Povídání ke druhé jarní sérii

Transkript

1 Povídání ke druhé jarní sérii Druhá jarní série je věnovaná délkám a vzdálenostem. Protože toto téma obsahuje několik užitečnýchtvrzeníavět,kterébyměloznátkaždéprase,připravilijsmeprovástentoúvodnítext. Následující tvrzení můžete používat bez důkazu. Délky stran a velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníkuznačímestandardně a, b, c,resp. α, β, γ. Věta.(sinová) V libovolném trojúhelníku C platí, že poměr délek stran je rovný poměru sinů protějších úhlů a:b:c=sinα:sinβ:sinγ. Když navíc označíme R poloměr kružnice opsané, pak platí a sinα = b sinβ = c sinγ =2R. Věta.(kosinová) V libovolném trojúhelníku C platí a 2 = b 2 +c 2 2bccosα. Poznámka. Všimnětesi,žepokudjeúhel αpravý,mátvrzenítvar a 2 = b 2 +c 2,cožjePythagorova věta. Věta.(Tečnovýčtyřúhelník 1 ) Čtyřúhelník CDjetečnovýprávětehdy,kdyžprodélkyjeho stranplatí a+c=b+d. Příklad. Osa vnitřního úhlu u vrcholu v libovolném trojúhelníku C dělí stranu a v poměru c:b. Řešení. Označmesi Eprůsečíkosyvnitřníhoúhlupřivrcholu astrany a.pakzesinovévěty pro trojúhelníky E a CE máme E sin E = c sin E a CE sin CE = b sin EC. Podělením těchto dvou rovností a využitím sin E = sin CE a sin E = sin EC dostáváme E CE = c b. 1 Tečnovýčtyřúhelníkjetakovýčtyřúhelník,kterémusedávepsatkružnice,tedyexistujekružnice taková, že strany čtyřúhelníka jsou k ní tečné.

2 Příklad. V pravoúhlém trojúhelníku C označme D bod dotyku kružnice vepsané s přeponou C.Ukažte,že D DC =S C. Řešení. Označme Eboddotykusestranou Ca Fsestranou.Každýmbodemmimokružnici lze vést právě dvě přímky, které jsou k dané kružnici tečné. Vzdálenosti tohoto bodu a bodů dotyku stoutokružnicijsoudíkysymetriistejné.ztohomáme x= E = F, y= F = D a z= CD = CE.Pakmáme x+y= c, y+z= a, x+z= b. Paksečtenímdruhé,třetírovniceaodečtenímprvnídostáváme CD =z= a+b c 2 aztohoužje D = a+c b 2.Tedy CD D = 1 4 (a+b c)(a+c b)=1 4 ( a 2 (b c) 2) a díky Pythagorově větě 1( a 2 b 2 c 2 +2bc ) = bc=s C.

3 Délky a vzdálenosti ¾º ÖÒ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò ½¾º ÞÒ ¾¼½¾ ÐÓ ½º ( Ó Ý) LukášvPrazevynalezlteleport.Hnedsehorozhodlvyzkoušetateleportovalse500kmnasever, pak500kmnazápad,pak500kmnajihanakonecještě500kmnavýchod.kesvémuúžasuse aleobjevilasi50kmodprahy.umíteurčit,pročanakterésvětovéstraněodprahysenacházel? ÐÓ ¾º ( Ó Ý) Vtětivovémosmiúhelníku 2 CDEFGHplatí = CD = EF = GH.Dokažte,žestředy úseček, CD, EF a GHležínajednékružnici. ÐÓ º ( Ó Ý) Vkonvexnímčtyřúhelníku CDplatí =2, C = 2, CD =3a C = CD = 135.Určete D. ÐÓ º ( Ó ) Železnicedlouhá56kmvedeznádraží postupněpřesnádraží, C,...,Jaždonádraží K,je tedy takto rozdělena na 10 úseků. Žádné dva po sobě následující úseky nejsou dohromady delší než 12km,každétřiposoběnásledujícíúsekyvšakdohromadyměříalespoň17km.Jakámůžebýt vzdálenostmezinádražími a G?Naleznětevšechnymožnosti. 3 ÐÓ º ( Ó ) V trojúhelníku C označme l osu vnějšího úhlu u vrcholu C. Přímka rovnoběžná s l procházející středemstrany protnepřímku Cvbodě E.Určete CE,když C =7a C =4. ÐÓ º ( Ó ) Konvexnímu čtyřúhelníku RNO byly změřeny čtyři strany a jedna úhlopříčka. Vyšla tak(v nějakémpořadí)čísla5,5,8,29a35.jakdlouhájezbyláúhlopříčka? ÐÓ º ( Ó ) V ostroúhlém trojúhelníku C platí > C. Označme M střed strany C. Osa vnějšího úhlu u vrcholu protne polopřímku C v bodě P. ody K a F leží na přímce P tak, že MF Ca MK P.Dokažte,že C 2 =4 PF K. ÐÓ º ( Ó ) Uvnitřstrany tečnovéhočtyřúhelníku 4 CDzvolmebod E.Dokažte,žekružnicevepsané trojúhelníkům CE, CDE a DE mají společnou tečnu. 2 Osmiúhelníkjetětivový,jestližejehovrcholyležínajednékružnici. 3 Vzdálenostimezistaniceminemusejíbýtceločíselné. 4 Čtyřúhelníkjetečnový,jestližemulzevepsatkružnici.

4 Délky a vzdálenosti ¾º ÖÒ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha 1. (48; 47; 2,94; 3,0) LukášvPrazevynalezlteleport.Hnedsehorozhodlvyzkoušetateleportovalse500kmnasever, pak500kmnazápad,pak500kmnajihanakonecještě500kmnavýchod.kesvémuúžasuse aleobjevilasi50kmodprahy.umíteurčit,pročanakterésvětovéstraněodprahysenacházel? (Monča Pospíšilová) Jenutnésiuvědomit,žeZemějekulatá,tedyžerovnoběžkyblížepólůmjsoukratšínežtyurovníku. Tím vznikne dotazovaná odchylka cca 50 km. Situace je znázorněna na náčrtku. Kdo si uvědomil, že Země je kulatá, měl vyhráno. Imaginární bod jsem dala za precizní dopočtení vzdálenosti Lukáše od Prahy. (Monča Pospíšilová) Úloha 2. (49; 47; 2,80; 3,0) Vtětivovémosmiúhelníku 5 CDEFGHplatí = CD = EF = GH.Dokažte,žestředy úseček, CD, EF a GH leží na jedné kružnici. (Pepa Tkadlec) Označme S stred kružnice opísanej osemuholníku. Trojuholníky S, SCD, SEF a SGH súrovnoramennésvrcholom S.Ichramenásúpolomerykružniceaichzákladnesúzozadania 5 Osmiúhelníkjetětivový,jestližejehovrcholyležínajednékružnici.

5 rovnako dlhé, takže podľa vety sss sú dokonca zhodné. Preto spojnice S so stredmi základní majú rovnakúdĺžkuatedatietoštyribodyležianakružnicisostredomvs. H G S F D E C Â Ò Úsečky a CDsúrovnakodlhétetivykružnice,apretoexistujeotočeniesostredomvS,ktoré zobrazí jednu úsečku na druhú. V tomto otočení sa stred zobrazí na stred CD, takže vzdialenosti týchtostredovod Ssúrovnaké.Toanalogickyplatíajpreúsečky EF a GH,atedavšetkyštyri stredyležianajednejkružnicisostredomvs. Úloha bola naozaj ľahká. Problémy s ňou mali najmä skúsenejší riešitelia, ktorí hľadali dôkaz bez použitia stredu kružnice. (Miško Szabados) Úloha 3. (51; 49; 2,80; 3,0) Vkonvexnímčtyřúhelníku CDplatí =2, C = 2, CD =3a C = CD = 135.Určete D. (PepaTkadlec) Označme priesečník priamok a DC bodom P. Dopočítaním do priameho uhla zistíme, že PC = PC =45,ateda PC =90. Keďže PCjepravouhlýajrovnoramennýa C = 2,platí P = PC =1.Týmpádom vieme,že P =2+1=3a DP =3+1=4,azPytagorovejvetypre PDzistíme,že D = 9+16=5.

6 2 135? 1 P C 3 D Jedna polovica z vás si poradila s úlohou podobne ako vzorák. Druhá polovica sa pokúšala vyjadriť D pomocou kosínusovej a sínusovej vety. Oba spôsoby sú samozrejme správne, len ten druhý je trochu pracný. Pri tom druhom spôsobe by som vás upozornil, aby ste nabudúce nezaokrúhľovali čiastočné výsledky. Je to nekorektné, ak potom s nimi naďalej počítate, lebo vám vyjde odlišný výsledok. Síce väčšina z vás to dorátala správne, lebo v kalkulačke sa vám výsledok nezaokrúhlil, ale zapísané stetomalinesprávne.zasprávnyvýsledokbol1bodazapostupsomdával0 2body. (Viktor Szabados) Úloha 4. (42; 38; 4,14; 5,0) Železnicedlouhá56kmvedeznádraží postupněpřesnádraží, C,...,Jaždonádraží K,je tedy takto rozdělena na 10 úseků. Žádné dva po sobě následující úseky nejsou dohromady delší než 12km,každétřiposoběnásledujícíúsekyvšakdohromadyměříalespoň17km.Jakámůžebýt vzdálenostmezinádražími a G?Naleznětevšechnymožnosti. 6 (MartinaVaváčková) Označme XY vzdálenostmezinádražími Xa Y.Pakmůžemeprovéstodhad 56= K = D + DG + GJ + JK JK, tedy JK 5.Stejnýmzpůsobemdostaneme GH 5, DE 5a 5. C D E F G H I J K Nyní proveďme odhad z druhé strany: 56= K =( + DE + GH + JK )+( D + EG + HJ ) =56. 6 Vzdálenostimezistaniceminemusejíbýtceločíselné.

7 Zdenastávárovnost,tedynutněplatí = DE = GH = JK =5a D = EG = HJ = 12.Jedinámožnávzdálenostmezinádražími a Gjeproto G = D + DE + EG =29. Dostanemejinapříkladprodélkyúsekůpořadě5,6,6,5,6,6,5,6,6,5. Většina lidí se dobrala ke správnému výsledku, nebo alespoň pomocí nerovností určila nějaký interval, v němž řešení leží. Více než polovina řešitelů však na tomto místě skončila. čkoliv je vzadánínapsáno,žeželeznice vede (zčehožsedáusoudit,žeexistuje),mělabysevřešeníobjevit přinejmenším zmínka o tom, že hodnoty 29 může být pro nějaké konkrétní délky úseků nabyto. ody jsem za absenci předchozího vzhledem k formulaci zadání nestrhávala, nicméně chválím všechny, kteří na to nezapomněli. (Martina Vaváčková) Úloha 5. (39; 38; 4,72; 5,0) V trojúhelníku C označme l osu vnějšího úhlu u vrcholu C. Přímka rovnoběžná s l procházející středemstrany protnepřímku Cvbodě E.Určete CE,když C =7a C =4. (lča Skálová) Označmesijakonaobrázku S středstrany, l E přímkurovnoběžnouslprocházejícíbodem S (a E),dále l F přímkurovnoběžnouslprocházejícíbodem a Fprůsečík l F s C.Polovinu vnějšíhoúhluucoznačme ϕ. ϕ C ϕ l F E l E l F S Zrovnoběžnosti lal F dostáváme CF =ϕ,resp. CF =ϕ,neboťsejednáostřídavé úhly.trojúhelník FCjetedyrovnoramennýa CF = C =4. Přímka l F jerovnoběžnásl E,takžetrojúhelníky S Ea F jsoupodobné.od S je středemstrany,aprotoiejestředem F.Zpředchozíhovíme,že F = C CF =7 4, tímpádem E = EF = 3 2. Zbývádopočítat CE = EF + CF = = 2 2. Sešlo se docela dost různorodých řešení, z nichž ta kratší byla většinou podobná vzorovému a delší užívala sinových vět a vůbec si jejich autoři započítali více, než bylo nutné. Jelikož matematik(i matematička) je ze své podstaty tvor líný, snaží se většinou řešení spíš vykoukat nežupočítat.cošlostoutoúlohouprovést?pokudsinakreslíteobrázek,vekterém jsounarozdílodvzorovéhopřímky lal E vodorovné,jerovnoramennosttrojúhelníka CE(průnik l E a C)mnohemsnázeodhalitelná.Fakt,že S je uprostřed mezi a,mápakzanásledek, žedélkaúsečky,kterouvytnena Cpřímka l E,je uprostřed mezidélkamistran C, C. Pár řešitelů si bohužel špatně přečetlo zadání a namísto osy vnějšího úhlu považovali l za osu vnitřního úhlu. To je zle! Základním předpokladem pro vyřešení úlohy je důkladné přečtení si

