Analýza metod výpočtu železobetonových lokálně podepřených desek

Transkript

1 České vysoké učení techncké v Praze Fakulta stavební Analýza metod výpočtu železobetonových lokálně podepřených desek Vypracoval Ing. Martn Tpka a Ing. Josef Novák v rámc proektu FRVŠ 905/0/G

2 Proekt FRVŠ 905/0/G OBSAH : ÚVOD 3 PARAMETRY LOKÁLNĚ PODEPŘENÝCH DESEK 4. Pops konstrukce 4. Statcké působení a konstrukční řešení 7 3 ZJEDNODUŠENÉ METODY VÝPOČTU LOKÁLNĚ PODEPŘENÝCH DESEK 3. Možnost výpočtu 3. Metoda součtových momentů Postup výpočtu metodou součtových momentů Metoda náhradních rámů Postup výpočtu metodou náhradních rámů Rozdělení momentů v příčném směru 4 OBECNÉ METODY VÝPOČTU LOKÁLNĚ PODEPŘENÝCH DESEK 5 4. Patrové výseky prostorové modely 5 4. Teore desek a desková rovnce Metoda sítí Metoda konečných prvků Prncpy a postup řešení MKP Praktcký postup a vyhodnocení výsledků MKP 34 LITERATURA 36 PŘÍKLADOVÁ ČÁST - UKÁZKY ŘEŠENÍ SROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ 37 Příklad č. : Lokálně podepřená železobetonová deska - ukázka řešení metodou součtových momentů 39 Příklad č. : Obecná lokálně podepřená železobetonová stropní konstrukce 4 Příklad č. 3 : Lokálně podepřená železobetonová deska s otvorem ve středním pruhu 45 Příklad č. 4 : Lokálně podepřená železobetonová deska s otvorem ve sloupovém pruhu 48 Příklad č. 5 : Lokálně podepřená železobetonová deska s výrazně rozdílným rozpětím následuících polí 5 Příklad č. 6 : Lokálně podepřená železobetonová deska s výrazně rozdílným rozpětím následuících polí

3 Proekt FRVŠ 905/0/G. Úvod Lokálně podepřené stropní desky představuí v současnost honě rozšířený druh vodorovných nosných konstrukcí. Z hledska realzace spočívá ech oblíbenost především v ednoduchost návrhu a provádění kdy odpadá problém složtých konstrukčních detalů. Z hledska provozu umožňuí tyto konstrukce bezproblémové změny vntřních dspozc způsobu užívání obektu. V stých případech lze na ech ednoduchém tvaru založt archtektoncké ztvárnění nteréru což platí zeména pro kazetovou varantu lokálně podepřených desek. Absence lnových nosných prvků ve skladbě konstrukce umožňue kromě volné dspozce menší omezení pro umístění prostupů. V případě používání podhledů lze v prostoru mez stropem a podhledem vést bezproblémově nstalační rozvody anž by ech trasy akkol koldovaly s ným konstrukčním prvky. Současná praxe klade vysoké nároky na "správnost a rychlost" řešení e proto nutné zautomatzovat postupy pravdla pro výběr nevhodněší výpočetní metody. V době počítačů není problém sestavovat složté numercké modely obsahuící statsíce až mlony rovnc. Otázkou zůstává zda ve všech případech má takový způsob řešení smysl. Pro výpočet stropní desky e obecně možné použít lbovolnou výpočetní metodu která dodrží slové a momentové podmínky rovnováhy podmínky spotost přetvoření a podmínky skutečného podepření konstrukce. Složtost výpočetní metody e vhodné volt úměrně složtost řešené konstrukce. Následuící práce se věnue problematce stanovení vntřních sl na lokálně podepřené železobetonové desce a možným přístupům které lze v této oblast uplatnt ech náročnost a především výstžnost z hledska skutečného chování konstrukce. Celá práce e rozdělena na část - teoretckou a příkladovou. V teoretcké část e neprve charakterzována lokálně podepřená desková konstrukce se všem svým specfky a možným modfkacem. Jsou zde uvedeny příklady (schémata) používaných konstrukcí a ech obvyklé parametry. V následuících dvou kaptolách sou postupně představeny některé ze zednodušených a obecných metod používaných pro výpočet vntřních sl v konstrukc (dále en výpočet konstrukce) a návrh těchto druhů konstrukce. V rámc tohoto proektu se budeme zabývat pouze ohybovým namáháním desek tedy zšťováním a nterpretací výsledků potřebných pro návrh ohybové výztuže. Smykové namáhání desek a eho závslost na různých aspektech není předmětem řešení tohoto proektu. Každá z uvedených výpočetních metod se vyznačue nou mírou obtížnost a přesnost řešení a zároveň má svá pravdla a podmínky za akých lze pro výpočet dané konstrukce použít. Z toho důvodu bylo vybráno několk typů lokálně podepřených desek na kterých byl obasněn postup výpočtu některým z výše uvedených metod a srovnána ech vzáemná přesnost a výstžnost. Tato stude e náplní druhé tedy příkladové část práce. Podrobné řešení vybraných typů konstrukcí tvoří přílohy práce

4 Proekt FRVŠ 905/0/G. Parametry lokálně podepřených desek. Pops konstrukce Lokálně podepřené stropní desky představuí vodorovné nosné konstrukce podepřené převážně lokálním prvky které umožňuí přetvoření ve dvou navzáem kolmých směrech (průhybová plocha s dvoí křvostí). Za lokální podporuící prvek považueme svslou nebo nakloněnou nosnou konstrukc která v žádném směru nezasahue dále než do /6 rozpětí přlehlého deskového pole. Vlastní deska mívá obvykle konstantní tloušťku může však být zesílena tzv. zesluící deskou v oblastech podpor eventuálně opatřená nízkým deskovým průvlaky ležícím na sponcích sloupů. Deska může být uložena na lokálních podporách přímo nebo prostřednctvím hlavc. Hlavce rozšřuí podporu v místě uložení desky a usnadňuí tak přenos zatížení z desky do podpory. Rozšíření podpor může být vdtelné nebo skryté v desce. Neběžněší typy vdtelných hlavc sou uvedeny na obr. : hřbová hlavce ednoduchá - zesílení sloupu ve tvaru komolého kužele nebo ehlanu hřbová hlavce lomená - skládá se z hřbové hlavce ednoduché a škmého náběhu desky hřbová hlavce se zesluící deskou - skládá se z hřbové hlavce ednoduché a zesluící desky Obr. Typy vdtelných hlavc Používané typy skrytých hlavc sou uvedeny na obr. : manžetová hlavce - (obr. abc) e tvořena svařovanou dostatečně tuhou a únosnou manžetou zvětšuící v podstatě úložnou plochu desky hlavce e účnná na protlačení příspěvek k ohybové únosnost desky e zanedbatelný roštová hlavce - (obr. de) e tvořena z ocelových většnou válcovaných nosníků uložených křížem nad sloupem hlavce zlepšue poměr v uložení a přspívá k ohybové únosnost desky ve sloupovém pruhu a únosnost na protlačení žebrová hlavce - (obr. f) hlavc představue svařenec vytvořený z trubky a radálně uspořádaných žeber - žebra z ocelových plechů musí být opatřena úzkým přírubam hlavce přenáší posouvaící sílu ohybové momenty prefabrkovaná předpatá hlavce - vytvořená ovnutím kruhové desky předpatou výztuží - 4 -

5 Proekt FRVŠ 905/0/G Obr. Typy skrytých hlavc Desky podporované vdtelným (hřbovým) hlavcem nazýváme desky hřbové desky podporované podpěram bez vdtelných hlavc nazýváme desky bezhřbové. Zvláštní druh lokálně podepřených desek představuí desky kazetové. Jednotlvé typy konstrukcí sou uvedeny na obr. 3. Bezhřbová Hřbová deska Kazetová deska Obr. 3 Typy lokálně podepřených desek - 5 -

6 Proekt FRVŠ 905/0/G bezhřbová deska - též označovaná ako deska beztrámová nebo bezprůvlaková představue lokálně podepřenou desku bez vdtelných hlavc nanevýš opatřenou hlavcem skrytým. Z technologckého hledska e výhodné že taková konstrukce má v celé ploše rovnný podhled. hřbová deska - na první pohled patrné zesluící hlavce které tvoří přechod mez stropní deskou a vlastní svslou nosnou konstrukcí. Optmálním návrhem hlavc lze v případě potřeby výrazně snížt světlé rozpětí deskového pole. kazetová deska - průřez e př spodním povrchu vylehčen dutnam čímž vznká vdtelná žebrová struktura stropu. Vzdálenost žeber sou tak malé (obvykle do 0 m) že e zachováno rovnné působení konstrukce. Tím se kazetové stropy lší od klasckých stropů trámových. V okolí podpor se kazety vynechávaí. Kazetová deska se vyznačue v porovnání s plnou deskou výrazně menší ekonomckou materálovou náročností a naopak vyšší ohybovou tuhostí (větší konstrukční tloušťka menší průhyby). Naprot tomu zvukovou neprůzvučnost e nutné dosáhnout těžkou plovoucí podlahou příp. zvukově zolačním podhledem. Lokálně podepřená deska nemusí mít rovný podhled v celé své ploše v odůvodněných případech může být doplněna vntřním č okraovým ztužuícím trámy (obr. 4). Ztužuící trám představue konstrukční prvek spolupůsobící s deskou a přenášeící v závslost na eho tuhost část zatížení do lokálních podporuících prvků (zbývaící část zatížení se přenáší do lokálního podporuícího prvku deskovým působením přímo). Obr. 4 Příklady půdorysného umístění ztužuících trámů Lokálně podepřené stropní desky mohou mít obecně lbovolný půdorysný tvar umožňuí volné vytváření prostupů výstupků půdorysných uskakování (obr. 5). Osové vzdálenost sloupů v ednotlvých směrech by se od sebe neměl přílš lšt vhodné sou tř- a vícetraktové konstrukce s překonzolováním desky přes okraovou řadu sloupů

7 Proekt FRVŠ 905/0/G Obr. 5 Příklady půdorysného uspořádání lokálně podepřených desek V současnost se tento typ konstrukcí setkává hlavně u výrobců (ale veřenost) s velkou oblbou především pro svou ednoduchost (technologe) provádění. Díky rovným podhledům odpadá problém složtého bednění čímž lze výrazně urychlt postup výstavby. I kazetové varanty konstrukce lze docílt ednoduchým rozmístěním bedncích vložek na přpravené rovnné bednění. Př porovnání s klasckým trámovým stropem získáváme konstrukc s menší konstrukční výškou ednodušším bedněním na druhé straně s větší spotřebou materálu (beton ocel).. Statcké působení a konstrukční řešení Jak ž bylo zmíněno v předchozí část lokálně podepřené stropy řadíme k deskovým konstrukcím působícím ve dvou směrech tedy konstrukcím u nchž po zatížení kolmo ke středncové ploše vznká průhybová plocha dvoí křvost. Na rozdíl od desek po obvodě podepřených se u lokálně podepřených desek plošné zatížení nerozdělue do dvou směrů nýbrž oba směry přenášeí plnou hodnotu zatížení. Výsledná deformace konstrukce e pak součtem deformace v ednom a druhém směru (obr. 6). f f a b d e fc = fc = f c f f Obr. 6 Přblžný výpočet průhybu stropní desky superpozcí deformací - 7 -

8 Proekt FRVŠ 905/0/G Důsledkem toho sou větší konstrukční tloušťky stropů ve porovnání s deskam po obvodě podepřeným. Mnmální tloušťka bezhřbové lokálně podepřené ŽB desky bez zesílení e 60 mm resp. /35 maxmálního rozpětí deskového pole bezhřbové zesílené desky 0 mm. U vylehčených (kazetových) desek e nemenší tloušťka desky nad vylehčením a n /0 neméně však 50 mm kde a n e světlá vzdálenost líců sousedních žeber. Pokud e nutné desku opatřt smykovou výztuží eí tloušťka musí být větší než 00 mm. Doporučená tloušťka desek u bezhřbové varanty e přblžně /33 L u hřbové varanty /35 L. U bezhřbových stropů bývá pro návrh tloušťky desky rozhoduící oblast v bezprostředním okolí sloupů namáhaná maxmálním ohybovým momenty a smykem (protlačením). Za účelem zvýšení bezpečnost prot protlačení desky sloupem lze vložt nad sloup do desky ocelovou skrytou hlavc nebo prefabrkovanou hlavc z betonu předpatého ovíením patentovaným drátem. Ocelovou hlavcí oddálíme krtcký průřez (v němž se prokazue bezpečnost prot protlačení desky sloupem) od obvodu sloupu a tím zvětšíme eho průřezovou plochu vložením předpaté hlavce dosáhneme zlepšení napatostního stavu v oblast lokálního podepření desky sloupem (zmenšení velkost napětí v hlavním tahu). Osová vzdálenost lokálních podpor nevylehčených desek se volí v rozmezí 5-9 m (častě do 75m). U vylehčených desek lze hospodárně navrhovat desky do rozpětí m. Sloupy maí obvykle mnohoúhelníkový nebo kruhový průřez emuž tvarově odpovídá tvar případné hlavce. Ve výpočtech e povoleno kruhové a n-úhelníkové sloupy nahrazovat : a) čtvercovým se steným obsahem - pro veškerá statcká posouzení kromě protlačení b) čtvercovým se steným obvodem - pro posouzení protlačení Na základě rozboru statckého působení se doporučue aby deska byla vyložena za sponc os okraových sloupů o násobek rozpětí přlehlého deskového pole. Lokálně podepřené desky (hlavně hřbová varanta) se vyznačuí relatvně velkou únosností proto se používaí se hlavně ve výrobních a skladovacích obektech ale ve stavbách občanských a admnstratvních. Bezhřbové desky e hospodárné navrhovat pro menší hodnoty proměnného zatížení v rozmezí 5-50 kn/m. Hřbové desky sou vhodné pro nahodlá zatížení přesahuící 00 kn/m. Pro mezlehlé hodnoty nahodlého zatížení posoudíme možnost použtí desek se ztužuícím trámy. Hřbové stropy sou ze statckého hledska velm výhodné zeména v případech kdy má stropní deska přenášet účnky zatížení lokálně působícím břemeny (roznášení zatížení do obou směrů pnutí desky) - roznášecí šířka e závslá na tloušťce desky a rozponech které sou zpravdla větší než u trámových stropů. Z hledska prostorové stablty představue obekt s lokálně podepřeným stropy velm měkkou konstrukc a musí být doplněn ztužuícím stěnam (obr. 7). Dostatečná odolnost prot působení vodorovných složek zatížení e základním předpokladem správného návrhu konstrukce. Obr. 7 Schéma ztužení železobetonového skeletu - 8 -

9 Proekt FRVŠ 905/0/G S tím souvsí velkost a poloha prostupů ve stropní desce. Prostupy v deskové konstrukc se musí umístt tak aby přerušovaly co nemenší počet prutů ohybové výztuže v obou směrech. Přerušená výztuž se musí nahradt po stranách prostupu. V oblast křžuících se středních pruhů (vysvětleno dále) nesmí být prostupy přerušen pás šrší než / šířky příslušného pruhu. V oblast křžuících se sloupových pruhů (vysvětleno dále) nesmí být prostupy přerušen pás šrší než /8 šířky příslušného pruhu. V oblast společné křžuícímu se pruhu sloupovému a střednímu nesmí být prostupy přerušen pruh šrší než /4 šířky příslušného pruhu. V prax se často vyskytuí lokálně podepřené desky s pravoúhelníkovým (obdélníkovým nebo čtvercovým) pol proto statcké chování a vyšetřování bude vysvětleno na těchto deskách. Vyšetřueme-l deskové konstrukce podle lneární teore pružnost obdržíme průběhy momentů m x m y m xy z nchž můžeme stanovt velkost a směry hlavních momentů. Průběh hlavních momentů pro rovnoměrně zatíženou desku se čtvercovým pol e znázorněn na obr 8. Obr. 8 Směry hlavních napětí rovnoměrně zatížené lokálně podepřené desky Momenty v pol sou kladné a probíhaí ve velké oblast pole ve směru os x a y takže výztuž uložená ve směru těchto os může tyto momenty dobře zachytt. V podporové oblast sou momenty záporné hlavní momenty maí směr radální a tangencální. Mohou být zachyceny buď výztuží uspořádanou ve směru radálním a tangencálním vzhledem k podpoře nebo častě výztuží uspořádanou ve dvou kolmých směrech obvykle ve směru os. Z tvaru deformace lokálně podepřené desky e patrné že v každém směru musí být deskou přeneseno 00% působícího zatížení. Vyšetřueme-l průběh ohybových momentů e zřemé že se tyto momenty budou koncentrovat do oblastí s větší ohybovou tuhostí. Na základě rozložení traektorí hlavních napětí (obr. 8) a analoge s deskou po obvodě podepřenou lze vysledovat že část desky ležící v okolí sponc lokálních podpor vykazuí výrazně vyšší ohybovou tuhost než ostatní část konstrukce. Pro účely výpočtu ohybových momentů e proto možné rozdělt deskovou konstrukc na tzv. sloupové a střední pruhy (obr. 9). Sloupové pruhy představuí akés skryté průvlaky (větší stupeň vyztužení než ostatní část desky) a vynášeí středové část polí (střední pruhy). Vzáemný poměr šířky sloupových a středních pruhů může být do sté míry dskutablní otázkou. Starší předpsy zaváděly do výpočtů šířku sloupového středního pruhu stenou hodnotou rovnou L / kde L e rozpětí deskového pole ve směru kolmém ke směru který statcky vyšetřueme. Podle nověších směrnc podle ČSN e rozhoduící pro stanovení šířky sloupového (a tím středního) pruhu kratší rozpětí pole (L nebo L )

10 Proekt FRVŠ 905/0/G střední pruh střední pruh Obr. 9 Rozdělení konstrukce na sloupové a střední pruhy Podíváme-l se na průběh ohybových momentů na desce stanovený pomocí pružného výpočtu zstíme že tento e po šířkách pruhů výrazně proměnný (obr. 0). Skutečné rozdělení momentů v příčném směru (t. ve směru kolmém k vyšetřovanému rozpětí L) lze charakterzovat spotou funkcí s maxmálním pořadncem co do absolutní hodnoty uprostřed sloupového pruhu a s mnmálním pořadncem uprostřed pruhů středních (na obr. 0 vyznačeny slnou čárkovanou čarou). Tyto teoretcké spoté funkce příčného rozdělení podporových a mezpodporových momentů se pro účely dmenzování podélné nosné výztuže nahrazuí zednodušeným stupňovtým čaram (na obr. 0 plnou modrou čarou) eíž pořadnce se stanoví podle příslušných předpsů v závslost na charakteru konstrukčního systému případně na faktorech lokálního charakteru ovlvňuících příčné rozdělení výztuže (např. vlv ztužuících rámů úprava př prostupech nutnost zesílení výztuže v úzkém pruhu nad podporou apod.). Obr. 0 Přípustná dealzace průběhu dmenzačních ohybových momentů - 0 -

11 Proekt FRVŠ 905/0/G Takto stanovené momenty ž lze považovat za ohybové momenty dmenzační (př zanedbání momentů kroutících) a e možné přstoupt k procesu dmenzování ohybové výztuže. Lokálně podepřené desky lze vyztužovat vázanou výztuží nebo výztuží ve formě sítí. Př návrhu výztuže e nutné dodržet konstrukční zásady - především mnmální plochu výztuže a maxmální přípustné vzdálenost výztužných prutů. Kotevní délky potažmo délky výztuží pro ednotlvé část desky lze ednoduše stanovt podle následuící tabulky (tab. ). Tab. Mnmální délky ohybové výztuže u lokálně podepřené desky Řešení deskových lokálně podepřených konstrukcí podle teore pružnost e pracné proto se v prax uplatňuí dva možné přístupy: a) řešení pomocí zednodušených metod uvedených v technckých předpsech vycházeící z určtých představ statckého chování (vz kaptola 3) b) řešení numercké pomocí výpočetní technky - převážně metoda konečných prvků (vz kaptola 4) - -

12 Proekt FRVŠ 905/0/G 3 ZJEDNODUŠENÉ METODY VÝPOČTU LOKÁLNĚ PODEPŘENÝCH DESEK 3. Možnost výpočtu Jak bylo uvedeno na konc předchozí kaptoly klascký výpočet založený na teor pružnost e pro analýzu lokálně podepřených desek přílš komplkovaný a ve výsledku steně neposthue v dostatečné míře skutečné chování konstrukce. Z toho důvodu se v mnulost hledaly cesty ak tento postup obeít. V době kdy nebyla dostupná výpočetní technka známá z dnešní doby byly sestaveny přblžné metody pro analýzu a návrh lokálně podepřených deskových konstrukcí. Tyto metody maí sté omezuící podmínky použtí ale ve své době byly aplkovatelné na většnu realzovaných konstrukcí. S rozvoem stavebních technologí výpočetní technky a nástupem nekonvenčních někdy až bzardních archtektonckých návrhů ustupuí tyto metody mírně do pozadí neboť konstrukce začínaí být značně nepravdelné a obsahuí množství specálních konstrukčních detalů. Přesto není edný důvod nepoužít zednodušené metody výpočtu v případě ednodušších a pravdelných konstrukcí. Zkušený konstruktér tak má možnost během poměrně krátké doby navrhnout většnu konstrukčních prvků anž by musel sestavovat složté v dnešní době tak "oblíbené" počítačové modely. Celý výpočet e výrazně průhledněší a tudíž se snáze elmnuí případné chyby. V případě že už se počítačový model sestavue poskytuí zednodušené metody snadný prostředek pro ověření reálnost výstupů numerckého řešení. Zednodušené metody spočívaí především v použtí zednodušeného výpočetního modelu. Zatímco obecné metody pracuí s konstrukcí ako celkem a vyžaduí tedy složté (prostorové) modely náročné na numercký aparát čas př použtí zednodušených metod většnou konstrukc rozdělíme na několk konstrukčních částí které se v celé konstrukc pravdelně opakuí (obr. ). Tato opakovatelnost e podstatou celého návrhu neboť výsledky získané z konstrukčního výseku lze ednoduše aplkovat na ostatní část konstrukce. Řešení na konstrukčním segmentu bývá značně ednodušší rychleší přčemž získané výsledky sou př respektování stých pravdel a omezení srovnatelné s náročným obecným metodam. Z toho důvodu nacházeí zednodušené metody uplatnění v dnešní době kdy e v navrhování běžné používání výpočetní technky. Obr. Proces zednodušování výpočetního modelu - -

