Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2012, ročník XII, řada stavební článek č.

Transkript

1 Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické niverzity Ostrava číslo 1, rok 2012, ročník XII, řada stavební článek č. 20 Oldřich SUCHARDA 1, Jiří BROŽOVSKÝ 2 VLIV VYBRANÝCH PARAMETRŮ NELINEÁRNÍ ANALÝZY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ EFFECT OF SELECTED PARAMETERS OF NON-LINEAR ANALYSIS OF CONCRETE STRUCTURES Abstrakt Příspěvek se zabývá srovnáním nmerických výpočtů s experimentem pro různé parametry počáteční podmínky plasticity fyzikálně nelineární analýzy. Dále se příspěvek zabývá ověřením vliv geometrické nelinearity dle teorie 2. řád a vlastní tíhy konstrkce na výpočet. Požitý konstittivní model beton kombinje Chen-Chenov podmínk plasticity a model zpevnění vypracovaný Ohtanim. Modelovaným experimentem zvoleným pro parametricko stdii je železobetonový nosník, který je zatížený dvěma silami. Klíčová slova Nosník, železobeton, podmínka plasticity, vlastní tíha, nelineární analýza. Abstract The paper deals with a comparison of nmerical calclations with experiment for different parameters of initial plasticity conditions by non-linear analysis. The paper also deals with a verification of the geometric non-linearity effect as per the theory of 2 nd order and strctral weight. The sed constittive model combines Chen-Chen condition of plasticity and Ohtani concept of hardening. The modelled experiment chosen for parametric stdy is reinforced concrete beam which is loaded by two forces. Keywords Beam, reinforced concrete, plasticity condition, strctral weight, non-linear analysis. 1 ÚVOD U nelineární analýzy železobetonových konstrkcí existje celá řada faktorů, které moho ovlivnit výsledky. Mezi tyto faktory také patří vliv geometrické nelinearity a vlastní tíhy konstrkce. U pržnoplastické analýzy betonových konstrkcí [3] jso to zase parametry počáteční podmínky plasticity. Předložený článek se zabývá vlivem vedených faktorů železobetonového nosník s obdélníkovým průřezem, který je zatížený dvěma silami. Důvodem je, že geometrická nelinearita, případně vliv vlastní tíhy se při analýzách často zanedbává [9]. Parametry počáteční podmínky plasticity beton zase nejso velmi často dostpné z dat experiment nebo informací z výrobny beton. Parametry podmínky plasticity jso meze plasticity pro jednoosý tah a tlak a dvojosý tlak, které se vyjadřjí nejčastěji pomoci smlvních hodnot z pevnostních charakteristik beton. 1 Ing. Oldřich Scharda, Katedra stavební mechaniky, Faklta stavební, VŠB-Technická niverzita Ostrava, Ldvíka Podéště 1875/17, Ostrava-Porba, tel.: (+420) , oldrich.scharda@vsb.cz. 2 Doc. Ing. Jiří Brožovský, Ph.D., Katedra stavební mechaniky, Faklta stavební, VŠB-Technická niverzita Ostrava, Ldvíka Podéště 1875/17, Ostrava-Porba, tel.: (+420) , jiri.brozovsky@vsb.cz. 151

2 Pro nmerické analýzy je zvolena metoda konečných prvků, která patří k nejznámějším nmerickým metodám pro analýz stavebních konstrkcí. Konkrétně jso zvoleny rovinné výpočetní modely a izoparametrický čtyřzlový konečný prvek [15]. Pro výztž je zvolen model rozetřené výztže [18]. 2 PRUŽNOPLASTICKÝ MODEL BETONU Pro nelineární analýz železobetonových konstrkcí existje řada konstittivních modelů [1, 3, 5, 8, 21, 22]. Zvolený konstittivní model beton kombinje Chen-Chenov podmínk plasticity [2] a model zpevnění vypracovaný Ohtanim [10]. Chen-Chenova podmínka plasticity [3] byla formlována speciálně pro beton na základě experimentů prováděných mj. Kpferem [6]. Uvedený konstittivní model beton je implementován v software BSA (Bilding and Strctral Analysis) vyvíjeném na VŠB-TU Ostrava [17, 19]. Chen-Chenova podmínka plasticity [2] je definována pomocí mezí plasticity materiál v jednoosém tlak f yc, mezí plasticity ve dvojosém tlak f ybc a mezí plasticity v jednoosém tah f yt. Pro požití konstittivního model beton je také ntné definovat podmínk poršení, která se získá z pevnosti beton v jednoosém tlak f c, pevnosti beton v dvojosém tlak f bc a pevností beton v jednoosém tah f t. Mez plasticity materiál se může následně vyjádřit pomocí koeficient pro jednotlivé způsoby namáhání jako: f yc = f c, (1) f ybc = f bc, (2) f yt = f t. (3) Koeficient může nabývat hodnot 0 až 1. Hodnoty koeficient se nejčastěji volí od 0,3 [3] až 0,5 [17]. Parametrická stdie je provedena pro čtyři vybrané hodnoty koeficient. Počáteční plocha plasticity, následné plochy plasticity a plocha poršení jso zobrazeny v rovině hlavních napětí na obr. 1. Na obrázk je také zobrazen pracovní diagram beton. Obr. 1: Pracovní diagram beton a Chen-Chenova podmínka plasticity (poršení) 3 IMPLEMENTACE VLIVU GEOMETRICKÉ NELINEARITY DLE TEORIE 2. ŘÁDU DO VÝPOČTU METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ Při analýze železobetonových nosníků zatížených příčným zatížením převažje ve většině případů vliv fyzikální nelinearity nad geometricko. Často se proto vliv geometrické nelinearity zanedbává [9]. Pro ověření vliv geometrické nelinearity je ve vyvíjeném program BSA praven výpočetní algoritms, aby respektoval teorii 2. řád. Výpočetní postp řešení sostavy nelineárních rovnic je opět řešen přírůstovým postpem [13, 14]. V teorii 2. řád se podmínky rovnováhy sestavjí v zlech výpočetního model deformované konstrkce [20]. 152

3 Pro rovnovážný stav platí: f ext f int 0, (4) kde: f ext je vektor externích (vnějších) sil a f int je vektor vnitřních sil. U geometricky nelineárního výpočt se matice thosti konstrkce změní vlivem deformace od zatížení: K K( ). (5) Rovnovážný stav již přestane platit a vznikne vektor rezidí: f ext f int r. (6) Přírůstek deformace α od vzniklého vektor rezidí se vyřeší rovnicí: K α r. (7) Výsledný vektor deformace ~ je: α (8) kde: je vektor deformace od vnějšího zatížení a α je vektor přírůstk deformace od vliv geometrické nelinearity. Uvedený výpočetní postp se v přírůstkovém řešení rozloží do více kroků. Samotná implementace teorie 2. řád spočívá v aktalizaci geometrie výpočetního model konstrkce pro každý zatěžovací krok nebo iteraci. 4 STUDIE VLIVU PARAMETRŮ POČÁTEČNÍ PODMÍNKY PLASTICITY Modelovaným experimentem zvoleným pro stdii parametrů počáteční podmínky plasticity je železobetonový nosník, který je zatížený dvěma silami. Zvolený experiment provedli a pblikovali Gaston, Siess, and Newmark [4]. Podklady z provedeného experiment jso převzaty z pblikace [7]. Schéma experiment je zobrazeno na obr. 2. Obr. 2: Schéma experiment Železobetonový nosník je z beton, který má pevnost v tlak 32,3 MPa. Modl pržnosti beton E c je 27,1 GPa a Poissonův sočinitel 0,17. Protože pevnost beton v tlak a modl pržnosti mají nízko korelaci pro obyčejné betony, pevnost beton v tah se rčila na základě doporčení [12]: 3) f 0,3(0,7 (2 / t f c ), (9) kde f c je pevnost beton v tlak. 153

4 Pevnost beton ve dvoosém tlak byla stanovena: f 1, 2. (10) bc f c Výpočet je proveden postpně pro koeficient s hodnoto 0,3, 0,4, 0,45 a 0,5, který se požil k výpočt parametrů (1), (2), (3) počáteční podmínky plasticity. Stpeň vyztžení železobetonového průřez vztažený k efektivní výšce průřez je 0,0062. Pracovní diagram výztže se předpokládá ideálně pržnoplastický. Mez klz oceli f y je 323,6 MPa a modl pržnosti E s je 198,0 GPa. Výpočetní model je pro výpočet rovinný. Pro názornost je vizalizace výpočetního model provedena prostorově v preprocesor výpočetního systém ANSYS [16] a zobrazen na obr. 3. Obr. 3: Výpočetní model 0,9 0,8 0,7 Násobitel zatížení [-] 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,000 0,005 0,010 0,015 Experiment alfa=0,3 alfa=0,4 alfa=0,45 alfa=0,5 Posntí y [m] Obr. 4: Výsledky výpočt Porovnáním experiment a výsledků nmerických výpočtů je možné konstatovat, že ve většině výpočtů je mírně nadhodnocena počáteční thost výpočetního model. Poze výpočt pro = 0,30 je thost výpočetního model mírně podhodnocená. Dále je při zatěžování rozdíl pracovních diagramů nmerických výpočtů a experiment malý. Celkový průběh pracovního diagram experiment a maximální únosnost nosník nejlépe vystihje výpočet pro = 0,45. Dobro shod celkového průběh pracovního diagram experiment má také výpočet pro = 0,40. Pro ilstraci 154

5 provedených výpočtů jso na obr. 5 7 vedeny výsledky výpočt normálového napětí pro = 0,45. Obrázky zobrazjí počáteční stav rozvoje plastické oblasti v tažené oblasti a stav, kdy dochází ke koncentraci tlak na horním okraji. Další zatěžování vede k plastizaci výztže a drcení beton a končení výpočt. Obr. 5: Normálové napětí x během zatěžování [MPa] Násobitel zatížení = 0,10 (Max = 0,98 MPa; Min = 1,24 MPa) Obr. 6: Normálové napětí x během zatěžování [MPa] Násobitel zatížení = 0,30 (Max = 1,16 MPa; Min = 5,60 MPa) Obr. 7: Normálové napětí x během zatěžování [MPa] Násobitel zatížení = 0,62 (Max = 1,39 MPa; Min = 12,71 MPa) 5 VLIV TEORIE 2. ŘÁDU NA VÝPOČET Následjící analýza se zabývá vlivem teorie 2. řád nosník z předešlé parametrické stdie. Pro další výpočty je zvolen počáteční podmínky plasticity koeficient = 0,45. Při analýze běžných železobetonových konstrkcí namáhaných především ohybem převažje ve většině případů vliv fyzikální nelinearity nad geometricko. Často se proto vliv geometrické nelinearity zanedbává [9]. Pro ověření vliv geometrické nelinearity je ve vyvíjeném program BSA praven výpočetní algoritms, který je založen na požití metody Newton-Raphson [14]. Pro zvolený typ geometrické nelinearity se předpokládají malé deformace. Pro geometricko nelinearit je konkrétně požitý postp dle teorie 2. řád, kdy se podmínky rovnováhy sestavjí v zlech výpočetního model deformované konstrkce. Samotná implementace teorie 2. řád spočívá v aktalizaci geometrie výpočetního model konstrkce pro každý zatěžovací krok nebo iteraci. Podobný postp úpravy geometrie výpočetního model konstrkce je také požit ve výpočetním program ATENA [11]. Výpočty z výpočetního program BSA jso doplněny o výsledky z programů SCIA [20], ATENA [11] a ANSYS [16]. V alternativních programech je proveden výpočet poze pro geometricko nelinearit a fyzikálně lineární výpočet. U výpočt byl sledován průhyb prostřed rozpětí. Je provedeno pět variant výpočtů. Jejich rozdělení vádí tablka

6 Tab. 1: Parametry výpočt a výpočetní programy Parametry výpočt Výpočetní programy Výpočty geom. nelinearita vlastní tíha konstrkce fyzikální nelinearita BSA SCIA ANSYS ATENA Výpočet 1 ne ne ne ano ano ano Ano Výpočet 2 ano ne ne ano ano ano Ano Výpočet 3 ne ne ano ano ne ne Ne Výpočet 4 ano ne ano ano ne ne Ne Výpočet 5 ano ano ano ano ne ne Ne U výpočt v program BSA je do thosti výpočetního model konstrkce zahrnta také výztž. V program ANSYS [16] jso v nelineárním řešiči výpočt nastaveny velké deformace. Protože výsledky lineárního výpočt se mírně odlišjí pro jednotlivé programy, byl sledován poměr maximálních deformací: a rozdíl maximálních deformací: geo. nelin. 1 [-] (11) geo. lin. geo [m], (12) 2. nelin. geo. lin. kde: je svislá deformace pro geometricky nelineární výpočet [m] a geo.nelin. geo.lin. je svislá deformace pro geometricky lineární výpočet [m]. Rozdíl maximálních svislých deformací 2 pro všechny výpočetní programy je m. Poměr maximálních deformací 1 pro svislý průhyb prostřed rozpětí nosník pro geometricky lineární a nelineární výpočet v programech BSA, SCIA [20], ANSYS [16] a ATENA [11] je veden v tablce 2. Fyzikální nelinearita není zahrnta do výpočt. Jso požity výpočty 1 a 2. Tab. 2: Poměr deformací 1 pro geometricky nelineární a lineární výpočet Výpočetní program BSA SCIA ANSYS ATENA 1 [-] 1, , , , Další výpočty se prováděly poze v program BSA. Ve výpočtech byla vždy zahrnta fyzikální nelinearita. Poměr deformací 1 geometricky lineárního a nelineárního výpočt v program BSA pro vybrané hodnoty násobitele zatížení vádí tab. 3. Ve výpočt se vlastní tíha konstrkce nevažovala. Jso požity výpočty 3 a 4. Maximální dosažená hodnota násobitele zatížení pro výpočet 4 byla 0,83. Tab. 3: Poměr deformací 1 pro geometricky nelineární a lineární výpočet program BSA Násobitel zatížení 0,3 0,6 0,8 1 [-] 1, , ,

7 6 VLIV VLASTNÍ TÍHY KONSTRUKCE NA VÝPOČET Pro ověření vliv vlastní tíhy konstrkce byl proveden nelineární výpočet v program BSA. Pro výpočet vlastní tíhy konstrkce nosník se važovalo s objemovo hmotností beton 2500 kg/m 3 a oceli 7850 kg/m 3. Srovnávané výpočty zahrnovaly fyzikální nelinearit. U výpočt zahrnjící poze zatížení nebyla geometrická nelinearita zahrnta. U výpočt zahrnjící zatížení a vlastní tíh konstrkce byla geometrická nelinearita zahrnta. Podobně jako v předešlém výpočt se rčil poměr maximálních deformací: vl. tíha zatížení. 3 [-], (13) zatížení. kde: vl. tíha zatížení. je svislá deformace od vlastní tíhy konstrkce a zatížení [m] a zatížení. je svislá deformace od zatížení [m]. Poměr deformací 3 pro svislý průhyb prostřed rozpětí nosník vypočtený v program BSA pro vybrané hodnoty násobitele zatížení vádí tab. 4. Jso požity výpočty 3 a 5. Maximální dosažená hodnota násobitele zatížení pro výpočet 5 byla 0,80. Průběhy pracovních diagramů svislého průhyb prostřed rozpětí nosník se výpočt 3 a 5 odlišovaly do 5,0 %, poze hodnota pro násobitel zatížení 0,8 byla 6,44 %. Tab. 4: Poměr deformací 3 pro geometricky nelineární a lineární výpočet program BSA Násobitel zatížení 0,3 0,6 0,8 3 [-] 1, , , ZÁVĚR Příspěvek se zabývá volbo parametrů počáteční podmínky plasticity pržnoplastické analýzy železobetonových konstrkcí. Postpně je provedena parametrická stdie pro čtyři hodnoty koeficient Za jeden z nejvhodnějších koeficientů pro počáteční podmínk plasticity je hodnota 0,45, kdy ta je shodná s doporčením [12]. Dále se příspěvek zabýval vlivem geometrické nelinearity a vlastní tíhy konstrkce pržnoplastické analýzy. Geometrická nelinearita byla zahrnta do výpočt dle teorie drhého řád. U provedených výpočtů byl pro nosník s obdélníkovým průřezem zatíženým dvěma silami vliv geometrické nelinearity v řádech maximálně jednotek promile. U výpočt zohledňjící také vlastní tíh konstrkce byl vliv konkrétních hodnot pracovního diagram do 6,44 %. PODĚKOVÁNÍ Projekt byl realizován za finanční podpory ze státních prostředků České repbliky prostřednictvím Stdentské grantové sotěže v rámci specifického výzkm na Vysoké škole báňské Technické niverzitě Ostrava. Registrační číslo projekt je SP2012/94. LITERATURA [1] ČERVENKA, J., PAPANIKOLAOU, V.,K. Three dimensional combined fractre plastic material model for concrete. Int J Plasticity. 2008, 24, 12, pp , ISSN [2] CHEN, A. C. T., CHEN, W. F. Constittive Relations for Concrete. Jornal of the Engineering Mechanics Division ASCE, [3] CHEN, W. F. Plasticity in Reinforced Concrete. Mc. New York: Graw Hill,

8 [4] GASTON JR, SIESS CP, NEWMARK NM. A layered finite element non-linear analysis of reinforced concrete plates and shells. Civil Engineering Stdies, SRS No. 389, Univ. of Illinois, Urbana, [5] KRALIK, J, KRALIK, J. Seismic analysis of reinforced concrete frame-wall systems considering dctility effects in accordance to Erocode. Engineering Strctres. 2009, roč. 31, č. 12, str ISSN [6] KUPFER H., HILSDORF H., K., RÜSCH H. Behavior of Concrete Under Biaxial Stress, Jornal ACI, Proc. V. 66, č. 8, [7] KWAK, H., G, KIM, S., P, Bond-slip behavior nder monotonic niaxial loads, Jornal Engineering Strctres, Vol. 23, Iss.: 3, pp , ISSN [8] MIKOLAŠEK, D., SUCHARDA, O., BROŽOVSKÝ, J. Přístp k modelování a analýze železobetonových konstrkcí. Konstrkce. 2011, roč. 10, č. 5, s ISSN [9] NĚMEC, I., BUČEK J., Metody výpočt - porovnání různých výpočetních metod, FEM conslting, s.r.o, [10] OHTANI, Y., CHEN, W. F. Mltiple Hardening Plasticity for Concrete Materials. Jornal of the EDM ASCE, [11] Programový systém ATENA 2D: Theory Manal. Praha: Červenka Conslting, [12] PROCHÁZKA, J. a kol. Navrhování betonových konstrkcí 1. 2 vyd. Praha: ČVUT v Praze, ISBN [13] RAVINGER, J. Modelovanie nelineárneho pôsobenia železobetónového nosníka požitím MKP. Stavebnický časopis. 35, , [14] RAVINGER, J. Programy statika, stabilita a dynamika stavebných konštrkcií. Alfa, Bratislava, [15] ROMBACH, G. Anwendng der Finite-Elemente-Methode im Betonba. 2. Aflage. Berlin: Ernst & Sohn, ISBN [16] RELEASE 11 DOCUMENTATION FOR ANSYS, SAS IP, INC., 2007 [17] SUCHARDA, O., BROŽOVSKÝ, J. Pržnoplastické modelování železobetonového nosník: implementace a srovnání s experimentem. Sborník vědeckých prací VŠB-TUO, řada stavební. 2011, roč. 11, č. 1, s ISSN [18] SUCHARDA, O., BROŽOVSKÝ, J. Modely betonářské výztže pro konečněprvkovo analýz konstrkcí. Sborník vědeckých prací VŠB-TUO, řada stavební, 2011, roč. 11, č. 2, s ISSN [19] SUCHARDA, O., BROŽOVSKÝ, J. Dílčí výzkmná zpráva CIDEAS za rok 2011 Analýza železobetonových konstrkcí vyžívají fyzikálně nelineární chování materiál. ( ), MŠMT ČR, registrační číslo projekt 1M0579. [20] Scia Engineer [online] [cit ]. Dostpný z WWW: < [21] VESELÝ, V., FRANTÍK, P., VODÁK, O., KERŠNER, Z., Lokalizace průběh poršování v betonových vzorcích stanovená pomoci akstické a elektromagnetické emise a nmerických simlací. Sborník vědeckých prací VŠB-TUO, řada stavební, 2011, roč. 11, č. 2, s ISSN [22] VECCHIO, F., J., BUCCI, F., Analysis of Repaired Reinforced Concrete Strctres, ASCE J. of Strctral Engineering, vol. 125, No. 6, pp , Oponentní posdek vypracoval: Prof. Ing. Alois Materna, CSc., MBA, ČKAIT, Brno. Doc. Ing. Eva Kormaníková, PhD., Katedra stavebnej mechaniky, Stavebná faklta, TU v Košiciach. 158