= 8,08 magnitud. b) Dosadíme do vztahu pro absolutní hvězdnou velikost M 2 = m log r pc a po dosazení M 2 = 12, log 250 3,26

Transkript

1 KRÁTKÉ ÚLOHY příklad 1 Eruptivní proměnná hvězda měla před vzplanutím jasnost 15,0 magnitud. Její zářivý výkon se zvýšil o 9 původních zářivých výkonů a zůstal konstantní po dobu 7 dnů. a) Jaká byla ve dnech po vzplanutí její jasnost? b) Vypočtěte její absolutní hvězdnou velikost po vzplanutí, vzdálenost hvězdy od nás je 250 světelných let. (5 bodů) Původ: inspirace Damir Hržina, upravil Tomáš Gráf Řešení: a) Zářivý výkon po vzplanutí L 2 = L 1 + 9L 1 = 10L 1 a platí L 1 = 2,512 m 2 m 1, tedy L 2 L1 log L2 m 2 = + m 0,4 1 a po dosazení m 2 = 12,5 magnitud. b) Dosadíme do vztahu pro absolutní hvězdnou velikost M 2 = m log r pc a po dosazení M 2 = 12, log 250 = 8,08 magnitud. 3,26 příklad 2 Víte-li, že měsíc kolem exoplanety obíhá po eliptické dráze o velké poloose a = km tak, že periapsidou prolétá rychlostí v p = 1 km s 1 a apoapsidou rychlostí v a = 0,5 km s 1 (bráno vzhledem k hmotnému středu systému), spočtěte hmotnost exoplanety M v násobcích hmotnosti Země. Můžete předpokládat, že hmotnost měsíce je řádově menší než hmotnost exoplanety. Nápověda: může se vám hodit, že velikost rychlosti tělesa obíhajícího po eliptické dráze o velké poloose a kolem gravitujícího tělesa o hmotnosti M (v ohnisku elipsy) je v okamžiku, kdy se těleso nachází ve vzdálenosti r od ohniska, rovna v = GM 2 r 1 a. (10 bodů) Původ: inspirace FYKOS, výsledné znění Jakub Vošmera Řešení: Pro v p i v a napišme známé vztahy pro rychlost ve dráze v p 2 = GM 2 r p 1 a a v a 2 = GM 2 r a 1 a, kde r p,a jsou velikosti průvodiče měsíce v perihelu a afelu. Pro ty ale platí r p,a = a(1 e), kde e je lineární excentricita dráhy, takže dosazením dostaneme

2 1+e 1 e 1+e. v 2 p = GM a v 2 a 1 e a = GM a Jednoduchým vynásobením obou rovnic se tedy zbavíme excentricity a máme neboli M = av pv a G. Číselně M = 0,5M z. v p v a 2 = GM a 2, příklad 3 U zákrytové proměnné dvojhvězdy s oběžnou dobou T = 60 d byl pozorován zákryt t 4 t 1 trvající 10 hodin, minimum t 3 t 2 pozorované v dráhové rovině trvalo 1 hodinu 35 minut (časy t 1,2,3,4 odpovídají tzv. prvnímu, druhému, třetímu a čtvrtému kontaktu, viz obrázek 1 níže). Naměřená amplituda radiální rychlosti první složky je v 1 = 20 km s 1, v případě druhé složky máme v 2 = 30 km s 1. Rovněž uvažujte, že rovina, ve které dvojhvězda obíhá kolem společného hmotného středu, je kolmá na rovinu tečnou k nebeské sféře. Vypočtěte hmotnosti první a druhé složky a poloměry obou složek (zde nemusíte přiřadit jednotlivé hodnoty poloměrů konkrétním složkám). Rozměry obou složek považujte za zanedbatelné vůči velikosti velké poloosy. Předpokládejte, že dráhy obou složek jsou kruhové a že obě hvězdy mají kulový tvar. Obrázek 1 K definici časů t 1,2,3,4 (směr dolů na obrázku odpovídá směru k pozorovateli). Znázorněny jsou vzájemné polohy složek v jednotlivých časech. (10 bodů) Původ: podle Úlohy z astrofyziky upravil Tomáš Gráf

