Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách"

Transkript

1 Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, Cc Vlivem vzájemné polohy lunce, Země a dalšího tělesa(např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu, kdy pozorovatel ze Země nevidí celý osvětlený kotouč třetího tělesa, ale pouze část(srpek). Jaká část plochy kotouče třetího tělesa je ze Země viditelná se popisuje pojmem fáze nebeského tělesa. Rozumíme jí poměr f plochy ze Země viditelné a současně luncem osvětlené části kotouče třetího tělesa, ku ploše celého kotouče. Fáze f je tedy bezrozměrný parametr ležící v intervalu 0, 1. Po pronásobení stemjilzeudávattéžvprocentech. Je-li f=0říkáme,žetělesojevnovu,je-li f=1říkáme,žetělesojevúplňku, je-li f= 1 df asoučasněfázeroste(tedy > 0), říkáme, že těleso je v první čtvrti, dt je-li f= 1 df asoučasněfázeklesá(tedy <0),říkáme,žetělesojevposledníčtvrti. dt Odvodíme závislost fáze Měsíce a planet na čase, ovšem za zjednodušujících předpokladů kruhovýchdrahtěchtotěles(ε=0)vroviněekliptiky(i=0). Fáze vnitřních planet Naobrázku1jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)auvnitřnírovněžkruhová dráha vnitřní planety(merkura nebo Venuše) se luncem() jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lze bez újmy na obecnosti uvažovat polohu Země za neměnnou(na obrázku v dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnitřní planeta při svém oběhu kolem lunce Zemi předbíhá, takže probíhá relativní pohyb planety v kladném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy dolní konjunkce se luncem. Na obr.1 znázorňujeme jako kruh planetární kouli v řezu rovinou ekliptiky. Zřejmě polokoule osvětlená luncem(na řezu polokruh) je polokoule přivrácená ke lunci oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici jejího středu(v řezu je dělící rovina znázorněna jako úsečka). Vodorovnými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Ze Země je viditelná pouze polokoule přivrácená k Zemi, oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici se Zemí. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) viditelný ze Země. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež je současně viditelná ze Země a osvětlená luncem, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnitřní planety. Popíšeme závislost fáze na úhlu. Poznámka: Úhel souvisí s časem t uplynuvším od doby poslední dolní konjunkce planety se luncem(datum a čas této události je tabelován v astronomických ročenkách) jednoduchým vztahem. Vzhledem k předpokladu kruhových drah jsou úhlové rychlosti Země ω Z iplanety ωpřipohybukolemluncekonstantní.relativnípohybplanetyvůči Zemiprotocharakterizujeúhlovárychlostrozdílová ω ω Z (vtomtopořadí).potom 1

2 P HK υ, P P DK Z Obrázek 1: zřejměje =(ω ω Z )t.protožeúhlovérychlostipřirovnoměrnýchpohybechsouvisejís příslušnýmidobamioběhukolemlunce(o360stupňů) T Z a Tznámýmivýrazy ω= π T a ω Z = π T Z,dostávámeodtudproúhel vztah ( 1 =π T 1 ) t. T Z Odtudplyne,žepro t= T ZT T Z je =π.všechnyfázeseprotoopakujíposynodické T době oběhu planety(viz příslušné téma). VtrojúhelníkuZP(vizobr.1)označmeúheluvrcholuPjako ϑ.tředovýúhel ϑ, příslušející současně luncem osvětlené a ze Země viditelné části kotouče má k výše popsanému úhlu kolmá ramena. Úhly s kolmými rameny jsou buď totožné nebo doplňkové do π.zobrázku1jepatrno,ževnašempřípaděje ϑ=π ϑ. Označíme-li R Z poloměrzemskédráhykolemlunce(tedyastronomickájednotka) a R poloměr dráhy planety kolem lunce, dostáváme aplikací sínové a kosínové věty v trojúhelníku ZP, že sin ϑ sin = R Z ZP ; ZP= R Z+ R R Z Rcos, odkudrozšířenímvýrazuzlomkem 1 R Z azavedenímveličiny R = R R Z (tojestpoloměr dráhy planety v astronomických jednotkách) dostaneme vztah sin ϑ = sin 1+R R cos. (1) Zobrázku1jepatrno,žepro =0(planetavdolníkonjunkci)je ϑ = π,takže ϑ=0aplanetasenacházívnovu.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy rosteodnulydo π, ϑ klesáod πknule,atudíž ϑzaserosteodnulydo π.fázevnitřníplanetytedyv tomtoobdobíroste.pro = π β,kde βjemaximálníelongačníúhelvnitřníplanety,

3 jezřejmě ϑ = π(protožetečnakekružnicijekolmákpříslušnémuprůvodiči),aprotoi ϑ= πaplanetasenacházívprvníčtvrti(asoučasněvnejvětšízápadníelongaci).pro t= Tsy je =π,takže ϑ =0aϑ=π.Vtétopoloze(horníkonjunkciseluncem)je tedyplanetavúplňku.pro t Tsy,T sy jesituaceanalogickávtomsmyslu,žegrafy příslušnýchveličinjsousymetricképodlepřímky t= Tsy (nebo =π).fázevtomto intervaluklesáopětknuleavpolozenejvětšívýchodníelongace(kdy = 3π+ β)je planeta v poslední čtvrti. Poznámka: 1.Zobrázku1jepatrno,ževobdobírůstufázevnitřníplanetyjezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek planety má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá) zde funguje přesně obráceně.. Protože v okolí konjunkcí není vnitřní planeta pozorovatelná(jest přezářená luncem), nelze ji pozorovat ani v okolí novu ani v okolí úplňku. Vnitřní planety nejlépe pozorujeme v okolí největších elongací, kdy se z hlediska fáze nachází ve čtvrtích (první nebo poslední). Zvýrazu(1)azdefinicefunkcearcsinvyplývá,žepro ϑ 0, π β )je ϑ =arcsin sin 1+R R cos 0, π (tojestpro () apro ϑ π,π (tojestpro π β,π )je ϑ = π arcsin sin 1+R R cos. (3) ρ ρcos υ Obrázek : Na obrázku 1 jsme na kotouček planety pohlíželi od severního ekliptikálního pólu. Podíváme-li se na něho ze Země, objeví se pohled znázorněný na obrázku. Tloušťka srpkuplanetyvroviněekliptiky(tedyvmístě,kdejenejsilnější)jezřejmě ρ(1 cos ϑ), kde ρ je(fiktivní) poloměr planetárního kotoučku(také jej můžeme brát jednotkový). Pro ϑ=0sezřejmějednáonov(nulovátloušťkasrpku),pro ϑ= π sejednáo(první) 3

4 y y = ρ x y = ρ x cos υ ρ ρ x Obrázek 3: čtvrť(tloušťkasrpkujerovnapoloměrukotoučku)apro ϑ=πsejednáoúplněk,kdy tloušťka srpku je rovna průměru kotoučku. Poznamenejme, že nekruhový obrys srpku má zřejmě v souřadnicové soustavě x, y zobrázku3rovnici y= ρ x cos ϑ.jestližetedy A= πρ jeplochapolovinykotoučku,jezřejměplocha dolní (neosvětlené)částikotoučkurovna A = πρ cos ϑ. Plocha osvětlené části je pak rozdíl obou ploch, a tedy fáze planety je podle definice f= A ( ) A A =1 1 A = 1 cosϑ A = 1+cosϑ, (4) protožeplatí cosϑ=cos(π ϑ )= cos ϑ. Pro libovolný čas mezi nulou a synodickou dobou oběhu planety(pro Merkura roku,provenuši1.597roku)paknejprvezrovnice(1)určímeúhel,potézrovnice() nebo(3)určímeúhel ϑ anakonecpodle(4)určímeodpovídajícífázivnitřníplanety. Závislost f()jeprooběvnitřníplanetyuvedenanaobrázku Zavislost faze vnitrnich planet a Mesice na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mesic Merkur Venuse φ [stupnu] Obrázek 4: 4

5 Fáze vnějších planet Naobrázku5jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)avněnírovněžkruhovádráha vnější planety(marsu až Neptuna) se luncem(), jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lzebezújmynaobecnostiopětuvažovatpolohuzemězaneměnnou(naobrázkuv dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnější planeta při svém oběhu kolem lunce se za Zemí zpožďuje, probíhá relativní pohyb planety v záporném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme opět popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy opozice planety ke lunci. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule (polokruh) viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnější planety. P K P, υ Z P O Obrázek 5: Označíme-li,stejnějakovpřípaděvnitřníplanety,symbolem ϑ úhelmezisměryze středu planety na(střed) lunce a na(střed) Země. Aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZP získáme výraz sin ϑ = sin 1+R R cos, (5) kterýmáformálněstejnýtvarjako(1)propřípadvnitřníplanety.veličina R,jakožto poloměr dráhy planety v astronomických jednotkách, je v tomto případě větší než jedna. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. 5

6 Zobrázku5jepatrno,žepro =0(planetavopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πa planetasenacházívúplňku.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy úhel rosteodnulydo π, aleúhel ϑ nejprverostedojistémaximálníhodnotyapotézaseklesáknule.proto úhel ϑnejprveklesádojistéminimálníhodnotyapotéopětrostedo π.fázeplanety proto také nejprve klesá do jisté minimální hodnoty a poté opět roste do jedničky. Pro t= Tsy je =π, ϑ =0, ϑ=πaf =1.Vnějšíplanetajeprotoopětvúplňku. Pro t Tsy,T sy jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= Tsy.Určímenynívýše popsanou minimální fázi vnější planety. Protožefunkce f= f(ϑ )vevztahu(4)jemonotónněrostoucínaintervalu 0,π, stačínajíthodnotu min,vekterénabýváfunkce ϑ ()svéhomaxima.tatohodnota dosazenado(5)aposlézedo(4)dáhledanouminimálnífázi f min.nutnoupodmínkou extrémufunkce ϑ ()jenulovostjejíderivace.derivujmetedyrovnici(5)podle. Dostaneme po dílčí úpravě dϑ d =cos (1+R R cos) R sin. cos ϑ (1+R R cos ) 3 Nulovostzlomkujeekvivalentnínulovostijehočitatele.Jestliženavícdosadímesin = =1 cos,dostanemenutnoupodmínkuextrémuvetvaru R cos (1+R )cos +R =0, což je kvadratická rovnice pro cos. Jejím řešením obdržíme Úpravou odtud cos 1, = 1+R ± (1+R ) 4R R. cos 1 = R ; cos = 1 R. Protožesezabývámevnějšímiplanetami,prokteréjest R >1,jejedinýmřešením cos min = 1.Vzhledemktomu,žesejednázřejměoúhelsvojíhodnotoumezinulou R a π,je sin min = Dosazením do(5) dostaneme po úpravě Odtud sin ϑ max= cos ϑ max= 1 cos min = R 1 R. sin min 1+R R cos min = 1 R. 1 sin ϑ max= R 1 R. Vzhledemkmonotónněklesajícífunkci f(ϑ )odtuddosazenímdo(4)konečnědostaneme f min = 1+cosϑ max = R + R 1 R. (6) 6

7 Postačující podmínky extrému není třeba ověřovat, neboť vzhledem k fyzikální podstatě úlohy je v(6) určena skutečně minimální fáze vnější planety. Pro všech pět vnějších planet jsou výsledky znázorněny v následující tabulce. Tabulka 1: Planeta Mars Jupiter aturn Uran Neptun R [au] min [ o ] f min Z tabulky je patrno, že minimální fáze velkých vnějších planet je větší než 99 procent. Tyto planety jsou proto prakticky stále v úplňku. vůj význam má tato hodnota pouze umarsu,kdefázeklesáažpod88procent.konkrétnízávislost f()jepromars,jupiter aaturnuvedenanaobrázku Zavislost faze vnejsich planet na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mars Jupiter aturn φ [stupnu] Obrázek 6: Fáze Měsíce Naobrázku7jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)kolemluncearovněžkruhová dráha Měsíce M kolem Země. tejně jako výše lze bez újmy na obecnosti předpokládat trvalou polohu Země tak, jak je zakreslena a sledovat pouze relativní pohyb Měsíce vůči Zemiúhlovourychlostí ω= ω M ω Z,kde ω M jeúhlovárychlostměsícepřijehopohybu 7

8 kolemzemě.protože ω M > ω Z,konáserelativnípohybMěsícevkladnémsmyslu. Obecná poloha středu Měsíce je popsána úhlem průvodiče Měsíce od jeho polohy v opoziciseluncem.vtrojúhelníkuzmjeprotovnitřníúheluvrcholuzroven π. M K π Z υ, M M O Obrázek 7: Označmeperiodu,příslušejícírelativníúhlovérychlosti ωměsícejako T sym.jedná se o analogii synodické doby oběhu planet a je to doba mezi dvěma sousedními stejnými polohamiměsícevevztahukelunciakzemi.nazývámejisynodickýmměsícema platíproni 1 = 1 1 T sim = T ZT sym, T sym T sim T Z T Z T sym kde T sim jeperiodatzv.siderickéhoměsíce,tedydoba,zakterouměsícvykonákolem Zeměúplnéotočeníoúhel360 o.perioda T Z jedobaotočenízeměkolemlunce(tzv. siderickýrok).protože T sym jeperiodazměnyfázíměsíce,kteroumůžemesnadno pozorovatnaobloze,víme,žeje T sym =9.53dní(středníchslunečních).Protožesiderický rok má dní, dostáváme z předchozího výrazu, že délka siderického měsíce (který na obloze pozorovati nemůžeme) je dní. vislými šrafami je na obrázku 7 znázorněna polokoule(polokruh) Měsíce viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jevíjakopříslušnáfázeměsíce.označíme-lisymbolem ϑ úhelmezisměryzestředu Měsíce na(střed) lunce a na(střed) Země, získáme aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZM výraz 8

9 sin ϑ = sin 1+R +R cos, (7) kde R M jepoloměrdráhyměsícekolemzeměvastronomickýchjednotkách.oproti analogickému výrazu pro planety je ve třetím sčítanci jmenovatele zde znaménko plus. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. Zobrázku7jepatrno,žepro =0(Měsícvopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πaměsíc senacházívúplňku.vprůběhučasu t ( 0, T ) sym úhel rosteodnulydo π,úhel ϑ rovněžrosteodnulydo π,cožznamená,žestředovýúhel ϑklesáod πknuleafáze rovněžklesáodjedničkyknule.pro t= T sym je =π, ϑ = π, ϑ=0atedyif=0. Měsícsenacházívnovu.Pro t T sym,t sym jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= T sym. Poznámka:Zobrázku7jepatrno,ževobdobípoklesufázeMěsícejezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek Měsíce má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá)zdefunguje.závislost f()jeproměsícrovněžuvedenanaobrázku4. Planetární hvězdné a sluneční dni TakjakouZeměrozeznávámehvězdnýdenjakodobuotočeníZeměkolemjejíosya sluneční den jako dobu mezi dvěma sousedními průchody lunce místním poledníkem, lze totéž učinit i u ostatních planet. První periodu označujeme jako hvězdný(siderický) den t si adruhoujakosluneční(synodický)den t sy. A A A t = 0 t = t si t = t sy Obrázek 8: Naobrázku8mámeznázorněnpohlednadráhuplanetyzesměrukolméhonarovinu její dráhy(tedy vzhledem k platnosti předpokladu i = 0 ze směru severního ekliptikálního pólu). Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo namístoanaplanetě.prostředníobrázekukazujestavpouplynutíperiody t si,kdy ovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoanaplanetě,protožetatosezatutoperiodu posunula na svojí dráze kolem lunce. Pravý obrázek znázorňuje stav po uplynutí periody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoanaplanetě.zatudobuseplaneta posunula na své dráze kolem lunce o úhel průvodiče. Protože předpokládáme 9

10 kruhové dráhy kolem lunce(ε = 0), pohybují se planety kolem lunce rovnoměrně. Protože rotace planet kolem svých os je rovněž rovnoměrná, můžeme psát následující úměrnosti: 1. Pro pohyb kolem lunce. Pro pohyb kolem planetární osy t sy T = π. (8) t sy = π+., (9) t si π kde T je doba oběhu planety kolem lunce(tzv. siderický rok planety). Dosazenímza π z(8)do(9)dostaneme 1 = 1 1 t sy t si T t sy= t sit. (10) T t si Předchozí výpočet byl proveden za automatických předpokladů, že u všech planet je siderický rok delší než hvězdný den(což je u všech planet s výjimkou Venuše splněno) a že rotace všech planet kolem osy je prográdní, tedy v matematicky kladném smyslu, jakopohybkolemlunce(cožjeopětuvšechplanetsvýjimkouvenušesplněno).v následující tabulce jsou uvedeny popisované časové parametry u všech planet s výjimkou Venuše. Údaje jsou uvedeny ve středních slunečních(pozemských) dnech, které užíváme v běžném životě. Tabulka : Planeta T t si t sy Merkur Země Mars Jupiter aturn Uran Neptun Z tabulky je patrno, že velké planety(jupiter až Neptun) mají natolik velký časový rozdíl mezi svým siderickým rokem a siderickým dnem, že jejich sluneční den je přesně totožný s hvězdným. lunce i hvězdy se na tamní obloze zdánlivě pohybují prakticky se stejnou úhlovou rychlostí. Země a Mars mají sluneční den o dvě nebo tři promile delší než den hvězdný. Hvězdy se pohybují zdánlivě na oblohách těchto planet nepatrně větší úhlovou rychlostí než lunce(rozdíl mezi hvězdným a slunečním časem na Zemi- viz příslušné téma). Merkur má sluneční den cirka třikrát delší než hvězdný. lunce se tedy na obloze Merkura pohybuje(v průměru) třikrát menší úhlovou rychlostí než hvězdy. Venuše se vymyká všem planetám sluneční soustavy, neboť její pohyb kolem osy je retrográdní a navíc úhlově pomalejší než pohyb kolem lunce. Její parametry jsou T=5(středníchslunečníchpozemských)dníat si =43dní.Obrázek9znázorňuje 10

