Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

Transkript

1 Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, Cc Vlivem vzájemné polohy lunce, Země a dalšího tělesa(např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu, kdy pozorovatel ze Země nevidí celý osvětlený kotouč třetího tělesa, ale pouze část(srpek). Jaká část plochy kotouče třetího tělesa je ze Země viditelná se popisuje pojmem fáze nebeského tělesa. Rozumíme jí poměr f plochy ze Země viditelné a současně luncem osvětlené části kotouče třetího tělesa, ku ploše celého kotouče. Fáze f je tedy bezrozměrný parametr ležící v intervalu 0, 1. Po pronásobení stemjilzeudávattéžvprocentech. Je-li f=0říkáme,žetělesojevnovu,je-li f=1říkáme,žetělesojevúplňku, je-li f= 1 df asoučasněfázeroste(tedy > 0), říkáme, že těleso je v první čtvrti, dt je-li f= 1 df asoučasněfázeklesá(tedy <0),říkáme,žetělesojevposledníčtvrti. dt Odvodíme závislost fáze Měsíce a planet na čase, ovšem za zjednodušujících předpokladů kruhovýchdrahtěchtotěles(ε=0)vroviněekliptiky(i=0). Fáze vnitřních planet Naobrázku1jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)auvnitřnírovněžkruhová dráha vnitřní planety(merkura nebo Venuše) se luncem() jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lze bez újmy na obecnosti uvažovat polohu Země za neměnnou(na obrázku v dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnitřní planeta při svém oběhu kolem lunce Zemi předbíhá, takže probíhá relativní pohyb planety v kladném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy dolní konjunkce se luncem. Na obr.1 znázorňujeme jako kruh planetární kouli v řezu rovinou ekliptiky. Zřejmě polokoule osvětlená luncem(na řezu polokruh) je polokoule přivrácená ke lunci oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici jejího středu(v řezu je dělící rovina znázorněna jako úsečka). Vodorovnými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Ze Země je viditelná pouze polokoule přivrácená k Zemi, oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici se Zemí. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) viditelný ze Země. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež je současně viditelná ze Země a osvětlená luncem, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnitřní planety. Popíšeme závislost fáze na úhlu. Poznámka: Úhel souvisí s časem t uplynuvším od doby poslední dolní konjunkce planety se luncem(datum a čas této události je tabelován v astronomických ročenkách) jednoduchým vztahem. Vzhledem k předpokladu kruhových drah jsou úhlové rychlosti Země ω Z iplanety ωpřipohybukolemluncekonstantní.relativnípohybplanetyvůči Zemiprotocharakterizujeúhlovárychlostrozdílová ω ω Z (vtomtopořadí).potom 1

2 P HK υ, P P DK Z Obrázek 1: zřejměje =(ω ω Z )t.protožeúhlovérychlostipřirovnoměrnýchpohybechsouvisejís příslušnýmidobamioběhukolemlunce(o360stupňů) T Z a Tznámýmivýrazy ω= π T a ω Z = π T Z,dostávámeodtudproúhel vztah ( 1 =π T 1 ) t. T Z Odtudplyne,žepro t= T ZT T Z je =π.všechnyfázeseprotoopakujíposynodické T době oběhu planety(viz příslušné téma). VtrojúhelníkuZP(vizobr.1)označmeúheluvrcholuPjako ϑ.tředovýúhel ϑ, příslušející současně luncem osvětlené a ze Země viditelné části kotouče má k výše popsanému úhlu kolmá ramena. Úhly s kolmými rameny jsou buď totožné nebo doplňkové do π.zobrázku1jepatrno,ževnašempřípaděje ϑ=π ϑ. Označíme-li R Z poloměrzemskédráhykolemlunce(tedyastronomickájednotka) a R poloměr dráhy planety kolem lunce, dostáváme aplikací sínové a kosínové věty v trojúhelníku ZP, že sin ϑ sin = R Z ZP ; ZP= R Z+ R R Z Rcos, odkudrozšířenímvýrazuzlomkem 1 R Z azavedenímveličiny R = R R Z (tojestpoloměr dráhy planety v astronomických jednotkách) dostaneme vztah sin ϑ = sin 1+R R cos. (1) Zobrázku1jepatrno,žepro =0(planetavdolníkonjunkci)je ϑ = π,takže ϑ=0aplanetasenacházívnovu.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy rosteodnulydo π, ϑ klesáod πknule,atudíž ϑzaserosteodnulydo π.fázevnitřníplanetytedyv tomtoobdobíroste.pro = π β,kde βjemaximálníelongačníúhelvnitřníplanety,

