INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd University Karlovy OPCE Studijní text č. k předmětu Nástroje finančních trhů Doc. Ing. Oldřich Dědek CSc.
A. MECHANIKA OPČNÍCH TRHŮ 1. Základní pojmy Finanční opce (option) je cenný papír, jehož zakoupením držitel opce získává právo, nikoli povinnost, koupit nebo prodat určité podkladové aktivum (underlying asset) za pevně stanovenou uplatňovací cenu (strike price, exercise price) buď kdykoli do doby dospělosti opce (americká opce) nebo v okamžiku splatnosti opce (evropská opce) základní odlišnosti od futuritního kontraktu: - při uzavření kontraktu platí kupující opce (investor,držitel) prodávajícímu (vypisovateli) opce cenu opce (opční prémii), kdežto u futuritního kontraktu v okamžiku jeho uzavření k žádným peněžním tokům mezi prodávajícím a kupujícím nedochází (po odhlédnutí od složení počáteční zálohy) - držitel opce má právo odstoupit od plnění kontraktu, považuje-li to za výhodné, futuritní kontrakt naopak vyžaduje na kupujícím i prodávajícím striktní plnění kupní opce (call option, call): právo na zakoupení podkladového aktiva prodejní opce (put option, put): právo na prodej podkladového aktiva investor kupuje kupní opci na 100 akcií firmy ABC, která vyprší za měsíce momentální cena akcie (S) = 138, uplatňovací cena () = 140, cena kupní opce (C) = 5 velikost počáteční investice 5 100 = 500 a) při expiraci S = 155 (právo koupit za 140) opce bude uplatněna se ziskem (155-140) 100 = 1500 a celkovým výnosem 1500-500 = 1000 b) při expiraci S = 135 opce nebude uplatněna, investor utrpí ztrátu 500 pro prodávajícího (vypisovatele) kupní opce je situace opačná opce uplatněna čistá ztráta 1000 opce neuplatněna čistý zisk 500
3 investor kupuje prodejní opci na 100 akcí firmy YZ, která vyprší za měsíce momentální cena akcie (S) = 86, uplatňovací cena () = 90, cena prodejní opce (P) = 7 velikost počáteční investice 7 100 = 700 a) při expiraci S = 65 (právo prodat za 90) opce bude uplatněna se ziskem (90-65) 100 = 500 a celkovým výnosem 1800 b) při expiraci S = 95 opce nebude uplatněna, investor utrpí ztrátu 700 pro prodávajícího (vypisovatele) prodejní opce je situace zrcadlová opce uplatněna čistá ztráta 1800 opce neuplatněna čistý zisk 700 cena opce = vnitřní hodnota + časová hodnota vnitřní hodnota (intrinsic value): hotovostní tok pro držitele opce za předpokladu jejího okamžitého uplatnění kupní opce: max (S -, 0) prodejní opce: max ( - S, 0) [ ω( S ),0], ω = + 1pro kupní opci, = 1 pro prodejní opci V = max ω časová hodnota (time value): ocenění možnosti, že opce zvýší do doby dospělosti svoji vnitřní hodnotu u aktiv nenesoucích do doby splatnosti opce žádný hotovostní tok (dividenda, kupón, aj.) neznamená výhoda dřívějšího uplatnění americké opce dodatečnou hodnotu, neboť v důsledku časové hodnoty je vždy výhodnější opci prodat než uplatnit u aktiv nesoucích do doby splatnosti nějaký hotovostní tok se prodejem opce o tento tok přichází, kdežto uplatněním opce se tento tok získává (uplatnit opci je výhodné pouze před dnem bez dividendy) bezprostřední uplatnění opce by vedlo ke - kladnému hotovostnímu toku pro držitele opce je při penězích (in-the-money option) - nulovému hotovostnímu toku opce je u peněz (at-the-money option)
4 - zápornému hotovostnímu toku opce je bez peněz (out-of-the-money option). Hokejkové diagramy a) hodnota opční pozice při vypršení opce kupující kupní opce (long call) max (S T -, 0) - C prodávající kupní opce (short call) - max (S T -, 0) + C = min ( - S T, 0) + C -C C S T S T kupující prodejní opce (long put) max ( - S T, 0) - P prodávající prodejní opce (short put) - max ( - S T, 0) + P = min (S T -, 0) + P P S T S T -P b) okamžitá hodnota opční pozice držitel kupní opce držitel prodejní opce A B A -C C S T -P B C S T AB... časová hodnota, BC... vnitřní hodnota s blížící se dospělostí opce časová hodnota konverguje k nule (čárkovaná křivka se přimyká k lomené čáře)
