REÁLNÉ OPCE Real Options

Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Podnikové hospodářství REÁLNÉ OPCE Real Options Bakalářská práce Vedoucí diplomové práce: Ing. Petr Suchánek, PhD. Autor: Radek VÝTISK Brno, květen 2006

2

3

Jméno a příjmení autora: Radek VÝTISK Název bakalářské práce: Reálné opce Název v angličtině: Real Options Katedra: Podnikové hospodářství Vedoucí diplomové (bakalářské) práce: Ing. Petr Suchánek, PhD. Rok obhajoby: 2006 Anotace Práce ukazuje možnosti použití jedné z moderních metod finanční analýzy v podnikohospodářské praxi a srovnává výsledky této analýzy s tradičními způsoby ohodnocování investičních projektů. Autor provádí analýzu projektu přestavby provozu na výrobu paštik nejprve pomocí metody čisté současné hodnoty, aby následně použil k ohodnocení téhož projektu metodu reálných opcí. Srovnáním výsledků obou analýz pak dochází k poznatku, že v konkrétním případě projektu přestavby provozu na výrobu paštik je vhodnější použít metodu reálných opcí, která udává přesnější ohodnocení projektu. Anotation The work demonstrates the possibilities of adopting a modern method of financial analysis in a company s economic practice and compares the outcomes of this analysis with traditional methods of evaluation of investment projects. The author analyzes the project for reconstruction of paté production using first the net present value method and then the real option method. The comparison of the outcomes of the respective methods shows better suitability of the real option method in this particular case of investment analysis arguing for more precise evaluation of the project at hand. Klíčová slova: Reálné opce, čistá současná hodnota, finanční analýza, ohodnocování investičních projektů. Key words: Real options, Net Present Value, Financial Analysis, Evaluation of Investment Projects. 4

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně pod vedením Ing. Petra Suchánka, PhD. a uvedl v seznamu literatury všechny použité literární a odborné zdroje. V Brně dne 22.5. 2006 vlastnoruční podpis autora 5

Obsah 1 Úvod...7 2 Metody finanční analýzy...9 2.1 Metoda čisté současné hodnoty...9 2.2 Reálné opce...12 2.2.1 Finanční opce...12 2.2.2 Oceňování finančních opcí...16 2.2.3 Oceňování reálných opcí...20 2.2.4 Klasifikace reálných opcí...20 3 Analýza projektu...24 3.1 Představení analyzovaného podniku...24 3.2 Analyzovaný projekt...24 3.3 Stanovení čisté současné hodnoty...25 3.4 Reálně opční analýza...29 3.5 Analýza optimálního načasování investice...33 4 Závěr...39 5 Použitá literatura...41 6

1 Úvod Většina podniků je zakládána proto, aby svojí činností produkovala zisk pro své vlastníky, kteří tak zhodnocují kapitál, jenž do podniku vložili. Aby mohl podnik plnit tento svůj základní cíl, vyvíjí nejrůznější aktivity. Nevyvíjí však aktivity libovolné, realizuje pouze projekty, u nichž je přesvědčen, že přinesou kýžený zisk. Aby mohl podnik (tedy jeho vedení) vybrat ze všech možných projektů pouze ty, které budou po své realizaci ziskové, provádí jejich analýzu, tu více, tu méně sofistikovanou. Existují nejrůznější analytické nástroje, které pomáhají vedení firmy ohodnotit budoucí možný přínos projektu. Globalizace světové ekonomiky nutí firmy ke stále větší flexibilitě v rozhodování, která se stává velice ceněnou komoditou. Zároveň je však flexibilita velice těžko ocenitelná. Ukazuje se, že tradiční metody hodnocení výnosnosti projektů nedokáží flexibilitu v projektech zabudovanou odhalit, natož pak adekvátně ohodnotit. Proto se ve druhé polovině 70. let 20. století zrodila myšlenka nahlížet na některé projekty jako na reálné opce a využít při oceňování takových projektů analogie s oceňováním opci finančních. V dnešní době prožívá metodologie reálných opcí po pomalejším rozjezdu skutečný boom, její zavádění do praxe je podporováno rostoucím počtem knih věnovaných dané problematice, 1 reálným opcím jsou věnována také speciální čísla odborných časopisů. 2 V českých zemích však autor příliš velký zájem vědecké komunity o problematiku reálných opcí, navzdory výjimečným počinům Oldřicha Starého či Hany Scholleové, nezaznamenal, nemluvě o nepříliš širokém uplatnění metodologie reálných opcí v podnikohospodářské praxi. Scholleová to vysvětluje nedůvěrou manažerů k některým metodám stanovování hodnoty reálných opcí, které tito manažeři považují za příslovečnou černou skříňku, do níž není vidět a která je příliš složitá na pochopení. Předkládaná práce si klade za cíl prozkoumat možnosti využití reálně opčních metod hodnocení investičních projektů a na zvoleném konkrétním příkladu provést komparaci výsledků analýzy daného projektu pomocí tradičního způsobu ohodnocení metodou čisté současné hodnoty a výsledků analýzy téhož projektu pomocí metody reálných opcí. Přitom se pokusí poukázat na některé silné a slabé stránky obou 1 Pro jejich jistě neúplný, přesto inspirativní výčet viz poznámku č. 8 v Miller, K.D., Waller, H.G.: Scenarios, Real Options and Integrated Risk Management, str. 106 2 viz tamtéž, poznámka číslo 9. 7

metod, aby v závěru bylo vysloveno doporučení, jak postupovat v konkrétním případě při realizaci investičního projektu. Analyzovaný projekt na přestavbu provozu vyrábějícího paštiky ve společnosti SELIKO Opava, a.s. obsahuje možnost realizaci přestavby o několik let odložit. Tím poskytuje vedení firmy určitou míru flexibility, kterou je třeba ohodnotit. S vědomím těchto faktů autor vyslovuje hypotézu, že daný projekt je vhodnější ohodnotit pomocí metody reálných opcí, než pomocí tradiční metody čisté současné hodnoty. Tuto hypotézu v předkládané práci otestujeme pomocí výše zmíněné analýzy projektu oběma metodami a následnou interpretací výsledků této analýzy. Struktura předkládané práce koresponduje se zamýšlenými cíli díla. Proto je rozdělena do dvou velkých celků. V první části si autor teoretickým rozborem jednotlivých metod finanční analýzy připravuje zázemí analytických nástrojů, které následně ve druhé části aplikuje na zmíněném konkrétním příkladě. Nejprve je v teoretické části nastíněn postup při stanovování čisté současné hodnoty investičního projektu, následně jsou zmíněny možnosti interpretace výsledků analýzy pomocí metody čisté současné hodnoty a její přednosti a nedostatky. Druhá subkapitola první části vytváří teoretické pozadí pro zavedení pojmu reálných opcí tím, že osvětluje některé ze základních pojmů používaných při ohodnocování finančních opcí. Ve třetí podkapitole je pak vysvětlen pojem reálných opcí a představena jejich klasifikace. Praktická část práce je rozdělena do čtyř celků. V prvním z nich je ve stručnosti představena firma SELIKO Opava, a.s., její historie a předmět podnikání. Navazuje popis parametrů analyzovaného projektu přestavby provozu paštik. V dalším oddíle je provedena analýza projektu přestavby provozu paštik pomocí metody čisté současné hodnoty a jsou interpretovány její výsledky. Poté je provedena analýza stejného projektu pomocí reálně opčních technik a je stanovena hodnota projektu. Nakonec je pomocí reálně opčních technik provedena analýza optimálního načasování projektu. Z metodologického hlediska jsou v práci (zejména v její druhé části) používány převážně analytické postupy, které jsou nadefinovány v části první. První část práce má proto deskriptivní charakter a má za úkol zformovat rámec analýzy. 8