3 jezřejmě ϑ = π(protožetečnakekružnicijekolmákpříslušnémuprůvodiči),aprotoi ϑ= πaplanetasenacházívprvníčtvrti(asoučasněvnejvětšízápadníelongaci).pro t= Tsy je =π,takže ϑ =0aϑ=π.Vtétopoloze(horníkonjunkciseluncem)je tedyplanetavúplňku.pro t Tsy,T sy jesituaceanalogickávtomsmyslu,žegrafy příslušnýchveličinjsousymetricképodlepřímky t= Tsy (nebo =π).fázevtomto intervaluklesáopětknuleavpolozenejvětšívýchodníelongace(kdy = 3π+ β)je planeta v poslední čtvrti. Poznámka: 1.Zobrázku1jepatrno,ževobdobírůstufázevnitřníplanetyjezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek planety má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá) zde funguje přesně obráceně.. Protože v okolí konjunkcí není vnitřní planeta pozorovatelná(jest přezářená luncem), nelze ji pozorovat ani v okolí novu ani v okolí úplňku. Vnitřní planety nejlépe pozorujeme v okolí největších elongací, kdy se z hlediska fáze nachází ve čtvrtích (první nebo poslední). Zvýrazu(1)azdefinicefunkcearcsinvyplývá,žepro ϑ 0, π β )je ϑ =arcsin sin 1+R R cos 0, π (tojestpro () apro ϑ π,π (tojestpro π β,π )je ϑ = π arcsin sin 1+R R cos. (3) ρ ρcos υ Obrázek : Na obrázku 1 jsme na kotouček planety pohlíželi od severního ekliptikálního pólu. Podíváme-li se na něho ze Země, objeví se pohled znázorněný na obrázku. Tloušťka srpkuplanetyvroviněekliptiky(tedyvmístě,kdejenejsilnější)jezřejmě ρ(1 cos ϑ), kde ρ je(fiktivní) poloměr planetárního kotoučku(také jej můžeme brát jednotkový). Pro ϑ=0sezřejmějednáonov(nulovátloušťkasrpku),pro ϑ= π sejednáo(první) 3

4 y y = ρ x y = ρ x cos υ ρ ρ x Obrázek 3: čtvrť(tloušťkasrpkujerovnapoloměrukotoučku)apro ϑ=πsejednáoúplněk,kdy tloušťka srpku je rovna průměru kotoučku. Poznamenejme, že nekruhový obrys srpku má zřejmě v souřadnicové soustavě x, y zobrázku3rovnici y= ρ x cos ϑ.jestližetedy A= πρ jeplochapolovinykotoučku,jezřejměplocha dolní (neosvětlené)částikotoučkurovna A = πρ cos ϑ. Plocha osvětlené části je pak rozdíl obou ploch, a tedy fáze planety je podle definice f= A ( ) A A =1 1 A = 1 cosϑ A = 1+cosϑ, (4) protožeplatí cosϑ=cos(π ϑ )= cos ϑ. Pro libovolný čas mezi nulou a synodickou dobou oběhu planety(pro Merkura roku,provenuši1.597roku)paknejprvezrovnice(1)určímeúhel,potézrovnice() nebo(3)určímeúhel ϑ anakonecpodle(4)určímeodpovídajícífázivnitřníplanety. Závislost f()jeprooběvnitřníplanetyuvedenanaobrázku Zavislost faze vnitrnich planet a Mesice na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mesic Merkur Venuse φ [stupnu] Obrázek 4: 4

5 Fáze vnějších planet Naobrázku5jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)avněnírovněžkruhovádráha vnější planety(marsu až Neptuna) se luncem(), jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lzebezújmynaobecnostiopětuvažovatpolohuzemězaneměnnou(naobrázkuv dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnější planeta při svém oběhu kolem lunce se za Zemí zpožďuje, probíhá relativní pohyb planety v záporném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme opět popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy opozice planety ke lunci. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule (polokruh) viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnější planety. P K P, υ Z P O Obrázek 5: Označíme-li,stejnějakovpřípaděvnitřníplanety,symbolem ϑ úhelmezisměryze středu planety na(střed) lunce a na(střed) Země. Aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZP získáme výraz sin ϑ = sin 1+R R cos, (5) kterýmáformálněstejnýtvarjako(1)propřípadvnitřníplanety.veličina R,jakožto poloměr dráhy planety v astronomických jednotkách, je v tomto případě větší než jedna. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. 5

