Geometrie 2+1 dimenzionálních černých děr

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Eliška Klozová Geometrie 2+1 dimenzionálních černých děr Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: doc. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. Fyzika Obecná fyzika Praha 2013

2 Ráda bych poděkovala vedoucímu své bakalářské práce docentu Pavlu Krtoušovi za jeho ochotu a trpělivost, s jakou vedl konzultace, a pomohl mi tak pochopit geometrii prostoročasu a černých děr. Také děkuji svým rodičům za podporu při studiu. Nakonec ještě děkuji tvůrcům programu Mathematica, díky němuž vzniklo velké množství obrázků, užitečných pro tuto práci.

3 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne Eliška Klozová

4 Název práce: Geometrie 2+1 dimenzionálních černých děr Autor: Eliška Klozová Katedra: Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D., Ústav teoretické fyziky Abstrakt: V 2+1 dimenzionálním anti-de Sitterově vesmíru uvažujeme Killingův vektor boostu a s ním spojenou izometrii. Identifikací dvou izometrických ploch ve vhodné oblasti prostoročasu získáme objekt lokálně izometrický s anti-de Sitterovým vesmírem, ale s globálně odlišnou topologií BTZ černou díru. Abychom ukázali, že se jedná opravdu o černou díru, zavádíme přizpůsobené souřadnice a zkoumáme prostoročasovou strukturu tohoto objektu. Ukazuje se, že jde o prostoročas s vnitřními a vnějšími oblastmi oddělenými horizontem (nulovými plochami). Dále ukazujeme přímočarý vztah mezi parametrem identifikace a hmotností černé díry. Nakonec diskutujeme limitní přechody k dalším fyzikálně zajímavým objektům, kterými odůvodníme stanovení nulové hladiny hmoty-energie. Pro lepší pochopení a názornost trojrozměrně vykreslujeme všechny nadplochy, konformní diagramy BTZ černé díry a její prostorovou strukturu. Klíčová slova: obecná teorie relativity, BTZ černé díry, anti-de Sitterův prostoročas, 2+1 dimenze, topologické nízkodimenzionální černé díry Title: Geometry of 2+1 dimensional black holes Author: Eliška Klozová Department: Institute of Theoretical Physics Supervisor: doc. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D., Institute of Theoretical Physics Abstract: A boost Killing vector field with its isometry is considered in the 2+1 dimensional anti-de Sitter spacetime. Then we choose two isometric surfaces and identify points that are on the same Killing orbit. An object locally isometric to the anti-de Sitter spacetime but with different global topology is obtained the BTZ black hole. To prove that this object is really a black hole, a new adjusted coordinate system is introduced and the object s spacetime structure is explored. It is shown that such spacetime has outer and inner regions separated by the horizon (null surfaces). We also show that parameter of the identification is closely related to the black hole s mass. Finally, we discuss limit transitions to other interesting physical objects with which we support setting of the zero energy-mass level. For understanding the geometry better, many three-dimensional pictures of the considered surfaces are included along with conformal diagrams of the BTZ black hole and also its space structure is depicted. Keywords: general theory of relativity, BTZ black holes, anti-de Sitter Universe, 2+1 dimensions, topological low-dimensional black holes

5 Obsah Úvod 2 1 Geometrie a přehled anti-de Sitterova vesmíru Symetrie a Killingovy vektory Anti-de Sitterův vesmír Souřadnice anti-de Sitterova vesmíru v 2+1 dimenzi Gravitace v 2+1 dimenzi v anti-de Sitterově vesmíru Identifikace podél symetrií v anti-de Sitterově vesmíru Souřadnice vhodné pro identifikaci Identifikace ploch BTZ černá díra Souřadnice vhodné pro popis černé díry Zavedení doplňkových souřadnic T, R, Θ Zavedení přizpůsobených souřadnic, vhodných pro popis černé díry Metrika černé díry Hmotnost černé díry Fázové přechody Prázdný anti-de Sitterův vesmír Bodová částice Extrémní černá díra BTZ černá díra Prostorová struktura černé díry Vnoření do euklidovského prostoru Znázornění prostorové struktury BTZ černé díry a extrémní černé díry Závěr 31 Seznam použité literatury 32 Dodatek 33 A Odvození vztahů (T, R, Θ ) (T, R, Θ ) B Odvození metriky v souřadnicích T, R, Φ

6 Úvod Začátkem 90. let 20. století M. Bañados, C. Teitelboim a J. Zanelli nalezli řešení Einsteinových-Maxwellových rovnic v 2+1 dimenzi, které bylo stacionární a sféricky symetrické za přítomnosti záporné kosmologické konstanty. Ukázali, že se jedná o černou díru charakterizovanou hmotností, momentem hybnosti a nábojem [1]. Dnes je toto řešení známé jako BTZ černá díra. Bylo to poměrně překvapivé, neboť do té doby se mělo za to, že tři dimenze jsou z hlediska fyziky příliš nerealistické. Například ve 2+1 dimenzi nemá obecná teorie relativity newtonovskou limitu [2]. Matoucí byl zejména fakt, že všechna vakuová řešení Einsteinových rovnic se zápornou kosmologickou konstantou jsou lokálně izometrická s anti-de Sitterovým vesmírem, který má konstantní křivost. Nicméně tento problém je jen zdánlivý, neboť BTZ černá díra se od anti-de Sitterova vesmíru liší globální topologií. Jedná se o řešení navzájem lokálně izometrická, ale globálně odlišná. Z anti-de Sitterova prostoročasu lze BTZ černou díru získat alternativním způsobem faktorizací prostoročasu podél vhodné symetrie. Faktorizace se může realizovat jako vyříznutí určité oblasti vesmíru podél dvou vhodných izometrických ploch a jejich následné ztotožnění [3]. BTZ řešení je skutečně černou dírou a sdílí mnoho vlastností s realistickými čtyřdimenzionálními objekty: Například existuje horizont událostí, v rotujícím a nabitém případě i vnitřní horizont a je posledním stádiem kolabující hmoty [2]. V některých důležitých aspektech se liší na rozdíl od Kerrova či Schwarzschildova řešení je toto řešení asymptoticky anti-de sitterovské, místo aby bylo asymptoticky ploché, je tedy analogií řešení Kerr-AdS. Dále nemá křivostní singularitu, křivost je tedy konečná, blížíme-li se k singularitě. A i v některých dalších fyzikálních vlastnostech jsou podstatné rozdíly oproti 3+1 dimenzi [2]. Největší přínos BTZ černé díry jsou právě pouhé tři dimenze, které umožňují přesná řešení rovnic namísto numerických simulací a usnadňují velké množství komplikovaných výpočtů při zkoumání vlastností černých děr a obecné teorie relativity vůbec. V klasické fyzice je to například detailní studium kolabující hmoty. V kvantové fyzice je však tento model slibnější, neboť ve třech dimenzích vymizí většina překážek na cestě ke kvantování obecné relativity [2]. Cílem této práce je podrobně vyložit, jak lze BTZ černou díru získat identifikací vhodných ploch v anti-de Sitterově vesmíru. Budeme se zde zabývat pouze nerotujícím případem, tj. J 0. 2

7 1. Geometrie a přehled anti-de Sitterova vesmíru 1.1 Symetrie a Killingovy vektory Killingovým vektorem metriky g nazveme takový vektor v, který splňuje 1 L v g lim t 0 t (g ϕ t g) 0, (1.1) kde L značí Lieovu derivaci metriky g podél vektoru v, který je generátor toku ϕ t. Které souřadnicové vektory jsou Killingovy, nejjednodušeji určíme z tvaru metriky na těchto souřadnicích jednotlivé složky metriky nezávisí, což odpovídá výše uvedené definici. Killingovy vektory jsou pro nás důležité proto, že s každým je spojena určitá symetrie prostoročasu. Přesněji řečeno diffeomorfismus podél Killingova vektoru zachovává metriku (jak je patrné z definice Lieovy derivace). V obecném prostoročasu nemusí existovat žádný Killingův vektor. V této práci se však budeme zabývat anti-de Sitterovým vesmírem, což je maximálně symetrický prostoročas. Killingovy vektory zde tedy budou hrát klíčovou roli. Podél nich budeme například identifikovat izometrické plochy, a vytvářet tak nové fyzikálně zajímavé prostoročasy. Podrobně jsou Lieova derivace a Killingovy vektory rozebrány například v [4] nebo v [5]. 1.2 Anti-de Sitterův vesmír V této kapitole vycházíme především ze studijních materiálů, které poskytl vedoucí práce, a z přehledu souřadnic ve standardním čtyřdimenzionálním anti-de Sitterově vesmíru v [6]. Anti-de Sitterův vesmír je jedním ze tří maximálně symetrických řešení Einsteinových rovnic, které má konstantní zápornou křivost. Je to vakuové řešení se zápornou kosmologickou konstantou Λ. Standardní čtyřdimenzionální anti-de Sitterův prostoročas získáme restrikcí na pseudosféru x 2 0 x x x x 2 4 l 2 v plochém pětirozměrném prostoru se signaturou ( + + +), tj. s metrikou g (dx 0 ) 2 (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 + (dx 4 ) 2. Je-li parametr pseudosféry l dán vztahem l 3, pak geometrie indukovaná na této pseudosféře splňuje Einsteinovy rovnice s kosmologickou konstantou Λ Λ < 0. Zavedeme-li sférické souřadnice, můžeme celý anti-de Sitterův prostoročas pokrýt souřadnicemi t, r, ϑ, φ, v nichž má metrika tvar g l 2 cosh 2 r l dt2 + dr 2 + l 2 sinh 2 r ( dϑ 2 + sin 2 ϑ dφ 2). l 3

8 Toto jsou tzv. kosmologické sférické souřadnice, viz dále. V této práci se omezíme jen na tři dimenze jednu časovou a dvě prostorové. Nebudeme tedy uvažovat souřadnici φ. Pro jednoduchost zvolíme l 1, čímž se nám ze souřadnic ztratí rozměr, můžeme ho však kdykoliv snadno zrekonstruovat pomocí rozměrové analýzy jednotlivých veličin Souřadnice anti-de Sitterova vesmíru v 2+1 dimenzi Statické souřadnice typu I Standardní tvar metriky trojdimenzionálního anti-de Sitterova vesmíru v kosmologických sférických souřadnicích t, r, ϑ je g cosh 2 r dt 2 + dr 2 + sinh 2 r dϑ 2, (1.2) kde t (, ), r (0, ), ϑ ( π, π). Provedeme-li transformaci sin χ tanh r, dostaneme metriku v konformních sférických souřadnicích t, χ, ϑ g 1 ( dt 2 + dχ 2 + sin 2 χ dϑ 2), (1.3) cos 2 χ kde χ ( 0, π 2 ). Konformní proto, že z metriky v tomto tvaru je vidět konformní vztah anti-de Sitterova vesmíru k Einsteinovu vesmíru s metrikou g Eins dt 2 + dχ 2 + sin 2 χ dϑ 2. (1.4) Tyto souřadnice jsou přímo souřadnicemi Einsteinova vesmíru s tím rozdílem, že v Einsteinově vesmíru χ (0, π). Anti-de Sitterův vesmír je tedy konformně vztažený k polovině Einsteinova, což je dáno právě konformním faktorem 1, cos 2 χ který diverguje pro χ π. Nadplocha χ π tak reprezentuje nekonečno anti-de 2 2 Sitterova vesmíru. Nyní přejdeme ke konformním cylindrickým souřadnicím t, χ, ϑ, které získáme otočením (ve smyslu sféry prostorového řezu Einsteinova vesmíru) pólu χ 0 o π podél čáry ϑ π, viz obrázek 1.1. Vztahy mezi konformními cylindrickými a 2 sférickými souřadnicemi jsou: cos χ sin χ cos ϑ, sin χ sin ϑ sin χ sin ϑ, tan ϑ tan χ sin ϑ, sin χ cos ϑ cos χ. (1.5) Metrika má tvar g 1 ( sin 2 χ cos 2 ϑ dt 2 + d χ 2 + sin 2 χ d ϑ 2), (1.6) kde χ (0, π), ϑ ( π 2, π 2 ). Pro úplnost ještě zaveďme souřadnice T I, R I, Θ I, které využijeme v kapitole 4.1, vztahy T I t, R I tan χ sinh r, Θ I ϑ, (1.7) 4

9 ϑ π 2 χ π 2 ϑπ ϑ π χ ϑ χ0 χ χ π 2 ϑ0 ϑ χπ (a) Konformní sférické ϑ π 2 (b) Konformní cylindrické Obrázek 1.1: Přechod od sférických k cylindrickým konformním souřadnicím. Znázorněna je prostorová část anti-de Sitterova vesmíru, která má geometrii Lobačevského roviny, pomocí Beltrami-Kleinova modelu [6]. Hranice kruhu je nekonečno prostorového řezu anti-de Sitterova vesmíru. v nichž má metrika tvar g ( ) 1 + RI 2 dt 2 I RI 2 dri 2 + RI 2 dθi 2. (1.8) Je tak vidět, že R I je radiální souřadnice měřená pomocí obvodu kružnice se středem v počátku (díky členu RI 2 dθ I 2 ). Naopak z metriky ve tvaru (1.2) vidíme, že r je radiální souřadnice měřená přímo od počátku (díky členu dr 2 ). Všechny dosud zmíněné souřadnice patří mezi tzv. statické souřadnice typu I. Statické proto, že metrika nezávisí na čase t, a tedy podle rovnice (1.1) je Killingův vektor. Pod jeden společný typ je zahrnujeme proto, že při transformacích t tento Killingův vektor neměníme, nýbrž transformujeme pouze prostorovou část. Statické souřadnice typu Nyní provedeme transformaci i časové souřadnice. Statické souřadnice typu T, R, Θ definujeme následovně pomocí konformních cylindrických souřadnic: T 1 2 ln cos t cos χ, sin χ R sin t, Θ ϑ. cos t + cos χ (1.9) Absolutní hodnotu v definici T můžeme odstranit, musíme však rozlišit znaménko podle oblasti, ve které se nacházíme. R 2 > 1 odpovídá oblasti S, viz obrázek 1.2, T 1 2 ln cos t cos χ cos t + cos χ, (1.10) 5

10 a platí následující inverzní vztahy (inverzních vztahů lze napsat víc, zde jsou vybrány ty, které budeme používat k vykreslení souřadnicových čar a ploch dále): 1 sin t, R cosh 2 T 1 sinh 2 T R 2 R 2 cos χ 1 sinh T. R 2 cosh2 T sinh 2 T (1.11) Znaménko cos χ je sign ( cos t). R 2 < 1 odpovídá oblasti T, viz obrázek 1.2, T 1 2 a platí tyto inverzní vztahy: ln cos t + cos χ cos t + cos χ, (1.12) 1 sin t, R 1 cosh 2 T R 2 sinh 2 T 1 R 2 cos χ cosh T. cosh 2 T R 2 sinh2 T (1.13) Znaménko cos χ je pro pravou oblast T R a + pro levou oblast T L, viz obrázek 1.2. S použitím (1.5), (1.10) a (1.12) snadno typ vyjádříme pomocí konformních sférických souřadnic: ( ) 1 cos t + sin χ cos ϑ 2 ln v oblasti S, cos t sin χ cos ϑ T ( ) 1 cos t + sin χ cos ϑ 2 ln v oblasti T, cos t + sin χ cos ϑ sin χ sin ϑ R sin Θ, sin t R R cos Θ cos χ 2 1 sin2 χ cos 2 ϑ sin 2, t (1.14) sin t, tan Θ tan χ sin ϑ. Metrika ve statických souřadnicích typu pak má tvar [ 1 g R 2 ( 1 R ) ] 2 cos 2 dt Θ 1 R dr 2 + R 2 2 dθ. (1.15) Vidíme, že metrika nezávisí na T, a tedy T je Killingův vektor. Jednotlivé oblasti se liší směrem tohoto vektoru, jak je vidět z obrázku 1.2. Izometrie generovaná tímto Killingovým vektorem se nazývá boost anti-de Sitterova vesmíru [6]. Nakonec ještě poznamenejme, že statické souřadnice typu nejsou definovány globálně, ale pouze v určitých oblastech, na jejichž hranicích souřadnice degenerují. Vezmeme-li však více takových oblastí, pokryjeme jimi celý anti-de Sitterův vesmír dle obrázku

11 t2π T L T R S tπ T L T R S t0 T L T R χ0 t π χπ Obrázek 1.2: Konformní diagram anti-de Sitterova vesmíru, řez Θ konst. V diagramu jsou vyznačeny oblasti S a T dle definic statických souřadnic typu. Šipky znázorňují směry Killingova vektoru T v různých oblastech. Okraje diagramu jsou nekonečna, vyznačená silnou čarou. Vyznačeny jsou také některé hodnoty konformních cylindrických souřadnic Gravitace v 2+1 dimenzi v anti-de Sitterově vesmíru Zde se blíže podíváme na gravitaci ve třech dimenzích a podrobněji rozebereme některé její aspekty, naznačené v úvodu. Ve třech prostoročasových dimenzích je Riemannův tenzor křivosti R ρ µσν plně určen Ricciho tenzorem R µν, který je definován jako zúžení Riemannova tenzoru R µν : R ρ µρν. (1.16) Oba tenzory totiž mají ve třech dimenzích právě 6 nezávislých složek. Platí mezi nimi vztah [7] R µνρσ ε µνκ ε ρσλ R κλ, (1.17) kde ε µνκ je totálně antisymetrický tenzor, pro nějž platí ε 012 det g µν. Důsledkem je, že všechna vakuová řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole R µν 1 2 Rg µν + Λg µν 0 (1.18) (skalární křivost R je definována jako zúžení Ricciho tenzoru R : R µ µ) s kosmologickou konstantou Λ ve třech dimenzích mají konstantní křivost. Jak víme, je-li kosmologická konstanta záporná, jedná se o anti-de Sitterův prostoročas. 7

12 To znamená, že všechna vakuová řešení jsou s ním lokálně izometrická. Globální strukturou se však mohou lišit, což nastává i v našem případě BTZ černé díry. Odlišnou globální strukturu je možné získat faktorizací prostoročasu podél vhodné symetrie. Prakticky to znamená, že určitou oblast prostoročasu vyřízneme podél dvou vhodných izometrických ploch a tyto následně ztotožníme. Příklady faktorizace Následuje několik příkladů. Pro lepší představu je nejprve jako prostoročas zvolena dvojrozměrná euklidovská rovina s kartézskými, resp. polárními souřadnicemi x, y, resp. ρ, φ. 1. Jako izometrické plochy zvolíme dvě rovnoběžné přímky (to jsou zároveň geodetiky), které na sebe přejdou při posunu podél Killingova vektoru translace. Rovinu mezi těmito přímkami vyřízneme a přímky ztotožníme, tj. x podél přímek vybranou oblast slepíme. Dostaneme válec. Tento postup zopakujeme ještě jednou, tentokrát podél izometrických geodetik takových, že generátorem izometrie je Killingův vektor translace y (geodetiky jsou zde části přímek kolmých na ty první, po prvním ztotožnění však mají topologii kružnice S 1 ). Získáme torus (pneumatiku). Snadno se přesvědčíme, že lokálně je torus stále plochý, neboť samotnou metriku jsme nijak neměnili. 2. Jako izometrické plochy zvolíme polopřímky vedoucí z počátku, které na sebe přejdou při posunu podél Killingova vektoru rotace. To jsou polopřímky se společným počátečním bodem svírající úhel φ 0 (0, 2π). Prove- φ deme ztotožnění podél polopřímek a vyjde nám kužel, opět lokálně plochý. Jediným problematickým bodem je vrchol kuželu, kde není křivost dobře definována. Analogicky můžeme faktorizaci provádět i v zakřiveném prostoročase ve více dimenzích. Konkrétně se nyní zaměříme na anti-de Sitterův vesmír v 2+1 dimenzi. 1. Izometrické plochy zvolíme takové, že na sebe přejdou při posunu podél Killingova vektoru rotace (ϑ je standardní úhlová souřadnice, viz (1.2)). ϑ Toto je analogie příkladu 2 v plochém prostoru a dostaneme i analogický objekt tzv. kónickou singularitu. Ve třech prostoročasových rozměrech je kónická singularita interpretována jako vesmír s bodovou částicí. Více je tomuto tématu věnováno v kapitole Izometrické plochy zvolíme tak, že na sebe přejdou při posunu podél Killingova vektoru boostu T (T je časová souřadnice ze sady statických souřadnic typu, viz (1.15)) v oblasti S, kde je tento vektor prostorupodobný, viz obr Takto dostaneme BTZ černou díru. Podrobně je tato identifikace ploch vyložena v následující kapitole. 8

13 2. Identifikace podél symetrií v anti-de Sitterově vesmíru Jak již bylo řečeno dříve, BTZ černou díru lze získat faktorizací anti-de Sitterova vesmíru, tj. identifikací ploch v tomto prostoročasu podél vhodné symetrie. Na konci předchozí kapitoly jsme naznačili, o jakou symetrii se jedná. Nyní se na identifikaci vhodných izometrických ploch podíváme blíže. 2.1 Souřadnice vhodné pro identifikaci Souřadnice, které se zdají být nejvhodnější pro získání BTZ černé díry, jsou přímo statické souřadnice typu. Vybereme si část anti-de Sitterova vesmíru takovou, že t ( π 2, π 2 ), a částečně ji pokryjeme souřadnicemi T, R, Θ v oblasti S jako na obrázku 2.1. Na obrázku 2.2 je znázorněna tato vybraná část anti-de Sitterova prostoročasu. Je tedy vidět, že se nejedná o celou oblast t ( π 2, π 2 ), ale právě o tu část, která odpovídá oblasti S, díváme-li se na ni zepředu. Dále jsou na obrázcích vykresleny plochy konstantních T, R, Θ. Θ π 2 R 1 t π 2 S ϑ T R T R R T t0 χ T Θ R 1 (a) Řez Θ konst. t π 2 Θ π 2 (b) Řez R ±. Obrázek 2.1: Oblast S se souřadnicemi T, R, Θ. Červenou přerušovanou čarou jsou znázorněny plochy T konst, které budeme dále identifikovat. 2.2 Identifikace ploch Izometrické plochy jsou zvoleny tak, že na sebe přejdou při posunu podél Killingova vektoru boostu T. Je však potřeba, aby tento vektor byl prostorupodobný. Tento požadavek klademe proto, že při volbě časupodobného vektoru by vznikly 9

