Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

Transkript

1 Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený zlomek i původní zlomek představují totéž číslo znázorněné na číselné ose mají stejnou hodnotu Jeden zlomek můžeme rozšířit několika způsoby: zlomek jsme rozšířili zlomek jsme rozšířili 0 Abychom poznali, jakým číslem jsme daný zlomek rozšířili, můžeme toto číslo poznačit nad znak rovná se: 0 Krácení vydělení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly (opak rozšiřování) : : zlomek můžeme krátit více způsoby (mohli jsme začít krátit,,,, ) pokud čitatel a jmenovatel už nejde krátit (jsou to navzájem nesoudělná čísla), řekneme, že je zlomek v základním tvaru Krácením se hodnota zlomku nemění na číselné ose leží na stejném místě jako původní zlomek

2 Porovnávání zlomků, smíšená čísla, desetinné zlomky Smíšená čísla čísla zapsaná pomocí přirozeného čísla a zlomku Každý zlomek větší než jedna (nepravý zlomek) lze převést na smíšené číslo a každé smíšené číslo jde převést na zlomek Jak převádíme zlomek na smíšené číslo? Jmenovatel zůstane stejný! : ( zb ) Jak převedeme smíšené číslo na zlomek? Porovnávání zlomků a) se stejnými čitateli > > Která z označených částí je největší? Pokud mají zlomky stejné čitatele, tak ten zlomek, který má menší jmenovatel, je větší zlomek b) se stejnými jmenovateli > Která z označených částí je největší? Pokud mají zlomky stejné jmenovatele, tak ten zlomek, který má větší čitatel, je větší zlomek (víc stejných dílků)

3 c) s různými čitateli a jmenovateli Abychom mohli porovnat zlomky s různými čitateli a jmenovateli, rozšíříme je (popř zkrátíme) na zlomky se stejnými jmenovateli Pak už bude stačit jen porovnat čitatele Ten zlomek, který bude mít větší čitatel, bude větší Pokud druhý zlomek rozšíříme, dostaneme u obou zlomků stejné jmenovatele Ve většině případů se budou upravovat oba zlomky! a) b)??? > společný jmenovatel bude (jsou to čísla nesoudělná) < společný jmenovatel bude, ta je násobkem i (jsou to čísla soudělná, proto najdeme i menší společný jmenovatel než je součin čísel 0) > Desetinné zlomky Jsou to zlomky, které mají ve jmenovateli 0, 00, 000, 0000, Tyto zlomky jde jednoduše napsat i jako desetinné číslo 0, 0, 0,00, Některé zlomky jdou na desetinné převést, jsou to ty, které mají ve jmenovateli: ( 0) ( 0000) ( 00) 0 (0 00) ( 0) ( 00) ( 000) 0 (0 000) Některé zlomky na desetinné převést nejdou Jsou to ty, které mají ve jmenovateli násobky,,,,

4 Sčítání zlomků a) se stejnými jmenovateli Zlomky se stejnými jmenovateli sečteme tak, že sečteme jejich čitatele a jmenovatele opíšeme b) s různými jmenovateli Abychom mohli sečíst zlomky s různými jmenovateli, musíme je nejprve rozšířit (popř zkrátit) na zlomky se stejnými jmenovateli Pak už jen sečteme čitatele Postup: Společný jmenovatel bude (jde vydělit i ), tedy první zlomek opíšeme a druhý rozšíříme Po sečtení se může stát, že výsledek jde převést na smíšené číslo nebo zkrátit Pokud ano, uděláme to c) sčítání smíšených čísel Smíšená čísla můžeme sčítat dvojím způsobem: smíšená čísla převedeme na nepravé zlomky, najdeme stejného jmenovatele a pak sečteme sečteme zvlášť celé části a zvlášť zlomky, u nich musíme určit stejné jmenovatele a pak sečíst

5 Odčítání zlomků Při odčítání postupujeme podobným způsobem jako při sčítání: a) Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli b) s různými jmenovateli Zlomky se stejnými jmenovateli odečteme tak, že odečteme jejich čitatele a jmenovatele opíšeme Abychom mohli odečíst zlomky s různými jmenovateli, musíme je nejprve rozšířit (popř zkrátit) na zlomky se stejnými jmenovateli Pak už jen odečteme čitatele Postup: Společný jmenovatel bude (jde vydělit i ), tedy první zlomek opíšeme a druhý rozšíříme Pak už můžeme čitatele odečíst od sebe c) odčítání smíšených čísel smíšená čísla převedeme na nepravé zlomky najdeme stejného jmenovatele odečteme pokud jde jmenovatel zkrátit nebo převést na smíšené číslo, uděláme to

