Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách"

Transkript

1 Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, Cc Vlivem vzájemné polohy lunce, Země a dalšího tělesa(např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu, kdy pozorovatel ze Země nevidí celý osvětlený kotouč třetího tělesa, ale pouze část(srpek). Jaká část plochy kotouče třetího tělesa je ze Země viditelná se popisuje pojmem fáze nebeského tělesa. Rozumíme jí poměr f plochy ze Země viditelné a současně luncem osvětlené části kotouče třetího tělesa, ku ploše celého kotouče. Fáze f je tedy bezrozměrný parametr ležící v intervalu 0, 1. Po pronásobení stemjilzeudávattéžvprocentech. Je-li f=0říkáme,žetělesojevnovu,je-li f=1říkáme,žetělesojevúplňku, je-li f= 1 df asoučasněfázeroste(tedy > 0), říkáme, že těleso je v první čtvrti, dt je-li f= 1 df asoučasněfázeklesá(tedy <0),říkáme,žetělesojevposledníčtvrti. dt Odvodíme závislost fáze Měsíce a planet na čase, ovšem za zjednodušujících předpokladů kruhovýchdrahtěchtotěles(ε=0)vroviněekliptiky(i=0). Fáze vnitřních planet Naobrázku1jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)auvnitřnírovněžkruhová dráha vnitřní planety(merkura nebo Venuše) se luncem() jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lze bez újmy na obecnosti uvažovat polohu Země za neměnnou(na obrázku v dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnitřní planeta při svém oběhu kolem lunce Zemi předbíhá, takže probíhá relativní pohyb planety v kladném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy dolní konjunkce se luncem. Na obr.1 znázorňujeme jako kruh planetární kouli v řezu rovinou ekliptiky. Zřejmě polokoule osvětlená luncem(na řezu polokruh) je polokoule přivrácená ke lunci oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici jejího středu(v řezu je dělící rovina znázorněna jako úsečka). Vodorovnými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Ze Země je viditelná pouze polokoule přivrácená k Zemi, oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici se Zemí. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) viditelný ze Země. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež je současně viditelná ze Země a osvětlená luncem, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnitřní planety. Popíšeme závislost fáze na úhlu. Poznámka: Úhel souvisí s časem t uplynuvším od doby poslední dolní konjunkce planety se luncem(datum a čas této události je tabelován v astronomických ročenkách) jednoduchým vztahem. Vzhledem k předpokladu kruhových drah jsou úhlové rychlosti Země ω Z iplanety ωpřipohybukolemluncekonstantní.relativnípohybplanetyvůči Zemiprotocharakterizujeúhlovárychlostrozdílová ω ω Z (vtomtopořadí).potom 1

2 P HK υ, P P DK Z Obrázek 1: zřejměje =(ω ω Z )t.protožeúhlovérychlostipřirovnoměrnýchpohybechsouvisejís příslušnýmidobamioběhukolemlunce(o360stupňů) T Z a Tznámýmivýrazy ω= π T a ω Z = π T Z,dostávámeodtudproúhel vztah ( 1 =π T 1 ) t. T Z Odtudplyne,žepro t= T ZT T Z je =π.všechnyfázeseprotoopakujíposynodické T době oběhu planety(viz příslušné téma). VtrojúhelníkuZP(vizobr.1)označmeúheluvrcholuPjako ϑ.tředovýúhel ϑ, příslušející současně luncem osvětlené a ze Země viditelné části kotouče má k výše popsanému úhlu kolmá ramena. Úhly s kolmými rameny jsou buď totožné nebo doplňkové do π.zobrázku1jepatrno,ževnašempřípaděje ϑ=π ϑ. Označíme-li R Z poloměrzemskédráhykolemlunce(tedyastronomickájednotka) a R poloměr dráhy planety kolem lunce, dostáváme aplikací sínové a kosínové věty v trojúhelníku ZP, že sin ϑ sin = R Z ZP ; ZP= R Z+ R R Z Rcos, odkudrozšířenímvýrazuzlomkem 1 R Z azavedenímveličiny R = R R Z (tojestpoloměr dráhy planety v astronomických jednotkách) dostaneme vztah sin ϑ = sin 1+R R cos. (1) Zobrázku1jepatrno,žepro =0(planetavdolníkonjunkci)je ϑ = π,takže ϑ=0aplanetasenacházívnovu.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy rosteodnulydo π, ϑ klesáod πknule,atudíž ϑzaserosteodnulydo π.fázevnitřníplanetytedyv tomtoobdobíroste.pro = π β,kde βjemaximálníelongačníúhelvnitřníplanety,

