Po stopách Eukleidova algoritmu HMI

Podobné dokumenty
Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze

Historie matematiky a informatiky Cvičení 4

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky 2 8. přednáška

Zlatý řez nejen v matematice

Umění vidět v matematice

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

Maturitní témata z matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika Obor reálných čísel

Základy aritmetiky a algebry II

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

Maturitní témata profilová část

)(x 2 + 3x + 4),

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

CZ 1.07/1.1.32/

Matematika pro informatiku 12

2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná

Matematika pro informatiku 4

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Fibonacciho čísla na střední škole

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

ODR metody Runge-Kutta

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Eukleidés. Leonardo Pisánský

DĚJINY MATEMATIKY tematické okruhy ke zkoušce

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce

O dělitelnosti čísel celých

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška

1 Polynomiální interpolace

Einstein, Georg Pick a matematika

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Základy elementární teorie čísel

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Číselné množiny Vypracovala: Mgr. Iva Hálková

Simona Fišnarová (MENDELU) Den pí / 10

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A

Jak funguje asymetrické šifrování?

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová

Pomocný text. Polynomy

PROSLULÉ ÚLOHY STAROVKU

Matematika - Historie - 1

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

U3V Matematika Semestr 1

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

K výuce astronomie v matematice na gymnáziích Vladimír Štefl Přírodovědecká fakulta MU

Archimédés. Jindřich Bečvář Výpočty odmocnin ve starověku. Terms of use:


Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

Prvočísla, dělitelnost

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k )

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. verze: :29

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Základy elementární teorie čísel

becvar

Aplikovaná matematika I

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty

Aplikovaná numerická matematika

Dokonalá čísla, zvláště to páté

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

Základy algoritmizace

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Základy matematické analýzy

Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl

Co vedlo ke zkoumání řezů kuželové plochy?

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Bonn, Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Transkript:

Po stopách Eukleidova algoritmu HMI Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 2014

EA - prototyp algoritmického postupu Eukleidův algoritmus je pro matematiky tradičně prototyp algoritmického postupu. Objevuje se nejen při hledání NSD (GCD), ale take při řešení neurčitých rovnic (Bézoutova identita), také ve Sturmově metodě při hledání počtu reálných kořenů algebraických rovnic. Alena Šolcová, FIT ČVUT 2

Nejstarší použití EA Explicitní vyjádření algoritmu před Eukleidem dosud nebylo nenalezeno. Aristarchos ze Samu O velikostech a vzdálenostech Slunce a Měsíce Aristarchos použil EA dvakrát a uvádí poměry, Později které nahradil jinými podle EA. Archimédés EA používá konkrétně ve 3 aproximacích. EA souvisí také s metodou anthyphairesis, kterou již užívali v Platónově Akademii. Alena Šolcová, FIT ČVUT 3

Aristarchos, 310 230 př.n.l. žák Stratóna z Lampsaku, ovlivněn pýthagorejcem Philoláem z Krotónu, citován Archimédem ve spisu Počítání písku odhad vzdálenosti měsíce Alena Šolcová, FIT ČVUT 4

Aristarchos II 71 755 875 : 61 735 500 43 : 37 7921 : 4050 88 : 45 Alena Šolcová, FIT ČVUT 5

Rekonstrukce Aristarchova postupu Nechť A = 71 755 875 B = 61 735 500 A B = C... 10 020 375 B 6C = D 1 613 250 C 6D = 340 875 C = 6D, B = 6C + D = 37D A = B + C = 43 D, tedy A : B = 43 : 37 Alena Šolcová, FIT ČVUT 6

Rekonstrukce Aristarchova postupu II Teprve v 17. stol. byl tento postup spojen s řetězovými zlomky. Pokračujme v předcházejícím příkladu: D = 1 613 250 a E = 340 875 D 4E = F 249 750 H - 2I = J 20 250 E F = G 91 125 I J = K 3 375 F 2G = H 67 500 J 6K = 0 G H = I 23 625 NSD (A, B) = K = 3 375 Alena Šolcová, FIT ČVUT 7