2 Metody finanční analýzy Než přejdeme k samotné analýze jednotlivých metod finanční analýzy na pozadí konkrétního příkladu, musíme si dva porovnávané způsoby hodnocení budoucích projektů teoreticky vymezit. Existují různé způsoby, jak hodnotit efektivnost investic. Obvykle však bývají vymezovány dvě základní skupiny postupů: 3 1. Metody statické ve své aplikaci zohledňují zejména peněžní přínosy investice, případně poměřují tyto s počátečními výnosy. Existuje několik základních statických postupů. Průměrný roční výnos lze spočítat jako součet všech cash flow spojených s investicí, dělený počtem let životnosti investice. Průměrná doba návratnosti vyjadřuje dobu potřebnou k tomu, aby došlo při rovnoměrné realizaci peněžních toků ke splacení investice. Průměrná procentní výnosnost udává, kolik procent investovaného kapitálu se ročně průměrně vrátí. Doba návratnosti se určuje jako počet let, který musí uběhnout, aby se kumulované peněžní toky vyrovnaly počáteční investici. 2. Dynamické metody jdou dále. Přihlížejí k působení faktoru času; jejich základem je aktualizace (diskontování) všech vstupních parametrů použitých pro výpočet. Zároveň je v diskontním faktoru zohledněno nejen působení času, ale i rizika. 4 Nejčastěji používané jsou metody výpočtu čisté současné hodnoty, vnitřního výnosového procenta a v poslední době také metody reálně opční. V dalším textu bude pracováno zejména s těmito dynamickými metodami hodnocení investic. 2.1 Metoda čisté současné hodnoty Asi nejčastěji používanou metodu hodnocení investic představuje výpočet čisté současné hodnoty projektu. Ukazatel NPV (z anglického Net Present Value) představuje rozdíl současné hodnoty všech budoucích příjmů projektu a současné hodnoty všech výdajů projektu. Jinými slovy můžeme čistou současnou hodnotu definovat jako součet diskontovaných čistých peněžních toků projektu během jeho 3 blíže Kislingerová, E. et al.: Manažerské finance, str. 254 a násl. 4 viz tamtéž str. 256 9

života. 5 Základní myšlenkou celého konceptu je fakt, že peníze mění v čase svoji hodnotu. Proto, když chceme vypočítat, jakou hodnotu bude mít investice v budoucnosti, pokoušíme se určit budoucí hodnotu této investice z její hodnoty současné. Neboli současná hodnota (PV present value) představuje částku, která (pokud bude ve sledovaném období úročena) přinese budoucí hodnotu (FV- future value): ( r) n FV = PV 1 + (1) kde FV je future value, PV je present value, r je úroková míra, n je počet let, během nichž je částka investována 6 Ze vztahu (1) můžeme bez problémů odvodit současnou hodnotu peněžního toku PV jako: PV 1 = FV * (2) ( 1+ r) n kde výraz 1 ( 1+ r) n se nazývá diskontní sazba (nebo také odúročitel). Odtud pak můžeme čistou současnou hodnotu projektu NPV stanovit jako součet diskontovaných čistých toků hotovosti během doby života investice: NPV = n NPV i ( r) i= 1 1+ i (3) kde NPV je čistá současná hodnota investice, NPV i je čistý tok hotovosti v i-tém roce života projektu, 7 r je diskontní sazba. 5 viz Fotr, J.: Podnikatelský plán a investiční rozhodování, str. 64 6 viz Smejkal, V., Rais, K.: Řízení rizik, str.212 7 Čistý tok hotovosti vyjadřuje rozdíl příjmů a výdajů v jednotlivých letech života projektu. 10

Pokud jsme nuceni na počátku života projektu vynaložit určitou investici, která by se měla v průběhu života projektu vrátit ( a pokud možno nejen to), můžeme vzorec (3) upravit do následující podoby: NPV = n i= 1 1 NPV i i ( + r) K (4) kde K je kapitálový výdaj. Máme-li takto nadefinovaný postup výpočtu čisté současné hodnoty projektu, nezbývá, než rozebrat interpretaci možných výsledků. Je zřejmé, že každý projekt s kladnou čistou současnou hodnotou zvyšuje hodnotu (majetek) podniku, a naopak projekt se zápornou čistou současnou hodnotou hodnotu podniku snižuje. 8 Tento fakt nám pak umožňuje používat čistou současnou hodnotu jako kritérium rozhodování o přijetí či nepřijetí té které investice. Pokud je čistá současná hodnota projektu kladná, velí nám logika věci takový projekt přijmout, na druhou stranu, pokud je čistá současná hodnota daného projektu záporná, měl by být tento zamítnut a jeho realizace by měla být vyloučena. Čistá současná hodnota jako kritérium pro hodnocení investičních projektů má několik základních výhod, pro něž je oblíbeným nástrojem analýzy. Předně bere v úvahu časovou hodnotu peněz, což je zajištěno diskontováním peněžních toků. Dále je závislá pouze na prognózovaných hotovostních tocích a alternativních nákladech kapitálu, je tedy relativně jednoduchá co do počtu proměnných, které zahrnuje do výpočtu. Konečně, ukazatel čisté současné hodnoty je aditivní, to znamená, že lze mezi sebou sčítat výsledky dosažené u jednotlivých investičních projektů v portfoliu investora a tak stanovit celkovou hodnotu portfolia. 9 Na druhou stranu má metoda hodnocení výhodnosti investic pomocí jejich čisté současné hodnoty také své nedostatky. Předně, výstupem metody čisté současné hodnoty jsou pouze absolutní čísla, což může poněkud zkreslovat a ztěžovat rozhodování v případech, kdy porovnáváme dvě nebo více investičních příležitostí mezi sebou. Tento nedostatek pak musí být eliminován používáním doplňkových hodnotících metod, jako je například metoda určení vnitřního výnosového procenta projektu, apod. Další podstatnou nevýhodou čisté současné hodnoty je její vysoká citlivost na vývoj úrokových měr, která se promítá do výše 8 viz Fotr, J.: Podnikatelský plán a investiční rozhodování, str. 65 9 blíže Kislingerová, E. et al.: Manažerské finance, str. 257 11