3 jezřejmě ϑ = π(protožetečnakekružnicijekolmákpříslušnémuprůvodiči),aprotoi ϑ= πaplanetasenacházívprvníčtvrti(asoučasněvnejvětšízápadníelongaci).pro t= Tsy je =π,takže ϑ =0aϑ=π.Vtétopoloze(horníkonjunkciseluncem)je tedyplanetavúplňku.pro t Tsy,T sy jesituaceanalogickávtomsmyslu,žegrafy příslušnýchveličinjsousymetricképodlepřímky t= Tsy (nebo =π).fázevtomto intervaluklesáopětknuleavpolozenejvětšívýchodníelongace(kdy = 3π+ β)je planeta v poslední čtvrti. Poznámka: 1.Zobrázku1jepatrno,ževobdobírůstufázevnitřníplanetyjezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek planety má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá) zde funguje přesně obráceně.. Protože v okolí konjunkcí není vnitřní planeta pozorovatelná(jest přezářená luncem), nelze ji pozorovat ani v okolí novu ani v okolí úplňku. Vnitřní planety nejlépe pozorujeme v okolí největších elongací, kdy se z hlediska fáze nachází ve čtvrtích (první nebo poslední). Zvýrazu(1)azdefinicefunkcearcsinvyplývá,žepro ϑ 0, π β )je ϑ =arcsin sin 1+R R cos 0, π (tojestpro () apro ϑ π,π (tojestpro π β,π )je ϑ = π arcsin sin 1+R R cos. (3) ρ ρcos υ Obrázek : Na obrázku 1 jsme na kotouček planety pohlíželi od severního ekliptikálního pólu. Podíváme-li se na něho ze Země, objeví se pohled znázorněný na obrázku. Tloušťka srpkuplanetyvroviněekliptiky(tedyvmístě,kdejenejsilnější)jezřejmě ρ(1 cos ϑ), kde ρ je(fiktivní) poloměr planetárního kotoučku(také jej můžeme brát jednotkový). Pro ϑ=0sezřejmějednáonov(nulovátloušťkasrpku),pro ϑ= π sejednáo(první) 3

4 y y = ρ x y = ρ x cos υ ρ ρ x Obrázek 3: čtvrť(tloušťkasrpkujerovnapoloměrukotoučku)apro ϑ=πsejednáoúplněk,kdy tloušťka srpku je rovna průměru kotoučku. Poznamenejme, že nekruhový obrys srpku má zřejmě v souřadnicové soustavě x, y zobrázku3rovnici y= ρ x cos ϑ.jestližetedy A= πρ jeplochapolovinykotoučku,jezřejměplocha dolní (neosvětlené)částikotoučkurovna A = πρ cos ϑ. Plocha osvětlené části je pak rozdíl obou ploch, a tedy fáze planety je podle definice f= A ( ) A A =1 1 A = 1 cosϑ A = 1+cosϑ, (4) protožeplatí cosϑ=cos(π ϑ )= cos ϑ. Pro libovolný čas mezi nulou a synodickou dobou oběhu planety(pro Merkura roku,provenuši1.597roku)paknejprvezrovnice(1)určímeúhel,potézrovnice() nebo(3)určímeúhel ϑ anakonecpodle(4)určímeodpovídajícífázivnitřníplanety. Závislost f()jeprooběvnitřníplanetyuvedenanaobrázku Zavislost faze vnitrnich planet a Mesice na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mesic Merkur Venuse φ [stupnu] Obrázek 4: 4