11 A A A t = 0 t = T t = t sy Obrázek 9: analogii k obrázku 8 ovšem pouze pro Venuši. Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo na místo A na planetě. Prostřední obrázek ukazuje stavpouplynutíperiody T,kdyovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoA.Tatose zatutoperiodupřipohybukolemosyposunulaomenšíúhelnež360 o.pravýobrázek znázorňujestavpouplynutíperiody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoa.zatu dobuseplanetaposunulanasvédrázekolemlunceoúhelprůvodičeπ+ anasvé poutikolemosyoúhelπ.úměrnosti(8)a(9)majízdetvar π+ π Vyloučením π ztěchtovýrazůdostaneme t sy T = t sy t si = t sy T ; π π = t sy t si. t sy = t sit t si + T. (11) Podosazeníčíselnýchhodnotparametrů Ta t si dostávámedélkuvenušinaslunečního dne t sy =34dní. Zastavíme se ještě u Merkura, jehož trajektorie kolem lunce je zdaleka nejvýstřednější.předpoklad ε=0proněhotedyplatínejméněpřesně.navícnamerkurusiderický rok je řádově srovnatelný se siderickým dnem. Tato fakta mají zajímavý důsledek, který popíšeme. Označme ω okamžitou úhlovou rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce a r jeho okamžitou vzdálenost od lunce. Indexem s budeme značit střední hodnoty veličin, indexem a hodnoty v afeliu a indexem p hodnoty v periheliu. Podle II. Keplerova zákona platí r sω s = r pω p = r aω a (=w), (1) kde w je plošná rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce. Dále zřejmě platí r p = a; r p = a e; r a = a+e, (13) kde a je délka velké poloosy Merkurovy dráhy a e její délková výstřednost. Dosazením (13)do(1)arozšířenímzlomkůvýrazem 1 a vzniká ω p ω s = ( ) rs = r p ( ) a = 1 ω a a e (1 ε) ; = ω s 11 ( rs r a ) = ( ) a = 1 a+e (1+ε). (14)

12 Označmenyní T x (x=s,p,a)periodyoběhumerkurakolemluncepříslušejícíkúhlovýmrychlostem ω x zapředpokladu,žebypohybbylrovnoměrnýpocelýoběh. ohledem na(14) pak platí T p T s = ω s ω p =(1 ε) ; T a T s = ω s ω a =(1+ε). Dosadíme-lidotěchtovýrazůčíselnéhodnotyproMerkura T s =88dníaε=0.06,dostaneme T p =55.5dníaT a =18dní.Tytovýsledkyukazujíjednaknavelkékolísánírychlosti Merkuranajehocestěkolemlunceajednaknafakt,ževokolíperiheliaseMerkurpohybuje kolem lunce úhlově rychleji než kolem své osy. Tato skutečnost snadno plyne ze srovnáníperiody T p speriodouhvězdnéhodnenamerkuru(58.646dní).tomázanásledek, že v okolí prerihelia Merkurovy dráhy se lunce zdánlivě pohybuje po obloze opačně nežhvězdy.dvakrátzamerkurůvrok(88dní)setedyluncenasvézdánlivépoutipo Merkurově obloze zastaví, aby vzápětí změnilo orientaci svého zdánlivého pohybu. To je situace na planetách sluneční soustavy zcela ojedinělá. 1

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b)

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Část A strana A 1 Bodové hodnocení vyplňuje komise! část A B C Celkem body (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Pokyny k testovým otázkám: U následujících otázek zakroužkuj vždy právě jednu správnou odpověď. Zmýlíš-li

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Tělesa sluneční soustavy

Tělesa sluneční soustavy Tělesa sluneční soustavy Měsíc dráha vzdálenost 356 407 tis. km (průměr 384400km); určena pomocí laseru/radaru e=0,0549, elipsa mění tvar gravitačním působením Slunce i=5,145 deg. měsíce siderický 27,321661

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list KEPLEROVY ZÁKONY RNDr. Vladimír Vaščák Metodický list RNDr. V L A D I M Í R V A Š Č Á K Metodický list RNDr. Vladimír Vaščák www.vascak.cz Obsah O aplikaci... 1 Verze pro PC, ipad a Android... 2 1. Keplerův

Více

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1 PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km

Více

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012)

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012) Soutěžní úlohy části A a B (1. 6. 01) Pokyny k úlohám: Řešení úlohy musí obsahovat rozbor problému (náčrtek dané situace), základní vztahy (vzorce) použité v řešení a přesný postup (stačí heslovitě). Nestačí

Více

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace Identifikace Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max.