diskontního faktoru a je v turbulentním prostředí obtížně predikovatelná. 10 Proto je také velice obtížné nějakým spolehlivým a přesným způsobem diskontní sazbu stanovit. Konečně, poslední nevýhodou čisté současné hodnoty je předpoklad, že projekt se bude po celou dobu svého života vyvíjet předpokládaným způsobem. 11 2.2 Reálné opce Abychom mohli metodologii reálných opcí používat korektně a nedocházelo k žádným terminologickým rozepřím, je nezbytné si nejprve ve stručnosti přiblížit základní používané pojmy z oblasti finančních opcí, které jsou při reálně-opčních metodách využívány. 2.2.1 Finanční opce Finanční opce lze rozdělit podle několika kritérií. 12 Podle typu opce je možné rozlišovat takzvané call opce, které dávají svému držiteli právo na budoucí koupi za předem dohodnutých pravidel (v daném čase a za danou cenu), a takzvané put opce, jejichž držiteli přísluší právo v budoucnosti prodat podkladové aktivum za předem dohodnutých podmínek. U obou typů opcí se vypisovatel opce zavazuje splnit podmínky dohody v případě, že držitel opce tuto uplatní. Za tento závazek obdrží vypisovatel opce finanční odměnu (opční prémii). Na základě takto definovaných práv, resp. povinností držitele, resp. vypisovatele opce lze opce podle pozice, v níž se nacházejí, dělit na opce v short (krátké) pozici a opce v long (dlouhé) pozici. Strana, která je v long pozici, má právo se rozhodovat, zda opci využije či nikoliv, zatímco strana v short pozici se smluvně zavázala k povinnosti přizpůsobit se rozhodnutí strany v pozici long. Jiným kritériem, které lze při dělení finančních opcí použít, je doba, kdy je možné opční právo využít. Z tohoto hlediska lze opce dělit na evropské a americké, přičemž opce evropského typu mají předem dohodnutý pevný termín vypořádání, zatímco u opcí amerického typu je dohodnut pouze nejzazší termín vypořádání a opci je možno uplatnit kdykoliv během doby, která předchází tomuto termínu včetně. Konečně, poslední dělení finančních opcí vychází ze vztahu mezi současnou 10 viz tamtéž, str. 258 11 blíže Yeo, K.T., Fasheng Qiu: The value of management flexibility a real option approach to investment evaluation, str. 243 12 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 6 12

(spotovou) cenou podkladového aktiva (dále také S) a mezi expirační (tedy předem dohodnutou při uzavírání opční smlouvy) cenou (dále také X). Pak hovoříme o opcích, které jsou v penězích, pokud je momentální vztah S a X takový, že opci je výhodné využít, a opcích mimo peníze, pokud je vztah S a X pro držitele opce nevýhodný. 13 V souladu se základním dělením finančních opcí na call a put opce a na opce v short pozici a opce v long pozici lze nyní provést diskuzi možných zisků a ztrát v jednotlivých situacích na trhu. 14 Začneme call opcemi v long pozici. Držitel call opce zaplatil jejímu vypisovateli prémii P za to, že v předem dohodnutém termínu bude mít právo nakoupit podkladové aktivum za předem dohodnutou cenu X. V daném termínu bude mít podkladové aktivum skutečnou cenu S a mohou nastat tři případy: 1. S < X => opce nebude uplatněna a držitel opce realizuje ztrátu ve výši opční prémie P. 2. S > X, ale zároveň platí, že S < (X + P) => opce bude uplatněna, nicméně držitel opce stále realizuje ztrátu, která je však v tomto případě nižší a je rovna rozdílu S (X + P). 3. S > (X + P) => držitel opce uplatní své právo na nákup podkladového aktiva a realizuje zisk, který je roven rozdílu S (X + P). V grafické podobě pak zisková funkce držitele call opce v long pozici vypadá následovně: Obr. 1: Zisková funkce call opce v long pozici 15 13 Cf. také Gilteman,G.: Use of Real Options in Asset Valuation, str. 64, který hovoří ještě o opcích na penězích, v případě, že vztah S a X je neutrální (tedy ani výhodný, ani nevýhodný). 14 Budeme uvažovat opce evropského typu, pokud nebude výslovně uvedeno něco jiného. 15 Zdroj: Scholleová, H.: Reálné opce, str. 7 13

Podíváme-li se na stejnou situaci z pohledu výstavce téže opce, který se za obdržení prémie P zavázal v dohodnutém termínu koupit podkladové aktivum za předem smluvenou cenu X, mohou nastat opět tři případy: 1. S < X => opce nebude uplatněna a vypisovatel realizuje zisk ve výši obdržené prémie P. 2. S > X, ale zároveň platí, že S < (X + P) => opce bude uplatněna, přesto vypisovatel realizuje zisk. Ten je ovšem roven hodnotě výrazu (X + P) S. 3. S > (X + P) => držitel opce uplatní své právo na nákup podkladového aktiva a vypisovatel opce realizuje neomezenou ztrátu, která je rovna hodnotě výrazu (X + P) S. Grafická podoba výše zmíněných alternativ zisků, resp. ztrát vypisovatele call opce v pozici short: Obr. 2: Zisková funkce call opce v short pozici 16 Obdobně lze stanovit ziskové funkce u put opcí. Držitel put opce, který se nachází v pozici long, si za stanovenou prémii P koupil od vypisovatele této opce právo v daném termínu prodat podkladové aktivum za dohodnutou cenu X. Nastat mohou tři případy: 1. S < X => opce bude uplatněna a je-li zároveň S < (X P), realizuje držitel put opce zisk shora omezený výrazem X P pro S = 0. 16 Zdroj: Scholleová, H.: Reálné opce, str. 8 14

2. S < X => opce bude uplatněna, ale (X P) < S, pak je realizována ztráta menší než prémie P, která je rovna hodnotě výrazu X S P. 3. S > X => opce nebude uplatněna a držitel opce realizuje ztrátu ve výši zaplacené opční prémie P. Obr. 3: Zisková funkce put opce v long pozici 17 Konečně, poslední základní situací je put opce v pozici short. Výstavce put opce se za obdržení prémie P zavázal koupit ve stanoveném termínu od držitele opce podkladové aktivum za smluvenou cenu X. Opět existují tři možné situace: 1. S < X => opce bude uplatněna a je-li zároveň S < (X P), realizuje výstavce ztrátu, jejíž výše je shora omezená hodnotou výrazu (X P). 2. S < X => opce bude uplatněna, ale (X P) < S, pak výstavce realizuje omezený zisk, jehož výše je rovna hodnotě výrazu S (X P). 3. S > X => opce nebude uplatněna a výstavce realizuje zisk ve výši opční prémie P. 17 Zdroj: Scholleová, H.: Reálné opce, str. 9 15

Obr. 4: Zisková funkce put opce v short pozici 18 2.2.2 Oceňování finančních opcí Máme-li nadefinovány základní možnosti průběhu ziskových funkcí pro jednotlivé druhy opcí, můžeme definovat také vnitřní hodnotu opce. Ta určuje výši zisku (bez opční prémie) při okamžitém využití opce. Matematicky můžeme použít vztahy: 19 V C ( 0 S X ) = max ; (5) pro call opci, a V P ( 0 X S) = max ; (6) pro put opci. Vnitřní hodnota opce je však pouze prvním z faktorů, které vstupují do výpočtu při oceňování opcí. Dalšími faktory jsou čas do vypršení opce, volatilita podkladového aktiva a bezriziková úroková míra. 20 Existují v zásadě dva základní způsoby oceňování opcí, které se od sebe liší ve vnímání faktoru času. V binomickém způsobu oceňování je čas vnímán jako diskrétní veličina, 21 to znamená, že dobu do vypršení opce je možno rozdělit na 18 Zdroj: Scholleová, H.: Reálné opce, str. 10 19 viz Starý, O.: Reálné opce, str. 25-26 20 blíže Buckley, A., Tse, K., Rijken, H., Eijgenhuijsen, H.: Stock Market Valuation with Real Options, str. 514 21 viz Kyläheiko, K., Sandström, J., Virkkunen, V.: Dynamic capability view in terms of real options, str. 69 16