5 3. Praktické aspekty opčních obchodů a) kotace Uplatňovací Cena kupní opce Cena prodejní opce cena červen září prosinec červen září prosinec 105 1 31 4 11 15 115 9 17 8 16 0 15 3 4 5 1 6 30 aktuální tržní cena S = 115 pravidelnosti: - pro každou danou uplatňovací cenu cena opce roste s délkou doby do expirace (čím pozdější splatnost, tím více opce může být při penězích, přičemž riziko maximální ztráty se nemění) - pro každou danou dospělost cena kupní opce klesá a cena prodejní opce roste se zvyšováním uplatňovací ceny (čím vyšší uplatňovací cena, tím menší (call), resp. větší (put) šance, že opce bude při penězích operativní přidávání uplatňovacích cen v návaznosti na cenový pohyb podkladového aktiva b) zálohování OTC: kupující zaplatí opční prémii (nelze platit zálohově) a z jeho strany nevzniká riziko nedodržení závazků prodávající má bezprostřední příjem hotovosti a také povinnost dostát závazku z opce ( prodat (call) či koupit (put) podkladové aktivum za uplatňovací cenu burza: bývá aplikován systém zálohování a tržního přeceňování v rozsahu denní změny hodnoty opční pozice z důvodu minimalizace rizika nedodržení závazků (rozdílné požadavky při kryté a nekryté pozici)
6 B. PŘÍKLADY OPČNÍCH KONTRAKTŮ 1. Akciová opce (stock option) podkladovým aktivem je individuální akcie kontrakt zní na větší počet akcií (např. 100 kusů) členění do kontraktačních cyklů: 1, 4, 7, 10;, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 1; interval uplatňovacích cen různý pro různé akcie existence pozičních limitů a) obnažená kupní opce (naked call): vypisovatel neprovádí jistící obchod s podkladovým aktivem (tj. zakoupení akcie při vypsání opce) počáteční záloha 30 % tržní hodnoty akcií v kontraktu ± element při penězích (bez peněz) platby variační zálohy dány jako každodenní dopočet podle formule počáteční zálohy Vypsány byly 4 kontrakty obnažené kupní opce cena opce = 5 $, uplatňovací cena = 40 $, cena akcie = 4 $, 1 kontrakt zní na 100 akcií počáteční záloha pro vypisovatele 0,3 4 100 4 + 100 4 = 5 840 $ vypisovatel obdrží hotovost 5 100 4 = 000 $ pro vypisovatele znamená vypsání opce bezprostřední odliv hotovosti Kontrakty byly vypsány jako prodejní opce (opce je bez peněz ve výši ) počáteční záloha pro vypisovatele 0,3 4 100 4-100 4 = 4 40 $ b) krytá kupní opce (covered call) vypisovatel opce kupuje akcie, které jsou předmětem plnění opce počáteční záloha: element opce při penězích (nevyžaduje se pro opce bez peněz podkladové akcie lze zakoupit zálohově (např. ve výši 50 % hodnoty akcií) režim denního tržního přeceňování
7 Vypsány byly kontrakty na kupní opce (1 kontrakt zní na 100 akcií) cena opce = 7 $, cena akcie = 63 $, uplatňovací cena = 60 $ velikost počáteční investice = zálohová platba za nakoupené akcie (0,5 63 00) - příjem za prodané opce (7 00) + element opce při penězích (3 00) = 5 500 $. Měnová opce (currency option) ISE: šterlinkový kontrakt (dolar je fakturační měna) velikost: 1 500 kotace: počet centů za libru (175 = 1,75 $ za libru) tik: 0,05 centů za libru (= 6,5 $ za kontrakt) interval uplatňovacích cen = 5 centů dospělosti: t + 1,, 3, 6, 9, 1 (měsíce) zálohování: 8 % hodnoty kontraktu (v dolarech) ± element při penězích (bez peněz) kupující kontraktu šterlinkové kupní opce obdrží 1 500 proti dodání dolarů, bude-li opce uplatněna prodávající kontraktu šterlinkové prodejní opce obdrží dolary proti dodání 1 500, bude-li opce uplatněna Byl vypsán 1 kontraktu šterlinkové kupní opce při spotovém kurzu 1,80 GBP/USD, s uplatňovací cenou 175 (centů za libru) počáteční záloha (platí vypisovatel): 1 500 1,80 0,08 + 1 500 (1,80-1,75) = 45 $ druhého dne libra posílila na 1,8 dolarů za libru, proto následuje platba variační zálohy: 1 500 1,8 0,08 + 1 500 (1,8-1,75) - 45 = 70 $