5 Fáze vnějších planet Naobrázku5jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)avněnírovněžkruhovádráha vnější planety(marsu až Neptuna) se luncem(), jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lzebezújmynaobecnostiopětuvažovatpolohuzemězaneměnnou(naobrázkuv dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnější planeta při svém oběhu kolem lunce se za Zemí zpožďuje, probíhá relativní pohyb planety v záporném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme opět popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy opozice planety ke lunci. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule (polokruh) viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnější planety. P K P, υ Z P O Obrázek 5: Označíme-li,stejnějakovpřípaděvnitřníplanety,symbolem ϑ úhelmezisměryze středu planety na(střed) lunce a na(střed) Země. Aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZP získáme výraz sin ϑ = sin 1+R R cos, (5) kterýmáformálněstejnýtvarjako(1)propřípadvnitřníplanety.veličina R,jakožto poloměr dráhy planety v astronomických jednotkách, je v tomto případě větší než jedna. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. 5

6 Zobrázku5jepatrno,žepro =0(planetavopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πa planetasenacházívúplňku.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy úhel rosteodnulydo π, aleúhel ϑ nejprverostedojistémaximálníhodnotyapotézaseklesáknule.proto úhel ϑnejprveklesádojistéminimálníhodnotyapotéopětrostedo π.fázeplanety proto také nejprve klesá do jisté minimální hodnoty a poté opět roste do jedničky. Pro t= Tsy je =π, ϑ =0, ϑ=πaf =1.Vnějšíplanetajeprotoopětvúplňku. Pro t Tsy,T sy jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= Tsy.Určímenynívýše popsanou minimální fázi vnější planety. Protožefunkce f= f(ϑ )vevztahu(4)jemonotónněrostoucínaintervalu 0,π, stačínajíthodnotu min,vekterénabýváfunkce ϑ ()svéhomaxima.tatohodnota dosazenado(5)aposlézedo(4)dáhledanouminimálnífázi f min.nutnoupodmínkou extrémufunkce ϑ ()jenulovostjejíderivace.derivujmetedyrovnici(5)podle. Dostaneme po dílčí úpravě dϑ d =cos (1+R R cos) R sin. cos ϑ (1+R R cos ) 3 Nulovostzlomkujeekvivalentnínulovostijehočitatele.Jestliženavícdosadímesin = =1 cos,dostanemenutnoupodmínkuextrémuvetvaru R cos (1+R )cos +R =0, což je kvadratická rovnice pro cos. Jejím řešením obdržíme Úpravou odtud cos 1, = 1+R ± (1+R ) 4R R. cos 1 = R ; cos = 1 R. Protožesezabývámevnějšímiplanetami,prokteréjest R >1,jejedinýmřešením cos min = 1.Vzhledemktomu,žesejednázřejměoúhelsvojíhodnotoumezinulou R a π,je sin min = Dosazením do(5) dostaneme po úpravě Odtud sin ϑ max= cos ϑ max= 1 cos min = R 1 R. sin min 1+R R cos min = 1 R. 1 sin ϑ max= R 1 R. Vzhledemkmonotónněklesajícífunkci f(ϑ )odtuddosazenímdo(4)konečnědostaneme f min = 1+cosϑ max = R + R 1 R. (6) 6

7 Postačující podmínky extrému není třeba ověřovat, neboť vzhledem k fyzikální podstatě úlohy je v(6) určena skutečně minimální fáze vnější planety. Pro všech pět vnějších planet jsou výsledky znázorněny v následující tabulce. Tabulka 1: Planeta Mars Jupiter aturn Uran Neptun R [au] min [ o ] f min Z tabulky je patrno, že minimální fáze velkých vnějších planet je větší než 99 procent. Tyto planety jsou proto prakticky stále v úplňku. vůj význam má tato hodnota pouze umarsu,kdefázeklesáažpod88procent.konkrétnízávislost f()jepromars,jupiter aaturnuvedenanaobrázku Zavislost faze vnejsich planet na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mars Jupiter aturn φ [stupnu] Obrázek 6: Fáze Měsíce Naobrázku7jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)kolemluncearovněžkruhová dráha Měsíce M kolem Země. tejně jako výše lze bez újmy na obecnosti předpokládat trvalou polohu Země tak, jak je zakreslena a sledovat pouze relativní pohyb Měsíce vůči Zemiúhlovourychlostí ω= ω M ω Z,kde ω M jeúhlovárychlostměsícepřijehopohybu 7

8 kolemzemě.protože ω M > ω Z,konáserelativnípohybMěsícevkladnémsmyslu. Obecná poloha středu Měsíce je popsána úhlem průvodiče Měsíce od jeho polohy v opoziciseluncem.vtrojúhelníkuzmjeprotovnitřníúheluvrcholuzroven π. M K π Z υ, M M O Obrázek 7: Označmeperiodu,příslušejícírelativníúhlovérychlosti ωměsícejako T sym.jedná se o analogii synodické doby oběhu planet a je to doba mezi dvěma sousedními stejnými polohamiměsícevevztahukelunciakzemi.nazývámejisynodickýmměsícema platíproni 1 = 1 1 T sim = T ZT sym, T sym T sim T Z T Z T sym kde T sim jeperiodatzv.siderickéhoměsíce,tedydoba,zakterouměsícvykonákolem Zeměúplnéotočeníoúhel360 o.perioda T Z jedobaotočenízeměkolemlunce(tzv. siderickýrok).protože T sym jeperiodazměnyfázíměsíce,kteroumůžemesnadno pozorovatnaobloze,víme,žeje T sym =9.53dní(středníchslunečních).Protožesiderický rok má dní, dostáváme z předchozího výrazu, že délka siderického měsíce (který na obloze pozorovati nemůžeme) je dní. vislými šrafami je na obrázku 7 znázorněna polokoule(polokruh) Měsíce viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jevíjakopříslušnáfázeměsíce.označíme-lisymbolem ϑ úhelmezisměryzestředu Měsíce na(střed) lunce a na(střed) Země, získáme aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZM výraz 8

9 sin ϑ = sin 1+R +R cos, (7) kde R M jepoloměrdráhyměsícekolemzeměvastronomickýchjednotkách.oproti analogickému výrazu pro planety je ve třetím sčítanci jmenovatele zde znaménko plus. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. Zobrázku7jepatrno,žepro =0(Měsícvopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πaměsíc senacházívúplňku.vprůběhučasu t ( 0, T ) sym úhel rosteodnulydo π,úhel ϑ rovněžrosteodnulydo π,cožznamená,žestředovýúhel ϑklesáod πknuleafáze rovněžklesáodjedničkyknule.pro t= T sym je =π, ϑ = π, ϑ=0atedyif=0. Měsícsenacházívnovu.Pro t T sym,t sym jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= T sym. Poznámka:Zobrázku7jepatrno,ževobdobípoklesufázeMěsícejezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek Měsíce má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá)zdefunguje.závislost f()jeproměsícrovněžuvedenanaobrázku4. Planetární hvězdné a sluneční dni TakjakouZeměrozeznávámehvězdnýdenjakodobuotočeníZeměkolemjejíosya sluneční den jako dobu mezi dvěma sousedními průchody lunce místním poledníkem, lze totéž učinit i u ostatních planet. První periodu označujeme jako hvězdný(siderický) den t si adruhoujakosluneční(synodický)den t sy. A A A t = 0 t = t si t = t sy Obrázek 8: Naobrázku8mámeznázorněnpohlednadráhuplanetyzesměrukolméhonarovinu její dráhy(tedy vzhledem k platnosti předpokladu i = 0 ze směru severního ekliptikálního pólu). Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo namístoanaplanetě.prostředníobrázekukazujestavpouplynutíperiody t si,kdy ovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoanaplanetě,protožetatosezatutoperiodu posunula na svojí dráze kolem lunce. Pravý obrázek znázorňuje stav po uplynutí periody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoanaplanetě.zatudobuseplaneta posunula na své dráze kolem lunce o úhel průvodiče. Protože předpokládáme 9

10 kruhové dráhy kolem lunce(ε = 0), pohybují se planety kolem lunce rovnoměrně. Protože rotace planet kolem svých os je rovněž rovnoměrná, můžeme psát následující úměrnosti: 1. Pro pohyb kolem lunce. Pro pohyb kolem planetární osy t sy T = π. (8) t sy = π+., (9) t si π kde T je doba oběhu planety kolem lunce(tzv. siderický rok planety). Dosazenímza π z(8)do(9)dostaneme 1 = 1 1 t sy t si T t sy= t sit. (10) T t si Předchozí výpočet byl proveden za automatických předpokladů, že u všech planet je siderický rok delší než hvězdný den(což je u všech planet s výjimkou Venuše splněno) a že rotace všech planet kolem osy je prográdní, tedy v matematicky kladném smyslu, jakopohybkolemlunce(cožjeopětuvšechplanetsvýjimkouvenušesplněno).v následující tabulce jsou uvedeny popisované časové parametry u všech planet s výjimkou Venuše. Údaje jsou uvedeny ve středních slunečních(pozemských) dnech, které užíváme v běžném životě. Tabulka : Planeta T t si t sy Merkur Země Mars Jupiter aturn Uran Neptun Z tabulky je patrno, že velké planety(jupiter až Neptun) mají natolik velký časový rozdíl mezi svým siderickým rokem a siderickým dnem, že jejich sluneční den je přesně totožný s hvězdným. lunce i hvězdy se na tamní obloze zdánlivě pohybují prakticky se stejnou úhlovou rychlostí. Země a Mars mají sluneční den o dvě nebo tři promile delší než den hvězdný. Hvězdy se pohybují zdánlivě na oblohách těchto planet nepatrně větší úhlovou rychlostí než lunce(rozdíl mezi hvězdným a slunečním časem na Zemi- viz příslušné téma). Merkur má sluneční den cirka třikrát delší než hvězdný. lunce se tedy na obloze Merkura pohybuje(v průměru) třikrát menší úhlovou rychlostí než hvězdy. Venuše se vymyká všem planetám sluneční soustavy, neboť její pohyb kolem osy je retrográdní a navíc úhlově pomalejší než pohyb kolem lunce. Její parametry jsou T=5(středníchslunečníchpozemských)dníat si =43dní.Obrázek9znázorňuje 10

11 A A A t = 0 t = T t = t sy Obrázek 9: analogii k obrázku 8 ovšem pouze pro Venuši. Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo na místo A na planetě. Prostřední obrázek ukazuje stavpouplynutíperiody T,kdyovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoA.Tatose zatutoperiodupřipohybukolemosyposunulaomenšíúhelnež360 o.pravýobrázek znázorňujestavpouplynutíperiody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoa.zatu dobuseplanetaposunulanasvédrázekolemlunceoúhelprůvodičeπ+ anasvé poutikolemosyoúhelπ.úměrnosti(8)a(9)majízdetvar π+ π Vyloučením π ztěchtovýrazůdostaneme t sy T = t sy t si = t sy T ; π π = t sy t si. t sy = t sit t si + T. (11) Podosazeníčíselnýchhodnotparametrů Ta t si dostávámedélkuvenušinaslunečního dne t sy =34dní. Zastavíme se ještě u Merkura, jehož trajektorie kolem lunce je zdaleka nejvýstřednější.předpoklad ε=0proněhotedyplatínejméněpřesně.navícnamerkurusiderický rok je řádově srovnatelný se siderickým dnem. Tato fakta mají zajímavý důsledek, který popíšeme. Označme ω okamžitou úhlovou rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce a r jeho okamžitou vzdálenost od lunce. Indexem s budeme značit střední hodnoty veličin, indexem a hodnoty v afeliu a indexem p hodnoty v periheliu. Podle II. Keplerova zákona platí r sω s = r pω p = r aω a (=w), (1) kde w je plošná rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce. Dále zřejmě platí r p = a; r p = a e; r a = a+e, (13) kde a je délka velké poloosy Merkurovy dráhy a e její délková výstřednost. Dosazením (13)do(1)arozšířenímzlomkůvýrazem 1 a vzniká ω p ω s = ( ) rs = r p ( ) a = 1 ω a a e (1 ε) ; = ω s 11 ( rs r a ) = ( ) a = 1 a+e (1+ε). (14)

12 Označmenyní T x (x=s,p,a)periodyoběhumerkurakolemluncepříslušejícíkúhlovýmrychlostem ω x zapředpokladu,žebypohybbylrovnoměrnýpocelýoběh. ohledem na(14) pak platí T p T s = ω s ω p =(1 ε) ; T a T s = ω s ω a =(1+ε). Dosadíme-lidotěchtovýrazůčíselnéhodnotyproMerkura T s =88dníaε=0.06,dostaneme T p =55.5dníaT a =18dní.Tytovýsledkyukazujíjednaknavelkékolísánírychlosti Merkuranajehocestěkolemlunceajednaknafakt,ževokolíperiheliaseMerkurpohybuje kolem lunce úhlově rychleji než kolem své osy. Tato skutečnost snadno plyne ze srovnáníperiody T p speriodouhvězdnéhodnenamerkuru(58.646dní).tomázanásledek, že v okolí prerihelia Merkurovy dráhy se lunce zdánlivě pohybuje po obloze opačně nežhvězdy.dvakrátzamerkurůvrok(88dní)setedyluncenasvézdánlivépoutipo Merkurově obloze zastaví, aby vzápětí změnilo orientaci svého zdánlivého pohybu. To je situace na planetách sluneční soustavy zcela ojedinělá. 1

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse ÚTFA,Přírodovědecká fakulta MU, Brno, CZ březen 2005 březnového tématu Březnové téma je věnováno klasické sférické astronomii. Úkol se skládá z měření, výpočtu a porovnání výsledků získaných v obou částech.

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku 4 ZÁKLADY SFÉRICKÉ ASTRONOMIE K posouzení proslunění budovy nebo oslunění pozemku je vždy nutné stanovit polohu slunce na obloze. K tomu slouží vztahy sférické astronomie slunce. Pro sledování změn slunečního

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli?

1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli? 1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli? 1.1 Měsíční hodiny Drahomíra Pecinová Sluneční hodiny různých typů můžeme doplnit měsíčními hodinami a rozšířit tak jejich použití i na noci, kdy svítí Měsíc.

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b)

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Část A strana A 1 Bodové hodnocení vyplňuje komise! část A B C Celkem body (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Pokyny k testovým otázkám: U následujících otázek zakroužkuj vždy právě jednu správnou odpověď. Zmýlíš-li

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 1/99 Výpočet zeměpisné šířky z měřených

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Tělesa sluneční soustavy

Tělesa sluneční soustavy Tělesa sluneční soustavy Měsíc dráha vzdálenost 356 407 tis. km (průměr 384400km); určena pomocí laseru/radaru e=0,0549, elipsa mění tvar gravitačním působením Slunce i=5,145 deg. měsíce siderický 27,321661

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list KEPLEROVY ZÁKONY RNDr. Vladimír Vaščák Metodický list RNDr. V L A D I M Í R V A Š Č Á K Metodický list RNDr. Vladimír Vaščák www.vascak.cz Obsah O aplikaci... 1 Verze pro PC, ipad a Android... 2 1. Keplerův

Více

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1 PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012)

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012) Soutěžní úlohy části A a B (1. 6. 01) Pokyny k úlohám: Řešení úlohy musí obsahovat rozbor problému (náčrtek dané situace), základní vztahy (vzorce) použité v řešení a přesný postup (stačí heslovitě). Nestačí

Více

Téma: Planetární elipsoidy

Téma: Planetární elipsoidy Téma: Planetární elipsoidy Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Uvažujme v prvním přiblížení planetu jako dokonalou kouli poloměru r, střední(průměrné) hustoty µ, rotující kolem své osy úhlovou rychlostí

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace Identifikace Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max.

