PA054: Formální modely v systémové biologii
|
|
- Květoslava Moravcová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PA054: Formální modely v systémové biologii David Šafránek
2 Obsah Algebraický přístup k modelování biochemických reakcí
3 Princip modelování Substráty molekuly populace interagujících molekul každou molekulu (proteinu) lze popsat stavově stav zachycuje konfiguraci vazebných míst volná vazebná místa vazebná místa obsazena jinou molekulou (dimerizující stavy) formalizace prostřednictvím sekvenčního procesu: MEK MEKp MEKpp
4 Princip modelování Substráty molekuly populace interagujících molekul každou molekulu (proteinu) lze popsat stavově stav zachycuje konfiguraci vazebných míst volná vazebná místa vazebná místa obsazena jinou molekulou (dimerizující stavy) formalizace prostřednictvím sekvenčního procesu:?p1 MEK?d1?p2 MEKp?d2 MEKpp
5 Princip modelování Substráty molekuly populace interagujících molekul každou molekulu (proteinu) lze popsat stavově stav zachycuje konfiguraci vazebných míst volná vazebná místa vazebná místa obsazena jinou molekulou (dimerizující stavy) formalizace prostřednictvím sekvenčního procesu: requires phosporylating enzyme?p1 MEKp?d1 MEK?p2?d2 MEKpp requires dephosporylating enzyme
6 Princip modelování Interakce proce procmek procpp Ef MEK?p1!p1?d1!d1?p2 Eb MEKp MEKpp?d2 PPf PPb paralelní chování procesů (molekul) binární synchronizace roztok lze modelovat jako populaci procesů: proc MEK proc MEK proc E proc E proc E proc PP proc PP
7 Princip modelování Interakce proce procmek procpp Ef MEK?p1!p1?d1!d1?p2 Eb MEKp MEKpp?d2 PPf PPb paralelní chování procesů (molekul) binární synchronizace roztok lze modelovat jako populaci procesů: proc MEK proc MEK proc E proc E proc E proc PP proc PP
8 Molekuly jako komunikující automaty individuální přechody a synchronizace lze modelovat stochasticky (provedení přechodu v čase t Exp(r i ))
9 Molekuly jako komunikující automaty
10 Elementární reakce jako komunikující automaty
11 Elementární kalkulus pro popis (bio)chemických systémů Syntax Andrew Phillips, Luca Cardelli, and Giuseppe Castagna, A Graphical Representation for Biological Processes in the Stochastic Pi-calculus, in Transactions in Computational Systems Biology, vol. 4230, pp , Springer, November 2006
12 Příklad
13 Elementární kalkulus pro popis (bio)chemických systémů Sémantika!x.P + M!x P?x.P + M?x P τ r.p r P P!x P Q?x Q P Q x P Q M α P π.p + M α P P α P Q α P Q X = P P α P X α P SOS pravidla definují fragment stochastického π-kalkulu
14 Rozšíření o předávání hodnot Syntax Andrew Phillips, Luca Cardelli, and Giuseppe Castagna, A Graphical Representation for Biological Processes in the Stochastic Pi-calculus, in Transactions in Computational Systems Biology, vol. 4230, pp , Springer, November 2006
15 Rozšíření o předávání hodnot Sémantika!x(n).P + M!x(n) P?x(m).P + M?x(m) P {n/m} τ r.p r P P!x(n) P Q?x(n) Q P Q x P Q M α P π.p + M α P P α P Q α P Q X (m) = P α P {n/m} P α X (n) P SOS pravidla definují fragment stochastického π-kalkulu
16 Příklad modelování genetické regulační sítě Gene(a, b) = τ t.(gene(a, b) Protein(b))+?a.Blocked(a, b) Blocked(a, b) = τ u.gene(a, b) Protein(b) =!b.protein(b) + τ d.0 Ralf Blossey, Luca Cardelli, and Andrew Phillips, A Compositional Approach to the Stochastic Dynamics of Gene Networks, in Transactions in Computational Systems Biology, vol. 3939, no. 3939, pp , Springer, January 2006
17 Příklad modelování genetické regulační sítě Gene(c, a) Gene(a, b) Gene(b, c)
18 High-level modelování C. elegance
19 High-level modelování C. elegance: vývoj vulvy
20 High-level modelování C. elegance: vývoj vulvy
21 High-level modelování C. elegance: možné varianty signálních drah LIN3... signál od řídící buňky (anchor cell, AC) LIN12... laterální mezibuněčný signál
22 High-level modelování interagující buňky Vývoj vulvy C. elegans Andrew Phillips, A Visual Process Calculus for Biology, in Symbolic Systems Biology: Theory and Methods, Jones and Bartlett Publishers, 2010.
23 High-level modelování interagující buňky Vývoj vulvy C. elegans x... č. buňky, l, r... kanály laterálního signálu, k... vzdálenost od AC (frekvence interakce s AC) Andrew Phillips, A Visual Process Calculus for Biology, in Symbolic Systems Biology: Theory and Methods, Jones and Bartlett Publishers, 2010.
24 High-level modelování interagující buňky Vývoj vulvy C. elegans Andrew Phillips, A Visual Process Calculus for Biology, in Symbolic Systems Biology: Theory and Methods, Jones and Bartlett Publishers, 2010.
25 High-level modelování interagující buňky Vývoj vulvy C. elegans podrobný model Andrew Phillips, A Visual Process Calculus for Biology, in Symbolic Systems Biology: Theory and Methods, Jones and Bartlett Publishers, 2010.
26 High-level modelování interagující buňky Vývoj vulvy C. elegans podrobný model Andrew Phillips, A Visual Process Calculus for Biology, in Symbolic Systems Biology: Theory and Methods, Jones and Bartlett Publishers, 2010.
27 High-level modelování simulace Vývoj vulvy C. elegans
28 Kalkuly pro biologické systémy Stochastic π-calculus (SPiM, BioSPI) BioPEPA κ-calculus Brane-Calculus, BetaBinders, BlenX...
29 BioPEPA na rozdíl od π-based kalkulů je BioPEPA orientovaný bĺıže SBML rozlišení není až na úroveň molekul, ale na úroveň substrátů a reakcí proces není molekula, ale substrát výhodou je kompatibilita sémantik s SBML (srovnej s Petriho sítěmi) možnost plného modelování netriviální kinetiky (např. regulace, enzymová kinetika)
30 BioPEPA příklad 2S P; E S = (α, 2) S E = (α, 1) E P = (α, 1) P (S(I S0 ) α (E(I E0 )) α P(I P0 )) Sémantika dynamiky je definována pravidlem f α = v E S K+S 2.
31 BioPEPA syntax Algebra modelových komponent S ::= (α, k) op S S + S C op = P ::= P L P S(I ) L je množina reakcí I je iniciální podmínka
32 BioPEPA syntax Definice elementárních komponent substráty Každá komponenta C je charakterizována 5-ticí H, N, M 0, M, V, kde: H R + je rozlišení kvantity (velikost jedné úrovně koncentrace), N N je maximální hodnota kvantity, M 0 R + { } je iniciální koncentrace, M R + { } je maximální koncentrace, V označuje kompartment do něhož je komponenta přiřazena. Pozn. (1): značí nedefinovanou hodnotu Pozn. (2): M, M 0 jsou uvedeny pro kalibraci se spojitým modelem.
33 BioPEPA syntax Definice elementárních komponent substráty diskretizace koncentrace pomocí úrovní stejné délky (v počtu molekul) diskrétní sémantika tedy umožňuje kalibraci se spojitou (aproximace) počet úrovní pro komponentu C i je N i + 1, kde N i je max. úroveň platí: N j = M j H kde M j M, 0 j < N, reprezentuje hraniční koncentraci mezi levely N j, N j+1 pro aktuální úroveň 0 l j N j je koncentrace definována vztahem x j = l j H
34 BioPEPA definice biologického procesu BioPEPA systém je šestice V, N, K, F R, Comp, P kde: V... množina kompartmentů, N... množina kvantit popisujících substráty, K... množina definic parametrů, F R... množina definic dynamiky, Comp...definice komponent, P... komponenta popisující systém.
35 BioPEPA sémantika každá akce α má přiřazenu kinetickou funkci f α nad kvantitami substrátů kvantity substrátů jsou určeny z kontextu akce α kinetické funkce mohou obsahovat kinetické parametry, které musí být asociovány v K příklady typů kinetických funkcí: fma(k) = k n j i=1 (C i) κ i kde n j je počet reaktantů reakce α j a κ i je příslušný stechiometrický koeficient reaktantu C i fh(v, K, n) = v C n /(K + C n ) je Hillova kinetika
36 BioPEPA operační sémantika Předpokládáme C spočetná množina zahrnující všechny možné modelové komponenty. BioPEPA systém má asociovánu stochastickou sémantiku, která je definována prostřednictvím odvozující relace c C Ω C, kde θ Ω vyjadřuje kvantitativní informaci potřebnou k vyhodnocení kinetické funkce, θ := (α, w) kde w := [S : op(l, κ)] w@w, S C, l hodnota kvantity komponenty S, κ stechiometrický koeficient komponenty S v α. Relace c je definována jako minimální relace splňující pravidla na násl. slidu.
37 BioPEPA odvozující relace
38 BioPEPA stochastická sémantika Stochastická sémantika BioPEPA systému je určena relací: s P Γ P kde γ Γ, γ := (α, r α ), r α R + určuje parametr exponenciální distribuce události v čase (rate). Relace s je definována pomocí pravidla: kde r α [w, N, K] = f α[w, N, K] H H je velikost kroku f α [w, N, K] značí kin. funkci f α vypočítanou v přísl. kontextu
39 BioPEPA stochastická sémantika Evaluace f [w, N, K]: pro každou komponentu C i je odvozena koncentrace l i H volný výskyt C i je nahrazen (l i H) κ ij, kde κ ij je stechiometrický koeficient substrátu C i v reakci R j pozn.: pro H = 1 a vhodné omezení kinetických funkcí dostáváme přímou stochastickou sémantiku (relace s definuje CTMC, který bychom získali interpretací stochastické Petriho sítě odpovídající BioPEPA systému)
40 BioPEPA příklad Uvažujme reakci α : 2X + Y k 3Z. Kinetika je definována funkcí v = k X 2 Y. Definujeme komponenty BioPEPA: Reakční systém je definován: X (l X0 ) {α} Y (l Y0 ) {α} Z(l Z0 ) kde l X0, l Y0, l Z0 značí iniciální úrovně koncentrace, kin. funkce je definována f α = fma(k). Pro reakci bude odvozením stochastické sémantiky vypočítán rate r α = k (l X H) 2 (l Y H) H Reakce bude provedena pouze v situaci: N X je nejméně 3, N Z je nejméně 4.
41 κ-calculus Laneve, C. and Tarissan, F A Simple Calculus for Proteins and Cells. Electron. Notes Theor. Comput. Sci. 171, 2 (Jul. 2007),
42 κ-calculus vazebná místa 1,2 navázaná vazebná místa 3 skrytá vazebná místa 4 viditelná vazebná místa
43 κ-calculus interakce proteinů proteiny mohou vytvářet komplexy spojováním na vazebných místech kolekce proteinů a jejich komplexů tvoří roztok (solution)
44 κ-calculus příklady spojení
45 κ-calculus komplexace
46 κ-calculus požadavek monotonicity NEPOVOLENÁ OPERACE, nesplňuje monotonicitu updatu vazeb
47 κ-calculus syntax spočetná množina jmen proteinů P, zn. A, B,... P spočetná množina jmen hran E, zn. x, y,... E signatura, : P N (A) zn. počet vazeb proteinu A (A, i) značí i-té vazebné místo na A
48 κ-calculus rozhraní lib. paricální zobrazení N E {h, v} nazýváme rozhraní, zn. ρ, σ,... vazebné místo (A, i) nazýváme: viditelné, pokud ρ(i) = v skryté, pokud ρ(i) = h vázané, pokud ρ(i) E rozhraní reprezentuje stav roztoku
49 κ-calculus příklad rozhraní Předpokládejme A t.ž. (A) = 3, pak ρ(1) = v, ρ(2) = h, ρ(3) = x je rozhraní proteinu A, v němž místo 1 je viditelné, místo 2 skryté, a místo 3 vázané na jméno hrany x E. Symbolicky píšeme: ρ = x
50 κ-calculus syntax roztoku S := 0 prázdný roztok A(ρ) protein S, S skupina (νx)(s) vazba Pro množinu jmen x 1, x 2,..., x n používáme notaci x a vazbu rozšíříme na (ν x)(s).
51 κ-calculus syntax roztoku induktivně definujeme množinu volných jmen v roztoku S, zn. fn(s): výskyt x v S je vázaný pokud je zanořen pod operátorem νx roztok S je uzavřený pokud všechny výskyty jmen v S jsou vázané (zejména fn(s = ))
52 κ-calculus strukturní kongruence Definujeme relaci strukturní kongruence, zn., jako nejmenší ekvivalenci uzavřenou syntakticky asociativní a komutativní operací seskupení,, α-ekvivalencí (injektivní přejmenování vázaných jmen) a 0 chápanou jako neutrální prvek, dále splňující pravidla: 1. (νx)(νy)(s) (νy)(νx)(s), 2. (νx)(s S, pro x fn(s), 3. (νx)(s), S (νx)(s, S ), pro x fn(s ). Přejmenování Přejmenování r je konečná parciální injekce na množině E {h, v}, která je identitou na {h, v} a zobrazuje E E.
53 κ-calculus propojenost Definujeme propojený roztok strukturní indukcí: A(ρ) je propojený, je-li S propojený, pak i (νx)(s) je propojený, jsou-li S, S propojené a fn(s S ), pak S, S je propojený, je-li S propojený a S T, pak T je propojený.
54 κ-calculus vizuální omezenost Roztok je vizuálně omezený, pokud: výskyt lib. volného jména v S je max. dvojnásobný vazba (νx)(s) váže buď 0 nebo 2 výskyty x
55 κ-calculus příklad
56 κ-calculus příklad
57 κ-calculus příklad
58 κ-calculus relace růstu cílem je omezit prostor možných interakcí (reakcí) nástrojem bude monotonost updatů vazeb formálně zachycena relací růstu definovanou na parciálních rozhraních idea: ρ ρ odpovídá situaci ρ obsahuje více vazeb než ρ relace je parametrizována danou množinou jmen x reprezentující právě nové (přidané) hrany
59 κ-calculus relace růstu
60 κ-calculus relace růstu relace definována pouze pro rozhraní rozšíříme na skupiny proteinů Definice (Preprotein) Pro libovolný protein A a parciální rozhraní ρ nazveme A(ρ) preproteinem. Definice (Preroztok) Libovolnou skupinu preproteinů nazveme preroztokem.
61 κ-calculus relace růstu (rozšíření na preroztoky) interpretace x S S : nové vazby přidány (S zahrnuje více spojení) (SYNTH) povoluje vytváření nových proteinů s plnými rozhraními
62 κ-calculus reakce Nechť S, S jsou preroztoky. monotonní reakce r 1 : S (ν x)s je monotonní reakce pokud: x S S S a (ν x)s jsou vizuálně omezené S je propojený antimonotonní reakce r 2 : (ν x)s S je antimonotonní reakce pokud: reakce S (ν x)s je monotonní.
Modelov an ı biologick ych syst em u Radek Pel anek
Modelování biologických systémů Radek Pelánek Modelování v biologických vědách typický cíl: pomocí modelů se snažíme pochopit, jak biologické systémy fungují model zahrnuje naše chápání simulace ukazuje,
VíceIV117: Úvod do systémové biologie
IV117: Úvod do systémové biologie David Šafránek 8.10.2008 Obsah Metody dynamické analýzy Obsah Metody dynamické analýzy Shrnutí biologický systém definován interakcemi mezi jeho komponentami interakce
VíceModelování biochemických procesů: Deterministický model transkripční regulace
Modelování biochemických procesů: Deterministický model transkripční regulace David Šafránek Seminář ParaDiSe 1.10.2007 Obsah Základní pojmy Spojitý deterministický model chemických reakcí Spojitý deterministický
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
VíceIV117: Úvod do systémové biologie
IV117: Úvod do systémové biologie David Šafránek 29.10.2008 Obsah Spojitý deterministický model transkripční regulace Obsah Spojitý deterministický model transkripční regulace Schema transkripční regulace
VíceIV117: Úvod do systémové biologie
IV117: Úvod do systémové biologie David Šafránek 3.12.2008 Obsah Obsah Robustnost chemotaxe opakování model chemotaxe bakterií nerozliseny stavy aktivity represoru aktivita = ligandy a konc. represoru
VíceIV117: Úvod do systémové biologie
IV117: Úvod do systémové biologie David Šafránek 1.10.2008 Obsah Pojem modelu a simulace in silico Statická analýza modelu Dynamická analýza modelu Obsah Pojem modelu a simulace in silico Statická analýza
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceModely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.
Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VícePB050: Modelování a predikce v systémové biologii
PB050: Modelování a predikce v systémové biologii David Šafránek 21.10.2009 Obsah Pojem modelu a simulace in silico opakování Obsah Pojem modelu a simulace in silico opakování Workflow systémové biologie
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag) Formální překlady. 5. Překladové konečné automaty. h(ε) = ε, h(xa) = h(x)h(a), x, x T, a T.
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 2/41 Formální překlady BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 4/41 Automaty a gramatiky(bi-aag) 5. Překladové konečné
VíceStefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
VíceKMA/MM. Chemické reakce.
Zápočtová práce z předmětu Matematické modelování KMA/MM Chemické reakce Jméno a příjmení: Hana Markuzziová Studijní číslo: A06070 Email: hmarkuzz@students.zcu.cz Obsah 1 Úvod 3 2 Chemické rovnice 3 3
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
VíceKapitola 6. LL gramatiky. 6.1 Definice LL(k) gramatik. Definice 6.3. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo.
Kapitola 6 LL gramatiky 6.1 Definice LL(k) gramatik Definice 6.1. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo. Definujme funkci FIRST G k : (N Σ) + P({w Σ w k}) předpisem FIRST G k (α) = {w Σ (α w
VíceLogické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceNaproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak
1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceDotazování v relačním modelu a SQL
Databázové systémy Dotazování v relačním modelu a SQL Petr Krajča Katedra informatiky Univerzita Palackého v Olomouci Petr Krajča (UP) KMI/YDATA: Přednáška II. 14. říjen, 2016 1 / 35 Opakování Relační
VíceSimulace pohybu chodců pomocí celulárních modelů
Simulace pohybu chodců pomocí celulárních modelů Marek Bukáček výzkumná skupina GAMS při KM KIPL FJFI ČVUT v Praze 8. červen 2011 Obsah Úvod Celulární modely úprava Floor field modelu Proč modelovat Akademický
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceKonstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceAUTOMATY A GRAMATIKY
AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceTuringovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMATURITNÍ OTÁZKY ELEKTROTECHNIKA - POČÍTAČOVÉ SYSTÉMY 2003/2004 PROGRAMOVÉ VYBAVENÍ POČÍTAČŮ
MATURITNÍ OTÁZKY ELEKTROTECHNIKA - POČÍTAČOVÉ SYSTÉMY 2003/2004 PROGRAMOVÉ VYBAVENÍ POČÍTAČŮ 1) PROGRAM, ZDROJOVÝ KÓD, PŘEKLAD PROGRAMU 3 2) HISTORIE TVORBY PROGRAMŮ 3 3) SYNTAXE A SÉMANTIKA 3 4) SPECIFIKACE
VíceVýpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory
Plán přednášky Výpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory Obecný algoritmus pro parsování bezkontextových jazyků dynamické programování 1 Zásobníkový
VíceFormální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků
Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceIV117: Úvod do systémové biologie
IV117: Úvod do systémové biologie David Šafránek 24.9.2008 Obsah Modelové organismy Získávání biologických dat Modely a simulace in silico Obsah Modelové organismy Získávání biologických dat Modely a simulace
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
VíceVýroková a predikátová logika - VI
Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá
VíceVarieta a její tečná struktura
verze.4 (203-2-09) 2.03,.2,.4,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,.03 Kapitola 2 Varieta a její tečná struktura Druhá kapitola v tuto chvíli obsahuje přehled značení týkající se variety a tečných tenzorů.
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceLogika a regulární jazyky
Logika a regulární jazyky Václav Brožek 10. listopad 2010 V. Brožek: Logika a regulární jazyky 1 Meta-poznámky dotazy a poznámky během přednášky vítány po přednášce rovněž vítány, např. na bleble@mail.muni.cz
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceÚvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1
Úvod do predikátové logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 1 Relace Neuspořádaná vs. uspořádaná dvojice {m, n} je neuspořádaná dvojice. m, n je uspořádaná dvojice. (FLÚ AV ČR) Logika:
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
VíceFakulta stavební GEOSTATISTIKA. Martin Dzurov, Kristýna Kitzbergerová, Lucie Šindelářová
České Vysoké Učení Technické v Praze Fakulta stavební GEOSTATISTIKA Martin Dzurov, Kristýna Kitzbergerová, Lucie Šindelářová Studijní program: Geoinformatika Vedoucí projektu: Dr. RNDr. Jana Nosková Praha,
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
Více2. RBF neuronové sítě
2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Víceplatné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??
Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Více10. Techniky formální verifikace a validace
Fakulta informačních technologií MI-NFA, zimní semestr 2011/2012 Jan Schmidt EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 10. Techniky formální verifikace a validace 1 Simulace není
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
VíceALS1 Přednáška 1. Pravěpodobnost, náhodná proměnná, očekávaná hodnota náhodné proměnné, harmonická čísla
ALS Přednáška Pravěpodobnost, náhodná proměnná, očekávaná hodnota náhodné proměnné, harmonická čísla Prostor elementárních jevů S je množina, jejíž prvky se nazývají elementární jev. Jev je podmnožina
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
Více