8 měnové opce v měnové politice: - testovaní kredibility fluktuačního pásma (je-li pásmo kredibilní, opce s uplatňovacími cenami mimo fluktuační pásmo by neměly být vůbec kótovány resp. jejich prémie by měly být téměř nulové) - testování blížící se měnové turbulence (očekávání vyšší kurzové nestability by se mělo projevit ve výrazném nárůstu implicitní volatility podkladové měny) 3. Futuritní opce (option on futures) opce na měnový futuritní kontrakt kupující kupní futuritní opce v případě jejího uplatnění zaujme dlouhou pozici v podkladovém futuritním kontraktu a obdrží hotovost ve výši rozdílu aktuální a uplatňovací ceny prodávající kupní futuritní opce v případě jejího uplatnění má povinnost vytvořit krátkou pozici v podkladovém futuritním kontraktu a uhradit rozdíl mezi aktuální futuritní a uplatňovací cenou Vypsána byla librová futuritní kupní opce (podkladovým aktivem je futuritní kontrakt znějící na 5000 ) s prémií 4,40 centů (tj. 5000 0,044 = 1100 $ za kontrakt) a s uplatňovací cenou 175 (tj. s právem otevřít dlouhou pozici ve futuritním měnovém kontraktu při kurzu 1,75 $ za libru). Je-li při vypršení opce aktuální cena měnové futurity např. 1,80 dolarů za libru, kupující opce zaujímá dlouhou pozici ve futuritním kontraktu a současně obdrží částku (1,8 1,75) 5000 = 150 $. Po odečtení opční prémie činí celkový čistý zisk 1 50-1 100 = 150 $. Jestliže futuritní cena dále vzrostla na 1,83, investor může uzavřít futuritní kontrakt a realizovat další zisk ve výši (1,83 1,8) 5 000 = 750 $. poznámky: - většina futuritních opcí je amerického typu, načež po jejichž dřívějším uplatnění obvykle následuje i uzavření podkladového futuritního kontraktu (a realizace zisku či ztráty z tržního přeceňování) - časové označení futuritní opce se vztahuje k okamžiku dospělosti podkladového futuritního kontraktu, nikoli k okamžiku dospělosti opce (futuritní opce většinou maturují těsně před či při splatnosti podkladového futuritního kontraktu)
9 systém záloh: - počáteční záloha pro dlouhou stranu = počáteční záloha futuritního kontraktu delta opce pro krátkou stranu = počáteční záloha futuritního kontraktu delta opce + opatrnostní záloha - variační záloha ± změna počáteční zálohy ± změna hodnoty opčního kontraktu futuritní počáteční záloha = 1 500 $ delta opce = 0,88 (při zakoupení) = 0,90 (druhý den) cena opce = 0,08 $ (při zakoupení) = 0,10 $ (druhý den) opatrnostní záloha = 100 $ počáteční záloha: kupující: 1 500 0,88 = 1 30 $ prodávající: 1 500 0,88 + 100 = 1 40 $ variační záloha (druhý den): kupující: změna počáteční zálohy = 1 500 0,90-1 30 = 30 $ (k tíži) změna hodnoty opčního kontraktu = (0,10-0,08) 5 000 = 500 $ (k dobru) saldo zálohového účtu = 1 30 + 500-30 = 1 790 $ prodávající: saldo na zálohového účtu = 1 40-500 - 30 = 890 $ 4. Úroková opce (interest-rate option) a) dlouhodobá úroková opce podkladovým aktivem je vybraná dlouhodobá obligace právo prodat resp. koupit obligaci za uplatňovací cenu b) dlouhodobá futuritní úroková opce
10 kupující kupní (prodejní) opce má právo vytvořit dlouhou (krátkou) pozici v příslušném futuritním kontraktu za uplatňovací cenu opčního kontraktu vypisovatel opce je povinen v případě uplatnění opce vytvořit opačnou pozici ve futuritním kontraktu Podkladovým aktivem futuritní úrokové opce je dlouhodobá úroková futurita s následujícími parametry: nominální hodnota = 50 000, tik = 1/3 z 1 na 100 nominále, hodnota tiku = 15,65. Zakoupena byla futuritní prodejní opce za prémii -03 (= 67 tiků) a s uplatňovací cenou 96-00. náklady opční pozice = 67 15,65 = 1 046,88 cena březnového kontraktu klesla na 93-00, opce je uplatněna (prodej futuritního kontraktu za uplatňovací cenu 96-00) futuritní zisk = [(96-93) 3] 15,65 = 1 500 čistý zisk = 1 500-1 046,88 = 453,1 c) krátkodobá úroková opce podkladovým aktivem je