Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení se s matematickým popisem dopravního proudu, Zpracování dat s dopravních měření a vytvoření jednoduchých matematických modelů různých dopravních situacích. 1 Úvod V této práci se zabýváme studiem základních matematických a fyzikálních vlastností souboru vozidel pohybujících se uvnitř rozsáhlého dopravního systému. V projektu byla použita data naměřená na evropských silnic pomocí magnetických indukčních smyček. Cílem bylo vlastnosti souboru teoreticky popsat, navrhnout a poté testovat jednoduchý matematický dopravní model a jeho výsledky porovnat se skutečným dopravním systémem. 2 Zpracování fyzikálních měření Pro obecnější představu o naměřených datech používáme aritmetický průměr z naměřených dat. Samotná průměrná hodnota jevu není ovšem dostatečným popisem. Proto zavádíme tzv. průměrnou odchylku. Která nám popisuje jak se moc se jednotlivé údaje lišily od vypočítaného průměru. Tedy uvádí jak moc se měřené hodnoty jednotlivých vozidel od sebe navzájem liší. Data s kterými jsme pracovali nám udávala přímo délku vozidel, jejich rychlost a čas průniku předního nárazníku vozidla měřícím bodem. Ostatní veličiny bylo nutné dopočítat. 3 Zkoumané jevy 3.1 Lokální charakteristiky Lokální charakteristiky dopravního proudu jsou veličiny, kterými lze popsat každé jednotlivé vozidlo zvlášť. 3.1.1 Délka vozidel v - Délka vozidel byla v naměřených datech, nebylo třeba ji jinak získávat
3.1.1.1 Průměrná délka vozidel - - udává součet délek l všech vozidel vydělený jejich počtem N. 3.1.1.2. Průměrná odchylka od průměrné délky vozidel - - je součet všech absolutních hodnot rozdílů délek l jednotlivých vozidel a průměrné délky vozidel vydělený počtem vozidel N. 3.1.2 Rychlost vozidel v - Rychlost vozidel byla také v naměřených datech, nebylo ji tedy třeba dopočítávat 3.1.2.1 Průměrná rychlost vozidel - - je součet rychlostí v všech vozidel vydělený jejich počtem N. 3.1.2.2 Průměrná odchylka od průměrné rychlosti vozidel - - je součet všech absolutních hodnot rozdílů rychlostí v jednotlivých vozidel a průměrné rychlosti vozidel vydělený počtem vozidel N. 3.1.3 Časový odstup mezi i-tým a (i-1)-tým vozidlem - - Určíme tak, že od času, kdy bylo i-té vozidlo zaznamenáno detektorem, odečteme čas, kdy bylo vozidlo i-1 zaznamenáno detektorem, ovšem musíme ještě odečíst čas, za který vozidlo i-1 ujede vzdálenost rovnou své délce (tedy kdy zadní část vozidla projede detektorem) - jeho délku vydělíme jeho rychlostí. Je zde ovšem nutný převod jednotek z km/h na m/s (děleno 3,6). Pozn. t 1 časový odstup mezi předním nárazníkem druhého vozidla a zadním nárazníkem prvního vozidla t 2 časový odstup mezi předním nárazníkem třetího vozidla a zadním nárazníkem druhého vozidla
3.1.3.1 Průměrná hodnota časových odstupů mezi vozidly - - Určíme tak, že sečteme všechny časové odstupy mezi vozidly (začínáme od druhého vozidla, protože časových odstupů je o jeden méně než vozidel a prvním vozidlem, které před sebou má časový odstup od jiného vozidla, je druhé vozidlo). Součet časových odstupů vydělíme počtem měření N-1, protože s měřením časových odstupů začínáme u druhého vozidla a končíme u N-tého. 3.1.3.2 Průměrná odchylka časových odstupů mezi vozidly - Představuje průměrnou hodnotu absolutních rozdílů, kterou určíme sečtením všech absolutních rozdílů časového odstupu a průměrného časového odstupu. Součet vydělíme počtem měření, tzn. : tzn. : 3.1.4 Čistá vzdálenost mezi vozidly - r i Určíme použitím předchozího výpočtu časového odstupu mezi i-tým a i-1-tým vozidlem. Tento vynásobíme rychlostí i-tého vozidla, kterou převedeme na z km/h na m/s. Pozn. r 1 vzdálenost mezi předním nárazníkem druhého vozidla a zadním nárazníkem prvního vozidla r 2 vzdálenost mezi předním nárazníkem třetího vozidla a zadním nárazníkem druhého vozidla 3.1.4.1 Průměrná čistá vzdálenost mezi vozidly - Podobně jako u průměrné hodnoty časových odstupů - sečteme všechny čisté vzdálenosti mezi vozidly r i a vydělíme počtem měření N-1.