3 Řešení: Velké poloosy trajektorií jsou a 1 = v 1T 2π = 1, m a a 2 = v 2T 2π = 2, m. Velká poloosa je pak součtem těchto hodnot a = a 1 + a 2 = 4, m. Celkovou hmotnost soustavy určíme z 3. Keplerova zákona M 1 + M 2 = 4π2 G a3 T 2 = 1, kg. Dále dosadíme do vztahů pro zákrytové proměnné a t 4 t 1 T t 3 t 2 T = = 2(R + r) 2πa 2(R r) 2πa kde R je poloměr větší složky a r je poloměr menší složky. Poloměr větší složky R = 5, m = 0,75 R S a menší složky r = 3, m = 0,54 R S. Hmotnosti jednotlivých složek určíme ze vztahu M 1 = a 2 a pak tedy M M 2 a 1 = 0, kg = 1 0,47 M S a M 2 = 0, kg = 0,31 M S. příklad 4 Astronomové našli v gama spektru pulsaru čáru na vlnové délce odpovídající energii fotonů 400 kev. Tato čára odpovídá elektron-pozitronové anihilaci e + + e 2γ při povrchu pulsaru (klidová hmotnost elektronu i pozitronu je 511 kev a můžeme uvažovat, že takto anihilující elektrony a pozitrony mají energii, která je rovna jejich klidové energii). Za předpokladu, že hustota látky, ze které je neutronová hvězda tvořena je ρ = 4, kg m 3 (přibližně hustota atomových jader), odhadněte hmotnost a poloměr pulsaru. Rotaci pulsaru neuvažujte. Nápověda: Může se vám hodit, že gravitační červený posuv fotonu registrovaného v nekonečné vzdálenosti od sférického nerotujícího tělesa o hmotnosti M spočteme jako z = 1 1 2GM rc 2 kde r je vzdálenost od středu tělesa, ve které byl foton vyzářen, G je Newtonova gravitační konstanta a c je rychlost světla ve vakuu. (15 bodů) Původ: inspirace Bowers, R. L, 1977, Ap. J., 216, L63, výsledné znění Jakub Vošmera Řešení: Jelikož kinetické energie elektronu i pozitronu jsou před srážkou výrazně nižší než jejich klidové energie, pohybuje se jejich hmotný střed rychlostí výrazně 1,

4 nižší než je rychlost světla, takže můžeme zanedbat dopplerovskou změnu energie fotonů a nadále počítat s energií fotonů v blízkosti povrchu neutronové hvězdy E 0 = 511 kev. Ze zadání však víme, že tyto fotony pozorujeme přicházet s energií E = 400 kev, tedy s červeným posuvem z = E 0 1 0,28. E Definujme kde v našem případě f(0,28) 0,194. GM rc 2 f(z) = (1 + z) 2, Pro odhad hmotnosti neutronové hvězdy položme r = R, kde R je její poloměr. Potom rovněž máme R = 3M 1 4πρ 3, takže po úpravě dostáváme a M = 3 1 4πρ 2 f(z)c 2 G 3 2 R = 3c2 4πρG f(z) Číselně pak máme M = 1,6M S a R = 12,5 km příklad 5 U hvězdy o hmotnosti a velikosti našeho Slunce byla objevena exoplaneta, která má hmotnost a velikost shodnou s hmotností a velikostí Země, ale obíhá po prakticky kruhové dráze ve vzdálenosti km od centrální hvězdy. Víte-li, že rozdíl velikostí gravitačních zrychlení vyvolaných centrální hvězdou (o hmotnosti M C ) ve středu exoplanety (o poloměru R E ) a na jejím vzdálenějším okraji je a 2GM CR E r 3, kde r je vzdálenost exoplanety od hvězdy a G je Newtonova gravitační konstanta, odvoďte obecný vzorec pro výpočet Rocheovy meze r kr systému. Předpokládejte přitom, že exoplaneta je dokonale tuhé těleso a že siderická perioda její rotace kolem vlastní osy je nulová. Výsledek vyjádřete pomocí hustoty hvězdy ρ C, hustoty exoplanety ρ E a poloměru hvězdy R C.