13 Proekt FRVŠ 905/0/G Obecně e možné slové a přetvárné účnky zatížení deskových konstrukcí určt akoukol metodou založenou na podmínkách rovnováhy a spotost přetvoření respektuící skutečné podmínky podepření konstrukce. S přhlédnutím k posuzovanému meznímu stavu lze použít zeména metod založených na následuících teorích : teore lneární pružnost založena na Hookově zákonu možnost použtí pro výpočet MSÚ MSP teore lneární pružnost s možnou redstrbucí vntřních sl možná redstrbuce pružně stanovených ohybových momentů od svslého zatížení až o 5% momentů od rovnoměrné změny teploty a smršťování až o 5% nemožná redstrbuce momentů od vodorovného a mmořádného zatížení a nemožná redstrbuce u konstrukcí namáhaných na únavu možnost použtí pro výpočet MSÚ MSP teore nelneární pružnost po překročení meze úměrnost přestává platt Hookův zákon možnost použtí pro výpočet MSÚ MSP teore plastcty (mezní plastcké rovnováhy) nutnost přhlížet k přetvárným možnostem ednotlvých průřezů možnost použtí pouze pro výpočet MSÚ bezpodmínečně nutná kontrola MSP teore fyzkální nelnearty nelneární závslost mez ohybovým (resp. kroutícím) momentem a křvostí ohybové čáry (resp. zkroucením) účnky příčných a osových sl u železobetonových prvků možné zanedbat nelneární závslost mez ohybovým momentem a křvostí ohybové čáry možné nahradt trlneární závslostí - nutné přhlížet k přetvárným vlastnostem konstrukce po vznku trhlny a velkost maxmálních nepružných přetvoření která sou ednotlvé průřezy schopny přenést Zednodušené (přblžné) výpočetní metody lze použít pouze u deskových konstrukcí ež splňuí následuící krtéra : pravoúhelníková desková pole s poměrem rozpětí pole max. : zatížení pouze statcká (ne dynamcká a únavová) požadavky na poměrnou tuhost případných obvodových ztužuících trámů α α l α l 0 < α l kde sou součntele spolupůsobení ztužuících trámů s deskou podle článku 8..6 normy ČSN 73 0 ve směrech a l sou rozpětí pravoúhelníkového deskového pole ve směrech a deska musí být ztužená ztužuícím prvky (ádro stěny) prot účnkům vodorovného zatížení (vítr) sloupy budou přenášet pouze účnky svslého zatížení Z hledska ohybového namáhání používá praxe přblžné metody řešení - metodu součtových momentů (vz kaptola 3.) a metodu náhradních rámů (vz kaptola 3.3). Obě metody vedou ke stanovení celkových podporových a mezpodporových momentů které sou následně rozděleny podle určtých zásad do ednotlvých vyšetřovacích pruhů

14 Proekt FRVŠ 905/0/G 3. Metoda součtových momentů Metoda součtových momentů e ednou z používaných přblžných metod výpočtu desek působících ve dvou směrech a steně ako ostatní metody e založena na prncpu vymutí deskového segmentu z konstrukce. V tomto případě se edná o pás desky příslušeící edné řadě sloupů který v lnovém poetí představue spotý nosník. Tento spotý nosník e dále rozdělen na dílčí segmenty (každý dílčí segment představue edno deskové pole) které sou následně řešeny nezávsle na sobě (obr. ). Použtím metody součtových momentů vyloučíme z výpočtu svslé nosné konstrukce a automatcky předpokládáme že tyto přeberou rozdíly v napatost koncových průřezů sousedních segmentů. Obr. Model konstrukce pro metodu součtových momentů Kromě ž uvedených podmínek pro zednodušené metody musí být pro použtí metody součtových momentů splněny následuící doplňuící podmínky : desková konstrukce e v celém rozsahu železobetonová event. s ocelovým nebo předpatým hlavcem v obou hlavních směrech sou alespoň 3 desková pole rozpětí následných deskových polí se nelší o více než /3 kratšího rozpětí sloupy nesou vychýleny z modulových os více než 0% daného rozpětí konstrukce e zatížená pouze svslým zatížením rovnoměrně rozděleným po celém deskovém pol užtné zatížení qk g k tloušťka desky hs h s lm kde h slm e vymezuící tloušťka desky daná vztahem 3.. z normy ČSN slové účnky zatížení stanovené metodou součtových momentů nelze dále upravovat (např. redstrbucí) konstrukce se vyšetřue ve dvou vzáemně se kolmo křžuících sloupových směrech Metoda součtových momentů představue výpočetně neednodušší varantu přblžných metod. Zednodušené výpočtové modely a dealzace používané v průběhu eího výpočtu spolu s uvedeným omezuícím podmínkam předurčuí tuto metodu spíše k výpočtům pravdelných skeletů bez komplkovaněších konstrukčních detalů. POZN : Aby nemohlo doít k nedopatření záměnou ndexů budeme nadále označovat rozměry a statcké velčny ve směru který statcky vyšetřueme (t. ve směru navrhované výztuže) ndexem v příčném směru ndexem. Každý směr řešíme odděleně avšak podle stených zásad

15 Proekt FRVŠ 905/0/G 3.. Postup výpočtu metodou součtových momentů Postup výpočtu metodou součtových momentů lze rozdělt do následuících kroků :. provedení výseku konstrukce : Konstrukc e nutné rozdělt v obou hlavních směrech na ednotlvé pásy příslušeící vždy edné řadě sloupů. Šířka pásu obvykle odpovídá vzdálenost os polí ležících po stranách sponce podpor vyšetřované řady sloupů (obr. 3). Každý pás se následně vyšetřue samostatně. Obr. 3 Výsek konstrukce pro výpočet metodou součtových momentů. výpočet celkového součtového momentu : Celkový součtový moment na konkrétním dílčím segmentu odpovídá součtu max. momentu v pol a průměru momentů v přlehlých podporách (obr. 4). Hodnotu takového momentu lze stanovt ednoduše ako hodnotu maxmálního momentu na prostém nosníku. V případě spotého rovnoměrného zatížení ční tato hodnota : M tot g d q d b L n ( g d qd ) b L n [ kn m] = 8 kde e součet návrhových hodnot všech plošných rovnoměrných stálých zatížení desky e součet návrhových hodnot všech plošných rovnoměrných proměnných zatížení desky e šířka vyšetřovaného pásu desky e světlá vzdálenost podpor ve vyšetřovaném směru Obr. 3 Stanovení hodnoty celkového součtového momentu - 5 -

16 Proekt FRVŠ 905/0/G Tento výpočet provádíme zvlášť pro každý dílčí segment řešeného sloupového pásu (obr. 5). Obr. 5 Výpočet celkových součtových momentů na ednotlvých dílčích segmentech 3. rozdělení celkového součtového momentu na momenty v podporách a v pol : Na základě okraových geometrckých podmínek (dealzovaný způsob podepření) e nutné celkové součtové momenty ednotlvých dílčích segmentů rozdělt na momenty v podporách (celkové záporné momenty) a moment v pol (celkové kladné momenty). Rozdělování ve vntřním pol probíhá podle následuících pravdel : celkový záporný moment : M h = 0 65 M tot celkový kladný moment : M d = 0 35 M tot Rozdělování v kraním pol se provádí pomocí součntelů γ : M h d = γ součntel pro ednotlvé případy se určí podle následuící tabulky (tab. ) M tot Hodnoty γ pro kraní pole deskového pásu pokud okra desky prostě uložen deska má ztužuící trámy ve všech sloupových pruzích deska nemá vntřní ztužuící trámy bez okraového ztužuícího trámu s okraovým ztužuícím trámem okra desky e vetknut Celkový záporný moment u kraní podpory Celkový kladný moment v kraním pol Celkový záporný moment u první vntřní podpory Tab. Hodnoty součntele γ pro kraní deskové pole Pokud e deskový pás vyložen ve směru určovaných momentů před kraní podporu (moment na konzole M c ) pak e nutné celkový záporný moment z vntřní strany kraní podpory určt nterpolací následovně : př M c = 0 65 M tot lze kraní podporu považovat za vntřní M h = 0 65 M tot př M = 0 se moment určí pomocí součntele γ uvedeného v tabulce c pro mezlehlé hodnoty M c e nutné nterpolovat (lneálrní nterpolace) př M c > 0 65 M tot e nutné použít metodu náhradních rámů (vz kaptola 3.3) - 6 -

17 Proekt FRVŠ 905/0/G Jestlže e součet všech plošných stálých zatížení g d menší než dvonásobek součtu všech plošných proměnných zatížení q d a platí že K c α α c = pak c mn ( K K ) se celkový kladný moment v pol musí vynásobt zvětšovacím součntelem δ : g d q d α = c δ g d α cmn 4 qd kde K c e součet ohybových prutových tuhostí lokálních podporuících prvků nad deskou a pod deskou ( K s K b ) e součet ohybových prutových tuhostí desek šířky b a ztužuících trámů ve směru vyšetřovaných ohybových momentů α e součntel daný následuící tabulkou (tab. 3) cmn d qd Hodnoty α pro α = ( E I )/( E I ) g / c mn bb b bs s L / L až POZN: Jestlže má souč. α rozdílnou hodnotu pro dvě desková pole přlehlé ke sloupu uvažue se průměrnou hodnotou. s b Tab. 3 Hodnoty součntele α c mn 4. rozdělení momentů v příčném směru do sloupového a středních pruhů 5. přepočet momentů na běžný metr šířky desky 6. dmenzování Body 4-6 budou popsány v kaptole 3.4 společně pro metodu součtových momentů a metodu náhradních rámů

18 Proekt FRVŠ 905/0/G 3.3 Metoda náhradních rámů U konstrukcí kde e deska spoena s podporuícím prvky tak že toto spoení e schopno přenášet ohybové momenty se metodou náhradních rámů vyšetřuí kraní a střední náhradní rámy probíhaící ve směrech sloupových řad a tvořící dva vzáemně se kolmo křížící systémy náhradních rámů. Jestlže spoení desky s podporuícím prvky není zaštěno vyšetřuí se namísto náhradních rámů náhradní spoté nosníky. Každý náhradní rám se vyšetřue ako celek (po celé výšce obektu). Je-l však náhradní rám zatížen pouze svslým zatížením (vodorovné zatížení přenáší ztužuící systém obektu) lze vyšetřovat odděleně každé podlaží v rámovém výseku. V takovém případě e rámový výsek tvořen deskovou příčlí a přlehlým podporuícím prvky nad a pod deskovou příčlí dokonale vetknutým v úrovních sousedních podlaží (obr. 6). Obr. 6 Možnost zednodušení výpočetního modelu Metoda náhradních rámů umožňue zavedení vlvu střídavého proměnného zatížení (šachovncové uspořádání užtného zatížení) čímž se přblžue více reálnému chování konstrukce (obr. 7). Obr. 7 Symetrcká a nesymetrcká kombnace zatěžovacích stavů Př vyšetřování průběhu vntřních sl na náhradním rámu e nutné respektovat vlv proměnné hodnoty momentů setrvačnost deskové příčle a podporuících prvků po své délce a také vlv přpoených kroucených prvků (vz ČSN 73 0 kaptola 8.7). Za kroucené prvky v tomto smyslu lze považovat prvky přpoené k podporuícím prvkům v rovně stropní konstrukce kolmo ke směru vyšetřovaných ohybových momentů a zasahuící až ke středncím pásů deskových polí přlehlých ke sponc podpor (obr. 8). Desková konstrukce namáhá tyto prvky kroucením

19 Proekt FRVŠ 905/0/G Obr. 8 Kroucený prvek Př řešení náhradního rámu na účnky svslého zatížení e možné užít koncepce náhradního sloupu spouícího tuhost podporuícího prvku a kroucených prvků ve složeném prvku. Náhradní sloup e tedy tvořen lokálním podporuícím prvky nad a pod deskovou příčlí a k nm přpoeným krouceným prvky ležícím v rovně deskové příčle kolmo k rovně vyšetřovaných momentů. Poddanost náhradního sloupu e rovna součtu poddaností lokálních podporuících prvků : K t K c = resp. K ec = kde K K K K K ec c t K ec e ohybová tuhost náhradního sloupu K e součet tuhostí kroucených prutů přpoených ke sloupu kolmo ke směru t K c vyšetřovaných momentů e součet ohybových prutových tuhostí lokálních podporuících prvků (nad a pod deskovou příčlí) t c Metoda náhradních rámů se používá především pro přblžný výpočet pravdelných konstrukcí ež nesplňuí doplňuící požadavky pro méně pracnou metodu součtových momentů. Na rozdíl od metody součtových momentů zohledňue tuhost ednotlvých podpůrných prvků (sloupy přléhaící ke spodnímu a hornímu líc stropní desky). Př nedostatečném vodorovném ztužení obektu a použtí patrového rámového výseku však může docházet vlvem chybně předepsaných okraových podmínek sloupů k nepřesnostem ve výpočtu. Vetknutím konců sloupů e bráněno reálným vodorovným patrovým posunům (posunům stropních rovn přlehlých podlaží) což se proevue značným podceněním ohybových momentů v kraních sloupech a tím v kraních polích desky

20 Proekt FRVŠ 905/0/G 3.3. Postup výpočtu metodou náhradních rámů Postup výpočtu metodou náhradních rámů lze rozdělt do následuících kroků :. provedení výseku konstrukce : Konstrukc rozdělíme v příčném podélném směru po celé výšce obektu na ednotlvé sloupové pásy a vymeme z ní rámový výsek. V případě dostatečného vodorovného ztužení konstrukce se můžeme omezt na rámový výsek v rozmezí dvou podlaží (patrový rámový výsek) doplněný okraovým podmínkam svslých podpor na volných koncích (obr. 9). Každý rám se následně vyšetřue samostatně. Obr. 9 Výsek konstrukce pro výpočet metodou náhradních rámů. výpočet průběhu momentů na rámové konstrukc : Statcky neurčtý rám lze řešt ručním metodam (deformační metoda slová metoda) nebo pomocí statckých výpočetních programů založených na metodě konečných prvků (podrobně vz kaptola 4.4). Na rozdíl od metody součtových momentů popsané v předchozí kaptole získáváme přímo rozdělení momentů nad podporam a v pol. Vypočtené momenty se vztahuí na celou šířku uvažovaného rámového výseku (šířka b). Obr. 0 Rozdělení ohybových momentů na rámové konstrukc 3. rozdělení momentů v příčném směru do sloupového a středních pruhů 4. přepočet momentů na běžný metr šířky desky 5. dmenzování Body 3-5 budou popsány v kaptole 3.4 společně pro metodu součtových momentů a metodu náhradních rámů

21 Proekt FRVŠ 905/0/G 3.4 Rozdělení momentů v příčném směru Celkové záporné a kladné momenty zštěné metodou součtových momentů nebo metodou náhradních rámů e nutné v dalším kroku rozdělt v příčném směru úměrně tuhostem ednotlvých část deskové konstrukce. Jak ž bylo uvedeno v kaptole. část desky ležící v okolí sponc sloupů maí větší ohybovou tuhost než zbývaící část konstrukce. Z toho důvodu rozdělueme desku na sloupové a střední pruhy. Norma ČSN 73 0 uvádí že př použtí přblžných metod výpočtu má mít sloupový pruh po každé straně sponce lokálních podpor šířku rovnou /4 kratšího rozpětí přlehlého deskového pole (obr. ). Střední pruh e pak část desky mez dvěma sloupovým pruhy (doplněk sloupového pruhu do celé šířky vyšetřovaného pásu). Případný ztužuící trám spadá do oblast sloupového pruhu. Obr. Šířky sloupových a středních pruhů Jelkož sloupový pruh vykazue větší ohybovou tuhost bude přenášet větší část z celkových záporných a kladných momentů. Tuhost pruhů e však po vyšetřované délce proměnná a proto bude v závslost na poloze v konstrukc proměnný poměr rozdělování momentů. Norma ČSN 73 0 uvádí že na sloupový pruh přpadá ω-násobek příslušných celkových záporných popř. kladných momentů zštěných metodou součtových momentů nebo metodou náhradních rámů nebol : M sloup M h d = ω ( ) d M stř M h = ω Součntele ω sou sestaveny tak aby odpovídaly reálnému rozložení momentů napříč zkoumaným pásem. Jech hodnoty sou uvedeny v následuící tabulce (tab. 4). - -

22 Proekt FRVŠ 905/0/G ω pro L / L Moment Průřez α L / L β t = α L / L = 0 v kraní β t podpoře β t = Záporný α L / L 0 β Kladný t ve střední α L / L = podpoře α L L v pol / L / L = L / L α α POZN: Pro mezlehlé hodnoty se nterpolue podle přímky Tab. 4 Hodnoty součntele omega udávaící poměrné část celkových záporných a kladných momentů přpadaících na sloupový pruh V tabulce 4 sou uvedeny součntele α a β t. Součntel α představue součntel ztužení a charakterzue spolupůsobení případného ztužuícího trámu (rovnoběžný s vyšetřovaným směrem) s deskou. U desek bez ztužuících trámů e α = 0 u desek se ztužuícím trámem se vypočte podle vztahu : E cb E cs I b = E cb b α kde E cs I I s e modul pružnost betonu ztužuícího trámu e modul pružnost betonu desky e moment setrvačnost účnného průřezu ztužuícího trámu I s e moment setrvačnost desky o šířce rovné šířce řešeného pruhu (šířka b) Součntel β t představue součntel kroucení a vysthue možnost zkroucení okraového prvku ve vyšetřovaném deskovém pol (okraový trám kolmý na vyšetřovaný směr). Součntel kroucení e dán vztahem : G cb E cs I t I s G = I cb t β t kde Ecs I s e smykový modul pružnost betonu okraového krouceného prvku e modul pružnost betonu desky e moment tuhost průřezu v kroucení okraového krouceného prvku e moment setrvačnost průřezu desky o šířce rovné rozpětí okraového krouceného prvku ležícího kolmo k rovně vyšetřovaných momentů - -

23 Proekt FRVŠ 905/0/G Pro stanovení hodnoty momentu setrvačnost průřezu v kroucení okraového krouceného prvku I t se vyšetřovaný průřez rozdělí na obdélníky tak aby hodnota I t byla nevětší. Moment setrvačnost v kroucení e dán vztahem : t a n I t n = = t t 063 a 3 a 3 kde e kratší strana -tého obdélníka ze kterého se průřez skládá e delší strana -tého obdélníka ze kterého se průřez skládá e počet obdélníků na který rozdělíme průřez krouceného prvku Názorná ukázka výpočtu I t vz Příkladová část této práce - Příklad a. dmenzování konzoly ve směru určovaných momentů : Jestlže e okra desky vykonzolován ve směru určovaných momentů přes kraní řadu podpor na vzdálenost L K 05 L a není opatřen ztužuící okraovou obrubou dmenzue se sloupový pruh konzoly na 00% celkového konzolového momentu a střední pruh : kde a) na ohybový moment 0 65 mk... v kraní řadě podpor není ztužuící trám b) na ohybový moment m K... kraní řada podpor e ztužena ztužuícím trámem m K e moment na konzole šířky m dmenzování kraního deskového pásu s konzolou ve směru kolmém k ose pásu : Celkové kladné a záporné momenty M hd kraního deskového pásu bez ztužuících trámů ztužuící obvodové obruby a s konzolou kolmou k ose vyšetřovaného pásu s vyložením L K 05 L (obr. ) se rozdělí na moment M ext přenášený částí kraního deskového pásu o šířce rovné vyložení konzoly a na moment M nt přenášený zbytkem kraního deskového pásu. Rozdělení se provádí podle následuících vztahů : M M ext nt M L = 4 b = M M ext K Obr. Kraní deskový pás - 3 -

24 Proekt FRVŠ 905/0/G Rozdělení momentu M ext po šířce L K závsí na poměru vyložení konzoly L K k šířce sloupového pruhu b sloup která e rovna polovně kratšího rozpětí deskového pole : LK a) estlže rozdělí se moment M ext po šířce L K rovnoměrně (obr. 3.a) b 3 b) estlže b sloup L K sloup > 3 přsoudí se sloupovému pruhu o šířce 0 5 bsloup část momentu ω M ext a zbývaící část momentu přenese zbytek pruhu (obr. 3.b) Obr. 3 Rozdělení celkových momentů do sloupových a středních pruhů u kraního deskového pásu s konzolou Moment M nt se rozdělí do sloupového a středního pruhu klascky podle součntelů ω uvedených v tab. 4. dmenzování desky v okolí nosné železobetonové stěny : Jsou-l podporuící prvky tvořeny sloupy nebo stěnam rozloženým po délce rovné nebo větší než 3/4 šířky desky b rozdělí se záporný moment ve směru kolmém na rovnu stěny rovnoměrně podél šířky b. Střední pruh pásu podélně podporovaného stěnou se dmenzue steně ako střední pruh pásu sousedního. dmenzování sloupového pruhu se ztužuícím trámem : U sloupového pruhu se ztužuícím trámem se předpokládá že v trámu působí : a) násobek momentů sloupového pruhu estlže α L / L b) 085 α L / L -násobek momentů sloupového pruhu estlže 0 α L / L < Zbytek momentů působí v desce sloupového pruhu která není součástí trámu. Kromě toho musí trámy přenést momenty vyvolané ech přímým zatížením (vlastní tíha tíha příček přímo podporovaných trámy apod.) Takto spočtené a rozdělené momenty e vhodné eště přepočítat na m šířky pruhu a můžeme přstoupt k ohybovému dmenzování desky. m = sloup M b sloup sloup M m stř = b stř stř - 4 -

25 Proekt FRVŠ 905/0/G 4 OBECNÉ METODY VÝPOČTU LOKÁLNĚ PODEPŘENÝCH DESEK V případě nepravdelných konstrukcí nebo složtých konstrukčních detalů ztráceí zednodušené metody výpočtu na výstžnost a sme nucen přstoupt k obecným metodám. Jech výpočetní aparát e mnohonásobně složtěší ale na druhou stranu pozbývaí omezení kterým se vyznačuí právě zednodušené metody. Podle složtost konstrukce e nutné volt nevhodněší výpočetní model. Vždy se snažíme volt ten neednodušší který však eště dává výstžné a obektvní výsledky až v kraním případě (nesložtěší konstrukce) bychom měl přstupovat k prostorovým modelům řešeným pomocí MKP. U každého zvoleného modelu vždy musíme vědět za aké stuace dává aké výsledky aká e míra eho výstžnost a ak moc se mohou výsledky lšt od přesného řešení. Jsou modely které se na první pohled vzhledem k množství zadávaných údaů zdaí být téměř dokonalé ale právě v tom e ukryto ech nebezpečí. S rostoucím množstvím vstupních parametrů roste rzko zanesení chyb do modelu které mohou zcela změnt charakter výsledků. Výsledky složtěších modelů sou také méně přehledné a e potřeba naučt se e správně analyzovat a nterpretovat aby bylo možné s nm dále pracovat. 4.. Patrové výseky prostorové modely Určtý přechod mez zednodušeným metodam a zcela obecnou metodou (MKP na modelu celé konstrukce) tvoří metoda patrových výseků. V tomto případě se ž edná o prostorový model (ve fnále steně řešený pomocí MKP) počet rovnc e však omezen na rozsah ednoho resp. dvou podlaží. Takový model e vhodný např. pro vícepodlažní obekty v nchž se ednotlvá podlaží z konstrukčního hledska opakuí. Model e pak tvořen vodorovnou nosnou konstrukcí (stropem) ve zkoumaném podlaží a svslým nosným konstrukcem nad a pod touto rovnou (obr. 4). Namísto napoení na další část konstrukce sou těmto svslým prvkům přděleny okraové podmínky na volných koncích. Obr. 4 Model patrového výseku a celého obektu Za účelem elmnace chyb vznklých předepsáním okraových podmínek svslých konstrukcí e možné řešt neprve střední patrový výsek s neznámým (ale ve všech výškových úrovních steným) natočením a tato natočení e možné následně aplkovat ako okraové podmínky na spodní patrový výsek kdy sloupy spodního podlaží sou ž vetknuty do základů

26 Proekt FRVŠ 905/0/G 4.. Teore desek a desková rovnce Deska představue konstrukční prvek rovnného charakteru který e zatížen ve směru kolmém na svou středncovou rovnu. Deskové konstrukce o nchž e v celé prác řeč představuí ve skutečnost tenké desky řídící se Krchhoffovou teorí desek. Průřez zůstává po deformac kolmý na střednc (středncovou rovnu) a vlv smykových sl na deformac lze zanedbat. Za tenkou desku vzdoruící ohybu lze považovat konstrukc pro níž platí : h l 8 5 kde h e tloušťka desky a l kratší ze zbývaících rozměrů Přesné řešení desek podle matematcké teore pružnost e velm složté proto př praktckých výpočtech zavádíme zednodušení : průřez desky zůstává po deformac kolmý na středncovou rovnu desky podélné vrstvy desky na sebe nepůsobí ( σ z = 0 ) poměrné přetvoření ve směru osy z e nulové ε z = 0 všechna napětí ve středncové rovně desky sou po eí deformac nulová σ σ = τ = 0 x = y xy průhyby desky w(xy) sou ve srovnání s eí tloušťkou h malé (max. /5 této tloušťky) půdorys desky se průhybem nemění (všechny body středncové rovny desky se posouvaí svsle dolů) Matematcký pops chování deskové konstrukce s dvousměrným roznášení zatížení e dán dferencální rovncí tzv. deskovou rovncí : w f 4 4 ( x y) w( x y) w( x y) f ( x y) 4 w = 4 4 x x x y D e průhyb desky e vněší zatížení desky D e desková tuhost daná vztahem : ( ν ) = kde D k k = E h 3 kde Jedná se o dferencální rovnc 4. řádu vycházeící z rovnost průhybů v lbovolném bodě. Rovnce e stená pro lbovolný typ desky ednotlvé druhy desek se pak lší v okraových podmínkách. Jednodušší okraové podmínky u křížem pnutých desek představue deska po obvodě podepřená naprot tomu deska lokálně podepřená sloupy e složtěší. I přes uvedená zednodušení e řešení dferencální rovnce 4. řádu velm náročné proto se častě přstupue k eímu převedení na rovnce ntegrální které e možné řešt numercky (např. MKP)

27 Proekt FRVŠ 905/0/G Metoda sítí Metoda sítí představue ednu z možných metod řešení tenkých deskových konstrukcí. Prmární neznámou v teor desek e průhyb w(xy) který získáme řešením deskové rovnce : ( ) ( ) D y x f y x w 4 = Prncpem metody sítí e dskrétní rozdělení konstrukce obdélníkovou sítí s rozměry ok x y (obr. 5) a převod deskové dferencální rovnce s neznámou w(xy) na systém lneárních algebrackých dferenčních rovnc pouze pro uzlové hodnoty tzv. redukovaného průhybu : w y x D = kde e hodnota redukovaného průhybu v ednotlvých uzlech sítě () [N] D e desková tuhost [N.m] x y sou rozměry oka sítě (u čtvercových ok dferenční krok a) [m] w e hodnota skutečného průhybu v ednotlvých uzlech sítě () [m] Obr 5 Schéma rozdělení konstrukce a zavedení dferenčních náhrad Pro každý uzlový bod () zvolené pravoúhelníkové sítě lze vyádřt dferenční náhrady příslušných dervací y x w y x w y w x w y x w y w x w y x w y w y w x w x w. Dosadíme-l tyto dervace do deskové rovnce dostaneme v dferenčních náhradách pro lbovolný uzel () zvolené sítě. Př čtvercové sít ( a y x = = ) má dferenční rovnce tvar : ( ) ( ) ( ) P 8 0 = kde P e hodnota uzlového zatížení [N] : F y x p P = kde p e hodnota plošného zatížení na konstrukc [N/m ] F e osamělé břemeno v uzlovém bodě [N]

28 Proekt FRVŠ 905/0/G Pro výpočet e nutné dferenční rovnc doplnt o okraové podmínky. Tyto podmínky závsí na způsobu podepření desky. Pro běžné výpočty postačí uvést tř základní : vetknutí kloubové podepření a volný okra (obr. 6). Obr. 6 Schéma zavedení okraových podmínek pro redukované průhyby ve vetknutí platí tyto okraové podmínky : = 0 = pro redukované průhyby v kloubovém podepření platí : = 0 = pro redukované průhyby na volném okra platí : m ( ) 0 x = 0 ν = q = 0 x ( ν ) ( ) = 0 Tímto způsobem sestavíme dferenční rovnce pro všechny uzlové body zvolené sítě v kterých e průhyb desky w(xy) neznámý. Získáme soustavu n lneární rovnc o n neznámých kterou lze řešt lbovolnou matematckou metodou (nečastě Gaussovou elmnace popř. terací). Př řešení konstrukce lze s výhodou využívat symetre čímž dochází ke snžování počtu rovnc neznámých

29 Proekt FRVŠ 905/0/G Na základě vypočtených uzlových průhybů lze následně pomocí geometrckých a konsttutvních rovnc stanovt uzlová napětí a vntřní síly. napětí : ( ) ( ) [ ] 3 = d x h ν σ ( ) ( ) [ ] d y h 3 = ν σ ( ) [ ] 3 3 = xy h ν τ ohybové momenty : ( ) ( ) [ ] = x m ν ( ) ( ) [ ] y m = ν ( ) [ ] 4 = xy m ν posouvaící síly : ( ) xz a v 4 4 = ( ) 4 4 = yz a v

30 Proekt FRVŠ 905/0/G 4.4. Metoda konečných prvků Metoda konečných prvků (MKP) představue v současnost nerozšířeněší metodu řešení stavebních konstrukcí. Teoretcké základy MKP byly položeny ve 40. letech 0. století první nženýrská aplkace metody konečných prvků se obevla v letectví v roce 950. Z počátku bylo používání MKP značně lmtováno dostupným výpočetním prostředky které neumožňovaly rozsáhleší numercké výpočty. Až razantní rozvo výpočetní technky v. polovně 0. století umožnl plné využtí předností této výpočetní metody. V současné době e MKP aplkována př většně vědecko-technckých problémů v oblast stavebnctví stroírenství voenství ale medcíny nebo meteorologe (obr. 7). Obr. 7 Příklady aplkace MKP Předností metody e numercký způsob řešení matematckých problémů. Obecný matematcký problém vyádřený soustavou dferencálních rovnc e v tomto případě převeden na soustavu algebrackých rovnc echž řešení e nepoměrně ednodušší. Prncp metody e založen na aproxmac funkce hledaných proměnných. Problém hledání spotých funkcí e převeden na problém hledání konečného počtu neznámých parametrů pomocí nchž hledané funkce aproxmueme. Tento postup se označue ako dskretzace spotého problému. Využívá se př něm algebrackých prostředků v konečném počtu kroků. Přes svou zdánlvou dokonalost má metoda konečných prvků svá úskalí. Numercké řešení obecného problému není nkdy (až na pár případů) zcela přesné přesnost závsí na vhodnost zvolené aproxmační funkce a především na hustotě sítě konečných prvků. Správné numercké řešení př zhušťování sítě konvergue k řešení přesnému (řešení spotého problému). Př nevhodné volbě velkost konečných prvků může docházet k výrazným odchylkám mez predkovaným a reálným chováním konstrukce a to zeména v místech skokových změn geometre (rohy desek místa prostupů č napoení podpor změny průřezů atd.) styku dvou rozdílných materálů nebo místech působení osamělých břemen. Kromě složtost a výstžnost výpočetních modelů které nemusí zcela vždy odpovídat reálné konstrukc se však obevue problém zcela "formálního" charakteru. Inženýř se začínaí "bezhlavě" spoléhat na výstupy výpočetních programů anž by znal prncpy na nchž tyto programy pracuí a nevěnuí pozornost ověřování výsledků pomocí alternatvních výpočetních metod. Důsledkem toho sou pak hrubé chyby ve výpočtech které vedou k poruchám konstrukcí. Proto se doporučue každý výpočet ať už e sebevíce složtý alespoň přblžně ověřovat nou třeba zednodušenou metodou která zastí alespoň řádovou správnost výsledků. U ednodušších konstrukcí tuto funkc může zastávat zkušený statk kterému numercký výpočet spíše en potvrzue a upřesňue odborný odhad

31 Proekt FRVŠ 905/0/G 4.4. Prncpy a postup řešení MKP Metoda konečných prvků e varanta Rtzovy varační metody energetckého řešení s tou výhodou že bázové funkce se nevolí pro systém ako celek ale pro ednotlvé konečné prvky. Je založena na Lagrangeově prncpu kdy těleso e v rovnováze estlže celková potencální energe deformace soustavy e mnmální. Ve stručnost lze metodu konečných prvků nterpretovat ako řešení konstrukce skládaící se z prvků spoených v uzlech kde sou shodné posuny eventuálně dervace posunů. Pro usnadnění výpočetního postupu se používaí souřadncové systémy (globální a lokální) někdy ako mezstupeň doplněny systémem planárním. Postup řešení metody konečných prvků e následuící :. stanovení typu úlohy Stanovení typu úlohy e rozhoduící pro určení potenconálních neznámých se kterým bude potřeba v ednotlvých uzlech operovat. Uzel prostorové konstrukce má obecně 6 neznámých (3 posuny a 3 natočení). Klasfkueme-l úlohu ako rovnnou (přesně řečeno rovnná napatost - typcká pro desky) snížíme počet neznámých v uzlu na polovnu - posun (ve směru kolmém na rovnu desky) a pootočení. Vektor uzlových deformací má v takovém případě tvar : T w w = x y = w; ; x y { r} { w; ϕ ; ϕ }. generování sítě konečných prvků T Konstrukc č řešenou oblast rozdělíme na podoblast t. prvky ednoduchých tvarů (pro rovnu většnou troúhelníky nebo obdélníky) pokud možno steného tvaru a konečných rozměrů které se stýkaí en ve vrcholech a celých hranách. Dělení nemusí být všude steně husté v místech kde očekáváme podstatnou změnu posunutí nebo napětí (např. v blízkost otvorů) volíme prvky menších rozměrů. Obr. 8 Rozdělení oblast na konečné prvky - 3 -

32 Proekt FRVŠ 905/0/G 3. volba nterpolačních (bázových) funkcí Neznámou funkc posunů vyádříme pomocí bázových funkcí. Bázové funkce volíme ednoduché (nečastě polynomy) nad každým prvkem samostatně. Pro běžné výpočty postačí bázová funkce lneární. w w ( x y n ) = α α x α y α x α x y... α y resp. ( x y) α α x α y = 3 Jednotlvé bázové funkce lze uspořádat do matce bázových funkcí [ N ]. 4. sestavení lokálních matc tuhost ednotlvých konečných prvků Pomocí ednotlvých dervací bázových funkcí a matce materálových konstant sestavíme pro každý konečný prvek lokální matc tuhost. m K B D e x T = B D B da kde x e geometrcká matce = matce dervací bázových funkcí [ B] = [ ] T [ N ] e matce materálových konstant konkrétního konečného prvku - pro zotropní homogenní lneárně pružný materál závsí pouze na konstantách E a ν E D = ν = ν 0 ν ν 5. sestavení globální matce tuhost Pomocí transformace do globálního souřadného systému a následnou lokalzací sestavíme z lokálních matc tuhost ednotlvých konečných prvků globální matc tuhost konstrukce. Jednotlvé parametry uzlových deformací sou označeny lokálním číslováním na každém prvku zvlášť a zároveň globálním číslováním na celé konstrukc. Sestavení konstrukce z prvků se pak provádí pomocí kódových čísel. K g T e [ T ] K [ T ] = kde [ T ] e transformační matce 6. sestavení vektoru zatížení a aplkace okraových podmínek Veškerá zatížení působící na desce (slová neslová) nahradíme bodovým zatížením v uzlech sítě konečných prvků - statcké (slové) okraové podmínky. V případě že sme tyto síly stanovl v lokálním souřadném systému provedeme ech transformac do systému globálního. Získáváme vektor ekvvalentních uzlových sl { F }. V místech předepsaných deformací a podepření konstrukce zavádíme knematcké (geometrcké) okraové podmínky

33 Proekt FRVŠ 905/0/G řešení soustavy rovnc Odvozením z Lagrangeova prncpu získáváme soustavu lneárních algebrackých rovnc s neznámým parametry uzlových deformací v uzlových bodech sítě : [ ] { } { } F r K = Soustavu lze řešt lbovolnou metodou matematcké analýzy. 8. výpočet vntřních sl Na základě spočtených hodnot uzlových deformací a ech zpětnou transformací do lokálních souřadnc sme schopn použtím zvolených bázových funkcí vyčíslt na ednotlvých konečných prvcích hodnoty přetvoření a v ntegračních bodech konečných prvků napětí a vntřní síly. vztah mez uzlovým posuny a poměrnou deformací konečných prvků e dán geometrckým rovncem : { } { } r = T ε kde { } ε e vektor poměrných deformací konečného prvku. Pro desku tedy platí : { } = = y x w y w x w z xy y x τ ε ε ε vztah mez poměrným přetvořením a napětím e dán fyzkálním (konsttutvním) rovncem : { } [ ] { } { } ( ) ε 0 ε σ = D kde { } 0 ε e vektor počátečních deformací. Pro desku tedy platí : { } = = xy xy y y x x xy y x E τ τ ε ε ε ε ν ν ν ν τ σ σ σ ohybové momenty na desce lze vyčíslt ze vztahu : { } [ ] { } { } ( ) = = / / 0 h h xy y x D z m m m m ε ε

34 Proekt FRVŠ 905/0/G 4.4. Praktcký postup a vyhodnocení výsledků MKP Postup řešení metody konečných prvků uvedený v předchozí kaptole určue pouze matematcký aparát který se k eí aplkac používá. Př praktckých návrzích většnou není možné (an účelné) provádět výpočet pomocí MKP ručně a proto se přstupue k použtí některého z dostupných statckých výpočetních programů založených právě na MKP. Tyto programy obsahuí kromě ž zmíněného výpočetního aparátu MKP také grafcká rozhraní ež umožňuí ednoduché vytvoření výpočetního modelu a následné zobrazení početních výstupů. Aplkueme-l výpočet MKP na lokálně podepřenou desku narazíme na několk drobných komplkací se kterým s ale naštěstí výpočetní software většnou dokáže poradt. Především sou to místa tzv. dskontnut (místa ostrých lomů konstrukce rohy a působště osamělých břemen) ve kterých se proevue sngularta řešení a metoda konečných prvků predkue extrémně vysoké hodnoty napětí které neodpovídaí skutečnost. Tyto hodnoty navíc rostou se zemňováním sítě konečných prvků v okolí zkoumaného bodu k nekonečnu. Takové extrémy e nutné z řešení elmnovat nak dochází v závslost na emnost sítě k násobnému předmenzování konstrukce. Většna dnešních výpočetních programů e schopna tento problém řešt redstrbucí lokálních špček na větší plochu nebo lze ednoduše omezt rozpětí zobrazovaných velčn a místa lokálních extrémů vzhledem k ech malé ploše výskytu zanedbat. Ve chvíl kdy vyřešíme problémy tohoto charakteru lze výsledky výpočtu považovat za vypovídaící. Celý postup řešení lokálně podepřené desky pomocí MKP má následuící schéma postupu :. sestavení modelu konstrukce a eho modelace v grafckém prostředí výpočetního programu Pokud není nutné vyšetřovat konstrukc ako celek (např. v případě po výšce značně nepravdelné konstrukce) přstupueme k sestavení dílčího modelu který představue část vymutou z konstrukce. Jako vhodný model se eví např. patrový výsek konstrukce ehož svslé podpory sou vetknuty v rovně okolních podlaží. Obr. 9 Výpočetní model konstrukce. numercký výpočet MKP Výpočetní software většnou nabízí řadu varant a možností výpočtu od lneárního statckého výpočtu přes geometrcky a materálově nelneární dynamcký a stabltní výpočet a

35 Proekt FRVŠ 905/0/G Obr. 30 Výstup výpočtu MKP 3. rozdělení konstrukce na vyšetřovací pruhy Vyšetřovací pruhy představuí dílčí segmenty konstrukce na nchž budou ednotlvé hledané velčny vyšetřovány. Většnou e tvoří průměrovací pásy po echž šířce e daná velčna rozdělena rovnoměrně. Vyšetřovací pásy představuí analog se sloupovým a středním pruhy používaným ve zednodušených výpočetních metodách (kap. 3.4). 4. redstrbuce momentů v příčném směru Za účelem vyvarování se ostrým lokálním extrémům vntřních sl (např. deskových ohybových momentů nad lokálním podporam) se provádí redstrbuce vntřních sl po šířce vyšetřovacích pruhů. Hledaná velčna e pak charakterzovaná hodnotou která e po šířce vyšetřovaného pruhu konstantní a umožňue rovnoměrné rozložení výztuže po šířce pruhu. 5. dmenzování Obr. 3 Ohybové momenty redstrbuované v příčném směru Dmenzování se provádí klasckým způsobem na příčně redstrbuované vntřní síly. Vyztužení lze provádět klasckou vázanou výztuží nebo v podobě výztužných sítí. Podmínky pro vyztužování ohybovou výztuží eí kotvení a stykování sou obdobné ako v ných případech

36 Proekt FRVŠ 905/0/G LITERATURA Normy [] ČSN EN 990: Zásady navrhování konstrukcí ČSNI 03/004 [] ČSN EN 99--: Zatížení konstrukcí - Obecná zatížení - Část - : Obemové tíhy vlastní tíha a užtná zatížení budov ČSNI 03/004 [3] ČSN EN 99--: Navrhování betonových konstrukcí - Obecně - Část - : Obecná pravdla pro pozemní a nženýrské stavby ČSNI 7/007 [4] ČSN 73 0: Navrhování betonových konstrukcí pozemních staveb ÚNMZ Praha 00 [5] ČSN 73 04: Navrhování betonových deskových konstrukcí působících ve dvou směrech ÚNM Praha 986 Publkace [6] Procházka J. a kol.: Navrhování betonových konstrukcí - Prvky z prostého a železového betonu ČBS ČSSI a ČBS Servs s.r.o. Praha 006. ISBN [7] Baťa M. Čulík J. Kufner V.: Teore pružnost a plastcty v příkladech -. díl Edční středsko ČVUT Praha 98 [8] Végh L. Krátký J. Procházka J.: Betonové konstrukce - část B Edční středsko ČVUT Praha 983 [9] Nlson A.H. Darwn D. Dolan Ch..: Desgn of Concrete Structures McGraw-Hll Companes Inc. New York 009. ISBN [0] Blčík J. Fllo L'. Benko V. Halvonk J.: Betónové konštrukce. Navrhovane podl'a STN EN 99-- Vydavateľstvo STU v Bratslave Bratslava 008. ISBN [] Procházka J. Šmekal J. Vítek J.L. Vašková J.: Navrhování betonových konstrukcí příručka k ČSN EN 99-- a Informační centrum ČKAIT s.r.o Praha 00. ISBN [] Konvalnka P. a kol.: Analýza stavebních konstrukcí. Příklady Praha 009 [3] Drbohlavová L. Hanzlová H.: Betonové a zděné konstrukce v archtektuře Komentované příklady Nakladatelství ČVUT Praha 0 ISBN [4] Tpka M.: Bakalářská práce - Konstrukční řešení vylehčených betonových stropních konstrukcí Praha 008 [5] Tpka M.: Dplomová práce - Admnstratvní budova v Jhlavě Praha

37 Proekt FRVŠ 905/0/G P Ř Í K L A D O V Á Č Á S T UKÁZKY ŘEŠENÍ SROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ

38 Proekt FRVŠ 905/0/G Použtí zednodušených metod výpočtu e výhodné pro ednoduché konstrukce bez komplkovaněších detalů ech řešení e rychlé a bezpečné. Možnost použtí takových metod sou však lmtovány omezuícím podmínkam. Pokud tyto podmínky nesou splněny nezbývá než přstoupt k použtí něaké z metod obecněších. Následuící část e zaměřena na obasnění řešení lokálně podepřených železobetonových konstrukcí metodou součtových momentů a srovnání eích výsledků s výsledky numerckého řešení metodou konečných prvků. Záměrně sou voleny případy kdy nesou splněny omezuící podmínky pro použtí zednodušených metod aby bylo možné posoudt výstžnost modelů a vyvodt závěry plynoucí z nesplnění daných podmínek. Za tímto účelem byla sestavena sada příkladů na které e výše uvedené demonstrováno. První příklad byl vytvořen ako ukázkové řešení lokálně podepřené železobetonové konstrukce metodou součtových momentů. Řešení začíná předběžným návrhem rozměrů nosných prvků konstrukce s nutným předběžným posouzením. Následue vlastní řešení výše uvedenou zednodušenou metodou a výpočet e zakončen dmenzováním rozhoduících částí konstrukce. Pro přehlednost výpočtu e řešen pouze eden podélný a eden příčný sloupový pás na kterých e obasněna metodka výpočtu. Díky číselnému vyádření má čtenář možnost kromě obecného postupu získat představu o kvanttatvní stránce výpočtu. Druhý příklad představue srovnávací stud řešení obecné lokálně podepřené konstrukce metodou součtových momentů a metodou konečných prvků. Jako předmět řešení byla vybrána zdánlvě ednoduchá konstrukce plné železobetonové lokálně podepřené desky bez lokálních prostupů a oslabení splňuící veškera omezení pro použtí obou výpočetních metod přesto však taková která umožní odhalt rozdíly v řešení a upozorní na problematcká místa konstrukce právě z hledska ohybového namáhání. Příklady č. 3-6 se zabývaí případy konstrukcí které nesplňuí podmínky pro použtí zednodušených metod výpočtu - konkrétně metody součtových momentů. Přesto e ech návrh touto metodou proveden a pomocí numercké metody konečných prvků následně korgován. Tyto stude maí za cíl odhalt důsledky nesplnění předpokladů pro použtí zednodušených metod z hledska ohybového namáhání. Na základě vyvozených závěrů e pak možné uzpůsobt postup výpočtu zednodušenou metodou pro následné analogcké případy

39 Proekt FRVŠ 905/0/G Příklad č. : Lokálně podepřená železobetonová deska - ukázka řešení metodou součtových momentů Železobetonový monoltcký bezprůvlakový skelet daného půdorysu (stěnový průvlak en v kraní řadě A) o n podlažích (k.v. podlaží h) e ve střední část ztužen ádrem a stěnam které přenášeí vodorovné zatížení. Stanovte předběžné rozměry nosných prvků a metodou součtových momentů proveďte návrh a posouzení podélné výztuže v pruzích C a 3. a = 5 m = 4 b = 60 m h 30 m c = 54 m BETON : C 5/30 d = 57 m OCEL : B 500 B k = 0 m 0 = 55 / patro k m n ( g g ) kn g g 0 = 55 kn / strecha k m = ( ) q q patro k = 0 kn / 5 m strecha k = 75 kn / 0 m Postup řešení :. předběžný návrh rozměrů nosných prvků : tloušťka stropní desky - na základě splnění podmínky ohybové štíhlost desky předběžné posouzení stropní desky na protlačení rozměry sloupu - na základě únosnost př centrckém zatížení rozměry okraového žebra. výpočet zatížení 3. volba výseku konstrukce - pás desky od osy pole k ose pole 4. výpočet součtového momentu - na řešeném pásu (výsek konstrukce) M tot = ( g q) d b L n 8 5. rozdělení součtových momentů na momenty v podporách a momenty v pol M = γ M h d 6. výpočet pomocných součntelů : tot součntel ztužení α - v případě vntřního ztužuícího trámu Ebb I b α = E I bs s

40 Proekt FRVŠ 905/0/G součntel kroucení β t - v případě příčného okraového ztužuícího trámu Gbb I t β t = E I bs s součntel navýšení momentů v pol δ - v případě velkého proměnného zatížení g d q d α = c δ g d α cmn 4 q d 7. rozdělení momentů do sloupových a středních pruhů M = ω M M sloup h d = ω stř ( ) h d M 8. přepočet momentů na běžný metr šířky desky M sloup M stř m sloup = m stř = b b 9. dmenzování - návrh ohybové výztuže m ξ = 0 max 45 Rd m Ed ξ s mn s a a Skca výkresu ohybové výztuže : Podrobné řešení vz :

41 Proekt FRVŠ 905/0/G Příklad č. : Obecná lokálně podepřená železobetonová stropní konstrukce Je dán železobetonový monoltcký skelet (vz schéma konstrukce). Sousední desková pole sou zatížena rozdílným užtným zatížením. Metodou součtových momentů e proveden návrh a posouzení stropní desky z hledska ohybového namáhání. Výpočet e následně porovnán s numerckým řešením pomocí metody konečných prvků. konstrukční výška stropu : krytí ohybové výztuže : BETON : C 5/30 OCEL : B 500 B h d 40 mm 0 0 / 30 kn / m m = ostatní stálé zatížení : ( g g ) = kn k c = 5 mm užtné zatížení : q k = q k = 5 kn m 0 / Postup řešení metodou součtových momentů :. výpočet zatížení. výpočet součtového momentu - na řešeném pásu (výsek konstrukce) M tot = ( g q) d b L n 8 3. rozdělení součtových momentů na momenty v podporách a momenty v pol M = γ M h d 4. výpočet pomocných součntelů : tot součntel ztužení α : součntel kroucení β t : α = E E bb bs G β t = E I I bb bs b s I I t s součntel navýšení momentů v pol δ byl v tomto případě zanedbán - vlv střídavého zatížení pro účel stude e zohledněn ž v zadání - 4 -

42 Proekt FRVŠ 905/0/G 5. rozdělení momentů do sloupových a středních pruhů M = ω M M sloup h d = ω stř ( ) h d M 6. přepočet momentů na běžný metr šířky desky M sloup M stř m sloup = m stř = b b 7. dmenzování - návrh ohybové výztuže m ξ = 0 max 45 Rd m Ed ξ s mn s Postup řešení metodou konečných prvků : a. sestavení modelu konstrukce a eho modelace v programovém prostředí - ako vhodný model se eví patrový výsek konstrukce ehož svslé podpory sou vetknuty v rovně okolních podlaží a. numercký počítačový výpočet - v tomto případě postačí lneární výpočet 3. rozdělení konstrukce na vyšetřovací pruhy - průměrovací pásy 4. redstrbuce momentů po šířce průměrovacích pásů 5. dmenzování - 4 -

43 Proekt FRVŠ 905/0/G Vyhodnocení : Př srovnání výsledků obou metod byla vytpována krtcká místa konstrukce a v nch analyzovány odchylky řešení : volný okra : MSM nadhodnocue momenty ve sloupových pruzích kolmých k volnému okra desky a podceňue momenty v pruzích středních. Predkce nulového momentu na konc středního pruhu e metodou konečných prvků zpochybněna. Část desky mez kraním sloupy (představuící volný okra desky) vykazue určtou torzní tuhost čímž zde vznkaí záporné ohybové momenty kolmé na volný okra. Jech hodnota však není přílš velká pro ech zachycení postačí konstrukční vyztužení desky. Momenty rovnoběžné s volným okraem sou u obou metod přblžně stené a nevyvolávaí výrazněší rozdíly v dmenzování. konzola : MSM predkue větší momenty na vntřní hraně kraní řady podpor opatřených vyložením ve srovnání s MKP a naopak menší momenty ve středních pruzích prvního vntřního pole. Momenty na vykonzolované část desky kolmé na směr vykonzolování sou u obou metod řádově stené

44 Proekt FRVŠ 905/0/G okraová ŽB stěna : MKP odhalue že momenty v místě vetknutí stropní desky do stěny sou př pružném řešení téměř menší než př řešení MSM. Následkem toho se naopak zvětšuí momenty v pol. V kraním sloupovém pruhu rovnoběžném se stěnou vznkaí př MKP u konců stěny nezanedbatelné momenty které sou důsledkem napatost sousedního pole. Tyto momenty směrem ke středu stěny klesaí k nule. Naopak střední pruh kraního pásu rovnoběžný s okraovou stěnou e př MSM z hledska ohybového dmenzování značně nadhodnocen. kraní průvlak : Ve směru kolmém na okraový průvlak nadhodnocue MSM momenty ve sloupových pruzích a podceňue momenty v pruzích středních. Ve směru rovnoběžném s osou průvlaku MKP sgnalzue že průvlak přenáší více než 85% momentů přlehlého sloupového pruhu ak uvádí metoda součtových momentů. vntřní sloup : I př redstrbuc momentů po šířce pruhu vychází př MKP ve sloupových pruzích přléhaících vntřním sloupům větší podporové momenty a tím dmenze. Důvodem e fakt že metoda součtových momentů uvažue moment v rovně líce sloupu v celé šířce pruhu zatímco MKP zohledňue momenty v okolí sloupu v rovně procházeící sponcí sloupů. Popsané odchylky v predkc chování plynoucí z obou metod vedou k drobným odlšnostem ve vyztužení konstrukce. Spolehlvost konstrukce tím však není přílš ovlvněna neboť rozdíly v rozmístění výztuže sou kompenzovány v rámc redstrbuce vntřních sl po konstrukc. Závěr : V případě ednoduché a pravdelné konstrukce dosahuí obě metody srovnatelných výsledků. Nepatrné odchylky se obevuí v blízkost podpor a okraových částí desek ty však nemaí výrazněší dopad na způsob dmenzování konstrukce. Lze předpokládat že s rostoucí složtostí a nepravdelností konstrukce (otvory změny průřezů vychýlení sloupů z modulové osnovy) by se obě řešení začala rozcházet a v stých případech predkovala zcela odlšné chování. Zůstává tak na posouzení proektanta která z varant řešení e v konkrétním případě př konfrontac náročnost a přesnost návrhu přatelněší. Přes dostupnost výpočetní technky nelze an v současnost zednodušené metody výpočtu opomíet. Podrobné řešení vz :

45 Proekt FRVŠ 905/0/G Příklad č. 3 : Lokálně podepřená železobetonová deska s otvorem ve středním pruhu Je dán železobetonový monoltcký skelet (vz schéma konstrukce). Prostřední deskové pole e ve středních pruzích oslabeno prostupem. Metodou součtových momentů e proveden návrh a posouzení stropní desky v okolí prostupu z hledska ohybového namáhání. Výpočet e následně porovnán s numerckým řešením pomocí metody konečných prvků. konstrukční výška stropu : krytí ohybové výztuže : BETON : C 5/30 OCEL : B 500 B h d 40 mm 0 0 / m = ostatní stálé zatížení : ( g g ) = kn k c = 5 mm užtné zatížení : q k = 30 kn / m Postup výpočtu metodou součtových momentů metodou konečných prvků e dentcký s předchozí úlohou (příklad č. ). Hodnota užtného zatížení e aplkována celoplošně na všechna pole konstrukce vlv střídavého užtného zatížení e zanedbán neboť nehrae pro účely stude významnou rol. Vyhodnocení : Dle normy ČSN resp. ČSN 73 0 nesmí být v oblast deskové konstrukce křžuících se středních pruhů prostupy přerušen pás šrší než / šířky příslušného pruhu za podmínky že v každém pruhu bude zachováno celkové množství výztuže navržené pro stené pole bez otvorů. V tomto případě umístěný prostup přerušue právě 50% středních pruhů vntřního deskového pole. Za účelem odhalení důsledků této skutečnost byla provedena srovnávací stude výpočtu metodou součtových momentů (MSM) a metodou konečných prvků (MKP)

46 Proekt FRVŠ 905/0/G Př srovnání výsledků obou metod byla vytpována krtcká místa konstrukce a v nch analyzovány odchylky řešení : B A B A okra desky : MSM nadhodnocue momenty ve sloupových pruzích kolmých k okra desky což vede k ech převyztužení. Predkce nulového momentu na konc středních pruhů kolmých k okra zcela neodpovídá faktu že volný okra mez kraním sloupy má stou torzní tuhost a tudíž by měl ve směru kolmém přenášet záporné ohybové momenty. Tato tuhost do značné míry závsí na stupn vyztužení volného okrae. Přesto výpočet pomocí MKP nebyl schopen tuto hypotézu ednoznačně potvrdt an vyvrátt neboť použtá sít konečných prvků u okrae byla přílš hrubá. střední pruhy uprostřed kraních polí : Vlvem umístění prostupu ve středním deskovém pol dochází k odlehčení tohoto pole a větší deformac polí sousedních. Současně dochází ke změně statckého schématu v řezu středním pruhy (řez B-B) kdy se spotý nosník mění v dvoc prostých nosníků s edním převslým koncem. Tato fakta však výpočet pomocí MSM nezohledňue a proto predkue menší namáhání středních pruhů kraních polí než odpovídá skutečnost (potvrzeno MKP). S rostoucí velkostí otvoru se tento rozdíl zvětšue. To e také eden z důvodů proč norma omezue velkost prostupů přípustných pro výpočet pomocí MSM

47 Proekt FRVŠ 905/0/G Řezy deskou a ech statcká schémata vntřní sloup : I př redstrbuc momentů po šířce pruhu vychází př MKP ve sloupových pruzích přléhaících vntřním sloupům větší podporové momenty a tím dmenze. Důvodem e fakt že metoda součtových momentů uvažue moment v rovně líce sloupu v celé šířce pruhu zatímco MKP zohledňue momenty v okolí sloupu v rovně procházeící sponcí sloupů. Př porovnání výsledků s příkladem (obecná lokálně podepřená konstrukce) e procentuální rozdíl mez hodnotam MSM a MKP obdobný tzn. umístění centrálního prostupu vntřního pole nemá na tuto skutečnost zásadní vlv. okolí prostupu : Dle flosofe MSM lze předpokládat že část pruhu přerušenou prostupem musí nahradt zbývaící část pruhu tedy namáhání této oblast bude úměrné míře narušení konstrukce prostupem. Výpočet pomocí MKP však tento předpoklad vyvrací (namáhání středního pruhu přlehlého k prostupu e př použtí MKP o více než 50% menší než př použtí MSM). V okolí prostupu dochází ke změně statckého roznášení a redstrbuc vntřních sl do únosněších částí desky. Část zatížení e roznášena ve směru kolmém na volný okra prostupu. Tato skutečnost by měla být zohledněna př případném ručním výpočtu. Změna statckého působení v okolí vntřního prostupu Závěr : U ednoduché a pravdelné konstrukce dosahuí obě metody srovnatelných výsledků. V případě umístění prostupu do středního pruhu desky závsí odchylky řešení na velkost prostupu a eho přesné lokalzac. S rostoucí velkostí prostupu se mění statcké schéma konstrukce a výsledky řešení pomocí MSM se odchyluí od skutečného chování konstrukce. Pokud by řeštel chtěl zednodušenou metodu řešení použít v případě nesplnění podmínek týkaících se velkost a polohy prostupů musí př výpočtu zohlednt výše uvedené skutečnost. Podrobné řešení vz :

48 Proekt FRVŠ 905/0/G Příklad č. 4 : Lokálně podepřená železobetonová deska s otvorem ve sloupovém pruhu Je dán železobetonový monoltcký skelet (vz schéma konstrukce). Prostřední deskové pole e ve sloupovém pruhu oslabeno prostupem. Metodou součtových momentů e proveden návrh a posouzení stropní desky v okolí prostupu z hledska ohybového namáhání. Výpočet e následně porovnán s numerckým řešením pomocí metody konečných prvků. konstrukční výška stropu : krytí ohybové výztuže : BETON : C 5/30 OCEL : B 500 B h d 40 mm 0 0 / m = ostatní stálé zatížení : ( g g ) = kn k c = 5 mm užtné zatížení : q k = 30 kn / m Postup výpočtu metodou součtových momentů metodou konečných prvků e dentcký s příkladem č.. Hodnota užtného zatížení e aplkována celoplošně na všechna pole konstrukce vlv střídavého užtného zatížení e zanedbán neboť nehrae pro účely stude významnou rol. Vyhodnocení : Dle normy ČSN resp. ČSN 73 0 nesmí být v oblast deskové konstrukce společné křžuícímu se pruhu sloupovému a střednímu prostupem přerušen pás šrší než /4 šířky příslušného pruhu v každém směru a výztuž přerušená prostupy se musí nahradt přdanou výztuží uloženou po stranách prostupu. V tomto případě umístěný prostup přerušue 50% sloupového pruhu čímž nesplňue výše uvedenou podmínku. Za účelem odhalení důsledků této skutečnost byla provedena srovnávací stude výpočtu metodou součtových momentů (MSM) a metodou konečných prvků (MKP)

49 Proekt FRVŠ 905/0/G Př srovnání výsledků obou metod byla vytpována krtcká místa konstrukce a v nch analyzovány odchylky řešení. Je nutné upozornt že výpočet metodou součtových momentů se řídl výhradně postupem používaným pro plné desky neoslabené otvorem. Odhalené rozdíly mez oběma metodam by bylo možné snížt za předpokladu že by bylo zohledněno změněné statcké schéma konstrukce. A B A C C B okra desky : MSM nadhodnocue momenty ve sloupových pruzích nad rohovým sloupy což vede k ech převyztužení. Ostatní okraové momenty v pruzích kolmých na volný okra sou u obou metod řešení relatvně stené. Steně tak momenty okraových pruhů rovnoběžné s okraem. střední pruhy uprostřed kraních polí : Vlvem umístění prostupu ve středním deskovém pol dochází k odlehčení tohoto pole a větší deformac polí sousedních. Současně dochází ke změně statckého schématu v řezech sloupovým (řez B-B) a středním pruhem (řez C-C) kdy se spotý nosník mění v dvoc prostých nosníků (s případným převslým koncem). Tato fakta však výpočet pomocí MSM nezohledňue a proto predkue menší namáhání středních pruhů kraních polí než odpovídá skutečnost (potvrzeno MKP). S rostoucí velkostí otvoru se tento rozdíl zvětšue. To e také eden z

50 Proekt FRVŠ 905/0/G důvodů proč norma omezue velkost prostupů přípustných pro výpočet pomocí MSM. Dalším důvodem e patrná změna statckého působení desky v okolí prostupu. Řezy deskou a ech statcká schémata vntřní sloup : I př redstrbuc momentů po šířce pruhu vychází př MKP ve sloupových pruzích přléhaících vntřním sloupům větší podporové momenty a tím dmenze. Částečným důvodem e fakt že metoda součtových momentů uvažue moment v rovně líce sloupu v celé šířce pruhu zatímco MKP zohledňue momenty v okolí sloupu v rovně procházeící sponcí sloupů. Na rozdíl od případu kdy e otvor umístěn uprostřed středního pole (příklad 3) e však př tomto porovnání výsledků s příkladem (obecná lokálně podepřená konstrukce) procentuální rozdíl mez hodnotam MSM a MKP výrazněší. Důvodem e umístění prostupu do sloupového pruhu tedy oblast toku hlavních napětí. V okolí prostupu dochází k odklonu traektorí napětí od deálního směru a vytvoření nového statckého schématu. okolí prostupu : Dle flosofe MSM lze předpokládat že část pruhu přerušenou prostupem musí být nahrazena zbývaící částí pruhu tedy namáhání této oblast bude úměrné míře narušení konstrukce prostupem. Výpočet pomocí MKP však tento předpoklad vyvrací - namáhání sloupového pruhu přlehlého k prostupu e př použtí MKP o více než 50% menší než př použtí MSM. V okolí prostupu dochází ke změně statckého roznášení a redstrbuc vntřních sl do únosněších částí desky. Zvětšuí se momenty nad podporam část zatížení e roznášena ve směru kolmém na volný okra prostupu. Tato skutečnost by měla být zohledněna př případném ručním výpočtu

51 Proekt FRVŠ 905/0/G Odklon traektorí napětí vlvem umístění prostupu Závěr : V případě ednoduché a pravdelné konstrukce dosahuí obě metody srovnatelných výsledků. V případě umístění prostupu do sloupového pruhu desky závsí odchylky řešení na velkost prostupu a eho přesné lokalzac. S rostoucí velkostí prostupu se mění statcké schéma konstrukce a výsledky řešení pomocí MSM se odchyluí od skutečného chování konstrukce. Př srovnání s příkladem 3 (prostup ve středním pruhu) bylo prokázáno že umístění prostupu do sloupového pruhu má výrazněší dopady na chování lokálně podepřené konstrukce. Pokud by řeštel chtěl zednodušenou metodu řešení použít v případě nesplnění podmínek týkaících se velkost a polohy prostupů musí př výpočtu zohlednt výše uvedené skutečnost. Podrobné řešení vz :

52 Proekt FRVŠ 905/0/G Příklad č. 5 : Lokálně podepřená železobetonová deska s výrazně rozdílným rozpětím následuících polí Je dán železobetonový monoltcký skelet (vz schéma konstrukce). Rozpětí následuících deskových polí ve směru x (4m resp. 7m) se lší o více než /3 rozpětí kratšího pole což nesplňue podmínku pro použtí metody součtových momentů. Přesto sou návrh a posouzení stropní desky z hledska ohybového namáhání metodou součtových momentů provedeny. Výpočet e následně porovnán s numerckým řešením pomocí metody konečných prvků. konstrukční výška stropu : krytí ohybové výztuže : BETON : C 5/30 OCEL : B 500 B h d 40 mm 0 0 / m = ostatní stálé zatížení : ( g g ) = kn k c = 5 mm užtné zatížení : q k = 0 kn / m Postup výpočtu metodou součtových momentů metodou konečných prvků e dentcký s příkladem č.. Hodnota užtného zatížení e aplkována celoplošně na všechna pole konstrukce vlv střídavého užtného zatížení e zanedbán. Vyhodnocení : Podmínkou pro použtí metody součtových momentů dle normy ČSN resp. ČSN 73 0 e skutečnost že rozpětí deskových polí v hlavním směru se nelší o více než /3 rozpětí kratšího pole. V tomto případě e rozpětí vntřního pole ve směru x 70 m což představue 75 násobek rozpětí kraního pole (rozpětí 40 m). Výše uvedená podmínka tedy není splněna. Za účelem odhalení důsledků této skutečnost byla provedena srovnávací stude výpočtu metodou součtových momentů (MSM) a metodou konečných prvků (MKP)