6 Násobení zlomků a) Násobení zlomku přirozeným číslem Zlomek vynásobíme přirozeným číslem tak, že tímto číslem vynásobíme čitatele a jmenovatele opíšeme Využití: Např při výpočtech sedmi devítin ze, počtu minut rovnajících se třem desetinám hodiny, b) Násobení zlomku zlomkem Zlomky násobíme tak, že vynásobíme čitatel čitatelem a jmenovatel jmenovatelem 0 Při násobení můžeme zlomky taky nejdříve krátit, výpočet pak bude jednodušší budeme násobit menší čísla Vždy se krátí čitatel se jmenovatelem, a to buď u jednoho zlomku nebo můžeme krátit čitatel jednoho zlomku a jmenovatel druhého zlomku Kratší zápis nebudeme psát, kterým číslem krátíme (dělíme), čísla přeškrtneme a nad ně si už napíšeme výsledek po vydělení, pak mezi sebou vynásobíme už upravené čísla I násobení přirozeným číslem můžeme převést na násobení zlomků, z přirozeného čísla uděláme zlomek se jmenovatel jedna Vidíme tak lépe, která čísla můžeme mezi sebou krátit : : 0 c) Násobení smíšených čísel Smíšené číslo si převedeme na zlomek a postupujeme úplně stejně Stejně tak si můžeme i přirozené číslo převést na zlomek jmenovatelem bude jednička 0 0 0

7 Dělení zlomků a) převrácený zlomek Převrácený zlomek k danému zlomku získáme tak, že zaměníme čitatele a jmenovatele: původní zlomek převrácený zlomek b) dělení zlomku přirozeným číslem Zlomek přirozeným číslem vydělíme tak, že z přirozeného čísla uděláme zlomek se jmenovatelem jedna, najdeme k němu převrácený zlomek a tím vynásobíme daný zlomek : : c) dělení zlomku zlomkem Zlomek dělíme zlomkem tak, že jej vynásobíme převráceným zlomkem dělitele (číslo zlomek, kterým dělíme) : : krátíme Pokud se po přepisu dělení na násobení dají zlomky krátit, krátíme, abychom měli menší čísla Pokud si toho nevšimneme, musíme zkrátit výsledek d) dělení smíšených čísel Smíšené číslo si převedeme na zlomek a postupujeme úplně stejně : : krátíme

8 Složené zlomky Složené zlomky jsou takové zlomky, které mají v čitateli nebo jmenovateli další zlomek (nebo v čitateli i jmenovateli) Např: vedlejší zlomková čára hlavní zlomková čára vedlejší zlomková čára tento zlomek je dole, znamená to, že jím dělíme ten vrchní zlomek, proto se to při výpočtech přepisuje a počítá následujícím způsobem: : vždy čitatel dělíme jmenovatelem, a to pak převádíme na násobení pro zrychlení můžeme zrovna psát, že čitatel násobíme převráceným zlomkem ze jmenovatele pokud půjde krátit, krátíme!!!! pokud je místo jednoho ze zlomků jen přirozené číslo, přepíšeme si ho na zlomek: pokud je v čitateli nebo jmenovateli smíšené číslo nebo desetinné číslo, převedeme si to nejprve na zlomek a pak pokračujeme stejně pokud je v čitateli nebo jmenovateli nějaká matematická operace (sčítání, odčítání, ), nejprve ji vypočítáme a teprve pak pokračujeme jako v prvním příkladě např: krátíme

9 Záporná desetinná čísla a zlomky Zatím jsme pracovali s přirozenými čísly, ty jsme doplnili o nulu a záporná čísla Pokud k nim přidáme ještě všechny zlomky a desetinná čísla kladné i záporné, dostaneme množinu čísel, které nazveme čísla racionální Q Jak převádíme desetinná čísla na zlomky a naopak? převedení zlomku na desetinné číslo: - jak? pomocí desetinných zlomků 0, 0 - jak jinak? vydělím čitatel jmenovatelem výsledek může být: o bezezbytku buď celé číslo nebo číslo s konečným počtem desetinných míst např: : :, :, o se zbytkem i po dostatečně dlouhém dělení pořád vychází zbytek, za desetinnou čárkou se mi však opakuje neustále stejná číslice nebo skupina číslic, mluvíme o periodických číslech a opakující číslice nebo skupina číslic se nazývá perioda Při zápisu takového desetinného čísla nad periodou zapisujeme pruh např:,, 0, 0, 0, 0, záporné zlomky se převádí na desetinná čísla úplně stejně, jen se navíc před toto číslo píše znaménko mínus - periodická čísla obvykle zaokrouhlujeme: např: 0, & 0 na celky 0, & 0, na desetiny ( rozhoduje o tomčíslice na pozici setin) 0, & 0, na setiny ( rozhoduje o tomčíslice na pozici tisícin) při dělení musíme vždy vydělit víc o jedno desetinné místo, abychom mohli správně zaokrouhlit!!! převedení desetinného čísla na zlomek: - jak? číslice před desetinnou čárkou necháme před zlomkem jako velké číslo, číslice za desetinnou čárkou napíšeme do čitatele a do jmenovatele píšeme 0, 00, 000, podle počtu desetinných míst v desetinném čísle např:, 0 0,