konečné množství časových úseků. Oproti tomu stojí pohled na čas jako na spojitou veličinu a z něj vyplývající Black-Scholesův model oceňování opcí. Nejprve si přiblížíme binomický model oceňování opcí. Na začátku je třeba rozdělit expirační dobu na n období. Binomický model vychází z předpokladu, že v každém z těchto období se může cena podkladového aktiva měnit tak, že nastane buďto její růst u s pravděpodobností p, nebo nastane její pokles d s pravděpodobností 1-p. Budeme-li uvažovat pouze jedno období, pak na jeho konci bude mít tedy podkladové aktivum cenu v případě vzestupu rovnu S u (s pravděpodobností p), v případě poklesu rovnu S d (s pravděpodobností 1-p). Vnitřní hodnota call opce je po dosazení do vztahu (5) rovna: 22 V C ( u S X,0) + ( 1 p) max( d S X,0) = p max (7) Pokud chceme vypočítat současnou hodnotu opce, musíme její vnitřní hodnotu vypočítanou podle vztahu (7) diskontovat k začátku období, tedy hodnota opce je vyjádřena vztahem: [ p max( u S X,0) + ( 1 p) max( d S X,0)] ( 1 r) V C = + (8) kde r je bezriziková úroková míra. Pokud budeme chtít rozšířit vzorec (8) na více období než jedno, musíme uvažovat více možností, které mohou nastat opakovaným větvením v každém dalším období. Pak vztah (8) upravený pro n období stanoví hodnotu evropské call opce jako: V C = 1 n n! n ( 1+ r) i= 0 i! ( n i) p! i n i i n i ( 1 p) max( S u d X,0) (9) Pokud máme call opci amerického typu, není možné binomickým postupem stanovit hodnotu této opce přímo, je třeba postupovat rekurentně binomickým stromem zpět, přičemž i-tá hodnota uzlu v čase (n-1) je rovna: 22 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 16-20 17

( V ) C i n 1 = ( 1+ r) i n i i 1 n i+ [ p max( S u d X, S X ) + ( 1 p) max( S u d X, S X )] 1 1 Jednotlivé parametry potřebné pro výpočet binomického modelu, tedy koeficienty růstu, resp. poklesu a pravděpodobnosti poklesu a růstu, lze vyjádřit za předpokladu, že známe volatilitu představovanou směrodatnou odchylkou výnosů σ podkladového aktiva, následujícími vztahy: (10) T n u = e σ (11) d T n = e σ (12) ( + r) T n d p = 1 (13) u d ( 1+ r) T n u 1 p = (14) d u kde T je expirační doba opce e je základ přirozeného logaritmu. Přitom volatilitu výnosů podkladového aktiva lze určit např. následujícím postupem na základě historických změn výnosů tohoto aktiva. Jsou-li x 1, x 2 x k ceny podkladového aktiva v minulém období, pak nejprve stanovíme změnové hodnoty y 1, y 2 y k-1 a to podle vzorce: = x x n n 1 y n 1 (15) xn 1 Z těchto hodnot pak stanovíme směrodatnou odchylku: 23 n 1 j = 1 ( y y) j 2 σ = (16) n 1 23 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 27 18

Podobně, jako lze odvodit vztah (9) pro výpočet hodnoty evropské call opce, lze stanovit také vzorec pro výpočet hodnoty evropské put opce: V P = 1 n n! n ( 1+ r) i= 0 i! ( n i) p! i n i i n i ( 1 p) max( X S u d,0) (17) Stejně tak, pro výpočet hodnoty americké put opce je nutno postupovat rekurentně binomickým stromem zpět, přičemž i-tá hodnota uzlu v čase (n-1) je rovna: ( V ) P i n 1 = ( 1+ r) i n i i 1 n i+ [ p max( X S u d, X S) + ( 1 p) max( X S u d, X S )] 1 1 (18) Přesuneme se nyní od binomického (diskrétního) vnímání veličiny času k jeho pojímání coby veličiny spojité. V roce 1973 byl publikován článek autorů Fischera Blacka a Myrona Scholese, kteří jako první uvedli vzorec pro výpočet ceny opce pro spojitou funkci rozdělení očekávaných budoucích hodnot podkladového aktiva. 24 Tento spojitý model vychází z předpokladu, že časový úsek lze rozdělit na nekonečně mnoho nekonečně malých podúseků a že se tedy cena podkladového aktiva mění spojitě. Kromě toho je nutné, aby oceňovaná opce byla evropského typu (pro americké opce postup není možné použít), aby střední hodnota výnosu podkladového aktiva a její směrodatná odchylka byly v čase konstantní a stejně tak musí být konstantní i bezriziková úroková míra. Pak hodnotu evropské call opce v době t do její splatnosti lze stanovit takto: 25 V C = S N rt ( d ) X e N( ) 1 d 2 (19) Pro hodnotu evropské put opce pak platí: V P = S N rt ( d ) + X e N( ) 1 d 2 (20) kde 24 viz Starý, O.: Reálné opce, str. 40 25 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 22 19

2 ( S X ) + ( r + σ 2) ln t d1 = (21) σ t 2 ( S X ) + ( r σ 2) ln t d 2 = d1 σ t = (22) σ t a parametr N(x) je dán distribuční funkcí normálního rozdělení, která má obecný tvar: 2 x t 1 2 N e ( x) = 2π dt (23) a vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou veličina nabude hodnot v intervalu (, x. 2.2.3 Oceňování reálných opcí Parametry, které ovlivňují hodnotu finanční opce, mají své analogie při používání reálně opčních metod. Aktuální (spotovou) ceně podkladového aktiva (S) odpovídá v terminologii reálných opcí současná hodnota budoucích cash flow, které projekt přinese. Realizační cenu (X) představují investiční výdaje, které je třeba ke spuštění projektu vynaložit. Dobu do splatnosti (t) nahradíme dobou životnosti projektu, bezriziková úroková míra (r) se nemění a volatilita podkladového aktiva ( σ 2 ) je nahrazena volatilitou projektu, tedy volatilitou budoucích možných peněžních toků z investice. 26 2.2.4 Klasifikace reálných opcí Pojem reálné opce poprvé použil S. Myers v roce 1977. 27 Pod tímto pojmem rozuměl opce na rozšíření, odložení a opuštění projektu v závislosti na nových budoucích informacích. Teprve v 90. letech 20. století vzniká ucelená metodologie pro používání opčních technik v podnikové praxi, kam se reálné opce ke konci dekády pozvolna začaly prosazovat. V současné době je za nejperspektivnější možnost používání reálně opčních technik v podnikové praxi považováno 26 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 35 27 viz Myers, S.: Determinants of Capital Borrowing 20