5 Proveďte číselný výpočet r kr pro hodnoty ρ C = 1, kg m 3, ρ E = 5, kg m 3 a R C = 7, m. (10 bodů) Původ: inspirace Úlohy z astrofyziky upravil Tomáš Gráf Řešení: Rozdíl gravitačních zrychlení ve středu exoplanety a na jejím vzdálenějším okraji vyvolaných centrální hvězdou nacházející se ve vzdálenosti r je roven a = 2GM CR E. Pro určitou kritickou vzdálenost r r 3 kr exoplanety a centrální hvězdy se bude dostředivé zrychlení působící na povrch exoplanety rovnat odstředivému zrychlení, tedy G M E R2 = 2GM CR E 3. Po úpravě r 3 E r kr = 2 M C 3 R kr M E a dosazení za hmotnosti E obou těles obdržíme r kr = 1,26 R C ρ C 1 3. Po dosazení hodnot hustot obou těles ρ E vypočteme hodnotu Rocheovy meze r kr = 5, metrů. DLOUHÉ ÚLOHY příklad 6 Na obloze se nachází přibližně hvězd jasnějších než 10 mag. Uvažujte, že jsou rovnoměrně rozložené po celé obloze. a) Odhadněte počet cirkumpolárních hvězd jasnějších než 10 mag pro pozorovatele na 50 s.š. (10 bodů) b) Určete střední dobu mezi dvěma zákryty hvězd jasnějších než 10 mag Měsícem. (10 bodů) (20 bodů) Původ: b) podle zbytek a výsledné znění Jakub Vošmera Řešení: a) Pro zeměpisné šířky φ > 0 hvězdu nazveme cirkumpolární, pokud její deklinace δ splňuje δ > 90 φ. Promítněme si nyní nebeskou sféru na kouli o jednotkovém poloměru. Cirkumpolární oblast nám pak vymezuje vrchlík o výšce h = 1 cos φ a s vrcholem v bodě, kam se promítne severní světový pól. Nejpřesnější možný odhad počtu cirkumpolárních hvězd pak dostaneme, když vynásobíme celkový počet hvězd N poměrem povrchu tohoto vrchlíku ku povrchu celé jednotkové koule (využíváme toho, že jsou hvězdy na obloze rozmístěny rovnoměrně). Z tabulek pak máme pro povrch vrchlíku S v = 2π(1 cos φ) a jelikož je povrch jednotkové koule roven 4π, máme pro odhad počtu cirkumpolárních hvězd N c = 1 (1 cos φ)n. Pro φ = 50 s. š pak máme 2 N c = hvězd. b) Můžeme přibližně uvažovat, že se střed Měsíce po obloze pohybuje po hlavní kružnici s periodou jednoho siderického měsíce, tedy T = 27,3 dní. Jelikož je

6 úhlový průměr Měsíce D = 0,5 = 0,0087 rad zanedbatelný vůči plnému úhlu, pokryje za svůj oběh Měsíc přibližně prostorový úhel 2πD, kde D dosadíme v radiánech. Jelikož je plný prostorový úhel roven 4π, dostaneme stejnou metodou jako v a) pro počet hvězd v oblasti pokryté Měsícem N m = 1 2 ND. Jelikož jsou hvězdy rozloženy rovnoměrně, nastane za jednotku času ND zákrytů, neboli k zákrytu dojde v průměru za čas τ = 2T. Číselně výjde τ = 56 ND min. 2T příklad 7 Pulsar se nachází v blízkosti jednoho z ekliptikálních pólů a o jeho hmotnosti M 1 víme, že je rovna dvěma hmotnostem Slunce. Od tohoto pulsaru registrujeme pulsy s periodou T = 1 s, jejíž velikost se v čase mění jako funkce sinus s periodou P = 1 rok a amplitudou T = 10 8 s. a) Ukažte, že můžeme psát T 2πGM 1 c T 3 sin 3 i = M 1 2 M 1 + 1, P M 2 M 2 kde M 2 je hmotnost průvodce, M = M 1 + M 2 je celková hmotnost pulsaru s průvodcem, c je rychlost světla, G je Newtonova gravitační konstanta a i je úhel, který svírá rovina oběhu systému s rovinou tečnou k nebeské sféře. (20 bodů) b) Uvážením všech možných hodnot úhlu i spočtěte minimální hmotnost průvodce M 2, který změny v registrované periodě pulsů může způsobit. (10 bodů) Nápověda: v části b) se vám může hodit, že f(x) = x(x + 1) 2 je pro x > 0 rostoucí a že pro f(x) 1 máme x f(x) 1 3. Rovněž vězte, že správné řešení části a) není nutnou podmínkou pro získání bodů z části b). (30 bodů) Původ: inspirace výsledné znění Jakub Vošmera Řešení: Pozorované kolísání periody pulsů se pokusíme vysvětlit pomocí Dopplerova jevu způsobeného přítomností průvodce pulsaru. Jelikož se pulsar nachází směrem poblíž ekliptikálního pólu, pohyb Země nebude ke klasickému Dopplerovu jevu nijak přispívat. (A ten relativistický uvažovat nebudeme, protože z = T = T , kde T, resp. T jsme označili periodu pulsů, resp. amplitudu její změny.). Pozorovaná variace periody tedy pochází pouze od pohybu pulsaru kolem společného hmotného středu. Ze sinusoidálního tvaru křivky rovněž ihned usoudíme, že pulsar (a tedy i jeho průvodce) se kolem hmotného středu systému pohybuje po kruhové dráze.

