Kapitola 1. Léto 2011

Transkript

1 Kapitola 1 Léto

2 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce 1 y (určete intervaly kde je 2 ( + 1) funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y ( + 1), 2 y 2( ). 4 ( + 1) 3 2. [6 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) 2 ( a) lim c) + arctan ) 1 2 b) lim 2 1 d) ( ) 1 + arctan 3. [6 bodů] Jsou vektory a (1, 0, 1, 3, 0), b (1, 1, 2, 1, 5), c (1, 0, 1, 2, 1), d (0, 1, 1, 3, 0) lineárně závislé, nebo nezávislé? Odpověď řádně zdůvodněte nebo podpořte příslušným výpočtem. 4. [4 body] Vypočtěte integrál ( 2 + 1) sin d. 5. [7 bodů] Derivace a) Napište definici derivace. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y f() v bodě a. c) Z rovnice tečny odvoďte vzorec pro Newtonovu Raphsonovu metodu. d) Aplikujte vzorec z předchozího kroku na funkci y cos, tj. napište, jak bude vypadat iterační vzorec pro hledání nulového bodu této funkce Newtonovou Raphsonovou metodou. 6. [8 bodů] Monotonie a) Definujte pojmy rostoucí a klesající funkce. b) Poznáme z první derivace, zda je funkce rostoucí? Jak? c) Poznáme z druhé derivace, zda je funkce rostoucí? Jak? d) Buď funkce f() rostoucí na intervalu [a, b]. Co je možné říct o absolutním maimu a absolutním minimu funkce f na intervalu [a, b]? 7. [6 bodů] Lineární algebra a) Napište definici inverzní matice a vysvětlete pojmy, které se v definici vyskytují. b) Napište, zda souvisí inverzní matice s determinantem a jak. c) Napište, jak je možné využít inverzní matici k řešení soustavy lineárních rovnic v maticovém tvaru, tj. např. AX B. Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky s nahlédnutím do písemek zítra v 11:00 před učebnou B44 Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

3 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce y ( 2) 2 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y 2( + 2) ( 2) 3, 4( + 4) y ( 2) [4 body] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) a) lim 0 + ln() ( ) b) e 1 c) ( ( + cos 2 π )) 6 3. [6 bodů] Jsou vektory a (1, 0, 1, 3, 0), b (1, 1, 2, 1, 5), c (1, 0, 1, 2, 1), d (0, 1, 1, 3, 0) lineárně závislé, nebo nezávislé? Odpověď řádně zdůvodněte nebo podpořte příslušným výpočtem. 4. [6 bodů] Vypočtěte integrály a) e 2 1 d b) c) d 1 + sin(2) d 5. [8 bodů] Derivace, spojitost a) Napište definici derivace. b) Napište definici spojitosti. c) Plyne z eistence derivace spojitost? Pokud ne, uveďte příklad funkce, která tuto skutečnost vhodně ilustruje. d) Plyne ze spojitosti funkce eistence derivace? Pokud ne, uveďte příklad funkce, která tuto skutečnost vhodně ilustruje. 6. [7 bodů] Integrální počet a) Napište vzorec pro integraci metodou per-partés. b) Vysvětlete pojem integrální součet (nejlépe na obrázku) a napište vzorec, jak je integrální součet definován. c) Jak je definována integrální střední hodnota funkce f na intervalu [a, b]? 7. [6 bodů] Algebraické rovnice, polynomy a) Jak je definována násobnost kořene algebraické rovnice? b) Souvisí násobnost kořene polynomu s derivacemi? Pokud ano, vysvětlete jak. c) Souvisí násobnost kořene polynomu rovnice se znaménkem v okolí tohoto kořene. Pokud ano, vysvětlete jak. Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky s nahlédnutím do písemek dnes v 11:00 před učebnou B44 Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

4 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y 2 2 ( 2 + 2), 2 y 2(2 6) ( 2 + 2) [5 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) a) lim b) c) ln ( + 1 ) ( ( 2 + 1) sin(2)) 3. [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [5 bodů] Vypočtěte integrály a) ln d b) 2 d 5. [7 bodů] Derivace, průběh funkce a) Napište definici derivace. b) Napište definici lokálního maima. c) Může lokální maimum nastat v bodě, kde je první derivace rovna jedné? Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne, vysvětlete. d) Může lokální maimum nastat v bodě, kde je druhá derivace rovna nule? Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne, vysvětlete. 6. [8 bodů] Integrální počet a) Buď F primitivní funkcí k funkci f na intervalu (a, b). Může mít funkce F () bod nespojitosti na (a, b)? Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne, vysvětlete podrobně proč. b) Zformulujte, jak můžeme vyjádřit Riemannův integrál pomocí neurčitého integrálu (Newtonova Leibnizova věta). Větu nejprve zfromulujte obecně a poté ukažte její použití na vhodném příkladě. c) Zformulujte, jak můžeme vyjádřit neurčitý integrál (resp. jednu z primitivních funkcí) pomocí Riemannova integrálu. Kdy tento postup používáme? 7. [6 bodů] Lineární algebra a) Definujte pojem lineárně nezávislé vektory. Tj. kdy řekneme, že vektory u 1, u 2,..., u k jsou lineárně nezávislé? b) Definujte pojem hodnost matice. c) Na příkladu matic 2 2 ukažte násobení matic a výpočet determinantu. Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky s nahlédnutím do písemek v 11:00 11:10, učebna B44 Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