Pocta Aristarchovi Riccioli, 17. století Alena Šolcová, FIT ČVUT 8

Archimédés 287-212 př.n.l. Archimédés: Měření kruhu 6336 : 2017 + ¼ 3 + 10/71 (= 223 : 71) Poměr obvodu kruhu k průměru je menší než 3 + 1/7 a větší než 3 + 10/71. 3 + 1/7 > π > 3 + 10/71. Alena Šolcová, FIT ČVUT 9

Archimédés II Vepisuje do kruhu n-úhelníky: 6-úhelník 6. 153/265 < 3,47 12-úhelník 12. 153/571 < 3,22 24-úhelník 24. 153/(1161 + 1/8) < 3,16 48-úhelník 48. 153/(2334 + ¼) < 3,147 96-úhelník 96. 153/(4673 + ½) < 3 + 1/7 Alena Šolcová, FIT ČVUT 10

VII. kniha Eukleidových Základů Dva výroky o EA lze najít v VII. knize Eukleidových Základů: Prop.1: O tom, kdy jsou dvě čísla vzájemně nesoudělná: Jsou-li dána dvě čísla nestejná a odčítá-li se střídavě vždy menší od většího, když zbývající předcházejícího nikdy nedoměřuje, dokud nezbude jednotka, počáteční čísla budou navzájem kmenná. Prop.2: O určení největšího společného dělitele: Jsou-li dána dvě čísla navzájem nekmenná, najdi největší jejich společnou míru. (Překlad Františka Servíta z roku 1907.) To je nejdůležitější místo v Základech a odtud EA lze obecně odvodit! Alena Šolcová, FIT ČVUT 11

Nový překlad, 2011 Řecké matematické texty, Oikoymenh, Praha 2011, str. 190-194 Kniha VII, Prop. 1: Jsou dána dvě nestejně velká čísla a odebírejme střídavě a opakovaně menší od většího. Pokud nikdy nedojde k tomu, že by zbývajícím číslem bylo měřeno číslo z předchozího kroku, dříve než dospěje k jednotce, pak čísla daná na počátku jsou nesoudělná. Kniha VII, Prop. 2: Jsou dána dvě čísla, která nejsou nesoudělná, a máme nalézt jejich největší společnou míru. Alena Šolcová, FIT ČVUT 12

Eukleidovy Základy, Kniha X. Prop. 2: Jestliže se ze dvou daných nestejně velkých veličin odebírá střídavě a opakovaně vždy ta menší od té větší, přičemž zbytek nikdy neměří předchozí zbytek, pak jsou tyto veličiny nesouměřitelné. Prop. 3: ŘMT, str. 214-215 Jsou-li dány dvě veličiny souměřitelné, najdi jejich míru. Servít, str. 160-161 Alena Šolcová, FIT ČVUT 13

V. kniha Eukleidových Základů Pak je tu ještě jedna větev, vycházející z V. knihy Eukleidových Základů. Prop. 5: Když jest veličina veličiny stejným násobkem jako část odečtená odečtené, též zbytek zbytku bude stejným násobkem, jakým čísla celá. Jde zde o porovnávání poměrů, na to navázal arabský matematik al-chajjám (přepis bývá různý, např. al-khayyam) a v 9. stol. al-mahani. Alena Šolcová, FIT ČVUT 14

Isa Al-Mahani (820 880), Perský matematik a astronom, který v letech 853-866 zaznamenal řadu pozorování měsíčních a slunečních zatmění a konjunkce planet. Komentoval Eukleidova a Archimédova díla. Zdokonalil překlad Menelaovy Sfériky. Pokusil se řešit tzv. Archimédův problém: Rozdělit kouli rovinou na dvě části v daném poměru objemu. Řešení vede ke kubické rovnici x 3 + c 2. b = c. x 2 Muslimští matematici ji nazývají al-mahaniho rovnicí. Alena Šolcová, FIT ČVUT 15