FRA kontrakt (spotové aranžmá) nebo krátkodobá úroková futurita 5. Opce na akciový index (stock index option) opce na akciový index FTSE100 index (obchodovaná na ISE) podkladovým aktivem kontraktu je 1 index (= 1000 indexních jednotek) hodnota kontraktu: číselná hodnota indexu 10 (index má číselnou hodnotu 1 850, takže kontrakt má hodnotu 18 500 ) kotace: počet indexních bodů (kotace 51 znamená zaplacenou opční prémii 510 ) velikost tiku: ½ indexního bodu (= 5 za kontrakt) interval uplatňovacích cen = 5 indexních bodů možné pouze finanční vypořádání zakoupení červnové kupní opce FTSE 100 uplatňovací cena = 1 800 (indexních bodů), cena opce = 30 (indexních bodů)
11 náklad zaujetí opční pozice = 10 30 = 300 uplatnění opce při velikosti indexu 1 870 vypisovatel opce zaplatí držiteli opce částku 10 (1 870-1 800) = 700 čistý zisk = 700-300 = 400 trojnásobná hodina duchů (triple witching hour) současné vypršení indexové futurity, opce na indexovou futuritu a individuální opce na podkladové akcie indexu období hektických obchodů při likvidování pozic, možný chaos a nestabilita trhů 6. Swapce opce na uzavření swapového kontraktu 7. Warrant právo zakoupit (počínaje jistým budoucím okamžikem) podkladový cenný papír (akcii, obligaci) za stanovenou cenou warrant bývá oddělitelný od svého hostitele a samostatně obchodovatelný na burzách N S počet emitovaných akcií, P S cena akcie N W počet emitovaných warrantů, P W cena warrantu, uplatňovací cena akcie γ velikost předkupního práva 1 warrantu, V hodnota firmy N W γ příjem firmy z prodaných akcií při uplatnění warrantů V + N N S + N W W γ γ hodnota jedné akcie V + N W γ výplata = max γ,0 = N S + NW γ N S N S γ max + NW γ V N S,0 8. Další příklady vestavěných opcí termínový vklad s možností předčasné výpovědi
1 předsplacení hypotéky akcie zaúvěrované firmy vlastní jmění akcionářů = max (hodnota firmy dluh, 0) = max (S, 0) důsledek omezeného ručení akcionářů
13 C. ZÁKLADY OCEŇOVÁNÍ OPČNÍCH KONTRAKTŮ korektní cena (fair price) = teoretická cena opce dosažená na dokonale konkurenčním trhu při zabezpečení podmínky neexistující arbitráže 1. Binomický model předpoklady: evropská kupní opce na akcii nevyplácející dividendy cena akcie koná náhodnou procházku (random walk) s danou pravděpodobností cenového růstu a poklesu a s danou velikostí horního i dolního kroku symbolika: C... cena kupní opce (hledaná veličina) S... cena akcie (= 500)... uplatňovací cena (= 450) q... pravděpodobnost zhodnocení akcie (nevstupuje do ocenění) u... násobitel zhodnocení akcie (= 1,3) d... násobitel znehodnocení akcie (= 0,7) r... bezriziková sazba (=10 %) binomické schéma ceny akcie q u S (845) q S (500) 1-q us (650) 1-q q dus (455) binomické schéma výplaty opce q ds (350) 1-q C u = max[ 0, us - ] (00) d S (45) C 1-q C d = max[ 0, ds - ] (0)
14 stanovení opční prémie: - konstrukce bezrizikového zajišťovacího portfolia (delta-neutrální portfolio) dlouhá pozice u akcie (zakoupení 1 akcie) & krátká pozice u h kupních opcí (vypsání h kusů opcí) důvod: - rostoucí cena akcie hodnotu zajišťovacího portfolia zvyšuje (zhodnocení akcie) i snižuje (ztráta z uplatnění kupních opcí) - klesající cena akcie hodnotu zajišťovacího portfolia snižuje znehodnocení akcie) i zvyšuje (příjem z prodaných opcí) hodnota na konci období: a) cena akcie roste: V u = us - hc u b) cena akcie klesá: V d = ds - hc d - využití předpokladu bezrizikového portfolia us - hc u = ds - hc d h = Su ( d) C C u d = 15, (potřebný počet opcí v zajišťovacím portfoliu) V u = V d = 350 - podmínka bezrizikové arbitráže (diskontováno bezrizikovou sazbou) us hc S hc = 1+ r u = ds hc 1+ r d C = 11, C = pc u + ( 1 p) C 1+ r d, p = ( 1 + r) d u d korektní hodnota opce je dána jako diskontovaná očekávaná hodnota hotovostního toku z opce (jako diskontní sazba slouží bezriziková sazba a jako váhy vystupují zajišťovací pravděpodobnosti p) - riziková neutralita zajišťovacích pravděpodobností E( S) = ps S u + (1 p) S d = pus0 + (1 p) ds0 = (1 + r) očekáváno je zhodnocení akcie ve výši bezrizikového výnosu (p je rizikověneutrální pravděpodobnost cenového růstu) rizikově neutrální prostředí je takové, ve kterém se v průměru očekává zhodnocení investic ve výši bezrizikové sazby (vyšší než bezrizikové hodnocení investice je doprovázeno odpovídajícím zvýšením kompenzace za podstoupené riziko, tj. vyšší diskontní sazbou) 0