stanovování hodnoty investičních projektů jako hodnoty reálné opce a následné rozhodnutí přijímané na základě opční metodologie oceňování reálných opcí. 28 Opční techniky při oceňování investičních projektů zavádějí do uvažování podniků další novou proměnnou, kterou je flexibilita, tedy schopnost přizpůsobit se měnícím se vnějším podmínkám. Výnosové metody oceňování projektů 29 pracují s předpokladem, že podnik má vypracovanou určitou strategii dalšího vývoje a že tato strategie bude dodržena. Ovšem v dnešní době, více než kdykoli předtím, je hodnota podniku zvyšována flexibilitou managementu, který kromě své strategie je vybaven určitou pružností v rozhodování a i tato má samozřejmě sovu hodnotu. Hodnota projektu je pak čistou současnou hodnotou zvýšenou o prémii, která je ohodnocením této flexibility, tj. hodnota projektu = tradiční NPV + opční hodnota. 30 Klasifikace reálných opcí není zcela ustálená, nicméně obvykle bývá rozlišováno několik základních typů reálných opcí: 31 1. Opce vyčkávání spočívá v právu managementu na odložení zahájení projektu o t let, přičemž během této doby může management získávat nové informace o vývoji základních parametrů projektu. Pokud se pak vyvíjejí podmínky příznivě, uplatní management opci a provede realizaci projektu. V opačném případě investici neprovede. Jde o call opci obecně amerického typu, která má následující parametry: Současná cena podkladového aktiva S = současná hodnota CF projektu. Realizační cena X = investiční výdaj IN. Doba životnosti opce t = doba, po kterou může být zahájení projektu odloženo. Bezriziková úroková míra r = bezriziková úroková míra r. Volatilita (směrodatná odchylka) = volatilita hodnoty budoucích CF. 2. Opce na rozšíření projektu spočívá v možnosti rozšířit původní projekt budováním dodatečných kapacit na základě dodatečných informací v případě, že se tržní podmínky vyvíjejí příznivě. Opět se jedná o call opci obecně amerického typu, jejímiž parametry jsou: 28 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 5 29 Například metoda čisté současné hodnoty 30 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 31 31 blíže tamtéž, str. 41-47 21

Současná cena podkladového aktiva S = současná hodnota CF rozšířené části projektu. Realizační cena X = dodatečné investiční výdaje ID k rozšíření základního projektu. Doba životnosti opce t = doba, po kterou může být rozšíření uplatněno zpravidla doba životnosti základního projektu. Bezriziková úroková míra r = bezriziková úroková míra r. Volatilita (směrodatná odchylka) = volatilita hodnoty budoucích CF. 3. Opce na zúžení projektu je analogií předchozího typu, spočívá v možnosti zmenšit původní projekt zrušením části plánovaných výrobních kapacit a tím ušetřit část investičních nákladů, pokud se podmínky vyvíjejí méně příznivě, než se čekalo. Je-li možné projekt zúžit kdykoliv v průběhu jeho životnosti, jedná se o americkou put opci na cash flow likvidované části projektu s parametry: Současná cena podkladového aktiva S = současná hodnota CF likvidované části projektu. Realizační cena X = uspořené investiční výdaje IU. Doba životnosti opce t = doba, po kterou může být zúžení uplatněno zpravidla doba životnosti základního projektu. Bezriziková úroková míra r = bezriziková úroková míra r. Volatilita (směrodatná odchylka) = volatilita hodnoty budoucích CF. 4. Opce na opuštění projektu umožňuje managementu v případě dodatečných nepříznivých informací ukončit projekt před koncem předpokládané životnosti a aktiva rozprodat za zůstatkovou cenu. Jde o americkou put opci s parametry: Současná cena podkladového aktiva S = současná hodnota CF v čase t. Realizační cena X = zůstatková cena aktiv ZC. Doba životnosti opce t = doba, po kterou může být opuštění uplatněno zpravidla doba životnosti základního projektu. Bezriziková úroková míra r = bezriziková úroková míra r. Volatilita (směrodatná odchylka) = volatilita hodnoty budoucích CF. 5. Opce na dočasné přerušení projektu je vhodná pro projekty, které je možné přerušit, pokud ceny a příjmy nejsou dost vysoké na to, aby pokryly variabilní 22

náklady výroby, a které je možné opětovně spustit, pokud v dalším období ceny vzrostou. Formálně jde o americkou call opci s parametry: Současná cena podkladového aktiva S = současná hodnota CF v daném období. Realizační cena X = variabilní náklady výroby VC. Doba životnosti opce t = doba životnosti základního projektu. Bezriziková úroková míra r = bezriziková úroková míra r. Volatilita (směrodatná odchylka) = volatilita hodnoty budoucích CF.) 6. Opce záměny je využívána při volbě alternativních vstupů, které je možné měnit podle aktuálního vývoje cen na trzích. Jde o složenou opci, kombinaci opce přerušení projektu s jedním vstupem a současně zahájení projektu se vstupem druhým. Formálně jde o současně probíhající americkou put opci (opuštění jednoho vstupu) a americkou call opci (zahájení výroby pomocí druhého vstupu). 23

3 Analýza projektu Nebylo by korektní zobecňovat možnosti reálně opční analýzy na základě jednoho případu a také to není cílem předkládané práce. Tato práce má za úkol spíše ukázat možnost či vhodnost použití reálně opčního přístupu ve srovnání s tradičními přístupy (NPV) v jednom konkrétním podniku na jednom konkrétním projektu. 3.1 Představení analyzovaného podniku Akciová společnost SELIKO Opava, a.s., která vznikla v roce 1999 se řadí mezi nejvýznamnější producenty konzervárenské a masné výroby na tuzemském trhu s tradicí od roku 1861. Od svého vzniku prošla obdobím, kdy jejími hlavními zákazníky byl tzv. nezávislý trh, až po dnešní situaci, kdy 90 % jejích odběratelů tvoří zahraniční obchodní řetězce. V portfoliu výroby a prodeje je nyní jak tradiční konzervárenské zboží, tj. sterilovaná zelenina, tak i ovocné pomazánky a masová výroba hotová, konzervovaná jídla a paštiky. Jejich výroba je založena na tradičních technologických postupech, které se průběžně upravují a doplňují jak dle požadavků zákazníků, tak v souladu s platnými předpisy. Tento sortiment a postavení na trhu požadují splnění náročných veterinárních a hygienických norem, včetně požadavků na oprávnění vývozu do EU. Zmíněnou kvalitu výrobků dokazuje i fakt, že společnost úspěšně prošla certifikačním auditem systému řízení HACCP, který prováděla firma BVQI (česká pobočka známé londýnské společnosti BUREAU VERITAS). 3.2 Analyzovaný projekt V nedávné době prováděla společnost SELIKO Opava, a.s. rozsáhlou modernizaci svých provozů. Jeden z projektů v rámci této modernizace bude předmětem zájmu předkládané práce. Jedná se o projekt komplexního řešení renovace provozu vyrábějícího paštiky. Renovovaná linka byla uvedena do provozu v roce 2001, její životnost je 10 let. Renovace se dotkla celkem pěti částí výrobního provozu: 24

1. Byla upravena varna a přípravna masa, kde byla provedena výměna tří stávajících kotlů za dva kotle tlakové s větším objemem. K tomu byly provedeny odpovídající stavební úpravy. Celkové náklady této části projektu byly vyčísleny na 604 000 Kč. 2. Druhá fáze renovace spočívala v opravách kutru, nahrazení nevyhovujících nožů a mísy. Náklady oprav dosáhly výše 900 000 Kč. 3. Třetí část provozu zajišťuje plnění konzerv pomocí dosomatů. Během renovace proběhla rekonstrukce a přemístění jednoho přístroje na plnění, přemístění dalšího přístroje a zrušení jednoho nepotřebného stroje. Náklady třetí fáze dosáhly 600 000 Kč. 4. Po naplnění jsou paštiky sterilizovány. Při úpravách úseku sterilace byl přikoupen jeden nový kotel a byla také upravena místnost, v níž se kotle nacházejí, aby se zefektivnila činnost. Celkové náklady úprav byly vyčísleny na 120 000 Kč. 5. Poslední fází je adjustace. Zde bylo třeba některé součásti linky přemístit, došlo k rozšíření o jednu novou linku, byly nakoupeny balicí stroj a ovinovací stroj. To vše celkem za 1 900 000 Kč. 3.3 Stanovení čisté současné hodnoty Popsaný projekt komplexního řešení provozu paštik vyžadoval dle výše uvedených dílčích nákladů celkovou investici ve výši: IN = 604000 + 900000 + 600000 + 120000 + 1900000 = 4124000Kč Kapacita nové výrobní linky je 80 000 kusů paštik za směnu. Během jednoho měsíce je odpracováno průměrně 60 směn, tedy za jeden rok má nové zařízení kapacitu maximálně: kapacita = 80000 60 12 = 57600000ks Stará výrobní linka byla schopná vyprodukovat za jednu směnu 63 000 kusů paštik. Počet směn je stejný před i po renovaci. Tedy maximální kapacita zařízení před renovací: 25

