Matematická indukce. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 3

Transkript

1 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 3 Evropský sociální fond. Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 1/ 35

2 Matematická indukce Matematická indukce- velmi užitečný způsob dokazování vlastností založených na celých(přirozených) číslech. Příklad 1 Dokážeme,žesoučetčíselod1do n(pro n 1)jeroven n(n+1) 2 1 Tvrzeníplatípro n=1,neboť 1.(1+1) 2 = =1 2 Přepokládáme,žetvrzeníplatíprolibovolné n 1,adokážeme,že potomplatíipro n+1: n+(n+1)=(1+...+n)+(n+1)=...= (n+1)(n+2) 2 doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 2/ 35

3 Slabá indukce Definice 2 Slabý princip matematické indukce Nechť n 0 Zabudiž V(n)vlastnostcelýchčísel,kterámásmyslpro n n 0.Předpokládejme,ženásledujícípředpokladyjsousplněny: 1 (Základníkrok) V(n 0 )platí. 2 (Indukčníkrok)Prokaždé n Z,n n 0 jepravdivánásledující implikace: jestližeplatí V(n),pakplatíiV(n+1). Potom V(n)platíprovšechna n Z,n n 0. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 3/ 35

4 Dláždíme šachovnici Příklad 3 Mějmečtvercovoušachovnicis2 n 2 n poli,znichžjednojeoznačeno. Tvrdíme, že všechna zbývající pole lze vydláždit dlaždicemi složenými ze tří čtverečků ve tvaru L tak, aby se nepřekrývaly. Dokazujeme tvrzení V(n): Popsanépokrytíjemožnépročtverecostraně2 n bezjednohopole. 1 Pro n=1mámečtverecostraně2 1 =2sjednímoznačenýmpolemzbytek tvoří přesně jednu dlaždici ve tvaru L. 2 Mějme n 1apředpokládejme,žeumímevydlážditčtverecostraně 2 n bezjednohopole.jakvydlážditčtverecostraně2 (n+1) bez jednoho pole? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 4/ 35

5 Ještědláždíme... OBRAZEK Příklad 4 Kolik dlaždic bude třeba? Pro n=1je c 1 =1,jinak c n+1 =4 c n +1 Řešeníje(kupodivu!?) c n = 4n 1 3. Poznámka: Bylo dokázáno, že vydláždit jdou i čtvercová pole obecné velikosti n n,pokudje n 2 1dělitelnétřemisvýjimkouněkterých situacínačtverci5 5. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 5/ 35

6 Úskalí indukce POZOR- při použití matematické indukce nedokazujeme samotné V(n), alejen V(n 0 )apotomimplikaci V(n) V(n+1)-potřebnéjsouobě části! Příklad 5 Uvažujme vlastnost V(n): n je iracionální číslo. Dokážemeplatnostimplikace V(n) V(n+1). Sporem:kdyby n+1nebyloiracionální,šlobypsát n+1= p q,neboli n= p p q q 1= q,takžebymuselobýtinracionální. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 6/ 35

7 Úskalí indukce Příklad 6 Dokážeme(?)indukcí,ževkaždémexistujícímročníkunaFITsn( 1) studenty jsou buď jen samé dívky, nebo jen samí chlapci. 1 V(1)platí,neboťvročníkusjednímstudentem(-kou)jetopravda. 2 Předpokládáme, že shoda pohlaví platí v libovolném ročníku s n( 1)studenty(-kami)auvažujemeročník Rsn+1lidmi. Zvolmelibovolnéhostudenta a R,pakzbytek A=R {a}májen n studentů, takže jsou všichni stejného pohlaví. Má student a stejné pohlaví jako zbytek? Zvolmejinéhostudenta baoznačme B= R {b}.také Bmájen n studentů, takže jsou všichni stejného pohlaví. Nyní zvolíme c R,c a,b:pak cjestejnéhopohlavíjakovšichnivaijako všichnivb-ale R=A B,tedyvšichnivRjsoustejnéhopohlaví. Kde je chyba? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 7/ 35

8 Indukce ve více dimenzích Indukcí lze dokazovat také vlastnosti závislé na několika celočíselných argumentech. Příklad 7 Uvažujme nekonečnou šachovnici odpovídající prvnímu kvadrantu, každé políčkojeidentifikovánodvojicíindexů(i,j),i,j 1(vizobrázek),rohové políčkoje(1,1). Tvrdíme,žepohybemkoněsemůžemezrohovéhopolíčka(1,1)dostatna libovolné místo(i, j) této šachovnice. OBRAZEK doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 8/ 35

9 Indukce v první dimenzi Příklad 8 Postup rozložíme- nejprve jdeme vodorovně vpravo do místa(i, 1), pak svislevzhůrudomísta(i,j). V(i)-zmísta(1,1)selzedostatdomísta(i,1)prolibovolné i 1. 1 i=1-domísta(1,1)sedostaneme,neboťtamužjsme. 2 Předpokládáme,žeselzedostatdomísta(i,1)apotřebujemese dostatdo(i+1,1).ktomustačíposloupnosttřítahů (i,1) (i+1,3) (i+3,2) (i+1,1). doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 9/ 35

10 Indukce ve druhé dimenzi Příklad 9 Nynídruhýsměr V i (j)-zmísta(i,1)selzedostatdomísta(i,j)(ije pevný parametr). 1 V i (1)-domísta(i,1)selzedostat,neboťtamužjsme. 2 Předpokládáme,žeselzedostatdomísta(i,j)apotřebujemese dostatdo(i,j+1).ktomustačíposloupnosttřítahů (i,j) (i+2,j+1) (i+1,j+3) (i,j+1). Jak by to vypadalo na konečné šachovnici? Potřebujeme místo, s malou úpravou nám stačí šachovnice 4 4, případy2 2a3 3zkusímeřešitextra(snegativnímvýsledkem). Jiná možnost důkazu: Mapování šachovnice(n N) do jedné dimenze(n)podiagonálách i+j= n. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 10/ 35

11 Silná indukce- motivace Někdy potřebujeme předpokládat nejen platnost V(n), ale platnost všech tvrzení V(n 0 ),V(n 0 +1),...,V(n). Příklad 10 Pro n 0chcemedokázattvrzení: V(n)-připrůchodubinárnímstromemhloubky nvlibovolnémzpořadí preorder, inorder a postorder se všechny listy stromu procházejí ve stejném relativním pořadí. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 11/ 35

12 Silná indukce- motivace Příklad 11 Postup: 1 Pro n=0sejednáostromtvořenýpouzekořenem,kterýjesoučasně jeho jediným listem, takže tvrzení platí. 2 Předpokládejme platnost pro binární stromy hloubky n a mějme libovolnýbinárnístrom Thloubky(n+1). Označme T L,resp. T R levý,resp.pravýpodstromkořenestromu T. Nechť T L máhloubku h L a T R hloubku h R,pakjejistě h L na h R n,přitomvaspoňjednompřípaděmusíplatitrovnost,současně ale může pro druhou z hloubek platit ostrá nerovnost. projedenzpodstromůnelzevyužítplatnosti V(n),adůkaztak nemůžeme dokončit. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 12/ 35

13 Silná indukce Definice 12 Silný princip matematické indukce(úplná indukce) Nechť n 0 Z,nechť V(n)jevlastnostcelýchčísel,kterámásmyslpro n n 0.Předpokládejme,ženásledujícípředpokladyjsousplněny: 1 V(n 0 )platí. 2 Prokaždé n Z,n n 0 jepravdivánásledujícíimplikace: jestližeplatí V(k)provšechna k= n 0,n 0 +1,...,n,pakplatíi V(n+1). Potom V(n)platíprovšechna n Z,n n 0. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 13/ 35

14 Dokončení příkladu Příklad 13 Nyní můžeme dokončit důkaz tvrzení z příkladu o stromech: S použitím silného principu indukce lze indukčního předpokladu využít prolevýipravýpodstrom,protožeplatípro k=0,1,2,...,n. V obou podstromech se tedy listy procházejí při všech třech typech průchodů ve stejném relativním pořadí, navíc každý z uvažovaných průchodů zpracuje nejprve levý a pak teprve pravý podstrom, liší se pouze pořadím zpracování kořene. Listy celého stromu T se tedy projdou ve všech případech ve stejném relativním pořadí. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 14/ 35

15 Matematická indukce- pokračuje Věta 14 Slabý a silný princip matematické indukce jsou ekvivalentní. Označme pro snazší odvolávky(w- weak/slabý, S- strong/silný): (W0)-V(n 0 )platí. (W1)-Provšechna n n 0 :jestližeplatí V(n),pakplatíiV(n+1). (S0)-V(n 0 )platí. (S1)-Provšechna n n 0 :jestližeplatí V(n 0 ),V(n 0 +1),..., V(n),pakplatíiV(n+1). doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 15/ 35

16 Důkaz ekvivalence silné a slabé indukce Důkaz: 1 W S:Vlastnost V jsmedokázalipoužitímslabéhoprincipu. Ukážeme, že pak lze dokázat i použitím silného principu. Splňuje(S0)?Ano,jetostejnéjako(W0). Splňuje(S1)?Nechťplatí V(n0 ),V(n 0 +1),...,V(n),tedyspecielně platí V(n)anavícbylosplněno(W1).TímpádemplatíiV(n+1). Vlastnost V tedysplňujeipodmínky(s0)a(s1),takžejejejí platnostprovšechna n n 0 dokazatelnásilnýmprincipem. 2 S W:Vlastnost V jsmedokázalipoužitímsilnéhoprincipu. Ukážeme, že pak lze dokázat i použitím slabého principu. Splňuje(W0)?Ano,jetostejnéjako(S0). Splňuje(W1)?Asine,protožekdůkazuplatnosti V(n)jsme potřebovalipředpokládatplatnost V(n 0 ),V(n 0 +1),...,V(n). Co teď? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 16/ 35

17 Důkaz pokračuje Pokračování důkazu: S W: Zavedemenovouvlastnost U(n)takto: U(n)platí,jestližeplatí V(k) pro k= n 0,...,n.Nynídokážeme Upomocíslabéindukce: (W0) U(n0 )znamenátotéžjako V(n 0 ),cožplatípodle(s0). (W1)Nechťpro n n0 platí U(n),cožznamená,žeplatí V(n 0 ),...,V(n). Podlepředpokladualemůžemedokázat(S1),takžeplatí V(n+1). Dohromadytedyplatí V(n 0 ),...,V(n)anavíciV(n+1),což znamenáplatnost U(n+1). Tímjedokázáno(W1)pro U. Podleslabéhoprinciputedyplatí U(n)provšechna n n 0,cožpodle definice Uznamená,žetaké V(n)platíprovšechna n n 0. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 17/ 35

18 Alternativa silného principu Definice 15 Alternativní silný princip matematické indukce Nechť n 0 Z,nechť V(n)jevlastnostcelýchčísel,kterámásmyslpro n n 0.Nechť m N. Předpokládejme, že následující předpoklady jsou splněny: 1 V(n 0 ),V(n 0 +1),V(n 0 +2),...,V(n 0 +m)platí. 2 Prokaždé n Z,n n 0 +mjepravdivánásledujícíimplikace:jestliže platí V(k)provšechna k= n 0,n 0 +1,...,n,pakplatíiV(n+1). Potom V(n)platíprovšechna n Z,n n 0. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 18/ 35

19 Silný princip- příklad Příklad 16 Dokážeme,žepomocímincíshodnotami3a5korunylzepřesněvyplatit libovolnou částku ve výši alespoň 8 korun. Takžepro n 8dokážeme V(n):Jemožnévyplatit nkoruntříkorunami a pětikorunami. 1 Snadnoověříme,žeplatí V(8),V(9)aV(10). 2 Nechť n 10,předpokládejme,žeplatí V(8),V(9),...,V(n). Potřebujemeukázat,žeplatíiV(n+1). Jestliže n 10,pak n 2 8,protopodleindukčníhopředpokladu dokážeme vyplatit n 2. Pak stačí přidat tříkorunu a vyplatili jsme n+1korun,přesnějakjsmepotřebovali. Z provedených dvou kroků vyplývá pravdivost V(n) pro všechna cela čísla n 8. Poznámka: Vystačili bychom i s obyčejnou slabou indukcí. Jak? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 19/ 35

20 Rekurze a strukturální indukce Namísto důkazů lze postupu podobného jako indukce použít k definici funkcí(nebo zobrazení) množin dalších zajímavých objektů Příklad 17 funkce faktoriál: n! a Fibonacciho posloupnost(klasika rekurze!) n-támocnina f n zobrazení f n-násobnýkartézskýsoučin A 1 A 2 A n formule výrokové logiky, termy a formule predikátové logiky řetězy(slova) nad abecedou Σ binárnístromy(např.shodnotamizeσvuzlech) atd. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 20/ 35

21 Induktivní definice množin Induktivní definice množin Při definici nějaké množiny M uvažujme následující dva druhy specifikaci: 1 Základní pravidla explicitně definuji, které prvky jsou v množině M. 2 Induktivní pravidla určují, jak lze pomoci prvků, které již v množině jsou(tzv. předpoklady pravidla), vytvářet další prvky z M(tzv. závěr pravidla). Množina Msepakskládázevšechprvků,kterélzeobdržetkonečným počtem použiti pravidel(1) a(2)(tedy prvky, které lze takto získat, leží v M,aty,kterétaktozískatnelze,pakvMneleží). Už víme, jak blízko je od induktivní definice k odpovídajícímu rekurzivnímu algoritmu! doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 21/ 35

22 Induktivní definice množin Na induktivně definované množině lze induktivně definovat rozličná zobrazení(operace): definicemnožinyslov(řetězů)σ nadabecedouσ prázdnéslovo(značíme λ)patřídoσ je-li w Σ a a Σ,paktaké wapatřídoσ Σ obsahujepouzeobjektyvytvořenépodleuvedenýchdvoupravidel operacenadmnožinouslovσ délkaslova d(w): d(λ)=0,d(wa)=d(w)+1 reverzace w R slova w: λ R = λ,(wa) R = aw R doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 22/ 35

23 Induktivní definice množin Podobně můžeme postupovat např. v definici b-stromů: prázdný strom(tj. prázdná množina uzlů) je b-stromem jsou-li T L a T R b-stromyar U,potomuspořádanátrojice (T L,r,T R )jerovněžb-stromem, r nazýváme jeho kořenem a T L,resp. T R jeholevým,resp.pravýmpodstromem za b-strom považujeme pouze objekt vzniklý použitím uvedených dvou pravidel Mějmezobrazení c:u Σ,kterékaždémuuzlupřiřazujejedenznak nějaké abecedy. Jak určíme slovo vzniklé inorder průchodem nějakým stromem? inorder(emptyt ree) = λ inorder((t L,r,T R ))=inorder(t L ) c(r) inorder(t R ), kde c(r)jeznakpřiřazenýkořenustromu Tasymbol jeexplicitní vyjádření operace řetězení slov. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 23/ 35

24 Induktivní definice množin Nyní definici b-stromů trochu změníme: libovolnýprvek r Ujeb-stromem jsou-li T L a T R b-stromyar U,potomuspořádanátrojice (T L,r,T R )jerovněžb-stromem za b-strom považujeme pouze objekt vzniklý použitím uvedených dvou pravidel Včemselišíb-stromypodleprvníadruhédefinice? Jak bychom změnili definici funkce inorder pro b-stromy podle druhé definice? Prefixová lineární reprezentace LR(T) b-stromu T podle druhé definice: LR(T)=c(r)pro T= r U LR(T)=( c(r) LR(T L ) LR(T R ) )pro T=(T L,r,T R ) doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 24/ 35

25 Strukturální indukce Definice 18 Princip strukturální indukce Uvažujme množinu M definovanou induktivně pomoci nějakých základních pravidel(p0) a induktivních pravidel(p1). Uvažujme vlastnost V(m), kterámásmyslprovšechnyprvky m M. Předpokládejme, že jsou splněny následující podmínky: 1 V jesplněnaprovšechnyprvky,kteréjsoudo Mdodányzákladními pravidly. 2 Prokaždéinduktivnípravidloplatí:Jestližeje V splněnaproprvkyz jehopředpokladů,pakjesplněnaiproprvekzjehozávěru. Pakjevlastnost V splněnaprovšechnyprvky m M. Platnost principu strukturální indukce je ekvivalentní platnosti principu matematické indukce. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 25/ 35

26 Strukturální indukce- příklad použití Věta 19 1 Lineární reprezentace libovolného b-stromu obsahuje stejný počet otvíracích a zavíracích závorek. 2 Každý vlastní prefix lineární reprezentace b-stromu má kladný rozdíl počtu otvíracích minus zavíracích závorek. Důkaz: 1 Reprezentacíb-stromu T= rtvořenéhojednímuzlemje c(r)amá stejný počet otvíracích i zavíracích závorek(žádnou). Reprezentaceb-stromu T=(TL,r,T R )mátvar(c(r)lr(t L )LR(T R )) (operátor zřetězení nepíšeme). Předpokládáme-li, že pro reprezentace b-stromů T L a T R tvrzeníplatí,paknutněplatíiproreprezentaci T. 2 Reprezentaceb-stromu T= rtvořenéhojednímuzlemjejednoznaková, nemátedyžádnývlastníprefixatvrzeníproniplatí. Reprezentaceb-stromu T=(TL,r,T R )mátvar(c(r)lr(t L )LR(T R )) a pro každý případ vlastního prefixu můžeme požadovanou vlastnost potvrdit s využitím indukčního předpokladu a vlastnosti 1. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Matematická indukce ZDM, ZS 2011/12, Lekce 3 26/ 35