15 - rekurzívním postupem lze odvodit cenu opce pro n kroků ceny akcie C = S T n= a T! p ( T n)! n! n (1 p) T n n n d (1 + r) T n T (1 + r) T T n= a T! p ( T n)! n! a... vyloučení stavů, kdy opce je bez peněz n (1 p) T n. Black-Scholesova formule při zkracování časového intervalu mezi dvěma cenovými změnami k nule (n ) konverguje binomické rozdělení k normálnímu rozdělení C = S N( d P = e d = d N( x) = = x 1 rt 1 1 e π var (ln ) e N( d σ T S 1 t t S rt ) SN( d dt t 1 ) N( d ln( S ) + rt 1 d1 = + σ T σ T σ kromě volatility σ jsou všechny proměnné Black-Scholesova vzorce přímo pozorovatelné (odhad z historických dat, propočet implikované volatility) Cena akcie S = 500 $, uplatňovací cena = 450 $, bezriziková sazba r = 6 %, doba do splatnosti T = 3 měsíce, σ = 0 %. ) 1 ) d d 1 N( d ln(500 450) + 0,06 0,5 = + 0, 0,5 = 0,65 1 0, ) = 0,74, N( d C = 500 0,74 450e 0,5 = 0,464 ) = 0,6651 0,06 0,5 1 0, 0,6651 = 76,$ 0,5 = 0,65
16 aplikace Black-Scholesovy formule na další opční kontrakty a) akcie vyplácející dividendy cena akcie = bezriziková složka (ve výši dividend vyplacených během zbývající doby života opce) + riziková složka (vyplývající ze stochastické povahy ceny podkladové akcie) Black-Scholesova formule je aplikovatelná po odstranění bezrizikové složky z ceny akcie, tj. po odstranění současné hodnoty dividend vyplacených během zbývající doby života opce (diskontováno je bezrizikovou sazbou ve dnech bez dividendy) Akcie s parametry z předchozího příkladu vyplatí za jeden měsíc dividendu ve výši 6 $. Riziková složka ceny akcie tak činí 6 500 1+ 0,06 = 1 1 494 $. Tato hodnota bude dosazena do Black-Scholesovy formule jako cena akcie S. b) opce na akciový index na index lze nazírat jako na cenný papír vyplácející známý dividendový výnos, aplikovat lze proto postup jako u akcie vyplácející známý dividendový tok namísto prosté hodnoty indexu S bude do vzorce dosazeno Se qt (q je anualizovaný dividendový výnos indexu, T je doba do splatnosti opce) c) měnová opce na zahraniční měnu lze nazírat jako na aktivum vyplácející známý dividendový výnos ve výši zahraniční úrokové sazby d) futuritní opce futuritní cena se modelově chová jako cena akcie vyplácející dividendový výnos ve výši domácí bezrizikové sazby 3. Parametry citlivosti C = f (S,, T, r,σ ) - kupní opce má tím větší hodnotu, čím vyšší je cena podkladového aktiva a čím nižší je uplatňovací cena - opce má tím větší hodnotu, čím déle má do splatnosti
17 - hodnota opce roste s velikostí bezrizikové sazby (zakoupením opce namísto aktiva se uspoří peníze, které lze do doby splatnosti investovat) - hodnota opce roste s variabilitou podkladového aktiva (roste šance, že cena a) opční delta podkladového aktiva dostane opci ještě více do peněz při limitované maximální ztrátě a neomezeném zisku) citlivost ceny opce na změnu ceny podkladového aktiva (aproximace prvního řádu změny ceny opce) = změna ceny opce změna ceny podkladového aktiva C = ; S 0 1 = N d ) resp. N( ) pro kupní resp. prodejní akciovou opci ( 1 d1 nevyplácející dividendy C C = S = delta S S delta-neutrální zajištění je taková kombinace počtu opcí a podkladového aktiva, která zajišťuje výsledné portfolio proti malým cenovým výkyvům podkladového aktiva (zajištěné portfolio má nulové delta) V = C n S V = S n = C = n = S P 0 Banka vypsala 