7 Ze zadání plyne, že π i je úhel, který svírá zorný paprsek pozorovatele ze Země 2 s rovinou oběhu systému. Dále označme po řadě a 1,2 poloměry drah pulsaru a průvodce (neboli jejich vzdálenosti od hmotného středu). Z definice hmotného středu musí platit M 1 a 1 = M 2 a 2, což spolu s rovnicí pro a vede na vztah a 1 = a M 2. M Potom Dopplerův jev píšeme jako 2πa 1 T sin i = Pc T, kde násobíme sin i, protože v Dopplerově jevu vystupuje pouze ta složka rychlosti pulsaru, která je rovnoběžná se zorným paprskem pozorovatele. Vydělením vztahu pro a 1 a a výše periodou P a aplikováním 3. Keplerova zákona pak dostaneme a 1 P = a 1 M 2 GM = P M 4π 2 P 3 M 2 M = G 4π 2 PM M2, což můžeme dosadit do vztahu pro Dopplerův jev a dostaneme Vztah si přepíšeme do tvaru 1 T c T 2πG P 3 M 2 3 sin i =. M 2 T 2πGM 1 c T 3 sin 3 i = M 1 2 M 1 + 1, P M 2 M 2 neboli Ksin 3 i = x(x + 1) 2 = f(x), kde jsme si označili K = T c T 3 2πGM 1 P číselnou hodnotu můžeme vypočítat na základě zadaných hodnot) a x = M 1. M 2 (jehož Víme, že f je pro x = M 1 M 2 > 0 rostoucí. Největší hodnoty x (a tedy nejmenší hmotnosti průvodce) dosáhneme při sin i = 1. Dále spočteme, že K a tedy M 2,min M 1 K 1 3. Číselně máme M 2,min 3, kg. ANALÝZA DAT příklad 8 Na obr. 2 vidíme časovou posloupnost snímků složeného zdroje uvnitř naší galaxie pořízených radioteleskopem operujícím na vlnové délce několika centimetrů. Křivky znázorňují konstantní hodnotu zářivého toku, maxima vyzařování jsou interpretována jako polohy jednotlivých zdrojů. Kříž potom označuje předpokládanou polohu nehybného středu systému (který rovněž září, avšak na jiných vlnových délkách). Vzdálenost ke středu systému odhadujeme na 12,5 kpc.