5 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [12 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y ( 3 4) 2, y 2( ) ( 3 4) 3, čitatel druhé derivace má kořeny přibližně 0.84 a 3.02 a oba kořeny jsou násobnosti jedna. Další kořeny druhé derivace v reálném oboru nejsou. 5. [6 bodů] Derivace a) Napište definici derivace funkce f() v obecném bodě a. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce f() v obecném bodě a. c) Napište vzorce pro derivaci součinu a pro derivaci podílu. 6. [8 bodů] Integrální počet 2. [5 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) a) lim e b) ( ) ln( + 1) ( ) c) sin() 3. [5 bodů] Jsou vektory a (1, 0, 1, 3), b (1, 1, 2, 1), c (1, 0, 1, 2), d (0, 1, 3, 0) lineárně závislé, nebo nezávislé? Odpověď řádně zdůvodněte nebo podpořte příslušným výpočtem. 4. [5 bodů] Vypočtěte integrály a) arctg() d b) 2 d a) Buď F primitivní funkcí k funkci f na intervalu (a, b). Může být funkce F () na intervalu (a, b) klesající? Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne, vysvětlete podrobně proč. b) Zformulujte, jak můžeme vyjádřit Riemannův integrál pomocí neurčitého integrálu (Newtonova Leibnizova věta). Větu nejprve zformulujte obecně a poté ukažte její použití na vhodném příkladě. c) Zformulujte, jak můžeme vyjádřit neurčitý integrál (resp. jednu z primitivních funkcí) pomocí Riemannova integrálu. Kdy tento postup používáme? 7. [7 bodů] Systémy počítačové algebry. Napište, jaký příkaz byste použili k výpočtu následujících úloh v programu Sage a jaký ve službě Wolfram Alpha. Napište vždy čitelně a jednoznačně jednu variantu příkazu přesně tak, jak byste ji zadali do počítače. Případné mezery vyznačujte jako v této větě. a) lim ln() b) řešení rovnice (Máte tedy zapsat celkem 4 příkazy, dva pro Sage a dva pro Wolfram Alpha.) Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky s nahlédnutím do písemek v 13:00 13:15, pracovna zkoušejícího. V jiném termínu je možné již jenom sdělení známky a zápis do indeu. Do UISu budou zadány jenom známky F a známky, které jsou současně v indeu. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

6 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce y 3 2 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v případných bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y ( 3 2) 2, y 6 2 ( 3 + 4) ( 3 2) [6 bodů] Funkce a) Napište první Bolzanovu větu. b) Napište názvy alespoň dvou numerických metod pro přibližné řešení nelineárních rovnic. c) Kdy řekneme, že funkce f() je spojitá v bodě a? (Napište definici spojitosti v bodě.) 2. [5 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) a) lim b) c) ( sin ( )) + 1 ( ( 2 + 1) ) 3. [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [5 bodů] Vypočtěte integrály a) b) d 1 2 sin 4 () cos() d 6. [8 bodů] Integrální počet, diferenciální rovnice a) Napište obecný předpis pro diferenciální rovnici se separovanými proměnnými a její obecné řešení b) Buď F primitivní funkcí k funkci f na intervalu (a, b). Můžou být funkce F a f stejné na intervalu (a, b)? Pokud ano, uveďte příklad takových funkcí, pokud ne, vysvětlete podrobně proč. Pokud uvedete příklad, rozmyslete ještě, zda je možné uvést ještě jiný příklad. Tento další příklad buď uveďte, nebo stučně napište, jak je možné jej nalézt. Návod: můžete například sestavit vhodnou diferenciální rovnici popisující všechna řešení tohoto problému. 7. [7 bodů] Systémy počítačové algebry. Napište, jaký příkaz byste použili k výpočtu následujících úloh v programu Sage a jaký ve službě Wolfram Alpha. Napište vždy čitelně a jednoznačně jednu variantu příkazu přesně tak, jak byste ji zadali do počítače. Případné mezery vyznačujte jako v této větě. a) b) ( ) ln() d (Máte tedy zapsat celkem 4 příkazy, dva pro Sage a dva pro Wolfram Alpha.) Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky s nahlédnutím do písemek v 13:15 13:30 v pracovně přednášejícího. V jiném termínu je možné již jenom sdělení známky a zápis do indeu. Do UISu budou zadány jenom známky F a známky, které jsou současně v indeu. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

7 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce y 3 2 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v případných bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y ( 3)2 2 ( 2) 2, y 2 ( ) ( 2) [5 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) a) lim ( ( b) sin + ln())) c) ( ( 2 + 1) arctg 1 ) 3. [5 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [6 bodů] Vypočtěte integrály a) 2 e d b) sin() cos() d 5. [9 bodů] Derivace, průběh funkce a) Napište definici derivace funkce f() v bodě a. b) Napište definici pevného bodu funkce a uveďte příklad funkce a jejího pevného bodu. c) Definujte pojem stacionární bod. d) Může lokální maimum nastat v bodě, kde není stacionární bod? Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne vysvětlete proč. e) Může být ve stacionárním bodě bod nespojitosti? Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne vysvětlete proč. 6. [6 bodů] Integrální počet a) Napište vzorec pro druhou substituční metodu v neurčitém integrálu. Pro konkrétnost: v integrálu f() d zaveďte substituci g(t). b) Napište vzorec pro metodu per partés v neurčitém integrálu. c) Ukažte, jak je možné předchozí vzorec (metoda per partés) odvodit ze vzorců známých z diferenciáního počtu. 7. [6 bodů] Systémy počítačové algebry. a) Napište, jaký příkaz byste použili k nakreslení grafu 3 funkce y na intervalu ( 6, 6) v programu 2 Sage? Napište čitelně a jednoznačně jednu variantu příkazu přesně tak, jak byste ji zadali do počítače. Případné mezery vyznačujte jako v této větě. b) Funkce není ohraničená a obrázek pravděpodobně nedopadne podle našich představ, pokud neomezíme svislý rozsah grafu. Jak je nutno modifikovat příkazy z předchozího kroku, abychom měli zobrazen graf pro funkční hodnoty z intervalu ( 10, 10)? c) Jak byste řešili úlohu z předchozích dvou bodů pomocí webové služby Wolfram Alpha? Napište odpovídající příkaz (včetně omezení rozsahu na svislé ose). Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky s nahlédnutím do písemek... V jiném termínu je možné již jenom sdělení známky a zápis do indeu. Do UISu budou zadány jenom známky F a známky, které jsou současně v indeu. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

8 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y ( 2 + 3) 2 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v případných bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y ( 2 + 3) 3, y ( 2 + 3) [4 body] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) + ln a) lim b) ( ln( + sin 2 ())) 3. [8 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [7 bodů] Lineární algebra Napište definici inverzní matice a vysvětlete i všechny pojmy, které se v této definici vyskytují. Napište maticový tvar (tj. ekvivalentní zápis pomocí vhodného maticového součinu) následující soustavy rovnic Vysvětlete, jak a kdy je možno využít inverzní matici k řešení soustavy lineárních rovnic. Pomocí inverzní matice vypočtěte řešení soustavy rovnic z předešlého bodu. Návod: Víme, že matice ( 2 ) ( ) 2 3 má inverzní matici [5 bodů] Vypočtěte integrály a) b) (e 1 ) 2 d d 7. [7 bodů] Diferenciální počet. Napište definici rostoucí funkce. Napište definici stacionárního bodu. 5. [7 bodů] Integrální počet, diferenciální rovnice a) Napište oba vzorce pro substituční metodu. Přesněji: V integrálu f(ϕ())ϕ () d proveďte substituci ϕ() t. V integrálu f() d proveďte substituci ϕ(t). b) Napište obecný předpis pro diferenciální rovnici se separovanými proměnnými a napište, z jaké podmínky určujeme její konstantní řešení. Uveďte příklad funkce (graf nebo funkční předpis), která má v bodě 1 stacionární bod, ale není zde spojitá. Uveďte příklad polynomu (funkční předpis), který má v bodě 1 kořen násobnosti 2 a má v tomto bodě lokální maimum. Uveďte příklad polynomu (funkční předpis), který má v bodě 1 kořen násobnosti 3 a má v tomto bodě lokální maimum. Pokud některý příklad není možné sestrojit, vysvětlete proč. Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky s nahlédnutím do písemek 13:30 v pracovně skoušejícího. V jiném termínu je možné již jenom sdělení známky a zápis do indeu. Do UISu budou zadány jenom známky F a známky, které jsou současně v indeu. Řešení příkladů budou vyvěšena od 11 do 12 hodin na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

9 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v případných bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y 6 ( 2 3) 2, y 18(2 + 1) ( 2 3) [4 body] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace neupravujte) a) lim ln b) ( ) e ( + 1) 4 3. [7 bodů] Derivace a) Napište definici derivace funkce f() v bodě. b) Zformulujte l Hospitalovo pravidlo a ukažte jeho použití na vhodném příkladě. c) Jaké vlastnosti musí mít funkce f na intervalu [a, b], aby se zde dala použít Banachova věta? d) Jaké vlastnosti musí mít funkce f na intervalu [a, b], aby se zde dala použít první Bolzanova věta? e) Uveďte příklad (graf nebo funkční předpis) funkce, která má v bodě 1 současně pevný bod, stacionární bod a inflení bod. Pokud takovou funkci není možné sestrojit, vysvětlete proč. 4. [7 bodů] Vypočtěte integrály 2 a) ln d 1 b) 2 sin 2 () cos() d c) d 5. [5 bodů] Jsou vektory a (2, 1, 1, 1), b (1, 2, 2, 1) a c (1, 1, 0, 1) lineárně závislé nebo nezávislé? Odpověď řádně zdůvodněte nebo podpořte příslušným výpočtem. 6. [7 bodů] Soustavy lineárních rovnic a) Zformulujte Frobeniovu větu (udává, kdy má soustava řešení). b) Jak poznáme, zda je řešení soustavy lineárních rovnic o n neznámých určeno jednoznačně, nebo zda je řešení nekonečně mnoho? c) Uveďte příklad soustavy 2 lineárních rovnic o 3 neznámých, která má (a) nekonečně mnoho řešení, (b) právě jedno řešení, (c) žádné řešení. U každého uvedeného příkladu volte soustavu co nejjednodušší a řádně označte, která soustava patří ke které možnosti. Pokud v některém bodě požadovaná soustava neeistuje, vysvětlete proč. 7. [7 bodů] Algebraické rovnice a) Definujte pojem násobnost kořene. (Přesněji: kdy řekneme, že polynom P () má kořen c a násobnost tohoto kořene je k?) b) Uveďte příklad polynomu s reálnými koefiencty, který má trojnásobný kořen 2. Pokud je takových polynomů více, napište takový polynom, aby jeho stupeň byl co nejmenší. c) Souvisí nějak násobnost kořene se znaménkem polynomu v okolí kořene? Pokud ano, jak? (velmi stručně, obrázek vydá za 1000 slov... ) d) Souvisí nějak násobnost kořene s derivací? Pokud ano, jak? Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Výsledky mailem 4.7. Nahlédnutí do písemek 7.7. v 9:00. V jiném termínu je možný již jenom zápis do indeu. Do UISu budou zadány jenom známky F a známky, které jsou současně v indeu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

