U3V Matematika Semestr 1

Transkript

1 U3V Matematika Semestr 1 Přednáška 0 Matematika a hudení harmonie Učíme se opět od starých Řeků

2 Jaké prolémy z historie matematiky si dnes vyereme? Různé průměry a jejich vlastnosti Různé posloupnosti čísel Exponenciální funkce a nepřímá úměrnost Pythagorejská harmonie v dur a moll

3 Chvála průměrnosti Základní potřená fakta

4 Nejdříve nějaké jednoduché úlohy Je dán odélník, jehož strany mají délky a,. Vypočítejte délku strany čtverce, který má: stejný ovod jako daný odélník, stejný osah jako daný odélník, stejný poměr osahu a ovodu jako daný odélník.

5 Jak se počítají průměry? aritmetický geometrický harmonický Snadno lze dokázat, že platí: ), ( a a A + = a a G. ), ( = a a a H + = ), ( a A a G a H a a < < < < < < ), ( ), ( ), ( 0 Jak to znázornit geometricky? Průměry.fig

6 Zajímavé poměry mezi průměry A( a, ) a + = G ( a, ) = a. H ( a, ) a = a + Pohledem na definice zjistíme, že platí: A ( a, ). H ( a, ) = G( a, ). G( a, ) = a. Jaké vztahy z toho lze odvodit?

7 Aritmetické a geometrické posloupnosti Jak se vytvářejí tyto posloupnosti? Postačí znát prvníčlen a výtvarný zákon : u aritmetické se neustále přičítá jistéčíslo, u geometrické se neustále násoí jistým číslem.

8 Jak souvisí posloupnosti s průměry? Soustřeďme se na tři po soě jdoucíčleny! Jak vypočítat prostřední z nich pomocí oou krajních? Aritmetická: Geometrická: a d, a, a + d a / q, a, a. q Posloupnost vytvořená pomocí vztahu y = k / x se nazývá harmonická. Proč asi?

9 Konstrukce zajímavé funkce Vytvořme funkci, kde hodnoty nezávisle proměnné tvoří aritmetickou posloupnost a jim odpovídající hodnoty závisle proměnné tvoří geometrickou posloupnost. Například: Jaké vlastnosti tato funkce má? aritm a geom posl.xls

10 Co plyne ze základní vlastnosti této funkce? Funkce je popsána rovnicí y = x, je definovaná na množině všech reálných čísel a pro liovolná x, y platí, že x+y = x. y. Budeme jen usuzovat, co ze základní rovnice plyne, když udeme šikovně volit hodnoty x a y!

11 Počítání harmonie

12 Poměry frekvencí tónů stanovené ve starém Řecku: kvarta kvinta oktáva oktáva : 1 kvinta 3 : kvarta 4 : 3 velká tercie 5 : 4 malá tercie 6 : 5

13 Jak dělili pythagorejci oktávu? kvarta (4 : 3) kvinta (3 : ) oktáva ( : 1) kvinta (3 : ) kvarta (4 : 3) F 0 F 5 F 7 F 1 harmonický průměr aritmetický průměr 1 H ( 1,) = = A( 1,) = = 3

14 Jak dále dělili kvintu? malá tercie (6 : 5) velká tercie (5 : 4) kvinta (3 : ) velká tercie (5 : 4) malá tercie (6 : 5) F 0 F 3 F 4 F 7 harmonický průměr H ( 1, ) = = = aritmetický průměr A( 1, ) = = = 5 4

15 Jak počítat durové a mollové kvintakordy? Kvintakord se skládá se ze tří tónů. První a třetí tón tvoří kvintu (7 půltónů). Prostřední druhý tón tvoří s oěma krajními tercie. Pak jsou dvě možnosti: Dur Moll velká tercie (4 půltóny) - malá tercie (3 půltóny) malá tercie (3 půltóny) - velká tercie (4 půltóny)

16 Co je to temperované ladění? Výpočty frekvencí tónů u temperovaného ladění vycházejí z tohoto předpokladu: Frekvence jednotlivých po soě jdoucích tónů tvoří geometrickou posloupnost. Temperované ladění.xls Harmonie.xls

17 Řetězce kvart a kvint

18 Jak můžeme jinak počítat frekvence? kvarta kvinta kvarta kvarta kvinta

19 Jaké jsou výsledky? Počet půltónů Jméno intervalu Frekvence z kvart Frekvence z kvint 0 prima 0 : 3 0 = 1, : 0 = 1,000 1 malá sekunda 8 : 3 5 1, : 11 1,068 velká sekunda 16 : ,110 3 : 3 1,15 3 malá tercie 5 : 3 3 1, : 14 1,01 4 velká tercie 13 : 3 8 1, : 6 1,66 5 kvarta : 3 1 1, : 17 1,35 6 triton 10 : 3 6 1, : 9 1,44 7 kvinta 18 : , : 1 1,500 8 malá sexta 7 : 3 4 1, : 1 1,60 9 velká sexta 15 : 3 9 1, : 4 1, malá septima 4 : 3 1, : 15 1,80 11 velká septima 1 : 3 7 1, : 7 1,898 1 oktáva 0 : 3 1 1, : 18,07

20 Co je to pythagorejské comma, ptolemaiovské comma a schizma? Vypočítejte poměry frekvencí z kvint a kvart pro jednotlivé tóny mimo primy a oktávy! Jaký výsledek jste održeli? Vypočítejte pro malou tercii poměry tří hodnot, které jsme již získali: 5 : 3 3 1,185 6 : 5 1, : 14 1,01

21 Jak se ladí kytara? Jednotlivé struny od nejnižší k nejvyšší jsou: e, a, d, g, h, e. Příslušné intervaly mezi nimi jsou tedy: kvarta, kvarta, kvarta, velká tercie, kvarta. Jaké chyy při ladění se dopustíme, když udeme ladit čistě?

22 Jak dlouhé jsou pražce na kytaře? Co plyne z faktu, že součin délky struny a frekvence jejího tónu je konstantní?

23 Děkuji vám za pozornost.