8 zadání.(-: Nakonec jsem se rozhodla být velmi velmi velmi mírná a takovým řešením strhnout pouzejedenbod,jelikožvěřím,ževšichniautořibybezproblémůdokázalimyšlenky svého řešení převést na původní úlohu. (lča Skálová) Úloha 6. (46; 44; 4,70; 5,0) Konvexnímu čtyřúhelníku RNO byly změřeny čtyři strany a jedna úhlopříčka. Vyšla tak(v nějakémpořadí)čísla5,5,8,29a35.jakdlouhájezbyláúhlopříčka? (PepaTkadlec) Nejdříve určíme, která z pěti délek bude úhlopříčkou. Z trojúhelníkových nerovností zjistíme, že ze stran délek 5, 5, 8, 29, 35 lze sestavit jedině trojúhelníkyostranách(5,5,8)a(8,29,35).úhlopříčka(aťjetotřeba N)tedymusímítdélku 8adélkystranmůžemebezújmynaobecnostizvolitnásledovně: R = RN =5, O =29, NO =35. R Q x P 4 N y O Nyníoznačme Pstřed N.Poté P= PN=4azPythagorovyvěty RP =3.Dáleoznačme Qjakopatuvýškytrojúhelníku NO vedenouzbodu O avzdálenosti x = QP, y = OQ. Z Pythagorových vět (x+4) 2 +y 2 =35 2, (x 4) 2 +y 2 =29 2. Odečteme rovnice: Dopočteme y: 16x= =(35 29)(35+29)=6 64, x=6 4=24. y 2 = =(29 20)(29+20)=9 49, y=3 7=21. Hledanádruháúhlopříčkamádélku (y+3) 2 +x 2 = =24 2.

9 Úloha byla na šestku poměrně jednoduchá, což se projevilo i na počtu řešení hodnocených plným počtem bodů. Prakticky všichni řešili úlohu pomocí kosinových vět, našlo se ale i několik odvážlivců, co si vystačili jen s Pythagorem či si dopomáhali Heronovým vzorcem a počítali stranu přes obsah. Imaginární body jsem tentokrát strhával za zaokrouhlování při převodu z kosinu na úhel a zpět, případně za tvrdé prohlášení, že úhlopříčka má délku 34. (Lukáš Zavřel) Úloha 7. (14; 13; 4,64; 5,0) V ostroúhlém trojúhelníku C platí > C. Označme M střed strany C. Osa vnějšího úhlu u vrcholu protne polopřímku C v bodě P. ody K a F leží na přímce P tak, že MF Ca MK P.Dokažte,že C 2 =4 PF K. (PepaTkadlec) Označme k kružnici opsanou trojúhelníku C. Přímka MFjekolmána Caprocházístředem C,tedyjetoosastrany C.Označme Sjejí průsečík s obloukem C kružnice k neobsahujícím bod. F k K M C P S Oblouky S, SC jsou stejně dlouhé, takže jim přísluší stejně velké obvodové úhly. Proto S leží naosevnitřníhoúhluuvrcholu. 7 Teďužsizbývávšimnout,žejakosastrany C,takosa vnějšíhoúhluuprocházejístředemoblouku Cobsahujícíhobod.Proosustranyjetozřejmé, proosuvnějšíhoúhlusistačíuvědomit,žejekolmánaosuvnitřníhoúhlu,apoužítthaletovu větu. od F (jejichprůsečík)takskutečněležína k.navíc Si KMjsouoběkolména P,takže jsourovnoběžné,aprotože Mležína FS,leží Kna F. Nyní už úlohu dokončíme přímočaře. Rozepišme PF K = PF PK PF P. ZEukleidovyvětyproodvěsnumáme PF PK = PM 2 azmocnostibodu P kekružnici k máme PF P = P PC.Můžemetedypsát PF K = PM 2 P PC = PM 2 ( PM + 12 )( PM C 12 ) C = což jsme chtěli dokázat. = PM 2 ( PM C 2 )= 1 4 C 2, 7 odu SsenapočestjednohozorganizátorůčeskéMOříkáŠvrčkůvbod.

