Typy nelinearit. jen v tahu (jen v tlaku), pružnost, plasticita, lomová mechanika,... ), geometrická nelinearita velká posunutí, pootočení.

Transkript

1 Typy nelinearit konstrukční nelinearita např. jednostranné vazby nebo prvky působící jen v tahu (jen v tlaku), fyzikální nelinearita vlastnosti materiálu nejsou lineární pružné (nelineární pružnost, plasticita, lomová mechanika,... ), geometrická nelinearita velká posunutí, pootočení. 1

2 Konstrukční nelinearita F F jednostranné vazby vazba působí jen v určitých situacích (např. v tlaku), využívá se mj. řešení kontaktních úloh (ve spojení s Winklerovým nebo jiným modelem podloží), vyžaduje iterační řešení. 2

3 Příklad deska na podloží (1) 1. Výpočet desky na výřezu poloprostoru 2. Zjištění ekvivalentního C pro Winklerův model 3. Další práce s deskou na Winklerově podloží 3

4 Příklad deska na podloží (2) ufem CS: CART Time: 1 24 ETyps: 1 RSets: 1 Mats : 2 KPs : 40 GEnts: Nodes: Elems: Disps: 684 Loads: 0 ActET: 1 ActRS: 1 ActM : 2 Divs : z y x

5 Příklad deska na podloží (3) 5

9 Příklad deska na podloží (7) D model 2D model Halfspace Deformation Iteration 9

10 Fyzikální nelinearita F Nelineární pružnost Neplatí Hookeův zákon Nejsou nevratné deformace Pružnoplastické chování Vznikají nevratné deformace Viskoelasticita, viskoplasticita,... Křehké porušení Vědní obor Lomová mechanika Náhlé porušení materiálu F F u u u 10

11 Fyzikální zdůvodnění plasticity (1) Změny v krystalické mřížce Schmidtův zákon : τ τ τ max (1) Dosažení napětí τ max vede ke změnám v krystalické mřížce Deformace krystalické mřížky pružná deformace Změny krystalické mřížky nepružná deformace (platická) τ 11

12 Fyzikální zdůvodnění plasticity (2) Zkosení γ v důsledku smykových napětí τ γ τ 12

13 Fyzikální zdůvodnění plasticity (3) Problémy Orientace krystalů v běžných stavebních látkách: Obecná orientace (obvykle není jeden zřejmý hlavní systém) Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin ) V praktických úlohách (stavební mechanika) nelze Schmidtův zákon přímo použít Využití jednodušších modelů na makroskopické úrovní (tuhoplastický aj.) τ τ 13

14 Modely pro plasticitu v 1D Představa: soustava různě zapojených jednoduchých prvků (jako v elektřině): Pružina (s pružnou deformací ε e ) Ideálně plastický článek (s plastickou deformací ε e ) ε e o ε p 14

15 Tuhoplastický model (1) o Ideálně tuhoplastický model (bez zpevnění): Tresca, Saint-Vénant Při napětí menším než o je deformace nulová Při napětí právě rovném o je deformace plastická (narůstá bez další změny napětí) f y = o ε p ε 15

16 Tuhoplastický model (2) Přírůstek poměrné deformace ε = ε Pro < o... ε = 0 Pro = o... ε 0 Pro > o... nemůže nastat ε o p Zápis v podobně funkce: o 0, ε 0, ( o ) 0 (2) f y = o Zřejmě směr ε a musí být shodný: ε = λ sgn(), λ 0 (3) ε kde λ... plastický násobitel. 16

17 Tuhoplastický model (3) Pojmy: Funkce plasticity: f() = o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Podmínka komplementarity zajišt uje, že případy f() < 0 (tuhé chování) a λ > 0 (plastické chování) nemohou nastat současně. 17

18 Ideálně pružnoplastický model (1) Ideálně pružnoplastický model (bez zpevnění) Seriové zapojejí pružného článku a tuhého článku Pružný článek Hookeův zákon: ε e o ε p f = E ε (4) Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí právě rovném o je deformace plastická (narůstá bez další změny napětí) F u plastic elastic 18

19 Ideálně pružnoplastický model (2) Celková poměrná deformace Pokud L o... původní délka, L = L e + L p... délka po úplném odlehčení. Celková poměrná deformace Pružná část Plastická část ε = L L o L o = L L o 1 (5) ε e = L L e L e = L L e 1 (6) ε p = L L p L p = L L p 1 (7) Tedy celková poměrná deformace pružnoplastického materiálu: ε = L L o L o = L L p L p Lo 1 = (1 + ε e)(1 + ε p ) 1 = ε e + ε p + ε e ε p (8) 19

20 Ideálně pružnoplastický model (3) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Funkce plasticity: f() = o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 20

21 Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (1) Paralelní zapojení tuhého a pružného článku Při napětí menším než o je deformace nulová Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická: H o Celkové napětí: ε = ε p (9) ε p = o + H ε p (10) H H... modul zpevnění, plastický modul Zpětné napětí (ve zpevnění): b = H ε p (11) f y = o H 21 ε

22 Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (2) H Zpětné napětí (zákon plastického zpevnění): o b = H ε p Zákon plastického přetváření: ε p = λ sgn( b ) (12) Kinematické zpevnění: zpětné napětí ovlivňuje hodnotu napětí nutného k pokračování plastické deformace ( posouvá okamžitou mez kluzu) f y = o ε H p H ε 22

23 Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (3) Pojmy: Funkce plasticity: f() = o Modul zpevnění: H Okamžitá mez kluzu: pl = o + H ε p Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn( b ), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 23

24 Pružnoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (1) Paralelní zapojení tuhého a pružného článku (H) Seriové připojení pružného článku (E) Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická Funkce plasticity: E ε e H o ε p f(, b ) = b o, (13) f y = o H kde b = H ε Zákon plastického přetváření: ε p = λ sgn( b ) (14) E ε 24

25 Pružnoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (2) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Okamžitá mez kluzu: pl = o + H ε p, a b = H ε p Funkce plasticity: f() = b o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn( b ), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 25

26 Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (1) Seriové připojení pružného článku (E) článku s izotropním zpevněním (odpor proti plastické deformaci postupně vzrůstá) Izotropní zpevnění: při zatěžování vzrůstá okamžitá mez kluzu v tahu i v tlaku Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická f y = o E E ε e H H, ε p o ε 26

27 Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (2) Kumulovaná plastická deformace κ: dκ = dε p (15) E H, o κ = d ε p (16) Celková hodnota κ: t κ = ε p dt (17) 0 Okamžitá hodnota meze kluzu: f y = o ε e H ε p Y = o + H κ (18) Funkce plasticity: f(, Y ) = = Y (19) E ε 27

28 Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (3) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Okamžitá mez kluzu: Y = o + H κ Funkce plasticity: f(, Y ) = = Y Podmínka plastické přípustnosti: f(, Y ) 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Kumulovaná plastická deformace: κ = ε p Zpevnění: Y = o + H κ 28

29 Víceosá napjatost Pružnoplastický model s izotropním zpevněním: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p Pružné chování: = D e ε Funkce plasticity: f(, ) Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Kumulovaná plastická deformace: κ = ε p 29

30 Varianty teorie plasticity (1) Teorie plastických deformací: popisuje vztahy mezi konečnými hodnotami složek vektorů napětí a deformace: = D EP ε řešení nezávisí na zatěžovací dráze ε 30

31 Varianty teorie plasticity (2) Teorie plastického tečení: popisuje vztahy mezi přírůstky (rychlostmi) napětí a deformace: = D ep ε výsledky řešení závisí na zatěžovací dráze řešení je možno provést jako posloupnost přírůstkových kroků ε 31

32 Teorie plastického tečení (1) Hledané veličiny přírůstky (rychlosti): napětí: = { x, y, z, τ yz, τ yz, τ xy } T poměrných deformací: ε = { ε x, ε y, ε z, γ yz, γ yz, γ xy } T posunů: u = { u, v, ẇ} 32

33 Teorie plastického tečení (2) Předpoklady: znalost napětí a poměrných deformací ε na začátku zatěžování pole jednotlivých studovaných veličin vyhovují všem okrajovým podmínkám úlohy 33

34 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (1) Fyzikální (konstitutivní) rovnice: = D ep ε Rozklad přírůstku deformace na pružnou a plastickou část: ε = ε e + ε p Podmínka plasticity (slouží k popisu přechodu z pružného do plastického stavu): f(, k) = 0 34

35 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (2) Podmínka konzistence materiálu v plastickém stavu: { } f T { } f T df = {d} + {dk} = 0 k Celková změna plastického potenciálu je rovna 0. 35

36 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (3) Rychlost plastické deformace (zákon plastického přetváření): { } f ε p = dλ Vektor přírůstků (rychlostí) napětí: ( = d = D e ( ε ε p ) = D e ε dλ { }) f 36

37 Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (4) Ekvivalentní plastická deformace: dε p = ε pt ε p = dλ { f } T { } f Z podmínky konzistence: { } f T { } f T { } f D e dε dλ D e { f + dλ f } T { } f ε p = 0 37

38 Pružnoplastická matice t. m. (5) Vyjádření parametru dλ: dλ = { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p ( { }) Dosazení do vztahu pro přírůstky napětí = D e ε dλ f : = D e ε { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p { df d } 38

39 Pružnoplastická matice t. m. (6) Získaný vztah pro je možné upravit do tvaru: = D ep ε, kde pružnoplastická matice tuhosti materiálu D ep je: D ep = D e { } { D f f T e } De { f { } f T { } De f f ε p } T { } f 39

40 Podmínka plasticity a porušení 1. Počáteční podmínka plasticity 2. Následná podmínka plasticity 3 2 F 1 3. Podmínka porušení 1 u

41 Zpevnění (1) F 1 u 2 41

42 Zpevnění (2) 2 Kinematické následné podmínky plasticity mění polohu tvar a velikost se nemění Izotropní velikost se proporcionálně zvětšuje následné podmínky plasticity nemění polohu Kombinované nejvíce odpovídá skutečným látkám

43 Zpevnění (3) Kombinované zpevnění

44 Další podrobnosti Jirásek, M., Zeman, J.: Přetváření a porušování materiálů, ČVUT v Praze, 2006, 2010 Servít a kol.: Teorie pružnosti a plasticity I., SNTL, Praha, 1981 (celostátní učebnice) 44

45 TÉMA: Podmínky plasticity pro stavební materiály Rankinova Trescova von Misesova Mohrova Coulombova Chen Chenova 45

46 Podmínka plasticity a porušení 1. Počáteční podmínka plasticity 2. Následná podmínka plasticity 3 2 F 1 3. Podmínka porušení 1 u

47 Podmínky plasticity (1) Teorie maximálních normálových napětí (Rankine): 2 md 1 mt 1 mt = 0 mt md 1 2 md = 0 md mt 47

48 Podmínky plasticity (2) Teorie maximálních smykových napětí (Tresca): 2 τ max = τ m = 0 mt 1 3 mt = 0 (τ m = mt 2 ) mt mt 1 md = mt mt 48

49 Podmínky plasticity (3) Podmínka měrné energie změny tvaru (von Mises) (von Mises, Huber, Hencky): 2 von Mises ( 1 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 + ( 1 3 ) 2 = 2 2 mt mt md = mt Poznámka: von Misesovo napětí : ( 1 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 + ( 1 3 ) 2 2 mt mt Tresca mt 1 49

50 Podmínky plasticity (4) Mohrova Coulombova podmínka: 2 1 mt md 3 mt = 0 md mt mt md 1 md mt 50

51 Podmínky plasticity (4) Chen Chenova podmínka: 2 Tvar podmínky pro oblast tlak tlak ( 1 < 0 a 2 < 0, 3 < 0): f ybc f yc f yt f yt 1 J 2 + A yc 3 I 1 τ 2 yc = 0 Tvar pro ostatní oblasti: J I2 1 + A yt 3 I 1 τ 2 yt = 0 f yc f ybc 51

52 Chen Chenova podmínka plasticity (1) 2 Klasické podmínky plasticity (von Mises, Tresca) pro beton nevyhovují Experimentální výzkum betonových vzorků ve stavu rovinné napjatosti (prof. Kupfer, Německo) Řada aproximací experimentálně zjištěných dat (Kupfer, Chen a Chen, Willam a Warnke,... ) Chen a Chen: Aproximace Kupferových dat pomocí kuželoseček Funkce navržena jako podmínka plasticity i podmínka porušení betonu mt mt mt 2 mt

53 Chen Chenova podmínka pl. (2) 2 Tvar podmínky pro oblast tlak tlak ( 1 < 0 a 2 < 0, 3 < 0): f ybc f yc f yt f yt 1 J 2 + A yc 3 I 1 τ 2 yc = 0 Tvar pro ostatní oblasti: kde: J I2 1 + A yt 3 I 1 τ 2 yt = 0 f yc f ybc I 1 = J 2 = 1 2 ( ) 53

54 Chen Chenova podmínka pl. (3) Vyjádření konstant A yx, τ yx pomocí úměrnosti materiálu: A yc = f 2 ybc f 2 yc 2f ybc f yc τ 2 yc = f ybcf yc (2f yc f ybc ) 3(2f ybc f yc ) f ybc f yc 2 f yt f yt 1 A yt = f yc f yt 2 τ 2 ut = f ycf yt 6 f yc f ybc 54

55 Chen Chenova podmínka porušení (3) Podmínka porušení materiálu může být definována stejným postupem pomocí mezí pevnosti materiálu: J 2 + A uc 3 I 1 τ 2 uc = 0 J I2 1 + A ut 3 I 1 τ 2 ut = 0 A uc = f 2 ubc f 2 uc 2f ubc f uc τ 2 yc = f ubcf yc (2f uc f ubc ) 3(2f ubc f uc ) A ut = f uc f ut 2 τ 2 ut = f ucf ut 6 55

56 Chen Chenova podmínka porušení (4) Mezilehlé podmínky (pro stavy ležící mezi podmínkou plasticity a podmínkou porušení): A c = α c τc 2 + β c A t = α t τt 2 + β t u y α c = A uc A yc τ 2 uc τ 2 yc β c = A ycτ 2 uc A yc τ 2 yc τ 2 uc τ 2 yc α t = A ut A yt τ 2 ut τ 2 yt β t = A ytτ 2 ut A ytτ 2 yt τ 2 ut τ 2 yt 56

57 Příbuzné podmínky Kupferova podmínka porušení: definována pro 2D napjatost používá data ze standardizovaných zkoušek (válcová pevnost betonu) Podmínka Willama Warnkeho: definována pro 3D tvarově a vstupními daty velmi podobná Chen Chenově p.: f = 1 I J = 0, 3z c 5 r(θ) c kde θ = 1 3 cos 1 ( J 3 J 3/2 3 ). 57

58 Willam Warnke: implementace v programu ANSYS Stránky výrobce: Použití jen pro 3D konečný prvek SOLID65 ω se použije pro zlepšení konvergence, je-li KEYOPT(7)=1 Veličina Zkratka Doporučení Smykové spolupůsobení otevřené trhliny φ (0.4) Smykové spolupůsobení uzavřené trhliny φ a 0..1(0.7), φ 2 2 φ 1 Pevnost v jednoosém tahu Pevnost v jednoosém tlaku Pevnost v dvojosém tlaku f bc f bc = 1.2 f c Hydrostatický tlak h a h a = 3f c Pevnost v dvojosém tahu odpovídající h a f 1 f 1 = 1.45 f c Pevnost v jednoosém tlaku odpovídající h a f 2 f 2 = f c Násobitel smykové pevn. v porušeném bet. ω ω = 0.6 f t f c 58

59 Willam Warnke: implementace v programu ANSYS příklad dat 59

60 Příklad konečněprvkový model oblouku 60

61 Příklad plastické oblasti na oblouku 61

62 Příklad pracovní diagram (závislost F w) 140 "arc18chen.rtrack" using 3:5 "arc18smc.rtrack" using 3: Relative load Relative displacement 62

63 Parameter zpevnění ilustrace (1) Vztah mezi přírůsky napětí a deformace: = D ep ε, Pružnoplastická matice tuhosti materiálu: D ep = D e Parametr zpevnění ψ: { } { D f f T e } De { f { } f T { } De f f ε p ψ = f ε p } T { } f 63

64 Parameter zpevnění (2) Parametr zpevnění (funkce) ψ: ψ = f ε p Přepis například do tvaru: ve zkráceném tvaru: ψ = { f } { } T ε p, (20) ψ = Q H. (21) H vyjadřuje derivaci funkce závislosti napětí na ekvivalentní plastické deformaci. H je možno získat ze zkoušek příslušného materiálu. 64

65 Parameter zpevnění (3) Aproximace H Rambergovou Osgoodovou funkcí H vyjadřuje derivaci funkce závislosti napětí na ekvivalentní plastické deformaci derivace aproximace této závislosti (lze použít jakoukoli vhodnou funkci). Aproximace Rambergovou Osgoodovou funkcí: ε = ( ) n + k, (22) E o E o kde k a n jsou vhodně určené parametry a E o je počáteční modul pružnosti. Křivka popsaná rovnicí (22) je parabola n-tého stupně. 65

66 Parameter zpevnění (4) Rozklad poměrné deformace ε na složku pružnou ε e a plastickou ε p : ε = ε e + ε p. (23) Pružná složka deformace z rovnice (22) ε = E o + k ( Eo ) n : ε e = E o. (24) Tedy vztah pro plastickou deformaci: ε p = k ( E o ) n. (25) 66

67 Parameter zpevnění (5) Při označení H = ε p = Φ (ε p ), (26) je možné psát ε p = k ( E o ) n = Φ 1 () (27) a ze vztahu pro derivaci inverzní funkce plyne: H = Φ = 1 Φ 1 = E o k n ( E o ) 1 n. (28) 67

68 Parameter zpevnění (6) Pro určení parametrů k, n v rovnici H = Φ = 1 Φ 1 potřebná znalost dvou bodů křivky A [ε a, a ] a B [ε b, b ]. = E o k n ( Eo ) 1 n je Dosazením jejich souřadnic do (22), tj. ε = E o + k ( Eo ) n vyplyne: n = ln ( ) E o ε a a E o ε b b k = ( a E o ln ( ), (29) a b ) 1 n ( ) Eo ε a 1. (30) a 68

69 Parameter zpevnění (7) Příklad aproximace Rambergovou Osgoodovou funkcí 8e+06 7e+06 6e+06 equivalent stress [Pa] 5e+06 4e+06 3e+06 2e+06 1e+06 Ramberg-Osgood inelastic elastic equivalent strain [-] Bod poměrná deformace [ ] napětí [M P a]

70 Příklad konečněprvkový model oblouku 70

71 Příklad plastické oblasti na oblouku 71

72 Příklad pracovní diagram (závislost F w) 140 "arc18chen.rtrack" using 3:5 "arc18smc.rtrack" using 3: Relative load Relative displacement 72

73 Příklad zjednodušený model betonu (1) Rankinova podmínka porušení (f t 1 f cr ) Po porušení nulová pevnost (E dam << E orig ) Velmi přibližný model závisí na síti konečných prvků apod. 73

74 Příklad model betonu (2) ufem CS: CART Time: e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 y x z hraz

75 Příklad model betonu (3) 1.3 m q 3.0 m 0.4 m 0.4 m 75

76 Pr ı klad model betonu (4) ufem CS: CART Time: 1 y z bubak x

77 Příklad model betonu (5) 77