Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách"

Transkript

1 Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, Cc Vlivem vzájemné polohy lunce, Země a dalšího tělesa(např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu, kdy pozorovatel ze Země nevidí celý osvětlený kotouč třetího tělesa, ale pouze část(srpek). Jaká část plochy kotouče třetího tělesa je ze Země viditelná se popisuje pojmem fáze nebeského tělesa. Rozumíme jí poměr f plochy ze Země viditelné a současně luncem osvětlené části kotouče třetího tělesa, ku ploše celého kotouče. Fáze f je tedy bezrozměrný parametr ležící v intervalu 0, 1. Po pronásobení stemjilzeudávattéžvprocentech. Je-li f=0říkáme,žetělesojevnovu,je-li f=1říkáme,žetělesojevúplňku, je-li f= 1 df asoučasněfázeroste(tedy > 0), říkáme, že těleso je v první čtvrti, dt je-li f= 1 df asoučasněfázeklesá(tedy <0),říkáme,žetělesojevposledníčtvrti. dt Odvodíme závislost fáze Měsíce a planet na čase, ovšem za zjednodušujících předpokladů kruhovýchdrahtěchtotěles(ε=0)vroviněekliptiky(i=0). Fáze vnitřních planet Naobrázku1jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)auvnitřnírovněžkruhová dráha vnitřní planety(merkura nebo Venuše) se luncem() jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lze bez újmy na obecnosti uvažovat polohu Země za neměnnou(na obrázku v dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnitřní planeta při svém oběhu kolem lunce Zemi předbíhá, takže probíhá relativní pohyb planety v kladném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy dolní konjunkce se luncem. Na obr.1 znázorňujeme jako kruh planetární kouli v řezu rovinou ekliptiky. Zřejmě polokoule osvětlená luncem(na řezu polokruh) je polokoule přivrácená ke lunci oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici jejího středu(v řezu je dělící rovina znázorněna jako úsečka). Vodorovnými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Ze Země je viditelná pouze polokoule přivrácená k Zemi, oddělená rovinou procházející středem planety kolmo na spojnici se Zemí. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule(polokruh) viditelný ze Země. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež je současně viditelná ze Země a osvětlená luncem, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnitřní planety. Popíšeme závislost fáze na úhlu. Poznámka: Úhel souvisí s časem t uplynuvším od doby poslední dolní konjunkce planety se luncem(datum a čas této události je tabelován v astronomických ročenkách) jednoduchým vztahem. Vzhledem k předpokladu kruhových drah jsou úhlové rychlosti Země ω Z iplanety ωpřipohybukolemluncekonstantní.relativnípohybplanetyvůči Zemiprotocharakterizujeúhlovárychlostrozdílová ω ω Z (vtomtopořadí).potom 1

2 P HK υ, P P DK Z Obrázek 1: zřejměje =(ω ω Z )t.protožeúhlovérychlostipřirovnoměrnýchpohybechsouvisejís příslušnýmidobamioběhukolemlunce(o360stupňů) T Z a Tznámýmivýrazy ω= π T a ω Z = π T Z,dostávámeodtudproúhel vztah ( 1 =π T 1 ) t. T Z Odtudplyne,žepro t= T ZT T Z je =π.všechnyfázeseprotoopakujíposynodické T době oběhu planety(viz příslušné téma). VtrojúhelníkuZP(vizobr.1)označmeúheluvrcholuPjako ϑ.tředovýúhel ϑ, příslušející současně luncem osvětlené a ze Země viditelné části kotouče má k výše popsanému úhlu kolmá ramena. Úhly s kolmými rameny jsou buď totožné nebo doplňkové do π.zobrázku1jepatrno,ževnašempřípaděje ϑ=π ϑ. Označíme-li R Z poloměrzemskédráhykolemlunce(tedyastronomickájednotka) a R poloměr dráhy planety kolem lunce, dostáváme aplikací sínové a kosínové věty v trojúhelníku ZP, že sin ϑ sin = R Z ZP ; ZP= R Z+ R R Z Rcos, odkudrozšířenímvýrazuzlomkem 1 R Z azavedenímveličiny R = R R Z (tojestpoloměr dráhy planety v astronomických jednotkách) dostaneme vztah sin ϑ = sin 1+R R cos. (1) Zobrázku1jepatrno,žepro =0(planetavdolníkonjunkci)je ϑ = π,takže ϑ=0aplanetasenacházívnovu.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy rosteodnulydo π, ϑ klesáod πknule,atudíž ϑzaserosteodnulydo π.fázevnitřníplanetytedyv tomtoobdobíroste.pro = π β,kde βjemaximálníelongačníúhelvnitřníplanety,

3 jezřejmě ϑ = π(protožetečnakekružnicijekolmákpříslušnémuprůvodiči),aprotoi ϑ= πaplanetasenacházívprvníčtvrti(asoučasněvnejvětšízápadníelongaci).pro t= Tsy je =π,takže ϑ =0aϑ=π.Vtétopoloze(horníkonjunkciseluncem)je tedyplanetavúplňku.pro t Tsy,T sy jesituaceanalogickávtomsmyslu,žegrafy příslušnýchveličinjsousymetricképodlepřímky t= Tsy (nebo =π).fázevtomto intervaluklesáopětknuleavpolozenejvětšívýchodníelongace(kdy = 3π+ β)je planeta v poslední čtvrti. Poznámka: 1.Zobrázku1jepatrno,ževobdobírůstufázevnitřníplanetyjezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek planety má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá) zde funguje přesně obráceně.. Protože v okolí konjunkcí není vnitřní planeta pozorovatelná(jest přezářená luncem), nelze ji pozorovat ani v okolí novu ani v okolí úplňku. Vnitřní planety nejlépe pozorujeme v okolí největších elongací, kdy se z hlediska fáze nachází ve čtvrtích (první nebo poslední). Zvýrazu(1)azdefinicefunkcearcsinvyplývá,žepro ϑ 0, π β )je ϑ =arcsin sin 1+R R cos 0, π (tojestpro () apro ϑ π,π (tojestpro π β,π )je ϑ = π arcsin sin 1+R R cos. (3) ρ ρcos υ Obrázek : Na obrázku 1 jsme na kotouček planety pohlíželi od severního ekliptikálního pólu. Podíváme-li se na něho ze Země, objeví se pohled znázorněný na obrázku. Tloušťka srpkuplanetyvroviněekliptiky(tedyvmístě,kdejenejsilnější)jezřejmě ρ(1 cos ϑ), kde ρ je(fiktivní) poloměr planetárního kotoučku(také jej můžeme brát jednotkový). Pro ϑ=0sezřejmějednáonov(nulovátloušťkasrpku),pro ϑ= π sejednáo(první) 3

4 y y = ρ x y = ρ x cos υ ρ ρ x Obrázek 3: čtvrť(tloušťkasrpkujerovnapoloměrukotoučku)apro ϑ=πsejednáoúplněk,kdy tloušťka srpku je rovna průměru kotoučku. Poznamenejme, že nekruhový obrys srpku má zřejmě v souřadnicové soustavě x, y zobrázku3rovnici y= ρ x cos ϑ.jestližetedy A= πρ jeplochapolovinykotoučku,jezřejměplocha dolní (neosvětlené)částikotoučkurovna A = πρ cos ϑ. Plocha osvětlené části je pak rozdíl obou ploch, a tedy fáze planety je podle definice f= A ( ) A A =1 1 A = 1 cosϑ A = 1+cosϑ, (4) protožeplatí cosϑ=cos(π ϑ )= cos ϑ. Pro libovolný čas mezi nulou a synodickou dobou oběhu planety(pro Merkura roku,provenuši1.597roku)paknejprvezrovnice(1)určímeúhel,potézrovnice() nebo(3)určímeúhel ϑ anakonecpodle(4)určímeodpovídajícífázivnitřníplanety. Závislost f()jeprooběvnitřníplanetyuvedenanaobrázku Zavislost faze vnitrnich planet a Mesice na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mesic Merkur Venuse φ [stupnu] Obrázek 4: 4

5 Fáze vnějších planet Naobrázku5jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)avněnírovněžkruhovádráha vnější planety(marsu až Neptuna) se luncem(), jakožto společným středem obou drah. Protože pozemský pozorovatel registruje pouze relativní pohyb planety vůči Zemi, lzebezújmynaobecnostiopětuvažovatpolohuzemězaneměnnou(naobrázkuv dolní poloze). Vzhledem k platnosti III. Keplerova zákona vnější planeta při svém oběhu kolem lunce se za Zemí zpožďuje, probíhá relativní pohyb planety v záporném smyslu. Při pohledu na planetární dráhy od severního ekliptikálního pólu nechť je poloha středu planety P. Polohu průvodiče planety oproti průvodiči Země budeme opět popisovat úhlem. Tento úhel tedy vyjadřuje úhlovou odchylku průvodiče planety od polohy opozice planety ke lunci. vislými šrafami je na obrázku znázorněna polokoule (polokruh) viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jeví jako příslušná fáze vnější planety. P K P, υ Z P O Obrázek 5: Označíme-li,stejnějakovpřípaděvnitřníplanety,symbolem ϑ úhelmezisměryze středu planety na(střed) lunce a na(střed) Země. Aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZP získáme výraz sin ϑ = sin 1+R R cos, (5) kterýmáformálněstejnýtvarjako(1)propřípadvnitřníplanety.veličina R,jakožto poloměr dráhy planety v astronomických jednotkách, je v tomto případě větší než jedna. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. 5

6 Zobrázku5jepatrno,žepro =0(planetavopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πa planetasenacházívúplňku.vprůběhučasu t ( ) 0, Tsy úhel rosteodnulydo π, aleúhel ϑ nejprverostedojistémaximálníhodnotyapotézaseklesáknule.proto úhel ϑnejprveklesádojistéminimálníhodnotyapotéopětrostedo π.fázeplanety proto také nejprve klesá do jisté minimální hodnoty a poté opět roste do jedničky. Pro t= Tsy je =π, ϑ =0, ϑ=πaf =1.Vnějšíplanetajeprotoopětvúplňku. Pro t Tsy,T sy jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= Tsy.Určímenynívýše popsanou minimální fázi vnější planety. Protožefunkce f= f(ϑ )vevztahu(4)jemonotónněrostoucínaintervalu 0,π, stačínajíthodnotu min,vekterénabýváfunkce ϑ ()svéhomaxima.tatohodnota dosazenado(5)aposlézedo(4)dáhledanouminimálnífázi f min.nutnoupodmínkou extrémufunkce ϑ ()jenulovostjejíderivace.derivujmetedyrovnici(5)podle. Dostaneme po dílčí úpravě dϑ d =cos (1+R R cos) R sin. cos ϑ (1+R R cos ) 3 Nulovostzlomkujeekvivalentnínulovostijehočitatele.Jestliženavícdosadímesin = =1 cos,dostanemenutnoupodmínkuextrémuvetvaru R cos (1+R )cos +R =0, což je kvadratická rovnice pro cos. Jejím řešením obdržíme Úpravou odtud cos 1, = 1+R ± (1+R ) 4R R. cos 1 = R ; cos = 1 R. Protožesezabývámevnějšímiplanetami,prokteréjest R >1,jejedinýmřešením cos min = 1.Vzhledemktomu,žesejednázřejměoúhelsvojíhodnotoumezinulou R a π,je sin min = Dosazením do(5) dostaneme po úpravě Odtud sin ϑ max= cos ϑ max= 1 cos min = R 1 R. sin min 1+R R cos min = 1 R. 1 sin ϑ max= R 1 R. Vzhledemkmonotónněklesajícífunkci f(ϑ )odtuddosazenímdo(4)konečnědostaneme f min = 1+cosϑ max = R + R 1 R. (6) 6

7 Postačující podmínky extrému není třeba ověřovat, neboť vzhledem k fyzikální podstatě úlohy je v(6) určena skutečně minimální fáze vnější planety. Pro všech pět vnějších planet jsou výsledky znázorněny v následující tabulce. Tabulka 1: Planeta Mars Jupiter aturn Uran Neptun R [au] min [ o ] f min Z tabulky je patrno, že minimální fáze velkých vnějších planet je větší než 99 procent. Tyto planety jsou proto prakticky stále v úplňku. vůj význam má tato hodnota pouze umarsu,kdefázeklesáažpod88procent.konkrétnízávislost f()jepromars,jupiter aaturnuvedenanaobrázku Zavislost faze vnejsich planet na uhlove odchylce oproti Zemi faze f [procent] Mars Jupiter aturn φ [stupnu] Obrázek 6: Fáze Měsíce Naobrázku7jeznázorněnakruhovádráhaZemě(Z)kolemluncearovněžkruhová dráha Měsíce M kolem Země. tejně jako výše lze bez újmy na obecnosti předpokládat trvalou polohu Země tak, jak je zakreslena a sledovat pouze relativní pohyb Měsíce vůči Zemiúhlovourychlostí ω= ω M ω Z,kde ω M jeúhlovárychlostměsícepřijehopohybu 7

8 kolemzemě.protože ω M > ω Z,konáserelativnípohybMěsícevkladnémsmyslu. Obecná poloha středu Měsíce je popsána úhlem průvodiče Měsíce od jeho polohy v opoziciseluncem.vtrojúhelníkuzmjeprotovnitřníúheluvrcholuzroven π. M K π Z υ, M M O Obrázek 7: Označmeperiodu,příslušejícírelativníúhlovérychlosti ωměsícejako T sym.jedná se o analogii synodické doby oběhu planet a je to doba mezi dvěma sousedními stejnými polohamiměsícevevztahukelunciakzemi.nazývámejisynodickýmměsícema platíproni 1 = 1 1 T sim = T ZT sym, T sym T sim T Z T Z T sym kde T sim jeperiodatzv.siderickéhoměsíce,tedydoba,zakterouměsícvykonákolem Zeměúplnéotočeníoúhel360 o.perioda T Z jedobaotočenízeměkolemlunce(tzv. siderickýrok).protože T sym jeperiodazměnyfázíměsíce,kteroumůžemesnadno pozorovatnaobloze,víme,žeje T sym =9.53dní(středníchslunečních).Protožesiderický rok má dní, dostáváme z předchozího výrazu, že délka siderického měsíce (který na obloze pozorovati nemůžeme) je dní. vislými šrafami je na obrázku 7 znázorněna polokoule(polokruh) Měsíce viditelný ze Země, vodorovnými šrafami je znázorněna polokoule(polokruh) osvětlený luncem. Průnikem zmíněných polokruhů je znázorněna ta část, jež se pozemskému pozorovateli jevíjakopříslušnáfázeměsíce.označíme-lisymbolem ϑ úhelmezisměryzestředu Měsíce na(střed) lunce a na(střed) Země, získáme aplikací sínové a kosínové věty na trojúhelník ZM výraz 8

9 sin ϑ = sin 1+R +R cos, (7) kde R M jepoloměrdráhyměsícekolemzeměvastronomickýchjednotkách.oproti analogickému výrazu pro planety je ve třetím sčítanci jmenovatele zde znaménko plus. Prostředovýúhel ϑ,charakterizujícípříslušnoufázi,platíopět ϑ=π ϑ.rovněžvztah (4) zůstává v platnosti. Zobrázku7jepatrno,žepro =0(Měsícvopozici)je ϑ =0,takže ϑ=πaměsíc senacházívúplňku.vprůběhučasu t ( 0, T ) sym úhel rosteodnulydo π,úhel ϑ rovněžrosteodnulydo π,cožznamená,žestředovýúhel ϑklesáod πknuleafáze rovněžklesáodjedničkyknule.pro t= T sym je =π, ϑ = π, ϑ=0atedyif=0. Měsícsenacházívnovu.Pro t T sym,t sym jesituacesymetrickávzhledemkhodnotě t= T sym. Poznámka:Zobrázku7jepatrno,ževobdobípoklesufázeMěsícejezeZeměviditelný kruhový obrys jejího kotouče zleva. rpek Měsíce má tedy tvar písmene C. Mnemotechnická pomůcka pro určování fází Měsíce(D=dorůstá-fáze roste a C=couvá-fáze klesá)zdefunguje.závislost f()jeproměsícrovněžuvedenanaobrázku4. Planetární hvězdné a sluneční dni TakjakouZeměrozeznávámehvězdnýdenjakodobuotočeníZeměkolemjejíosya sluneční den jako dobu mezi dvěma sousedními průchody lunce místním poledníkem, lze totéž učinit i u ostatních planet. První periodu označujeme jako hvězdný(siderický) den t si adruhoujakosluneční(synodický)den t sy. A A A t = 0 t = t si t = t sy Obrázek 8: Naobrázku8mámeznázorněnpohlednadráhuplanetyzesměrukolméhonarovinu její dráhy(tedy vzhledem k platnosti předpokladu i = 0 ze směru severního ekliptikálního pólu). Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo namístoanaplanetě.prostředníobrázekukazujestavpouplynutíperiody t si,kdy ovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoanaplanetě,protožetatosezatutoperiodu posunula na svojí dráze kolem lunce. Pravý obrázek znázorňuje stav po uplynutí periody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoanaplanetě.zatudobuseplaneta posunula na své dráze kolem lunce o úhel průvodiče. Protože předpokládáme 9

10 kruhové dráhy kolem lunce(ε = 0), pohybují se planety kolem lunce rovnoměrně. Protože rotace planet kolem svých os je rovněž rovnoměrná, můžeme psát následující úměrnosti: 1. Pro pohyb kolem lunce. Pro pohyb kolem planetární osy t sy T = π. (8) t sy = π+., (9) t si π kde T je doba oběhu planety kolem lunce(tzv. siderický rok planety). Dosazenímza π z(8)do(9)dostaneme 1 = 1 1 t sy t si T t sy= t sit. (10) T t si Předchozí výpočet byl proveden za automatických předpokladů, že u všech planet je siderický rok delší než hvězdný den(což je u všech planet s výjimkou Venuše splněno) a že rotace všech planet kolem osy je prográdní, tedy v matematicky kladném smyslu, jakopohybkolemlunce(cožjeopětuvšechplanetsvýjimkouvenušesplněno).v následující tabulce jsou uvedeny popisované časové parametry u všech planet s výjimkou Venuše. Údaje jsou uvedeny ve středních slunečních(pozemských) dnech, které užíváme v běžném životě. Tabulka : Planeta T t si t sy Merkur Země Mars Jupiter aturn Uran Neptun Z tabulky je patrno, že velké planety(jupiter až Neptun) mají natolik velký časový rozdíl mezi svým siderickým rokem a siderickým dnem, že jejich sluneční den je přesně totožný s hvězdným. lunce i hvězdy se na tamní obloze zdánlivě pohybují prakticky se stejnou úhlovou rychlostí. Země a Mars mají sluneční den o dvě nebo tři promile delší než den hvězdný. Hvězdy se pohybují zdánlivě na oblohách těchto planet nepatrně větší úhlovou rychlostí než lunce(rozdíl mezi hvězdným a slunečním časem na Zemi- viz příslušné téma). Merkur má sluneční den cirka třikrát delší než hvězdný. lunce se tedy na obloze Merkura pohybuje(v průměru) třikrát menší úhlovou rychlostí než hvězdy. Venuše se vymyká všem planetám sluneční soustavy, neboť její pohyb kolem osy je retrográdní a navíc úhlově pomalejší než pohyb kolem lunce. Její parametry jsou T=5(středníchslunečníchpozemských)dníat si =43dní.Obrázek9znázorňuje 10

11 A A A t = 0 t = T t = t sy Obrázek 9: analogii k obrázku 8 ovšem pouze pro Venuši. Levý obrázek označuje stav, kdy začínáme měřit čas, kdy lunce svítí kolmo na místo A na planetě. Prostřední obrázek ukazuje stavpouplynutíperiody T,kdyovšemlunceještěnesvítíkolmonamístoA.Tatose zatutoperiodupřipohybukolemosyposunulaomenšíúhelnež360 o.pravýobrázek znázorňujestavpouplynutíperiody t sy,kdylunceopětsvítíkolmonamístoa.zatu dobuseplanetaposunulanasvédrázekolemlunceoúhelprůvodičeπ+ anasvé poutikolemosyoúhelπ.úměrnosti(8)a(9)majízdetvar π+ π Vyloučením π ztěchtovýrazůdostaneme t sy T = t sy t si = t sy T ; π π = t sy t si. t sy = t sit t si + T. (11) Podosazeníčíselnýchhodnotparametrů Ta t si dostávámedélkuvenušinaslunečního dne t sy =34dní. Zastavíme se ještě u Merkura, jehož trajektorie kolem lunce je zdaleka nejvýstřednější.předpoklad ε=0proněhotedyplatínejméněpřesně.navícnamerkurusiderický rok je řádově srovnatelný se siderickým dnem. Tato fakta mají zajímavý důsledek, který popíšeme. Označme ω okamžitou úhlovou rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce a r jeho okamžitou vzdálenost od lunce. Indexem s budeme značit střední hodnoty veličin, indexem a hodnoty v afeliu a indexem p hodnoty v periheliu. Podle II. Keplerova zákona platí r sω s = r pω p = r aω a (=w), (1) kde w je plošná rychlost Merkura při jeho pohybu kolem lunce. Dále zřejmě platí r p = a; r p = a e; r a = a+e, (13) kde a je délka velké poloosy Merkurovy dráhy a e její délková výstřednost. Dosazením (13)do(1)arozšířenímzlomkůvýrazem 1 a vzniká ω p ω s = ( ) rs = r p ( ) a = 1 ω a a e (1 ε) ; = ω s 11 ( rs r a ) = ( ) a = 1 a+e (1+ε). (14)

12 Označmenyní T x (x=s,p,a)periodyoběhumerkurakolemluncepříslušejícíkúhlovýmrychlostem ω x zapředpokladu,žebypohybbylrovnoměrnýpocelýoběh. ohledem na(14) pak platí T p T s = ω s ω p =(1 ε) ; T a T s = ω s ω a =(1+ε). Dosadíme-lidotěchtovýrazůčíselnéhodnotyproMerkura T s =88dníaε=0.06,dostaneme T p =55.5dníaT a =18dní.Tytovýsledkyukazujíjednaknavelkékolísánírychlosti Merkuranajehocestěkolemlunceajednaknafakt,ževokolíperiheliaseMerkurpohybuje kolem lunce úhlově rychleji než kolem své osy. Tato skutečnost snadno plyne ze srovnáníperiody T p speriodouhvězdnéhodnenamerkuru(58.646dní).tomázanásledek, že v okolí prerihelia Merkurovy dráhy se lunce zdánlivě pohybuje po obloze opačně nežhvězdy.dvakrátzamerkurůvrok(88dní)setedyluncenasvézdánlivépoutipo Merkurově obloze zastaví, aby vzápětí změnilo orientaci svého zdánlivého pohybu. To je situace na planetách sluneční soustavy zcela ojedinělá. 1

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku 4 ZÁKLADY SFÉRICKÉ ASTRONOMIE K posouzení proslunění budovy nebo oslunění pozemku je vždy nutné stanovit polohu slunce na obloze. K tomu slouží vztahy sférické astronomie slunce. Pro sledování změn slunečního

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b)

Část A strana A 1. (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Část A strana A 1 Bodové hodnocení vyplňuje komise! část A B C Celkem body (14 b) (26 b) (60 b) (100 b) Pokyny k testovým otázkám: U následujících otázek zakroužkuj vždy právě jednu správnou odpověď. Zmýlíš-li

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 1/99 Výpočet zeměpisné šířky z měřených

Více

Tělesa sluneční soustavy

Tělesa sluneční soustavy Tělesa sluneční soustavy Měsíc dráha vzdálenost 356 407 tis. km (průměr 384400km); určena pomocí laseru/radaru e=0,0549, elipsa mění tvar gravitačním působením Slunce i=5,145 deg. měsíce siderický 27,321661

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1 PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace Identifikace Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max.

Více

očekávaný výstup ročník 7. č. 11 název

očekávaný výstup ročník 7. č. 11 název č. 11 název anotace očekávaný výstup druh učebního materiálu Pracovní list druh interaktivity Aktivita ročník 7. Vesmír a Země, planeta Země V pracovních listech si žáci opakují své znalosti o vesmíru

Více

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list KEPLEROVY ZÁKONY RNDr. Vladimír Vaščák Metodický list RNDr. V L A D I M Í R V A Š Č Á K Metodický list RNDr. Vladimír Vaščák www.vascak.cz Obsah O aplikaci... 1 Verze pro PC, ipad a Android... 2 1. Keplerův

Více

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012)

Soutěžní úlohy části A a B (12. 6. 2012) Soutěžní úlohy části A a B (1. 6. 01) Pokyny k úlohám: Řešení úlohy musí obsahovat rozbor problému (náčrtek dané situace), základní vztahy (vzorce) použité v řešení a přesný postup (stačí heslovitě). Nestačí

Více

Téma: Planetární elipsoidy

Téma: Planetární elipsoidy Téma: Planetární elipsoidy Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Uvažujme v prvním přiblížení planetu jako dokonalou kouli poloměru r, střední(průměrné) hustoty µ, rotující kolem své osy úhlovou rychlostí

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země?

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země? Astronomie Autor: Miroslav Randa. Doplň pojmy ze seznamu na správná místa textu. seznam pojmů: Jupiter, komety, Merkur, měsíce, Neptun, planetky, planety, Pluto, Saturn, Slunce, Uran, Venuše, Země Uprostřed

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Rotace zeměkoule. pohyb po kružnici

Rotace zeměkoule. pohyb po kružnici Rotace zeměkoule pohyb po kružnici O čem to bude Spočítáme rychlost pohybu Země kolem Slunce z pohybu hmotného bodu po kružnici. 2/35 O čem to bude Spočítáme rychlost pohybu Země kolem Slunce z pohybu

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

Magnetické pole drátu ve tvaru V

Magnetické pole drátu ve tvaru V Magnetické pole drátu ve tvaru V K prvním úspěchům získaným Ampèrem při využívání magnetických jevů patří výpočet indukce magnetického pole B, vytvořeného elektrickým proudem procházejícím vodiči. Srovnáme

Více

Planeta Země. Pohyby Země a jejich důsledky

Planeta Země. Pohyby Země a jejich důsledky Planeta Země Pohyby Země a jejich důsledky Pohyby Země Planeta Země je jednou z osmi planet Sluneční soustavy. Vzhledem k okolnímu vesmíru je v neustálém pohybu. Úkol 1: Které pohyby naše planeta ve Sluneční

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Kartografie přednáška 5 Referenční plochy souřadnicových soustav slouží k lokalizaci bodů, objektů

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet První Keplerův zákon: Planety obíhají kolem Slunce po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Druhý Keplerův zákon: Plochy opsané průvodičem planety za stejné

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Odhad změny rotace Země při změně poloměru

Odhad změny rotace Země při změně poloměru Odhad změny rotace Země při změně poloměru NDr. Pavel Samohýl. Seznam symbolů A, A, A součinitel vztahu pro závislost hustoty Země na vzdálenosti od středu, totéž v minulosti a současnosti B, B, B součinitel

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

2.1.2 Měsíční fáze, zatmění Měsíce, zatmění Slunce

2.1.2 Měsíční fáze, zatmění Měsíce, zatmění Slunce 2.1.2 Měsíční fáze, zatmění Měsíce, zatmění Slunce Předpoklady: 020101 Pomůcky: lampičky s klasickými žárovkami, stínítko, modely slunce, země, měsíce na zatmění Měsíc je velmi zajímavé těleso: jeho tvar

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Planeta Země 7.Vesmír a Slunce Planeta Země Vesmír a Slunce Autor: Mgr. Irena Doležalová Datum (období) tvorby: únor 2012 červen 2013 Ročník: šestý Vzdělávací oblast: zeměpis Anotace: Žáci se seznámí se

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vlastivěda není věda II. Planeta Země. Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský

Vlastivěda není věda II. Planeta Země. Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský Vlastivěda není věda II. Planeta Země Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský 3 Publikace vznikla díky podpoře Magistrátu Hlavního města Prahy. Vytvoření odborného textu: Milena Hanáková, Oldřich Kouřimský

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Propočty přechodu Venuše 8. června 2004

Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 V tomto dokumentu předkládáme podmínky přechodu Venuše pře luneční kotouč 8. června roku 2004. Naše výpočty jme založili na planetárních teoriích VSOP87 vytvořených

Více

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele

Korekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele OPT/AST L07 Korekce souřadnic malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů výška pozorovatele konečný poloměr země R výška h objektu závisí na výšce s stanoviště

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

ročník 9. č. 21 název

ročník 9. č. 21 název č. 21 název Země - vznik anotace V pracovních listech se žáci seznámí se vznikem Země. Testovou i zábavnou formou si prohlubují znalosti na dané téma. Součástí pracovního listu je i správné řešení. očekávaný

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Astronomický rok 2015

Astronomický rok 2015 Astronomický rok 2015 V následujícím článku jsou vybrány nejzajímavější nebeské úkazy a události vztahující se k astronomii, které nám nabídne nadcházející rok. Dnes si projdeme první pololetí 2015. Ze

Více

Sluneční soustava OTEVŘÍT. Konec

Sluneční soustava OTEVŘÍT. Konec Sluneční soustava OTEVŘÍT Konec Sluneční soustava Slunce Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Pluto Zpět Slunce Slunce vzniklo asi před 4,6 miliardami let a bude svítit ještě přibližně 7

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady 1. Rychlosti vesmírných těles, např. planet, komet, ale i družic, se obvykle udávají v kilometrech za sekundu. V únoru jsme mohli v novinách

Více

Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru. Ověřuje teoretické znalosti žáků. Časově odpovídá jedné vyučovací hodině.

Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru. Ověřuje teoretické znalosti žáků. Časově odpovídá jedné vyučovací hodině. Vzdělávací oblast : Předmět : Téma : Člověk a jeho svět Přírodověda Vesmír Ročník: 5. Popis: Očekávaný výstup: Druh učebního materiálu: Autor: Poznámky: Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru.

Více

Venuše druhá planeta sluneční soustavy

Venuše druhá planeta sluneční soustavy Venuše druhá planeta sluneční soustavy Planeta Venuše je druhá v pořadí vzdáleností od Slunce (střední vzdálenost 108 milionů kilometrů neboli 0,72 AU) a zároveň je naším nejbližším planetárním sousedem.

Více

Astronomie, sluneční soustava

Astronomie, sluneční soustava Základní škola Nový Bor, náměstí Míru 128, okres Česká Lípa, příspěvková organizace e mail: info@zsnamesti.cz; www.zsnamesti.cz; telefon: 487 722 010; fax: 487 722 378 Registrační číslo: CZ.1.07/1.4.00/21.3267

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA

ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA ASTRONOMICKÉ ÚLOHY A WEBOVÉ ONLINE APLIKACE NA ASTRONOMIA Ota Kéhar Oddělení fyziky Katedry matematiky, fyziky a technické výchovy ZČU v Plzni Abstrakt: V příspěvku představím několik webových online aplikací

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

R5.1 Vodorovný vrh. y A

R5.1 Vodorovný vrh. y A Fyzika pro střední školy I 20 R5 G R A V I T A Č N Í P O L E Včlánku5.3jsmeuvedli,ževrhyjsousloženépohybyvtíhovémpoliZemě, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2 Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikum 2 Zpracoval: Markéta Kurfürstová Naměřeno: 16. října 2012 Obor: B-FIN Ročník: II Semestr: III

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 III/2 Inovace a

Více

Datová analýza. Strana 1 ze 5

Datová analýza. Strana 1 ze 5 Strana 1 ze 5 (D1) Binární pulzar Astronomové díky systematickému hledání v posledních desetiletích objevili velké množství milisekundových pulzarů (perioda rotace 10 ms). Většinu těchto pulzarů pozorujeme

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Mechanika II.A Třetí domácí úkol

Mechanika II.A Třetí domácí úkol Mechanika II.A Třetí domácí úkol (Zadání je částečně ze sbírky: Lederer P., Stejskal S., Březina J., Prokýšek R.: Sbírka příkladů z kinematiky. Skripta, vydavatelství ČVUT, 2003.) Vážené studentky a vážení

Více

Matematika - Kvarta. řeší ekvivalentními úpravami rovnice s neznámou ve jmenovateli

Matematika - Kvarta. řeší ekvivalentními úpravami rovnice s neznámou ve jmenovateli - Kvarta Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 6. 2. 2013 Pořadové číslo 12 1 Země, Mars Předmět: Ročník: Jméno autora: Fyzika

Více

Krajské kolo 2014/15, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace

Krajské kolo 2014/15, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace Žk A olympida Identifikace jméno: příjmení: identifiktor: Škola nzev: město: PSČ: Hodnocení A B C Σ (100 b.) Účast v AO se řídí organizačním řdem, č.j. MŠMT 14 896/2012-51. Organizační řd a propozice aktulního

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0 Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Astronomie jednoduchými prostředky. Miroslav Jagelka

Astronomie jednoduchými prostředky. Miroslav Jagelka Astronomie jednoduchými prostředky Miroslav Jagelka 20.10.2016 Když si vystačíte s kameny... Stonehenge (1600-3100 BC) Pyramidy v Gize (2550 BC) El Castilllo (1000 BC) ... nebo s hůlkou Gnomón (5000 BC)

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 6.1Slunce, planety a jejich pohyb, komety Vesmír - Slunce - planety a jejich pohyb, - komety, hvězdy a galaxie 2 Vesmír či kosmos (z

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více