1 Polynomiální interpolace

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Polynomiální interpolace"

Pavla Čechová
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů, tj. polynom p očekáváme ve tvaru p(x) = a n x n + a n x n + a x + a 0, přičemž koeficienty a i jsou neznámé. Každá podmínka nám dá lineární rovnici v proměnných a i, celý problém lze tedy převést na řešení soustavy lineárních rovnic. Zbývá odpovědět na otázku, jak zvolit n, abychom nalezli polynom co nejmenšího stupně? Zvolíme-li n = počet podmínek, (.) pak dostaneme soustavu n + rovnic o n + neznámých (koeficientů je o jedna více než n), přičemž hodnost matice této soustavy bude vždy n +. To znamená, že tato soustava má jediné řešení, a toto řešení odpovídá hledanému polynomu (tj. polynomu co nejmenšího stupně, jenž vyhoví zadaným podmínkám). V našem případě je n = = 2, tedy polynom předpokládáme ve tvaru p(x) = a 2 x 2 + a x + a 0. Zadané podmínky pak vedou na soustavu rovnic Tuto soustavu vyřešíme: a 2 + a + a 0 = 0, 4a 2 + 2a + a 0 =, a 2 a + a 0 = Hledaný polynom je pak p(x) = 2x 2 x +. Příklad.2. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 2, p(2) =, p (2) = 2. Řešení. Polynom p očekáváme ve tvaru p(x) = a 2 x 2 + a x + a 0.

2 Derivace polynomu p je pak tvaru Zadané podmínky vedou na soustavu rovnic Tuto soustavu vyřešíme: p (x) = 2a 2 x + a. a 2 + a + a 0 = 2, 4a 2 + 2a + a 0 =, 4a 2 + a = Hledaný polynom je tedy x 2 2x +..2 Newtonova interpolační metoda Necht [x, y ], [x 2, y 2 ],..., [x n, y n ] jsou body v rovině. Našim úkolem je najít polynom p(x) co nejmenšího stupně, který splňuje p(x ) = y, p(x 2 ) = y 2,..., p(x n ) = y n. Pro libovolné nezáporné celé číslo k n definujeme poměrnou diferenci řádu k následujícím způsobem: Je-li k = 0, položíme p[x i ] = p(x i ). Pro k > 0 máme následující rekurentní vztah p[x i, x i+,..., x k+i x k+i ] = p[x i+,..., x k+i ] p[x i,..., x k+i ] x k+i x i. Pak hledaný interpolační polynom p(x) je p(x) = p(x 0 ) + p[x 0, x ] (x x 0 ) + p[x 0, x, x 2 ] (x x 0 )(x x ) p[x 0, x, x 2,..., x n ] (x x 0 )(x x ) (x x n ). Příklad.. Pomocí Newtonovy interpolační metody vyřešte příklad.. Řešení. Ze zadaných hodnot sestavíme tabulku poměrných diferencí: Výsledný polynom pak je x i p(x i ) p[x i, x i+ ] p[x 0, x, x 2 ] p(x) = 0 + (x ) + 2 (x )(x 2) = 2x 2 x +. 2

3 Máme-li v nějakém bodě x 0 kromě funkční hodnoty p(x 0 ) zadanou také hodnotu první derivace p (x 0 ), bod x 0 napíšeme do tabulky dvakrát (hned pod sebe) a místo hodnoty p[x 0, x 0 ], která není definovaná, napíšeme do tabulky hodnotu první derivace p (x 0 ) v bodě x 0. Ukážeme si to na následujícím příkladu. Příklad.4. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 2, p( ) = 6, p () = 2, p(0) =, p (0) = 4. Řešení. Ze zadaných hodnot sestavíme tabulku poměrných diferencí: Hledaný polynom pak je tvaru p(x) = 6 + (x + ) ( 5) + x(x + ) = x 2 4x +. 2 Rozklad na parciální zlomky Definice 2.. Funkce R(x) = p(x) q(x), kde p a q 0 jsou polynomy, se nazývá racionální lomená funkce. Je-li navíc deg p < deg q, pak se R nazývá ryze lomená. Poznámka 2.. V dalším budeme uvažovat pouze racionální lomené funkce, jejichž čitatel a jmenovatel jsou nesoudělné (tj. nemají společný kořen v C). Každou ryze lomenou funkci p(x) q(x) lze rozložit na součet jednodušších ryze lomených funkcí, tzv. parciálních zlomků. Tento součet je určen jednoznačně až na pořadí jednotlivých zlomků. Je-li α R kořen polynomu q(x) a jeho násobnost je k (tj. (x α) k q(x), ale (x α) k+ q(x)), pak zlomky tvaru A i (x α) i i =, 2,..., k jsou parciální zlomky pro vhodná reálná čísla A i. Je-li x 2 +ax+b ireducibilní (diskriminant je záporný) faktor polynomu q(x) a jeho násobnost je k (tj. (x 2 +ax+b) k q(x), ale (x 2 +ac+b) k+ q(x)), pak zlomky tvaru B i x + C i (x 2 + ax + b) i i =, 2,..., k jsou parciální zlomky pro vhodná reálná čísla B i, C i. Pokud tedy chceme pro zadanou ryze lomennou funkci R(x) = p(x) q(x) spočítat její rozklad na parciální zlomky, potřebujeme nejprve polynom q rozložit na součin ireducibilních polynomů. Tím získáme jmenovatele parciálních zlomků. Zbývá tedy dopočítat jejich čitatele. Způsob, kterým to lze udělat, ilustrují následující příklady.

