VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti Úvod do MKP Autor: Michal Šofer Verze 0 Ostrava 2011
Zadání: Proveďte napěťovou analýzu součásti s kruhovým vrubem v místě A prostřednictvím programu Ansys Workbench. Součást je na obou svých koncích upnuta do speciálního přípravku a je namáhána silou o velikosti F = 275 N. Výsledky MKP výpočtu porovnejte s analytickým řešením a rovněž s výsledky, získanými prostřednictvím fotoelasticimetrického měření v daném místě. Dáno: E = 2520 MPa, µ = 0.35, F = 275 N, t = 10 mm, L = 180 mm, b = 54.5 mm, n = 8 mm, h = 20 mm, R = 8 mm, ϕd = 15.5 mm, ϕd = 8 mm, m = 90 mm F ϕd ϕd R Obrázek 1: Rozměry součásti Obrázek 2: schematické zobrazení zatížení 1. Vyhodnocení napětí na základě analytického řešení V blízkém okolí konstrukčního vrubu dochází ke koncentraci napětí. Abychom analyticky určili velikost napětí v podélném směru, je nutné stanovit tvarový činitel, díky kterému posléze určíme maximální napětí v kořeni vrubu, v našem případě kruhového otvoru. Pro tento účel nám poslouží níže uvedený graf. Z grafu je patrné, že tvarový činitel je krom velikosti kruhového otvoru a šířky pásu rovněž závislý na poloze otvoru v příčném směru. 2 1 3
α=3.73[-] Graf 1: Tvarový činitel α pro pás s kruhovým otvorem namáhaný tahem [1] Na základě výše uvedeného grafu jsme dospěli k hodnotě α = 3.73 [-]. Maximální napětí σ max je tedy 3.73krát větší oproti nominálnímu napětí v nezeslabené části průřezu. Nominální napětí v nezeslabení části průřezu určíme z následujícího vztahu: F F 275 σ = = = = 0.68 MPa (1) S ( b 2 R) t (54.5 2 8) 10 Pro maximální napětí platí: σ = α σ = 0.68 3.73 2.53 MPa (2) max = 2. Vyhodnocení napětí pomocí fotoelasticimetrické metody Fotoelasticimetrie je optická experimentální metoda, sloužící k analyzování napěťových polí v zatížených tělesech. Její princip je založen na dvou optických jevech polarizaci světla a relativním dvojlomu. Pro určení maximálního napětí v místě A vyjdeme z následujícího výrazu: t k = σ ) (3) m ( 1 σ 2 kde k je konstanta optické citlivosti modelového materiálu, t je tloušťka modelu, m určuje řád izochromat [2] a σ 1 resp. σ 2 jsou hlavní napětí v podélném resp. příčném směru. 3 1 3
Pro místo A bude platit podmínka σ 2 = 0, výraz (3) může být poté upraven na tvar: k m σ 1 = (4) t Konstantu optické citlivosti k je pro daný modelový materiál možné získat na základě tahové epruvety [2]. Měřením jsme dospěli k hodnotě 7.2 [N. mm -1 ]. Po dosazení této hodnoty do výrazu (4) spolu s tloušťkou t = 10 mm a řádem izochromat m o velikosti 3 dostáváme: σ 7.2 3 = 10 1 = σ max = 2.16 MPa 3. Vyhodnocení napětí na základě MKP výpočtu Pro řešení příkladu prostřednictvím MKP přístupu využijeme software ANSYS Workbench 13. Vzhledem k statickému charakteru úlohy si v nabídce analýz zvolíme položku Static Structural. Obrázek 3: Detail hlavní nabídky Položka Engineering Data obsahuje veškeré informace o použitém materiálu. ANSYS Workbench má jako základní materiál defaultně nastavenu ocel s modulem pružnosti E=210000 MPa, Poissonovým číslem µ=0.3 a hustotou ρ=7850 kg. m -3. Námi zkoumaná 4 1 3
součást je vyrobena z tzv. nízkomodulového materiálu, který se využívá v oblasti experimentální fotoelasticimetrie. Měřením byl zjištěn modul pružnosti E=2523 MPa a Poissonovo číslo µ=0.35. Nyní je nutné daný materiál nadefinovat do materiálové knihovny softwaru. Po otevření položky Engineering Data klikneme na možnost Click Here To Add a New Material, do téže kolonky si nadefinujeme název nového materiálu. Pro definici modulu pružnosti a Poissonova čísla si v levém sloupci rozevřeme roletku Linear Elastic a zvolíme položku Isotropic Elasticity Obr. 4a. Vzhledem k tomu, že se pohybujeme v lineární oblasti a máme k dispozici izotropní materiál, není nutné definovat další položky v nabídce. Obrázek 4a: Definování nového materiálu Po dvokliku na výše uvedenou položku po nás bude program vyžadovat zadání modulu pružnosti a Poissonova čísla (Obr. 4b). Obrázek 4b: Definování nového materiálu 5 1 3