6 Zobrázku5jepatrno,žepro =0(planetavopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πa planetasenacházívúplňku.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy úhel rosteodnulydo π, aleúhel ϑ nejprverostedojistémaximálníhodnotyapotézaseklesáknule.proto úhel ϑnejprveklesádojistéminimálníhodnotyapotéopětrostedo π.fázeplanety proto také nejprve klesá do jisté minimální hodnoty a poté opět roste do jedničky. Pro t= Tsy je =π, ϑ =0, ϑ=πaf =1.Vnějšíplanetajeprotoopětvúplňku. Pro t Tsy,T sy jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= Tsy.Určímenynívýše popsanou minimální fázi vnější planety. Protožefunkce f= f(ϑ )vevztahu(4)jemonotónněrostoucínaintervalu 0,π, stačínajíthodnotu min,vekterénabýváfunkce ϑ ()svéhomaxima.tatohodnota dosazenado(5)aposlézedo(4)dáhledanouminimálnífázi f min.nutnoupodmínkou extrémufunkce ϑ ()jenulovostjejíderivace.derivujmetedyrovnici(5)podle. Dostaneme po dílčí úpravě dϑ d =cos (1+R R cos) R sin. cos ϑ (1+R R cos ) 3 Nulovostzlomkujeekvivalentnínulovostijehočitatele.Jestliženavícdosadímesin = =1 cos,dostanemenutnoupodmínkuextrémuvetvaru R cos (1+R )cos +R =0, což je kvadratická rovnice pro cos. Jejím řešením obdržíme Úpravou odtud cos 1, = 1+R ± (1+R ) 4R R. cos 1 = R ; cos = 1 R. Protožesezabývámevnějšímiplanetami,prokteréjest R >1,jejedinýmřešením cos min = 1.Vzhledemktomu,žesejednázřejměoúhelsvojíhodnotoumezinulou R a π,je sin min = Dosazením do(5) dostaneme po úpravě Odtud sin ϑ max= cos ϑ max= 1 cos min = R 1 R. sin min 1+R R cos min = 1 R. 1 sin ϑ max= R 1 R. Vzhledemkmonotónněklesajícífunkci f(ϑ )odtuddosazenímdo(4)konečnědostaneme f min = 1+cosϑ max = R + R 1 R. (6) 6

7 Postačující podmínky extrému není třeba ověřovat, neboť vzhledem k fyzikální podstatě úlohy je v(6) určena skutečně minimální fáze vnější planety. Pro všech pět vnějších planet jsou výsledky znázorněny v následující tabulce. Tabulka 1: Planeta Mars Jupiter aturn Uran Neptun R [au] min [ o ] f min Z tabulky je patrno, že minimální fáze velkých vnějších planet je větší než 99 procent. Tyto planety jsou proto prakticky stále v úplňku. vůj význam má tato hodnota pouze umarsu,kdefázeklesáažpod88procent.konkrétnízávislost f()jepromars,jupiter aaturnuvedenanaobrázku Zavislost faze vnejsich planet na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mars Jupiter aturn φ [stupnu] Obrázek 6: Fáze Měsíce Naobrázku7jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)kolemluncearovněžkruhová dráha Měsíce M kolem Země. tejně jako výše lze bez újmy na obecnosti předpokládat trvalou polohu Země tak, jak je zakreslena a sledovat pouze relativní pohyb Měsíce vůči Zemiúhlovourychlostí ω= ω M ω Z,kde ω M jeúhlovárychlostměsícepřijehopohybu 7