Více

očekávaný výstup ročník 7. č. 11 název

očekávaný výstup ročník 7. č. 11 název č. 11 název anotace očekávaný výstup druh učebního materiálu Pracovní list druh interaktivity Aktivita ročník 7. Vesmír a Země, planeta Země V pracovních listech si žáci opakují své znalosti o vesmíru

Více

Téma: Úvod(Souřadnice a základy sférické trigonometrie)

Téma: Úvod(Souřadnice a základy sférické trigonometrie) Téma: Úvod(Souřadnice a základy sférické trigonometrie) Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Kartézské souřadnicové soustavy Pravoúhlá pravotočivá kartézská souřadnicová soustava v třírozměrném Euklidovském

Více

Rotace zeměkoule. pohyb po kružnici

Rotace zeměkoule. pohyb po kružnici Rotace zeměkoule pohyb po kružnici O čem to bude Spočítáme rychlost pohybu Země kolem Slunce z pohybu hmotného bodu po kružnici. 2/35 O čem to bude Spočítáme rychlost pohybu Země kolem Slunce z pohybu

Více

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země?

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země? Astronomie Autor: Miroslav Randa. Doplň pojmy ze seznamu na správná místa textu. seznam pojmů: Jupiter, komety, Merkur, měsíce, Neptun, planetky, planety, Pluto, Saturn, Slunce, Uran, Venuše, Země Uprostřed

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Astronomický klub Pelhřimov Pobočka Vysočina Česká astronomická společnost

Astronomický klub Pelhřimov Pobočka Vysočina Česká astronomická společnost www.astroklub.cz Astronomický klub Pelhřimov Pobočka Vysočina Česká astronomická společnost http://vysocina.astro.cz Hvězdářská ročenka 2017 Jakub Rozehnal a kolektiv Hvězdárna a planetárium hl. m. Prahy

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

2.1.2 Měsíční fáze, zatmění Měsíce, zatmění Slunce

2.1.2 Měsíční fáze, zatmění Měsíce, zatmění Slunce 2.1.2 Měsíční fáze, zatmění Měsíce, zatmění Slunce Předpoklady: 020101 Pomůcky: lampičky s klasickými žárovkami, stínítko, modely slunce, země, měsíce na zatmění Měsíc je velmi zajímavé těleso: jeho tvar

Více

Planeta Země. Pohyby Země a jejich důsledky

Planeta Země. Pohyby Země a jejich důsledky Planeta Země Pohyby Země a jejich důsledky Pohyby Země Planeta Země je jednou z osmi planet Sluneční soustavy. Vzhledem k okolnímu vesmíru je v neustálém pohybu. Úkol 1: Které pohyby naše planeta ve Sluneční

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Magnetické pole drátu ve tvaru V

Magnetické pole drátu ve tvaru V Magnetické pole drátu ve tvaru V K prvním úspěchům získaným Ampèrem při využívání magnetických jevů patří výpočet indukce magnetického pole B, vytvořeného elektrickým proudem procházejícím vodiči. Srovnáme

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Kartografie přednáška 5 Referenční plochy souřadnicových soustav slouží k lokalizaci bodů, objektů

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace ŘEŠENÍ

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace ŘEŠENÍ Identifikace ŘEŠENÍ Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A:

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test 1. Ve kterém městě je pohřben Tycho Brahe? [a] v Kodani [b] v Praze [c] v Gdaňsku [d] v Pise 2. Země je od Slunce nejdál [a] začátkem ledna.