kapacita = 63000 60 12 = 45360000ks Je tedy zřejmé, že nové zařízení přináší novou kapacitu ve výši: kapacity = 57600000 ks 45360000ks = 12240000ks Firma SELIKO Opava, a.s. při plánování investice do nového zařízení předpokládala postupné zvyšování nových kapacit. Přitom uvažovala několik modelů vývoje, počínaje maximálně optimistickým, který předpokládal po prvním roce, kdy by zařízení pracovalo ve zkušebním provozu na 65 % svých výrobních kapacit, tedy maximální výrobní kapacita prvního roku je 37 440 000 ks paštik, tedy přírůstek výroby oproti současnému stavu 32 činí: K = 37440000ks 45360000ks = 7920000ks 1 Tento údaj je pro všechny scénáře stejný, liší se však v predikci vývoje výroby po ukončení zkušebního provozu. Optimistický model předpokládá, že ve 2.-6. roce života projektu bude narůstat rychle využití nových výrobních kapacit, každý další rok bude využito větší množství výrobních kapacit, přičemž ve 2. roce se využije 20 % nových kapacit, ve 3. roce 40 %, a tak dále, až v 6. roce bude dosaženo plného využití kapacity zařízení. V dalších letech pak bude linka využívána na 100 % svého výkonu. Oproti tomuto scénáři stál obraz pesimistického vývoje, který předpokládá, že po zkušebním provozu bude sice rovněž postupně dosaženo plného využití kapacit, k tomu však dojde až v posledním, desátém roce životnosti zařízení. V této práci bude pracováno s realistickým 33 odhadem vývoje využití kapacit výrobní linky. Tento realistický odhad počítá s plným využitím výrobního zařízení v 8. roce života projektu. To znamená, že projektem nově vytvořené kapacity budou zapojovány do výroby postupně, každý další rok bude využito dalších 14,3 % nových 32 Podle údajů firmy SELIKO Opava, a.s. je současné zařízení využíváno na 100 %, tedy podnik vyrábí 45 360 000 kusů paštik ročně. 33 Realistickým v tom smyslu, že oslovení pracovníci firmy SELIKO Opava, a.s. jej považují za nejpravděpodobnější ze tří uvedených scénářů. 26

výrobních kapacit, přičemž přírůstky výroby oproti stávajícímu stavu budou následující: K K K K K K K K K 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = kapacity 0,143 = 1750320ks = 2 K = 3 K = 4 K = 5 K = 6 K 2 2 2 2 2 = 3500640ks = 5250960ks = 7001280ks = 8751600ks = 10501920ks = kapacity = 12240000ks = kapacity = 12240000ks = kapacity = 12240000ks Veličina K i udává hodnoty přínosu realizace projektu v jednotlivých letech jeho životnosti. Pokud bychom chtěli tento přínos vyjádřit v peněžních jednotkách, musíme jednotlivé kusové hodnoty přezásobit jednotkovým rabatem, který činí 0,50 Kč na kus. Můžeme tak stanovit cash flow plynoucí z projektu v jednotlivých letech jeho životnosti: CF CF CF CF CF CF CF CF CF CF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = K 1 = K = K = K = K = K = K = K = K 2 3 4 5 6 7 8 9 = K 0,50 = 3960000Kč 0,50 = 875160Kč 0,50 = 1750320Kč 0,50 = 2625480Kč 0,50 = 3500640Kč 0,50 = 4375800Kč 0,50 = 5250960Kč 0,50 = 6120000Kč 0,50 = 6120000Kč 10 0,50 = 6120000Kč Abychom mohli spočítat čistou současnou hodnotu celého projektu, musíme ještě stanovit diskontní sazbu. Společnost SELIKO Opava, a.s. stanovila požadovanou výnosnost kapitálu na 12 % jako kritérium akceptovatelnosti jakéhokoliv realizovaného projektu. Nyní již známe všechny potřebné vstupní veličiny a můžeme spočítat čistou současnou hodnotu projektu komplexního řešení provozu výroby 27

paštik. Nejprve spočítáme diskontovaná cash flow (tedy současnou hodnotu peněžních toků) pro jednotlivá období podle vzorce (2): NPV NPV NPV NPV NPV NPV NPV NPV NPV NPV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = = = = = = = = = = CF ( 1+ 0,12) CF ( 1+ 0,12) CF ( 1+ 0,12) CF ( 1+ 0,12) CF ( 1+ 0,12) CF ( 1+ 0,12) CF ( 1+ 0,12) CF 1 ( 1+ 0,12) CF 2 3 4 5 6 7 8 9 ( 1+ 0,12) CF 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( 1+ 0,12) = 3535715Kč = 697672Kč = 1245843Kč = 1668540Kč = 1986357Kč = 2216916Kč = 2375268Kč = 2471765Kč = 2206933Kč 10 = 1970476Kč Na základě výše uvedených hodnot můžeme vyčíslit čistou současnou hodnotu projektu. Dosazením do vzorce (4) získáme výraz NPV = 10 i= 1 NPV i ( 1+ 0,12) i IN = 13304055 4124000 = 9180055Kč Čistá současná hodnota projektu je tedy 9 180 055 Kč. Daná hodnota radí projekt realizovat, neboť jeho NPV je kladná. Problémem tohoto výpočtu však je fakt, že aby projekt přinesl během svého života zmíněných 9 180 055 Kč, musel by se vyvíjet přesně podle výše zmíněného scénáře nárůstu objemu výroby (a samozřejmě také prodeje). Takové situace, kdy předem známe budoucí výsledky naší činnosti a rozhodujeme se tudíž za stavu jistoty, jsou však spíše hypotetické. V reálném životě jsou mnohem častější situace, kdy se rozhodujeme za stavu nejistoty, tedy kdy 28