4 Příklad 2.2. Racionální lomený výraz R(x) = 2x2 x + (x ) (x 2 + ) Řešení. Hledáme reálná čísla A, B, C tak, aby platilo 2x 2 x + (x ) (x 2 + ) = A x + Bx + C x 2 +. Levou i pravou stranu rovnosti vynásobíme výrazem (x ) (x 2 +). Tm dostaneme rovnost dvou polynomů 2x 2 x + = A(x 2 + ) + (Bx + C)(x ). Dva polynomy se rovnají, právě když mají stejné koeficienty. Porovnáním koeficientů u x 2, x a x 0 obdržíme soustavu rovnic x 2 : 2 = A + B, x : = B + C, x 0 : = A C. Řešením této soustavy je A =, B =, C = 0. Výsledný rozklad je potom 2x 2 x + (x ) (x 2 + ) = x + x x 2 +. Poznámka 2.2. Pro každou ryze lomenou funkci jsme schopni výše popsaným postupem najít rozklad na parciální zlomky. Tento je však roven původní funkci pouze, pokud její čitatel a jmenovatel jsou spolu nesoudělné. Příklad 2.. Racionální lomený výraz R(x) = x2 + x + x 2 + x Řešení. Zadaná racionální lomená funkce, není ryze lomená. Proto nejprve podělíme čitatel jmenovatelem se zbytkem a dostaneme x 2 + x + x 2 + x = + x 2 + x. Funkce je ryze lomená, tedy ji můžeme rozložit na parciální zlomky. Hledáme reálná x 2 +x čísla A, B tak, aby platilo x 2 + x = A x + B x +. To vede na soustavu rovnic 0 = A + B, = A, 4

5 tedy A = a B =. Výsledný rozklad je pak x 2 + x + x 2 + x Příklad 2.4. Racionální lomený výraz = + x + x +. R(x) = x5 + x 4 2x + 6x 2 x + x x 2 + x Řešení. Zadaná racionální lomená funkce, není ryze lomená. Proto nejprve podělíme čitatel jmenovatelem se zbytkem a dostaneme x 5 + x 4 2x + 6x 2 x + x x 2 + x = x 2 + 2x + x2 2x + x x 2 + x. Funkce x2 2x+ x x 2 +x je ryze lomená, tedy ji můžeme rozložit na parciální zlomky. Vidíme, že x x 2 +x = x(x 2 x+), přičemž x 2 x+ je ireducibilní nad R (má záporný diskriminant). Hledáme tedy relná čísla A, B, C tak, aby platilo Odtud dostáváme To vede na soustavu rovnic x 2 2x + x x 2 + x = A x + Bx + C x 2 x +. x 2 2x + = A(x 2 x + ) + (Bx + C)x. = A + B, 2 = A + C, = A tedy A =, B = 2 a C =. Výsledný rozklad je pak x 5 + x 4 2x + 6x 2 x + x x 2 + x Příklad 2.5. Racionální lomený výraz = x 2 + 2x + x + 2x x 2 x +. R(x) = x + 2x 2 + x + x 4 + 2x 2 + Řešení. Funkce x +2x 2 +x+ je ryze lomená, tedy ji můžeme rozložit na parciální zlomky. x 4 +2x 2 + Vidíme, že x 4 + 2x 2 + = (x 2 + ) 2, přičemž x 2 + je ireducibilní nad R (má záporný diskriminant). Hledáme tedy reálná čísla B, B 2, C, C 2 tak, aby platilo x + 2x 2 + x + x 4 + 2x 2 + = B x + C x B 2x + C 2 (x 2 + ) 2.

6 Odtud dostáváme x + 2x 2 + x + = (B x + C )(x 2 + ) + (B 2 x + C 2 ). To vede na soustavu rovnic = B, 2 = C, = B + B 2, = C + C 2. tedy B =, B 2 = 2, C = 2 a C 2 =. Výsledný rozklad je pak x + 2x 2 + x + x 4 + 2x 2 + = x + 2 x x (x 2 + ) 2. Limity posloupností Tvrzení.. Existují-li A, B R tak, že a n = A a b n = B, pak Je-li navíc B 0, pak Příklad.2. Vypočtěte: (a n b n ) = A B, (a n + b n ) = A + B, a n = A. a n = A b n B n 2 + n n sin(n!) n+ ( 2) n + n ( 2) n+ + n+ n n n 6. +6n 0 2n 7. Řešení.. ( ) 7n+6 + 2n+ n 2 + = n = n 2 + = 0.

7 2. ( n n ) ( n + n ) n (n ) n n = = = n + n n + n n + n = 0.. Platí proto n n + 2 sin(n!) n + n +, n 0 = 2 n + sin n! n + n + = ( 2) n + n ( 2) n+ = + n+ = ( 2) n + n ( 2) n+ + n+ ( 2 ) n + ) n+ = + ( 2 n+ n+ = 5. n n =. 6. n + 6n 0 2n = ( + = 2n + [ ( + 2n + ) 7n+6 ( = + ) 7 2 (2n+)] 2n + ( + 2n + ) 7 2 (2n+) 9 2 = ) 9 2 = e 7. 7

Podobné dokumenty

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem