Matice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matice. Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami amn. a ij. prvok matice, i j udáva pozíciu prvku"

Michal Tichý
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Matice

2 Matice Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami a11 a12... a1 n a21 a22... a2n am1 am2... amn a ij prvok matice, i j udáva pozíciu prvku i- čísluje riadky J- čísluje stĺpce

3 m X n Počet riadkov Počet stĺpcov X 3 2 X X X X 3

4 Druhy matíc 2 X 2 3 X 3 a ij = ij 2 X 2 3 X 3 4 X 4

5 Druhy A T = B = 3 X 5 5 X 3 Transponovaná matica A T vznikne s pôvodnej matice A tak, že vymeníme riadky za stĺpce, teda a T ij = a ji. Napríklad A A T a T ij a j1 X X T 3 X 1 1 X 3

produkt AB má rozmery k-krát-m B A 1 2 2 4 2 3 4 6 8 Násobenie matíc: A[ k x p ].

6 Operácie s maticami Rovnosť matíc: A=B rovnaký počet riadkov a stĺpcov, a ij =b ij Súčet matíc: C=A+B matice rovnakého typu, c ij =a ij +b ij Súčin čísla s maticou : B=A matice rovnakého typu, b ij = a ij maticový produkt AB má rozmery k-krát-m B A Násobenie matíc: A[ k x p ]. B[ p x m] = D[ k x m] PODMIENKA: Počet stĺpcov 1. matice sa musí rovnať počtu riadkov druhej matice d p a b ij il lj l1 NEPLATÍ KOMUTATÍVNOSŤ

7 1x3 3x1 1x1 3x1 1x3 3x3 3x3 3x3 3x3

8 Inverzná matica Vynásobenie matice s jej inverznou maticou dá jednotkovú maticu 3x3 3x3 3x3 Pod ortogonálnou maticou rozumieme maticu, pre ktorú platí: T AA I

9 Determinanty matíc Matica typu m x n je tabuľka s m riadkami a n stĺpcami a11 a12... a1 n a21 a22... a2n am1 am2... amn Determinant číslo priradené štvorcovej matici (podľa pravidiel):

10 Výpočet determinantu 1 x 1 2 x 2 3 x 3 + a a a a a a _ a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a32 a33 a31 a33 a31 a a a a + _ + _ + _ n x n A n j1 1 ji a M ij ij Subdeterminant/minor/ vznikne vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca matice A

11 Vektorový súčin + _ i j k + _ + a a a a a a ax ay az i j k b b b b b b b b b x y z y z x z x y y z x z x y _ i a b a b j a b a b k a b a b y z z y x z z x x y y x a b i a b a b j a b a b k a b a b y z z y x z z x x y y x

12 Príklad Určte plošný obsah trojuholníka MNR. Určte uhol, ktorý zvierajú roviny ABCD a MNR. 3;1;0 MR R 0;3;0 0;3; 2 M 0;0;2 MN 4;0; 2 N 4;0;0

13 Príklad Určte moment sily F,, vzhľadom na bod O, ak jej pôsobisko je v bode P. Sila F=4i-2j+k[N], P[3,1,0], O[0,0,0] M r F r F 3;1;0 4; 2;1

14 ĎALŠIE VYUŽITIE MATÍC

15 Systém dvoch rovníc s dvomi neznámymi a x a y c a x a y c a x a y c / a a x a y c / a a x a y c / a a x a y c / a a a a a x c a c a a a a a y c a c a

16 a x a y c a x a y c a11 a12 x1 a11x1 a12x2 a a x a x a x Matica systému a a a a x c a c a a a a a y c a c a x c a a c c a a c y a a a a a a a a Cramerovo pravidlo

17 Maticový zápis a maticový spôsob riešenia lineárnych rovníc Matica systému n lineárnych rovníc s n neznámymi: a a a A a a a a a a X x x x C c c c Majme systém LR a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c Maticová rovnica: Maticový zápis a11 a12 a13 x1 c1 A X a a a x c a31 a32 a 33 x 3 c 3

18 Nájdite prúd prechádajúci zdrojom 12V. 5I 4I 0 I = I 4I 4 I = 2 I I I = 0 Matica systému rovníc I = A i = = A A

19 Transformácia súradníc vektora Vektory môžeme vyjadrovať v tom istom vektorovom priestore v rozličných bázach. Vyjadrenie vektorov v jednotlivých bázach je jednoznačné, preto musí existovať jednoznačný transformačný vzťah platný medzi súradnicami daného vektora v obidvoch bázach Stará SS Nová SS x, x x, x ? x 2 M x 1, x 2 M x 1, x 2 Ortonormálne bázové vektory e 2 e 1 x 1

20 Transformácia súradníc vektora Pre zjednodušenie transformačných vzťahov pre vektory budeme namiesto klasického označenia bázových vektorov používať ich číselné deriváty j i k e1 i e2 j e3 k x x1 y x2 z x3 x x y x z x 1 2 3

21 Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej Ten istý vektor v rôznych bázach r x e x e xe xe Priemety vektorov sa získavajú cez skalárny súčin x 2 Nájdime transformačné vzťahy e 2 e 1 x 1 xr e 1 1 x r e 2 2 x, x x, x

22 Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej xr e 1 1 x r e 2 2 r x e x e xe xe Vlastne ide o priemety jedného bázového vektora do druhého ij x x e e x e e x x e e x e e ij i j i j i j i j i- stará nečiarkovaná sústava j- nová čiarkovaná sústava cos e e e e cos e e e e Smerové kosínusy medzi starý bázovým vektorom e i a novým e j Prvý index stará sústava-nečiarkovaná Druhý index nová sústava - čiarkovaná

23 O čo ide? xe xe x e x e / e xe xe x e x e / e x x e e x e e x x e e x e e L x 1 X x X x x 1 2 SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNÍC x x x x x x X Využitie ortonormality bázových vektorov L X

24 L x 1 X x 2 X L x x X x x L x 1 X x L T Transponovabné matice x x x x x x X L X x x x x x x X L X X = L X = L L X L L = E Inverzné matice

25 Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej x 2 Čo určujú prvky matice a ako súvisia s uhlom otočenia SS??? cos e, e cos e 2 e 1 x 1

26 Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej x 2 12 cos e1, e 2 cos sin 2 e 1 x 1

27 Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej x 2 21 cos e2, e 1 cos sin 2 e 2 e 1 x 1

28 Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej x 2 cos e, e cos e 2 e 1 x 1

Zhrnutie 11 1 1 12 cos e1, e 2 cos sin 2 21 cos e2, e 1

29 Zhrnutie cos e1, e 2 cos sin 2 21 cos e2, e 1 cos sin 2 cos e, e cos cos e, e cos x 2 e 2 e 1 x 1

30 Prvky transformačnej matice vyjadrime cez uhol otočenia cos sin L sin cos x 1 X x 2 cos L sin X x x 1 2 X x x 1 2 sin cos X x x x x x x x X L X x x x x x x x 2 X L X

31 Otočenie vektora v SS x 2 e 2 e 1 x 1

32 Otočenie vektora v SS x 2 e 2 b a e 1 x 1 Hľadáme súradnice otočeného vektora v tej istej NEČIARKOVANEJ SS? a, a b, b

33 b 2 a 2 e 2 b a b e 1 a 1 b 1 Problém pretransformujeme na iný problém, ktorého riešenie poznáme.

34 b 2 a 2 e 2 b a b e 1 a 1 b 1 Ak otočíme SS o ten istý uhol, ako pôvodný vektor a, potom sa jeho súradnice v otočenom SS nezmenia. POZNÁME TEDA SÚRADNICE VEKTORA v OTOČENEJ ČIARKOVANEJ SS a chceme určiť jeho súradnice v pôvodnom SS X L X Aktualizujme označenie b L b b1 a1 cos sin a1 L b a sin cos a 2 2 2

35 Súradnice vektorov v tej istej SS, vektory sú otočené o uhol b1 a1 cos sin a1 b1 a1 cos sin a1 L b2 a L 2 sin cos a2 b2 a 2 sin cos a2 a 2 b e 2 a e a 1 1 Otočenie jednotkového vektora e 1 o uhol b1 cos sin 1 cos sin cos b 2 sin cos 0 sin cos sin Otočenie jednotkového vektora e 2 o uhol b1 cos sin 0 cos sin sin b 2 sin cos 1 sin cos cos e 2 e 1 e cos e sin e e sin e cos e 2 1 2

36 Rotujúca SS x 2 e 2 e 1 Zderivujme jednotkové vektory z hľadiska pozorovateľa v nečiarkovanej sústave. x 1 e cos e sin e e sin e cos e de 1 d d sin e1 cos e2 sin e1 cos e2 e 2 dt dt dt de 2 d d cos e1 sin e2 cos e1 sin e2 e 1 dt dt dt Po zavedení vektora uhlovej rýchlosti : de 1 dt de 2 dt e 1 e 2 de dt i e i

37 Rotujúca SS Analyzujme pohyb z hľadiska pozorovateľa v nečiarkovanej SS e 2 e cos e sin e e sin e cos e ω e 1 de 1 d d sin e1 cos e2 sin e1 cos e2 e 2 dt dt dt de 2 d d cos e1 sin e2 cos e1 sin e2 e 1 dt dt dt Po zavedení vektora uhlovej rýchlosti : de 1 dt de 2 dt e 1 e 2 de dt i e i

38 r xi ei i v de dr dx dx i ei xi i i ei xi ei vi ei xi ei v r dt dt i dt i i dt d 2 xi dx de dx de dv d d dxi a ei xi ei 2 ei i i i ei xi ei xi i dt dt i dt dt dt dt dt dt i dt a ai ei vi ei vi ei xi ei xi ei i a ai ei vi ei vi ei xi ei xi ei i i i i i a a 2 v r r F ma ma 2m v m r m r Coriolisova sila Reálna sila Eulerova sila Odstredivá sila Zdanlivé, zotrvačné sily Teleso v rotujúcej sústave cíti okrem sily F aj ďalśie sily, ktoré nemajú pôvod vo vzájomnej interakcii. Ak úlohu riešime v neinerciálnej SS, treba zohľadniť ďalśie sily, ktoré ovplyvňujú pohyb v tejto sústave. Zavádyame ich preto, aby sme formálne dostali podobné pohybové rovnice ako pre inerciálne SS.

Neotklonený smer Smery a stáčanie vydušných

39 Neotklonený smer Smery a stáčanie vydušných prúdov 2mω v Coriolisova sila / vlastnosti: Je kolmá na vektor uhlovej rýchlosti. Leží v rovine, ktorá je kolmá na os rotácie Je kolmá na vekror rýchlosti v, nekoná prácu, môže meniť smer rýchlosti ale nie jeho modul

40 Pohybová rovnica v translačne zrýchľujúcej sústave S r HB S R r V neinerciálnych sústavách pôsobia aj zdanlivé, zotrvačné sily r R r a a a SS F F ma Reálna sila SS Zdanlivá, zotrvačná sila

41 V neinerciálnych sústavách pôsobia aj zdanlivé, zotrvačné sily F F ma 2m v m r m r SS

Podobné dokumenty

Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.

FUNKCIA, DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H. Množina D definičný obor Množina H obor hodnôt Funkciu môžeme