10 Většina těch, co se do úlohy pustili, ji také vyřešila. Vyskytla se spousta různorodých řešení, od upravování sinů na dvě stránky, za což si někdo vysloužil i, až po velice krátká elegantní řešení. Nikdosealeneobtěžovaldokazovatrozmístěníbodů Ka napřímce PF,nakonecjsemzatotedy body nestrhával. (Michael Majkl ílý) Úloha 8. (7;7;5,00;5,0) Uvnitřstrany tečnovéhočtyřúhelníku 8 CDzvolmebod E.Dokažte,žekružnicevepsané trojúhelníkům CE, CDE a DE mají společnou tečnu. (Pepa Tkadlec) Kružnicevepsanétrojúhelníkům DEa CEoznačímepořadě k 1 a k 2 ajejichspolečnouvnější tečnurůznouodpřímky označíme t.dálebudemeznačitbodydotykukružnice k 1 spřímkami t, DE,, Dpořadě K, L, M, Napodobněbodydotykukružnice k 2 spřímkami t, CE,, Cpořadě P, Q, R, S.Nazávěroznačímeprůsečíkypřímky tspřímkami ED,resp. ECjako X, resp. Y. Nynísebudemesnažitukázat,žečtyřúhelník XYCDjetečnový,protožepotombypřímka XY byla onou hledanou společnou tečnou, neboť kružnice vepsaná tomuto čtyřúhelníku je pak totožná s kružnicí vepsanou trojúhelníku CDE. Vyjdeme z toho, že čtyřúhelník CD je tečnový a platí vněmtedy + CD = C + D.Dáleněkolikrátpoužijemetvrzeníoshodnýchtečnách 9. Odečteme-liodoboustran M = N a R = S,dostaneme MR + CD = CS + DN. D C D C N + + t S + + X K Y L P t k 1 k2 k 1 Q k2 M E R Dálevyužijemerovnosti CS = CQ a DN = DL aještě MR = KP,kteráplatí,neboť sejednáospolečnévnějšítečnykružnic k 1 a k 2.Pomocínichzískáme KP + CD = CQ + DL. Nazávěrodečtemerovnosti XK = XL a YP = YQ.Dostáváme XY + CD = CY + DX, cožznamená,žečtyřúhelník XYCDjeskutečnětečnovýadůkazjetímtohotov. Všichni, kdo úlohu vyřešili a poslali, tak ji měli správně. Jejich postupy byly různě nápadité, a tak jsem to náležitě ocenil imaginárními body. Úloha nebyla obtížná na použitou techniku nebo na trikové úpravy, ale šlo v podstatě jenom o technickou náročnost, které se spousta řešitelů zalekla. (Filip Hlásek) 8 Čtyřúhelníkjetečnový,jestližemulzevepsatkružnici. 9 TvrzeníjevcizojazyčnéliteratuřeznáméjakoEqualtangentsaříká,žepokudvedemetečny ke kružnici z vnějšího bodu, tak jsou vytyčené úseky stejně dlouhé. E