Přesnost Mahaniho výpočtů Ibn Yunus: Počítal s astrolábem počátky měsíčních zatmění a po třech po sobě následujících zatměních se zmýlil pouze o hodinu a půl. Al- Mahani napsal také práci, kde dokazuje 26 problémů sporem. Motivaci k zájmu o matematiku čerpal převážně z astronomie. Alena Šolcová, FIT ČVUT 16

Bézoutova identita Celočíselné řešení x 0, y 0 lineární rovnice ax - by = c, existuje vždy a splňuje Bézoutovu identitu ax 0 - by 0 = 1. To ovšem neobjevil Bézout, ale Bachet de Méziriac v roce 1624. Bézout podobné vysvětlení uvádí až ve 3. části svého Kursu matematiky v roce 1766. Alena Šolcová, FIT ČVUT 17

Étienne Bézout 1730-1783 Francouzský matematik Théorie générale des équations algébriques, Paříž 1779, teorie eliminace a symetrických funkcí kořenů rovnic Používal determinanty v roce 1764, nevyložil jejich obecnou teorii. Alena Šolcová, FIT ČVUT 18

Příklad Cours d Algebre, 1766 Řeší úlohu: 17x 11 y = 542 y = (17x 542)/11 = (17x 98.11)/11 = (17x/11) 98 y = x 49 + (6x 3)/11 a 6x 3 = 11u, hledáme celé číslo x, tedy x = (11u + 3)/6. x = 39 + 11 y = 11 + 17 Bézoutova identita: 50 + 11 28 + 17 2.17 3.11 = 1 61 + 11 etc. etc. Alena Šolcová, FIT ČVUT 19

Claude Gaspard Bachet de Méziriac 1581 1638 Bachet byl první v Evropě, který se zabýval řešením neurčitých rovnic pomocí řetězových zlomků. Zabýval se teorií čísel, nalezl např. metodu konstrukce magických čtverců. Je považován za autora Bézoutovy identity. Alena Šolcová, FIT ČVUT 20

Řetězové zlomky Aristarchos ze Samu, Archimédés, Fibonacci aproximace tzv. zlatého řezu v Liber abaci, 1202, Bombelli - aproximace druhé odmocniny v jeho spisu Algebra, 1572, Cataldi - Trattato, 1613. Počátek těchto úvah: X. kniha Eukleidových Základů - v pojednání o nesouměřitelných veličinách, v Prop. 2 počátek těchto úvah. Alena Šolcová, FIT ČVUT 21

Řetězové zlomky II Brahmagupta (598-670) byl první, který vyjádřil, že řetězový zlomek není zobrazení je to limita posloupnosti zobrazení. Pak se řetězovým zlomkům věnovali již nám známí Arabové - al-mahani, 9. stol., a al-chajjam, 12. stol. Nakonec přejdeme do Anglie: lord Brouncker našel formuli pro 4/pi a tuto formuli citoval Wallis ve svém díle Arithmetica infinitorum. Alena Šolcová, FIT ČVUT 22

Euclid's algorithm, mathematics and music Benjamin Wardhaugh, Plus Magazine, Issue 40, September 2006 A little while ago I was reading some letters written by the 17th century German mathematician Gottfried Leibniz to an obscure contemporary of his, Conrad Henfling. The letters were about music theory and the details of how to tune musical instruments. I was surprised to find that at one point Henfling started to use Euclid's algorithm to justify his musical reasoning. How useful could a mathematical technique from the third century BC be to a 17th-century musician? Very useful indeed, it turns out. Euclid's algorithm provides a way of dealing with equations of musical pitch, potentially helping musicians and instrument makers to tune musical instruments. Alena Šolcová, FIT ČVUT 23

