Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky

Transkript

1 Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS

2 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin 2 Gradient Divergence Rotace Greenova věta Diferenciální operace 2. řádu Gaussova Ostrogradského věta

3 Skalární součin Skalární součin Vektorový prostor (V, +, )... Množina V, na které jsou definovány dvě operace, a to sčítání (+) a násobení reálným číslem ( ), které splňují 8 axiomů (komutativita, asociativita, distributivita, nulový a opačný prvek vzhledem ke sčítání a jednotkový prvek vzhledem k násobení reálným číslem). Skalární součin: u = (u 1, u 2,..., u n) R n, v = (v 1, v 2,..., v n) R n, n = u v = u i v i R, i=1 v R 2 v cos α... kolmý průmět vektoru v do směru vektoru u, u v = u v cos α

4 Skalární součin Vlastnosti skalárního součinu: Necht V je vektorový prostor, a, b V, α, β R. Pak platí a a 0 a V, a a = 0 a = 0 a b = b a a (b + c) = a b + c d (α a) (β b) = (α β) a b a b = 0 a = 0 b = 0 a b }{{} cos π 2 = 0 Příklad Dokažte, že úhlopříčky v kosočtverci jsou k sobě kolmé. Dvě sousední strany v kosočtverci lze považovat za dva vektory a, b. Vektory a, b jsou lineárně nezávislé a a = b 0. Jestliže i úhlopříčky v kosočtverci uvažujeme jako vektory u a v, je u = a + b, u 0, v = b a, v 0. Potom u v = (a + b) (b a) = a 2 + b 2 = 0, a tedy vektory u a v jsou k sobě kolmé.

5 Vektorový součin Vektorový součin Vektorový součin jen pro vektory v R 3, t.j. u R 3, v R 3. Necht i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). i j k w = u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = = i u 2 u 3 v 2 v 3 j u 1 u 3 v 1 v 3 + k u 1 u 2 v 1 v 2 = = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 + u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ) R 3. Plocha rovnoběžníka (ϕ je menší z úhlů, které vektory svírají) u v = u v sin ϕ. }{{} plocha rovnoběžníka určeného vektory u a v

6 Vektorový součin Vlastnosti vektorového součinu Cvičení Pro a, b, c R 3, k R, dokažte: a 0 = 0, a a = 0 a b = (b a) = b a = b ( a) a, b lineárně závislé vektory a b = 0 a (b + c) = a b + a c (k a) b = k (a b) = a (k b) Cvičení Dokažte i i = 0, j j = 0, k k = 0 i j = k, j k = i, k i = j. Poznámka a b = a b sin α }{{} n, kde α 0, π, jednotkový normálový vektor Cvičení Dokažte, že vektor u v je kolmý k oběma vektorům u a v.

7 Vektorový součin Smíšený součin Smíšený součin: a, b, c R 3, pak a (b c) R. V = a (b c)... objem rovnoběžnostěnu, jehož tři hrany vycházejí z téhož vrcholu a jsou určeny vektory a, b, c. Cvičení Dokažte, že pro vektory a, b, c R 3 platí a (b c) = b (c a) = c (a b), a (b c) = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3.

8 Gradient Gradient Definice Necht f : R n R, bod X 0 D(f ). Vektor ( f grad f (X 0 ) f (X 0 ) = (X 0 ), f (X 0 ),..., f ) (X 0 ), x 1 x 2 x n pokud všechny tyto parciální derivace existují, nazýváme gradientem funkce f v bodě X 0. Notace:... operátor nabla... = ( x 1, x 2,... ) x n Poznámka Gradient je vektor, který udává směr nejrychlejšího růstu funkčních hodnot. Ukažme si, že gradient funkce je vždy kolmý na vrstevnice této funkce.