14 Obrázek 2.2: Vybraná oblast anti-de Sitterova vesmíru, v níž ztotožníme izometrické plochy.pohled zepředu (z levého boku) odpovídá oblasti S. Hranice oblasti tvoří nulové (světelné) plochy a část povrchu válce. uzavřené časupodobné křivky (viz [3]), což v kauzálně rozumném prostoročase nechceme. Teď je již jasné, proč jsme zvolili oblast S Killingův vektor T je právě zde prostorupodobný, jak je patrné z obrázku 1.2. Jako vhodné plochy vezmeme takové, které jsou na Killingův vektor T kolmé: plochy T konst. Můžeme si je představit jako na obrázku 2.3(b). Konkrétně identifikujeme plochu T Φ 0 s plochou T Φ 0, kde parametr Φ 0 může nabývat hodnot 0 < Φ 0 <. Toto označení parametru má svůj důvod souřadnice T se totiž tímto ztotožněním zacyklí a bude hrát roli úhlové souřadnice Φ T ( Φ 0, Φ 0 ) (viz kapitola 3.1.2). Uvidíme, že Φ 0 je důležitý parametr BTZ černé díry. Ztotožnění ploch znamená, že vyřízneme oblast mezi plochami, a hranice takto vzniklého prostoru (což jsou právě tyto plochy) slepíme k sobě tak, že ztotožníme body obou hraničních ploch ležící na stejné orbitě Killingova vektoru T. Prostoročas, který se nachází vně těchto ploch, pro nás přestává existovat. Pokud pozorovatel, který je uvnitř oblasti (tj. mezi plochami), projde jednou plochou, vynoří se z druhé opět uvnitř této oblasti. Objekt, vzniklý takovou identifikací, je znázorněn na obrázku

15 (a) T 0 (b) T ±0.5 (c) T ±1.8 Obrázek 2.3: Plochy T konst v oblasti S. Válec je celý anti-de Sitterův prostoročas, jeho okraj je nekonečno. Silnou čarou je na všech obrázcích znázorněna singularita odpovídající průsečnici dvou identifikovaných ploch T konst, jak lze nahlédnout například z obrázku (b) viz diskuze v textu. 11

16 (a) R ± (b) R ±1.3 (c) R ±1000 Obrázek 2.4: Plochy R konst v oblasti S. Plochy (a) se již velice blíží hranici oblasti S, lze je tedy skoro považovat za nulové. Plochy R ±1 (shodné s plochami T ± ) jsou totiž nulové. (a) Θ 0 (b) Θ ± π 6 (c) Θ ± π 2 Obrázek 2.5: Plochy Θ konst v oblasti S. Plochy (c) již reprezentují nekonečno. 12

17 (a) Prostoročas vzniklý identifikací dvou izometrických ploch (b) Pohled zepředu (c) Pohled z boku Obrázek 2.6: Prostoročas vzniklý identifikací dvou vykreslených izometrických ploch T konst. Celý prostoročas je oblast mezi plochami, vně ploch prostoročas neexistuje. Znázorněny jsou i nulové plochy, představující horizont (viz kapitola 3.2). Ty rozdělují vzniklý prostoročas na 4 oblasti, viz obrázky dále. 13

18 3. BTZ černá díra V této kapitole nejprve zavedeme vhodné souřadnice pro popis objektu vzniklého ztotožněním ploch a ukážeme, že jeho metrika je ekvivalentní metrice BTZ černé díry. Také zjistíme, co je hmotnost černé díry. 3.1 Souřadnice vhodné pro popis černé díry Zavedení doplňkových souřadnic T, R, Θ Z kapitoly 2.1 máme oblast t ( π, ) π 2 2 částečně pokrytou statickými souřadnicemi typu T, R, Θ v oblasti S. Nyní tutéž oblast t ( π, ) π 2 2 částečně pokryjeme souřadnicemi T, R, Θ v oblasti T, viz obr. 3.1(b). Nejprve zavedeme čárkované konformní sférické souřadnice t, χ, ϑ, posunuté o π v časovém směru a otočené o π ve směru úhlové souřadnice ϑ vzhledem ke 2 2 standardním konformním sférickým souřadnicím t, χ, ϑ (viz (1.3)). Spojují je tedy následující vztahy: t t + π 2, cos t sin t, sin t cos t, (3.1) ϑ ϑ + π 2, cos ϑ sin ϑ, sin ϑ cos ϑ, (3.2) radiální souřadnice χ χ zůstává stejná. K těmto čárkovaným sférickým zavedeme čárkované statické souřadnice typu T, R, Θ, které budou v naší zvolené části prostoročasu nabývat hodnot jako v oblasti T, viz obrázek 3.1. Dále tedy budeme mluvit o dvou oblastech S a T, ale zároveň je třeba mít na paměti, že tyto oblasti jsou jenom dva různé pohledy na tutéž část prostoročasu, jak je vidět z obrázku 3.2. S použitím (1.14), (3.1) a (3.2) odvodíme vztahy mezi čárkovanými statickými souřadnicemi typu a příslušnými konformními sférickými souřadnicemi: T 1 ( ) cos t 2 ln + sin χ cos ϑ sin t sin χ sin ϑ ln cos t + sin χ cos ϑ sin t sin χ sin ϑ, R sin Θ sin χ sin ϑ sin χ cos ϑ, sin t cos t R cos Θ cos χ cos χ sin t cos t, R 2 1 sin2 χ cos 2 ϑ sin 2 1 sin2 χ sin 2 ϑ t cos 2 t tanθ tan χ sin ϑ tan χ cos ϑ,, (3.3) kde jsme využili toho, že T je z oblasti T, viz vztah (1.14). Důležité jsou hodnoty, kterých mohou souřadnice z obou oblastí nabývat: T ( Φ 0, Φ 0 ) (plochy jsme již identifikovali), R (, 1 1, ) a Θ π 2, π 2 v oblasti S. T (, ), R 0, 1 a Θ π 2, π 2 v oblasti T. Jakým způsobem tyto hodnoty probíhají, je vidět z obrázku 3.1 a

19 R 1 t π 2 T T t π T R S T R R T t0 R 0 T 0 T L T R S F R 1 S P R T T R T t 0 π 2 R 0 R 1 t π 2 (a) Oblast S se souřadnicemi T, R, Θ. Řez Θ konst. T T t 0 (b) Oblast T se souřadnicemi T, R, Θ. Řez Θ konst. Obrázek 3.1: Stejná část anti-de Sitterova prostoročasu, kde t ( π 2, π ) 2, částečně pokrytá dvěma sadami souřadnic. Je-li diagram (a) pohledem na vybranou část prostoročasu zepředu, pak je diagram (b) pohledem na tutéž část prostoročasu z boku (díky pootočení o π 2 ve směru ϑ), viz obr Plocha T 0 v (b) odpovídá ploše R ± v (a). V (b) je R 0 v nekonečnu anti-de Sitterova vesmíru. Vlnkovanou čarou je znázorněna singularita vzniklá jako průsečnice dvou identifikovaných ploch T ±Φ 0 viz text. Znázorněny jsou i doplňkové oblasti S F a S P, které však nejsou pokryté zde zavedenými souřadnicemi T, R, Θ. Na obrázcích jsou také znázorněny plochy konstantních T, R, Θ. Pomocí (1.14) a vzorců (3.3) výše odvodíme následující vztahy mezi nečárkovanými a čárkovanými statickými souřadnicemi typu (podrobné odvození viz dodatek A): tanh T 1 R sin Θ, (3.4a) R sin Θ tanh T, (3.4b) R cos Θ R cos Θ R 2 1 cosh T, (3.4c) 1 R 2 R2 sin2 Θ 1 (R 2 1) cosh2 T, (3.4d) tan Θ R 2 1 sinh T R cos Θ, (3.4e) 15

20 S F S T L T R S P (a) Vybraná část anti-de Sitterova vesmíru (b) Pohled zepředu oblast S (c) Pohled z boku oblast T Obrázek 3.2: Dva různé pohledy na tutéž vybranou část anti-de Sitterova vesmíru z obr Přesněji řečeno, nulové plochy rozdělují tuto vybranou oblast na čtyři menší oblasti: T R, T L, S F a S P viz (c). Oblast T je pak tvořena oblastí T R a T L, na obrázku (c) jsou však vykresleny i doplňkové oblasti S F, S P, které nejsou pokryté souřadnicemi T, R, Θ (jsou ale pokryté souřadnicemi T, R, Θ ). a inverzní: tanh T R sin Θ, R sin Θ coth T, (3.5a) (3.5b) R cos Θ R cos Θ, (3.5c) 1 R 2 sinh T R R 2 sin 2 Θ ( ) 1 R 2, (3.5d) sinh 2 T 1 R 2 cosh T tan Θ R cos Θ, (3.5e) znaménko v posledním vzorci platí v T R, + platí v T L Zavedení přizpůsobených souřadnic, vhodných pro popis černé díry Nyní již můžeme zavést přizpůsobené souřadnice, které jsou vhodné pro popis BTZ černé díry. Vyjdeme z netriviálního poznatku, že souřadnicové Killingovy 16