8 a) Jednotlivá pozorování zřejmě zachycují dva objekty pohybující se v opačných směrech od středu systému. Vyneste do grafu závislost úhlové vzdálenosti obou objektů od středu na čase i s chybami odečtených hodnot. Z grafu určete úhlové rychlosti ω 1,2 zdrojů pozorované ze Země a dopočtěte příslušné velikosti zdánlivých tečných složek rychlostí v 1,2 objektů odpovídající vzdálenosti R = 12,5 kpc. Odhadněte chyby vypočtených hodnot ω 1,2 i v 1,2. Nemusíte přitom provádět lineární regresi. Nenechte se vyvést z míry neobvyklostí vašeho výsledku. (10 bodů) Abychom vysvětlili výsledek předchozí otázky, uvažujme zdroj záření A pohybující se rychlostí o velikosti v = βc (kde 0 < β < 1 a c je rychlost světla) pod úhlem vzhledem k směru k vzdálenému pozorovateli O ve vzdálenosti R (obr. 3). Uvážíme-li, že rychlost šíření světla je konečná, můžeme pro úhlovou rychlost ω pohybu zdroje A, kterou pozoruje pozorovatel O, odvodit vztah ω = cβ sin φ R(1 β cos φ). b) Dosazením vhodných hodnot ukažte, že velikost zdánlivé tečné složky rychlosti zdroje A, kterou pozoruje pozorovatel O, může vycházet větší než rychlost světla. Vysvětlete, proč se nejedná o rozpor se speciální teorií relativity. (5 bodů) c) Předpokládejme, že dva objekty zachycené na rádiových měřeních se pohybují rychlostí o velikosti v = βc v opačných směrech pod úhlem φ vzhledem k pozorovateli. Použijte výsledky výše a vyjádřete veličiny β a φ pomocí ω 1,2. Spočtěte jejich číselné hodnoty a odhadněte chybu vypočtené hodnoty φ. (15 bodů) Nápověda: pokud A = (A ± A) a B = (B ± B) jsou měřené veličiny se středními hodnotami A, B, absolutními odchylkami A, B a relativními odchylkami δa, δb, kde δa = A/A a δb = B/B, pak pro vypočtenou veličinu C platí: (30 bodů) 1. pokud C = ka, kde k = konst., pak C = k A a δc = δa, 2. pokud C = A ± B, pak C = A 2 + B 2 3. pokud C = A/B nebo C = AB, pak δc = δa 2 + δb 2, 4. pokud tg C = A, pak C = A cos 2 C. Původ: podle Einar Gudmundsson, Knútur Árnason a Thorsteinn Vilhjálmsson: IPhO 1998, Theoretical Problem 3, zkrátil a zjednodušil Jakub Vošmera

9 Obrázek 2 Obrázek 3

10 Řešení: a) Na obr. 2 si co nejpřesněji označíme středy zdrojů. Označme θ 1 (t) úhlovou vzdálenost středu levého zdroje od kříže (jako funkci času) a θ 2 (t) úhlovou vzdálenost středu pravého zdroje od kříže. Tyto vzdálenosti měříme na obrázku 2 pomocí pravítka a následně převedeme na obloukové vteřiny pomocí poskytnutého měřítka. Obdržíme následující data. Čas od (dny) θ 1 ( ) θ 2 ( ) 0 0,139-0, ,253-0, ,354-0, ,468-0, ,601-0, ,709-0,367 Neurčitost v odečítání vzdáleností pomocí pravítka odhadneme na 0,5 mm, což se projeví jako neurčitost 0,013 v hodnotách θ 1,2. Hodnoty vyneseme do následujícího grafu. Proložíme-li datovými body přímky, můžeme odhadnout následující hodnoty: ω 1 = (17,0 ± 1,5) 10 3 d 1 a ω 2 = (8,7 ± 1,0) 10 3 d 1. To odpovídá

11 zdánlivým tangenciálním rychlostem v 1 = ω 1 R = (3,7 ± 0,3) 10 8 m s 1 = (1,2 ± 0,1) c a v 2 = ω 2 R = (1,9 ± 0,2) 10 8 m s 1 = (0,63 ± 0,07). b) Zkusíme-li například dosadit β = 0,9 a φ = 1 rad, dostaneme v = 1,5c. Zdánlivá tangenciální rychlost tedy může vyjít větší než rychlost světla ve vakuu (nejedná se zde o fyzické přenášení žádné informace, takže nevzniká rozpor se STR). c) Situace, kterou zde uvažujeme, odpovídá následujícímu obrázku. Z části b) nyní víme, že pro úhlové rychlosti ω 1,2 z části a) lze psát ω 1 = cβ sin φ R(1 β cos φ) a ω 2 = cβ sin φ R(1 + β cos φ). Máme tedy dvě rovnice o dvou neznámých β, φ. Jednoduchými algebraickými úpravami pak dostaneme tg φ = 2R c ω 1 ω 2 ω 1 ω 2 a rovněž β = 1 cos φ ω 1 ω 2 ω 1 + ω 2, Nezbývá než použít napovězené vztahy pro výpočet chyb. Jejich jednoduchým zřetězením dostáváme φ = 1 2 sin 2φ ω ω ω ω 2 ω 1 ω 2 (ω 1 ω 2 ) 2 Číselně pak máme φ = (69 ± 5) a β = 0,89.