10 - a jak u periodických čísel? ukážeme si to na příkladě: 0,? 0,,,000 x 0x x vynásobíme číslo tak, aby se celá perioda dostala před desetinnou čárku teď čísla od sebe odečteme (v tomto případě od desetinásobku odečtu jednonásobek, zbude mi devítinásobek a odsud již získám hledaný zlomek) 0,?,,000 0, x x 00x,?,,, x 0x 00x Racionální čísla jsou tedy všechna čísla, která dokážeme napsat ve tvaru zlomku Ty, které jako zlomek zapsat nedokážeme, patří do jiné skupiny čísel

11 Porovnávání racionálních čísel Mezi racionální čísla patří všechny celá čísla, kladné a záporné zlomky, kladné a záporné desetinné čísla Abychom je mohli mezi sebou navzájem porovnat, musíme je převést na jeden typ čísel, například zlomky na desetinné čísla A pak jen porovnáváme desetinné čísla mezi sebou Nebo můžeme všechny čísla převést na zlomky se stejným jmenovatelem a pak porovnáme jejich čitatele Přitom platí: Číslo, které je na číselné ose více nalevo, je menší < 0, < 0, Zlomky jsme se učili porovnávat tak, že je převedeme na stejný jmenovatel a podle čitatele určíme, který ze zlomků je větší Kladné číslo je vždy větší než záporné číslo < Jak porovnáme záporné čísla? Stejně jako se to dělá u celých čísel, větší je to číslo, které je blíže k nule na číselné ose!! Proč? Znaménko mínus si můžeme přidat do čitatele Porovnáme tedy čísla - a - Větší je -!!! (Představte si to jako u teploměru, kdy je tepleji, při - nebo -?) Co je větší? 0, nebo Jsou tedy dvě možnosti, jak to zjistit: převedeme zlomek na desetinné číslo: : 0, - 0, < - 0, převedeme desetinné číslo na zlomek a najdeme společný jmenovatel: 0, < - proto < 0,

12 Sčítání a odčítání racionálních čísel Při sčítání a odčítání racionálních čísel postupujeme stejným způsobem jako u čísel celých Při sčítání a odčítání desetinných čísel postupujeme tedy následovně: a) stejné znaménka u čísel sečtěme absolutní hodnoty čísel a k výsledku připíšeme stejné znaménko, jako mají obě čísla např:,,, (,) (,0),,0, (- ) (-,0) - -,0 -,0-0,, -, b) různé znaménka u čísel odečteme absolutní hodnoty čísel a k výsledku připíšeme znaménko, které je u čísla s větší absolutní hodnotou např: -,,, (- ) - (-,) -, -, (,) - (,),, -,, (- 0,), 0, 0, -, (-,) -,, -, -, ( -,) -,, 0, Pokud nezvládneme sčítat a odčítat zpaměti, můžeme si daná čísla napsat pod sebe Při sčítání a odčítání zlomků postupujeme stejným způsobem, jediný rozdíl je v tom, že si zlomky musíme nejprve převést na stejné jmenovatele: a) Stejné znaménka u zlomků se stejným jmenovatelem sečtu čitatele a připíšu k výsledku stejné znaménko b) Různé znaménka u zlomků se stejným jmenovatelem odečtu čitatele a připíšu k výsledku znaménko, které je u zlomku s větším čitatelem

13 Násobení a dělení racionálních čísel Při násobení a dělení racionálních čísel postupujeme stejně jako u celých čísel a dodržujeme jednoduché pravidlo: - nejprve mezi sebou vynásobíme samotná čísla (bez znamének) - pak se podíváme na znaménka a k výsledku připíšeme takové znaménko, které vyhovuje následujícímu: () () (-) (-) () (-) - (-) () - () : () (-) : (-) () : (-) - (-) : () - Při násobení desetinných čísel můžeme si čísla napsat někam jinam pod sebe a vynásobit, no a výsledek pak přespat a připsat k němu správné znaménko Při dělení postupujeme podobně 0,(,) 0,,(,) 0,0,:0,0 0 0,:( ) 0,0 Při násobení zlomků využíváme toho, že můžeme krátit do kříže (čitatel se jmenovatelem) Dělení zlomků nejprve přepisujeme jako násobení dělenec (ten první zlomek) zůstává stejný a dělitel je převrácený zlomek : 0 zkrátíme zlomky zkrátíme zlomky Pokud násobíme a dělíme mezi sebou desetinné čísla a zlomky, je dobré si buď zlomek převést na desetinné číslo (pozor nemůže se zaokrouhlit, zlomek musí jít převést na desetinné číslo bezezbytku), nebo desetinné číslo převedeme na zlomek 0, : 0 zkrátíme zlomky a