Pozn. čistá vzdálenost vzdálenost mezi zadním nárazníkem vozidla a předním nárazníkem vozidla jedoucího za ním 3.1.4.1 Průměrná odchylka čistých vzdáleností mezi vozidly - Určíme ji tak, že sečteme všechny absolutní hodnoty rozdílů čistých vzdáleností r i a průměrnéčisté vzdálenost mezi vozidly a zase vydělíme počtem měření, tzn. : 3.2 Globální charakteristiky dopravního proudu Globální charakteristiky dopravního proudu jsou veličiny, kterými nelze popsat každé jednotlivé vozidlo zvlášť. Vztahují se pouze k většímu souboru dat. 3.2.1 Hustota provozu - je definována vztahem kde L označuje délku komunikace a N počet vozidel na komunikaci udává tedy počet vozidel na kilometr jednotka veh/km (z angličtiny vehicle vozidlo) Z nám známých veličin (délka vozidel, rychlost vozidel, rozestupy mezi vozidly, počet vozidel) vytvoříme vzorec pro výpočet hustoty provozu tak, že počet vozidel N vydělíme součtem délek všech vozidel a rozestupů všech vozidel (viz dříve). Hodnoty rychlosti jsou zadány v jednotkách km/ h, délky vozidel a rozestupů mezi nimi jsou zadány v metrech. Abychom získali výsledek v jednotkách veh/km, provedeme převod jednotek. Vzorec: 3.2.2 Dopravní tok - J je definován vztahem kde T představuje dobu (v hodinách), po níž detektor zaznamenával průjezdy a N počet vozidel, které za uvedenou dobu detektor zaznamenal udává tedy počet vozidel, které projedou vybraným místem za hodinu jednotka veh/h Se zadanými veličinami vytvoříme vzorec pro výpočet dopravního toku tak, že počet vozidel N vydělíme celkovým časem měření, tj. rozdíl času příjezdu posledního vozidla a času příjezdu prvního vozidla (t N -t 1 ). Jelikož čas měření je zadán v sekundách, je ve vzorci navíc převod jednotek ze sekund na hodiny, aby výslednou jednotkou bylo veh/h. Vzorec:
4 Grafické zpracování měření - pro zobrazení naměřených dat používáme histogramu, kdy na hodnoty jednotlivých jevů (rychlost a délka vozidel) jsou zobrazeni na vodorovné ose a absolutní četnost (počet vozidel), relativní četnost (absolutní četnost podělená počtem vozidel), nebo hustota pravděpodobnosti (viz níže) jsou naneseny na svislou osu. Výška jednotlivých sloupců je úměrná počtu případů, kdy hodnota zkoumané veličiny spadá do příslušné kategorie (intervalu) na ose x. Tuto šířku sloupce označujeme d v. Při zobrazení absolutní četnosti, relativní četnosti a hustoty pravděpodobnosti v histogramu vzniknou tvarově stejné grafy, ale s různým měřítkem. d V Obr. 1: Histogram rozdělení počtu vozidel (absolutní četmost) v závislosti na jejich rychlosti, d v = 0,4 km/h 4.1 Absolutní četnost - počet vozidel součet absolutních četností je roven počtu vozidel 4.2 Relativní četnost - rč i je podílem absolutní četnosti a celkového počtu vozidel. Platí: (Jedná se o tzv. normovací podmínku.) tzn. rč i є <0,1> - tzn. pravděpodobnost vyjádřená v procentech nabývá hodnot 0% - 100%. 4.3 Hustota pravděpodobnosti odpovídá podílu relativní četnost rč i a d v. Hustota pravděpodobnosti hp i definujeme vzorcem. Normalizace pravděpodobnosti: a zároveň, tzn. - pravděpodobnost, že rychlost vozidla bude v rozmezí od nuly do nekonečna je rovna 100%
Obr. 1: Histogram rozdělení počtu (absolutní četnost) vozidel v závislosti na jejich rychlosti, d v = 0,4 km/h Obr. 2: Histogram hustoty pravděpodobnosti jednotlivých kategorií rychlosti, d v = 0,4 km/h
5 Buněčný dopravní model - buněčný dopravní model spočívá v tom, že silnici rozdělíme do jakýchsi buněk, do každé buňky lze umístit právě jedno vozidlo (tedy ne dvě, ale ani část vozidla vozidlo musí být v buňce celé). Dále je určena nějaká maximální rychlost rychlost jedna znamená v příštím kroku posunutí vozidla o jednu buňku vpřed. Pohyb v modelu se provádí pomocí následujícího postupu: 1. pokud je aktuální rychlost menší než maximální zvýší se rychlost o jedna 2. zjistí se počet volných buněk před vozidlem (tj. pozice předcházejícího vozidla pozice aktuálního vozidla) 3. pokud je rychlost větší než tato mezera je snížena na velikost této mezery 4. následuje pohyb všech vozidel s nastavenou rychlostí - toto celé se opakuje - dále umisťujeme mezi krok 3 a 4 tzv. náhodný faktor tj., že rychlost vozidla se s 50% pravděpodobností sníží o jedna Po rozjetí modelu se nastaví určitá buňka jako detektor a zaznamenává průjezdy vozidel za urřitý počet kroků. Tím lze vypočítat dopravní tok. S naměřených dopravních toků přiřazených k hustotě dopravy (záleží na počtu vozů umístěných do modelu) sestavíme graf. Obr. 3: Graf závislosti Dopravního toku na hustotě. (Tok počet vozidel za jeden krok, Hustota počet vozidel dělený počtem buněk) 6 Shrnutí Naše modely jeví mnoho podobných rysů skutečným měřením. Hodláme dále pokračovat v této práci a navrhnout další modely popisující i složitější situace např. dvouproudá silnice, křižovatka, silnice s možností předjíždění a další.
Poděkování - vedoucímu práce Mgr. Milanovi Krbálkovi, Ph.D. - učiteli matematiky RNDr. Stanislavovi Mácovi - Fakultě jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT