Opravná zkouška 2SD (druhé pololetí)

Transkript

1 Opravná zkouška SD (druhé pololetí) 1) Na množině celých čísel řeš rovnici: 6 8. ma. b) ) Na obrázku jsou gray dvou unkcí. Urči jejich unkční předpisy a základní charakteristiky. ma. 4b) g ) Řeš v R rovnici: 6 ma. b) 4) V krychli A H urči odchylku přímky BH od roviny ACG. ma. b) 5) Sestroj řez daného tělesa rovinou MNP. b) Návod: Sestroj nejdříve průsečík přímky NP s rovinou dolní podstavy. celkem 16 bodů

2 Řešení: ad1) Jedná se o eponenciální rovnici, kterou lze velice snadno řešit pomocí substituce. Předtím však doporučuji rovnici upravit pomocí známého vzorce pro počítání s mocninami (učivo I. ročníku). 6 8 rs Provedu zmíněnou úpravu podle vzorce a r s a a. 6 8 Vyčíslím vše, co se vyčíslit dá Nyní je čas na substituci: y =. 058y y = 8 Toto je obyčejná lineární rovnice s neznámou R. 009y = 8 8 y 009 Jelikož původní rovnice obsahuje neznámou, je třeba se k této neznámé přes substituční podmínku zpětně dopracovat. Škoda té dvojky vpravo v čitateli. Takhle nezbude nic jiného, než rovnici aritmovat, což ovšem není vůbec nic složitého. Pozn. Na tomto místě bych rád připomenul, že aritmovat můžeme jenom kladná čísla. Pravá strana rovnice toto jistě splňuje, ale co ta levá? Může být výraz menší nebo roven nule? Rozhodně ne. Zkus umocnit sedmičku nějakým číslem a dostat nulu nebo nedej bože záporné číslo! Neznámou sundám z eponentu dolů pomocí III. věty o počítání s aritmy. Dostal jsem opět jednoduchou lineární rovnici o neznámé R. Stačí celou rovnici vydělit výrazem a je hotovo. = Pozn. Výhodnější bylo rovnici sleduj! aritmovat aritmem o základu. Proč? Tak Z deinice aritmu plyne: 1. =. Kterýkoli z modře vyznačených výsledků akceptuji. Sám si ověř, že se jedná o stále stejné číslo (cca 1,64). Taktéž vřele doporučuji vzít si kalkulačku a provést zkoušku.

3 ad) Začnu s unkcí. Aniž bych cokoli počítal, mám ihned v mnoha věcech jasno: Funkce je lineární a deinovaná pro všechna čísla menší než ; Funkce nabývá hodnot větších než 5 H 5;. Funkce je na celém svém deiničním oboru klesající. Průsečík grau unkce s osou P = [ ; 0], s osou y P y = [0; ]. D. Zbývá dořešit samotný předpis unkce. Obecný předpis lineární unkce je y = a + b. To je třeba znát. Číslo b udává posunutí grau unkce po ose y, z obrázku je tudíž ihned vidět, že b =. I kdybych však toto náhodou nevěděl, pořád není nic ztraceno. Stačí vzít souřadnice bodu P y a dosadit je do obecného předpisu lineární unkce. Dostanu: a 0 b b O čísle a vím, že musí být záporné, jelikož unkce je klesající. Navíc unkce klesá pod úhlem 45, takže je jasné, že a musí být přímo rovno 1. Ale i kdybych o tomto neměl ani páru, neházím lintu do žita. Stačí vzít souřadnice bodu P (nebo souřadnice libovolného jiného bodu unkce (kromě bodu P y )) a dosadit je do předpisu unkce (za b už dosadím ). Dostanu: 0 a a = 1. Závěr: Funkce je dána předpisem : y ; ;. Pozn. Zkus pro výpočet čísla a použít jiný bod unkce, na výběr jich máš víc než dost Graem unkce g je část hyperboly. Aniž bych cokoli počítal, mám zase v několika věcech okamžitě jasno: Funkce g je nepřímá úměrnost, D 0 ;. Funkce g nabývá pouze kladných hodnot 0; H. Funkce g nemá průsečíky se souřadnicovými osami. Funkce g je na celém svém deiničním oboru klesající. Zbývá dořešit samotný předpis unkce g. k Obecný předpis nepřímé úměrnosti je y ; kde k 0; 0. Toto je opět třeba znát. Jak určím číslo k? Najdu si v obrázku libovolný bod unkce g (proto jsem tam taky nechal vykreslit tu mřížku!!), např. [; 1], a dosadím jeho souřadnice do obecného předpisu unkce. Dostanu: k 1 k = g. Závěr: Funkce g je dána předpisem : y ; 0;

4 ad) Úplně jednoduchá aritmická rovnice. Základy obou aritmů jsou stejné, takže v tom nebudu hledat žádnou vědu a zbavím se zlomku vlevo vhodným vynásobením. Prozatím si nebudu dělat starosti s určováním podmínek. 6 6 Dvojku vpravo šoupnu nahoru (věta III.) Základy obou aritmů se rovnají, tak pryč s těmi aritmy! 6 Dostal jsem triviální kvadratickou rovnici. Její řešení tu nebudu rozebírat, je to učivo I. ročníku. Kořeny rovnice jsou 11; 1. Nyní je čas provést zkoušku. Tím obejdu nutnost určovaní podmínek u výrazů s aritmy. Jak vím, nemohu aritmovat nulu ani záporná čísla. Vezmu tedy postupně oba kořeny kvadratické rovnice a dosadím je do všech výrazů s aritmy. 1) = Výrazy na obou stranách rovnice jsou deinovány, kořen 11 jest OK. 1) = Výraz na pravé straně rovnice těžce hapruje, kořen 1 jest KO. Závěr: Rovnice má jediné řešení = 11.

5 ad4) Odchylku dané přímky od dané roviny určím takto: Danou přímkou proložím rovinu kolmou k dané rovině a určím průsečnici těchto dvou rovin. Hledaná odchylka je potom odchylka této průsečnice od dané přímky. Toť vše. Pozn. Ne vždy je to pochopitelně snadné, popravdě řečeno ve většině případů je nalezení vhodné kolmé roviny, popř. průsečnice této roviny s danou rovinou anebo výpočet samotné odchylky pěkný mazec, ne však v tomto konkrétním případě. Rovina, která obsahuje přímku BH a která je současně kolmá na rovinu ACG je rovina BFH. To lze snadno ověřit užitím příslušných kritérií. Zkus sám. Bod S je střed krychle a je to také yzický průsečík přímky BH s rovinou ACG. Hledaná odchylka je označena φ a její velikost vypočítám z pravoúhlého trojúhelníku SBS P, kde S P je střed dolní podstavy, strana SB je přepona. Dejme tomu, že moje krychle bude mít hranu a =. Pak: SS P = 1 BS P = polovina stěnové úhlopříčky krychle = K výpočtu odchylky použiji unkci tangens. BS P tg SS 1 P cca 5444

6 ad5) První krok udělám podle přiloženého návodu. Jak? Přímku NP si rovnoběžným promítáním promítnu do dolní podstavy. Dostanu tak průsečík přímky NP s dolní podstavou, který můžu spojit s bodem M, který leží také v dolní podstavě. Tak dostanu první (neviditelnou) část řezu MQ. Q Teď už to porčí. Body P a Q jsou body hledaného řezu a leží ve stejné stěně hranolu, můžu je tedy spojit. Dostanu bod X, který spojím s bodem N, jelikož oba leží v horní podstavě. Současně s těmito kroky protáhnu zadní hranu dolní podstavy a dostanu další důležitý bod Y. Q Body N a Y leží v rovině zadní stěny, mohu je tedy spojit. Dostanu tak bod Z a neviditelnou část řezu v zadní stěně. Na závěr spojím bod Z s bodem M a řez je hotov. Závěr: Řezem hranolu je pětiúhelník MQXNZ.

7 Pozn. Zkoušku přesnosti svého rýsování můžeš provést ověřením rovnoběžnosti přímek MQ a NX. Q