V následujícím kroku se přesuneme do položky Geometry, prostřednictvím které načteme přiložený model ve formátu *.x_t (Obr. 5), který je součástí zadání úlohy. Obrázek 5: Import modelu Na rozdíl od příkladu s tenzometrickým snímačem ve tvaru háku, která byla řešena prostřednictvím objemových elementů typu SOLID budeme následující úlohu řešit skořepinovými prvky typu SHELL. Obrázek 6: Importovaný rovinný model s vrubem 6 1 3
Nutno poznamenat, že jak úlohu týkající se napěťové analýzy tenzometrického snímače, tak i současnou úlohu je možné řešit prostřednictvím objemových elementů typu SOLID a rovněž i skořepinových prvků typu SHELL. Pro větší názornost byly obě úlohy vyřešeny odlišným způsobem. Po uložení projektu se přesuneme do položky Model, ve které provedeme síťování součásti, aplikaci okrajových podmínek a v konečném kroku také závěrečný výpočet a analýzu výsledků. Před samotným síťováním námi načteného modelu je mu nutno přiřadit tloušťku a materiál, ze kterého je vyroben. Do kolonky Thickness vložíme hodnotu 10 mm. Kliknutím na pole Assignment se nám zobrazí dostupné materiály, vybereme tedy námi definovaný nízkomodulový materiál. Obrázek 7: Definice tloušťky a materiálu pro daný model V položce Mesh nastavíme následující parametry sítě: Min size = 0.5 mm, Max face size = 1 mm, poté necháme síť vygenerovat. 7 1 3
Obrázek 8: Nastavení parametru sítě V oblasti kruhového otvoru by bylo vhodné sít patřičně zjemnit. Kliknutím pravým tlačítkem na Mesh se přes položku Insert dostáváme na příkaz Refinement (Obr. 9a). Obrázek 9a: Zjemnění sítě Poté vybereme dva půlkruhy, které náleží kruhovému otvoru a výběr potvrdíme tlačítkem Apply. Hodnotu zjemnění nastavíme na velikost 3 (Obr. 9b). 8 1 3
Obrázek 9b: Zjemnění sítě Výsledek zjemnění je znázorněn na obrázku 10. Obrázek 10: Výsledek zjemnění sítě V následujícím kroku přejdeme k definici okrajových podmínek. Po kliknutí na položku Static Structural se nám v horní části nabídky zobrazí menu pro zadávání okrajových podmínek. Pro ukotvení spodního využijeme vazbu s názvem Remote Displacement, která je schopná odejmout až šest stupňů volnosti (Obr. 11). Tuto vazbu poté aplikujeme na spodní půlkruh dolního otvoru, přičemž vazba bude umožňovat pouze rotaci kolem osy z (Obr. 12). 9 1 3
Obrázek 11: Výběr vazby Obrázek 12: Definice vazby pro spodní otvor Na horní půlkruh vrchního otvoru zadáme sílu ve směru kladné osy y o velikosti 275 N (Obr. 13a,13b ). 10 1 3
Obrázek 13a: Definice síly pro vrchní otvor Obrázek 13b: Definice síly pro vrchní otvor V posledním kroku se přesuneme do položky Solution, kde si vybereme požadované proměnné, jenž budou zahrnuty do výsledků. V našem případě nás bude zajímat maximální hlavní napětí ve směru osy y položka Maximum Principal (Obr. 14). Tlačítkem Solve poté spustíme výpočet. 11 1 3
Obrázek 14: Volba typu výstupů ve výsledcích 4. Výsledky Obrázek 15 nám vyobrazuje distribuci maximálního hlavního napětí ve směru osy y v oblasti kruhového otvoru. Využijeme-li k určení hodnoty napětí v místě A (Viz obr. 1) nástroj Probe, obdržíme hodnotu přibližně 2.68 MPa (Obr. 15). Obrázek 15: Distribuce maximálního hlavního napětí ve směru osy y v kruhovém otvoru 12 1 3
5. Porovnání jednotlivých přístupů Přístup σ A [MPa] fotoelasticimetrie 2.16 analyticky 2.53 MKP 2.68 6. Literatura [1] HÖSCHL, C.; Pružnost a pevnost ve strojnictví, SNTL, Praha 1971, 375 s. [2] MACURA, P.; Experimentální metody v pružnosti a plasticitě, skriptum VŠB-TUO, 1. vydání, ISBN: 80-7078-934-4, 107 s. 13 1 3