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

očekávaný výstup ročník 7. č. 11 název

očekávaný výstup ročník 7. č. 11 název č. 11 název anotace očekávaný výstup druh učebního materiálu Pracovní list druh interaktivity Aktivita ročník 7. Vesmír a Země, planeta Země V pracovních listech si žáci opakují své znalosti o vesmíru

Více

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země?

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země? Astronomie Autor: Miroslav Randa. Doplň pojmy ze seznamu na správná místa textu. seznam pojmů: Jupiter, komety, Merkur, měsíce, Neptun, planetky, planety, Pluto, Saturn, Slunce, Uran, Venuše, Země Uprostřed

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Magnetické pole drátu ve tvaru V

Magnetické pole drátu ve tvaru V Magnetické pole drátu ve tvaru V K prvním úspěchům získaným Ampèrem při využívání magnetických jevů patří výpočet indukce magnetického pole B, vytvořeného elektrickým proudem procházejícím vodiči. Srovnáme

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru. Ověřuje teoretické znalosti žáků. Časově odpovídá jedné vyučovací hodině.

Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru. Ověřuje teoretické znalosti žáků. Časově odpovídá jedné vyučovací hodině. Vzdělávací oblast : Předmět : Téma : Člověk a jeho svět Přírodověda Vesmír Ročník: 5. Popis: Očekávaný výstup: Druh učebního materiálu: Autor: Poznámky: Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru.

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet První Keplerův zákon: Planety obíhají kolem Slunce po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Druhý Keplerův zákon: Plochy opsané průvodičem planety za stejné

Více

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Planeta Země 7.Vesmír a Slunce Planeta Země Vesmír a Slunce Autor: Mgr. Irena Doležalová Datum (období) tvorby: únor 2012 červen 2013 Ročník: šestý Vzdělávací oblast: zeměpis Anotace: Žáci se seznámí se

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 6. 2. 2013 Pořadové číslo 12 1 Země, Mars Předmět: Ročník: Jméno autora: Fyzika

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 III/2 Inovace a

Více

Astronomický rok 2015

Astronomický rok 2015 Astronomický rok 2015 V následujícím článku jsou vybrány nejzajímavější nebeské úkazy a události vztahující se k astronomii, které nám nabídne nadcházející rok. Dnes si projdeme první pololetí 2015. Ze

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Venuše druhá planeta sluneční soustavy

Venuše druhá planeta sluneční soustavy Venuše druhá planeta sluneční soustavy Planeta Venuše je druhá v pořadí vzdáleností od Slunce (střední vzdálenost 108 milionů kilometrů neboli 0,72 AU) a zároveň je naším nejbližším planetárním sousedem.

Více

Vlastivěda není věda II. Planeta Země. Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský

Vlastivěda není věda II. Planeta Země. Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský Vlastivěda není věda II. Planeta Země Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský 3 Publikace vznikla díky podpoře Magistrátu Hlavního města Prahy. Vytvoření odborného textu: Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady 1. Rychlosti vesmírných těles, např. planet, komet, ale i družic, se obvykle udávají v kilometrech za sekundu. V únoru jsme mohli v novinách

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

R5.1 Vodorovný vrh. y A

R5.1 Vodorovný vrh. y A Fyzika pro střední školy I 20 R5 G R A V I T A Č N Í P O L E Včlánku5.3jsmeuvedli,ževrhyjsousloženépohybyvtíhovémpoliZemě, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou

Více

Astronomie, sluneční soustava

Astronomie, sluneční soustava Základní škola Nový Bor, náměstí Míru 128, okres Česká Lípa, příspěvková organizace e mail: info@zsnamesti.cz; www.zsnamesti.cz; telefon: 487 722 010; fax: 487 722 378 Registrační číslo: CZ.1.07/1.4.00/21.3267

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Planety sluneč. soustavy.notebook. November 07, 2014