10 Kapitola 2 Zima

11 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní a načrtněte graf). Návod: y 2 ( 2 3) ( 2 1), 2 y 2 (2 + 3) ( 2 1), funkce 3 má v bodech ± asymptotu y. 2. [3 body] Vypočtěte derivaci funkce y ( 2 1) ln( 2 + 1). Derivaci nijak neupravujte. 3. [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [4 body] Je dána matice A Vypočtěte determinant A a podle výsledku rozhodněte, zda eistuje inverzní matice A 1 a kolik je hodnost matice A (inverzní matici anihodnost už nepočítejte). 5. [6 bodů] Vypočtěte integrály ( 2 1)e d e 2 1 d 6. [6 bodů] Nelineární rovnice. a) Kdy řekneme, že bod a je pevným bodem funkce f()? b) Jak pevný bod funkce f poznáme na grafu funkce y f()? c) Metoda hledání pevného bodu je založena na Banachově větě o pevném bodu. Zformulujte tuto větu (odhad pro chybu psát nemusíte). 7. [9 bodů] Derivace a) Napište definici derivace funkce f(). b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y f() v bodě a. c) Odvoďte z rovnice tečny vzorec pro Newtonovu-Raphsonovu metodu hledání nulových bodů funkce f(). d) Přesněji než tečna funkci může aproimovat parabola. Napište rovnici paraboly, která v okolí bodu a co nejlépe aproimuje funkci y f(). (Tj. napište Taylorův polynom druhého stupně pro funkci f() v bodě a.) e) Která metoda hledání nulových bodů je založena na Taylorově polynomu z předchozího kroku? Napište jenom název metody. Požadavek: alespoň 16 bodů z 44 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

12 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y 62 ( 3 2), 2 y 24 (3 + 1) ( 3 2) [4 body] Určete tečnu ke grafu funkce + 2 y v bodě [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [4 body] Vypočtěte integrál 5. [5 bodů] Neurčitý integrál d. a) Zformulujte vzorec pro substituční metodu. Přesněji: v integrálu f() d proveďte substituci ϕ(t). 6. [6 bodů] Lineární algebra a) Kdy řekneme, že vektory jsou lineárně závislé? Napište definici lineární závislosti. b) Pomocí jakého pojmu ověřujeme lineární závislost či nezávislost vektorů. Uveďte název tohoto pojmu a jeho definici. c) Uveďte aspoň dva případy, kdy lineární závislost vektorů poznáme bez počítání na první pohled (tj. bez postupu, na který odkazujeme v předchozím bodě). 7. [12 bodů] Derivace, spojitost a) Napište definici derivace funkce f(). b) Napište definici spojitosti funkce f() v bodě a. c) Zformulujte Bolzanovu větu. d) Veličina y() udává výšku létajícího draka nad zemí (měřeno v metrech) v čase (měřeno v sekundách). Co fyzikálně udává derivace y ()? Jaká bude jednotka této derivace? e) Veličina y() udává počet gramů kyanidu draselného rozpuštěného v rybníčku za Lachemou v čase (měřeno v dnech). Co fyzikálně udává derivace y ()? Jaká bude jednotka této derivace? b) Odvoďte vzorec pro metodu per-partés. Požadavek: alespoň 17 bodů z 47 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Ústní část není, výsledky budou zveřejněny do tří dnů hromadným mailem na adresu všech přihlášených. (Kdo potřebuje, aby jeho výsledek zůstal v anonymitě, nechť tento požadavek výslovně uvede na tomto papíře, vedle svého jména. Výsledek se dozví osobně.) Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

13 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [12 bodů] Vyšetřete průběh funkce 1 y (určete intervaly kde je 2 ( + 1) funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y ( + 1), 2 y 2( ). 4 ( + 1) 3 5. [6 bodů] Algebraické rovnice a) Zformulujte Bezoutovu větu (o dělení polynomu kořenovým činitelem). b) Definujte pojem násobnost kořene. Co znamená když řekneme, že číslo c je k-násobným kořenem polynomu P ()? 2. [6 bodů] Vypočtěte následující derivace a) ( 2 sin() ) b) ( + arctan ) 1 c) ( ) 1 + arctan 6. [6 bodů] Lineární algebra a) Definujte pojem inverzní matice. Přesněji: kdy řekneme, že matice A 1 je inverzní maticí k matici A? b) Napište, jak je možno inverzní matici využít při řešení soustav lineárních rovnic. c) Uveďte alespoň jednu podmínku, která je ekvivaletní eistenci inverzní matice k matici A. 3. [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [4 body] Vypočtěte integrál 2 ln d. 7. [8 bodů] Derivace, spojitost a) Napište definici derivace funkce f(). b) Napište definici spojitosti funkce f() v bodě a. c) Uveďte příklad funkce, která (i) je v 0 spojitá a má zde derivaci. (ii) je v 0 spojitá, ale nemá zde derivaci. (iii) není v 0 spojitá a má zde derivaci. Celkem tedy máte sestrojit tři funkce. Pokud však některou z funkcí sestrojit nelze, vysvětlete proč. Požadavek: alespoň 18 bodů z 48 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Ústní část není, výsledky s nahlédnutím do písemek v 15:00 v B44. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