21 Θ π 2 ϑ ϑ χ χ R Θ π 2 R R 1 Θ π 2 T Θ Θ Θ π 2 (a) Oblast S se souřadnicemi T, R, Θ. Řez R ±. (b) Oblast T se souřadnicemi T, R, Θ. Řez T 0. Obrázek 3.3: Červenou přerušovanou čarou jsou vykresleny dvě plochy T ±Φ 0, které byly identifikovány (viz kap. 2.2). Jsou znázorněny i konformní sférické souřadnice χ, ϑ a χ, ϑ. vektory T a T spolu komutují, tj. platí [ T, T ] 0, (3.6) kde [, ] značí Lieovu závorku. Z toho vyplývá, že tyto vektory jsou generátory orbit symetrie. Posuneme-li se nejprve ve směru T a pak ve směru, dojdeme do stejného bodu, jako kdybychom se posouvali v opačném pořadí. Všechny T takové body pak leží na orbitě symetrie a mohou být číslovány právě pomocí souřadnic T a T. Proto tyto využijeme jako nové souřadnice: T : T, Φ : T. (3.7) Zbývá nám teď očíslovat jednotlivé orbitální plochy, k čemuž zavedeme souřadnici R. Využijeme toho, že rovina T 0 je ekvivalentní rovině R ±, jak je přímo vidět z obrázků 2.4(c) a 3.4(a). Tuto rovinu protnou orbity symetrie v čarách Θ konst, T (, ). Vektor T je totiž Killingův, ale zároveň i souřadnicový, a tak pokud držíme R ± konst, pak je nutně Θ konst podél orbity T to je podstata souřadnicového systému. Orbity tedy můžeme očíslovat hodnotou souřadnice Θ (případně nějakou její funkcí) v rovině T 0. Konkrétně jako třetí souřadnici zvolíme: R : 1 cos Θ pro T 0. (3.8) Volba funkce f (Θ ) je na nás, ukáže se však, že 1 je vhodnou funkcí díky cos tomu pak vyjde metrika BTZ černé díry ve standardním tvaru. 17

22 (a) T 0 (b) T ±0.6 (c) T ±2 Obrázek 3.4: Plochy T konst v oblasti T. Silnou čarou je opět na všech obrázcích znázorněna singularita odpovídající průsečnici dvou identifikovaných ploch T ±Φ 0. Z natočení této singularity je vidět, že oproti plochám konstantních T, R, Θ jsou plochy konstantních T, R, Θ pootočeny o π 2. Nové souřadnice nabývají těchto hodnot: T (, ), R 1, (protože cos Θ 0, 1 ) a Φ ( Φ 0, Φ 0 ), viz obr. 3.7 a 3.8(a). Souřadnice T T je v oblasti T časová souřadnice (viz obr. 3.1(b)), vůči které je prostoročas v oblasti T statický. Souřadnice T, která je v oblasti S prostorovou souřadnicí, zde má opravdu význam úhlu Φ, neboť se díky identifikaci ploch zacyklila. Z tvaru metriky dále ukážeme, že souřadnice R měří radiální vzdálenost od černé díry pomocí obvodu, tedy 2πR obvod kružnice kolem černé díry v místě, kde se nacházíme. Vztahy (3.5) platí vždy, ale vztah (3.8) platí jen v rovině T 0, jak jsme argumentovali výše. Je proto potřeba roznést souřadnici R do celého prostoru, což provedeme požadavkem, aby byla podél orbity T konstantní, tj. aby se neměnila při posunu podél killingovského. (Je samozřejmě potřeba roznést do T celého prostoru všechny tři souřadnice T, R, Φ, ale pro T a Φ je to triviální, ty fungují v celém prostoru díky tomu, jak jsme je zavedli.) Co vlastně znamená roznést souřadnici podél orbity T? To znamená vyjádřit tuto souřadnici pomocí ostatních dvou souřadnic R a Θ v rovině T konst, poté zafixovat R a Θ a měnit T. Řekneme tedy, že vztah R (R, Θ ), který platí pro T 0, platí pro všechna T v celém prostoru. Vezmeme-li toto v úvahu, dostaneme následující vztahy mezi čárkovanými 18

23 (a) R ±0.4 (b) R ±0.9 (c) R ± Obrázek 3.5: Plochy R konst v oblasti T. Plochy (c) se již velice blíží hranici oblasti T, lze je tedy skoro považovat za nulové. Plochy R ±1 (shodné s plochami T ± ) jsou totiž nulové. Srovnáme-li dále obrázky 2.4(a) a 3.5(c) (obojí jsou takřka nulové plochy), vidíme, že plochy konstantních T, R, Θ jsou oproti plochám konstantních T, R, Θ posunuty o π 2 ve směru časové souřadnice t. statickými souřadnicemi typu a novými souřadnicemi: R sin Θ tanh Φ, R cos Θ 1 R cosh Φ, 1 R 2 R2 1 1 R 2 cosh 2 Φ, tan Θ R sinh Φ. (3.9) V dalším odstavci je pro zájemce uveden podrobnější postup, jak k těmto formulím dojít: Ze vztahu (3.5) ihned vidíme, že R sin Θ tanh T tanh Φ. Víme, že vztah (3.8) platí pouze v rovině T 0, a tudíž pouze tehdy platí i tan 2 Θ 1 1 R 2 1 R 2 R 2 1. Zároveň máme vzorec (3.5e), a tedy (( ) ) 1 R 2 R 2 1 tan 2 Θ cosh 2 T R 2 1 R cos 2 Θ T 0 2 R 2 cos 2 Θ. 19

24 (a) Θ 0 (b) Θ ± π 6 (c) Θ ± π 2 Obrázek 3.6: Plochy Θ konst v oblasti T. Plochy (c) již reprezentují nekonečno. Toto je hledaná (implicitní) závislost R (R, Θ ), kterou nyní považujeme za platnou pro libovolné T. Užitím (3.5a) dostaneme R ( R 2 sin 2 Θ + R 2 cos 2 Θ ) R 2 1 tanh2 Φ cos 2 Θ R 2 1, cos 2 Θ a tedy R 2 cos 2 Θ 1 tanh2 Φ R 2 Dále již snadno odvodíme, že 1 R 2 1 tan Θ R sin Θ R cos Θ cosh 2 Φ sinh 2 Φ cosh 2 Φ R 2 ( ) R 2 cos 2 Θ + R 2 sin 2 Θ R sinh Φ. 1 R 2 cosh 2 Φ. R2 1 R 2 1 cosh 2 Φ, Chceme znát především tvar metriky v těchto nových souřadnicích. Metrika v konformních sférických souřadnicích (1.3) nezávisí na t ani na ϑ, a proto ji posun o π v těchto dvou směrech nijak nezmění. V souřadnicích T 2, R, Φ bude tedy metrika mít stejný tvar jako (1.15): [ 1 ( ) ] g R 2 1 R 2 cos 2 Θ dt R 2 dr 2 + R 2 dθ 2, (3.10) 20