Interval hudební a matematický Interval mezi oktávou a kvintou poměr a - n b = c, kde b > c oktáva - kvinta = kvarta 2:1 / 3:2 = 4:3 (1) kvinta - kvarta = tón 3:2 / 4:3 = 9:8 (2) kvarta - 2 tóny = půltón (např. E k F) 4:3 / (9:8) 2 = 256:243 (3) tón - 2 půltóny = komma 9:8 / (256:243) 2 = 531441:524288 (4) Alena Šolcová, FIT ČVUT 24

Jaká je vhodná aproximace kvinty v oktávě? Interval půltón - 3 kommy = 'X ' komma - 'X' = 'Y' Poměr 256:243/(531441:524288) 3 = (2 8 :3 5 ) / (3 12 : 2 19 ) 3 = 2 65 : 3 41 ------------------------------------------------------------- (3 12 : 2 19 ) / (2 65 : 3 41 ) = 3 53 : 2 84 'X' - 5'Y' = 'Z' 25 --------------------------------------- (2 65 : 3 41 ) / (3 53 : 2 84 ) 5 = 2 485 : 3 306 (>1} Alena Šolcová, FIT ČVUT

Jaká je vhodná aproximace kvinty v oktávě? Mohli bychom pokračovat dále nekonečněkrát (ln 4/3 - irac.). Předpokládejme, že tón - 2 půltóny = 0 Potom 1 tón = 2 půltóny (5) kvarta = 2 tóny + 1 půltón (podle 3) = 5 půltónů (podle 5) (6) kvinta = kvarta + tón (podle 2) = 7 půltónů (podle 5 a 6) (7) oktáva = kvinta + kvarta (podle 1) = 12 půltónů (podle 5 a 7) (8) Tedy Eukleidův algoritmus nám pomůže v tom, že můžeme zdůvodnit, že skutečně používaná aproximace kvinty v oktávě 7/12 je optimální (při zanedbání kommy), protože kvinta je přibližně 7 půltónů a oktáva jich má asi 12. Alena Šolcová, FIT ČVUT 26

Další krok tón = půltón 2. komma. T = P 2. K kvarta = T 2 P = K 2. P 5 kvinta Q Q =. T = K 3. P 7 oktáva (diapazon) D D =. Q = K 5. P 12 DNES: Temperované ladění používá pro půltón 12. odmocninu ze dvou. Kvinta pak je 2 7/12 (poměr frekvencí). Oktáva je přesná, tj. přesně 2. Alena Šolcová, FIT ČVUT 27

Lord William Brouncker (1620-1684) Irský matematik a hudebník, zakladatel a první president Královské společnosti v Londýně. Loyální royalista. Zabýval se řetězovými zlomky a počítal logaritmy pomocí nekonečných řad. Od 16 let studoval v Oxfordu. Doktorem medicíny (fyziky) se stal v roce 1647. Navrhoval tvar lodí, například navrhl tvar jachty pro Karla II. Dopisoval si s Johnem Wallisem. Alena Šolcová, FIT ČVUT 28

Brouncker II Brouncker našel obsah části rovnoosé hyperboly pomocí součtu určité řady. Přeložil Descartovo Hudební kompendium, 1653, a našel nové rozdělení diapasonu na 17 stejných půltónů. Alena Šolcová, FIT ČVUT 29

John Wallis 1616 1703 Anglický matematik, který se podílel na vývoji infinitezimálního počtu. Mezi roky 1643 a 1689 pracoval jako kryptograf pro parlament Spojeného království a později pro královský dvůr. Také zavedl symbol pro nekonečno. Byla po něm pojmenována planetka 31 982 Johnwallis. Alena Šolcová, FIT ČVUT 30

Kryptografie ve Wallisově době Kryptografie nebyla v té době na moc dobré úrovni. Navzdory individuálním úspěchům matematiků, mezi které patřil např. François Viète, nebyly principy návrhu a analýzy šifer moc dobře pochopeny. Většina cifer závisela na tajném algoritmu namísto proměnlivého klíče. Wallis si uvědomil, že druhá možnost je mnohem bezpečnější. Alena Šolcová, FIT ČVUT 31