14 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y 1 ( + 1) 5 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y 6 4 ( + 1) 6, y e b) lim ( + 1) [6 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace nemusíte upravovat) e ( a) lim + 1 c) 2 + 1) d) 3. [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic ( 2 sin( 3 ) + 1 ) [6 bodů] Vypočtěte integrál 5. [6 bodů] Lineární algebra a) Definujte pojem hodnost matice. 1 ln d. b) Definujte pojem inverzní matice. Co musí platit, abychom mohli říct, že matice A 1 je inverzní k matici A? c) Víme, že determinant čtvercové matice A R n n je roven nule. Co je možno říct o její hodnosti? Co je možno říci o eistenci inverzní matice A 1? 6. [6 bodů] Numerická matematika, nelineární rovnice. a) Zformulujte Bolzanovu větu (využíváme ji v metodě půlení intervalu). b) Napište vzorec pro Newtonovu Raphsonovu metodu. c) Porovnejte obě metody (půlení intervalu a Newtonova Raphsonova) z hlediska obecnosti. Která metoda je obecnější a proč? d) Jaký příkaz se používá v programu Sage k řešení rovnic? Stačí napsat název příkazu. 7. [8 bodů] Derivace, monotonie a) Definujte pojmy rostoucí funkce a klesající funkce. b) Zformulujte, jak derivace souvisí s monotonií funkce. c) Jaký příkaz použijete pro výpočet derivace v programu Sage? d) Pro výpočet derivace v programu WolframAlpha potřebujete znát anglický překlad slova derivace. Jak se řekne derivace anglicky? e) Na přednáškách jsme si ukázali, že úlohu najít lokální etrémy funkce 1 2 na intervalu (0, 1) je možno zjednodušit na úlohu najít na tomto intervalu lokální etrémy funkce 2 (1 2 ). Jak jsme toho docílili? Zformulujte (dostatečně obecně) podmínky, které zaručí, že funkce g() a f(g()) mají stejné lokální etrémy. Požadavek: alespoň 17 bodů z 48 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Ústní část není, výsledky s nahlédnutím do písemek ve 14:00 v B44. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

15 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y 1 3 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y 3 2 (1 3 ) 2, y 6(23 + 1) (1 3 ) [5 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace nemusíte upravovat) 2 ( ) a) lim c) ln b) lim e 2 3. [6 bodů] Jsou vektory a (1, 1, 2, 2, 1), b (1, 2, 1, 2, 1), c (1, 0, 2, 0, 1), d (1, 1, 2, 0, 1) lineárně závislé, nebo nezávislé? Odpověď řádně zdůvodněte nebo podpořte příslušným výpočtem. 4. [5 bodů] Vypočtěte následující integrály 1 a) e d 0 b) e d 5. [7 bodů] Lineární algebra a) Zformulujte Frobeniovu větu (nutná a postačující podmínka pro eistenci řešení soustavy lineárních rovnic). b) Ve Frobeniově větě vystupuje pojem hodnost. Definujte tento pojem. c) Sestavte soustavu dvou rovnic o čtyřech neznámých, která nemá žádné řešení. Pokud není možno takovou soustavu sestavit, vysvětlete podrobně proč. d) Pro výpočet hodnosti pomocí programů Sage nebo WolframAlpha je nutno znát anglický překlad tohoto slova. Jak se řekne hodnost anglicky? 6. [9 bodů] Diferenciální počet a) Co rozumíme pod pojmem lokální maimum? Napište definici tohoto pojmu. b) Zformulujte souvislost derivace a lokálních etrémů. Pro konkrétnost, nechť např. funkce f() má v bodě a lokální etrém. Co je možno říci o derivaci f (a)? c) Konvení funkce je v okolí bodu dotyku nad svou tečnou. Vyjádřete matematicky pomocí vhodné rovnice či nerovnosti skutečnost, že funkce f() má graf nad tečnou sestrojenou v bodě 0 d) Odkud a jak poznáme, zda je funkce f() na intervalu I konvení nebo konkávní? 7. [6 bodů] Integrální počet a) Zformulujte Newtonovu-Leibnizovu větu (pro výpočet určitého integrálu) a ukažte její použití na jednoduchém příkladě. b) Jakou jsme si uváděli možnost aproimace určitého integrálu? Napište název metody a jednoduchý obrázek (případně několik málo slov), ilustrující hlavní myšlenku této aproimace. Požadavek: alespoň 17 bodů z 48 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Ústní část není, výsledky s nahlédnutím do písemek ve 13:00 v B44. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