výsledky naší činnosti neznáme přesně, ale více či méně přesně se snažíme odhadnout, jaké by tyto výsledky mohly být a s jakou pravděpodobností by mohl ten či onen výsledek nastat. 3.4 Reálně opční analýza Metoda ohodnocování investičních projektů pomocí reálných opcí se nachází někde na půli cesty mezi rozhodováním za stavu jistoty a rozhodováním za stavu nejistoty. Na jedné straně (jak uvidíme níže) vychází do jisté míry z namodelovaných scénářů používaných pro výpočet NPV, na druhé straně těmto scénářům přisuzuje možnost jisté proměnlivosti v čase v závislosti na vnějších podmínkách. Společnost SELIKO Opava, a.s. měla možnost odložit projekt komplexního řešení provozu paštik maximálně o 4 roky. Tím vznikl prostor pro uplatnění opční metodologie při rozhodování o optimálním načasování investice, které je při použití metody čisté současné hodnoty nepříliš možné. S možností vyčkat s realizací projektu až o čtyři roky získal management také reálnou opci na odložení projektu s expirační dobou 4 roky, současnou cenou, která je rovná současné hodnotě budoucích cash flow projektu (13 304 055 Kč), a realizační cenou ve výši investičních nákladů (4 124 000 Kč). Jedná se o americkou call opci, protože je možné projekt realizovat kdykoliv v průběhu zmíněných čtyř let. Pro výpočet hodnoty reálné opce bude využita binomická metoda, je proto nutné stanovit počet období, s nimiž budeme počítat. Čtyřletou expirační dobu opce lze rozdělit na libovolný počet stejně dlouhých období, v zájmu jednoduchosti výpočtu ji však rozdělíme na čtyři úseky po jednom roce. Mezi základní parametry reálné opce odložení projektu patří ještě bezriziková úroková míra a volatilita současné ceny. Scholleová 34 nejčastěji používá bezrizikovou úrokovou míru v rozmezí 4 5 %, v předkládané práci bude pracováno s úrokovou mírou ve výši 4,5 %. Volatilitu projektu stanovíme na základě historických hodnot cash flow z produkce paštik za období 1999-2000. V tabulce 1 jsou uvedeny v druhém sloupci hodnoty cash flow v jednotlivých měsících a ve třetím sloupci hodnoty změnové veličiny vypočítané podle vzorce (15): 34 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 17-24 29

Tabulka-1: Vývoj cash flow z produkce paštik v letech 1999-2000 Cash flow Změnová veličina 01-1999 800 000-0,325 02-1999 540 000 0,040740741 03-1999 562 000 0,165480427 04-1999 655 000 0,145038168 05-1999 750 000 0,133333333 06-1999 850000 0,082352941 07-1999 920000-0,108695652 08-1999 820 000 0,097560976 09-1999 900 000-0,105555556 10-1999 805 000-0,093167702 11-1999 730 000 0,095890411 12-1999 800 000-0,3125 01-2000 550 000 0,272727273 02-2000 700 000 0,078571429 03-2000 755 000 0,132450331 04-2000 855 000 0,064327485 05-2000 910 000 0,065934066 06-2000 970000-0,087628866 07-2000 885 000 0,04519774 08-2000 925 000 0,054054054 09-2000 975000-0,082051282 10-2000 895 000 0,011173184 11-2000 905 000 0,08839779 12-2000 985000-0,325 Zdroj: SELIKO Opava, a.s. Dosazením hodnot ze třetího sloupce tabulky č.1 do výrazu (16) získáme celkovou směrodatnou odchylku za období 1999-2000, která je rovna 0,14, neboli 14 %. 30

Volatilita však musí korespondovat s rozsahem období, který jsme zvolili, tedy máme-li délku jednoho období rovnu jednomu roku, musíme i celkovou směrodatnou odchylku přepočítat na roční směrodatnou odchylku. To lze udělat podle následujícího vzorce: n σ R = σ n (24) k kde n je počet období v roce, ze kterých byla vyčíslena celková směrodatná odchylka σ n, a k je počet let v nichž byla data sledována. 35 Dosazením do vzorce (24) za n 12 a za k 2, získáváme roční volatilitu projektu rovnu přibližně 0,34, tedy 34 %. Základní parametry projektu tedy jsou následující: S = 13 304 055 Kč X = 4 124 000 Kč T = 4 roky n = 4 období r = 0,045 σ = 0,34 Je třeba ještě vyčíslit hodnoty růstového (resp. poklesového) koeficientu a pravděpodobnosti výskytu růstu či poklesu cash flow. Použijeme vztahy (11) (14) a dostáváme následující výsledky: u = e 0,34 4 4 = 1,405 p = 1 p = d = e 0,34 ( + 0,045) 4 4 4 1 4 = 0,712 0,712 = 0,48 1,405 0,712 ( 1+ 0,045) 4 4 1,405 = 0,52 0,712 1,405 35 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 62 31

Máme-li nyní k dispozici všechny parametry pro stanovení hodnoty opce. Nejprve je třeba na základě předpokladu, že v každém ze čtyř období může nastat růst spotové ceny (současné hodnoty budoucích cash flow) projektu u s pravděpodobností p, anebo její pokles d s pravděpodobností 1-p, spočítat možné hodnoty budoucích cash flow v jednotlivých obdobích: A 13 304 055 C B 18 692 197 9 472 487 F E D 26 262 537 13 304 055 6 744 411 J I H G 36 898 864 18 692 197 9 472 487 4 802 021 51 842 904 26 262 537 13 304 055 6 744 411 3 419 039 V posledním řádku uvedeného stromu jsou možné stavy současných hodnot budoucích cash flow v době vypršení opce. Pokud chceme stanovit hodnotu opce na odložení projektu v době rozhodování, musíme provést zpětný přepočet podle vzorce (10), přičemž výchozí informaci nám poskytne zisk z opce pro jednotlivé stavy okolí, 36 spočítaný jako rozdíl spotové ceny (současné hodnoty budoucích cash flow) v době vypršení opce a expirační ceny, nebo jako rozdíl spotové ceny v době rozhodování a expirační ceny (pokud je první jmenovaný rozdíl menší). Jednotlivá patra zpětného binomického stromu vypadají následovně: 36 viz Scholleová, H.: Reálné opce, str. 19 32

47 718 904 22 138 537 9 180 055 9 180 055 9 180 055 32 935 037 14 736 963 9 180 055 9 180 055 22 461 281 11 337 197 9 180 055 15 958 619 9 775 582 12 194 679 3.5 Analýza optimálního načasování investice Hodnota uvedené reálné opce v 1. roce je tedy rovna 12 194 679 Kč. Co toto číslo vyjadřuje? Především vyjadřuje hodnotu flexibility zabudované v daném projektu. Jak bylo uvedeno výše, je také součástí celkové hodnoty projektu, která vzniká přičtením opční hodnoty projektu k čisté současné hodnotě projektu, v našem případě se hodnota projektu započítáním flexibility více než zdvojnásobí, z původních 9 180 055 Kč na 21 374 734 Kč. Co je však možná ještě důležitější, než samotné ohodnocení flexibility, je fakt, že opční hodnota umožňuje najít optimální časový okamžik pro realizaci projektu. Na začátku rozhodovacího procesu existuje projekt, jehož čistá současná hodnota je rovna 9 180 055 Kč v případě, že bude realizován ihned. Proti němu stojí hodnota reálné opce, která slibuje přinést 12 194 679 Kč, pokud bude investice do projektu odložena. Rozhodování v takovém případě není příliš složité, investor projekt odloží a bude čekat, jak se trh bude vyvíjet. Pokud aplikujeme stejnou logiku na celý binomický strom, můžeme optimalizovat rozhodovací proces. Je však nutné začít od konce binomického 33