8 kolemzemě.protože ω M > ω Z,konáserelativnípohybMěsícevkladnémsmyslu. Obecná poloha středu Měsíce je popsána úhlem průvodiče Měsíce od jeho polohy v opoziciseluncem.vtrojúhelníkuzmjeprotovnitřníúheluvrcholuzroven π. M K π Z υ, M M O Obrázek 7: Označmeperiodu,příslušejícírelativníúhlovérychlosti ωměsícejako T sym.jedná se o analogii synodické doby oběhu planet a je to doba mezi dvěma sousedními stejnými polohamiměsícevevztahukelunciakzemi.nazývámejisynodickýmměsícema platíproni 1 = 1 1 T sim = T ZT sym, T sym T sim T Z T Z T sym kde T sim jeperiodatzv.siderickéhoměsíce,tedydoba,zakterouměsícvykonákolem Zeměúplnéotočeníoúhel360 o.perioda T Z jedobaotočenízeměkolemlunce(tzv. siderickýrok).protože T sym jeperiodazměnyfázíměsíce,kteroumůžemesnadno pozorovatnaobloze,víme,žeje T sym =9.53dní(středníchslunečních).Protožesiderický rok má dní, dostáváme z předchozího výrazu, že délka siderického měsíce (který na obloze pozorovati nemůžeme) je dní. vislými šrafami je na obrázku 7 znázorněna polokoule(polokruh) Měsíce viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jevíjakopříslušnáfázeměsíce.označíme-lisymbolem ϑ úhelmezisměryzestředu Měsíce na(střed) lunce a na(střed) Země, získáme aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZM výraz 8

9 sin ϑ = sin 1+R +R cos, (7) kde R M jepoloměrdráhyměsícekolemzeměvastronomickýchjednotkách.oproti analogickému výrazu pro planety je ve třetím sčítanci jmenovatele zde znaménko plus. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. Zobrázku7jepatrno,žepro =0(Měsícvopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πaměsíc senacházívúplňku.vprůběhučasu t ( 0, T ) sym úhel rosteodnulydo π,úhel ϑ rovněžrosteodnulydo π,cožznamená,žestředovýúhel ϑklesáod πknuleafáze rovněžklesáodjedničkyknule.pro t= T sym je =π, ϑ = π, ϑ=0atedyif=0. Měsícsenacházívnovu.Pro t T sym,t sym jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= T sym. Poznámka:Zobrázku7jepatrno,ževobdobípoklesufázeMěsícejezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek Měsíce má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá)zdefunguje.závislost f()jeproměsícrovněžuvedenanaobrázku4. Planetární hvězdné a sluneční dni TakjakouZeměrozeznávámehvězdnýdenjakodobuotočeníZeměkolemjejíosya sluneční den jako dobu mezi dvěma sousedními průchody lunce místním poledníkem, lze totéž učinit i u ostatních planet. První periodu označujeme jako hvězdný(siderický) den t si adruhoujakosluneční(synodický)den t sy. A A A t = 0 t = t si t = t sy Obrázek 8: Naobrázku8mámeznázorněnpohlednadráhuplanetyzesměrukolméhonarovinu její dráhy(tedy vzhledem k platnosti předpokladu i = 0 ze směru severního ekliptikálního pólu). Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo namístoanaplanetě.prostředníobrázekukazujestavpouplynutíperiody t si,kdy ovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoanaplanetě,protožetatosezatutoperiodu posunula na svojí dráze kolem lunce. Pravý obrázek znázorňuje stav po uplynutí periody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoanaplanetě.zatudobuseplaneta posunula na své dráze kolem lunce o úhel průvodiče. Protože předpokládáme 9

10 kruhové dráhy kolem lunce(ε = 0), pohybují se planety kolem lunce rovnoměrně. Protože rotace planet kolem svých os je rovněž rovnoměrná, můžeme psát následující úměrnosti: 1. Pro pohyb kolem lunce. Pro pohyb kolem planetární osy t sy T = π. (8) t sy = π+., (9) t si π kde T je doba oběhu planety kolem lunce(tzv. siderický rok planety). Dosazenímza π z(8)do(9)dostaneme 1 = 1 1 t sy t si T t sy= t sit. (10) T t si Předchozí výpočet byl proveden za automatických předpokladů, že u všech planet je siderický rok delší než hvězdný den(což je u všech planet s výjimkou Venuše splněno) a že rotace všech planet kolem osy je prográdní, tedy v matematicky kladném smyslu, jakopohybkolemlunce(cožjeopětuvšechplanetsvýjimkouvenušesplněno).v následující tabulce jsou uvedeny popisované časové parametry u všech planet s výjimkou Venuše. Údaje jsou uvedeny ve středních slunečních(pozemských) dnech, které užíváme v běžném životě. Tabulka : Planeta T t si t sy Merkur Země Mars Jupiter aturn Uran Neptun Z tabulky je patrno, že velké planety(jupiter až Neptun) mají natolik velký časový rozdíl mezi svým siderickým rokem a siderickým dnem, že jejich sluneční den je přesně totožný s hvězdným. lunce i hvězdy se na tamní obloze zdánlivě pohybují prakticky se stejnou úhlovou rychlostí. Země a Mars mají sluneční den o dvě nebo tři promile delší než den hvězdný. Hvězdy se pohybují zdánlivě na oblohách těchto planet nepatrně větší úhlovou rychlostí než lunce(rozdíl mezi hvězdným a slunečním časem na Zemi- viz příslušné téma). Merkur má sluneční den cirka třikrát delší než hvězdný. lunce se tedy na obloze Merkura pohybuje(v průměru) třikrát menší úhlovou rychlostí než hvězdy. Venuše se vymyká všem planetám sluneční soustavy, neboť její pohyb kolem osy je retrográdní a navíc úhlově pomalejší než pohyb kolem lunce. Její parametry jsou T=5(středníchslunečníchpozemských)dníat si =43dní.Obrázek9znázorňuje 10