16 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y ( 1) 2 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y ( 3)2 ( 1) 3, 6 y ( 1) [5 bodů] Vypočtěte následující limity a derivace (derivace nemusíte upravovat) ( ) ln a) lim c) arctan 2 1 ln b) lim [6 bodů] Jsou vektory a (1, 0, 1, 3, 0), b (1, 1, 2, 1, 5), c (1, 1, 0, 1, 1), d (0, 1, 1, 3, 0) lineárně závislé, nebo nezávislé? Odpověď řádně zdůvodněte nebo podpořte příslušným výpočtem. 4. [6 bodů] Lineární algebra a) Definujte inverzní matici. Kdy říkáme, že matice A 1 je inverzní k matici A? b) Soustavu rovnic zapište v maticovém tvaru (tj. pomocí vhodného maticového součinu). c) Vyjádřete pomocí inverzní matice řešení X soustavy lineárních rovnic, kde A je matice soustavy, X sloupcový vektor neznámých a B sloupcový vektor pravých stran. Předpokládejte, že všechny inverzní matice, které pro toto vyjádření potřebujete, eistují. 5. [8 bodů] Diferenciální počet a) Napište definici derivace funkce f(). b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y f() v bodě a. c) K lokální aproimaci funce polynomem používáme Taylorův polynom. Souvisí tento polynom s tečnou? Jak? d) Jak souvisí násobnost kořene polynomu s derivací (derivacemi) v tomto bodě? 6. [5 bodů] Vypočtěte následující integrály π a) sin d 0 b) sin 2 cos d 7. [8 bodů] Integrální počet a) Napište vzorec pro integrální střední hodnotu funkce f() na intervalu [a, b]. b) Napište vzorec pro integrování per-partés. c) Vzorec z předchozího bodu odvoďte (ze vzorce pro derivaci součinu). d) Uveďte příklad spojité funkce, která nemá primitivní funkci. Pokud takový příklad není možné sestrojit, vysvětlete proč. Požadavek: alespoň 17 bodů z 48 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Ústní část není, výsledky s nahlédnutím do písemek ve 13:00 v B44. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

17 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y , y [5 bodů] Napište rovnici tečny ke grafu funkce 1 y v bodě [8 bodů] Diferenciální počet a) Napište definici derivace funkce y f() v bodě. b) Napište definici rostoucí funkce. Kdy řekneme, že funkce f() je na intervalu I rostoucí. c) Pomocí pojmu derivace zformulujte postačující podmínku pro to, aby funkce f() byla na intervalu I rostoucí. d) Uveďte příklad funkce, která má v bodě 0 derivaci rovnu jedné. Pokud takový příklad není možno sestrojit, vysvětlete proč. 3. [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [6 bodů] Lineární algebra a) Napište definici lineární (ne-)závislosti vektorů. b) Navrhněte metodu, jak ověřit, zda jsou vektory (2, 3, 1), (1, 1, 0) a (1, 3, 2) lineárně závislé či nezávislé. c) Vynásobte matice ( )( ) [5 bodů] Vypočtěte následující integrály a) d 3 b) c) 2 3 d 3 d 7. [8 bodů] Polynomy, algebraické rovnice a) Zformulujte Bezoutovu větu (o dělení polynomu kořenovým činitelem). b) Definjte pojem násobnost kořene, kdy řekneme, že polynom P () má k-násobný kořen c? c) Nakreslete typický průběh polynomu v okolí kořene násobnosti dva. d) Nakreslete typický průběh polynomu v okolí kořene násobnosti tři. Požadavek: alespoň 17 bodů z 48 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Ústní část není, výsledky s nahlédnutím do písemek ve 13:00 v B44. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

18 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y 4 1 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, a načrtněte graf). Návod: y 3 (3 4) ( 1) 2, y 22 ( ) ( 1) 3. Dále víme, že rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. 2. [5 bodů] Zderivujte následující funkce. Derivaci již neupravujte. ( a) ) b) ( ln( + 2 e ) ) 5. [8 bodů] Diferenciální počet a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y f() v bodě a. b) Napište vzorec pro Taylorův polynom třetího stupně pro funkci y f() v bodě a. c) Napište definici rostoucí funkce. Kdy řekneme, že funkce f() je na intervalu I rostoucí? d) K čemu slouží Banachova věta (o pevném bodu)? Co musí funkce f splňovat, abychom tuto větu mohli použít? 6. [6 bodů] Vypočtěte následující integrály 2 a) d [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic b) c) d ln d 4. [6 bodů] Lineární algebra a) Napište definici hodnosti. b) Definujte, kdy je matice ve schodovitém tvaru. c) Pomocí determinantu navrhněte metodu, jak ověřit, zda má zadaná čtvercová matice matici inverzní. 7. [7 bodů] Nelineární rovnice a) Na obrázku a stručně několika slovy vysvětlete princip Newtonovy-Raphsonovy metody. b) Jaké podmínky musí být splněny, abychom měli jistotu, že Newtonova-Raphsonova metoda konverguje k číslu c, které je řešením rovnice f() 0? Požadavek: alespoň 17 bodů z 48 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. Ústní část není, výsledky s nahlédnutím do písemek ve 13:00 v B02. Řešení příkladů budou vyvěšena bezprostředně po ukončení písemné části zkoušky na dveřích pracovny přednášejícího (budova B, nejvyšší patro). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

19 Kapitola 3 Zima

20 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y 3 (určete intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, načrtněte graf). + 1 Návod: Znáte derivace y 2 (2 + 3) ( + 1) 2, y 2( ) ( + 1) 3, asymptoty v ± nejsou. 2. [4 body] Vypočtete derivaci funkce y ln 2 ( + 1). 3. [7 bodů] Řešte soustavu rovnic [9 bodů] V následujícím výčtu vypočtěte pouze ty integrály, které jdou vypočítat užitím vzorců. U těch ostatních pouze rozhodněte, zda je vhodné je počítat substitucí (a napište jakou!) nebo metodou per-partés (a napište, jak volit u a v!). Odpovědi pište rovnou do zadání. 1 ln() d + d d sin() d ln() d 1 + d d sin() d sin( 2 ) d 5. [6 bodů] napište definici derivace (pomocí příslušné limity)a definici spojitosti v bodě (také pomocí limity) zformulujte Bolzanovu větu a tuto větu ilustrujte na vhodném příkladě 6. [4 body] hodnost matice definice jak poznáme pomocí hodnosti matice, zda má soustava lineárních rovnic řešení a zda je toto řešení určeno jednoznačně nebo zda jich je nekonečně mnoho? Požadavek: alespoň 17 bodů z 40 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