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Vlastivěda není věda II. Planeta Země. Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský

Vlastivěda není věda II. Planeta Země. Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský Vlastivěda není věda II. Planeta Země Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský 3 Publikace vznikla díky podpoře Magistrátu Hlavního města Prahy. Vytvoření odborného textu: Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet První Keplerův zákon: Planety obíhají kolem Slunce po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Druhý Keplerův zákon: Plochy opsané průvodičem planety za stejné

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

Astronomický rok 2015

Astronomický rok 2015 Astronomický rok 2015 V následujícím článku jsou vybrány nejzajímavější nebeské úkazy a události vztahující se k astronomii, které nám nabídne nadcházející rok. Dnes si projdeme první pololetí 2015. Ze

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady 1. Rychlosti vesmírných těles, např. planet, komet, ale i družic, se obvykle udávají v kilometrech za sekundu. V únoru jsme mohli v novinách

Více

1. Teoretická mechanika

1. Teoretická mechanika 1. Teoretická mechanika 16 Teoretická mechanika 1.1 Integrální principy mechaniky V teoretické mechanice se hojně používá Einsteinova sumační konvence, diferenciálu a Lagrangeova věta o přírůstku. Pokud

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Planeta Země 7.Vesmír a Slunce Planeta Země Vesmír a Slunce Autor: Mgr. Irena Doležalová Datum (období) tvorby: únor 2012 červen 2013 Ročník: šestý Vzdělávací oblast: zeměpis Anotace: Žáci se seznámí se

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele OPT/AST L07 Korekce souřadnic malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů výška pozorovatele konečný poloměr země R výška h objektu závisí na výšce s stanoviště

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Odhad změny rotace Země při změně poloměru

Odhad změny rotace Země při změně poloměru Odhad změny rotace Země při změně poloměru NDr. Pavel Samohýl. Seznam symbolů A, A, A součinitel vztahu pro závislost hustoty Země na vzdálenosti od středu, totéž v minulosti a současnosti B, B, B součinitel

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Goniometrické funkce Mirek Kubera žák načrtne grafy elementárních funkcí a určí jejich vlastnosti, při konstrukci grafů aplikuje znalosti o zobrazeních,

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

ročník 9. č. 21 název

ročník 9. č. 21 název č. 21 název Země - vznik anotace V pracovních listech se žáci seznámí se vznikem Země. Testovou i zábavnou formou si prohlubují znalosti na dané téma. Součástí pracovního listu je i správné řešení. očekávaný

Více

Sluneční soustava OTEVŘÍT. Konec

Sluneční soustava OTEVŘÍT. Konec Sluneční soustava OTEVŘÍT Konec Sluneční soustava Slunce Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Pluto Zpět Slunce Slunce vzniklo asi před 4,6 miliardami let a bude svítit ještě přibližně 7

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

K L A S I C K Á T E O R I E P O H Y B U Č Á S T I C A J E J I CH S O U S T A V

K L A S I C K Á T E O R I E P O H Y B U Č Á S T I C A J E J I CH S O U S T A V ČÁST III K L A S I C K Á T E O R I E P O H Y B U Č Á S T I C A J E J I CH S O U S T A V 10. Pohyb hmotného bodu 11. Dynamika hmotného bodu 12. Dynamika systému hmotných bodů 13. Statistická mechanika 14.

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

Astronomie, sluneční soustava

Astronomie, sluneční soustava Základní škola Nový Bor, náměstí Míru 128, okres Česká Lípa, příspěvková organizace e mail: info@zsnamesti.cz; www.zsnamesti.cz; telefon: 487 722 010; fax: 487 722 378 Registrační číslo: CZ.1.07/1.4.00/21.3267

Více

Propočty přechodu Venuše 8. června 2004

Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 V tomto dokumentu předkládáme podmínky přechodu Venuše pře luneční kotouč 8. června roku 2004. Naše výpočty jme založili na planetárních teoriích VSOP87 vytvořených

Více

Venuše druhá planeta sluneční soustavy

Venuše druhá planeta sluneční soustavy Venuše druhá planeta sluneční soustavy Planeta Venuše je druhá v pořadí vzdáleností od Slunce (střední vzdálenost 108 milionů kilometrů neboli 0,72 AU) a zároveň je naším nejbližším planetárním sousedem.

Více