25 a po náročném počítání dojdeme k jednoduchému výsledku g ( R 2 1 ) dt R 2 1 dr2 + R 2 dφ 2. (3.11) Čtenáře, kterého jsme neuspokojili pouhým konstatováním výsledku, odkazujeme na dodatek B. Tato metrika se již podobá standardní metrice BTZ černé díry [1] (pro nulový moment hybnosti J 0). Zbývá ještě vyřešit problém s hodnotami Φ ( Φ 0, Φ 0 ). Chtěli bychom totiž, aby Φ byla standardní úhlová souřadnice, tj. aby Φ ( π, π). Tomu se nyní budeme věnovat. 3.2 Metrika černé díry Zavedeme si novou přeškálovanou úhlovou souřadnici Φ, která nabývá standardních hodnot Φ ( π, π). K původní souřadnici Φ má tedy vztah Φ Φ Φ 0 π, Φ π Φ 0 Φ. (3.12) Nyní chceme, aby se nám toto přeškálování konstantou projevilo pouze ve změně metrických koeficientů v prvním a druhém členu (3.11). Toho docílíme obdobným přeškálováním dalších dvou souřadnic: R Φ 0 π R, T π Φ 0 T. (3.13) Metrika v přeškálovaných souřadnicích (po jejich přeznačení T T, R R, Φ Φ) je g [ R 2 ( Φ0 π ) 2 ] dt R 2 ( Φ 0 π ) 2 dr 2 + R 2 dφ 2. (3.14) Současný parametr Φ 0 nahradíme novým parametrem µ vztahem 1 µ ( Φ0 π ) 2. (3.15) Tento parametr fyzikálně interpretujeme jako hmotnost, ač to není úplně přímočaré, jak vysvětlíme dále. Metriku napíšeme v konečném tvaru g ( 1 µ + R 2) dt µ + R 2 dr2 + R 2 dφ 2. (3.16) Toto je již standardní tvar metriky BTZ černé díry s jedním rozdílem oproti [1]: Náš hmotnostní parametr µ se od parametru M z [1] liší o konstantu M µ 1. Dále v kapitole 4.1 však ukážeme, že je to volba logická. Z třetího členu metriky také vidíme, že R opravdu měří radiální vzdálenost od černé díry pomocí obvodu, jak bylo řečeno dříve. 21

26 Objekt, vzniklý identifikací ploch, je skutečně černá díra, neboť existují oblasti, ze kterých se pozorovatel ani světlo nedostane do nekonečna. Tyto oblasti jsou vnitřek černé díry a od vnější oblasti je odděluje horizont R 1, který je tvořen nulovými plochami. Na horizontu se mění charakter časového Killingova vektoru, který se uvnitř stává prostorupodobným. Také metrika, která je nad horizontem (vně černé díry) statická vůči časové souřadnici T, se pod horizontem stává dynamickou. Konformní diagram BTZ černé díry je znázorněn na obrázku 3.7. Diagram prostorové části černé díry v různých časech t (t je kosmologická časová souřadnice) je na obrázku 3.8. Dále jsou na obrázku 3.9 vykresleny plochy konstantních T, R, Φ ve vnější oblasti černé díry. Pokud se chce pozorovatel, který je vně černé díry, dostat do nekonečna, musí se vydat směrem od horizontu, tj. podél identifikovaných ploch (které představují hranici prostoročasu). Vydá-li se podél horizontu kolmo na identifikované plochy, bude se pohybovat po kružnici kolem černé díry, viz obr T T S F T L T R R1 R T R R T 0 R T S P T T Obrázek 3.7: Konformní diagram BTZ černé díry, řez Φ 0. V singularitě, vyznačené vlnovkou, se setkávají dvě ztotožněné plochy a prostoročas tam končí. Oblasti T R a T L, pokryté souřadnicemi T, R, Φ, jsou vnější oblasti černé díry. Oblasti S F a S P jsou vnitřkem černé díry. Vnitřní a vnější oblasti jsou odděleny horizontem, který je tvořen nulovými plochami. Na horizontu mají souřadnice hodnoty T ±, R 1. Tento diagram se shoduje s diagramem 3.1(b). Je to také řez podél singularity obrázku 2.6(a). 3.3 Hmotnost černé díry V této části interpretujeme konstantu µ v metrice (3.16) jako hmotnost černé díry. Předesíláme, že to není jednoduchý úkol a přístupů je několik, neboť se dotýkáme jedné ze základních otázek: Co je to hmotnost v zakřiveném prostoročasu? Obecně nelze v křivém prostoročasu lokálně definovat veličiny gravitační energie. Není možné přiřadit každému bodu tenzor gravitační energie a hybnosti. Existují však přístupy přiřazující hmotu nějaké konečné oblasti či globálně celému prostoročasu, například ADM hmota, Bondiho hmota, Penroseova hmota atd. V této práci krátce zmíníme standardní přístup ADM hmotu. 22

27 Φ R R R1 R R (a) Řez t 0, tj. T 0 (b) Řez t ( 0, π 2 ) (c) Řez t π 2 Obrázek 3.8: Diagramy prostorové části BTZ černé díry. Znázorněno je několik kolmých řezů válcem anti-de Sitterova prostoročasu, tj. řezů v různých časech t. Pouze pro t 0 se řez shoduje s T 0. Řezy t > 0 jsou znázorněny pouze kvalitativně. Červenou přerušovanou čarou je vykreslena hranice prostoročasu (identifikované plochy), černou tečkovanou čarou je vykreslen horizont. Vnitřní oblast černé díry je mezi dvěma čarami horizontu. V čase t 0 tedy horizont degeneruje a černá díra nemá vnitřní oblast. S narůstajícím časem t se vnitřek černé díry zvětšuje až do radiálního nekonečna, zároveň se však identifikované plochy přibližují k sobě, viz také obr Standardně se bere v úvahu vakuový asymptoticky plochý čtyřdimenzionální prostoročas a v něm asymptotické Killingovy vektory. Máme-li v počátku nějakou netriviální křivost, pak hodně daleko tato křivost vymizí a Killingovy vektory jsou v nekonečnu dobře definované. Každý Killingův vektor generuje nějakou symetrii a každá symetrie má nějakou zachovávající se veličinu, nějaký integrál pohybu. Jedním z nich je i hmotnost-energie ta je generátorem symetrie asymptotického posunu v čase. Je možné ukázat, že takto definovanou hmotu lze vyjádřit jako integrál přes nekonečno prostorového řezu prostoročasu [8]. V našem případě máme také vakuový prostoročas, ovšem pouze třídimenzionální a asymptoticky anti-de Sitterův. Ukazuje se, že to není zásadní problém. V tomto případě však máme pouze dva asymptotické Killingovy vektory, které generují časovou translační a rotační symetrii. Můžeme tedy zavést dvě zachovávající se ADM veličiny: hmotnost a moment hybnosti. Stejně jako výše jsou definovány jako integrály přes nekonečno [9]. Jediným problematickým místem je, že integrál je definován až na aditivní konstantu. V praxi to pro nás znamená, že musíme zvolit nulovou hladinu energie, tedy prostoročas s nulovou hmotností. Logicky to provedeme tak, aby nulová hmotnost černé díry odpovídala prázdnému anti-de Sitterově vesmíru. K tomu poslouží následující kapitola o fázových přechodech. 23

28 (a) Plochy T konst (b) Plochy R konst (c) Plochy Φ konst Obrázek 3.9: Plochy konstantních T, R, Φ ve vnější oblasti černé díry. Znázorněny jsou také hranice prostoročasu (identifikované plochy) a červeně horizont. 24