9 Gradient Normálový vektor ke křivce Věta Necht je dána rovnice F(x, y) = 0 a bod (x 0, y 0 ), který ji splňuje, tj. F (x 0, y 0 ) = 0. Necht grad F(x 0, y 0 ) (0, 0). Pak body (x, y) z okolí bodu (x 0, y 0 ), které splňují rovnici F(x, y) = 0, tvoří jistou křivku procházející bodem (x 0, y 0 ), jejíž ( normálový vektor ) v tomto bodě je právě vektor F grad F (x 0, y 0 ) = (x x 0, y 0 ), F (x y 0, y 0 ). Důkaz Necht například F (x y 0, y 0 ) 0.Pak na okolí bodu (x 0, y 0 ) je rovnicí F (x, y) = 0 implicitně definovaná funkce y = f (x). Derivace této funkce v bodě x 0, a tedy směrnice k tečny k dané křivce v bodě (x 0, y 0 ), je dána vztahem ( Tedy vektor F F x k = (x 0, y 0 ) F (x y 0, y 0 ). ) x (x 0, y 0 ) je směrovým vektorem tečny ke y (x 0, y 0 ), F grafu f v bodě (x 0, y 0 ), a tedy k němu kolmý vektor grad F(x 0, y 0 ) = ( F x (x 0, y 0 ), F ) y (x 0, y 0 ) je normálovým vektorem vrstevnice v bodě (x 0, y 0 ).

10 Gradient Derivace ve směru Necht f = f (x, y), a = (a 1, a 2 ) R 2 : a = 1, (x 0, y 0 ) D(f ) Derivace f ve směru vektoru a v bodě (x 0, y 0 ): f (x 0 + ta 1, y 0 + ta 2 ) f (x 0, y 0 ) D af (x 0, y 0 ) = lim, t 0 t pokud limita existuje. Tedy derivace f ve směru jednotkového vektoru a popisuje rychlost stoupání nebo klesání hodnot funkce f ve směru tohoto vektoru. Poznámka Pokud bychom uvažovali místo jednotkového vektoru a nějaký jeho α násobek, změní se hodnota limity právě α krát: D αaf (x 0, y 0 ) = lim α f (x 0 + tαa 1, y 0 + tαa 2 ) f (x 0, y 0 ) = αd af (x 0, y 0 ). t 0 αt Pokud budeme počítat derivaci ve směru libovolného vektoru v, budeme touto derivací rozumět derivaci ve směru jednotkového vektoru příslušného k v, tedy a := v v.

11 Gradient Věta Necht f C 1 (G), kde G R n je otevřená množina, X 0 = (x 0, y 0 ) G, a R n, a = 1. Pak D af (X 0 ) = f (X 0 ) a }{{} = f (X 0) a cos ϕ. (1) skalární součin Položíme-li a := f (X 0), je a jednotkový vektor, a = 1, a f (X 0 ) D af (X 0 ) = f (X 0 ) cos ϕ = 1 ϕ = 0. Tedy D af (X 0 ) bude největší, pokud a bude jednotkový vektor příslušný gradientu f v bodě X 0. Cvičení Ukažte, že pro funkci dvou proměnných je f x vektoru e 1 = (1, 0) a f y je derivací ve směru vektoru e 2 = (0, 1). derivací ve směru Poznámka Obecně pro funkci n proměnných f (x 1, x 2,... x n) je f x i (X 0 ) = D ei f (X 0 ).

12 Gradient Příklad Vypočtěte derivaci funkce f (x, y) = x 2 y xy 2 ve směru vektoru a v bodě (1, 2); a je jednotkový vektor příslušný vektoru v = (3, 4). Řešení v = 5 a = 1 (3, 4), f je spojitá, spojitě diferencovatelná, 5 ( ) f f grad f (x, y) = (x, y), (x, y) = (2xy y 2, x 2 2xy), x y D af (1, 2) = f (1, 2) a = (0, 3) 1 12 (3, 4) = 5 5. Příklad f (x, y, z) = x 2 + x ln z y 3. Vypočtěte f (1, 2, e) a derivaci ve směru gradientu v bodě (1, 2, e). Řešení: f (x, y, z) = (2x + ln z, 3y 2, x z ), f (1, 2, e) = (3, 12, 1 e ). Derivace ve směru gradientu v bodě (1, 2, e) je D af (1, 2, e) = f (1, 2, e) = e 2. =

13 Gradient Příklad Vypočtěte derivaci funkce f (x, y) = 3 x(y 1) 2 ve směru vektoru a = 1 (3, 4) v bodě X 5 0 = (0, 1). Řešení f je spojitá, není v bodě (0, 1) spojitě diferencovatelná, tedy počítám podle definice. 3 3 t 16 t f (0 + t 3 D af (0, 1) = lim, 1 t 4 ) f (0, 1) 5 5 t 0 t Poznámka = lim t 0 Gradient vektorového pole Mějme dáno vektorové pole v(x, y, z) = (v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)), t. = 0, které je spojité a spojitě diferencovatelné na otevřené množině G R 3. Pak gradient vektorového pole v definujeme jako tenzorový součin vektorů a v, ( ) vi grad v = v = ( j v i ) =, i, j = 1, 2, 3. x j Gradient vektorového pole je tenzorové pole 2. řádu, jehož souřadnice tvoří prvky Jacobiovy matice funkcí v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z). Tedy gradv = v 1 x v 2 x v 3 x v 1 y v 2 y v 3 y v 1 z v 2 z v 3 z.

14 Divergence Divergence Divergence a rotace jsou vektorové operátory, jejichž vlastnosti jsou odvozeny z pozorování chování vektorového pole tekutiny nebo plynu. Divergenci vektorového pole si lze představit tak, že vektorové pole F udílí rychlost toku kapaliny. Jak se rychlost toku zvyšuje, kapalina expanduje pryč z počátku. V tomto případě je divergence vektorového pole kladná (obr. vlevo), div F > 0. Jestliže vektorové pole představuje tekutinu, která teče tak, že se stlačuje do počátku, divergence tohoto vektorového pole je záporná div F < 0, dochází ke kompresi tekutiny (obr. vpravo).

15 Divergence F := F(x, y)... dvoudimenzionální vektorové pole rychlosti F := F(x, y, z)... vektorové pole rychlosti v třídimenzionálním prostoru Divergence vektorového pole měří expanzi nebo kompresi vektorového pole v daném bodě, neudává, ve kterém směru se expanze nebo komprese děje = divergence je skalár F : R 3 R 3, F = (F 1, F 2, F 3 ), div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z Pak divergence je skalární součin vektorů a F, ( ) F = x, y, (F 1, F 2, F 3 ) = z x F 1 + y F 2 + z F 3

16 Divergence Příklady Příklad 1. F(x, y, z) = ( y, xy, z) = div F = 0 + x + 1 = x + 1 Příklad 2. F(x, y, z) = (x, y, z) = div F = = 3... kladná konstanta. V tomto případě nezávisí divergence na volbě bodu (x, y, z). Tekutina expanduje. Příklad 3. Vypočtěme divergenci vektorového pole (x, y, z) F(x, y, z) =, (x, y, z) (0, 0, 0). (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Řešení div F (x, y, z) = = x x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + y y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + z z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3x 2 + (x 2 + y 2 + z 2 ) 3y 2 + (x 2 + y 2 + z 2 ) 3z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 = 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 = 0 Tedy pokud nejsme v počátku, není tok ani expandující ani kontrahující, div F = 0.

17 Divergence Ponořme do kapaliny kuličku upevněnou v počátku a uvažujme vektorové pole z Příkladu 2. Tekutina proudí pryč od kuličky. Protože má vektorové pole kladnou divergenci všude, bude tok vektorového pole pryč od kuličky, i když kuličku posuneme z počátku. Vlevo na obr. je třídimenzionální vektorové pole z Příkladu 2, vpravo je dvoudimenzionální vektorové pole z Příkladu 4.

18 Divergence Závislost na dimenzi Příklad 4. Dvoudimensionální verze vektorového pole z Příkladu 3. F(x, y) = (x, y), (x, y) (0, 0) (x 2 + y 2 ) 3/2 div F(x, y) = x x (x 2 + y 2 ) + y 3/2 y (x 2 + y 2 ) 3/2 = (x 2 + y 2 ) 3x 2 + (x 2 + y 2 ) 3y 2 (x 2 + y 2 ) 5/2 (x 2 + y 2 ) 5/2 = 2(x 2 + y 2 ) 3(x 2 + y 2 ) 1 = (x 2 + y 2 ) 5/2 (x 2 + y 2 ) < 0 3/2 Všude kromě počátku je div F(x, y) < 0. Tekutina se stlačuje, i když proudí ven. Vložíme-li kruh do proudící tekutiny, proudí tekutina do kruhu rychleji, než z kruhu

19 Rotace Rotace Představa vektorového operátoru rotace vychází z myšlenky, jak může kapalina nebo plyn rotovat (cirkulovat). Rotace 2d vektorového pole Rotace vektorového pole ve 3d

20 Rotace F... vektorové pole, které reprezentuje tok tekutiny Vložme do tekutiny malou kuličku a upevněme její střed = kulička se může otáčet v libovolném směru kolem svého středu, ale nemůže se hýbat. Tato rotace měří rotaci rot F vektorového pole F v bodě ve středu (malé) kuličky... mikroskopická rotace (cirkulace) vektorového pole F. Rotace je vektor, rot F R 3, který směřuje podél osy rotace a jeho orientaci určíme podle pravidla pravé ruky. ( ) rot F = F = x, y, (F 1, F 2, F 3 ) = z = i j k x y z = i F 1 F 2 F 3 ( F3 y F 2 z y z F 2 F 3 j x z F 1 F 3 + k ) ( F3 i x F ) ( 1 F2 j + z x F ) 1 k, y x y F 1 F 2 = kde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

21 Rotace Příklady Příklad F(x, y, z) = ( y, xy, z). Vypočtěte rot F. i j k rot F == x y z = i(0 0) j(0 0) + k(y + 1) = (0, 0, y + 1). y xy y Příklad F(x, y, z) = (y, x 2, z). Vypočtěte rot F. i j k rot F == x y z = i(0 0) j(0 0) + k(2x 1) = (0, 0, 2x 1). y x 2 z Notace: rot F curl F = F, F = (F 1, F 2, F 3 ) R 3, rot F R 3

22 Rotace Makroskopická rotace Mikroskopická rotace kulička vhozená do kapaliny, střed kuličky upevníme, takže kulička se může otáčet ve všech směrech kolem svého středu, ale nemůže se hýbat Makroskopická rotace uvolníme střed kuličky a kulička se začne otáčet v kruzích nesená tokem tekutiny. Nelze ji jednoduše spočítat jako rotf. Příklad F(x, y, z) = ( y, x, 0)... rotace kolem osy z. V tomto případě si můžeme makroskopickou rotaci představit jako rotaci (volné) kuličky v tekutině v rovině z = 0. Pozor!!! Tato makroskopická rotace není rotf vektorového pole F. Abychom mohli měřit rotf, musíme upevnit střed kuličky. Vypočtěte si, že rot F = (0, 0, 2). ( y, x, 0) Příklad F(x, y, z) =, (x, y) (0.0). x 2 + y 2 Rozlišíme 2 případy: Podél kružnic x 2 + y 2 = konstanta = dostaneme předchozí příklad, tedy makroskopickou rotaci kolem osy z. Pro obecný bod, který neleží na ose z dostaneme rot F = (0, 0, 0). Ověřte.

23 Greenova věta Greenova věta C... orientovaná,jednoduchá uzavřená křivka = křivkový integrál F dr reprezentuje rotaci F kolem křivky C. C Např. je-li F rychlostní pole toku vody, tento integrál ukazuje, jak velkou tendenci má voda cirkulovat podél cesty ve směru orientace C. Greenova věta... převádí výpočet křivkového integrálu vektorovho pole přes uzavřenou křivku C na dvojný integrál přes vnitřek C Ale co budeme integrovat přes vnitřek C, aby byl výsledek stejný, jako kdybychom integrovali po uzavřené křivce C?

24 Greenova věta Greenova věta udává vztah mezi makroskopickou rotací podél uzavřené křivky C a součtem mikroskopických rotací uvnitř C. Makroskopická cirkulace vektorového pole F podél C F dr = C D... oblast uvnitř uzavřené křivky C, k... jednotkový vektor ve směru osy z, (rot F) k... z ová složka operátoru rot F D Součet mikroskopických cirkulací vektorového pole F uvniř C mikroskopická cirkulace F }{{} da (rot F ) k

25 Greenova věta Greenova věta Necht C je kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka, D je oblast uvnitř uzavřené křivky C. Pak ( F2 F dr = (rot F ) k da = C D D x F ) 1 da. y Příklad Vypočtěte horního půlkruhu D. C y 2 dx + 3xydy, kde C je kladně orientovaná hranice y C D 1 1 x F (x, y) = (y 2, 3xy) Pomocí dvojného integrálu: integrand F 2 x F 1 = 3y 2y = y y oblast D: 1 x 1, 0 y 1 x 2

26 Greenova věta = y 2 dx + 3xydy = C x 3 ydy dx = (rot F) k da = yda = D D 1 1 (1 x 2 )dx = 2 3. Jiný způsob výpočtu: křivkový integrál: I = y 2 dx+3xydy, C je kladně orientovaná hranice horního půlkruhu D. C y C 1 D 1 C 2 1 x Parametrizace C 1 : r = 1, t 0, π, x = cos t, y = sin t, dx = sin tdt, dy = cos tdt Parametrizace C 2 : t 1, 1, x = t, y = 0, dx = dt, dy = 0

27 Greenova věta I = C 1 y 2 dx+3xydy+ y 2 dx+3xydy = C 2 π 0 1 ( sin 3 t+3 cos t sin t)dt+ 0dt = 1 = π 0 sin t ( sin 2 t + 3 cos t)dt = π 0 sin t(1 cos 3 t)dt + 3 π 0 sin t cos tdt sin t (1 cos 2 t)dt = cos t = u sin tdt = du = (1 u 2 )du = cos3 t sin t cos tdt = cos t = u sin tdt = du = udu = 1 2 cos2 t [ I = 1 1 ] π 3 cos3 t 1 [ ] π cos 2 t = Cvičení Vypočtěte pomocí Greenovy věty (křivku nakreslete) ( ( ) 1 x y) dx y + x dy, 2 C kde křivka C je sjednocení části paraboly y 2 = x mezi body A = (0; 0) a B = (1; 1) a úsečky AB. Křivka je probíhaná v kladném smyslu. 0

28 Greenova věta Poznámka Nezávislost křivkového integrálu na cestě: Necht F = (F 1, F 2, F 3 ) je vektorové pole na j.s. oblasti G R 3, C uzavřená křivka. Pak křivkový integrál vektorového pole F dr nezávisí na integrační cestě (tedy F je potenciální na G) C F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, F 2 z = F 3 y, rot F = 0. Poznámka Integrální definice divergence integrálem se v tomto případě myslí plošný integrál, nebudeme se tím zabývat. Poznámka Chemická interpretace divergence: div v(p), kde vektorové pole v je gradientem koncentrace, znamená množství chemické látky, které v okolí bodu P přibude difúzí nebo vznikne chemickou reakcí (div v(p) < 0) a nebo z okolí bodu P zmizí (div v(p) > 0).

29 Greenova věta Definice Bod P, ve kterém je div v(p) > 0 (expanze) se nazývá zdrojem nebo zřídlem vektorového pole v. Bod P, ve kterém div v(p) < 0 (komprese) se nazývá propadem. Poznámka Vektorové pole v na oblasti G se nazývá nezřídlové neboli solenoidální, jestliže div v(p) = 0 P G, t.j. žádný bod G není ani zřídlem, ani propadem. Poznámka Je-li v(x, y, z) rychlostní pole v kapalině, pak se podmínka div v = 0 nazývá v hydrodynamice rovnicí kontinuity nestlačitelné kapaliny. Definice Vektorové pole v(x, y, z), pro které platí rot v(x, y, z) = 0, se nazývá nevírové.

30 Diferenciální operace 2. řádu Diferenciální operace 2. řádu Diferenciální operace 2. řádu jsou výsledkem dvojnásobné aplikace operátoru nabla na skalární nebo vektorové pole. Necht f (x, y, z) je skalární pole třídy C 2 (G), t.j. funkce f : R 3 R, f C 2 (G), a(x, y, z) je vektorové pole třídy C 2 (G). div grad f div grad f = f = Položme Někdy se používá označení ( ) ( x, y, f z x, f y, z ) = 2 f z x + 2 f 2 y + 2 f 2 z 2 f = 2 f x f y f z 2... Laplaceův diferenciální operátor, Laplacián = }{{ } = 2 = 2 x y z 2 skalární součin operátoru nabla se sebou samým.

31 Diferenciální operace 2. řádu Poznámka Laplaceova a Poissonova rovmice u = g na Ω R 2, u = u 0 na Γ = Ω, parciální diferenciální rovnice 2. řádu eliptického typu g = 0 g 0 u = 0 Laplaceova rovnice Poissonova rovnice harmonické funkce div rot a div rot a = ( a) = ( a3 y a 2 z, a 1 z a 3 x, a 2 x a ) 1 = y 2 a 3 x y 2 a 2 x z + 2 a 1 y z 2 a 3 x y + 2 a 2 x z 2 a 1 y z = 0 Cvičení Upravte rot (rot a). = div rot a = 0.

32 Diferenciální operace 2. řádu rot grad f, ( 2 f i y z Tedy f C 2 (G) rot grad f = f = ) ( 2 f 2 f j z y x z i j k x y z = f f f x y z ) ( 2 f + k y z 2 f x z rot grad f = 0. ) 2 f = 0. z y Poznámka Kdybychom uvažovali ( )f... i j k = x y z = 0, a tedy ( )f = 0 f = 0 x y z

33 Gaussova Ostrogradského věta Gaussova Ostrogradského věta Věta Gaussova Ostrogradského, divergenční Necht Ω R 2 je omezená oblast s Lipschitzovskou hranicí Γ, u H 1 (Ω). Pak u dx = u n i ds, i = 1, 2, x i Ω kde n = (n 1, n 2 ) je jednotková vnější normála ke Γ. Γ Věta říká, že dvojný integrál přes Ω (= vnitřek C) je roven křivkovému integrálu přes hranici Γ oblasti Ω, kde Γ = C je uzavřená křivka kladně orientovaná. Položme ve větě u := v w. Dostaneme ( v w + w ) v dx = v w n i ds, i = 1, 2, v, w C 1 (Ω), Ω R 2. x i x i Ω 1. Greenova formule v wdx = v w n i ds x i Ω Γ Γ Ω w x i vdx, i = 1, 2, v, w C 1 (Ω), Ω R 2.

34 Gaussova Ostrogradského věta Rozepišme 1. Greenovu formuli do složek: v wdx = v w n 1 ds Ω x 1 Γ v wdx = v w n 2 ds x 2 Ω Γ Ω Ω w vdx x 1 (2) w vdx x 2 (3) Nyní v rovnici (2) dosadíme w := w a v rovnici (3) dosadíme w := w. x 1 x 2 Tedy v w dx = v w 2 w n 1 ds vdx (4) Ω x 1 x 1 Γ x 1 Ω x1 2 Ω v w dx = x 2 x 2 Γ v w x 2 n 2 ds Ω 2 w vdx (5) x2 2

35 Gaussova Ostrogradského věta Rovnice (4) a (5) sečteme: tedy neboli Γ Ω Ω ( v w + v w x 1 x 1 x 2 x 2 ) ( w v n 1 + w n 2 x 1 x 2 grad v grad wdx = Ω 2. Greenova formule Ω v wdx = Γ Γ ) dx = ( ) 2 w ds + 2 w vdx, Ω x1 2 x2 2 v grad w nds Ω v w n ds Ω w vdx. w vdx w vdx = v w Γ n ds + v wdx Ω