11 A A A t = 0 t = T t = t sy Obrázek 9: analogii k obrázku 8 ovšem pouze pro Venuši. Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo na místo A na planetě. Prostřední obrázek ukazuje stavpouplynutíperiody T,kdyovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoA.Tatose zatutoperiodupřipohybukolemosyposunulaomenšíúhelnež360 o.pravýobrázek znázorňujestavpouplynutíperiody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoa.zatu dobuseplanetaposunulanasvédrázekolemlunceoúhelprůvodičeπ+ anasvé poutikolemosyoúhelπ.úměrnosti(8)a(9)majízdetvar π+ π Vyloučením π ztěchtovýrazůdostaneme t sy T = t sy t si = t sy T ; π π = t sy t si. t sy = t sit t si + T. (11) Podosazeníčíselnýchhodnotparametrů Ta t si dostávámedélkuvenušinaslunečního dne t sy =34dní. Zastavíme se ještě u Merkura, jehož trajektorie kolem lunce je zdaleka nejvýstřednější.předpoklad ε=0proněhotedyplatínejméněpřesně.navícnamerkurusiderický rok je řádově srovnatelný se siderickým dnem. Tato fakta mají zajímavý důsledek, který popíšeme. Označme ω okamžitou úhlovou rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce a r jeho okamžitou vzdálenost od lunce. Indexem s budeme značit střední hodnoty veličin, indexem a hodnoty v afeliu a indexem p hodnoty v periheliu. Podle II. Keplerova zákona platí r sω s = r pω p = r aω a (=w), (1) kde w je plošná rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce. Dále zřejmě platí r p = a; r p = a e; r a = a+e, (13) kde a je délka velké poloosy Merkurovy dráhy a e její délková výstřednost. Dosazením (13)do(1)arozšířenímzlomkůvýrazem 1 a vzniká ω p ω s = ( ) rs = r p ( ) a = 1 ω a a e (1 ε) ; = ω s 11 ( rs r a ) = ( ) a = 1 a+e (1+ε). (14)

12 Označmenyní T x (x=s,p,a)periodyoběhumerkurakolemluncepříslušejícíkúhlovýmrychlostem ω x zapředpokladu,žebypohybbylrovnoměrnýpocelýoběh. ohledem na(14) pak platí T p T s = ω s ω p =(1 ε) ; T a T s = ω s ω a =(1+ε). Dosadíme-lidotěchtovýrazůčíselnéhodnotyproMerkura T s =88dníaε=0.06,dostaneme T p =55.5dníaT a =18dní.Tytovýsledkyukazujíjednaknavelkékolísánírychlosti Merkuranajehocestěkolemlunceajednaknafakt,ževokolíperiheliaseMerkurpohybuje kolem lunce úhlově rychleji než kolem své osy. Tato skutečnost snadno plyne ze srovnáníperiody T p speriodouhvězdnéhodnenamerkuru(58.646dní).tomázanásledek, že v okolí prerihelia Merkurovy dráhy se lunce zdánlivě pohybuje po obloze opačně nežhvězdy.dvakrátzamerkurůvrok(88dní)setedyluncenasvézdánlivépoutipo Merkurově obloze zastaví, aby vzápětí změnilo orientaci svého zdánlivého pohybu. To je situace na planetách sluneční soustavy zcela ojedinělá. 1