12 příklad 9 V této úloze se pokusíme ověřit formu Newtonova zákona všeobecné gravitace, konkrétně, že intenzita gravitačního pole klesá se čtvercem vzdálenosti od gravitujícího tělesa. Předpokládejme, že gravitační pole způsobené kulovým objektem O je radiální a že velikost gravitačního zrychlení (jehož vektor bude mířit směrem do středu O) můžeme zapsat jako a g (r) = k 2 r p, kde r je vzdálenost do středu O a k, p jsou neznámé parametry, přičemž k závisí na hmotnosti O a p je univerzální (tj. nezávisí na vlastnostech O). Potom můžeme psát vztah mezi periodou oběhu T a velkou poloosou trajektorie tělesa a (jehož hmotnost je zanedbatelná vzhledem k hmotnosti O), které obíhá kolem O po kruhové dráze T 2 = 4π 2 k 2 a p 1. Pro vybrané objekty sluneční soustavy máme následující data (předpokládáme, že dráhy jsou přibližně kruhové). ( ) Objekt Poloměr dráhy a au Perioda oběhu P rok Merkur 0,39 0,24 Venuše 0,72 0,62 Země 1,00 1,00 Mars 1,52 1,88 Jupiter 5,20 11,86 Saturn 9,58 29,46 Uran 19,23 84,32 Neptun 30,10 164,79 Vyneste do grafu desítkový logaritmus periody v závislosti na logaritmu poloměru dráhy. (5 bodů) Ukažte, že tato závislost je konzistentní se vztahem (*) a odhadněte z grafu číselnou hodnotu p. (5 bodů) V této úloze nemusíte určovat chyby získaných hodnot. (10 bodů)

13 Původ: inspirace Rumunská AO, upravil Jakub Vošmera Řešení: Spočtěme nejdříve desítkové logaritmy číselných hodnot z tabulky. Dostaneme následující tabulku hodnot Objekt log a au log T rok Merkur -0,409-0,620 Venuše -0,143 0,208 Země 0,000 0,000 Mars 0,182 0,274 Jupiter 0,716 1,074 Saturn 0,980 1,469 Uran 1,284 1,926 Neptun 1,479 2,217 Data vyneseme do následujícího grafu Pozorujeme, že závislost je jasně lineární. Můžeme tedy psát, že

14 log T rok = A log a au + B, kde koeficient A z grafu odhadneme jako A = 1,50. V dalším budeme uvažovat, že T je vyjádřena v rocích a a v au, abychom mohli psát rovnice bez jednotek. Pokud zlogaritmujeme vztah mezi periodou a poloměrem dráhy ze zadání, dostaneme log T = log 2π k + 1 p log a, 2 což je stejný lineární vztah, jaký pozorujeme na grafu. Porovnáním koeficientů dostáváme A = 1 p 2 a tedy p = 1 2A. Číselně tedy p = 2,00. Data potvrzují, že intenzita gravitačního pole ubývá se čtvercem vzdálenosti. příklad 10 Přesuňme se nyní o trochu dále od Slunce a pojďme zkoumat vlastnosti galaxie NGC Na tuto spirální galaxii (která je jinak v rovině galaktického disku kruhová) se nedíváme úplně přesně shora, takže se nám na snímku jeví jako elipsa (viz obrázek 5 níže, obrázek 6 pak ukazuje výřez centrální části se zvýšeným kontrastem). Máme k dispozici spektrograf, jehož štěrbinu jsme nastavili tak, aby přesně souhlasila s hlavní osou eliptického obrysu galaxie. Spektrum, které jsme pořídili, můžete vidět na obrázku 4, kde na vodorovné ose vynášíme vlnovou délku a na svislé ose úhlovou vzdálenost od středu galaxie. V daném úseku spektra můžeme pozorovat dvě výrazné absorpční čáry, které odpovídají vlnovým délkám 656,4 nm (levá) a 658,4 nm (pravá). a) Za pomocí znalosti vlnových délek dvou výrazných čar okalibrujte měřítko vodorovné osy a určete maximální radiální rychlost materiálu, který pozorujeme v oblasti vymezené štěrbinou. (5 bodů) b) Na základě výsledku úlohy a) a s pomocí obrázku 5 a 6 určete maximální rychlost rotace disku galaxie, kterou budeme dále značit V tot,max. Nezapomeňte, že se na galaxii nedíváme přesně z boku. (5 bodů) V 70. letech minulého století astronomové na základě pozorování zjistili, že pro velké spirální galaxie platí Tully-Fisherův vztah, který svazuje V tot,max, baryonickou hmotnost galaxie M b a absolutní hvězdnou velikost galaxie. Na obrázcích 7, 8 a 9