Planety sluneč. soustavy.notebook. November 07, 2014 1 2 SLUNCE V dávných dobách měli lidé představu, že Země je středem vesmíru. Pozorováním oblohy, zdokonalováním přístrojů pro zkoumání noční oblohy a zámořskými cestami postupně prosadili názor, že středem

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Projekt je realizován v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurence

Více

Objevte planety naší sluneční soustavy Za 90 minut přes vesmír Na výlet mezi Ehrenfriedersdorf a Drebach

Objevte planety naší sluneční soustavy Za 90 minut přes vesmír Na výlet mezi Ehrenfriedersdorf a Drebach Objevte planety naší sluneční soustavy Za 90 minut přes vesmír Na výlet mezi Ehrenfriedersdorf a Drebach Sluneční soustava Sonnensystem Sluneční soustava (podle Pravidel českého pravopisu psáno s malým

Více

Přírodopis 9. Naše Země ve vesmíru. Mgr. Jan Souček. 2. hodina

Přírodopis 9. Naše Země ve vesmíru. Mgr. Jan Souček. 2. hodina Přírodopis 9 2. hodina Naše Země ve vesmíru Mgr. Jan Souček VESMÍR je soubor všech fyzikálně na sebe působících objektů, který je současná astronomie a kosmologie schopna obsáhnout experimentálně observační

Více

ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA

ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA Ota Kéhar Oddělení fyziky Katedry matematiky, fyziky a technické výchovy ZČU v Plzni Abstrakt: V příspěvku představím několik webových online aplikací

Více

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné.

Více

Nabídka vybraných pořadů

Nabídka vybraných pořadů Hvězdárna Valašské Meziříčí, p. o. Vsetínská 78 757 01 Valašské Meziříčí Nabídka vybraných pořadů Pro 1. stupeň základních škol Pro zvídavé školáčky jsme připravili řadu naučných programů a besed zaměřených

Více

PŘEDMĚTOVÉ CÍLE: Žák porozumí pohybu těles (Země-Slunce) a zdánlivému pohybu Slunce po obloze

PŘEDMĚTOVÉ CÍLE: Žák porozumí pohybu těles (Země-Slunce) a zdánlivému pohybu Slunce po obloze PŘEDMĚT: přírodopis, fyzika, zeměpis ROČNÍK: 6. 9. dle zařazení v ŠVP NÁZEV (TÉMA): Zapadá Slunce vždy na západě? AUTOR: PhDr. Jaroslava Ševčíková KOMPETENČNÍ CÍLE: Kompetence k řešení problémů (samostatná

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

Hledejte kosmickou plachetnici

Hledejte kosmickou plachetnici ASTRONOMICKÉ informace - 3/2011 Hvězdárna v Rokycanech, Voldušská 721, 337 11 Rokycany http://hvr.cz Hledejte kosmickou plachetnici Kosmická sonda NASA pojmenovaná Nano Sail-D rozvinula na oběžné dráze

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 Speciální základní škola a Praktická škola Trmice Fűgnerova 22 400 04 1 Identifikátor materiálu:

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

1 Newtonův gravitační zákon

1 Newtonův gravitační zákon Studentovo minimum GNB Gravitační pole 1 Newtonův gravitační zákon gravis latinsky těžký každý HB (planeta, těleso, částice) je zdrojem tzv. gravitačního pole OTR (obecná teorie relativity Albert Einstein,

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ. Ústav aplikované fyziky a matematiky ZÁKLADY FYZIKY II

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ. Ústav aplikované fyziky a matematiky ZÁKLADY FYZIKY II UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ Ústav aplikované fyziky a matematiky ZÁKLADY FYZIKY II Sbírka příkladů pro ekonomické obory kombinovaného studia Dopravní fakulty Jana Pernera (PZF2K)

Více

Téma: Časomíra. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Téma: Časomíra. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Téma: Časomíra Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Jakákoliv změna fyzikální veličiny se kvantifikuje pomocí kategorie, kterou nazýváme čas. Například při pohybu hmotného bodu se mění jeho poloha.

Více

VY_32_INOVACE_FY.20 VESMÍR II.

VY_32_INOVACE_FY.20 VESMÍR II. VY_32_INOVACE_FY.20 VESMÍR II. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Galaxie Mléčná dráha je galaxie, v níž se nachází

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_2_Kinematika hmotného bodu Ing. Jakub Ulmann 2 Kinematika hmotného bodu Nejstarším odvětvím fyziky,

Více

Přírodovědný klub při ZŠ a MŠ Na Nábřeží Havířov

Přírodovědný klub při ZŠ a MŠ Na Nábřeží Havířov Přírodovědný klub při ZŠ a MŠ Na Nábřeží Havířov Mini projekt k tématu Cesta od středu Sluneční soustavy až na její okraj Říjen listopad 2014 Foto č. 1: Zkusili jsme vyfotografovat Měsíc digitálním fotoaparátem

Více

VY_32_INOVACE_06_III./17._PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY

VY_32_INOVACE_06_III./17._PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY VY_32_INOVACE_06_III./17._PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY Planety Terestrické planety Velké planety Planety sluneční soustavy a jejich rozdělení do skupin Podle fyzikálních vlastností se planety sluneční soustavy

Více

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok)

Opravná zkouška 2SD 2012-2013 (celý rok) Opravná zkouška SD 01-01 (celý rok) 1) Přímá železniční trať má stoupání 5 a délku,5 km. Vypočítej její celkové převýšení. b) ) Na množině celých čísel řeš rovnici: 6 8. ma. b) ) Vypočítej obsah vybarveného

Více

GRAVITAČNÍ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

GRAVITAČNÍ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník GRAVITAČNÍ POLE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Gravitace Vzájemné silové působení mezi každými dvěma hmotnými body. Liší se od jiných působení. Působí vždy přitažlivě. Působí

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Krajské kolo 2014/15, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace

Krajské kolo 2014/15, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace Žk A olympida Identifikace jméno: příjmení: identifiktor: Škola nzev: město: PSČ: Hodnocení A B C Σ (100 b.) Účast v AO se řídí organizačním řdem, č.j. MŠMT 14 896/2012-51. Organizační řd a propozice aktulního

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Čas a kalendář. důležitá aplikace astronomie udržování časomíry a kalendáře

Čas a kalendář. důležitá aplikace astronomie udržování časomíry a kalendáře OPT/AST L08 Čas a kalendář důležitá aplikace astronomie udržování časomíry a kalendáře čas synchronizace s rotací Země vzhledem k jarnímu bodu vzhledem ke Slunci hvězdný čas definován jako hodinový úhel

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

VÍTEJTE V BÁJEČNÉM SVĚTĚ VESMÍRU VESMÍR JE VŠUDE KOLEM NÁS!

VÍTEJTE V BÁJEČNÉM SVĚTĚ VESMÍRU VESMÍR JE VŠUDE KOLEM NÁS! VÍTEJTE V BÁJEČNÉM SVĚTĚ VESMÍRU VESMÍR JE VŠUDE KOLEM NÁS! Ty, spolu se skoro sedmi miliardami lidí, žiješ na planetě Zemi. Ale kolem nás existuje ještě celý vesmír. ZEMĚ A JEJÍ OKOLÍ Lidé na Zemi vždy

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Gymnázium Dr. J. Pekaře Mladá Boleslav. Zeměpis I. ročník PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY. Jméno a příjmení: Martin Kovařík. David Šubrt. Třída: 5.

Gymnázium Dr. J. Pekaře Mladá Boleslav. Zeměpis I. ročník PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY. Jméno a příjmení: Martin Kovařík. David Šubrt. Třída: 5. Gymnázium Dr. J. Pekaře Mladá Boleslav Zeměpis I. ročník PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY Jméno a příjmení: Martin Kovařík David Šubrt Třída: 5.O Datum: 3. 10. 2015 i Planety sluneční soustavy 1. Planety obecně

Více

Přírodní zdroje. K přírodním zdrojům patří například:

Přírodní zdroje. K přírodním zdrojům patří například: 1. SVĚTELNÉ ZDROJE. ŠÍŘENÍ SVĚTLA Přes den vidíme předměty ve svém okolí, v noci je nevidíme, je tma. V za temněné učebně předměty nevidíme. Když rozsvítíme svíčku nebo žárovku, vidíme nejen svítící těleso,

Více

Identifikace práce. B III: (max. 18b)

Identifikace práce. B III: (max. 18b) vyplňuje žák čitelně tiskacím písmem. Identifikace práce Žák identifikátor / jméno příjmení rok narození* (*nehodící se škrtni, identifikační číslo obdržíš po vyřešení části online) Pokud jsi část řešil(a)

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

HVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ

HVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ HVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ Souhvězdí I. Souhvězdí je optické uskupení hvězd různých jasností na obloze, které mají přesně stanovené hranice Podle usnesení IAU je celá obloha rozdělena na 88 souhvězdí Ptolemaios

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009.

PRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č. XXVI Název: Vláknová optika Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009 Odevzdal dne: Možný počet bodů

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více