stromu 37. Nejprve tedy rozebereme situaci v posledním roce, kdy je ještě možno projekt odložit, tedy v uzlech G, H, I a J. V našem binomickém světě mohou nastat vždy pouze dvě situace, poté, co se do daného uzlu dostaneme. Za rok se tržní situace buďto zlepší s pravděpodobností p, nebo se situace na trhu zhorší s pravděpodobností 1-p. Uzel G: V uzlu G je čistá současná hodnota projektu rovna 4 802 021 4 124 000 = 678 021 Kč. Opce na odložení projektu přináší v případě růstu trhu 6 744 411-4 124 000 = 2 620 411 Kč, v případě poklesu trhu je hodnota opce rovna 0. Celková hodnota opce na odložení projektu v uzlu G je rovna 1 203 633 Kč. To je víc, než NPV projektu v uzlu G, proto je vhodné realizaci projektu ještě odložit a další rok jej v případě růstu trhu realizovat, v případě poklesu trhu realizaci projektu zrušit. Uzel H: Čistá současná hodnota projektu v uzlu H se rovná 9 472 487 4 124 000 = 5 348 487 Kč. Opce odložení projektu přináší v případě poklesu trhu 6 744 411 4 124 000 = 2 620 411 Kč, v případě růstu trhu pak 13 304 055 4 124 000 = 9 180 055 Kč. Celková hodnota opce na odložení projektu je rovna (0,48 * 9 180 055 + 0,52 * 2 620 411) / (1 + 0,045) = 5 520 613 Kč. Tato celková hodnota opce na odložení projektu v uzlu H je vyšší než čistá současná hodnota projektu v uzlu H. Proto se jako výhodnější jeví projekt odložit o další rok a poté realizovat, ať už se trh pohne kterýmkoliv směrem. Uzel I: Realizace projektu v uzlu I přináší čistou současnou hodnotu ve výši 18 692 197 4 124 000 = 14 568 197 Kč. Odložení projektu přinese v případě poklesu trhu 13 304 055 4 124 000 = 9 180 055 Kč, v případě růstu trhu bude přínos projektu roven 26 262 537 4 124 000 = 22 138 537 Kč. Celková hodnota opce na odložení projektu je pak rovna (0,48 * 22 138 537 + 0,52 * 9 180 055) / (1 + 0,045) = 14 736 963 Kč. Hodnota opce je opět vyšší než čistá současná hodnota okamžité realizace projektu, je tedy výhodné realizaci projektu o rok odložit. Po roce proběhne realizace projektu bez ohledu na situaci na trhu 38. 37 viz Starý, O.: Reálné opce, str. 83-87 38 Na tomto místě se nabízí otázka, proč vlastně realizaci projektu odkládáme, když jej následující rok stejně realizujeme za jakýchkoliv podmínek na trhu (tedy za kterékoliv ze dvou možných situací na trhu). Odpověď je 34

Uzel J: Čistá současná hodnota projektu v uzlu J je rovna 36 898 864 4 124 000 = 32 774 864 Kč. V případě, že projekt bude odložen, získáváme buďto 26 262 537 4 124 000 = 22 138 537 Kč při poklesu trhu, anebo 51 842 904 4 124 000 = 47 718 904 Kč při růstu na trhu. Celková hodnota opce na odložení projektu je pak rovna (0,48 * 47 718 904 + 0,52 * 22 138 537) / (1 + 0,045) = 32 935 037 Kč. I v tomto případě je hodnota opce větší než čistá současná hodnota projektu, proto je výhodnější projekt o rok odložit a poté jej realizovat (opět bez ohledu na situaci na trhu). Máme li vyřešen poslední rok možného odkladu investice, můžeme se přesunout binomickým stromem o patro výše a provést rozbor roku třetího. Budeme postupovat opět po jednotlivých uzlech. Uzel D: Čistá současná hodnota projektu v uzlu D je rovna 6 744 411 4 124 000 = 2 620 411 Kč. V případě, že bude projekt odložen, získáváme v případě růstu na trhu opci o hodnotě 5 520 613 Kč (uzel H), v případě poklesu na trhu získáváme opci, která má hodnotu 1 203 633 Kč (uzel G). Celková hodnota opce na odložení projektu v uzlu D je rovna (0,48 * 5 520 613 + 0,52 * 1 203 633) / (1 + 0,045) = 3 134 721 Kč. Projekt je výhodné odložit, protože hodnota opce je vyšší než čistá současná hodnota okamžité realizace projektu. Uzel E: V uzlu E je čistá současná hodnota projektu rovna 13 304 055 4 124 000 = 9 180 055 Kč. Odkladem realizace projektu získáme buďto opci s hodnotou 5 520 613 Kč v případě poklesu na trhu (uzel H), nebo získáme opci s hodnotou 14 736 963 Kč v případě růstu na trhu (uzel I). Celková hodnota opce na odložení projektu v uzlu E je rovna (0,48 * 14 736 963 + 0,52 * 5 520 613) / (1 + 0,045) = jednoznačná: Protože realizací projektu si uchováváme naději na vyšší příjem (riskujeme), zatímco okamžitou realizací projektu se tohoto možného vyššího příjmu vzdáváme. Pokud ve skutečnosti za rok dojde k poklesu na trhu, sice jsme ztratili možnost příjmu z okamžité realizace projektu v předchozím období, přesto však projekt budeme realizovat, protože má i tak kladnou NPV a je tedy finančně výhodný (a my nemáme už možnost dále jeho realizaci odkládat). 35

9 516 231 Kč. Také v tomto případě je hodnota opce vyšší než čistá současná hodnota okamžitě realizovaného projektu, proto je výhodnější rozhodnutí odložit. Uzel F: Čistá současná hodnota projektu v uzlu F je rovna 26 262 537 4 124 000 = 22 138 537 Kč. Pokud projekt není realizován okamžitě a je odložen, získáme v případě poklesu na trhu opci s hodnotou 14 736 963 Kč (uzel I), v případě růstu na trhu pak získáme opci s hodnotou 32 935 037 Kč (uzel J). Celková hodnota opce pak bude v uzlu F rovna (0,48 * 32 935 037 + 0,52 * 14 736 963) / (1 + 0,045) = 22 461 281 Kč. I v tomto případě se jeví odložení projektu jako výhodnější řešení, neboť hodnota opce je vyšší než čistá současná hodnota projektu. Tím je dořešen třetí rok a můžeme se posunout binomickým stromem opět o jeden stupeň výše. Opět budeme postupovat uzel po uzlu. Uzel B: Čistá současná hodnota projektu v uzlu B se rovná 9 472 487 4 124 000 = 5 348 487 Kč. Při poklesu na trhu získáme odložením projektu opci s hodnotou 3 134 721 Kč (uzel D), při růstu na trhu pak získáme opci s hodnotou 9 516 231 Kč (uzel E). Stanovíme li celkovou hodnotu opce na odložení projektu v uzlu B, zjistíme, že je rovna (0,48 * 9 516 231 + 0,52 * 3 134 721) / (1 + 0,045) = 5 930 953 Kč. Hodnota odložení projektu je vyšší než čistá současná hodnota jeho okamžité realizace, proto zvolíme jako výhodnější řešení odložení realizace projektu o rok. Uzel C: Nacházíme-li se v uzlu C, je čistá současná hodnota projektu rovna 18 692 197 4 124 000 = 14 568 197 Kč. Odložíme-li projekt, získáme v případě, že se situace na trhu zlepší, opci s hodnotou 22 461 281 Kč (uzel F), v případě, že se situace na trhu zhorší, získáme opci, která má hodnotu 9 516 231 Kč (uzel E). Celková hodnota opce na odložení projektu v uzlu C je pak rovna (0,48 * 22 461 281 + 0,52 * 9 516 231) / (1 + 0,045) = 15 052 493 Kč. Také v tomto případě je hodnota opce vyšší než čistá současná hodnota projektu v uzlu C, proto je výhodnější realizaci projektu odložit. 36