Úplný zápis každého desiatkového čísla môžeme zapísať pomocou polynómu:

Transkript

1 1 ČÍSELNÉ SÚSTAVY Systém zobrazeia ľubovoľého čísla pomocou určitého počtu zakov sa azýva číselá sústava. Podľa počtu použitých zakov rozozávame rôze číselé sústavy. V bežom živote sa pri výpočtoch ajčastejšie stretávame s desiatkovou číselou sústavou, ktorá a zápis čísla používa 10 zakov (číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9). Napr. desiatkové číslo 268,14 môžeme zapísať ako: 2x x x x x10-2 Úplý zápis každého desiatkového čísla môžeme zapísať pomocou polyómu: Z 10 Z 110 Z 210 Z110 Z010 Z 110 Z 210 m 1 m Z m 1 10 Z m10 (1) 2 Ak v polyóme ahradíme základ desiatkovej číselej sústavy ľubovoľým celým číslom, tak ľubovoľé číslo N môžeme zapísať: N P Z kde: Z P Z P Z 2P Z1P Z0P Z 1P Z 2P 2 m 1 m i m 1 P Z mp ZiP (2) i m P základ číselej sústavy (10 v desiatkovej, 2 v dvojkovej, 8 v osmičkovej...), Z i, zaky použiteľé v daej číselej sústave, i -m,. Vo výraze (2) platí: Z 0 (číslo ezačíame písať ulou, okrem prípadu ulovej celej časti čísla, ak =0), Z m 0 (a koci desatiého čísla epíšeme uly). Základom číselej sústavy môže byť ľubovoľé číslo. Praktický výzam z hľadiska iformatiky majú číselé sústavy so základom: P = 2 dvojková (biára) zaky: 0,1 P = 8 osmičková (oktálová) zaky: 0,1,2,3,4,5,6,7. P = 16 šestástková (hexadecimála) zaky: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Desiatková číselá sústava a pravidlá pre počítaie v tejto sústave sú beže záme, preto sa budeme zaoberať le edesiatkovými číselými sústavami.

2 1.1 Dvojková číselá sústava Dvojková (biára) číselá sústava má výzam od obdobia vziku prvých elektroických počítačov. Elektroické koštrukčé prvky počítačov sú ajrýchlejšie a ajspoľahlivejšie tie, ktoré majú dva stabilé stavy. Tieto fyzikále prvky svojou čiosťou priamo modelujú zaky dvojkovej číselej sústavy. Všetky iformácie aj v súčasom počítači sú uložeé pomocou dvoch zakov: 0 a 1 (ie je apätie = 0, je apätie = 1). Túto základú jedotku iformácie azývame 1 bit (z agl. biary digit biáre číslo). Základ dvojkovej číselej sústavy je P = 2, povoleé zaky Z i sú číslice 0 a 1. Zápis desiatkových čísel od 0 do 20 v dvojkovej číselej sústave je zobrazeý v tab P = 10 P = Tab. 1.1 Zápisy čísel v dvojkovej číselej sústave Aritmetické operácie v dvojkovej číselej sústave sú jedoduchšie ako v desiatkovej číselej sústave, pretože pravidlá pre vykoávaie aritmetických operácií si treba osvojiť le pre dve číslice, ktoré sa môžu vyskytúť v jedom ráde. Pravidlá pre aritmetické operácie v dvojkovej číselej sústave sú asledujúce: Sčítaie: Odčítaie: Násobeie: = = 0 0 x 0 = = = 1 0 x 1 = = = 0 1 x 0 = = = 1 1 x 1 = 1 Deleie sa realizuje ako v desiatkovej sústave pomocou predchádzajúcich troch pravidiel.

3 Príklad 1 Sčítaie dvoch čísel [9] 10 a [6] 10 v dvojkovej číselej sústave. [9] 10 = [ ] 2 [6] 10 = [ 1 1 0] 2 [15] 10 = [ ] 2 Príklad 2 Sčítaie dvoch čísel [94] 10 a [90] 10 v dvojkovej číselej sústave pri sčítaí dvoch jedotiek v jedom ráde vziká tzv. preos do vyššieho rádu [94] 10 = [ ] 2 [90] 10 = [ ] 2 [184] 10 = [ ] 2 Príklad 3 Sčítaie štyroch čísel [299] 10, [190] 10, [298] 10 a [66] 10 v dvojkovej číselej sústave pri sčítaí miimále štyroch jedotiek v jedom ráde vziká preos o dva biáre rády vyššie [299] 10 = [ ] 2 [190] 10 = [ ] 2 [298] 10 = [ ] 2 [66] 10 = [ ] 2 [853] 10 = [ ] 2 Príklad 4 Sčítaie dvoch čísel v dvojkovej číselej sústave, ktoré majú desatiú časť sčítaie sa realizuje podľa rovakého pravidla ako pri celých číslach [ , 1 1] 2 = [19,75] 10 [ , 1 0] 2 = [ 9,50] 10 [ , 0 1] 2 = [29,25] 10 Príklad 5 Odčítaie dvoch čísel v dvojkovej číselej sústave. [ , 1 1] 2 = [19,75] 10 [ , 1 0] 2 = [ 9,50] 10 [ , 0 1] 2 = [10,25] 10

4 1.2 Osmičková a šestástková číselá sústava Základ osmičkovej (oktálovej) číselej sústavy je P = 8, povoleé zaky Z i sú číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Základ šestástkovej (hexadecimálej) číselej sústavy je P = 16, povoleé zaky Z i sú 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. V polyadických číselých sústavách so základom ižším ako 10 (P<10) eboli problémy s defiovaím zakov Z i, pretože ich súbor bol podmožiou desiatkovej sústavy, vypusteím čísel vyšších a rových základu. V šestástkovej číselej sústave musíme k súboru zakov desiatkovej sústavy pridať ešte šesť zakov písmeá veľkej abecedy. Zápis desiatkových čísel od 0 do 20 v osmičkovej a šestástkovej číselej sústave je zobrazeý v tab P = 10 P = 8 P = A B C D E F Tab. 1.2 Zápisy čísel v osmičkovej a šestástkovej číselej sústave Aritmetické operácie v osmičkovej a šestástkovej číselej sústave sú zdĺhavejšie a obtiažejšie ako v dvojkovej číselej sústave, preto tieto sústavy z tohto hľadiska emajú veľký výzam. Počítač pracuje s číslami v dvojkovej (biárej) číselej sústave. Dvojkové čísla sú obyčaje dlhé a eprehľadé postuposti úl a jedotiek. Pre ich jedoduchší zápis sa používa osmičková (oktálová) alebo šestástková (hexadecimála) číselá sústava. Tieto sústavy sa používajú preto, že prevod medzi dvojkovou, osmičkovou a šestástkovou sústavou je veľmi jedoduchý.

5 1.3 Prevody medzi číselými sústavami Prevod čísla z číselej sústavy so základom P do desiatkovej sústavy je jedoduchý. Prevedie sa vyčísleím výrazu (3): i N Z i. P (3) i m Príklad 6 Prevod čísla z dvojkovej číselej sústavy [ ] 2 do desiatkovej sústavy. Rády: [ ] 2 = = Príklad 7 Rády: = = [853] 10 Prevod čísla z osmičkovej číselej sústavy do desiatkovej sústavy [ ] 8 = = = [1003] 10 Prevod čísla z desiatkovej číselej sústavy do sústavy so základom P je zložitejší. Najlepší spôsob prevodu je deleím desiatkového čísla N 10 základom číselej sústavy P a zazameávaím zvyškov po deleí, ktoré sú vlaste číslom N P v zvoleej číselej sústave. Prevod čísla realizujeme opakovaým deleím základom P. Postup ajlepšie pochopíme z asledujúcich príkladov. Príklad 8 Zvyšky po deleí 39 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 0 1 Prevod čísla [39] 10 do dvojkovej číselej sústavy. [39] 10 = [ ] 2 Skúška správosti: = = =[39] 10 Príklad 9 Zvyšky po deleí 250 : 8 = : 8 = : 8 = 0 3 Smer čítaia čísla po prevode do číselej sústavy o základe P Prevod čísla [250] 10 do osmičkovej číselej sústavy. [250] 10 = [3 7 2] 8 Skúška správosti: = =[250] 10

6 Prevod medzi dvojkovou a osmičkovou číselou sústavou: Pre základy týchto sústav platí: 2 3 = 8 1, t.j. tri rády dvojkového čísla sa zobrazia jedým rádom osmičkového čísla. Prevod medzi dvojkovou a šestástkovou číselou sústavou: Pre základy týchto sústav platí: 2 4 = 16 1, t.j. štyri rády dvojkového čísla sa zobrazia jedým rádom šestástkového čísla. Príklad 10 Prevod čísla [ ] 2 do osmičkovej číselej sústavy. Postup prevodu je asledujúci: číslo rozdelíme po tri číslice sprava doľava, každú trojicu číslic prevedieme a číslo v osmičkovej číselej sústave. [ ] 2 = [ ] 8 Príklad 11 Prevod čísla [ ] 2 do šestástkovej číselej sústavy. Postup prevodu je asledujúci: číslo rozdelíme po štyri číslice sprava doľava, každú štvoricu číslic prevedieme a číslo v šestástkovej číselej sústave. [ ] 2 = [7 5 A] 16 Príklad 12 Prevod čísla [351] 8 do dvojkovej číselej sústavy. Postup: každú číslicu osmičkového čísla prevedieme a trojmieste číslo do dvojkovej sústavy (zľava doplíme uly, apr. číslo [1] 8 vyjadríme ako [001] 2 ). [ ] 8 = [ ] Príklad 13 Prevod čísla [B73C] 16 do dvojkovej číselej sústavy. Postup: každú číslicu šestástkového čísla prevedieme a štvormieste číslo do dvojkovej sústavy (zľava doplíme uly, apr. číslo [1] 16 vyjadríme ako [0001] 2 ). [ B 7 1 C ] 16 = [ ]