30 kupních opčních kontraktů, z nichž každý zní na 100 akcií firmy ABC. Opční delta činí 0,6. Tato opční pozice bude zajištěna nákupem 30 100 0,6 = 1800 akcií. dynamické delta neutrální zajištění spočívá v pravidelném obnovování delta neutrální pozice, která je narušována cenovým pohybem podkladového aktiva Banka, která vypsala 100 000 kupních opcí, se rozhodla zajistit svoji pozici technikou dynamického delta-neutrálního zajištění. K vyvažování portfolia dochází jednou týdně. Týden Cena akcie Delta Jistící obchod Náklad zajištění 0 49,00 0,5 +500 577800 1 48,1 0,458-6400 -308000
18 47,37 0,400-5800 -74700 3 50,5 0,596 +19600 +984900 4 51,75 0,693 +9700 +50000 možné scénáře dynamického zajištění: a) růst ceny akcie zvyšuje pravděpodobnost uplatnění opcí, načež uvedená technika tíhne k případu pokryté kupní opce b) pokles ceny akcie snižuje pravděpodobnost uplatnění opcí, načež uvedená technika tíhne k případu obnažené kupní opce b) opční gama, zakřivení (curvature) citlivost delta opce na změnu ceny podkladového aktiva (aproximace druhého řádu změny ceny opce) Γ = změna opčního delta změna ceny podkladového aktiva C C = S + S 1 C S S = delta S + C = = S S 1 gama S gama-neutrální zajištění je taková kombinace opcí a podkladového aktiva, která zajišťuje delta neutrální portfolio proti větším cenovým výkyvům podkladového aktiva (delta i gama portfolia je nulové) podkladové portfolio: P = Σn C i i ns delta portfolia: = Σn n = 0 P i i gama portfolia: Γ P = Σn Γ i i Portfolio opcí s nulovým delta vykazuje portfoliové gama Γ P = 60. Pro vytvoření gama neutrálního zajištění je k dispozici opce, která má delta 0,5 a gama 0,6. Gama neutrální portfolio by mělo splňovat podmínku Γ P = 60 + n 0,6 = 0 n = 60 0.6 = 100 O K vytvoření gama neutrálního portfolia je tudíž zapotřebí zakoupit 100 kusů zajišťovacích opcí. Aby takto rozšířené portfolio mělo i nadále nulové delta, splněna musí být podmínka P = 0 + n 0,5 + δ n = 0 δn = 100 0,5 = 50 O S O S
19 K obnovení delta neutrálního zajištění je zapotřebí prodat 50 kusů podkladových akcií. c) opční theta, časový úbytek opce (time decay) citlivost ceny opce na změnu doby do dospělosti opce (pokles ceny opce po uplynutí jednoho dne) Θ = změměceny opce změmědoby do splatnosti d) opční kapa (epsilon, eta, vega) C = T citlivost ceny opce na změnu volatility podkladového aktiva změna ceny opce C κ = = změna volatility σ stojí za volatilitou náhodný příchod nových informací či spíše techniky obchodování? e) opční ró ρ = změna ceny opce změna úrokové sazby = C r 4. Parita prodejní a kupní opce (put-call parity) odvození: vztah mezi kupní a prodejní evropskou opcí za předpokladu: - téhož podkladového aktiva - téže uplatňovací ceny - téže doby do dospělosti portfolio A: [evropská kupní opce] & [hotovost ] e rt portfolio B: [evropská prodejní opce] & [akcie] hodnota portfolia A při vypršení opce S S T T > V < V V A A A = S T = = max ( S hodnota portfolia B při vypršení opce T (zakoupení akcie za (propadnutí opce), ) cenu )
0 S S T T > V < V V B B B = S T = = max ( S T (propadnutí opce) (prodej akcie za cenu ), ) dvě portfolia s identickými budoucími výnosy musí mít na dokonalém kapitálovém trhu stejnou současnou hodnotu rt C + e = P + S rovnice parity: C + B = P + S B je současná hodnota bezrizikové obligace, která v okamžiku splatnosti obou opcí vyplácí jistinu ve výši uplatňovací ceny S = 31, = 30, r = 10 %, C = 3, P =,5, T = 3 měsíce C + e rt = 3 + 30e 0,1 0,5 = 3,6 P + S =,5 + 31 = 33,5 Parita prodejní a kupní opce je porušena, existuje tudíž arbitrážová příležitost. obchodní strategie: - při uzavření kontraktů : zakoupení kupní opce, prodej prodejní opce, krátký prodej akcie (zakoupení levnějšího a prodej dražšího portfolia) čistý zisk ( 3 +,5 + 31 = 30,5) investován za bezrizikovou sazbu 0,1 0,5 disponibilní částka za 3 měsíce činí 30,5e = 31, 0 - v okamžiku dospělosti i) S T > uplatnění kupní opce a vrácení akcie celkový zisk = 31,0 30 = 1,0 ii) S T < plnění závazku z prodejní opce a vrácení akcie celkový zisk = 31,0 30 = 1,0 C = 3, P = 1, ostatní veličiny jako v předchozím případě C + e rt = 3 + 30e 0,1 0,5 = 3,6 P + S = 1+ 31 = 3,00 Parita prodejní a kupní opce je porušena, existuje tudíž arbitrážová příležitost obchodní strategie:
1 - při uzavření kontraktů: vypsání kupní opce, zakoupení prodejní opce a akcie počáteční výdaj (31 + 1 3 = 9) je financován dluhem 0,1 0,5 nutno vrátit 9e = 9, 73 - v okamžiku dospělosti i) S T > plnění závazku z kupní opce (příjem za prodanou akcii) celkový zisk = 30 9,73 = 0,7 ii) S T < uplatnění prodejní opce celkový zisk = 30 9,73 = 0,7 syntetické vytváření opcí: P = C S + B syntetická dlouhá prodejní opce dlouhá kupní opce & krátká akcie & dlouhá obligace C = P + S B syntetická dlouhá kupní opce dlouhá prodejní opce & dlouhá akcie & krátká obligace grafické ověření parity Σ Σ dlouhá obligace dlouhá kupní opce dlouhá akcie dlouhá prodejní opce
D. KOMBINOVÁNÍ OPCÍ základní typologie: - kombinace (seskupování kupních a prodejních opcí) - spread (seskupování pouze kupních nebo pouze prodejních opcí) - seskupování opce s podkladovým aktivem 1. Kombinace a) vidlička (straddle) dlouhá vidlička: zakoupení kupní opce (long call) a zakoupení prodejní opce (long put) se stejnou uplatňovací cenou a stejnou splatností krátká vidlička: zrcadlově opačná pozice (short call & short put) koncová výplata z dlouhé vidličky long call S long put užití: kupující očekává výrazný pohyb akcie, neví však v jakém směru prodávající neočekává žádný výraznější cenový pohyb b) proužek (strip), řemínek (strap) agresivnější varianty vidličky dlouhý proužek: zakoupení 1 kupní a prodejních opcí dlouhý řemínek: zakoupení kupních a 1 prodejní opce
3 dlouhý proužek dlouhý řemínek c) škrtič (strangle, combination) vidlička modifikovaná zakoupením opcí s rozdílnými uplatňovacími cenami zisková pozice vyžaduje vyšší volatilitu ceny podkladového aktiva, proti tomu vystupují nižší náklady na vytvoření opční pozice (levnější call pro vyšší ) 1 long call long put d) syntetická futurita dlouhá syntetická futuritní pozice krátká syntetická futuritní pozice short put long call long put short call
4 e) rotovaný spread býčí rotovaný spread medvědí rotovaný spread short put short call 1 1 long call 1 long put. Spreadové obchody nákup spreadu: zakoupení dražší a prodej levnější opce prodej spreadu: prodej dražší a nákup levnější opce a) vertikální spread je tvořen opcemi se stejnou splatností ale s různými uplatňovacími cenami i) býčí vertikální spread - nákup kupní opce s nižší uplatňovací cenou a prodej kupní opce s vyšší uplatňovací cenou (počáteční výdaj) - nákup prodejní opce s nižší uplatňovací cenou a prodej prodejní opce s vyšší uplatňovací cenou (počáteční příjem) kupní opce (long call spread) prodejní opce (short put spread) short call short put 1 1 long put long call užití: spekulace na růst ceny podkladového aktiva long call spread: zakoupená kupní opce vydělává na cenovém růst a prodaná kupní opce snižuje počáteční investici výměnou za zastropování zisku
5 short put spread: prodaná prodejní opce vydělává opční prémii při cenové růstu a zakoupená prodejní opce snižuje počáteční příjem výměnou za zastropování ztráty ii) medvědí vertikální spread - nákup kupní opce s vyšší uplatňovací cenou a prodej kupní opce s nižší uplatňovací cenou (počáteční příjem) - nákup prodejní opce s vyšší uplatňovací cenou a prodej prodejní opce s nižší uplatňovací cenou (počáteční výdaj) kupní opce (short call spread) prodejní opce (long put spread) short call short put 1 1 long call long put užití: spekulace na pokles ceny podkladového aktiva (zrcadlová logika býčího spreadu) b) horizontální (kalendářní) spread je tvořen opcemi se stejnou uplatňovací cenou ale s rozdílnou splatností (opce s delší splatností jsou dražší) výplata horizontálního spreadu (v okamžiku splatnosti opce s kratší splatností) je dána jakou součet vnitřní hodnoty opce s kratší splatností a aktuální hodnoty opce (zahrnující i časovou hodnotu) s delší splatností short call long call
6 pozice je mírně zisková při cenové stabilitě okolo uplatňovací ceny a ztrátová při výraznějším cenovém pohybu oběma směry horizontální spread má užití např. při obchodování s volatilitou (očekává-li se zvýšení krátkodobé a snížení dlouhodobé volatility, lze kupovat opce s kratšími splatnostmi a prodávat opce s delšími splatnostmi) c) diagonální spread je tvořen opcemi s rozdílnými uplatňovacími cenami i rozdílnými splatnostmi d) motýlí spread (butterfly) dlouhý motýlek sestavený z kupních opcí: 1 dlouhá kupní opce 1 krátké kupní opce 1 dlouhá kupní opce 3 dlouhý motýlek sestavený z prodejních opcí: 1 dlouhá prodejní opce 1 krátké prodejní opce 1 dlouhá prodejní opce 3 alternativní vyjádření: 1 dlouhý vertikální býčí spread ( 1, ) 1 krátký vertikální býčí spread (, 3 ) pomocí motýlků lze teoreticky aproximovat libovolný profil koncové výplaty výplata z dlouhého motýlku 1 3 pozice je zisková při cenové stabilitě podkladového aktiva okolo středové uplatňovací ceny a mírně ztrátová při cenové volatilitě
7 e) kondor dlouhý kondor: 1 dlouhá kupní opce 1 1 krátká kupní opce 1 krátká kupní opce 3 1 dlouhá kupní opce 4 alternativní vyjádření: 1 dlouhý vertikální býčí spread ( 1, ) 1 krátký vertikální býčí spread ( 3, 4 ) výplata z dlouhého kondora: 1 4 3 3. Kombinace opcí s podkladovým aktivem a) pokrytá kupní opce (covered call) prodej kupní opce (short call) je spojen se zakoupením podkladové akcie (long stock) dochází k syntetickému vytvoření krátké prodejní opce (synthetic short put) short call synthetic short put long stock uplatňovací cena opce se rovná aktuální tržní ceně podkladové akcie (at-the-money covered call)
8 užití: - posílení výnosů portfolia akcií o příjem z prodaných opcí a současně zajištění portfolia proti mírnému poklesu hodnoty akcí (investor však neparticipuje na výrazném růstu cen akcií) - ochrana proti ztrátě při uplatnění opce jejím držitelem (podkladová akcie je k dispozici pro případ plnění opčního kontraktu) b) ochranná prodejní opce (protective put) k zakoupené akcii (long stock) je zakoupena prodejní opce (long put) dochází k syntetickém vytvoření dlouhé kupní opce (synthetic long call) long put synthetic long call long stock při příznivém vývoji je koncová hodnota portfolia nižší o zaplacené pojistné, při nepříznivém vývoji je zastropována potenciální ztráta (analogie pojištění)
9 E. OBCHODNÍ STRATEGIE S OPCEMI 1. Spekulační opční obchody výhody opcí: - asymetrická citlivost opční prémie na změnu ceny podkladového aktiva neomezený horní potenciál (pro opci hluboko při penězích je 1, takže držení opce je téměř stejně výhodné jako držení podkladového aktiva) limitovaná ztráta (pro opci hluboko bez peněz je 0) - finanční páka lze zaujímat investiční pozice za cenu daleko nižší než je tržní hodnota podkladových aktiv - pozitivní ocenění vyšší volatility podkladového aktiva (nový prvek spekulace) a) otevřené poziční obchody sázka na absolutní změnu ceny podkladového aktiva Je očekáván růst ceny akcie ABC, spekulant kupuje 10 kontraktů kupní opce (opční kontrakt zní na 1000 akcií). výchozí situace: cena akcie = 115 pencí, opční prémie = 1 p, uplatňovací cena = 135 p (opce je bez peněz) počáteční investice: 10 1000 0,01 = 100 pozdější situace : cena akcie = 15 pencí, opční prémie = 5 pencí 15 růst akciového trhu = = 8,7 % 115 zhodnocení opční pozice = 5 = 400% 1 zisk = 10 1 000 (0,05-0,01) = 400 v případě nepříznivého vývoje spekulant maximálně přijde o zaplacenou prémii 100