Wallis - kalkulátor Studoval v Cambridge. Od roku 1649 profesorem geometrie v Oxfordu, předtím určitou dobu knězem. Wallisova mimořádná matematická schopnost počítat zpaměti. Špatně spal, často si počítal a v noci vstával. Jednou v noci spočítal z hlavy druhou odmocninu čísla s 53 ciframi a ráno diktoval výsledek zpaměti 27-ciferné číslo. Alena Šolcová, FIT ČVUT 32

Jak počítat bez počítače? Henry Oldenburg, sekretář Royal Society, poslal k Wallisovi kolegu, aby zjistil, jak to Wallis dělá. Závažné téma k diskusi ve Philosophical Transactions of the Royal Society roku 1685. ****** ****** Wallis zavedl termín řetězový zlomek do matematické literatury. Alena Šolcová, FIT ČVUT 33

Aplikace řetězových zlomků a EA Také Christian Huygens použil řetězové zlomky, kdy počítal počet zubů pro konstrukci planetaria (1682), De automato planetario. Astronomové vůbec ve svých výpočtech potřebovali často EA. Alena Šolcová, FIT ČVUT 34

Christian Huygens 1629-1695 Huygensův princip kyvadlové hodiny základy integrálního počtu kvadratura kruhu atd. Software Huygens Sonda Huygens Hora na Měsíci, kráter na Marsu, planetka 2801 Alena Šolcová, FIT ČVUT 35

Model sluneční soustavy Tehdy byl známý poměr oběžných dob Saturnu a Země kolem Slunce 29, 43 : 1 Huygens hledal vhodnou aproximaci a zvolil počet zubů v poměru 206 : 7 = 29, 4285 1. aprox.: 29, 43 29 + 1 / (2 + ) = 59/2 2. aprox.: 29 + 1 / (2 + 1/(3 + )) = 206/7 3. aprox.: 29+1/(2+1/(3+1/14)))=2943/100 Alena Šolcová, FIT ČVUT 36

18. a 19. století Nakonec bychom se mohli věnovat pracem Eulera, Lagrange a Sturma, speciálně čínským matematikům. České práce prvního profesora matematiky v češtině Fr. Jos. Studničky o řetězových zlomcích a teorii čísel jsou přístupné v České digitální knihovně. Alena Šolcová, FIT ČVUT 37

Leonhard Euler 1707-1783 analytická teorie řetězových zlomků vyjádření transcendentních funkcí 1748 Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, Vol. I, Chapter 18. Otázka konvergence nekonečného řetězového zlomku je analogická konstrukci iracionálního čísla jako limity Cauchyho posloupnosti racionálních čísel. Alena Šolcová, FIT ČVUT 38

Joseph Louis Lagrange Použil řetězové zlomky k nalezení obecného řešení Pellovy rovnice. x 2 - n y 2 = 1 Počet kořenů rovnice otázku formuloval René Descartes ve svém díle Géometrie, 1637 Kaskádová metoda Alena Šolcová, FIT ČVUT 39

Jacques Charles François Sturm 1803 Ženeva 1855 Paříž Vychovatel syna Mme de Stael a syna astronoma Araga, profesor l Ecole polytechnique a pařížské univerzity. Alena Šolcová, FIT ČVUT 40

Sturmova metoda Nx m + Px m-1 + Qx m-2 + + Tx + U = 0 V = 0 V = V 1 Q 1 V 2 V 1 = V 2 Q 2 V 3 V r-2 = V r-1 Q r-1 V r Alena Šolcová, FIT ČVUT 41

Donald Knuth a 20. století Donald Knuth Počínaje rokem 1950 je slovo algoritmus spojeno s EA. 1. díl slavného The Art of Computer Programming Alena Šolcová, FIT ČVUT 42