. do kterého se vejde nejvíce) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54

54 4.4 Výchozí řešení DP Vogelova aproximační metoda (VAM) Poznámky: Vyškrtneme-li řádek, stačí přepočítat jen sloupcové rozdíly Vyškrtneme-li sloupec, stačí přepočítat jen řádkové rozdíly V posledním řádku či sloupci můžeme políčka obsazovat již v libovolném pořadí Máme-li model s fiktivním dodavatelem či odběratelem, jsou ceny fiktivních proměnných nulové Tyto proměnné obsazujeme klasicky podle algoritmu VAM, považujeme je za proměnné s nejnižší cenou Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55

55 4.4 Příklad VŘ - VAM O j c ij D i x ij c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D x D D 3 b j d = 1 20 d = 3 25 d = 1 d = 2 d = 3 d = 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56

56 4.4 Příklad VŘ - VAM O j c ij D i x ij c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D 1 x D D 3 18 x 23 b j d = 3 25 d = 1 d = 2 d = 32 d = 27 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 57

57 4.4 Příklad VŘ - VAM O j c ij D i x ij c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D 1 x15 12 D D x b j d = 31 x d = 1 d = 2 d = 32 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 58

58 4.4 Příklad VŘ - VAM z = 261 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D 1 x15 12 D x 23 D x 31 x b j x Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59

59 Detaily k přednášce: skripta, kapitola 6 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 60