15 jsou shrnuta pozorování 34 jasných spirálních galaxií, ze kterých skutečně lze usuzovat na přítomnost vztahu mezi výše zmíněnými veličinami (B, resp. K značí absolutní hvězdné velikosti ve filtru B, resp. K). c) Na základě výsledku b) a s pomocí grafů na obrázcích 7, 8 a 9 odhadněte baryonickou hmotnost a zářívé výkony NGC 7083 ve filtrech B a K v jednotkách celkového zářivého výkonu Slunce. Víte-li navíc, že pozorovaná hvězdná velikost NGC 7083 ve filtru B, resp. K je m B = 11,9 mag resp. m K = 8,4 mag, odhadněte vzdálenost NGC 7083 v parsecích. Extinkci neuvažujte. (10 bodů) Nápověda: Může se vám hodit, že absolutní bolometrická hvězdná velikost Slunce je 4,83 mag. V této úloze nemusíte určovat chyby získaných hodnot. (20 bodů)

16 Obrázek 4

17 Obrázek 7 Obrázek 8 Obrázek 5 Obrázek 9 Obrázek 6

18 Původ: inspirace a data: Kassin et al., 2006, Ap. J., 643, a zadání IOAA 2011, výsledné znění Jakub Vošmera Řešení: a) Vzdálenost čar odhadneme na 22 pixelů. Jeden pixel na ose vodorovné tedy odpovídá vlnové délce 0,09 nm. Vidíme, že absorpční čáry jsou na obě strany posunuty ze své střední polohy. To odpovídá červenému a modrému posuvu, který je způsoben Dopplerovým jevem. Galaxie totiž rotuje rychlostí, která závisí na vzdálenosti od středu galaxie. Jedna polovina štěrbiny tedy zobrazuje materiál, který se k nám přibližuje, a druhá polovina štěrbiny pak materiál, který se od nás vzdaluje. Je zřejmé, že posunutí čáry by mělo být symetrické, což opravdu pozorujeme. Pro následující rozbor použijeme výraznější levou čáru. Abychom nemuseli odhadovat střední polohu čáry, najdeme místo, kde je rozdvojení čáry největší a odhadneme v tomto místě vzdálenost obou komponent od sebe: 9 pix. Máme tedy 2 λ = 0,82 nm a požadovaná maximální radiální rychlost materiálu tedy je V rad,max = c Δλ λ = 190 km s 1. b) Abychom mohli odhadnout skutečnou maximální rychlost rotace disku galaxie, musíme určit úhel, pod jakým se na disk galaxie díváme. Označme i úhel, který svírá rovina galaxie se směrem k pozorovateli. Potom zřejmě máme V rad,max = V tot,max cos i. Úhel i se nám z obr. 6 bude nejlépe odhadovat pomocí elipticity jasné centrální oblasti. Poměr malé a velké poloosy této oblasti odhadneme na p = 12 = 0,71. Za předpokladu, že při pohledu shora je tato centrální oblast 17 kruhová, dostaneme p = sin i a tedy V tot,max = V rad,max 1 p 2 = 260 km s 1. c) Máme log V tot,max km s 1 = 2,4. Z přiložených grafů tedy můžeme odhadnout log M b M s 11,1, K = 24,7 mag a B = 21,0 mag. Pro baryonickou hmotnost tedy dostaneme M b = 1, M s. Zářivé výkony pak spočteme pomocí zadaných hodnot pro Slunce jako L B = L S 10 0,4(B 4,83) = 2, L S

19 a L K = L S 10 0,4(K 4,83) = 6, L S. Konečně, pomocí hodnot pozorovaných hvězdných velikostí v obou filtrech dostaneme dva odhady vzdálenosti a d B = 10 m B B+5 5 pc = 38,0 Mpc d K = 10 m K K+5 5 pc = 41,7 Mpc. Jako odhad vzdálenosti vezmeme jejich aritmetický průměr, tedy d = 40 Mpc.