21 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [9 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete limity v ± a v bodě nespojitosti, intervaly kde ( + 2) 3 je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní, načrtněte graf). Návod: Znáte derivace y 2 2 ( + 2) 4, 6 12 y ( + 2) [5 bodů] Derivujte ( + arcsin ) ( 3 sin ( )) 3. [4 body] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y v bodě [7 bodů] Je dána matice A Určete determinant A. Potom na základě výpočtu determinantu určete (pokud to jde) hodnost h(a) a zda eistuje inverzní matice A 1. (Inverzní matici ani hodnost ale nepočítejte. Pokud není možno hodnost nebo eistenci inverzní matice určit, napište alespoň, jaké varianty připadají v úvahu pro matice s tímto determinantem.) 5. [9 bodů] Vypočtěte integrál π 2 0 aproimovat numericky použitím lichoběžníkového pravidla a dělení na 4 podintervaly.) 6. [6 bodů] Substituční metoda pro neurčitý integrál V integrálu f() d proveďte substituci g(t). ( ) V integrálu f ϕ() ϕ () d proveďte substituci ϕ() t. Vhodnou substitucí vypočtěte integrál 1 2 d. 2 sin d. (Pokud nevypočítáte integrál přesně, pokuste se jej /za 5 bodů/ 7. [6 bodů] Napište definici derivace (pomocí příslušné limity) a definici spojitosti v bodě (také pomocí limity) Uveďte příklad funkce, která má v bodě 0 následující vlastnosti a) je zde spojitá a nemá zde derivaci; b) není zde spojitá a má zde derivaci; c) není zde spojitá a má zde derivaci rovnu nule. Pokud některý z příkladů není možno uvést, vysvětlete proč. Požadavek: alespoň 17 bodů z 46 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně, který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

22 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [10 bodů] Vyšetřete průběh funkce y ( 2 (určete limity v nevlastních bodech, intervaly kde je + 1) 2 funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, načrtněte graf). Najděte také tečnu v bodě 0 a zakreslete ji do stejného obrázku, jako je graf funkce. Návod: Druhou derivaci nepočítejte, pokuste se co nejvíce zjistit jenom z první derivace. První derivace je y 2 (3 2 ) ( 2 + 1) [4 body] Vypočtete derivaci funkce y 2 ln 2 ( + + 1) [6 bodů] Určete hodnost matice A [4 body] Vypočtěte následující limity lim e lim e lim e 5. [6 bodů] Vypočtěte integrály e d sin() cos 3 () d 6. [6 bodů] Napište definici primitivní funkce k funkci f() a uveďte příklad. Zformulujte Newtonovu-Leibnizovu větu (pro výpočet určitého integrálu) a ukažte použití na příkladě. 7. [10 bodů] Kdy říkáme, že číslo c je k-násobným kořenem polynomu P ()? Napište definici. Zformulujte Bezoutovu větu (o dělení polynomu jistým lineárním výrazem). Krátce popište a na obrázku ilustrujte metodu hledání kořene půlením intervalu. Je možno metodu půlení intervalu použít pro hledání kořene libovolné násobnosti? Pokud ne, svou odpověď vysvětlete. Požadavek: alespoň 15 bodů z 46 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně, který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

23 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [9 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní a načrtněte graf). Návod: y 2 3 4, y [9 bodů] Vypočtěte následující integrály e 2 d 2 e d 6. [10 bodů] 2. [4 body] Vypočtete následující derivace ( ln ( 1 + )) ( ) sin() [4 body] Určete, zda jsou vektory u 1 (1, 0, 2, 1), u 2 (2, 0, 2, 1), u 3 (0, 1, 0, 1) a u 4 (0, 1, 2, 0) lineárně závislé nebo nezávislé. Svou odpověď podpořte vhodným výpočtem, nebo dostatečně zdůvodněte. Napište definici lokálního etrému (stačí lok. maimum) a definici stacionárního bodu. Napište, podle jaké charakteristické vlastnosti poznáme stacionární bod na grafu funkce. Zformulujte větu, udávající souvislost mezi lokálními etrémy a stacionárními body. Uveďte příklad funkce (graf nebo funkční předpis), která má v bodě 0 následující vlastnosti a) má kladnou derivaci a má i lokální etrém b) má stacionání bod a má i lokální minimum c) má stacionání bod, nemá lokální etrém d) nemá stacionání bod, má lokální etrém Zřetelně označte, který příklad patří ke kterému úkolu. Pokud některý příklad není možno sestrojit, vysvětlete proč. 7. [6 bodů] 4. [4 body] Vypočtěte determinant Napište definici hodnosti a definici inverzní matice. Napište definici lineární závislosti a nezávislosti vektorů. Napište alespoň jednu podmínku, která zaručuje, že k matici A eistuje inverzní matice A 1. Požadavek: alespoň 17 bodů z 46 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

