9. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní na intervalu, ]. Její Fourierovu řadu definujeme jako a + ak coskωt + b k sinkωt ], kde ω = a oto pak zapisujeme jako a k = b k = f a + vrzení: i Pokud f je lichá, pak a k = a b k = 4 ii Pokud f je sudá, pak b k = a a k = 4 / ft coskωt dt, for k N, ft sinkωt dt, for k N. ak coskωt + b k sinkωt ]. / ft sinkωt dt. ft coskωt dt. je její frekvence, Pro naši funkci f máme =, takže ω = = a =. Funkce f je sudá a dostáváme tak a k = udíž máme = a = t cost dt = suda 4t cost t= ft dt = ft dt = t dt = 3, t cost dt = t sint t= = 4 cost b k = f 3 + dt = 4 cos k t sint dt =. licha 4 k k 4 sint 3 t= = cost. 4t sint dt = = 4k k, Jordanovo kritérium: Necht f je -periodická funkce, která je po částech spojitá na nějakém intervalu I délky. Předpokládejme, že její derivace f je po částech spojitá na I. Necht f a + ak coskωt + b k sinkωt ]. Pak pro každé t R platí

2 lim a N + N ak coskωt + b k sinkωt ] = ft + ft + ]. Pokud je f navíc spojitá R, pak a + ak coskωt + b k sinkωt ] konverguje k f stejnoměrně. Pro náš příklad tudíž pro t, ] dostáváme, že t = 3 + Speciálně pro t = pak takto získáme vztah a pro t = pak podobně k+ k =. k = 6. 4 k k cost. Parsevalova rovnost: Necht f je -periodická funkce, která má konečný integrál z f a z f na nějakém intervalu I délky. Pak pro koeficienty a n, b n z její Fourierovy řady platí rovnost. f t dt = a + a k + b k Pro náš příklad tudíž z Parsevalovy rovnosti dostáváme, že k = t 4 dt = 4 5 a tedy k 4 = 4 9. Poznámka: Parsevalova rovnost je vlastně zobecněná Pythagorova veta. Uvažujme vektorový prostor všech integrabilních funkcí na intervalu, ] takových, že mají i integrabilní kvadrát na intervalu, ], a skalární součin těchto funkcí definovaný jako f, g = ftgt dt. Označíme si obvyklou normu f := f, f. Pak ze zápisu pro námi uvažované funkce f plyne protože f a + f = a a ak coskωt + b k sinkωt ] + a k coskωt a k = dt = + b k sinkωt b k Page

3 pro k a protože funkce coskωt = cos kωt dt = sinkωt = sin kωt dt =, cosωt, sinωt, cosωt, sinωt,... jsou vzájemně kolmé ve skalárním součinu. Dokonce tvoří v určitém smyslu ortogonální bázi námi uvažovaného prostoru. edy skutečně máme f t dt = f = a + a k + b k. 9. Mějme funkci Určete a Fourierovu řadu b sinovou Fourierovu řadu c kosinovou Fourierovu řadu příslušného periodického rozšíření funkce f. ft = { t, t,,, t,. Definice: Necht f je funkce spojitá na, L. Její sinová Fourierova řada je definována jako Fourierova řada jejího lichého periodického rozšíření a její kosinová Fourierova řada je definována jako Fourierova řada jejího sudého periodického rozšíření. L vrzení: Sinová Fourierova řada funkce f je trigonometrická řada s koeficienty a k =, b k = ft sinkωt dt a L ω = L. L Kosinová Fourierova řada funkce f je trigonometrická řada s koeficienty b k =, a k = ft coskωt dt a ω = L L. Poznámka: Součet sinové Fourierovy řady je = L-periodické rozšíření funkce f do liché funkce. Součet kosinové Fourierovy řady je = L-periodické rozšíření funkce f do sudé funkce. Oba součty je potřeba ještě upravit pomocí Jordanova kritéria. i Pro Fourierovu řadu funkce f máme: =, ω = = a =. b k = a k = a = t cost dt = t sint t sint dt = t cost ft dt = ] t= t= } {{ } = ] t= t= + cost t dt = sint dt = cost = k t= dt = k+ + sint t= } {{ } = = k+ Page 3

4 akže f 4 + k cost + k+ sint ii Pro sinovou Fourierovu řadu funkce f máme: L =, = L = 4, ω = =, L =. Uvažujeme ted liché rozšíření funkce f a pak periodické prodloužení, takže koeficienty u sudých funkcí budou nulové, tj. a k = pro k N. b k = t sin k t dt = t cosk ] t= t cosk k + t k dt = cosk t= = cosk + 4 sink = kde n N. akže sinová Fourierova řada funkce f je, pro k = 4n + 4, pro k = 4n +, pro k = 4n + 4, pro k = 4n sink cosk ] sin k t. sink ] t= t k t= } {{ } = iii Pro kosinovou Fourierovu řadu funkce f máme: L =, = L = 4, ω = =, L =. Uvažujeme ted sudé rozšíření funkce f a pak periodické prodloužení, takže koeficienty u lichých funkcí budou nulové, tj. b k = pro k N. a k = t cos k t dt = a = t dt =. t sink ] t= t sink k t k dt = sink cosk ] t= + t t= k = t=, pro k = 4n = sink + 4 cosk = kde n N. akže kosinová Fourierova řada funkce f je 4, pro k = 4n + 8, pro k = 4n +, pro k = 4n sink + 4 cosk ] cos k t. = Page 4

5 9.3 Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t, t <. Perioda rozšíření bude =, takže ω = =. Rozšíření funkce f je sudé, takže b k =. Zbylé koeficienty Fourierovy řady jsou tyto: a k = t cos t dt = t sin t a = + t t dt = ] t= t= dt = ; ] t= cos t k = k cos = t=, pro k = n 4 k, pro k = n + pro n N. Protože periodické rozšíření funkce f je spojité, tak Fourierova řada k němu konverguje stejnoměrně na celém R. Proto můžeme napsat dokonce t = n= 4 cosn + t, t, ]. n Určete sinovou Fourierovu řadu příslušného periodického rozšíření funkce ft = sin t, t <. Určete funkci, ke které tato Fourierova řada konverguje. K určení sinové Fourierovy řady funkce definované na intervalu, L, musíme začít s lichým rozšířením funkce f na interval L, L s frekvencí ω = L =. Budeme tak mít L = a liché rozšíření naší funkce na interval, tak bude opět funkce sinus. Proto sinová Fourierova řada funkce ft = sin t, t < je totéž jako Fourierova řada funkce ft = sin t, t <. Z lichosti plyne, že všechny koeficienty a k jsou nulové. Pro koeficienty b k máme protože = Dostáváme tak b k = sink t k sin t sinkt dt = sink + t k + ] t= t= cosk t cosk + t dt = = sin k + = k pro k Z. f k+ k k = 8kk+ k + 4k 8k k+ 4k sin kt, t R. Liché periodické rozšíření funkce f není spojité v bodech t = +, k Z. V těchto bodech konverguje sinová Fourierova řada k hodnotě ft + ft + ] =. Ve všech ostatních bodech konverguje sinová Fourierova řada k lichému periodickému rozšíření funkce f. Page 5

6 Poznámka: Použili jsme vzorce a tedy cosx + y = cos x cos y sin x sin y cosx y = cos x cos y + sin x sin y sin x sin y = cosx y cosx + y. 9.5 Mějme funkci ft = {, t,,, t,. Určete Fourierovu řadu příslušného periodického rozšíření funkce f. Pro Fourierovu řadu máme =, takže ω = =. Určíme koeficienty: a k = b k = a = cos t dt sin t dt dt + cos t dt = sin t dt = = 3 k] = Proto pro lichá čísla k = n + dostaneme tvar f + dt = ; ] t= sin t t= ] t= cos t + t= {, pro k sudé,, pro k liché. 6 ] t= sin t = ; t= ] t= cos t = t= 3 k] sin t = + 6 sinn + t, t R. n + n= 9.6 Nalezněte Fourierovu řadu pro periodické rozšíření funkce { sin t, t,, ft =, t,. a určete její součet. Perioda naší funkce je =, frekvence je ω = Spočítáme koeficienty Fourierovy řady funkce f: = a =. Funkce f není ani lichá ani sudá. a = sin t dt = ] t= cos t = t=. Page 6

7 a k = sin t coskt dt = = dále platí pro k ] = cosk + t cosk t + k + k = k+ k k + Pro k = máme Pro k = máme b k = a = sin t cos t dt = sin t sinkt dt = = dále platí pro k ] = b = akže dostáváme sin t sin t dt = sink + t sink t dt = ] t= t= = k+ sink t k = k k+ = k k + k sint dt =. pro k. cosk t cosk + t dt = cost dt = t f a + ak coskt + b k sinkt ] = = + sin t n= ] t= sink + t = pro k. k + t= 4n cos nt ] t= sin t =. t= a k = pro lichá k a pro sudá jsme to přepsali pomocí k = n Periodické rozšíření funkce f je všude spojité a podle Jordanova kritéria konverguje všude k původní funkci, tj. pro všechna t R. ft = + sin t n= 4n cos nt Poznámka: Použili jsme vzorce a tedy A podobně sinx + y = sin x cos y + cos x sin y sinx y = sin x cos y cos x sin y sin x cos y = sinx + y + sinx y. cosx + y = cos x cos y sin x sin y cosx y = cos x cos y + sin x sin y Page 7

8 a tedy sin x sin y = cosx y cosx + y. Aplikace: Mějme veličinu xt, která je periodicky závislá na čase t a splňuje následující obyčejnou lineární diferenciální rovnici. řádu tj. takovou, kde se vyskytují derivace funkce xt nejvýše. řádu: ẍt + 9xt = ft zde ẍt znamená druhou derivaci podle času t a ft je funkce ze zadání. akovouto rovnici získáme např. z určitých elektrických obvodů a xt představuje napětí v obvodu. Abychom našli řešení xt této rovnice, rozvineme si veličinu xt do Fourierovy řady s periodou = a frekvenci ω = řada se musí rovnat xt díky spojitosti a zderivujeme ji což jde udělat člen po členu: Dosazením dostáváme xt = A + ẋt = Ak coskt + B k sinkt ] kak sinkt + kb k coskt ] ẍt = k A k coskt k B k sinkt ] 9A + 9 k A k coskt + 9 k B k sinkt ] = + sin t 4n n= cosnt a protože rozvoj je jednoznačný, tak se musí koeficienty na obou stranách rovnat. Odsud dostaneme 9A =, 9 n A n = 4n, pro n, A = A n+ =, pro n, 9 B =, B = B k =, pro k 4, takže řešení je celkem toto: kde A 3, B 3 R jsou volné parametry. xt = A 3 cos3t + B 3 sin3t sin t + n= cosnt 4n 4n 9 Page 8