29 4. Fázové přechody V této části budeme studovat fázové přechody v prostoru sféricky symetrických statických řešení Einsteinových rovnic v 2+1 dimenzi. Tato řešení zahrnují prázdný anti-de Sitterův vesmír, prostoročas s bodovou částicí (kónickou singularitu), limitní případ extrémní černé díry a BTZ černou díru. Kontrolním parametrem těchto fázových přechodů je právě hmotnost µ. Z definice (3.15) parametru µ vyplývá, že pro případ BTZ černé díry musí být µ > 1. Ukáže se však, že i pro µ 1, µ (0, 1) a µ 0 dostaneme zajímavé fyzikální objekty. 4.1 Prázdný anti-de Sitterův vesmír Jak jsme zmínili v předchozí kapitole, chceme, aby prázdný anti-de Sitterův vesmír byl případ, kdy je hmotnost černé díry nulová. Matematicky řečeno požadujeme, aby metrika BTZ černé díry přešla v metriku prázdného anti-de Sitterova prostoročasu v limitě µ 0. Udělejme tedy limitu µ 0 vztahu (3.16). Vyjde nám g ( 1 + R 2) dt R 2 dr2 + R 2 dφ 2, (4.1) což je přesně tvar metriky anti-de Sitterova vesmíru v souřadnicích T I, R I, Θ I (1.8). Je tedy zřejmé, že parametr µ charakterizuje hmotnost černé díry, která vymizí v prázdném prostoročasu. Je to odlišný přístup od autorů BTZ, kteří mají v [1] metriku ve tvaru (J 0) g ( M + R 2) dt M + R 2 dr2 + R 2 dφ 2, (4.2) a tedy jejich hmotnost je M µ 1. Pošleme-li však M 0, nedostaneme prázdný vesmír, jak uvádí [1], ale tzv. extrémní černou díru, popsanou dále. Až limita M 1 dá žádaný prázdný anti-de Sitterův prostoročas. Pozdější práce, například [10], tuto otázku také diskutují. 4.2 Bodová částice Nabývá-li parametr hodnot µ (0, 1), jedná se o anti-de Sitterův vesmír s kónickou singularitou. Kónickou singularitu můžeme v 2+1 dimenzi interpretovat jako vesmír s bodovou částicí. Geometricky vznikne prostoročas s kónickou singularitou deficitem úhlu v prázdném prostoročasu, tedy omezením úhlové souřadnice Φ z (4.1) z intervalu ( π, π) na ( Φ 0, Φ 0 ), kde 0 < Φ 0 < π (toto Φ 0 je obecně jiné než Φ 0 z části 3.1.2). Po obdobném přeškálování jako v kapitole 3.2, viz vztahy (3.12) a (3.13), dojdeme k podobnému tvaru metriky jako je (3.14), jen se znaménkem + : [ ( ) ] 2 g R 2 Φ0 + dt π R 2 + ( Φ 0 ) 2 dr 2 + R 2 dφ 2. (4.3) π 25

30 Vzhledem k tomu, že 0 < Φ 0 π < 1, tento tvar metriky přesně odpovídá případu µ (0, 1) ve vztahu (3.16). Prostorový řez tohoto prostoročasu obsahuje kónickou singularitu, kterou si můžeme představit jako kužel (odtud i její název) slepený z úhlu menšího než 2π, viz část Lepíme však nikoliv úhel v euklidovské rovině, ale v Lobačevského rovině. 4.3 Extrémní černá díra Položíme-li µ 1, přejde metrika (3.16) do tvaru g R 2 dt R 2 dr2 + R 2 dφ 2. (4.4) Uděláme transformaci do tzv. Poincarého souřadnic, kdy změníme pouze radiální souřadnici vztahem R 1, a dostaneme metriku Z g 1 Z 2 ( dt 2 + dz 2 + dφ 2), (4.5) která vypadá úplně stejně jako metrika prázdného anti-de Sitterova vesmíru v Poincarého souřadnicích. Je tu ale zádrhel pokud by to opravdu byl prázdný anti-de Sitterův prostoročas, probíhaly by všechny souřadnice hodnoty v intervalu (, ). My jsme ale provedli identifikaci, a tudíž pro úhlovou souřadnici platí: Φ ( π, π). Nejedná se tedy o prázdný prostoročas, jak je uváděno například v [1]. Jde o extrémní černou díru limitní případ BTZ černé díry, pro kterou horizont splývá se singularitou. V geometrické řeči je její prostorový řez nekonečně dlouhý kužel s nulovým vrcholovým úhlem. Je to tedy také limitní případ kónické singularity pro µ 1. Provedeme-li limitu z opačné strany, tj. µ 1 +, z definice (3.15) vidíme, že Φ 0 0. To by znamenalo, že pro tento limitní případ nemůžeme žádné různé plochy ani ztotožnit. Vtip je v tom, že Φ 0 0 souvisí s nulovým vrcholovým úhlem kuželu extrémní černé díry. Pořád je to však kužel a my se díváme z rovnoběžky konstantní konečné délky 2π R konst <. Dle definice (3.13) veličiny R tedy musí R, pokud Φ 0, což představuje právě nekonečný kužel s nulovým vrcholovým úhlem. Lépe tuto situaci nahlédneme z obrázku 5.3 v následující kapitole. 4.4 BTZ černá díra Jak jsme již uvedli výše, standardní BTZ černou díru máme pro hodnoty µ > 1, viz vztah (3.16). Její prostorový řez si můžeme představit tak, že nulový vrcholový úhel kuželu s nekonečně dlouhou špičkou, což je předchozí případ, již nemáme kam zmenšovat, a tak se rozevře na druhou stranu. Získáme tak prostorovou část BTZ černé díry. Prostorová struktura BTZ černé díry je znázorněna v následující kapitole na obrázku

31 5. Prostorová struktura černé díry V této kapitole znázorníme prostorovou strukturu BTZ a extrémní černé díry. Zvolíme řez T 0. Dále kvalitativně znázorníme prostorovou strukturu BTZ černé díry v jiných časech t ( 0, π 2 ). 5.1 Vnoření do euklidovského prostoru Zde se projeví výhoda práce v 2+1 dimenzi místo 3+1: Dvojrozměrnou prostorovou část, která má lokálně hyperbolickou geometrii Lobačevského roviny, lze vnořit do trojrozměrného euklidovského prostoru tak, že metrika indukovaná plochým prostorem odpovídá metrice dvojrozměrné plochy. Abychom mohli vnoření provést, je třeba porovnat koeficienty metriky indukované euklidovským prostorem s koeficienty metriky černé díry. Máme-li v euklidovském prostoru cylindrické souřadnice ρ, φ, z, pak metrika indukovaná na dvojrozměrné ploše je [ ( ) ] 2 dz h 1 + dρ 2 + ρ 2 dφ 2. (5.1) dρ Metriku černé díry máme ve tvaru (3.16). Položíme-li T 0, získáme tvar popisující prostorovou geometrii: g 1 1 µ + R 2 dr2 + R 2 dφ 2. (5.2) Nyní můžeme porovnat koeficienty u radiálních a úhlových diferenciálů: 1 + ( ) 2 dz dρ ρ 2 R µ + R 2, (5.3a) (5.3b) Vidíme, že radiální souřadnice se shodují. Prostorová struktura je dána závislostí z(ρ). Po krátkém výpočtu dostaneme z rovnice (5.3a) dz dρ ± µ ρ 2 1 µ + ρ 2. (5.4) Zintegrovat tento výraz není jednoduché, pomůžeme si tedy tabulkami [11]: z(ρ) ± µ [F (σ, q) E(σ, q)] + ρ 1 (µ ρ2 ) (1 µ + ρ 2 ), ( µ ) σ σ(ρ) arcsin 1 µ + ρ 2, ρ q 1, µ ( ρ µ 1, µ, (5.5) 27

32 kde F, resp. E označuje eliptický integrál prvního, resp. druhého druhu. Nyní již můžeme vykreslit plochu, popsanou parametry ρ, φ, vnořenou do trojrozměrného euklidovského prostoru, pomocí obyčejných kartézských souřadnic: x ρ cos φ, y ρ sin φ, z z(ρ). V případě extrémní černé díry jsme v rovnici (5.4) položili µ 1 a výraz pak rovnou zintegrovali. 5.2 Znázornění prostorové struktury BTZ černé díry a extrémní černé díry Zde je vykreslena prostorová část (řez T 0, tj. t 0) BTZ černé díry (obr. 5.1) a jejího limitního případu extrémní černé díry (obr. 5.3). Všimněme si, že obrázky končí v určité vzdálenosti od počátku. Tehdy se totiž hyperbolická rovina zvětší natolik, že ji už nelze vnořit do euklidovského prostoru už se do něj nevejde (viz meze pro ρ ve vztahu (5.5)). Skutečný prostorový řez BTZ prostoročasu však samozřejmě pokračuje dál a je asymptoticky shodný s Lobačevského rovinou. ( ) Prostorová část BTZ černé díry je také vykreslena v dalších časech t 0, π2 (obr. 5.2). Je to však pouze kvalitativní znázornění vývoje černé díry. (a) µ 1.01 (b) µ 1.1 (c) µ 1.5 Obrázek 5.1: Prostorová struktura BTZ černé díry s různými hodnotami hmotnosti µ v čase T 0, tj. t 0. Silnou modrou čarou je vyznačen horizont, který se v prostorovém řezu zobrazuje jako kružnice, oddělující dvě symetrické asymptotické oblasti. V čase T 0 vnitřní oblast černé díry neexistuje. Je vidět, že čím je černá díra těžší, tím má větší obvod horizontu. 28

33 (a) t 0 (b) t t1 (0, t2 ) ( ) (c) t t2 t1, π2 (d) t π 2 Obrázek 5.2: Kvalitativní znázornění prostorové struktury BTZ černé díry o téže hmotnosti v různých časech t. Vidíme, že s rostoucím časem t se dvě kružnice horizontu (znázorněné silnou modrou čarou) vzdalují a vnitřní oblast se tak ve směru z zvětšuje. Zároveň se však ve směru x a y zužuje, neboť se k sobě identifikované plochy s rostoucím časem t přibližují. Na obrázku (d) je znázorněn řez, kdy se dvě identifikované plochy již téměř protly a horizont je v radiálním nekonečnu, viz také obr. 3.8 a

34 Obrázek 5.3: Prostorová struktura extrémní černé díry, kdy je µ 1. Kužel je nekonečně dlouhý s nulovým vrcholovým úhlem. Světlou čarou je znázorněna rovnoběžka 2π R konst <, ze které kužel pozorujeme, když Φ 0 0, viz diskuze v kapitole

35 Závěr V této práci jsme vyložili geometrii 2+1 dimenzionální BTZ černé díry, kterou jsme získali faktorizací anti-de Sitterova vesmíru. Nejprve jsme uvedli základní poznatky o symetriích a anti-de Sitterově prostoročasu, které jsme hojně využívali v dalších částech. Důležité bylo zejména nalezení vhodného Killingova vektoru a jeho izometrie. Díky tomu jsme mohli identifikovat dvě izometrické plochy, které na sebe přejdou při posunu právě podél tohoto Killingova vektoru. Dále jsme nalezli souřadnice, které jsou vhodné pro popis takto vzniklého objektu. Ukázalo se, že to není zcela triviální úkol, neboť radiální souřadnici bylo možné definovat pouze na jedné nadploše a do celého prostoru ji bylo třeba roznést pomocí orbit symetrie. Ukázali jsme, že metrika v těchto přizpůsobených souřadnicích má standardní tvar metriky BTZ černé díry. Tvrzení, že vzniklý objekt je skutečně černá díra, jsme podpořili argumentem, že stejně jako černá díra má tento objekt vnitřní a vnější oblasti oddělené horizontem. Souřadnice, která před ztotožněním nabývala všech hodnot, se při ztotožnění zacyklila, a tak ji bylo třeba přeškálovat, aby nabývala hodnot jako standardní úhlová souřadnice. Tím vznikl důležitý parametr µ BTZ černé díry, který jsme následně interpretovali jako hmotnost. Zdůraznili jsme, že přístup ADM hmoty, který jsme uplatnili, není jediný. Je dnes ovšem považován za standardní. V následující části jsme argumentovali limitními přechody k dalším fyzikálním objektům, především k prázdnému anti-de Sitterově vesmíru, abychom objasnili, proč považujeme právě parametr µ za hmotnost černé díry, nikoliv parametr M µ 1, jak uvádí mnoho autorů, zejména [1] a [2]. Tato otázka není dodnes zcela vyřešená, a tak doufáme, že by tato práce mohla k odpovědi malým dílem přispět. Za největší přínos této práce považujeme velké množství prostoročasových obrázků, které znázorňují všechny důležité nadplochy, prostoročasové diagramy BTZ černé díry a její prostorovou strukturu. Tyto obrázky tak velice usnadní pochopení geometrie 2+1 dimenzionálních černých děr. 31

36 Seznam použité literatury [1] Bañados, M., Teitelboim, C., Zanelli, J. The Black Hole in Three Dimensional Spacetime. Článek, arxiv:hep-th/ , [2] Carlip, S. The (2+1)-Dimensional Black Hole. Článek, arxiv:grqc/ , [3] Åminneborg, S., Bengtsson, I., Holst, S., Peldán, P. Making Anti-de Sitter Black Holes. Článek v Class. Quantum Grav. 13, [4] Hawking, S.W., Ellis, G.F.R. The Large Scale Structure of Space-Time. New York: Cambridge University Press, [5] Krtouš, P. Geometrické metody ve fyzice. Studijní text, [6] Luber, T. Lobačevského geometrie v anti-de Sitterově vesmíru. Bakalářská práce. Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, [7] Berredo-Peixoto, G. de, Katanaev, M.O. Inside the BTZ Black Hole. Článek, arxiv:gr-qc/ , [8] Misner, C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A. Gravitation. San Francisco: Freedman, [9] Carlip, S. Quantum Gravity in 2+1 Dimensions. Cambridge: Cambridge University Press, [10] Mišković, O., Zanelli, J. On the Negative Spectrum of the 2+1 Black Hole. Článek, arxiv: [hep-th], [11] Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M. Table of Integrals, Series, and Products, elektronická verze. USA: Elsevier Academic Press,

37 Dodatek A Odvození vztahů (T, R, Θ ) (T, R, Θ ) Zde uvádíme podrobné odvození vztahů (3.4) a (3.5) mezi nečárkovanými (oblast S) a čárkovanými (oblast T ) statickými souřadnicemi typu z kapitoly První vztah je odvozen krok za krokem, další jsou již jen variací na stejné téma. S použitím (3.3) a (1.14) dostáváme tanh T et e T e T + e T Podobně spočteme, že sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ + ( sin t sin χ sin ϑ) 2 ( sin t sin χ sin ϑ) 2 sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ ( sin t sin χ sin ϑ) 2 +( sin t sin χ sin ϑ) 2 sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ (sin t sin χ sin ϑ) sin t sin χ sin ϑ + sin t sin χ sin ϑ sin t sin χ sin ϑ 1. R sin Θ tanh T sin χ cos ϑ cos t R sin Θ. Pro další výpočty se nám budou hodit následující vztahy (pracujeme s druhou mocninou, abychom se prozatím nemuseli zabývat znaménky): ( R 2 1 ) ( 1 sin cosh 2 2 χ cos 2 ϑ T sin 2 t ( cos 2 t sin 2 χ cos 2 ϑ sin 2 t cos2 t sin 2 t cot2 t, ) ( e T + e T 1 2 kde jsme využili (1.14). Analogicky (užitím (3.3)), ) 2 ) (cos t + sin χ cos ϑ + cos t sin χ cos ϑ) 2 4 ( cos 2 t sin 2 χ cos 2 ϑ ) ( ) ( 1 R 2 sinh 2 T 1 1 ) ( ) sin2 χ sin 2 ϑ e T e T 2 cos 2 t 2 sin2 t cos 2 t tan2 t. Jako důsledek dostáváme ( 1 R 2 ) sinh 2 T ( R 2 1 ) cosh 2 T 1. (8) (6) (7) 33