24 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [9 bodů] Vyšetřete průběh funkce y ( + 1) 2 (určete limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní a načrtněte graf). Návod: y 1 ( + 1) 3, y 2 2 ( + 1) 4 2. [4 body] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y 2 ln 1 + v bodě 0. 1 V následujícím výčtu označte (např. zakroužkováním), které jsou vhodné pro integrování metodou per partés a které pro tuto metodu naopak vhodné nejsou (např. přeškrtnutím). Integrály nepočítejte! a) e d d) ln d b) e 2 d e) ln d c) 2 e d f) e 1 d 3. [8 bodů] Řešte soustavu rovnic [8 bodů] Vypočtěte integrál d. Pokud integrál neumíte vypočítat, pokuste se jej (za 4 body) aproimovat lichoběžníkovým pravidlem a dělením oboru integrace na 5 podintervalů. 5. [8 bodů] Napište vzorec pro derivaci součinu dvou funkcí. Napište vzorec pro integrování metodou per partés. Odvoďte vzorec pro metodu per partés ze vzorce pro derivaci součinu. 6. [8 bodů] Napište definici inverzní matice a vysvětlete i všechny pojmy, které se v této definici vyskytují. Napište maticový tvar (tj. ekvivalentní zápis pomocí vhodného maticového součinu) následující soustavy rovnic Vysvětlete, jak a kdy je možno využít inverzní matici k řešení soustavy lineárních rovnic. Pomocí inverzní matice vypočtěte řešení soustavy rovnic z předešlého bodu. Návod: Víme, že matice ( ) 2 3 matici 1 2 ( ) má inverzní Požadavek: alespoň 15 bodů z 45 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

25 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: [8 bodů] Vyšetřete průběh funkce y 2 5 (určete limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní a načrtněte graf). Návod: y , y [6 bodů] Vypočtěte následující derivace (po zderivování už neupravujte) ( a) ln( )) ( ) e b) [6 bodů] Vyřešte soustavu rovnic [10 bodů] Vypočtěte integrály a) d b) 2 ln d c) ln d 5. [7 bodů] l Hospitalovo pravidlo a) K čemu se používá a v jakých případech je možné jej použít? Zformulujte plné znění tohoto pravidla. b) Na vhodném příkladě ukažte použití tohoto pravidla. c) Vypočtěte bez použití l Hospitalova pravdila limitu lim [4 body] Složené funkce a) Napište vzorec pro derivaci složené funkce f(ϕ()) b) V interálu f(ϕ())ϕ () d proveďte substituci ϕ() t. 7. [4 body] Spojitost, derivace a) Definice spojitosti funkce f() v bodě a. b) Definice derivace funkce f(). c) Uveďte příklad funkce, která nemá v bodě 0 derivaci, ale má zde tečnu. Požadavek: alespoň 15 bodů z 45 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.

26 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, ) 60 minut Jméno: ( 1)3 1. [8 bodů] Vyšetřete průběh funkce y (určete limity v nevlastních bodech a v bodech nespojitosti, intervaly kde je funkce kladná/záporná, rostoucí/klesající, konvení/konkávní a načrtněte graf). Návod: y ( 1)2 (2 + 1) 2, y [5 bodů] Vypočtěte derivaci funkce y 1 e ln( ) a napište rovnici tečny ke grafu této funkce v bodě [6 bodů] Rozhodněte, zda jsou následující vektory lineárně závislé či nezávislé. Svou odpověď dostatečně podpořte vhodným argumentem nebo výpočtem. a (1, 1, 1, 2), b ( 2, 2, 3, 1), c (1, 3, 0, 1), d (1, 3, 1, 3) 4. [4 body] Určte obsah obrazce mezi křivkami y 9 a y 9 2. Obrazec nakreslete. 5. [5 bodů] Vypočtěte integrál 3 sin( 2 ) d 6. [8 bodů] Soustavy lineárních rovnic a) Zformulujte Frobeniovu větu (udává, kdy má soustava řešení). b) Jak poznáme, zda je řešení soustavy určeno jednoznačně, nebo zda je řešení nekonečně mnoho? c) Uveďte příklad soustavy 2 lineárních rovnic o 3 neznámých, která má (a) nekonečně mnoho řešení, (b) právě jedno řešení, (c) žádné řešení. U každého uvedeného příkladu volte soustavu co nejjednodušší a řádně označte, která soustava patří ke které možnosti. Pokud v některém bodě požadovaná soustava neeistuje, vysvětlete proč. 7. [9 bodů] Algebraické rovnice a) Definujte pojem násobnost kořene. (Přesněji: kdy řekneme, že polynom P () má kořen c a násobnost tohoto kořene je k?) b) Uveďte příklad polynomu s reálnými koefiencty, který má trojnásobný kořen 2. Pokud je takových polynomů více, napište takový polynom, aby jeho stupeň byl co nejmenší. c) Souvisí nějak násobnost kořene se znaménkem polynomu v okolí kořene? Pokud ano, jak? (obrázek vydá ze 1000 slov... ) d) Souvisí nějak násobnost kořene s derivací (případně se stac body, etrémy, infleními body)? Pokud ano, jak? (Je-li to možné, využijte co nejvíce odpověď a nákresy u předchozí otázky o znaménku funkce.) Požadavek: alespoň 15 bodů z 45 možných. Počítejte v libovolném pořadí, ale označte zřetelně který výpočet patří ke kterému příkladu! Všechny papíry s výpočty si podepište a odevzdejte s podepsaným zadáním. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny.