MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM

2 MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8

3 Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Autor: RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Olomouc 8

4 Obsah Úvod 8. Funkce jedné proměnné 9 Definice funkce Vlastnosti funkcí Elementární funkce 6 Polynomy 6 Funkce racionální lomená 7 Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Eponenciální funkce 6 Logaritmické funkce 7 Obecná mocnina 8. Limita a spojitost funkce Definice limity funkce Pravidla pro počítání s limitami 4 Spojitost 7 Druhy nespojitosti 8 Spojitost na intervalu 4. Derivace funkce 4 Derivace funkce v bodě 4

5 Pravidla pro derivování 46 Derivace vyšších řádů 49 Využití diferenciálního počtu 5 L Hospitalovo pravidlo 5 Monotonie a etrémy funkce 5 Vyšetřování průběhu funkce Neurčitý integrál 6 Primitivní funkce a neurčitý integrál 64 Základní integrační metody 66 Metoda per partes 66 Substituční metoda 67 Integrace racionální funkce lomené 68 Integrace goniometrických funkcí 7 5. Určitý integrál 7 Definice Riemannova určitého integrálu 74 Výpočet určitého integrálu Nevlastní integrál 8 Integrál jako funkce meze 8 Nevlastní integrály 8 Nevlastní integrály vlivem meze 84 Výpočet dle Leibniz Newtonovy formule 86 Nevlastní integrály vlivem funkce 88 Výpočet dle Leibniz Newtonovy formule 89 Geometrická interpretace nevlastních integrálů 9 7, Diferenciální počet funkce více proměnných 97 Základní pojmy 98 Pojem funkce dvou proměnných 99 Limita Dvojnásobná limita 4 Výpočet limity 6

6 Spojitost funkce dvou proměnných 8 8. Parciální derivace a totální diferenciál 8 Parciální derivace 9 Geometrický význam parciálních derivací 9 Parciální derivace na množině Výpočet derivací Parciální derivace vyšších řádů Totální diferenciál 4 Užití totálního diferenciálu 6 Tečná rovina a normála 6 9, Etrémy funkce Etrémy funkce dvou proměnných Lokální etrémy Geometrická interpretace lokálních etrémů 7 Postup při určování lokálních etrémů na otevřené množině 8 Globální etrémy 4 Určování globálních etrémů na kompaktní množině 44 Vázané etrémy 44 Funkce tří proměnných 48. Implicitní funkce 5. Dvojný integrál 6 Dvojný integrál 6 Výpočet dvojného integrálu postupnými integracemi dvojnásobný integrál 66 Dvojný integrál přes měřitelné množiny 68 Transformace do polárních souřadnic 7 Geometrické aplikace dvojného integrálu 7. Trojný integrál 74 Definice trojného Riemannova integrálu 75 Výpočet trojného integrálu 75 Aplikace trojného integrálu 8

7 Geometrické aplikace 8 Fyzikální aplikace 8

8 Úvod Cílem předmětu je seznámení studentů s diferenciálním a integrálním počtem funkce jedné a více proměnných a jejich aplikacemi. Student po ukončení semestru správně chápe pojem funkce a uvědomuje si užitečnost funkcí pro popis vztahů mezi jednotlivými veličinami, rozpoznává a charakterizuje základní vlastnosti funkcí. Pro funkce jedné i více proměnných bezpečně určuje definiční obory funkcí, definuje limitu funkce, zná vlastnosti limit a umí počítat limity rozličných funkcí, rozumí pojmu spojitosti funkce. Chápe a umí definovat derivaci funkce, rutinně zvládá výpočet derivací rozmanitých funkcí, chápe geometrický význam derivace. Zvládá aplikaci všech vědomostí diferenciálního počtu. Pro funkci jedné proměnné definuje primitivní funkci a neurčitý integrál, má osvojeny základní integrační metody. Pro funkce jedné a více proměnných rozumí způsobu konstrukce určitého integrálu, ovládá jeho základní vlastnosti a výpočet. Je schopen využít vědomosti integrálního počtu při řešení základních geometrických a fyzikálních úloh

9 Kapitola Funkce jedné proměnné Po prostudování kapitoly budete umět: definovat základní vlastnosti funkcí rozeznat typ a určit vlastnosti dané elementární funkce kreslit grafy elementárních funkcí Klíčová slova: Funkce, definiční obor, obor hodnot, restrikce, graf funkce, funkce sudé, liché, omezené, monotonní, periodické, prosté, inverzní, složené, polynom, obecná mocnina, goniometrické a cyklometrické funkce, funkce racionální lomená, eponenciální, logaritmická

10 MATEMATICKÁ ANALÝZA Definice funkce Definice. Nechť I J R Zobrazení f I R nazveme (reálnou) funkcí jedné (reálné) proměnné. Množina I se nazývá definiční obor a množina J { f ( ) R I} obor hodnot funkce f Příklad Dráha s je funkcí času t Píšeme s s() t Objem krychle V je funkcí délky hrany a Platí V a Poznámka Možností, jak zadat funkci, je několik. Funkce může být dána analyticky (buď eplicitně ve tvaru y f ( ) nebo implicitně F( y) ) graficky nebo tabulkou. Příklad Funkce y je zadaná eplicitně. Funkce y je zadaná implicitně. Poznámka Poznamenejme, že každou funkci zadanou eplicitně lze zapsat v implicitním tvaru. Opak však nemusí platit. Např. ze zápisu proměnné Je totiž y y nemůžeme jednoznačně vyjádřit y jako funkci Poznámka Pro definiční obor budeme také používat označení Df nebo Domf a pro obor hodnot Hf nebo Imf Poznámka Pokud není uvedeno jinak, bereme za definiční obor ten interval, na němž lze příslušné operace provést. Pamatujte, že jmenovatel zlomku musí být nenulový, výraz pod druhou odmocninou musí být nezáporný, argument logaritmické funkce musí být kladný, argument funkce tg musí být různý od lichých násobků, argument funkce cotg musí být různý od sudých násobků. argument funkcí arcsin a arccos musí patřit do intervalu, Příklad Stanovte definiční obor a obor hodnot funkce f( ) 4 Řešení Ve jmenovateli musí být výraz pod odmocninou kladný. Platí 4 když Tzn. definiční obor zadané funkce I ( ) Obor hodnot J ( )

11 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Definice. Dvě funkce se rovnají, když mají stejné definiční obory a když pro všechna ze společného definičního oboru platí f ( ) g( ) Příklad Rozhodněte, zda se funkce f( ) a g( ) rovnají. Řešení: Definiční obory daných funkcí jsou různé: Df ( ) ( ) Dg ( ) A tak, přestože pro je Definice. Nechť f funkce f a g se nerovnají. I R a I I Funkci gi R takovou, že g( ) f ( ) pro všechna I nazveme restrikcí funkce f na množinu I Píšeme g( ) f ( ) I Příklad Funkce f z předchozího příkladu je restrikcí funkce g na interval ( ) ( ) Definice.4 Grafem funkce f I J nazveme množinu všech bodů v rovině, o souřadnicích ( f ( )) I Příklad Nakreslete graf funkce y sgn ( ) Řešení y sgn

12 MATEMATICKÁ ANALÝZA Vlastnosti funkcí Definice.5 Nechť množina I obsahuje alespoň dva body. Řekneme, že funkce f intervalu I I R je na omezená zdola, když eistuje konstanta K R, tak že f ( ) omezená shora, když eistuje konstanta K R, tak že f ( ) K I K I omezená, když eistuje konstanta K >, K R, tak že f ( ) K I Příklad Funkce y je zdola omezená. Její graf je zdola ohraničený přímkou y Definice.6 Nechť I je symetrická množina, tj. I I Řekneme, že funkce f I R je na intervalu I sudá, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) lichá, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) Příklad Funkce y je sudá. Její graf je souměrný podle osy y

13 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Příklad Funkce y je lichá. Její graf je souměrný podle počátku. Definice.7 Nechť že funkce f p R a množina I R s každým bodem obsahuje také bod p Řekneme, I R je na intervalu I periodická, když pro všechna I platí f ( p) f ( ) Příklad Funkce y cos je periodická. Její graf se v intervalech délky opakuje. Definice.8 Řekneme, že funkce f I R je na intervalu I (ostře) rostoucí, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) (ostře) klesající, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) nerostoucí, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) neklesající, když pro všechna I platí f ( ) f ( )

14 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Funkcím (ostře) rostoucím a (ostře) klesajícím říkáme souhrnně (ostře) monotonní funkce. Příklad Funkce y () je klesající e Definice.9 Nechť množina I obsahuje alespoň dva body. Řekneme, že funkce f intervalu I prostá, když pro každé I je f ( ) f ( ) I R je na Poznámka Každá ostře monotonní funkce je i prostá. Příklad Funkce y f ( ) je prostá. Graf této funkce protínají všechny rovnoběžky s osou vždy jen v jediném bodě. Definice. Jsou dány funkce f I J g I J a J I Funkci h I J definovanou vztahem h( ) g( f ( )) pak nazveme složenou funkcí. Funkce g je její vnější a f její vnitřní složka. Poznámka Někdy místo pojmu skládání funkcí používáme termín superpozice a píšeme h g o f

15 5 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Příklad Z funkcí u f ( ) ln( ) g( u) u sestavte funkci složenou a určete definiční obor a obor hodnot zadaných složek. Řešení f ( ) ln( ) Dom f ( ) Im f ( ) g u g g ( ) u u Dom ( ) ( ) Im ( ) h( ) g( u( )) ln( ) ln(-) -> - > Dom h () ( ) Im h (, ) Definice. Jestliže funkce f I J je prostá, pak funkci jediné J, pro které f ( ) y nazveme inverzní funkcí k zadané funkci f f, která každému y J přiřazuje to Příklad K funkci y utvořte funkci inverzní. Řešení Zadaná funkce je prostá pro všechna tvar y R a můžeme k ní utvořit funkci inverzní, která má Poznámka Role definičního oboru a oboru hodnot se u navzájem inverzních funkcí zaměňují. Pokud v inverzní funkci provedeme symbolickou záměnu proměnných, jsou grafy dané funkce a funkce k ní inverzní symetrické podle osy. a. kvadrantu. Poznámka Inverzní funkce k funkci ostře monotonní je opět ostře monotonní. Poznámka Složením navzájem inverzních funkcí obdržíme identitu: f ( f ( )) f ( f ( y)) y Příklad Funkce f ( ) ln a g( ) e jsou navzájem inverzní. To znamená např. že (5) ln( e ) 5 e ln(( )

16 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Elementární funkce Polynomy Definice. Nechť a n a R. Funkci tvaru P ( ) a a a a n n n n n nazveme polynomem n -tého stupně. Konstanty a n a jsou tzv. koeficienty polynomu. 5 Příklad P( ) je polynom 5. stupně s koeficienty a5 a4 a a a a Věta. Dva polynomy se rovnají, když se rovnají jejich koeficienty u příslušných mocnin. Definice. Číslo C pro které platí P( ) se nazývá kořenem polynomu P a výraz ( ) kořenovým činitelem uvažovaného polynomu. Poznámka Najít kořen polynomu P který má reálné koeficienty, znamená řešit algebraickou rovnici P ( ) Řešením této rovnice mohou být jak reálná, tak komplení čísla. Příklad Určete kořeny polynomu P( ) Řešení: Polynom na levé straně kubické rovnice rozložíme na součin ( ) ( )( ) ( i)( i)( ) Součin je nulový, když některý z činitelů je nulový. Kořeny zadaného polynomu jsou tedy i a i Věta. (Základní věta algebry.) Algebraická rovnice P ( ) n má nad tělesem kompleních čísel alespoň jeden kořen Poznámka Každý polynom n -tého stupně má (pokud počítáme každý k -násobný kořen za k kořenů a každou dvojici kompleně sdružených kořenů za dva kořeny) právě n kořenů. Definice.4 Nechť polynom P n má r reálných kompleně sdružených l j -násobných kořenů a j ibj( j s) Součin p n k -násobných kořenů p( p r) a s dvojic k P ( ) a ( ) ( ) ( ) r l l l [( a ) b ] [( a ) b ] [( a ) b ] s n n k k r s s

17 7 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ nazýváme rozkladem polynomu P n na součin kořenových činitelů (v reálném oboru). Příklad Polynomy a) rozložte v reálném oboru na součin kořenových činitelů. Řešení b) a) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) Zadaný polynom má reálné jednoduché kořeny b) ( 8 6) ( 4) ( )[( i)( i)] Zadaný polynom má reálný jednoduchý kořen a dvojici dvojnásobných kompleně sdružených kořenu i Funkce racionální lomená Definice. 5 Nechť P n a Q m jsou polynomy. Podíl R ( ) Pn ( ) Q ( ) (5) m nazýváme racionální funkcí neryze lomenou, když n m a racionální funkcí ryze lomenou když nm Definičním oborem funkce R jsou všechna reálná čísla s výjimkou reálných kořenů polynomu ve jmenovateli. Poznámka V každé neryze lomené funkci lze provést naznačené dělení a rozepsat tuto funkci na součet polynomu a funkce racionální ryze lomené. Příklad Určete definiční obor funkce lomené. 5 a rozložte ji na součet polynomu a funkce racionální ryze

18 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Řešení Protože když ( ) ( ) ( ) Dále tvoří definiční obor zadané funkce sjednocení intervalů 5 ( ) Věta. Nechť R ( ) je funkce racionální ryze lomená. Jestliže je k -násobný reálný kořen jmenovatele funkce R ( ) pak v rozkladu na parciální zlomky tomuto kořenu přísluší k zlomků tvaru A A A k ( ) ( ) k ( ) Příklad Funkci 4 rozložte na parciální zlomky. Řešení Polynom ve jmenovateli má dva reálné různé kořeny Kořenu přísluší v roz- A kladu jeden zlomek tvaru a kořenu B přísluší jeden zlomek tvaru rozkladu je A B 4 Po vynásobení celé rovnice jmenovatelem 4 dostaneme Proto obecný tvar Odtud A( ) B( ) Rozklad má tvar 4 4( ) 4( ) 4A A 4 4B B 4 Věta.4 Nechť R ( ) je funkce racionální ryze lomená. Jestliže a bi je dvojice kompleně sdružených l -násobných kořenů jmenovatele funkce R ( ) pak v rozkladu na parciální zlomky těmto kořenům přísluší l zlomků tvaru B C B C Bl Cl l ( a) b [( a) b ] [( a) b ]

19 9 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Příklad Funkci 4 rozložte na parciální zlomky. 4 Řešení Polynom ve jmenovateli ( ) má kořeny i 4 i Obecný tvar rozkladu pro dvojnásobné kompleně sdružené kořeny je Po vynásobení celé rovnice polynomem A B C D 4 ( ) ( ) dostaneme ( A B)( ) C D A( ) B( ) C D Odtud porovnáním koeficientů u příslušných mocnin dostaneme Rozklad má tvar A B A C C D 4 ( ) Poznámka Pokud máme rozložit funkci racionální neryze lomenou, provedeme nejprve naznačené dělení, funkci zapíšeme jako součet polynomu a funkce racionální ryze lomené. Dále pak jmenovatele funkce racionální ryze lomené rozložíme na součin kořenových činitelů a podle věty. a věty.4 stanovíme obecný tvar rozkladu této funkce. Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin (tzv. metoda neurčitých koeficientů) určíme hodnotu konstant, které se vyskytují v obecném tvaru rozkladu. Příklad Výraz 8 Řešení Jmenovatel rozložte na parciální zlomky. 8 ( )( 4) ( )(( ) ) má jeden jednoduchý reálný kořen a jednu dvojici kompleně sdružených jednoduchých kořenů. Obecný tvar rozkladu je pak Odtud A B C 8 4 A( 4) ( B C)( ) A( 4) B( ) C( )

20 MATEMATICKÁ ANALÝZA Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin obdržíme A B A B C 4A C A B C Po dosazení vypočtených konstant do obecného tvaru rozkladu obdržíme 4 ( ) ( 4) Goniometrické funkce Z grafů goniometrických funkcí můžeme číst jejich vlastnosti. y sin y cos

21 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ y tg y cotg Z grafů je vidět, že funkce sin je lichá, periodická s periodou cos je sudá, periodická s periodou tg je lichá, periodická s periodou cotg je lichá, periodická s periodou

22 MATEMATICKÁ ANALÝZA V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty goniometrických funkcí pro vybrané argumenty : 6 4 sin cos tg cotg Pro výpočet hodnot goniometrických funkcí pro argument využijeme toho, že funkce je lichá nebo sudá a periodicity funkce. Mezi goniometrickými funkcemi platí následující vztahy sin cos sin tg (k ) k Z cos cos cotg k k Z sin tg cotg k k Z sin sin cos cos cos sin sin ( cos ), cos ( cos ) Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Při jejich odvození se musíme omezit pouze na ten subinterval, na kterém je příslušná goniometrická funkce prostá.

23 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Definice.6 Inverzní funkcí k funkci y sin definované na intervalu je funkce arcsin Je tedy arcsin to y pro které sin y y sin y arcsin Poznámka Funkce y arcsin je definovaná na intervalu nabývá hodnot z intervalu v celém definičním oboru je rostoucí a lichá. V následující tabulce jsou uvedeny funkční hodnoty pro některé vybrané argumenty. Zbývající hodnoty určíme díky skutečnosti, že funkce arcsin je lichá. arcsin 6 4 Příklad Určete definiční obor funkce f( ) arcsin ( ) a stanovte funkční hodnotu f ( 4) Řešení Zadaná funkce je definovaná, když pro její argument platí tzn když 4 ( ) Dále f ( 4) arcsin( )

24 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Definice.7 Inverzní funkcí k funkci y cos definované na intervalu je funkce arccos Je tedy arccos to y pro které cos y y arccos Poznámka Funkce v celém definičním oboru klesající. y cos y arccos je definovaná na nabývá hodnot z intervalu V následující tabulce jsou uvedeny funkční hodnoty pro vybrané argumenty. a je - arccos Definice.8 Inverzní funkcí k y tg definované na ( ) je funkce arctg Funkce arctg přiřazuje každému ( ) to y ( ) pro které tg y Poznámka Funkce y arctg je definovaná na intervalu ( ), nabývá hodnot z intervalu ( ) a je v celém definičním oboru rostoucí a lichá.

25 5 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ y artg Skutečnosti, že funkce arctg je lichá, využijeme k určení dalších funkčních hodnot. arctg 6 4 Definice.9 Inverzní funkcí k funkci y cotg definované na ( ) je funkce arccotg Je tedy arccotg to y ( ) pro které cotg y y arccotg y cotg

26 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Poznámka Funkce y arccotg je definovaná na intervalu ( ) nabývá hodnot z intervalu ( ) a je v celém definičním oboru klesající. arccotg Eponenciální funkce Definice. Eponenciální funkce je pro ( ) dána vztahem y a a y a a y a a Poznámka Pro a je eponenciální funkce rostoucí a pro a je klesající. Nabývá hodnot z intervalu ( ) Poznámka V aplikacích má největší význam eponenciální funkce Eulerovo číslo e 78 y e která má za základ Poznámka Vztah mezi eponenciální funkcí a goniometrickými funkcemi je dán prostřednictvím tzv. Eulerových vzorců. Platí Odtud máme i e cos isin kde i. e i e i i i i e e sin cos

27 7 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Logaritmické funkce Definice. Inverzní funkce k eponenciální funkci y log a Logaritmická funkce je tedy to y ( ) pro které y a se nazývá logaritmická a značí se y a Poznámka Definiční obor logaritmické funkce je interval ( ), obor hodnot ( ) y a, a y log a y a, a y log a Poznámka Nejužívanější jsou logaritmické funkce o základu - tzv. dekadický logaritmus, který zapisujeme jako ylog a logaritmus o základu e - tzv. přirozený logaritmus, který budeme nadále značit jako y ln.

28 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Poznámka Nechť čísla ab Připomeňme si, že pro logaritmické funkce platí následující vztahy log a a loga log log log a a a loga loga loga log a a log log b b a Obecná mocnina Definice. Nechť s je libovolné reálné číslo. Funkci, kterou pro definujeme vztahem budeme nazývat obecnou mocninou a značit e s sln s y. s s s s s Poznámka Definičním oborem jsou všechna ( ) oborem hodnot y ( )

29 9 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Čísla, pro která polynom nabývá nulovou hodnotu, se nazývají kořeny polynomu. Funkci racionální ryze lomenou je možné rozložit na součet parciálních zlomků. Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se nazývají cyklometrické funkce. Inverzní funkce k funkcím eponenciálním se nazývají logaritmické funkce. Eponenciální funkce má tvar y a a Obecná mocnina má tvar s y. Co je definiční obor a co je obor hodnot funkce? Uveďte příklad.. Vyjmenujte, jaké vlastnosti mohou mít funkce. Každou z vlastností definujte a vysvětlete pomocí obrázku.. Jakou vlastnost musí mít funkce, aby k ní eistovala funkce inverzní? 4. Mezi probranými funkcemi najděte ty, jejichž definičním oborem nejsou všechna reálná čísla. 5. Mezi probranými funkcemi najděte ty, které jsou v celém svém definičním oboru ryze monotonní. 6. Nakreslete grafy všech cyklometrických funkcí. 7. Jak bude vypadat čitatel v obecném tvaru rozkladu na parciální zlomky, když jmenovatel má a) reálné, b) komplení kořeny? 8. Stanovte definiční obory funkcí a) y ( ) 4 b) y c) y 65 d) y ln(sin ) [a) ( 4 ) ( ), b) ( ), c) ) ( ), d) k Z ( k(k ) ) ] 9. Nakreslete grafy funkcí a určete jejich vlastnosti. a) y y y 6 5 y y y b) c) y 6 {a) paraboly, b) kubické paraboly, c) hyperboly, d) část hyperboly. Rozložte na parciální zlomky a) 4 b) ( ) ( ), b) ] 4( ) 4( ) ( ) [a) 4 4( ) ( ) y 4 4 nad osou ]

30 MATEMATICKÁ ANALÝZA Základní literatura: [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

31 Kapitola Limita a spojitost funkce Po prostudování kapitoly budete umět: definovat limitu počítat limity Klíčová slova: Vlastní limita, nevlastní limita, jednostranné limity.

32 MATEMATICKÁ ANALÝZA Definice limity funkce Definice. Nechť R a Otevřený interval O( ) ( ) nazýváme delta okolím bodu na přímce. Pravým okolím bodu nazveme interval O + ( ) =, + δ). Levým okolím bodu je interval O ( ) = ( δ,. Interval U( ) ( ) ( ) nazveme ryzím okolím bodu Věta. Okolí bodu na přímce splňují následující aiomy: (A) Pro libovolná dvě okolí téhož bodu platí O ( ) O( ) O( ) (A) Okolí dvou různých bodů na přímce jdou zvolit tak, aby platilo O( ) O( ) (A) Když O( ) pak eistuje okolí O( ) O( ) Definice. Nechť I R. Bod obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny I I je hromadným bodem množiny I když každé jeho okolí Příklad Hromadným bodem množiny { R} je například bod Definice. (Heine) Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu L ( L R ), když pro každou posloupnost bodů { n } n n posloupnost funkčních hodnot { f( n )} n konverguje k číslu L Píšeme pak lim f ( ) L nebo f ( ) L pro Poznámka Funkce nemusí být v bodě, ve kterém počítáme její limitu, definovaná. Poznámka Funkce f má v bodě nevlastní limitu, když pro každou posloupnost { n} Domf n n Píšeme platí, že posloupnost funkčních hodnot { f( n )} n diverguje k (popř. ). lim f ( ) ( popř lim f ( ) )

33 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Funkce f má v nevlastním bodě limitu L když pro každou posloupnost { n} n Domf n (popř. { f( n )} n n ) platí, že posloupnost funkčních hodnot lim f ( ) L (popř lim f ( ) L) konverguje k L Píšeme pak Poznámka Na obrázku je graficky zachycena definice limity. Pro body,,,..., které se blíží k, jdou hodnoty f ( ), f ( ), f ( ),... k limitě L. f( ) L f( ) Věta. Jestliže eistuje lim f ( ) L pak je jediná. Poznámka Z věty. plyne, že lim sin a lim cos neeistují. Věta. Jestliže funkce f má v bodě konečnou limitu, pak eistuje okolí, v němž je omezená. Definice.4 (Jednostranné limity) Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu zprava, když pro každou posloupnost { n } takovou, že n n O ( ) n platí f ( n) L Píšeme pak lim f ( ) L popř f ( ) L Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu zleva, když pro každou posloupnost { n } takovou, že n n O ( ) n platí f ( n) L Píšeme lim f ( ) L popř f ( ) L ()

34 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Limitu zprava a limitu zleva nazýváme souhrnně jednostranné limity. Příklad Spočítejte limitu funkce pro f( ) pro když Řešení lim f ( ) lim f ( ) Věta.4 Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu, právě když zde má limitu zprava a limitu zleva a obě se rovnají. Příklad Stanovte limitu funkce y pro Výsledky ověřte na grafu funkce. Řešení lim lim lim Pravidla pro počítání s limitami Věta.5 Nechť eistuje lim f ( ) L lim g ( ) L a čísla L L R pak eistuje limita součtu, rozdílu, součinu eventuelně podílu funkcí f a g Platí lim[ f ( ) g( )] L L () lim[ f ( ) g( )] L L () lim f ( ) g( ) L L (4) f ( ) L (5) lim pokud L g( ) L Výčet neurčitých výrazů:,,,,,,

35 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Příklad Spočítejte lim 4 Řešení Když do daného zlomku dosadíme dostaneme neurčitý výraz typu. Proto před tím, než začneme počítat limitu, zlomek upravíme. Čitatele rozložíme na součin a zkrátíme se jmenovatelem. Pak spočteme limitu. 4 ( )( ) lim lim Věta.6 Nechť lim f( ) a eistuje okolí O ( ) v němž je funkce g ohraničená, pak lim f ( ) g( ) Příklad Dokažte, že lim sin Řešení Protože lim a pro libovolné R je funkce sin omezená, lze aplikovat Větu. 6. obdržíme tak požadovanou rovnost. Věta.7 Nechť v levém okolí bodu je funkce f omezená a ( ) je sgn f ( ) sgn g( ) pak lim ( ). Pokud pro všechna g f( ) lim g ( ) Když ale sgn f ( ) sgn g( ) pro ( ) pak f( ) lim g ( ) Poznámka V pravém okolí bodu platí analogické tvrzení. Příklad Spočítejte lim Řešen: V čitateli zlomku L je kladná konstanta, jmenovatel pro je kladný a jde k, proto lim Pro je jmenovatel záporný a jde k, proto L lim. Protože L L nemá funkce v bodě limitu.

36 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Věta.8 Když f ( ) h( ) g( ) pak lim f ( ) lim g( ) a funkce f g a h splňují v jistém okolí bodu že lim f ( ) lim h( ) lim g( ) Poznámka Na základě Věty.8 lze dokázat, že sin lim Příklad Spočítejte lim cos Řešení Čitatele i jmenovatele vynásobíme výrazem cos pak cos cos sin lim lim lim ( cos ) cos Věta.9 (Limita složené funkce) Nechť lim f ( ) y lim g( y) L yy a eistuje O ( ) tak, že pro všechna O( ) je také f ( ) y Pak eistuje lim g ( f ( )) a platí lim g( f ( )) L. lim ln Příklad Spočítejte Řešení lim ln y lim ln y y Příklad Spočítejte lim sin( ) Řešení sin( ) sin lim lim lim sin( )

37 7 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Spojitost V předešlé kapitole jsme se věnovali limitě funkce a právě prostřednictvím limity je definován pojem spojitost funkce. V této kapitole si nejprve uvedeme, co to znamená, že funkce je spojitá v bodě a na intervalu, klasifikujeme různé druhy nespojitosti a nakonec se zmíníme o stejnoměrně spojitých funkcích. Definice.5 Funkce f je spojitá v hromadném bodě D, f právě když lim f ( ) f ( ) Poznámka (Geometrická interpretace spojitosti) Z definice limity a spojitosti (viz definice. a.5) dostaneme, že funkce f je spojitá v bodě když pro jde f ( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) y f ( ) Definice.6 Funkce f je v bodě spojitá zprava, když lim f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) a zleva, když

38 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Poznámka Vzhledem k definicím limity uvedeným v předchozím odstavci, můžeme spojitost definovat také následujícími ekvivalentními způsoby: Funkce f je spojitá v bodě když pro každou posloupnost { n } takovou, že n n,, platí f ( n) f ( ) Věta. Funkce f je spojitá v bodě právě když zde má obě jednostranné limity, pro které platí f ( ) f ( ) f ( ) Věta. Jestliže funkce f a g jsou spojité v bodě, pak také funkce g ( ) ) jsou spojité v bodě f g f g (když f g Věta. Nechť funkce f je spojitá v bodě, funkce g je spojitá v bodě y f ( ), pak také složená funkce go f je spojitá v bodě Druhy nespojitosti Funkce nemusí být jenom spojité. Například funkce racionální lomená je nespojitá v kořenech svého jmenovatele, funkce cotg je nespojitá v celistvých násobcích Věnujme se proto nyní klasifikaci jednotlivých druhů nespojitosti. Definice.7 Bod v němž funkce není spojitá, se nazývá bodem odstranitelné nespojitosti, když funkce f není v bodě definovaná a platí nebo když f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Bodem nespojitosti. druhu, když obě jednostranné limity jsou konečné a f ( ) f ( ) Bodem nespojitosti. druhu, když alespoň jedna z jednostranných limit je nevlastní.

39 9 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Příklad Určete body nespojitosti funkcí a) 44 y b) Heavisideovy funkce y H( ) a c) funkce y Řešení Pro funkci 44 y je bodem odstranitelné nespojitosti, protože 4 4 lim lim( ) pro Heavisideovu funkci definujeme vztahem H( ) pro Pro funkci y H( ) je bodem nespojitosti. druhu, protože lim H( ) lim H( ) Pro y je bodem nespojitosti. druhu, protože lim lim Poznámka Jestliže v bodě limita funkce neeistuje, je funkce v tomto bodě nespojitá. Je-li funkce definovaná v izolovaném bodě, pak ji zde považujeme za spojitou. Příklad Funkce f( ) sin je nespojitá v bodě protože zde nemá limitu. pro racionální Dirichletova funkce f() = { pro racionální oboru. je nespojitá ve všech bodech svého definičního

40 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Spojitost na intervalu Definice.8 Funkce f je spojitá na intervalu I když je spojitá v každém jeho vnitřním bodě a pokud levý (pravý) koncový bod patří do intervalu I je v něm spojitá zprava (zleva). Definice.9 Funkce f je na intervalu I po částech spojitá, když zde má pouze konečný počet bodů nespojitosti, a to prvního druhu. Příklad Funkce y sgn() je po částech spojitá. Věta. (Weierstrass) Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je omezená a nabývá zde své nejmenší a největší hodnoty, a to buď uvnitř, nebo v krajních bodech intervalu. V tomto odstavci bylo uvedeno, že limita funkce f pro se rovná L když pro každou posloupnost bodů n konverguje posloupnost funkčních hodnot f ( n) f ( ) Funkce může mít nejvýš jednu limitu. Při výpočtu limit využíváme skutečnosti, že limita součtu funkcí je rovna součtu limit, limita součinu funkcí je rovna součinu limit, limita složené funkce je rovna limitě z jejích složek. Funkce je v bodě spojitá, právě když lim f() = f( ). O vlastnostech funkce spojité na uzavřeném intervalu pojednává Weierstrassova věta.. Nakreslete graf takové funkce f pro kterou lim f( ) 5 a lim f( ). Nakreslete graf funkce pro f( ) pro Má tato funkce v bodě limitu?. Musí být funkce v bodě, ve kterém je spojitá, také definovaná? 4. Čemu se musí rovnat limita funkce f v bodě aby funkce byla v tomto bodě spojitá? 5. Jak je to se spojitostí funkce racionální lomené a cyklometrických funkcí? 6. Spočítejte limitu a) b) 9 lim když lim cotg když c) lim d) lim arctg [a), b) 6, c) d) ]

41 4 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 7. Určete body nespojitosti funkce a) b) c) f( ) f( ) f ( ) [ ] [a) bod odstranitelné nespojitosti, bod nespojitosti. Druhu; b) bod nespojitosti. Druhu; c) Druhu.] nn N body nespojitosti. Základní literatura: [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

42 Kapitola Derivace funkce Po prostudování kapitoly budete umět: definovat derivaci funkce spočítat libovolnou derivaci aplikovat poznatky diferenciálního počtu Klíčová slova: Derivace funkce v bodě, derivace funkce na intervalu, derivace vyšších řádů, logaritmická derivace, L Hospitalovo pravidlo, stacionární body, lokální etrémy, globální (absolutní) etrémy, funkce konvení a konkávní, asymptoty bez směrnice a se směrnicí

43 4 DERIVACE FUNKCE Derivace funkce v bodě Při zavedení pojmu derivace vycházíme z limity. Derivaci zavedeme jako limitu relativní změny funkce. Tento způsob definování dělá z derivace nástroj k podchycení dynamiky dění. V tomto odstavci kromě definice derivace si uvedeme ještě pravidla pro její výpočet. Definice. Nechť funkce f je definována v okolí bodu a eistuje konečná limita f f ( ) f ( ) ( ) lim pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě Pokud uvedená limita neeistuje nebo je nevlastní, funkce v bodě derivaci nemá. Poznámka Kromě označení f ( ) se pro derivaci funkce v bodě používá i zápisu f Poznámka Derivaci funkce f v bodě je možné také definovat vztahem f f ( h) f ( ) h ( ) lim h kde h je diference argumentu v bodě Diferenci argumentu můžeme také značit Pokud f ( ) f ( ) f ( ) označíme diferenci funkce f v bodě dostáváme další možnost zápisu pro derivaci funkce f f( ) ( ) lim f ( ) f ( ) Poznámka (Geometrický význam derivace) Podíl představuje z geometrického hlediska směrnici sečny ke křivce y f ( ), která prochází body ( f ( )) a ( f ( )) Jestliže se s bodem začneme blížit k bude sečna přecházet v tečnu. To znamená, že derivaci f( ) lim můžeme geometricky interpretovat jako směrnici tečny ke křivce f ( ) f ( ) y f ( ) v bodě ( f ( ))

44 MATEMATICKÁ ANALÝZA 44 Příklad Spočítejte derivaci funkce v bodě z definice derivace, když a) f ( ) b) f ( ) e c) f ( ) sin( ) Řešení a) b) ( h ) hh ( h ) h h h h h h h lim lim lim h h ( ) h e e e e e lim h lim h e lim h e h h h h h sin( h) sin cos sin h h sin lim cos h h h h c) lim lim h h cos Poznámka (Rovnice tečny a normály) Vzhledem ke geometrickému významu derivace dostáváme, že tečna ke grafu funkce y f ( ) je přímka, která prochází bodem ( f ( )) a má směrnici f( ) Rovnice tečny má proto tvar f ( ) f ( ) f ( )( ) Normála ke grafu funkce y f ( ) v bodě ( f ( )) je přímka kolmá na tečnu. Směrnice této normály je rovna f ( ) a rovnice normály má tvar f ( ) f ( ) ( ) f ( )

45 45 DERIVACE FUNKCE Příklad Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y a to v bodě T ( ) Řešení Pro druhou souřadnici bodu dotyku máme y Podle předchozího příkladu a) máme Rovnice tečny má tvar a rovnice normály je y() y ( ) y y = + Poznámka (Fyzikální interpretace) Derivace funkce v bodě představuje okamžitou lokální ( ) ( ) změnu. Tak například, když s s() t je dráha, pak ( ) lim s t s t s t je okamžitá rychlost. Definice. Nechť funkce f je definována v okolí bodu a eistuje konečná limita tt tt f ( ) f ( ) lim f ( ) pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě zprava. Pokud eistuje konečná limita f ( ) f ( ) lim f ( ) pak ji nazýváme derivací funkce f v bodě zleva. Poznámka Derivaci funkce v bodě zprava je možné také značit f ( ) a derivaci funkce v bodě ( ) zleva lze značit f Věta. Funkce f má v bodě derivaci, právě když zde má derivaci zprava a derivaci zleva, které se navzájem rovnají. Věta. (Derivace a spojitost) Jestliže funkce f má v bodě konečnou derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. Funkce, která je spojitá v bodě, nemusí mít v tomto bodě derivaci. Funkce y je sice v bodě spojitá, ale nemá zde derivaci, protože y( ) y( )

46 MATEMATICKÁ ANALÝZA 46 y Pravidla pro derivování Pro praktické počítání je důležité vědět, jak se derivuje součet, součin a podíl funkcí, jak je to s derivováním složené funkce a jak vypadají derivace elementárních funkcí. Věta. Ve všech bodech, kde jsou uvedené funkce definovány, platí n n ( ) n, c ( a) a ln a, ( e ) e (log a), (ln ) ln a (sin ) cos, (cos ) sin (tg ), (cotg ) cos sin (arcsin ), (arccos ) (arctg ), (arccotg )

47 47 DERIVACE FUNKCE Věta.4 Nechť funkce f a g mají derivaci v bodě svého společného definičního oboru a c je libovolná konstanta, pak eistují derivace pro které platí f( ) ( cf ( ) ) ( f ( ) g( ) ) ( ( ) ( )) f g g ( ) ( cf ( ) cf ( ) ) ) ( f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( f() f(y) ) = f ( )g( ) f( )g ( ) g. ( ) Příklad Spočítejte derivaci funkce f ( ) e v bodě Řešení Funkci budeme derivovat jako součin podle věty.4. Při derivování jednotlivých činitelů využijeme výsledků z příkladu, který jsme spočítali již dříve. ) ( e ( e e ) ( ( ) ) e Věta.5 Nechť funkce f má v bodě a jeho okolí derivaci a funkce g má derivaci v bodě y f ( ) pak složená funkce go f má derivaci v bodě a platí ( g( f ( )) g( y ) f ( ) ) Poznámka Větu.5 lze použít i k výpočtu derivace vícenásobně složené funkce, která se pak rovná součinu derivací jednotlivých složek. Příklad Spočítejte derivaci funkce f ( ) sin v bodě Řešení Funkci budeme derivovat jako složenou funkci podle věty.5. Její vnitřní složka je u a vnější složka je y sin u Při derivování jednotlivých složek využijeme výsledků z dříve uvedeného příkladu. Protože dostaneme (sin u) cosu a ( ) (sin ) ( cos ) cos.

48 MATEMATICKÁ ANALÝZA 48 Věta.6 Nechť funkce f má v bodě derivaci různou od nuly, pak inverzní funkce eistuje) má v bodě y f ( ) derivaci, pro kterou platí f (pokud ( f ( y)) y y f( ) Příklad Spočítejte derivaci funkce f ( ) ln v bodě Řešení Funkce je inverzní funkcí k funkci f ( ) e Podle dříve uvedeného příkladu je ( e ) e Z věty.6 a vzhledem ke skutečnosti, že pro y platí ln y máme ln y (ln( y)) y y e e e y Definice. Funkce f má derivaci na intervalu I, když má derivaci v každém jeho vnitřním bodě a pokud levý (pravý) krajní bod patří do intervalu, má v něm derivaci zprava (zleva). Pomocí definice derivace a výše uvedených vět lze odvodit následující vzorce pro derivování elementárních funkcí: Příklad Derivujte funkce sin cos a) y cos b) y ln c) y tg Řešení a) Funkci derivujeme jako podíl (viz Věta.) d sin cos (cos sin ) cos (sin cos )( sin ) d cos cos b) Funkci derivujeme jako funkci složenou podle Věty.4 cos d ln (ln ) ( ) d c) Funkce je vícenásobně složená (viz poznámka výše), a tedy d 4sin tg tg d cos cos

49 49 DERIVACE FUNKCE Poznámka (Logaritmická derivace) Když chceme derivovat funkci ( ) ( )ln ( ) tvar f ( ) g e g f a pak derivujeme. Obdržíme ( ) f( ) g upravíme ji nejprve na g( ) f( ) y f ( ) g( )ln f ( ) g( ) f ( ) Příklad Derivujte funkci y Řešení ln ln ( ) ( e ) e (ln ) ( ln ) ( ln ) Derivace vyšších řádů V matematické analýze se pracuje i s derivacemi vyšších řádů. Obdržíme je postupným derivováním z derivací řádů nižších. Definice.4 Nechť funkce f má derivaci v O ( ) a funkce f má derivaci v bodě pak říkáme, že funkce f má druhou derivaci v bodě a píšeme f f ( ) ( ( )) Příklad Spočtěte. derivaci funkce yln Řešen: y y Příklad Zjistěte, zda funkce je řešením diferenciální rovnice y y y y e e Řešení: Spočteme. derivaci zadané funkce: strany diferenciální rovnice dostaneme y e e y e e 4 Po dosazení do levé 4e e 6e e e e Protože v poslední rovnici se levá strana rovná pravé, je funkce y e e řešením rovnice y y y

50 MATEMATICKÁ ANALÝZA 5 Poznámka Definici.4 můžeme zobecnit a definovat derivaci n -tého řádu ( n) ( n) f ( ) ( f ( )) Vztah platí pro všechna ta pro která má funkce f ( n) derivaci. Derivace vyšších řádů značíme (4) (5) f f f f Příklad Spočtěte n -tou derivaci funkce y ln Řešení: y y = ( ), (4) 6 y y 4 n ( n) ( ) ( n) y n n Využití diferenciálního počtu Diferenciální počet je účinným nástrojem při zkoumání vlastností funkcí. Pomocí derivací můžeme stanovit limity neurčitých výrazů. Můžeme také pomocí toho, zda derivace určitého řádu je kladná či záporná, určít intervaly, ve kterých je funkce rostoucí popř. klesající a ve kterých je konvení popř. konkávní. Pomocí limity zase rozhodneme, jestli graf funkce má nějaké asymptoty. L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo slouží k výpočtu limity funkce. Věta.7 (l Hospitalovo pravidlo) Nechť pro funkce f a g platí ( lim f ( ) lim g( ) Pokud f g ( ) i jsou diferencovatelné v okolí bodu a eistuje lim f ( ) pak eistuje také lim f pro kterou platí g( ) g( ) f ( ) f ( ) lim lim g( ) g( ) Věta.8 Nechť pro funkce f a g platí lim f ( ) lim g( ) Pokud f i g jsou k -krát diferen- ( ) f ( ) ( ) covatelné v okolí bodu a eistuje lim pak eistuje také lim f a platí k ( k ) g ( ) g( )

51 5 DERIVACE FUNKCE ( k ) f ( ) f ( ) lim lim ( k ) g( ) g ( ) Poznámka Věty.7 a.8 platí i v případě, když předpokládáme, že lim f ( ) lim g( ) že lim f ( ) lim g( ) popř. když místo bereme nebo nebo Poznámka L Hospitalovo pravidlo se užívá k určování limit výrazů typu " " nebo " ". L Hospitalovo pravidlo můžeme také použít při určování limit výrazů typu " ", " ", " ", " " nebo " " ovšem až po úpravě, která výraz převede na typ " " nebo " ": u " " upravíme takto uv na typ " ", v u " " upravíme takto u v na typ " ", v " ", " ", " " pomocí úpravy v vlnu u e převedeme na typ " e ". u v uv Příklad Spočítejte lim e sin Řešení e e lim " " lim sin cos Příklad Spočítejte lim ln( ) Řešení ln( ) lim ln( )" " lim " " lim Příklad Spočítejte lim(sin ) Řešení lnsin lim(sin ) " " lim e lime lnsin lim lnsin " " lim " " lim lim " " cos sin tg lim cos

52 MATEMATICKÁ ANALÝZA 5 Monotonie a etrémy funkce Definice.5 Řekneme, že funkce f je v bodě (ostře) rostoucí, když eistuje vlastní okolí bodu tak, že f ( ) f ( ) pro ( ) a f ( ) f ( ) pro ( ) Pokud f() > f( ) pro ( δ, ) a f( ) > f() pro (, + δ), pak funkce f je v bodě (ostře) klesající. Poznámka Funkce je rostoucí na intervalu I právě když je rostoucí v každém bodě tohoto intervalu. Funkce je klesající na intervalu I právě když je klesající v každém bodě tohoto intervalu. Věta.9 (Postačující podmínka monotonie) Když funkce f má v bodě první derivaci a f( ) pak f je v (ostře) rostoucí. Když funkce f má v bodě první derivaci a f( ) pak f je (ostře) klesající. Příklad Určete intervaly, na kterých je funkce y ostře rostoucí a na kterých je ostře klesající. Řešení Zadanou funkci můžeme psát ve tvaru pro f ( ) pro. pro O monotonii funkce rozhodneme na základě první derivace pro f ( ) pro pro Odtud obdržíme, že funkce y je pro ostře rostoucí a pro ostře klesající. Poznámka, I když je funkce v nějakém bodě rostoucí, nemusí ještě mít v tomto bodě kladnou první derivaci. Například funkce y je v bodě rostoucí, ale y () není kladná. (Namalujte si obrázek.) Poznámka Když pro všechna I je f( ) pak je funkce f (ostře) rostoucí na intervalu I Pokud f( ) pro všechna I je funkce f (ostře) klesající na intervalu I V případě, že pro všechna I platí neostrá nerovnost f( ) (popř. f( ) ) pro všechna I hovoříme o tom, že funkce je na intervalu I nerostoucí (popř. neklesající). Definice.6 Bod, ve kterém má funkce nulovou první derivaci, se nazývá stacionární bod.

53 5 DERIVACE FUNKCE Definice.7 Funkce f I H nabývá v bodě svého lokálního maima, když eistuje okolí O ( ) tak, že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) lokálního minima, když eistuje okolí O ( ) tak, že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) Pokud f ( ) f ( ) (popř. f ( ) f ( ) ) pro všechna O( ) I je bodem ostrého lokálního maima (popř. minima). Body lokálního maima a minima nazýváme souhrnně body lokálních etrémů. Poznámka Funkce může mít tedy etrém buď ve stacionárních bodech nebo v bodech, v nichž derivace neeistuje. Například funkce y y má ve stacionárním bodě v bodě nemá sice derivaci, ale má zde lokální etrém. lokální etrém. Funkce Na druhé straně stacionární bod nemusí být ještě bodem lokálního etrému, jak je tomu třeba u funkce y Věta. Nechť funkce f je spojitá v bodě I Když pro všechna O( ) platí má funkce f v bodě ostré lokální maimum. f ( ) pokud a f ( ) pokud Pokud pro všechna O( ) platí f ( ) pokud a f ( ) pokud pak má funkce f v bodě ostré lokální minimum. Věta. Nechť je stacionárním bodem funkce f a eistuje f( ) Jestliže f( ) pak funkce f má v bodě lokální maimum. Když f( ) má funkce f v bodě lokální minimum. Příklad Vyšetřete lokální etrémy funkce y 6 Řešení Nejprve určíme stacionární body: y = 6 = =. Podle věty. rozhodneme o druhu etrému. Protože pro libovolné je y( ) má zadaná funkce v bodě = lokální minimum.

54 MATEMATICKÁ ANALÝZA 54 Příklad Určete rozměry rotačního válce, který má při daném objemu nejmenší povrch. Řešení Označme: r poloměr válce, v výšku válce, V objem válce, S povrch válce. Pro objem pak platí V V v r r v Odtud dostaneme, že Pro povrch S válce máme S(r) = πr + πrv = πr + v Najdeme stacionární body funkce S S() r r V 4 r V V ( ) 4 S r r r r r O druhu etrému rozhodneme pomocí druhé derivace. 4V 4 r 4V S( r) 4 r r V V S ( ) r je bodem minima Válec bude mít při daném objemu nejmenší povrch, když jeho poloměr r V Poznámka Úlohy najít lokální nebo absolutní etrém funkce bývají označovány jako úlohy optimalizační. Definice.8 Řekneme, že funkce f nabývá v bodě všechna I platí, že f ( ) f ( ) Funkce f nabývá v bodě f ( ) f ( ) I svého absolutního maima, když pro I svého absolutního minima, když pro všechna I je Souhrnně absolutní maimum a absolutní minimum nazýváme absolutními etrémy. Věta. Každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu ab buď v některém bodě lokálního etrému nebo v krajních bodech intervalu. nabývá svého absolutního etrému

55 55 DERIVACE FUNKCE Příklad Najděte absolutní etrémy funkce f ( ) 6 8 na intervalu Řešení Zadaná funkce je spojitá na uzavřeném intervalu Derivace ( ) 6 6 když f Bod nepatří do uvažovaného intervalu. Protože f ( ) a f () má funkce v bodě lokální minimum. Porovnáním funkčních hodnot v bodě lokálního etrému, kde f () 4 a v krajních bodech intervalu, kde platí f () 8 f() = 44 zjistíme, že bod je bodem absolutního maima a bod je bodem absolutního minima. Vyšetřování průběhu funkce Graf funkce, zejména když je přesný, umožňuje vytvořit si také přesnou představu o vlastnostech funkce. K jeho sestrojení můžeme využít své poznatky z diferenciálního počtu. Definice.9 Nechť eistuje f( ) Řekneme, že funkce f je v bodě konvení, právě když eistuje O ( ) že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) f ( )( ) (58) konkávní, právě když eistuje O ( ) že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) f ( )( ) (59) Poznámka Graf funkce, která je v bodě konvení, se nachází nad tečnou a že graf funkce, která je v bodě konkávní, se nachází pod tečnou. Věta. Když funkce f má v bodě druhou derivaci a f( ) pak f je v konvení. Pokud f ( ) je funkce f v konkávní. Poznámka Funkce f je konvení (konkávní) na intervalu I pokud je konvení (konkávní) pro všechna I Definice.9 Nechť f je spojitá v bodě a má zde vlastní nebo nevlastní derivaci. Řekneme, že je inflení bod, když se v něm funkce mění z konvení na konkávní nebo naopak.

56 MATEMATICKÁ ANALÝZA 56 Věta.4 Pokud eistuje f ( ) a je inflení bod, pak f( ) Poznámka Inflením bodem funkce může být jen ten bod v němž f ( ) neeistuje nebo kde f( ) Poznámka Obecně platí: Když f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) a ( n) ( n) n je sudé, n je sudé, n je liché, n je liché, ( n) f ( ) pak f má v bodě ( n) f ( ) pak f má v bodě ( n) f ( ) pak f je rostoucí v bodě ( n) f ( ) pak f je klesající v bodě ostré lokální minimum, ostré lokální maimum, Když f ( ) f ( ) f ( ) a ( n) ( n) n je sudé, n je sudé, ( n) f ( ) pak f je konvení v bodě ( n) f ( ) pak f je v bodě n je liché, pak f má v bodě inflei. konkávní, Definice. V rovině je dána funkce f a přímka p Řekneme, že p je asymptotou ke grafu funkce y f ( ) právě když vzdálenost bodů grafu funkce y f ( ) od přímky p se pro blíží nule. Poznámka Asymptoty jsou přímky, ke kterým se blíží graf funkce, když v případě, že je bod, ve kterém funkce není definovaná. popř. Věta.5 Přímka je asymptotou bez směrnice ke grafu funkce y f ( ) právě když lim f( ) Věta.6 Přímka y a b je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce y f ( ) právě, když a = lim f(), b = lim (f() a). ± Poznámka Při vyšetřování průběhu funkce postupujeme následovně (a) Stanovíme nulové body funkce a body, v nichž funkce není definována. Ty nám rozdělí definiční obor na subintervaly, ve kterých funkce nabývá buď jen kladných nebo jen záporných hodnot.

57 57 DERIVACE FUNKCE (b) Spočteme první derivaci a určíme body, v nichž je. derivace nulová nebo v nichž neeistuje. Číselnou osu tak rozdělíme na subintervaly, ve kterých je funkce buď jen rostoucí nebo jen klesající. (c) Spočteme druhou derivaci a určíme body, v nichž je druhá derivace nulová nebo v nichž není definována. Tyto body rozdělí číselnou osu na subintervaly, v nichž je funkce buď jen konvení nebo jen konkávní. (d) Zjistíme, zda funkce má nějaké asymptoty bez směrnice nebo se směrnicí. (e) Spočteme některé funkční hodnoty ve významných bodech (např. v bodech etémů nebo v infleních bodech) a nakreslíme graf. Příklad Vyšetřete průběh funkce y 6 8 Řešení (a) Definiční obor: ( ) (b) Derivace y ma min - Funkce je rostoucí, když 6( )( ) tj. ( ) Funkce je klesající, když 6( )( ) tj. Funkční hodnoty v bodech etrémů: f ( ), f () 4. (b) Druhá derivace y

58 MATEMATICKÁ ANALÝZA 58 infl.bod Funkční hodnota v inflením bodě: f ( ) 8. Funkce je konvení, když tj. ( ) Funkce je konkávní, když tj. ( (d) Asymptoty bez směrnice funkce nemá, protože je všude definovaná. Protože a = lim 6+8 = +, nemá funkce ani asymptoty se směrnicí. ± Graf funkce y 6 8 : Příklad Vyšetřete průběh funkce y Řešení (a) Dom f ( ) ( ) y y (b) y ( )( )

59 59 DERIVACE FUNKCE Funkce je klesající, když y ) ( Funkce je rostoucí, když y ( ) Etémy: yma( ) ymin () (c) y Funkce je konvení, když y Funkce je konkávní, když y (d) Protože lim( ) je asymptotou bez směrnice. Dále a lim ( ) lim ( ) b lim ( ) Je tedy y asymptotou se směrnicí. Graf funkce y a asymptot y : ( ) Derivace funkce v bodě je definována vztahem Číslo f ( ) je směrnice tečny ke grafu funkce y f ( ) v bodě f f ( ) f ( ) ( ) lim Derivaci vyššího řádu obdržíme derivováním derivace řádu o jedničku nižšího. Když funkce má v bodě etrému derivaci, pak je tato derivace rovna nule.

60 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Výpočet limit typu " " nebo " " můžeme provést pomocí l Hospitalova pravidla. Z. derivace funkce určíme stacionární body a intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající. Z. derivace funkce určíme intervaly, ve kterých je funkce konvení nebo konkávní. Pomocí limit určujememe asymptoty ke grafu funkce.. Napište vztah, kterým je definována první derivace funkce v bodě.. Jestliže funkce má v bodě derivaci, musí být v tomto bodě spojitá?. Jaký je geometrický význam. derivace v bodě? 4. Zopakujte si základní vzorce pro derivování funkcí. 5. Které typy limit se dají počítat pomocí l Hospitalova pravidla přímo? 6. Jaká musí být hodnota první derivace funkce f v bodě etrému? Proč? 7. Uveďte nutné podmínky pro to, aby dost hladká funkce (tzn. funkce, která má potřebné derivace) byla na intervalu I klesající a konkávní. 8. Jak je definován stacionární a jak inflení bod hladké funkce? 9. Musí mít funkce ve svém stacionárním bodě etrém?. Za jakých podmínek má funkce asymptotu bez směrnice a asymptotu se směrnicí?. Spočtěte derivace a rozhodněte, kdy je derivace definovaná. 7 a) ( ln ) b) (tg cos ) c) ( e ) d) ( e (cos sin )) e) y f) y ln 6 [a) 4 7 ln, b) cos, c) e ( ), d) e (cos sin cos ), e) y ( ), f) 4 y R { } ] ( ) 4. Spočítejte derivace funkce f v daném bodě 5 a) f ( ) sin b) 4 ( ) ln f c) f ( ) ln(arctg ) t d) f ( t) e t t 5 [a) f ( ) cos f ( 4 ),b) f ( ) f (),c) f ( ) ( ) f 4, d) f ( t) f () ] t e ( t) e t 4 ( )arctg

61 6 DERIVACE FUNKCE. Spočítejte derivaci funkce (logaritmická derivace) a) y cos c) y sin cos [a) y cos (ln ), b) (sin ) ( sin ln(sin ) y sin ) ] 4. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y f ( ) v bodě T když a) [a) T ( ) t y n [a) y T ( ) b) y arcsin T ( ),b), t : 4 6y, y 4 ( ) 5. Spočítejte. derivaci funkce a) y ln T n 6y ] b) y e (cos sin ), b) y e (sin cos ) ] 4 [a), b), c) ] f, 6 6. Pomocí l Hospitalova pravidla spočítejte limitu sin a) lim b) lim c) lim : 7. Určete absolutní etrémy funkce f na intervalu ( 4 () f ( 4) 4 ] [ ma min 8. Vyšetřete průběh funkce a) f( ) b) e f( ) ( ) e [a) Df ( ) ( ) f( ) pro ( ) ( klesá, pro ) roste, ( ) e f( ) konkávní pro ( ) konvení pro ( ) Asymptota: Pro je y asymptotou. b) Df ( ) ( ) 6 4 arcsin e 5 tg pro f ( ) ( ) ( ) roste, pro f( ) konkávní pro ( ) ( ) Asymptoty: y ] ( ) klesá.

62 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Základní literatura: [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

63 Kapitola 4 Neurčitý integrál Po prostudování kapitoly budete umět: znát primitivní funkce k funkcím stanovit primitivní funkce na základě vlastností neurčitého integrálu použít metodu per partes použít substituční metodu Klíčová slova: Primitivní funkce, neurčitý integrál, metoda per partes, substituční metoda

64 MATEMATICKÁ ANALÝZA 64 Primitivní funkce a neurčitý integrál Definice 4. Nechť f a F jsou funkce definované na otevřeném intervalu I Když funkce F má na intervalu I derivaci takovou, že pro všechna I platí F( ) f ( ) () pak říkáme, že funkce F je primitivní k funkci f na intervalu I Příklad Ukažte, že F( ) ( ) ln( ) je primitivní funkcí k f ( ) ln( ) na intervalu ( ) Řešení Obě funkce F i f jsou na intervalu ( ) definovány. Současně pro všechna z tohoto intervalu platí F( ) ln( ) ln( ) f ( ) To znamená, že F je primitivní funkcí k f Obecně ke každé funkci f nemusí na daném intervalu eistovat funkce primitivní. Platí však následující tvrzení. Věta 4. Ke každé funkci f spojité na intervalu I eistuje na intervalu I funkce primitivní. Z definice primitivní funkce je zřejmé, že když F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I pak také všechny funkce které se od F liší o konstantu, jsou primitivní k f na I Definice 4. Množinu všech primitivních funkcí příslušných na intervalu I k funkci f nazveme neurčitý integrál. Píšeme pak f ( ) d F( ) c Zde f( ) je integrovaná funkce (integrand), d je diferenciál nezávisle proměnné, c je integrační konstanta. Poznámka Integrování a derivace jsou na intervalu, na kterém je lze realizovat, navzájem inverzní operace: [ f ( ) d] [ F( )] f ( ) F( ) d f ( ) d F( )

65 65 NEURČITÝ INTEGRÁL Zapamatujte si, jak vypadají základní vzorce pro integrování některých funkcí. O správnosti vztahů se přesvědčíme tak, že obě strany rovnic derivujeme (viz definice 4. ). Věta 4. Ve všech bodech, kde jsou uvažované funkce definovány, platí n n d c n d ln c n a d a c ln a e d e c cos d sin c sin d cos c cos d tg c sin d cotg c d arctg c d arcsin c d arccotg c d arccos c Příklad Spočítejte následující integrály d d d d d Řešení: Integrovat budeme podle vzorců uvedených ve větě 4.. n d c počítáme jako d pro n d c počítáme jako d pro n počítáme jako pro n d c d n d c počítáme jako a d pro a ln n d d c počítáme jako d pro n

66 MATEMATICKÁ ANALÝZA 66 Základní integrační metody Věta 8. Nechť k je libovolná konstanta a na intervalu I eistují integrály f ( ) d g( ) d Pak f g d k f ( ) d a platí: Integrál součtu funkcí je roven součtu integrálů také eistují ( ) ( ) těchto funkcí. Konstantu lze vytknout před integrál. f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d k f ( ) d k f ( ) d Poznámka Větu lze zobecnit na konečný počet sčítanců. Platí vztah Příklad Spočtěte [k f () + k f () + k n f n ()] d = k f () d + k n f n () d d Řešení ( )( ) d d d d ln c ( ) Metoda per partes Věta.4 (Metoda per partes) Nechť funkce u() a v() mají na intervalu I spojité derivace prvního řádu, pak Příklad Spočítejte integrál ( )cos d Řešení uv d = uv u vd u u ( ) cos d v cos v sin ( )sin sin d ( )sin cos c.

67 67 NEURČITÝ INTEGRÁL Příklad Spočítejte integrál Řešení ln d ln d u ln v' u' v ln d ln 9 c. Poznámka Když máme spočítat P ( ) v( ) d kde P( ) je polynom n -tého stupně, provedeme v metodě per partes v závislosti na tvaru funkce v ( ) volbu takto: n Pokud v( ) e sin cos položíme g( ) P ( ) f ( ) v( ) Pokud v( ) arctg arcsin ln n položíme f ( ) P ( ) g( ) v( ) V případě, kdy integrál součinu polynomu a nějaké funkce řešíme metodou per partes, klademe za nederivovanou funkci polynom za předpokladu, že ke druhému činiteli umíme určit primitivní funkci. Jinak musíme provést volbu opačně. n n n Substituční metoda Věta.5 (Substituční metoda) Nechť funkce t ( ) má na otevřeném intervalu I derivaci a zobrazuje tento interval na interval I funkce y f () t je spojitá na otevřeném intervalu I Když položíme t ( ) bude platit f ( ( )) ( ) d f ( t) dt Příklad Spočítejte cos sin d Řešení cos t t sin d dt cos sin d t dt c cos + c

68 MATEMATICKÁ ANALÝZA 68 Poznámka Větu o substituci lze také aplikovat v opačném sledu () t f ( ) d f ( ( t)) ( t) dt d () t dt d Příklad Spočítejte Řešení d sin t d cost dt dt t c arcsin c cost t arcsin Příklad Spočítejte 7 d ( ) Řešení 7 ( ) d d t dt t t ( t ) t 6 4 ( ) t dt t t t dt 7 5 ( ) ( ) ( ) ( ) c 7 5 Pro úspěšné zvládnutí integrace nestačí pamatovat si jen, že integrujeme buď přímo podle integračních vzorců, nebo použijeme metodu per partes, eventuelně substituční metodu. Užitečné je také vědět, jak postupovat při integraci racionální funkce lomené a jak pro určité typy funkcí zvolit substituci. Ve zbytku kapitoly se proto budeme věnovat těmto otázkám. Integrace racionální funkce lomené Funkci racionální ryze lomenou rozložíme na součet parciálních zlomků a pak jednotlivé sčítance integrujeme zvlášť. Musíme umět spočítat integrály tvaru d (subst. t ) A ( ) k

69 69 NEURČITÝ INTEGRÁL d Zde BC a [( a) b ] l prvního sčítance použijeme subst. t. B B C ( a) ab C d d l l l [( a) b ] ( a a b ) [( a) b ]. Při integraci a a b t. Při integraci druhého sčítance subst. Příklad Spočítejte d Řešení Nejprve v integrované funkci provedeme naznačené dělení ( ) 4 8 d 4 d 4 8ln c 8 Příklad Spočítejte d d Řešení Jmenovatele rozložíme na součin kořenových činitelů a integrovanou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků ( )( ) A B ( )( ) A( ) B( ) Pro je A Pro je B Je tedy d t s d d d d dt d ds ( dt) ( ds) ln t ln s c ln c t s

70 MATEMATICKÁ ANALÝZA 7 Příklad Spočítejte d Řešení Nejprve provedeme rozklad na parciální zlomky Protože A B C A( ) B( ) C( ) A B A B C A C A B C d d d ( ) dostaneme 4 t dt 4d d d d dt t ( ) s ds ln t ln arctg c 4 ( s ) d ds Integrace goniometrických funkcí V integrálech tvaru sin m cos n d nejprve provedeme úpravu pomocí vzorců a pak integrujeme. sin cos y [sin( y) sin( y)] cos cos y [cos( y) cos( y)] sin sin y [cos( y) cos( y)] Příklad Spočítejte cos sin d

71 7 NEURČITÝ INTEGRÁL Řešen: cos sin d (sin sin 4 ) d cos4 c 8 m Integrály typu sin cos n d řešíme tak, že pokud mn jsou celá, m liché, volíme substituci cos t mn jsou celá, n liché, volíme substituci sin t mn jsou sudá a kladná, upravíme integrovanou funkci pomocí vzorců sin cos sin sin ( cos ) cos ( cos ) pokud mn jsou sudá, alespoň jedno záporné, volíme substituci Příklad Spočítejte Řešení cos 4 sin d tg t cos cos ( sin ) sin t t d d dt sin sin cos d dt t dt c c 4 t t t t sin sin Poznámka Víme, že ke každé funkci spojité na intervalu I eistuje primitivní funkce. Doposud jsme tuto funkci získali v konečném tvaru. Některé integrály spojitých funkcí však není možné vyjádřit v konečném tvaru. Tyto integrály představují tzv. vyšší transcendentní funkce. Patří sem např. sin cos e d e d d d d ln sin d cos d Množinu všech primitivních funkcí příslušných k funkci f nazýváme neurčitým integrálem. Při výpočtu neurčitého integrálu používáme základní integrační vzorce

72 MATEMATICKÁ ANALÝZA 7 skutečnost, že konstantu lze vytknout před integrál a že integrál součtu je roven součtu integrálů metodu per partes substituční metodu. [a). Jak je definován neurčitý integrál?. Napište vztahy pro metodu per partes a substituční metodu v neurčitém integrálu.. Jak byste postupovali při integraci funkce racionální lomené? Zopakujte si vzorce pro integraci elementárních funkcí. n 4. Metodou per partes, kde zvolíte u ( ), stanovte rekurentní formuli pro d výpočet integrálu Kn d n ( ) n 5. Metodou per partes, kde zvolíte u sin, stanovte rekurentní formuli pro výpočet integrálu In 6. Spočítejte integrály a) arctg d b) e c) 4 d) 4 e) sin d d d cos 4 d f) sin cos4 d arctg arctg c, b) d) arctg c, e) cos e sin n d c, c) ln ln ln c, cos c, f) cos7 cos( ) c ] Základní literatura: 4 [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

73 Kapitola 5 Určitý integrál Po prostudování kapitoly budete umět: použít metodu per partes a substituční metodu pro výpočet určitého integrálu spočítat plochu křivočarého obrazce Klíčová slova: Určitý integrál, Newton-Leibnizova věta, metoda per partes pro určitý integrál, substituční metoda v určitém integrálu

74 MATEMATICKÁ ANALÝZA 74 Definice Riemannova určitého integrálu Odvození Riemannova určtého integrálu: Předpokládejme, že funkce f je na intervalu omezená. ab Interval ab rozdělíme na subintervaly i i i n Vzniklé dělení intervalu ab budeme značit Číslo D a b n n budeme nazývat normou dělení Dn Dělení intervalu je možné volit různými způsoby. Předpokládejme, že { D n } n ( D ) ma( ) n i i i n je nějaká posloupnost dělení. Řekneme, že posloupnost dělení { D n} je nulová, když pro normy dělení platí lim ( D ) n n Pro dělení Dn a n b dále vybereme body i i i i n Množinu těchto bodů označíme { } a budeme ji nazývat výběrem reprezentantů příslušným k dělení n n Dn Číslo n G( D f ) f ( )( ) n n i i i i které geometricky můžeme interpretovat jako součet ploch obdélníků o stranách délky f ( i ) a i i ( ) nazveme integrálním součtem příslušným k dělení Dn funkci f a výběru reprezentantů n (Viz vyplněná plocha na následujícím obrázku.)

75 75 URČITÝ INTEGRÁL f ( ) y f ( ) f ( 4) f ( ) f ( ) a 4 b Riemannův určitý integrál definujeme jako limitní případ integrálních součtů. Definice 4. (Riemann) Nechť funkce f je omezená na intervalu nulovou posloupnost dělení { D n } n eistuje konečná limita ab Jesliže pro libovolnou lim G( D f ) I () n pak říkáme, že funkce f je riemannovsky integrovatelná na n n ab a klademe b ( R) f ( ) d I (4) a Množinu všech (riemannovsky) integrovatelných funkcí na ab budeme v dalším tetu značit R( ab) Poznámka Definici 9. lze také vyjádřit následovně f R( ab) ( { D } ( D ) ) G( D f ) I n n n b Poznámka Když f( ) na ab pak f ( ) d představuje z geometrického hlediska plochu a rovinného obrazce omezeného křivkou y f ( ) a přímkami = a, = b a osou. (Viz následující obrázek.)

76 MATEMATICKÁ ANALÝZA 76 y f ( ) P b a f d a b Poznámka Každá funkce nemusí být riemannovsky integrovatelná. Riemannovsky integrovatelná není např. Dirichletova funkce pro iracionální ( ) pro racionální Mezi integrovatelné funkce patří např. funkce spojité. Výpočet určitého integrálu Praktický výpočet Riemannova určitého integrálu provádíme na základě následující věty. Věta 4. (Newton-Leibnizova) Nechť f R( ab) funkce F je na ab spojitá a primitivní k f na ( ab ) pak b ( R) f ( ) d F( b) F( a) a

77 77 URČITÝ INTEGRÁL Poznámka Věta umožňuje spočítat Riemannův integrál následovně: Jestliže F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu ( ab ) pak b (R) f() d = [F()] b a a = F(b) F(a). Příklad Spočítejte sin d Řešení cos sin d Věta 4. Množina R( a b) tvoří lineární prostor. Poznámka Věta 4. vyjadřuje skutečnost, že určitý integrál ze součtu dvou funkcí je roven součtu určitých integrálů. Konstantu lze vytknout před určitý integrál. Příklad Spočítejte d Řešení: ( ) d d d d arctg Pokud neumíme primitivní funkci určit přímo, můžeme sáhnout k substituční metodě nebo metodě per partes. Věta 4. (Per partes pro určitý integrál) Když funkce f g jsou na intervalu ab spojitě diferencovatelné, pak b b a a a b f ( ) g( ) d [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) d Příklad Spočítejte e ln d e u ln u e e e Řešení ln d [ ln ] d e [ ] v v

78 MATEMATICKÁ ANALÝZA 78 Věta 4.4 (Substituční metoda pro určitý integrál) Předpokládejme, že () t je funkce monotonní a spojitě diferencovatelná pro všechna t Na intervalu ab kde a ( ) b ( ) je dána funkce f která je zde spojitá. Pak b a f ( ) d f ( ( t)) ( t) dt Příklad Spočítejte e ln d Řešení e ln t ln d dt t d t dt t e t Věta 4.5 Nechť ab ) ) n n ) n n Když pro i n je f R( i i) pak b a n i f ( ) d f ( ) d i i Příklad Využijte geometrického významu a spočítejte plochu rovinného obrazce omezeného křivkami y a. Řešení Nakreslíme obrázek a využijeme toho, že plocha je symetrická podle osy y

79 79 URČITÝ INTEGRÁL d t dt t 8 P d t dt 4 t t t Riemannův určitý integrál je pro nulovou posloupnost dělení definován jako limita integrálních součtů. b Z geometrického hlediska představuje f ( ) d f( ) plochu rovinného obrazce omezeného křivkami y f ( ) a b y Hodnotu určitého integrálu spočteme jako rozdíl hodnot příslušné primitivní funkce v horní a dolní mezi. Při výpočtu některých určitých integrálů se používá substituční metoda nebo metoda per partes. a. Uveďte geometrickou interpretaci definice určitého integrálu.. Které funkce jsou riemannovsky integrovatelné? Uveďte příklad funkce, která riemannovsky integrovatelná není.. Formulujte větu, pomocí které se provádí výpočet Riemannova určiteho integrálu. 4. Čím se při výpočtu odlišuje metoda per partes pro určitý integrál od metody per partes pro neurčitý integrál? 5. Čím se při výpočtu odlišuje substitučí metoda pro určitý integrál od substituční metody pro neurčitý integrál? 6. Jak byste spočítali plochu rovinného obrazce omezeného křivkami y a y sin 7. Spočítejte integrály a) b) c sin d e sin d e d) e) d 5 d ( )( ) d

80 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 [a), b) e c) e 5 ˇc, d) ln arctg, e) ln ] 4 8. Spočítejte plochu rovinného obrazce omezeného křivkami y, y,,. [ ] Základní literatura: [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

81 Kapitola 6 Nevlastní integrál Po prostudování kapitoly budete umět: určovat singulární body integrace vysvětlit pojem integrálu jako funkce horní (dolní) meze vysvětlit pojem nevlastního integrálu vlivem funkce a vlivem meze počítat nevlastní integrály vlivem meze i funkce určovat obsahy neomezených geometrických obrazců Klíčová slova: Integrál jako funkce horní, resp. dolní, meze, nevlastní integrál, singulární body integrace, nevlastní integrál vlivem meze, nevlastní integrál vlivem funkce, konvergence a divergence nevlastního integrálu.

82 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Integrál jako funkce meze V předchozích úvahách, týkajících se integrálů, jsme se omezili pouze na integrály, v nichž integrandem byla omezená funkce a integračním oborem byl omezený a uzavřený interval. V této kapitole se budeme zabývat integrály, jejichž integrand není omezený a integrály, jejichž integrační obor není uzavřený a omezený, tedy nevlastními integrály. K definici nevlastních integrálů potřebujeme zavést pojem integrál jako funkce horní, resp. dolní meze. Předpokládejme, že funkce f je na intervalu a, b integrovatelná podle Riemanna. Určitý b integrál f d je číslo, za předpokladu, že a a b jsou pevné hodnoty. Zůstane-li jedna mez pevná a (konstantní) a druhá mez bude nabývat různých hodnot z intervalu a, b, bude hodnota uvažovaného určitého integrálu funkcí této proměnné meze. Eistence takového integrálu plyne z aditivity určitého integrálu. Proměnnou mez označíme, integrační proměnnou pak jiným písmenem, např. t, aby dvě různé veličiny nebyly označeny stejným písmenem. Je-li proměnná horní mez integrálu, pak dostaneme funkci H() = f t dt a nazýváme ji funkce horní meze integrálu funkce f. a Obrázek 6. Integrál jako funkce horní meze intergrálu funkce f Je-li proměnná dolní mez integrálu, pak dostaneme funkci D() = dolní meze integrálu funkce f. b f t dt a nazýváme ji funkce Přitom proměnná je libovolné, ale určité číslo, které nabývá hodnot z integračního intervalu a, b.

83 8 NEVLASTNÍ INTEGRÁL Nevlastní integrály Určitý integrál b a f d jsme definovali v případě, že integrační interval je omezený a uzavřený a funkce f je na něm omezená. Pokud nejsou tyto předpoklady splněny, pak definice určitého integrálu pomocí integrálních součtů není vhodná a je třeba postupovat jiným způsobem. Příklad Funkce je spojitá na intervalu (,, ale není na něm omezená, protože lim. Nemůžeme tedy hovořit o integrálu I= d ve smyslu definice podle Riemanna. Musíme pojem integrál zobecnit. Uvažujeme-li < α < je funkce I α = d. Potom integrál I lze určit jako limitu integrálu I α pro α +. spojitá i omezená na α,, eistuje tedy integrál Tedy I = lim α + I α. Uvedený integrál d nazýváme nevlastním integrálem vlivem funkce. O nevlastních integrálech hovoříme v případě je-li interval (a, b) neomezený, tj. a = nebo b = + nebo současně a = a b = + nebo není-li funkce f na intervalu (a, b) omezená. Body, v nichž nastávají výše uvedené okolnosti, nazýváme singulární body integrace. Definice 6. Řekneme, že bod c, kde a c b je singulárním bodem integrace funkce f na intervalu (a, b), je-li buď c = nebo c = + nebo není-li funkce f na okolí bodu c omezená. Příklady singulárních bodů integrace: c f d singulárním bodem integrace je dolní mez mínus nekonečno; integrační obor není omezený f d singulárním bodem integrace je horní mez mínus nekonečno; integrační obor není omezený

84 MATEMATICKÁ ANALÝZA 84 d singulárním bodem integrace je ; funkce není na okolí bodu omezená Budeme předpokládat, že těchto singulárních bodů je konečný počet a že funkce f je na každém uzavřeném intervalu neobsahujícím singulární body integrovatelná. Rozlišujeme: nevlastní integrály vlivem meze nevlastní integrály vlivem funkce Nevlastní integrály vlivem meze Je to integrál na neomezeném intervalu, tedy integrační meze jsou nevlastní čísla. Obr. 6. a f() d Obr. 6. b f() d Obr. 6. f() d

85 85 NEVLASTNÍ INTEGRÁL Definice 6. Nechť je funkce f definovaná na intervalu a, + ) a nechť pro každé t > a eistuje integrál t f d. Potom řekneme, že nevlastní integrál f a eistuje vlastní limita f d lim f d. a t t a t d konverguje (eistuje), právě když a lim f d (). Eistuje-li nevlastní integrál, pak jej definujeme vztahem t a Jestliže limita () je nevlastní nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Podrobněji: Je-li limita () rovna plus nekonečnu, resp. mínus nekonečnu říkáme, že nevlastní integrál diverguje k plus nekonečnu, resp. k mínus nekonečnu. Jestliže limita () neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál neeistuje. Analogicky definujeme nevlastní integrál b f d. Definice 6. Nechť je funkce f definovaná na intervalu (, b a nechť pro každé t < b eistuje integrál b vlastní limita b f d. Potom řekneme, že nevlastní integrál f t b lim t t f f d lim f d. b t t b d konverguje, právě když eistuje d (). Eistuje-li nevlastní integrál, pak jej definujeme vztahem Jestliže limita () je nevlastní nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Definice 6.4 Nechť je funkce f definovaná na intervalu (, + ) a nechť konvergují nevlastní integrály () c f d a () f d, cr. Pak říkáme, že nevlastní integrál f a definujeme jej vztahem c f d = f d + f c d. c d konverguje Diverguje-li aspoň jeden z integrálů () a (), pak integrál f d diverguje. Poznámka Pomocí aditivity integrálu se dá snadno dokázat, že eistence i hodnota integrálu

86 MATEMATICKÁ ANALÝZA 86 f d nezávisí na volbě bodu c R. Výpočet dle Leibniz Newtonovy formule Známe-li primitivní funkci F integrandu na uzavřeném intervalu neobsahujícím singulární body, můžeme nevlastní integrály počítat následujícím způsobem. a t lim lim f d f d F t a t F t F a lim F t F a lim t t t a b b lim lim f d f d F t t F b lim F t t t b t c f d f d f d = c = lim lim a a f d f d = b b c = lim [F(c) F(a)] + lim [F(b) F(c)]= a b + = lim F b lim F a b a c Příklad Vypočítejme nevlastní integrály vlivem meze. a) d b) 4 + d

87 87 NEVLASTNÍ INTEGRÁL Řešení a) Funkce je na intervalu, t, t >, spojitá, tedy eistuje integrál t d = [ ] = t +. d = lim t = + = Daný integrál konverguje a jeho hodnota je. t t d = lim [ t t ] = lim ( + ) = lim t t ( t t ) + lim = t b) Funkce je na intervalu t,, t < spojitá, eistuje integrál 4+ t 4 + d = lim t 4 + t d = lim [ t arctg ] = t 4+ d. = lim t [ (arctg arctg t )] = lim t ( arctg t ) = = ( lim t lim t arctg t ) = [ ( π )] = π 4 Daný integrál konverguje; 4+ d = π 4. Příklad Vyšetřete eistenci integrálu I = d +. Řešení Integrál má singulární body integrace, proto zvolíme bod c (, ), např. c = a rozdělíme integrál na integrály I = jeden singulární bod integrace. d + a I = d +, přičemž každý z nich má již jen Vypočteme např. I. I = + d = lim t t t d = lim + [ t ln( + = )] = lim(ln( + t t ) ln ) = ( ) =

88 MATEMATICKÁ ANALÝZA 88 Integrál I diverguje, integrál I již nemusíme počítat, protože podle definice 6.4 integrál I diverguje. Nevlastní integrály vlivem funkce Integrandem je funkce, která není omezená na intervalu (a, b). Obrázek 6.Funkce f není omezená na pravém okolí bodu a Obr. 6.Funkce f není omezená na levém okolí bodu b Obrázek 6. Funkce f není omezená na okolí bodu c Definice 6.5 Nechť funkce f je definovaná na omezeném intervalu a, b) a není omezená na žádném levém okolí bodu b, přičemž pro každé t a, b) eistuje integrál d. Potom říkáme, že nevlastní integrál b t a f f d konverguje (eistuje), právě když eistuje vlastní limita lim a Eistuje-li nevlastní integrál, pak jej definujeme vztahem b f d = lim a t f d tb. a t f d tb (). a Jestliže limita () je nevlastní nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.

89 89 NEVLASTNÍ INTEGRÁL Analogicky definujeme: Definice 6.6 Nechť funkce f je definovaná na omezeném intervalu (a, b a není omezená na žádném pravém okolí bodu a a nechť pro každé t (a, b eistuje integrál d. Potom říkáme, že nevlastní integrál b b t f f d konverguje (eistuje), právě když eistuje vlastní limita lim f a Eistuje-li nevlastní integrál pak jej definujeme vztahem b f d = lim f a b d ta. t b d ta (). t Jestliže limita () je nevlastní nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Definice 6. 7 Nechť funkce f není omezená na žádném okolí bodu c, c (a, b) a nechť konvergují nevlastní integrály () d konverguje a definujeme jej vztahem c f d a () f d. Pak říkáme, že nevlastní integrál f a b b c f d = f d + f a c a b d. c b a Diverguje-li aspoň jeden z integrálů () a (), pak integrál b a f d diverguje. Výpočet dle Leibniz Newtonovy formule b f d = lim f d lim F a t tb tb a t a F t F a lim F t F a lim b tb tb f d = lim f d lim F a b ta ta t F b F t F b lim F t lim ta ta b t

90 MATEMATICKÁ ANALÝZA 9 b f d = f d + f a t c a = lim lim tc uc a u b b d = f d f d = = c F t F a F b F u F t F u F b F a lim lim lim lim tc uc tc uc Předpokládáme, že F je primitivní funkce integrandu na uzavřeném intervalu neobsahujícím singulární body. Příklad Vypočtěte nevlastní integrály vlivem funkce. a) d e b) ln d Řešení a) Definiční obor funkce je R {}. Funkce není omezená na pravém okolí bodu nula, protože lim = +. Bod je singulární bod integrace. Funkce je na intervalu t,, + Eistuje integrál d = [ ] = +. t t t d = lim t + = Integrál d diverguje. t d = lim [ t + ] = lim t t + t >, spojitá. ( + t + t ) = lim t +( ) + lim t = + =

91 9 NEVLASTNÍ INTEGRÁL b) Definiční obor funkce ln lim = +. Na intervalu t,, t >, je funkce + ln e ln ln = u d = du = u du = =. u ln e ln d = + = Nevlastní integrál e = lim t + e je R {}. Funkce není omezená na pravém okolí bodu, protože ln d spojitá, eistuje integrál ln = = lim [ t + ln ] e = lim ( t t + ln + ln t ) = + lim t + ln t = e d konverguje a jeho hodnota je. ln Příklad Vypočtěte nevlastní integrál I = d, pokud konverguje. Řešení Definiční obor D(f): (, ). Body a D(f) a funkce není omezená na pravém okolí bodu a na levém okolí bodu. lim = + a také lim = + t + Integrand je na intervalu (, ) spojitá funkce a má primitivní funkci arcsin. Integrál I má tedy dva singulární body integrace a. Pomocí bodu c (, ) rozdělíme integrál I na dva integrály I a I ; položíme c =. I = d, I = d I = d = lim d t + = lim t +( arcsin t) = ( π ) = π I = d = lim t t t = lim t +[arcsin ] t = lim t +(arcsin arcsin t) = d = lim [arcsin ] t t = lim (arcsin t arcsin ) = t = π = π

92 MATEMATICKÁ ANALÝZA 9 Oba integrály I a I konvergují, tedy integrál I také konverguje a jeho hodnota I = I + I = = π + π = π Geometrická interpretace nevlastních integrálů Je-li f spojitá a nezáporná funkce, můžeme nevlastní integrál, pokud konverguje, považovat za obsah příslušného neomezeného geometrického obrazce M. Obrázek 6.4 M = {[, y] R, (a, b), y f()}

93 9 NEVLASTNÍ INTEGRÁL Příklad Vypočítejte obsah P části roviny ohraničené osou a grafem funkce f() = 5 +. Řešení Nejprve sestrojíme graf funkce f. Obrázek 6.5 Graf funkce f() = 5 + P = 5 + d Integrál má dva singulární body integrace: + a. Je to nevlastní integrál vlivem meze. Rozdělíme jej na dva integrály I a I, zvolíme bod c =. t I = 5 d = lim + 5 d = lim t + [5 arctg ] t = t = lim t (5arctg 5arctg t) = 5 ( π ) = 5 π t I = 5 d = lim + 5 d = lim t + [5 arctg ] t t = = lim t (5 arctg t 5 arctg ) = 5 π = 5 π P = I + I = 5π Obsah neomezeného obrazce je konečný a je P = 5π(j ).

94 MATEMATICKÁ ANALÝZA 94 Příklad Vypočítejte obsahy P a P části roviny ležící v I. kvadrantu ohraničené křivkou y = a přímkou =. Řešení Sestrojíme graf funkce y =. Obrázek 6.6 Graf funkce a přímky = Přímka = rozdělí uvažovanou část roviny na dvě části. Označme P = d = lim a P = d = lim t + t t t d = lim [ ] t + t = lim ( t) = ( ) = t + d = lim t [ ] t = lim t ( t ) = ( ) = Obrazec P má konečný obsah (j ), naproti tomu obrazec P má nekonečný obsah. Poznámka Obecnější případ, kdy singulárních bodů uvnitř intervalu (a,b) je více nebo jsou to krajní body intervalu. Nechť body c, c, c,,cn, kde a=cc.cn=b jsou singulární body integrace funkce f a nechť každý z integrálů Potom n ci b ci ci f d, i=,,, n obsahuje jen jeden singulární bod. f d konverguje, konvergují-li všechny integrály. V tom případě definujeme f a d. Jestliže některý z integrálů diverguje, říkáme, že f d diverguje. = f i ci b a b a d

95 95 NEVLASTNÍ INTEGRÁL Poznámka Konvergentní nevlastní integrály mají tytéž základní vlastnosti jako vlastní integrály. Platí pro ně věta o linearitě, věta o monotonii a věta o aditivitě. S Riemannovým (určitým) integrálem, tj. integrálem, jehož integrační obor i integrand jsou omezené, v aplikacích nevystačíme. Řada fyzikálních, technických i matematických problémů vyžaduje integrál, jehož integrand nebo integrační obor jsou neomezené. Takové integrály nazýváme nevlastní a definujeme je jako limity určitých integrálů s proměnnou mezí. Eistuje-li příslušná vlastní limita, pak nevlastní integrál konverguje, jinak diverguje.. Co rozumíme pojmem integrál jako funkce horní, resp. dolní meze?. Vysvětlete, které body nazýváme singulárními body integrace.. Jak jsou definovány nevlastní integrály? 4. Kdy mluvíme o nevlastním integrálu vlivem funkce? 5. Kdy mluvíme o nevlastním integrálu vlivem meze? 6. Jaký je geometrický význam nevlastních integrálů? 7. Vypočítejte nevlastní integrály. d a) [konverguje; ] ( ) 4 d b) [konverguje; ] 4 c) d 5 d d) 5 d e) [diverguje; + ] [diverguje; + ] [konverguje; e] 8. Vyšetřete konvergenci nevlastního integrálu. 4 d ( ) a) [diverguje] b) 4 d [diverguje]

96 MATEMATICKÁ ANALÝZA Vypočítejte obsah P části roviny ležící v I. kvadrantu ohraničené křivkou y = e a přímkou y =. [P=(j )]. Vypočítejte obsah P části roviny ohraničené čarami. a) =, y = osou. [P= (j )] b) y = e, =, y = [P=(j )] c) =, y =, y = [Obrazec nemá konečný obsah] d) =, =, y =, y = [P=π (j )] Základní literatura: [] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, stran. ISBN (skripta) [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,. 459 stran. ISBN [] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT,. 4 stran. ISBN (skripta)

97 Kapitola 7 Diferenciální počet funkce více proměnných Po prostudování kapitoly budete umět: definovat dvojrozměrný a trojrozměrný prostor a uvést jeho geometrickou interpretaci načrtnout okolí a redukované okolí bodu v rovině definovat funkci dvou proměnných určovat definiční obory, případně obory hodnot a grafy chápat dvojnou a dvojnásobnou limitu funkce určovat limity Klíčová slova: Dvojrozměrný a trojrozměrný prostor, okolí bodu v rovině, dvojná limita, dvojnásobná limita, spojitost funkce.

98 MATEMATICKÁ ANALÝZA 98 Základní pojmy V diferenciálním počtu funkce jedné proměnné byla základní množinou množina všech reálných čísel, tzn. jednorozměrný euklidovský prostor, jehož geometrickou interpretací byla množina R všech bodů reálné přímky. Pro funkce více proměnných je třeba zavézt další základní množiny, a to především dvojrozměrný euklidovský prostor R, jehož geometrickou interpretací je rovina a trojrozměrný euklidovský prostor R, jehož geometrickou interpretací je prostor. Množinu všech uspořádaných dvojic y, reálných čísel a y nazveme rovinou, označíme ji (dvojrozměrný euklidovský prostor). Každou uspořádanou dvojici y, nazveme bodem v rovině, čísla a y jsou souřadnice tohoto bodu. Dva body y, a, považujeme za stejné (totožné), právě když je, y a píšeme y,,. Vzdálenost dvou bodů A = [, ] a B = [y, y ] budeme měřit euklidovsky, tj. při označení vzdálenosti AB, bude A, B y y Rovina R = {[, y]; R, y R}; R = R R Podobně: Množinu všech uspořádaných trojic, y, z reálných čísel, y a z nazveme prostorem, označíme jej R (trojrozměrný euklidovský prostor). Každou uspořádanou trojici bodem v prostoru, čísla, y a z jsou souřadnice tohoto bodu., y, z,,. Vzdálenost bodů A,, a B y, y, y, z je dána vztahem R, y, z nazveme, y A, B y y y y Prostor R = {[, y, z]; R, y R, z R}; R = R R R Definice 7. Buď kladné číslo. δ-ovým okolím bodu X, y X, y, pro jejich souřadnice platí y y U X = U, y = X R : X, X U = U, y = X R : X, X X <. δ- okolí bodu X i i i rozumíme množinu všech bodů redukované δ -okolí bodu X.

99 99 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Grafické znázornění: Obrázek 7. Grafické znázornění U δ (X ) Okolí U δ (X ) je vnitřek kruhu (otevřený kruh) se středem v bodě X a poloměrem. Jak se liší U δ (X ) au δ (X )? Vyjmeme-li z U X bod X, obdržímeu δ (X ). Pojem funkce dvou proměnných Definice 7. Reálná funkce dvou reálných proměnných je zobrazení množiny R (jinak zobrazení z R do R ). (Dále jen funkce dvou proměnných.) D R do množiny Podrobněji Buď D libovolná množina bodů v R (tj. v rovině). Nechť ke každému bodu, y D je přiřazeno jediné číslo z R. Pak říkáme, že na D je definována funkce dvou proměnných a y a píšeme z f, y, kde y, jsou nezávislé proměnné, z je závisle proměnná. Množina D se nazývá definiční obor funkce f značíme D f, množina všech hodnot z se nazývá obor funkčních hodnot funkce f, značíme H f. Příklad. f, y sin. z = arctg y e y y

100 MATEMATICKÁ ANALÝZA. ObjemV rotačního válce o výšce v a poloměru r je V r v. Tedy V je funkcí r a v ; V V r, v, r, v D V r, v R ; r, v. tedy ; Poznámka Stejně jako funkce jedné proměnné je funkce dvou proměnných určena svým přepisem a definičním oborem. Je-li funkce určena pouze rovnicí z f, y těch bodů, pro které má výraz f,, je nutné najít její definiční obor tj. množinu všech y smysl. Definičním oborem, na rozdíl od funkce jedné proměnné, jsou velmi různorodé množiny např. vnitřek paraboly, mezikruží, I. kvadrant apod. Obrázek 7. Příklady definičních oborů Definice 7. Grafem funkce f (též plochou o rovnici z = f(, y)) nazýváme množinu všech bodů[, y, f (, y) z G f. ] R, kde[, y] D(f), reálného prostoru R. Značíme jej Tedy G f, y, z R ;, y D f, z f, y.

101 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Příklad Určete D f, H f a graf funkce f, y 4 y Řešení D(f): 4 y + y 4. D(f) = {(, y) R, + y 4}. Definičním oborem je kruh se středem v počátku souřadnic a poloměrem v rovině R. Graf: z = f (, y, z) z 4 y 4 y /umocníme y z 4 je rovnice kulové plochy se středem v počátku souřadnic a poloměrem Grafem G(f) je horní polovina kulové plochy se středem v počátku souřadnic a poloměrem v prostoru R. Obor hodnot H(f) je uzavřený interval, na ose z. Obrázek 7.4 D(f) a G(f) funkce z = 4 y Uvědom si! D f R, H f R, G f R. Geometrickým modelem grafu je často souvislá plocha v prostoru, může to být i křivka. Kolmý průmět geometrického modelu G f do roviny y je geometrický model D f s osou z protne G f nejvýše v jednom bodě.. Každá rovnoběžka Geometrický model grafu můžeme vyšetřovat pomocí jeho řezů rovinami rovnoběžnými s rovinami souřadnic. Pravoúhlý průmět řezu rovinou rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou y do roviny y nazýváme vrstevnice.

102 MATEMATICKÁ ANALÝZA Poznámka Pojmy jako jsou omezenost, maimum a minimum se definují právě tak, jako pro funkci jedné proměnné. Operace s funkcemi více proměnných se provádí právě tak, jako tomu bylo v případě funkcí jedné proměnné. Lze tvořit i funkce složené. Limita Definice 7.4 Buď f funkce definovaná na množině D a buď y hromadný bod D. Funkce f má v bodě f y L, jestliže ke každému,, y limitu L, píšeme lim f, y L nebo lim,, y, y eistuje U δ (, y ) tak, že nerovnost, [, y] D U δ (, y ). y y f y L platí pro všechny body Stručný zápis limity: lim f(, y) = L ε > U σ (, y ): [, y] D U σ (, y ) f(, y) L < ε y y Poznámka Bod, y R je hromadným bodem množiny D, když v každém jeho -okolí leží aspoň jeden bod množiny různý od bodu,. Samotný bod, y do množiny D může, ale nemusí patřit. D y Vlastnosti limity Pro limity funkcí dvou proměnných platí analogické věty jak pro limitu funkcí jedné proměnné. Zejména platí:. Má-li funkce v bodě, y limitu, pak je jediná. f. Platí věty o limitě, součtu, součinu a podílu dvou funkcí, za předpokladu, že v daném bodě eistuje limita každé funkce a v případě podílu je limita funkce ve jmenovateli různá od nuly.. Někdy se hovoří o limitě funkce z f, y v bodě, y jako o dvojné limitě.

103 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Stejně jako u funkce jedné proměnné i limita funkce dvou proměnných vypovídá, jak se chová funkce v redukovaném okolí bodu. Je zde však složitější situace. U funkce jedné proměnné, jsme se z bodu v okolí mohli blížit k bodu, v němž jsme limitu určovali, pouze po přímce. U funkce dvou proměnných máme nekonečně mnoho možností, jak se z bodu [, y] δ (, y ) blížit k bodu, y. Můžeme se blížit například. po přímkách. po parabolách. zcela libovolně Obrázek 7.5 Nechť P = [, y] U δ (P ), kde P, y je bod, v němž určujeme limitu funkce f. Probíhá-li limitní proces tak, že souřadnice bodu P jsou vázány rovnicí y ( ), pak, y, y vypočteme po dosazení ( ) za y jako limitu funkce jedné proměnné pro. Rovnice y ( ) vyjadřuje zpravidla jednoparametrický systém křivek, jež je možno prokládat body a P. Je-li vypočtená hodnota lim f, y závislá na parametru systému křivek, pak limita v bodě lim f, y P P neeistuje. Není-li závislá na parametru, pak limita může eistovat. Je-li tato hodnota pro různé cesty y ( ) stejná, pak lze pouze říci, že limita může (ale nemusí) eistovat. Najdeme-li jen dvě různé cesty vedoucí k různým hodnotám neeistuje. Příklad Vyšetřete eistenci limity funkce f(, y) = Řešení Po dosazení za a y obdržíme y +y 5 y lim + y 5 = ( ). y, y, y v bodě [, ]., y, y lim f, y, pak limita

104 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Budeme se k bodu [, ] blížit po přímkách. Přímky budou mít rovnici y = k( ) y = k k + lim y y=k k+ y + y 5 = lim k k + + k k + 5 = lim k( ) ( + k) (k + ) = k( ) = lim ( )( + k) = lim Vypočítaná hodnota závisí na k, proto daná limita neeistuje. k + k = k ; k + k Dvojnásobná limita Někdy se tato limita nazývá také postupná nebo opakovaná limita. Bod P U δ (P ) se může přibližovat k bodu po přímkách rovnoběžných s osami. P, y dvojím způsobem po pravoúhlé cestě, tj. V případě dvojnásobné limity se bod P U δ (P ) přibližuje k bodu P po pravoúhlých cestách, tj. po přímkách rovnoběžných s osami a y. A to je možné dvojím způsobem, viz obr. 7.6 Obr. 7.6 Bod P se blíží k bodu P po pravoúhlých cestách Pak můžeme spočítat dvojnásobnou limitu funkce f postupným limitním přechodem vždy funkce jedné proměnné, přičemž druhou proměnnou považujeme za konstantu.

105 5 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Zápis: lim lim f, y L, lim lim f, y L yy yy Věta 7. Nechť lim y y f(, y) = L E eistují-li dvojnásobné limity L a L, pak platí L = L = L. Rovnost obou postupných limit je nutnou, nikoliv však postačující podmínkou pro eistenci dvojné limity. Tzn., že je-li L L, pak L může eistovat, je-li L L, pak L neeistuje. Příklad Vyšetřete eistenci limity. y a) lim +y y y b) lim y y y y +( y) Řešení a) Užijeme dvojnásobnou limitu. lim [lim y y Protože L L lim +y neeistuje. y y b) Opět spočteme dvojnásobnou limitu. y + y ] = lim = lim = = L lim [lim y y + y ] = lim ( y y y ) = lim( ) = = L y lim [lim y y y + ( y) ] = lim = lim = = L lim [lim y y y + ( y) ] = lim y y = lim = = L y Limita může eistovat, protože L = L. Zkusíme se blížit k bodu [, ] po přímkách y = k. lim y y=k y y + ( y) = lim k 4 k 4 + ( k) = lim k 4 [k + ( k) ] = lim k 4 k + ( k) = ( k) ; k

106 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Ale je-li k =, pak rovnice přímky je y = a lim = lim =. y 4 +( ) y Vypočítaná hodnota dvojné limity je pro k = různá od i od L a L, tedy lim y y y +( y) neeistuje. Výpočet limit funkce dvou proměnných je složitější než výpočet limity funkce jedné proměnné. Proto nejdříve zjišťujeme, zda limita může eistovat. Tedy pomocí dvojnásobné limity a blížení se po různých cestách vyloučíme případy, kdy limita neeistuje. Pokud nevyloučíme eistenci limity, snažíme se ji vypočítat. 4 Výpočet limity Výpočet limity funkce více proměnných je často obtížnější než výpočet limity funkce jedné proměnné. Navíc k počítání neurčitých výrazů ( ) nebo ( ) nemáme k dispozici žádnou analogii l Hospitalova pravidla. Pří výpočtu používáme různé úpravy předpisu funkce, obdobně jako pří výpočtu limit funkce jedné proměnné - užíváme vzorce, rozkládáme, rozšiřujeme atd. a nově počítáme limity zavedením polárních souřadnic. Užíváme také obdobu vzorců základních limit funkce jedné proměnné Postup při výpočtu limity lim y y f(, y): Přímým dosazením, je-li spojitá v bodě, y. Úpravou: a. Jde-li o racionální lomenou funkci rozložíme, krátíme apod. b. Jde-li o lomené funkce obsahující rozdíl eventuálně součet s odmocninami rozšíříme vhodným výrazem, krátíme atd. Převedeme dvojnou limitu na limitu funkce jedné proměnné užitím polárních souřadnic: Je-li, y,, pak užijeme rovnice cos, y sin ; když, y, pak. Pokud, y,, pak mají rovnice tvar cos, y y sin ; když a y y, pak. f

107 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Užitím základních limit: y y g y, lim, g y yy sin g, y lim g, y e g y tg g, y lim, jestliže lim, g, y yy y y Příklad Vypočtěte limity a) lim y ( y + 5) sin(6 d) lim +6y ) ( +y ) y b) lim y 4 y 4 y e) lim y 5 y +y ( +y ) c) lim +y + 4 y Řešení a) lim ( y + 5) = ( ). + 5 = 4 y V tomto případě šlo přímo dosadit a limita je rovna funkční hodnotě v bodě [,], což svědčí o tom, že daná funkce je v tomto bodě spojitá. c) lim y y b) lim 4 y 4 = ( ) = lim ( y)( + y + y ) ( + y )( y)( + y) y = lim y ( +y ) +y + 4 = ( ) = lim y =. 4 = y + y + y ( + y )( + y) = = 8 ( +y )( +y ) +y = lim ( +y ) y

108 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 sin(6 + 6y ) d) lim ( + y ) y = ( ) = lim. sin(6 + 6y ) 6 + 6y =. = y 5 y e) lim + y = ( ) = lim 5ρ cos φ ρ sin φ ρ ρ cosφ + ρ sinφ = lim ρ (5cos φ sin φ) = ρ ρ(cosφ + sinφ) y = lim ρ [ρ. k (φ)] =. k(φ) = Výraz 5cos φ sin φ cosφ+sinφ je vzhledem k ρ konstanta závislá jen na φ, oznnačili jsme ji k(φ). Spojitost funkce dvou proměnných Definice 7.5 Nechť bod [, y ] D(f) a je hromadným bodem D(f). Říkáme, že funkce y je spojitá v bodě,, je-li lim f, y f, y. y y f Řekneme, že funkce f je spojitá na množině M, je-li spojitá v každém bodě množiny M. Množinu všech bodů, v nichž je funkce spojitá, nazveme oborem spojitosti funkce f. Poznámka Na rozdíl od limity bod, musí patřit do D f. V izolovaném bodě D(f) je funkce spojitá. y Platí analogické věty jako pro spojitost funkce jedné proměnné:. Věty o operacích se spojitými funkcemi: součet, rozdíl, součin, podíl (v případě, že je definován) spojitých funkcí a absolutní hodnota spojité funkce je opět funkce spojitá.. Funkce složená ze spojitých funkcí je spojitá. R. Elementární funkce v jsou spojité ve všech bodech svého D f. 4. Je-li f spojitá v bodě, potom je v dostatečně malém okolí tohoto bodu omezená. 5. Funkce spojitá na kompaktní (tj. na uzavřené a omezené) množině a) je na této množině omezená, b) má v ní nejmenší a největší hodnotu (nabývá na ní svého globálního maima a globálního minima),

109 9 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH c) je-li navíc tato množina souvislá, nabývá funkce každé hodnoty mezi a pro libovolné dva body A a B z této množiny. Poznámka U elementárních funkcí se shoduje D f s oborem spojitosti. Příklad Vyšetřete spojitost funkce. Řešení a) f(, y) = + y b) f(, y) = + y + y ( ) + (y + ) c) f(, y) = y d) f(, y) = + y 4 Všechny funkce jsou elementární, jsou tedy spojité na svém definičním oboru. Budeme tedy určovat jejich D(f). a) D(f): + y y Obor spojitosti je rovina R, z níž je vyňata přímka o rovnici y =, jejíž všechny body jsou body nespojitosti. Obor spojitosti: R {[, y] R ; y = }. b) D(f): ( ) + (y + ) y Obor spojitosti je rovina R, z níž je vyňat bod [, ], který je jediným bodem nespojitosti. Obor spojitosti: R {, }. c) D(f): y y ± Body nespojitosti jsou všechny body přímky y = a y =. Obor spojitosti je rovina R s výjimkou přímek y = a y =, tj. R {[, y] R ; y = y = }. d) D(f): + y 4 + y 4 f A f B

110 MATEMATICKÁ ANALÝZA Všechny body kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem jsou body nespojitosti. Obor spojitosti je rovina R s výjimkou všech bodů kružnice, které má střed v počátku soustavy souřadnic a poloměr. Obor spojitosti: R {[, y] R ; + y = 4} S funkcemi se setkáváme v technických, přírodních, ekonomických a jiných vědách, ba i v běžném životě. Je to všude tam, kde se zkoumají hodnoty dvou a více veličin, které se obecně mění a jsou za daných podmínek vázány jistým vztahem. V prai bývá častější závislost jedné veličiny na větším počtu jiných veličin, což vede k pojmu funkce více proměnných. I když ve většině uvedených definic a vět shledáváme jistou analogii s definicemi a větami platnými pro funkci jedné proměnné, některé problémy jsou nové a definice a věty je nutné pro případ funkcí více proměnných znovu řádně formulovat. Pří výkladu teorie funkce více proměnných jsme se soustředili především na funkci dvou a tří proměnných. Důvodem je větší názornost a možnost vizualizace, což jistě přispěje k lepšímu pochopení studované problematiky. Zobecněním úvah na větší počet nezávisle proměnných je pak snadné a je více méně formální.. Vysvětlete pojem funkce dvou a více proměnných.. Graficky znázorněte okolí bodu [, y ].. Načrtněte možný definiční obor funkce dvou proměnných. 4. Co může být grafem funkce dvou proměnných? 5. Jaký je rozdíl mezi dvojnásobnou a dvojnou limitou? 6. Kdy je funkce z = f(, y) spojitá v bodě [, y ]? 7. Formulujte některé vlastnosti spojité funkce. 8. Je dána funkce f(, y) = e y + y + y. Určete f(, ); f(, ); f (a, ), f(a, a). a 9. Je dána funkce f(, y) = f(a, b) + f(b, a) =. y [e +,, e + a a +, e a a ]. Ukažte, že pro každý bod [a, b] z D(f) platí rovnost

111 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH. Určete D(f), H(f)a G(f) funkce z = 4 8y. [D(f) = R ; H(f) = R; G(f)je rovina]. Určete definiční obor a obor hodnot funkce. a) z = y D(f), H(f) =, ) [ ] b) f(, y) = ( + y 4) D(f), H(f) = (O, ) [ ]. Určete definiční obor funkce. a) f(, y) = arcsin y + ln(4 y ) D(f) [ ]

112 MATEMATICKÁ ANALÝZA b) f(, y) = y +y 4 Df [ ] c) f(, y) = y D(f) d) f(, y) = + y [ ] D(f) [ ]

113 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH e) f(, y) = + y D(f) [ ] f) f(, y) = ln (y) y D(f) [ ] g) f(, y) = y D(f) [ ]

114 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 h) f(, y) = ln y D(f) ch) f (, y) = y [ ] D(f) [ ] i) f(, y) = ln ( + y 9) D(f) [ ]

115 5 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH. Pomocí dvojnásobné limity dokažte neeistenci limity. a) lim [L +y =, L =, L neeistuje ] y y b) lim sin π +y y c)lim y 4 y +5(y ) y [L =, L =, L neeistuje ] [L = L =, eistenci nelze vyloučit] 4. Vypočtěte limity 4 a) lim y +y y [ 4 ] b) lim [ ] 4 ( 4) y 6 y tg ( 4) y sin( y) c) lim 8y y tg (y) d) lim y y [ 4 ] [] 5. Určete obory spojitosti dané funkce a napište na jaké křivce leží její body nespojitosti. a) f(, y) = +y [ R {[, y] R ; y = + }; křivka je parabola. ]

116 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 b) f(, y) = ey 9 y [ R {[, y] R ; + y = 9}; křivka je kružnice. ] c)f(, y) = 4 y 5[(+) +(y 4) ] [R {, 4}; jediný bod nespojitosti [, 4]] d)f(, y) = ln ( y) obor spojitosti množina bodů nespojitosti [ ] Obor spojitosti je polorovina v R vyťatá přímkou y = obsahující bod [, ], bez hraniční přímky. Body nespojitosti vyplňují polorovinu vyťatou přímkou y = obsahující bod [, ], včetně hraniční přímky.

117 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Základní literatura: [] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, stran. ISBN (skripta) [] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, stran. ISBN [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,. 459 stran. ISBN [4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (). Ekopress Praha, stran. ISBN [5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT,. 4 stran. ISBN (skripta) [6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 5. 4 stran. ISBN (skripta).

118 Kapitola 8 Parciální derivace a totální diferenciál Po prostudování kapitoly budete umět: definovat parciální derivace funkce vysvětlit pojem parciálních derivací vyšších řádů uvést geometrickou interpretaci parciálních derivací. řádu počítat parciální derivace objasnit pojem totálního diferenciálu uvést geometrickou interpretaci totálního diferenciálu určovat totální diferenciály určovat přibližně hodnoty výrazů napsat rovnici tečné roviny a normály Klíčová slova: Parciální derivace, parciální derivace vyšších řádů, smíšené parciální derivace, totální diferenciál, tečná rovina, normála.

119 9 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL Parciální derivace Definice 8. Buď, vnitřní bod definičního oboru D f funkce z = f (, y). Dosaďme do funkce f, y za y pevnou hodnotu y, tím dostaneme funkci jedné proměnné a to g f, y. Má-li funkce g derivaci v bodě, to znamená, že eistuje limita říkáme, že funkce má v bodě, y parciální de- f rivaci podle proměnné a označíme ji, y, resp. f, y. Podobně se může stát, že funkce f, y (tj. funkce proměnné y ) má derivaci v bodě y, tj. že eistuje limita y,, g g f y f y lim lim lim yy,, f y f y. Tuto limitu nazýváme parciální derivací funkce f podle f proměnné y v bodě, y a označíme ji, y resp. f y, y. y y y f Geometrický význam parciálních derivací Obrázek 8.

120 MATEMATICKÁ ANALÝZA f, y tg - je směrnice tečny v bodě [, y, f(, y )] ke křivce na ploše z f, y, přičemž křivka je řezem roviny y y a plochy z f, y. f Podobně, y tg. y Úhly a hledáme tak, že najdeme úhel mezi příslušnou tečnou a kladným směrem příslušné osy. Rozdíl oproti funkce jedné proměnné! Eistence parciálních derivací v bodě nezajistí spojitost funkce v tomto bodě. Srovnej s funkcí jedné proměnné! Parciální derivace totiž popisují chování dané funkce pouze ve směrech souřadných os, kdežto pojem spojitosti funkce se týká celého okolí daného bodu. Parciální derivace na množině Podobně jako u funkce jedné proměnné rozšiřujeme pojem parciální derivace v bodě na pojem parciální derivace na množině. Definice 8. Nechť funkce f je definována na množině D f R a nechť M je množina všech bodů, y D f, v nichž eistuje (vlastní) parciální derivace f (, y). Funkci g definovanou na množině M předpisem g(, y) = f (, y) nazýváme parciální derivací funkce f podle pro- f měnné na množině M a značíme ji f, resp.. f Obdobně definujeme funkci f y, resp.. y Poznámky Zřejmě M D f. Počítáme-li parciální derivace funkce f v libovolném bodě [, y] D(f), pak píšeme stručně f a f, resp. f y a f y. Parciální derivace f f, resp. uvažovaná ve všech bodech, y D f, v nichž nabývá y vlastní hodnoty je funkcí dvou proměnných a y s definičním oborem D(f ) D(f), resp. D(f y ) D(f). Parciální derivace funkce f na množině jsou funkce týchž nezávislé proměnných jako funkce f.

121 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL Funkce f a f y nazýváme také parciální derivace. řádu, stručně. parciální derivace. Funkce dvou proměnných má dvě. parciální derivace, pokud eistují. f f f f, y stejně jako, y je číslo R, kdežto na množině stejně jako y y na množině je funkce dvou proměnných. Výpočet derivací Parciální derivaci funkce v libovolném bodě podle určité proměnné vypočítáme tak, že funkci derivujeme jen podle této proměnné, přičemž zbývající proměnnou považujeme za konstantu. Při výpočtu užíváme týchž pravidel a vzorců jako při výpočtu derivace funkce jedné proměnné. obvykle nejprve stanovíme parciální derivaci v obec- Při výpočtu parciální derivace v daném bodě C ném bodě X a pak dosadíme C za X. Definiční obor každé parciální derivace funkce f je podmnožinou definičního oboru funkce f, tedy D( f ) D(f) a D( f y ) D(f). Příklad Vypočítejte parciální derivace funkce f v bodě A podle obou proměnných. a) f(, y) = y; A = [4,6] b) f(, y) = y + sin(y ) ; A = [,] Řešení a) f(, y) = y; D(f) = R f = y; f y (A) =.4.6 = 48 D( f ) = D( f y ) = R f y = ; f y (A) = 4 = 6 b) f(, y) = y + sin (y ); D(f) = R f = 6y + y cos(y ); D( f ) = R = D( f y ) f y = + y cos(y ) f (A) = cos(. ) = +. cos = f y (A) = cos(. ) = +. cos =

122 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Příklad Vypočítejte parciální derivace funkce f(, y) = y + y a určete jejich definiční obory. 4 Řešení f(, y) = y + y ; D(f) = {[, y] R ; } f = y D(f) 4 ; D( f ) = {[, y] R ; > }; D( f ) D(f) 4 4 f y = y + y ; D(f y ) = D( f) D(f ) Poznámka Derivováním se může definiční obor funkce zúžit. Parciální derivace vyšších řádů Parciální derivace. řádu, tj. f a f y, jsou funkce proměnných a y. Tyto funkce můžeme opět derivovat podle a y a dostaneme tak parciální derivace. řádu, což jsou opět funkce proměnných a y. Pokud tyto funkce opět zderivujeme podle a y, obdržíme parciální derivace. řádu atd. Obecně pak hovoříme o parciálních derivacích n-tého řádu.

123 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL Parciální derivace. řádu funkce f: f = f, f y = f y, f y = f y, f y = f yy Funkce dvou proměnných má 4 parciální derivace. řádu. Parciální derivace. řádu funkce f : f f f f f f f,,,,,,, y y y y yy y f y Obecně má funkce f, y celkem n parciálních derivací n - tého řádu. Poznámka Příslušnou parciální derivaci vyššího řádu dostaneme postupným derivováním podle či podle y v tom pořadí v jakém jsou uvedeny ve jmenovateli symbolického zápisu. Parciální derivace, kde derivujeme podle obou proměnných, nazýváme smíšené parciální derivace, Parciální derivace, kde derivujeme jen podle proměnné y nebo jen podle proměnné, někdy nazýváme ryzí parciální derivace. U smíšených parciálních derivací obecně záleží na pořadí derivování. Kdy na pořadí nezáleží, uvádí následující věta. Věta 8. (O záměnnosti smíšených parciálních derivací.) Má-li funkce f, y spojité smíšené parciální derivace podle všech proměnných až do řádu n, záleží při výpočtu derivací řádu n pouze na tom, kolikrát derivujeme podle té které proměnné a nikoliv na tom, v jakém pořadí derivujeme podle jednotlivých proměnných. Poznámka Má-li f, y spojité parciální derivace. a. řádu, pak f y = f y f y f f f ; y y y f yy f y Příklad Vypočítejte.,. a. parciální derivace funkce f a porovnejte smíšené parciální derivace. funkce f(, y) = y + 4 y 6 + y

124 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Řešení D(f) = R f = + 8y 6 f y = 4y + 8 y + f = 6 + 8y f yy = f y = 6y f y = 6y f = 6 f yyy = f y = 6y f y = 6y f yy = 6 f yy = 6 f y = 6y f yy = 6 Definiční obor všech parciálních derivací funkce f je rovina R a všechny funkce jsou na R spojité. Porovnáme smíšené parciální derivace. f y = f y = 6y f y = f y = f y = 6y f yy = f yy = f yy = 6 Totální diferenciál f f Definice 8. Nechť parciální derivace, funkce z f, y jsou definovány v bodě y a jeho okolí a nechť jsou v bodě, y spojité. Označme d, dy přírůstky proměnných a y. Potom výraz dz df, y f funkce v bodě, y. f nazýváme. totálním diferenciálem Poznámka Totální diferenciál je funkcí d a dy, je tedy opět funkcí dvou proměnných. Má-li funkce v bodě, totální diferenciál, pak říkáme, že je diferencovatelná v bodě, y. Jaký praktický význam má totální diferenciál říká následující věta., y d f y,, y y dy f y f

125 5 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL Věta 8. Nechť funkce, má v bodě, totální diferenciál. Označme f, y přírůstek funkční hodnoty funkce v bodě, y pro přírůstky d, dy nezávisle proměnných, y, tedy. Potom platí Poznámka Na základě věty lze skutečný přírůstek funkční hodnoty přibližně nahradit diferenciálem. Věta 8. Má-li funkce, v bodě, totální diferenciál, pak je v bodě, y spojitá. Poznámka Srovnání s funkcí jedné proměnné: Tam stačila ke spojitosti funkce eistence vlastní derivace. U funkce dvou proměnných eistence obou parciálních derivací ještě nezaručuje spojitost funkce. Poznámka Totální diferenciál funkce z f, y v libovolném bodě y, je výraz f f dz d dy. y Rozlišuj, a df, y! f y y f,,, f y f d y dy f y df y d dy,, d dy df y f y lim f y y Z obrázku lze vyčíst geometrický význam totálního diferenciálu: df y je přírůstek funkce f f y v bodě d, y dy k tečné rovině ke grafu funkce v bodě,, kdežto f, y je přírůstek funkce v bodě d, y dy ke grafu funkce f. f Výraz df dává přírůstek funkce f s jistou chybou.,

126 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Užití totálního diferenciálu Podobně jako jsme nahrazovali u funkce jedné proměnné v prvním přiblížení přírůstek funkce diferenciálem (geometricky přírůstek funkce nahrazujeme přírůstkem k tečně), tak také u funkce dvou proměnných nahrazujeme přírůstek funkce totálním diferenciálem (geometricky přírůstek funkce nahrazujeme přírůstkem k tečné rovině). f( + d, y + dy) f(, y ) + df(, y ) Užití totálního diferenciálu k přibližným numerickým výpočtům k lokální aproimaci dané funkce lineární funkcí v teorii chyb Tečná rovina a normála U funkce jedné proměnné jsme určovali rovnici tečny a normály grafu funkce bodě. y f v daném Pro funkci dvou proměnných může určovat rovnici tečné roviny a normály plochy v daném bodě. z f, y Věta 8.5 Tečná rovina plochy z f, y v bodě T, y, z, která není rovnoběžná s osou eistuje, právě když je funkce diferencovatelná v bodě, y. f z Rovnice tečné roviny je dána vzorcem,, f y f y : z z y y y resp. z = z + z ( y ) ( ) + z y( y ) (y y ), Rovnice normály n je dána vzorcem y y z z n : f f, y, y y, resp. = y y = z z z ( y ) z y( y )

127 7 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL Příklad Vypočítejte totální diferenciál funkce z = y a) b) a) v libovolném bodě [, y] pro libovolné přírůstky d a dy, b) v bodě [, ] pro libovolné přírůstky d a dy, c) v libovolném bodě [, y] pro d =, a dy =,, d) v bodě [, ] pro d =, a dy =,, dosadíme do dz = a y = c) z = y ( y )y (y) = y + y y = + y y z y = y ( y ) (y) = y y = + y y dz(, y) = + y y d + y y dy = + y ( y d y dy) dosadíme do dz d =, a dy =, d) dz(,) = + ( d dy) = (d dy) dz(, y) = + y ( y., + y.,) =, + y ( y + y ) dosadíme do dz =, y =, d =, a dy =, y dz(,) = +. (.,.,) = 8 4 (,,) =, Příklad Vypočítejte přibližně hodnotu výrazu,5,5. Řešení Sestrojíme vhodnou funkci f(, y) = y,

128 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 určíme bod [, y ], v jehož blízkém okolí se nachází bod [ + d, y + dy], [, y ] = [, ], vypočteme d =,5,5 =, a dy =,5 =,5. Určíme diferenciál funkce f. df(, y) = d 4y dy Využijeme vztahu f( + d, y + dy) f(, y ) + df(, y ). Pro náš případ tedy bude f(,5;,5) f (, ) + df (, ), kde d =, a dy =,5. f (, ) = ( ). = 5 8 =,875 df (, ) = ( )., 4..,5 =,9,6 =,5,6 =, Výsledek:,5.,5,455 f(,5;,5),875,5775 =,455 Příklad Napište rovnici tečné roviny τ a normály n plochy z = 4 5y v bodě T = [,,? ]. Řešení Určíme z(t) = ( ) = = 9; T = [,, 9] z = 5y z (T) =. 5( ) = + 5 = 7 z y = 5 z y (T) = 5. = 5 Rovnice tečné roviny τ: τ: z = z + z (, y )( ) + z y (, y )(y y ) τ: z = 9 + 7( ) 5(y + ) τ: 7 5y z =

129 9 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL Rovnice normály n: n: z (, y ) = y y z y (, y ) = z z n: 7 = y + 5 = z 9 Parciální derivace jsou definovány prostřednictvím derivace funkce jedné proměnné. Při jejich výpočtu užíváme týchž pravidel a vzorců jako při výpočtu derivací funkce jedné proměnné. Funkci derivujeme podle zadané proměnné, přičemž zbývající proměnnou považujeme za konstantu. Má-li funkce f(, y) totální diferenciál v bodě, pak je v tomto bodě spojitá. Pomocí totálního diferenciálu můžeme určit přibližně přírůstek funkce v bodě. Parciální derivace jsou součástí rovnice tečné roviny a normály.. Vyslovte definici f f, resp.. y. Načrtněte graf fce z = f(, y) a vysvětlete geometrický význam f (, y O ) a f y (, y O ).. Jaká je podmínka záměnnosti pořadí derivování? 4. Jaký je vztah mezi spojitostí funkce f v bodě [, y ] a parciálními derivacemi, resp. totálním diferenciálem v tomto bodě? 5. Jaký je geometrický význam totálního diferenciálu? 6. Vypočítejte obě první parciální derivace funkce f(, y) = y + y y a jejich hodnotu v bodě A = [, ], B = [, ], C = [a, a ]. 4 [f (A) = 4; f y(a) = ; f (B) = ; f y(b) = 5 4 ; f (C) = 9a a = a + a ; a ] 4a + ; f y(c)

130 MATEMATICKÁ ANALÝZA 7. Určete. parciální derivace funkce. a) f(, y) = y [f = y ; f y = y y ] b) f(, y) = ln( + y ) [f = ln( + y ) + +y ; f y = y +y ] c) f(, y) = y [f = y ln y ; f y = y ] d) f(, y) = e y [f = y e y; f y = y e y] e) f(, y) = arctg +y y [f = y +y ; f y = +y ] f) f(, y) = e y [f = y e y ln y ; f y = y e y ] g) f(, y) = ln y [f = y ; f y = ] 8. Vypočítejte parciální derivace.. řádu funkce z = a určete jejich hodnotu v bodě A = [, ]. z [ (A) =, z y(a) =, z (A) =, z y(a) = 6, z yy(a) =, z (A) =, z y(a) = 6, z yy(a) = 4, z yyy(a) = 6 ] y 9. Vypočítejte 4 f funkce f(, y) = arctg a její hodnotu v bodě T = [, ]. y y [ ]. Určete přibližně hodnotu výrazu (4,5) + (,9). [4,998]. Napište rovnici tečné roviny τ a normály n grafu funkce z = + 5y v bodě T = [,,? ]. [τ: 6 y z 8 = ]. Určete totální diferenciál funkce f(, y) = ln( + y ) a) v libovolném bodě [, y], [df(, y) = [n: 6 = y+ = z 8 ] +y (d + ydy)] b) v bodě A = [,], [df(,) = (d + dy)] 5 c) v bodě [, y] pro d =, a dy =,, [df(, y) = (, +y +,y)] d) v bodě B = [,] pro d =, a dy =,. [df(,) =,]

131 PARCIÁLNÍ DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL Základní literatura: [] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, stran. ISBN (skripta) [] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, stran. ISBN [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,. 459 stran. ISBN [4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (). Ekopress Praha, stran. ISBN [5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT,. 4 stran. ISBN (skripta) [6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 5. 4 stran. ISBN (skripta)

132 Kapitola 9 Etrémy funkce Po prostudování kapitoly budete umět: vysvětlit rozdíl mezi lokálním, globálním a vázaným etrémem geometricky znázornit etrémy vyhledat lokální etrémy určovat globální etrémy Klíčová slova: Lokální, globální a vázaný etrém, maimum a minimum funkce, stacionární bod, sedlový bod, vazba.

133 EXTRÉMY FUNKCE Etrémy funkce dvou proměnných Lokální etrémy Definice 9. Říkáme, že funkce má v bodě, y lokální maimum [minimum], když eistuje okolí, y takové, že f, y f, y f, y f, y pro všechny body. Říkáme, že funkce má v bodě, y ostré lokální maimum [minimum], když eistuje redukované okolí U (, y ), takové, že [, y] U (, y ). f U, y, y U f,, f, y f, y f y f y pro všechny body Lokální minima a lokální maima nazýváme souhrnně lokální etrémy. Hodnota se nazývá lokální minimum (lokální maimum) funkce v bodě, y. f f y, Příklad Funkce z y nabývá v bodě, ostrého lokálního minima, neboť y do- konce pro každý bod, y R \,, nejen z redukovaného okolí bodu,. Bod, je zároveň bodem, v němž má funkce globální maimum. Obrázek 9. Graf funkce z = + y

134 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Poznámka Lokální etrémy hledáme na otevřené množině, tedy ve vnitřních bodech D f. Věta 9. (Nutná podmínka pro eistenci etrému.) Nechť funkce má v bodě, lokální etrém. Eistují-li v bodě, y parciální derivace. f, y f, y řádu této funkce, pak jsou rovny nule. Tj. platí =. y Příklad Funkce f(, y) = + y má. parciální derivace f = a f y = y. Najdeme bod, pro nějž je splněna nutná podmínka. f = = = f y = y = y = V bodě, f y etrém nastává, jeho hodnota je vysvětleno v předcházejícím příkladě. Určíme-li rovnici tečné roviny v bodě [,, ], pak obdržíme : z =. Tečná rovina splývá se souřadnicovou rovinou (y). Příklad který, dokumentuje, že podmínka uvedená ve větě 9. není postačující pro eistenci etrémů. Funkce z y má z, z, a přitom funkce z y v bodě, nenabývá lokálního y etrému, neboť ve vnitřních bodech v I. a III. kvadrantu je y a tedy z, zatímco ve II. a IV. z kvadrantu je y a tedy. V každém okolí, tedy nabývá funkce z jak kladných, tak i záporných hodnot, přičemž z(,) =. Podle definice v bodě má v tomto bodě sedlo., nemá funkce etrém, funkce

135 5 EXTRÉMY FUNKCE Obrázek 9. Graf funkce z = y Definice 9. Řekneme, že bod, je stacionárním bodem funkce f, y, když v tomto bodě f f f f eistují parciální derivace a a platí, y, y. y y Poznámka Bod, v předcházejících příkladech je stacionární bod. Věta 9. (O postačujících podmínkách pro etrém.) Nechť funkce, má v okolí stacionárního bodu, y spojité parciální derivace. řádu. Potom platí: Je-li f (, y ). f yy (, y ) [ f y (, y )] >, má funkce v bodě, y ostrý lokální etrém, a to maimum pro případ f (, y ) < a minimum pro f (, y ) >. Je-li f (, y ). f yy (, y ) [ f y (, y )] <, nemá funkce v bodě, y lokální etrém. Poznámka y f y f f Věta neříká nic o případu, kdy f (, y ). f yy (, y ) [ f y (, y )] =. V tomto případě totiž etrém někdy nastane a někdy nikoliv. Případ takového stacionárního bodu se musí studovat zvlášť. Musíme vyšetřit chování funkce v okolí tohoto bodu, tj. vyšetřit eistenci etrému podle definice 9..

136 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Označíme-li D = f (, y ), D = f f y f y f yy (, y ) = f (, y ) f yy (, y ) [ f y (, y )], D kde, resp. D, je determinant., resp.. řádu., pak postačující podmínku můžeme stručně zapsat takto: Je-li D >, pak má funkce f v bodě, y ostrý lokální etrém, a to maimum pro D < a minimum pro D >. Je-li D <, nemá funkce f v bodě, y lokální etrém, ale sedlo. Je-li D =, nelze o eistenci etrému rozhodnout, neboť ten může, ale nemusí nastat. Kromě stacionárních bodů může vést k lokálnímu etrému funkce, y také takový bod, v němž obě parciální derivace neeistují nebo takový bod, v němž jedna parciální derivace je rovna nule a zbývající neeistuje. Funkce samotná samozřejmě musí být v bodě y definována a bod, musí být vnitřním bodem D f. Analyzovat body, v nichž parciální derivace neeistují, je zpravidla složitější a je nutné postupovat v jednotlivých případech různě. Má-li funkce skutečně v takovém bodě etrém, zjistíme vyšetřováním chování funkce v okolí bodu,, f y f y pro body [, y] U (, y )., y z f, y, y a to zpravidla určením znaménka rozdílu, y Nemění-li se znaménko rozdílu, pak etrém nastane. Je-li rozdíl kladný, je v bodě ostré lokální minimum, je-li rozdíl záporný, pak je v bodě Mění-li se znaménko rozdílu, pak etrém nenastane. Body podezřelé z lokálního etrému jsou: (A) stacionární body; získáme je řešením soustavy, y ostré lokální maimum., y f f y

137 7 EXTRÉMY FUNKCE (B) body, v nichž jedna parciální derivace neeistuje a zbývající je rovna nule nebo body, v nichž obě parciální derivace neeistují; získáme je z D(f ) a D(f y ). Geometrická interpretace lokálních etrémů Výpočet lokálních etrémů funkce z = f (, y) vede ke stacionárním bodům. Tečná rovina sestrojená v bodě [, y, f (, y )] k ploše z = f (, y) je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou (, y). Stacionárním bodům, v nichž etrém nastane, odpovídají na ploše z = f (, y) body, v jejichž okolí se plocha rozprostírá buď nad nebo pod tečnou rovinou. Příklad funkce, která má ostré lokální minimum v bodě [, )] a) Ve stacionárním bodě b) v bodě, v němž obě. parciální derivace neeistují, y Obr. 9. Graf funkce z = + y Obr.9. Graf funkce z = + y Grafem funkce je rotační paraboloid; : z = Grafem funkce je kuželová plocha s vrcholem v počátku souřadnic;, nelze sestrojit. funkce je kuželová plocha s vrcholem v počátku souřadnic;, nelze sestrojit.

138 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Stacionárním bodům, které nevedou k etrémům odpovídají na ploše body, v jejichž okolí má plocha tvar sedla. (Tyto body jsou jistou analogií s infleními body křivek). Sedlem funkce f rozumíme bod grafu, v němž je funkce hladká, obě její parciální derivace jsou rovny nule a současně nenastává lokální etrém. Bod D f, v němž sedlo funkce f nastává, se nazývá sedlový bod. Příklad funkce, která má ve stacionárním bodě[, ] sedlo. z = y Postup při určování lokálních etrémů na otevřené množině. Určíme body podezřelé z lokálních etrémů, tj. (A) stacionární body, (B) body, v nichž některá (případně obě) parciální derivace neeistuje a zbývající je rovna nule.. Rozhodneme o eistenci a typu lokálního etrému. V případě bodů (A) rozhodneme podle postačující podmínky pro etrém. V případě bodů (B) rozhodneme na základě definice lokálních etrémů; vyšetříme, jak se chová funkce na okolí těchto bodů tj. rozhodneme podle znaménka rozdílu,, f y f y. Pokud pro každý bod [, y] U (, y ) je rozdíl kladný, pak v bodě y nastává ostré lokální minimum; pokud je rozdíl záporný, pak v bodě, y nastává, ostré lokální maimum. Mění-li se znaménko rozdílu, pak etrém nenastane.

139 9 EXTRÉMY FUNKCE Může nastat i neostré lokální maimum [minimum] a to v případě, že je rozdíl nekladný [nezáporný] pro každý bod [, y] U (, y ). Příklad Určete lokální etrémy funkce f(, y) = e ( +y ). Řešení Určíme D(f) = R. Vypočteme parciální derivace. f = 4. e ( +y ) ; f y = 4y. e ( +y ) D(f ) = D(f y ) = R f = 4e ( +y ) ( ) f yy = 4e ( +y ) ( y ) f y = 8y e ( +y ) D(f ) = D(f yy ) = D(f y ) = R Určíme body podezřelé z lokálního etrému. (A) z nutné podmínky určíme stacionární body f = 4 e ( +y ) = = f y = 4 e ( +y ) = y = Funkce má stacionární bod A = [, ]. (B) body, v nichž aspoň jedna parciální derivace neeistuje určíme je z definičních oborů D(f ) a D(f y ). parciální derivace eistují ve všech bodech D(f) = R, odtud žádný další bod podezřelý z etrému nezískáme, budeme psát. Podle postačující podmínky rozhodneme o eistenci a typu etrému. Zjístíme hodnoty f (A) = 4; f yy (A) = 4; f y (A) = = f y a sestavíme z nich determinanty. D = f (A) = 4 < D = f (A) f y (A) f y (A) f yy (A) = 4 4 = 6 > f(a) =

140 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Tečná rovina má v bodě A rovnici z =. Protože D > a D <, má funkce ostré lokální maimum v bodě A = [, ]. Obrázek 9.5 f(, y) = e ( +y ) Příklad Najděte lokální etrémy funkce f(, y) = y. Řešení Určíme D(f) a. a. parciální derivace. D(f) = R ; f = ; f y = y; f = ; f yy = ; f y =. Definičním oborem všech parciálních derivací je množina R. (A) z nutné podmínky určíme body podezřelé z etrému. f = = = f y = y = y = Funkce má stacionární bod A = [, ]. (B) tyto body určíme z D(f ) a D(f y ): O eistenci a typu etrému rozhodneme podle postačující podmínky. D = >

141 4 EXTRÉMY FUNKCE D = = 4 < Protože D <, nemá funkce v bodě A lokální etrém, nýbrž sedlo. Bod A = [, ] je sedlový bod. Sedlo je bod grafu je to bod [,,]. Tečná rovina τ: z =. Příklad Určete lokální etrémy funkce f (, y) = + y 5 y. Řešení Určíme D(f) = R Stanovíme parciální derivace. a. řádu a jejich definiční obory. f = + y 5 f y = 6y f = 6 f = 6y y f y = 6 Definičním oborem všech parciálních derivací je množina R. Určíme body, podezřelé z lokálních etrémů. (A) stacionární body f = + y 5 = /: f = 6y = y = y Obdrželi jsme soustavu rovnic + y 5 = y = y = ; ; dosadíme do. rovnice = / = bikvadratická rovnice Zavedeme substituci z =, obdržíme kvadratickou rovnici. z 5z + 4 = z = 4 = 4, = ± (z 4) (z ) = z = =,4 = ±

142 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 potom y = ; y = ; y = ; y 4 =. Obdrželi jsme 4 stacionární body: A = [, ]; B = [, ]; C = [, ]; D = [, ] (B) body určíme z D(f ) a D(f y ): Podle postačující podmínky rozhodneme o eistenci a typu lokálního etrému. Pro přehlednost sestavíme tabulku pro stacionární body. bod f = D f y f y D eistence a typ. lok. e. A = [, ] > = 8 > o. l. min B = [, ] < = 8 > o. l. ma C = [, ] = 8 < neeistuje D = [, ] = 8 < neeistuje f(a) = 8 ; f(b) = 8 Funkce má ostré lokální maimum 8 v bodě B = [, ] a ostré lokální minimum 8 v bodě A = [, ].

143 4 EXTRÉMY FUNKCE Obrázek 9.6 Graf funkce, která má ostré lokální maimum a ostré lokální minimum Globální etrémy f D f, Definice 9. Buď funkce definovaná na množině. Říkáme, že nabývá v bodě globálního maima [minima], když pro každý bod Poznámka Funkce nemusí mít ve svém D f žádné lokální etrémy nebo jich naopak může mít i nekonečně mnoho, ale globální maimum, resp. minimum, v je. je jen jedno (pokud eistuje), ale může ho funkce nabývat i v nekonečně mnoha bodech. Globálním maimem [minimem] funkce f rozumíme největší [nejmenší] hodnotu funkce f, kterou nabývá na svém D f. Lze určovat i globální etrémy na množině M D f. y, D,,,, f y f y f y f y D f y D

144 MATEMATICKÁ ANALÝZA 44 Určování globálních etrémů na kompaktní množině V aplikacích bývá nejčastější úlohou vyhledávání globálních etrémů spojité funkce na kompaktní (uzavřené a omezené) množině. V tomto případě máme zaručeno Weierstrassovou větou, že na takové množině funkce nabývá svého globálního maima i globálního minima, a to buď v bodech lokálních etrémů ležících uvnitř množiny nebo v některém hraničním bodě množiny. Postup při vyhledávání globálních etrémů funkce f na množině M. Zjistíme, zda je množina M kompaktní a f na ní spojitá. Pokud ano eistují globální etrémy.. Najdeme a shromáždíme všechny body z M, které jsou podezřelé z toho, že by v nich funkce f mohla mít globální etrém na M. Jsou to následující body: (A) Body z vnitřku množiny M podezřelé z lokálního etrému funkce f (to jsou stacionární body a ty, v nichž některá derivace neeistuje). (B) Body z hranice množiny M podezřelé z vázaného lokálního etrému funkce f (hranice je vazbou jde o lokální etrémy funkce jedné proměnné). (C) Body hranice množiny M, které dosud nebyly v žádné úvaze (tj. v (a) nebo (b) ) zahrnuty; jsou to body, v nichž se hranice M láme a krajní body intervalů.. Vypočítáme funkční hodnoty ve všech bodech podezřelých z globálních etrémů. Největší z těchto hodnot je pak globální maimum a nejmenší globální minimum funkce f na množině M. Poznámka Nemusíme určovat typ lokálního etrému (tj. zda se jedná o maimum či minimum), stačí určit pouze funkční hodnoty. Poznámka Je-li množina M otevřená, pak funkce f nemusí mít na M globální etrémy. Pokud je má, pak je to maimum a minimum z lokálních etrémů funkce f na množině M. Vázané etrémy Při studiu globálních etrémů funkce na hranici jsme se setkali s dalším typem etrémů, a to s etrémy vázanými (podmíněnými, s vedlejší podmínkou). U těchto etrémů jde o vyhledávání etrémů funkce na nějaké podmnožině jejího D f.

145 45 EXTRÉMY FUNKCE Definice 9.4 Funkce má v bodě, y vázané lokální maimum [minimum] při vazbě f g y U,, eistuje-li takové okolí, y, že pro každý bod, y U, y, jehož souřadnice g y splňují vazbu,, platí f, y f, y f, y f, y. Vázané etrémy funkce z f, y jsou tedy etrémy jen v množině bodů určité křivky q ležící v D f. Křivka q je určena buď eplicitně rovnicí y ( ) nebo implicitně rovnicí g(, y) =, kde a y mají spojité derivace. Funkce z f, y ve spojení s rovnicí g(, y) =, eventuelně y ( ), je vlastně funkcí jedné proměnné. Z rovnice g(, y) = vyjádříme jednu proměnnou a dosadíme ji do z za y, případně za, a obdržíme buď z f případně z f y. Daný úkol přejde v určení etrému funkce jedné proměnné. Geometrická interpretace Vázané etrémy znamenají maimální a minimální hodnotu z -ové souřadnice bodů ležících na prostorové křivce q, která leží na ploše určené rovnicí z f, y nad nebo pod křivkou q ( q leží v souřadnicové rovině ). Křivka q je řezem plochy z f, y a plochy, která je kolmá k souřadnicové rovině a jejíž stopou v rovině y je křivka q. y y Příklad Najděte vázaný lokální etrém funkce f(, y) = y + y při vazbě + y =. Řešení D(f) = R Z vazby vyjádříme y = a dosadíme do funkce f. Obdržíme tak funkci F jedné proměnné, a to. F() = ( ) + = Najdeme lokální etrém funkce F. F () =, F () = = = ; y = ( ) = Bod A = [, ] je stacionární bod funkce F. F () = ; F (A) = < v bodě A nastává ostré lokální maimum, přičemž f(a) = 4.

146 MATEMATICKÁ ANALÝZA 46 Daná funkce má při vazbě g(, y) = + y ostré lokální maimum 4 v bodě A = [, ]. Příklad Vyhledejte globální etrémy funkce f(, y) = + 4 y na množině M = {[, y] R ; + y }. Řešení D(f) = R ) Množina M je kruh se středem v počátku soustavy souřadnic o poloměru včetně ohraničující kružnice k. Jde o kompaktní množinu a funkce f je na ní spojitá, což znamená, že globální etrémy f na M eistují. y = + Obrázek 9.7 Grafické znázornění množiny M ) Shromáždíme všechny body množiny M podezřelé z globálního etrému. (a) body ležící uvnitř M podezřelé z lokálního etrému (A) f = ; f = = f y = y; f y = y = Získali jsme stacionární bod A = [, ]. Přesvědčíme se, že A M. (B)

147 47 EXTRÉMY FUNKCE Poznámka Pokud by nalezené body nepatřily do dané množiny M, pak bychom takové body z dalších úvah vyloučili. (b) body ležící na hranici M, v nichž by mohl nastat vázaný lokální etrém Hranice množiny M je kružnice k o rovnici + y =, a ta je vazbou. Z rovnice + y = vypočteme y =. Horní půlkružnice má rovnici y = ; (, ). Dosadíme za y do funkce f, obdržíme tak funkci jedné proměnné, označíme ji F. F () = 4 + ( ) = 4 + = 4 Tutéž funkci F obdržíme i po dosazení y =. Určíme stacionární body funkce F. F () = ; F () = = Obdrželi jsme body: B = [, ] a C = [, ] ležící na kružnici k. (c) body, které dosud nebyly uvažovány jsou body D = [, ] a E = [, ] ) Vypočteme funkční hodnoty ve všech získaných bodech. f(a) = f(c) = f(e) = 4 f(b) = f(d) = 4 Funkce f(, y) = + 4 y má na dané množině M globální maimum v bodech B = [, ] a C = [, ] a globální minimum v bodě A = [, ]. Poznámka Grafem funkce je eliptický paraboloid.

148 MATEMATICKÁ ANALÝZA 48 Obrázek 9.8 Eliptický paraboloid Funkce tří proměnných Teorii diferenciálního počtu funkce více proměnných jsme vyložili na příkladu funkce dvou proměnných, protože pro tuto funkci můžeme řadu zaváděných pojmů graficky znáznornit. Vizualizace základních definovaných pojmů přispívá k jejich lepšímu pochopení a hlubšímu porozumění. Snadno se pak dají úvahy uvedené pro funkci dvou proměnných analogicky formulovat pro funkci tří proměnných, až pro funkci n proměnných. Formulaci některých základních pojmů ukážeme na příkladu funkce tří proměnných. Funkce f tří proměnných je zobrazení z R do R. Zápis: u = f(, y, z). D(f) R, H(f) R, G(f) R 4 D(f) a H(f) lze graficky znázornit, G(f) již ne. Okolím U (X ) bodu X R rozumíme vnitřek koule (otevřenou kouli) se středem v bodě X a poloměrem ; >. Limita a spojitost je definována jako pro funkci dvou proměnných, jen tam přibude souřadnice z. Parciální derivace a etrémy jsou opět definovány obdobně jako u funkce dvou proměnných, opět však přibude z-ová souřadnice.

149 49 EXTRÉMY FUNKCE Také body podezřelé z lokálního etrému vyhledáváme obdobně jako u funkce dvou proměnných: (A) stacionární body: f =, f y =, f z = (B) body, v nichž některé nebo všechny. parciální derivace neeistují A jak vypadají postačující podmínky pro lokální etrém uvádí následující věta. Věta 9. (Postačující podmínky pro etrém.) Nechť má spojité parciální derivace. řádu v okolí stacionárního bodu, y, z. Označme: Potom, je-li D, D, D má funkce v bodě,, ostré lokální minimum a je-li f D D f, y, z D <, D >, D < má funkce v bodě,, ostré lokální maimum f, y, z. f f y f y f yy, y, z / f f y f z D f y f yy f yz Vyhledávání největší a nejmenší hodnoty sledovaného ukazatele (veličiny) dosažené v probíhajícím reálném procesu bývá častým problémem v prai. Abychom tuto úlohu zvládli musíme pochopit a umět určovat globální, lokální a vázané etrémy. Lokální etrémy jsou etrémní hodnoty vzhledem k okolí bodu, globální pak vzhledem k části definičního oboru funkce. Lokální etrémy vyhledáváme na základě nutné podmínky a jejich eistenci potvrzujeme a typ určujeme na základě postačujících podmínek. Stanovování globálních etrémů je aplikací metod vyhledávání lokálních a vázaných lokálních etrémů. Oproti lokálním etrémům, kterých může funkce mít i nekonečně mnoho, globální etrém, pokud eistuje, je jen jeden. f z f yz f zz, y, z / f y z f, y, z f y z

150 MATEMATICKÁ ANALÝZA 5. Jaký je rozdíl mezi lokálním a globálním etrémem? Jak jsou tyto etrémy definovány?. Jaká je nutná podmínka pro eistenci lokálního etrému?. Jaké jsou postačující podmínky pro lokální etrém? 4. Co jsou stacionární body? Který bod je stacionární? 5. Ve kterých bodech může nastat lokální (globální) etrém? 6. Co víte o tečné rovině ve stacionárních bodech? 7. Načrtněte graf funkce, která má ostré lokální minimum ve stacionárním bodě (v bodě, v němž parciální derivace neeistují). 8. Jak se hledají globální etrémy funkce na uzavřené a souvislé množině? 9. Stanovte lokální etrémy funkce. a) f(, y) = y 4 + y [ stacionární body, o. l. minimum 6 v bodech [, ] a[, ] ] b) f(, y) = y y [4 stacionární body, o. l. minimum v bodě [, ] ]. Najděte vázané lokální etrémy funkce f při dané vazbě. a) f(, y) = + y ; vazba + y = b) f(, y) = y 4 ; vazba y + = [o. l. maimum 49 4 v bodě [ 6, 4 ]] [o. l.maimum 5 v bodě [, ]] [o. l. minimum 7 7 v bodě [, ]]. Určete největší a nejmenší hodnotu (globální etrémy) funkce f na dané množině M. a) f(, y) = + + y y ; M = {[, y] R ;, y, y 9 } b) f(, y) = y; M = {[, y] R ; + y } [glob. ma. 4 v bodě [, ]] [glob. min. 6 v bodech [9, ] a [, 9]] [glob. ma. v bodech [, ] a [, ] ] [glob. min. v bodech [, ] a [, ]]

151 5 EXTRÉMY FUNKCE Základní literatura: [] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, stran. ISBN (skripta) [] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, stran. ISBN [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,. 459 stran. ISBN [4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (). Ekopress Praha, stran. ISBN [5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT,. 4 stran. ISBN (skripta) [6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 5. 4 stran. ISBN (skripta)

152 Kapitola Implicitní funkce Po prostudování kapitoly budete umět: rozhodnout, zda rovnicí F(, y) = je definována funkce y proměnné derivovat implicitní funkci určovat etrémy implicitní funkce určovat rovnice tečny a normály Klíčová slova: implicitní funkce

153 5 IMPLICITNÍ FUNKCE V předchozím tetu jsme již zmínili, že funkci můžeme zadat analyticky, a to buď eplicitně rovnicí y = f() nebo implicitně rovnicí F(, y) =. Známe řadu křivek, které jsou zadány rovnicí F(, y) = : kružnice, elipsa, kardioida apod. Příklad Kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r je daná rovnicí + y r =. Kružnice však není grafem funkce, poněvadž každému r, r není přiřazeno jenom jedno y. Příklad Mějme dánu funkci dvou proměnných F(, y) a ptejme se, které body [, y] R vyhovují rovnici F(, y) =. a) F(, y) = ( ) + (y ) = 9 b) F(, y) = y c) F(, y) = + y + d) F(, y) = y e) F(, y) = y y + y + Řešení Označme M množinu všech bodů [, y] R, které vyhovují rovnici F(, y) =. a) ( ) + (y ) 9 = ( ) + (y ) = 9 M je množina všech bodů kružnice se středem v bodě S[; ] a poloměrem r =. Obrázek. Množina M, kružnice b) y = y = M je množina všech bodů přímky, která prochází počátkem soustavy souřadnic a má rovnici y =.

154 MATEMATICKÁ ANALÝZA 54 Obrázek. Množina M, přímka c) + y + = + y = M = d) y = y = M je množina všech bodů hyperboly se středem S = [,]. Obrázek. Množina M, hyperbola e) y y + y + = (y ) = y y = y Množina M je polorovina s hraniční přímkou y =. Jen v případě, že y platí y = y. Obrázek.4 Množina M, polorovina

155 55 IMPLICITNÍ FUNKCE Uvedené příklady dokládají, že množina M může být velmi různorodá. Pouze v některých případech je množina M křivkou (a, b, d) a pouze v některých případech je grafem funkce (b a d). Nabízí se otázka, kdy je množina M grafem nějaké funkce, tj. kdy je možné najít takovou spojitou funkci f, aby všechny body množiny M byly právě ty body [, y], které vyhovují rovnici y = f(). Přechod od eplicitního tvaru k implicitnímu tvaru dané funkce je jednoduchý stačí anulovat pravou stranu funkčního předpisu. Opačný přechod od implicitního k eplicitnímu tvaru je často složitý a někdy dokonce nemožný. Bude nás tedy především zajímat kdy rovnice F(, y) = definuje jednoznačně funkci f jedné reálné proměnné a jaké má funkce f vlastnosti, např. je-li spojitá, jak se vypočítá její derivace atd. Obecně jde o to, zda rovnicí F(, y) = je určena nějaká funkce y = f() a nikoli o to, zda ji umíme eplicitně vyjádřit. Odpovědi dává následující věta. Věta. (O eistenci implicitní funkce.) Má-li funkce F(, y). spojité parciální derivace F a F y v okolí bodu [, y ],. je-li F(, y ) =,. F y (, y ), pak eistuje okolí U δ ( ) a právě jedna spojitá funkce y = f() taková, že platí: (a) f( ) = y, (b) F[, f()] = pro každé U δ ( ), (c) f () = F (,f()) F y (,f()) pro každé U δ( ). Definice. Funkci y = f() (z věty.), která je řešením rovnice F(, y) = nazýváme funkcí definovanou implicitně rovnicí F(, y) = nebo stručně implicitní funkcí. Příklad Zadání funkce f: implicitní: + y =, y eplicitní: y =

156 MATEMATICKÁ ANALÝZA 56 Obrázek.5 Funkce f, kladná část kružnice Příklad Zjistěme, zda rovnice sin y + cos = definuje y jako funkci proměnné. Řešení Ověříme, zda jsou splněny předpoklady věty.. Zřejmě F(, y) = sin y + cos. ) Vypočteme F = sin a F y = sin y cos y = sin y. Obě parciální derivace jsou spojité na R. Dále by měl eistovat bod [, y ], pro nějž by platilo F(, y ) =, ale F(, y) = sin y + cos vždy, poněvadž sin y a cos. Neeistuje žádný bod v rovině R, na jehož okolí by daná rovnice definovala y jako funkci proměnné. Příklad Zjistěme, zda rovnice y y = určuje na okolí U δ (,) y jako funkci proměnné. Řešení Ověříme, zda jsou splněny předpoklady věty.. ) F = 6 y F y = y Obě parciální derivace jsou spojité na R. ) F(,) = + + = ) Ale F y (,) = = ; má být F y Daná rovnice nedefinuje na žádném okolí bodu [,] y jako funkci. Skutečně: Když vyjádříme z dané rovnice y, pak obdržíme y = ± a tato funkce je definovaná pro (,, ).

157 57 IMPLICITNÍ FUNKCE Příklad Rozhodněme, zda rovnice F(, y) = e y + ye = definuje funkci y = f() na okolí bodu [,]. Řešení Ověříme předpoklady věty.. ) F = e y + ye F y = e y + e } jsou spojité na R ) F(,) = e + e = ) F y (,) = e + e + e Na okolí bodu [,] daná rovnice definuje spojitou funkci y = f(). Derivace této funkce je f () = F F = ey + ye y e y + e Příklad Vypočítejme derivace f a f funkce y = f(), která je definována implicitně rovnicí ln + y = arctg y,, y. Řešení Převedeme rovnici na tvar F(, y) = a určíme f podle vzorce uvedeného ve větě.. ln + y arctg y = F(, y) = ln + y arctg y F = F = + y + y ( + y + y y + y + y = y ) = y + y + y + + y = + y y = y + y + y + y + y f () = F Fy = + y + y y =, y y + y Derivaci f jsme mohli spočítat i přímo, bez použití vzorce. Derivujeme rovnici podle za předpokladu, že y je funkcí, kterou eplicitně neznáme. Funkci y derivujeme jako funkcí složenou; vnitřní složka není konkrétně vyjádřena, proto derivace vnitřní složky zůstane jen naznačena, tj. y.

158 MATEMATICKÁ ANALÝZA 58 ln + y arctg y derivujeme podle + yy + y + y = y y + y + yy + y = y y + y / ( + y ) + yy = y y y (y ) = y y + y =, y y (y = f ()) Vzorce pro derivace vyšších řádů funkce určené implicitně jsou složité, proto vyšší derivace počítáme postupným derivováním, bez použítí vzorců. y = + y y / derivujeme podle, y je funkcí y = ( + y )( y) ( + y)( y ) ( y) = + y y yy y + y + yy ( y) = = (y y) ( y) Za y dosadíme +y y. + y ( y y y ) = ( y) = ( + y ) ( y), y Příklad Napište rovnici tečny t a normály n ke křivce dané implicitně rovnicí y + y + y = v bodě T = [; y < ]. Řešení Vypočteme y(); do rovnice dosadíme =. + y + y = y(y + ) = y =, y = T = [; ] T = [, f( )] y = F 4 y F = y + y + y (, ) = =

159 59 IMPLICITNÍ FUNKCE t: y f( ) = f ( )( ) y + = ( ) y = n: y f( ) = f ( ) ( ) y + = ( ) y = Rovnice tečny t: ; rovnice normály n: y =. Příklad Určete lokální etrémy funkcí (y = f()) definovaných implicitně rovnicí y + + 6y 4 =. Řešení Určíme y. y = F F y = + y + 6 = + y, y Bod podezřelý z lokálního etrému získáme když y =. (nutná podmínka pro etrém) + = = y Vypočteme druhou souřadnici dosazením = do rovnice funkce. ( ) y + ( ) + 6y 4 = y + 6y 5 = y 6y + 5 = (y )(y 5) = y =, y = 5 Určili jsme stacionární body: A = [,] a B = [,5]. Podle hodnoty y v bodech A a B rozhodneme o eistenci a typu etrému. Vypočteme y z y. y (A) = y (B) = y = + y y = /zderivujeme y ( + )y (y ) ( + ) ( ) = ( ) = < ostré lokální maimum 5 ( + ) (5 ) = = > ostré lokální minimum

160 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Funkce f, resp. f, definovaná implicitně danou rovnicí a podmínkou f ( ) =, resp. f ( ) = 5, má v bodě ostré lokální maimum, resp. ostré lokální minimum 5. Obrázek.6 Graf funkcí f a f Vedle eplicitního zadání funkce jedné proměnné eistuje i možnost zadat funkci implicitně, tj. rovnicí F(, y) =. Ne každá taková rovnice však definuje funkci y = f(). O eistenci funkce f rozhodujeme podle podmínek uvedených ve větě o implicitní funkci. Tato věta také uvádí vzorec, jak derivovat implicitní funkci. Význam věty spočívá v tom, že jakmile známe jediný bod křivky y = f(), dovedeme v tomto bodě spočítat derivace. Funkce dané implicitně studujeme pomocí derivací stejně jako funkce zadané eplicitně: stanovujeme rovnici tečny a normály, určujeme etrémy apod.. Kdy mluvíme o implicitním zadání funkce?. Za jakých podmínek je rovnicí F(, y) = definována funkce y = f()?. Jak se počítají derivace implicitní funkce? 4.Zjistěte, zda rovnicí ye ln y = je určena funkce y = f() na okolí bodu P = [,]. [ano] 5. Funkce y = f() je dána implicitně rovnicí + y ln(e y + e y ) =. Vypočtěte y a y. [y = y ; y = y ] 6. Funkce y = f() je dána implicitně rovnicí y = arctg y. Určete y a y. [y = y ; y = ]

161 6 IMPLICITNÍ FUNKCE 7. Napište rovnici tečny t a normály n křivky definované implicitně rovnicí ( + y )(y ) 5y = v bodě C = [4,]. [t: y = + ; n: y = ] 8. Určete lokální etrémy funkce y = f() definované implicitně rovnicí. a. + y + y 4 + y = [o. l. maimum v bodě ] b. y + y = [o. l. maimum v bodě ] Základní literatura: [] BÍLKOVÁ, A. Matematika I. Praha: SPN, stran. ISBN (skripta) [] BRABEC, J., HRŮZA, B Matematická analýza II. SNTL Praha, stran. ISBN [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha,. 459 stran. ISBN [4] KAŇKA, M., HENZLER, J. Matematika pro ekonomy (). Ekopress Praha, stran. ISBN [5] KARÁSEK, J. Matematika II. Brno: VUT,. 4 stran. ISBN (skripta) [6] MOŠOVÁ, V. Matematická analýza II. UP Olomouc, 5. 4 stran. ISBN

162 Kapitola Dvojný integrál Po prostudování kapitoly budete umět: definovat dvojný Riemannův interál převést dvojná integrál na dvojnásobný transformovat dvojný integrál do polárních souřadnic počítat geometrické aplikace dvojného integrálu Klíčová slova: Dvojný integrál, dvojnásobný integrál, Fubiniova věta, polární souřadnice

163 6 DVOJNÝ INTEGRÁL Dvojný integrál Dvojný integrál zavedeme nejprve na dvojrozměrném uzavřeném intervalu jako jsme zavedli Riemannův integrál funkce jedné proměnné na J R formálně stejně, a, b (tedy jednorozměrný integrál.) Hodnota jednorozměrného integrálu je konstruována tak, že reprezentuje určitou plochu rovinného obrazce. Dvojný integrál pak odpovídá počítal objem jistého tělesa. Integračním oborem jednorozměrného integrálu byl vždy interval. U dvourozměrného integrálu mohou být integrační obory rozmanitější: jednoduché (např. obdélník, čtverec), nebo složitější (např. kruh, kruhová výseč). Postup, jakým budujeme dvojný integrál, lze aplikovat na případ trojného integrálu a dále i na případ n-rozměrného integrálu (pro každé n N ). Definice. Nechť jsou dány dva uzavřené intervaly, a to a, b na ose a c, d na ose a, b y. Kartézský součin a, b c, d nazveme dvojrozměrným uzavřeným intervalem v R a označíme jej J. Nechť posloupnost bodů D a... b, resp. D b y y... y d je dělením intervalu a, b, resp. c, d. Potom uspořádanou dvojici D D, D ) nazveme dělením intervalu J. m y n ( y Každý dvojrozměrný interval J ij i, i y j, y částečným intervalem dělení J. j, kde i =,,,m, j =,,.,n, nazýváme Maimum z čísel v D ), v( D ) označujeme v (D) a nazveme ho normou dělení D. ( v D ) je normou dělení D ( y - je to délka největšího částečného intervalu.) Poznámka O tom, jak vypadá dělení, si můžeme udělat názornou představu. Vedeme-li dělícími body na osách a y rovnoběžky se souřadnicovými osami, vznikne soustava obdélníků, které pokrývají uvažovaný dvojrozměrný interval J. Uvažujme dělení D dvojrozměrného intervalu J na m n částečných intervalů. Označme obsah (míru) intervalu J. V našem případě míra ( J ) y se rovná obsahu obdélníka o stranách a y. i j ij ij i j J ij (

164 MATEMATICKÁ ANALÝZA 64 Definice. Nechť f je funkce definovaná a omezená na intervalu J a, b c, d a nechť D ( D, D ) je dělením intervalu J y (viz Def.). Označme i j,resp. i j infimum, resp. supremum funkce f na částečném intervalu J y, y a J ) obsah tohoto intervalu. Potom číslo ij i, i j m, j ( ij M, s( f, D) m n i j m ij ( J ij ) nazýváme dolním součtem, a číslo m n S( f, D) M ij ( J ) horním součtem funkce f na intervalu J při dělení D. i j Poznámka Omezenost funkce f na uzavřeném intervalu J nám zaručuje eistenci suprema a infima funkce f na. J ij ij V případě, že f ( ) na J, mají tyto součty následující geometrický význam: součin m ij ( J ij ) je objem kvádru vepsaného ploše, součin M J ) je objem kvádru opsaného ploše, ij ( ij součet s( f, D) je součtem objemů kvádrů vepsaných a součet S( f, D) je součtem objemů kvádrů opsaných ploše z f (, y). Zřejmě platí vztah (.) m( J) s( f, D) S( f, D) M( J), kde m inf f (, y) a M sup f (, y). (, y) J (, y) J Tím že množina všech dolních a horních součtů funkce je omezená, má každá z uvažovaných množin své supremum a infimum. f Jednomu dělení intervalu J přísluší jeden dolní a jeden horní součet. Interval J můžeme rozdělit nekonečně mnoha způsoby. Uvažujme nyní všechna možná dělení D intervalu J. Dostaneme množinu příslušných dolních a příslušných horních součtů. Podle (.) mají tyto množiny supremum i infimum. Definice. Číslo J f (, y) ddy sup s( f, Dn ) D n nazveme dolním Riemannovým integrálem f. a číslo f, y) ddy inf S( f, D ) horním Riemannovým integrálem funkce na intervalu J J ( n D n n

165 65 DVOJNÝ INTEGRÁL Jestliže se obě tato čísla sobě rovnají, říkáme, že funkce f je ( riemannovsky ) integrovatelná na intervalu J. Pro obě tato čísla pak užíváme společné označení dvojným Riemannovým integrálem funkce Poznámka f na intervalu J. f (, y) ddy a toto číslo nazýváme Z předpokladu omezenosti funkce f na intervalu J vyplývá, že horní a dolní součet, horní a dolní integrál a dvojný integrál funkce f na intervalu J jsou vlastně čísla. Pro dvojný integrál se také používá značení intervalu J usoudíme, že jde o integrál dvojný. f (, y) ddy, přičemž podle dvojrozměrného Věta. (O integrovatelnosti funkce.) Je-li funkce f spojitá na intervalu J R, je na tomto intervalu integrovatelná (integrabilní) podle Riemanna. Píšeme pak Definice. Funkce je skoro všude spojitá, pokud má konečný počet bodů nespojitosti nebo všechny její body nespojitosti leží na jednom nebo na více, avšak pouze na konečně mnoha, grafech spojitých funkcí. Věta. (O integrovatelnosti funkce.) Je-li funkce f omezená a skoro všude spojitá na intervalu J R, pak je na tomto intervalu riemannovsky integrovatelná. Pro dvojný R-integrál platí věty analogické větám pro jednorozměrný Riemannův integrál. J J f R( J). Věta. (vlastnosti riemannovsky integrovatelných funkcí) Nechť funkce f, g R(J) riemannovsky integrovatelné na J ), c R, f (, y) g(, y) pro (, y) J, pak (jsou. f+g R(J) a platí,,,, f y g y ddy f y ddy g y ddy J J J (tzv. linearita integrálu). c f R(J) a platí J,, c f y ddy c f y ddy J. f g R(J) 4. f, y ddy g, y ddy (tzv. monotonie integrálu) J J

166 MATEMATICKÁ ANALÝZA f R(J) a platí J,, f y ddy f y ddy J 6. Je-li pro bod (, y) J a A f(,y) B (konstanty A, B R ), pak platí A (J) J f (, y)ddy B (J) 7. (aditivita integrálu vzhledem k integračnímu oboru) Jsou-li J, J dva uzavřené intervaly, které vznikly rozdělením intervalu J úsečkou rovnoběžnou s osou resp. y, pak f ( J ), f R( J ) a platí Poznámky,,, f y ddy f y ddy f y ddy J J J Tvrzení. a. Věty. lze zobecnit (na konečný počet funkcí) Zvolme f (, y) pro (, y) J. Potom obsah J Tvrzení 7. Věty. lze rozšířit na konečný počet podmnožin J (podintervalů J ), J i R, f (, y) ddy = f (, y) ddy f (, y) ddy... ddy R C f C f... C f ddy C f ddy C f ddy... C f ddy n n n n J J J J ( J) J J f (, y)ddy J i,,...,n J J dyd J J n i f (, y) ddy i R Výpočet dvojného integrálu postupnými integracemi dvojnásobný integrál Výpočet dvojného integrálu se převádí na výpočet dvou jednorozměrných integrálů. V následujícím výkladu se dozvíme, jak se prakticky počítá dvojný integrál. Začneme nejjednodušším příkladem, kdy integračním oborem je dvojrozměrný interval.

167 67 DVOJNÝ INTEGRÁL Věta.4 (Fubiniova) Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu J a, b c, d. Potom platí b d d b f, yddy f, ydy d f, yd dy J a c c a Poznámka Integrály na pravé straně vzorce se vzhledem k dvojí integraci nazývají dvojnásobné integrály. Často se pro ně užívá i tento zápis: b d d f, ydy, resp. dy f, yd a c Fubiniova věty říká, jak lze dvojný integrál převést na dvojnásobný. Při výpočtu dvojnásobného integrálu integrujeme nejprve podle jedné proměnné (např. y ) při konstantní druhé proměnné ( ) a výsledek integrujeme podle této druhé proměnné. Obě pořadí integrováni jsou ekvivalentní, pokud jde o výsledek. Mohou se však lišit pracností výpočtu a může se také stát, že při jednom z obou možných pořadí dospějeme k integrálu, který neumíme vypočítat. Tzn., že volba integračního pořadí může hrát zásadní roli. Poznámka (Geometrická interpretace věty.4.) Předpokládejme, že f je spojitá a kladná na J. d Při pevném dává integrál f, y dy F (integruje se jen podle y a výsledek závisí na ) c obsah řezu tělesa rovinou = konstanta (viz obrázek). Při malém představuje F() neboli d f, ydy c objem malé vrstvy uvažovaného tělesa. Výsledek (tj. f () ) potom integrujeme podle od a do b a získáme objem tělesa, jehož podstava je J, stěny jsou části roviny a, b, y c, y d a horní podstava je část plochy z f (, y). K témuž výsledku dospějeme, rozřežeme-li těleso na vrstvy rovinami y = konstanta. V obou případech platí, že hodnota vnitřního integrálu může záviset té druhé proměnné. d c b a Příklad Spočítejte dvojný integrál ( + y) ddy přes obdélník Q =,,. Q Řešení: Integrál spočteme podle Věty.4. ( + y) Q ddy = ( ( + y) dy) d = [y + y ( + ) d = [ + ] 9 = + 9 = 7 ] d = ( + ) d =

168 MATEMATICKÁ ANALÝZA 68 Dvojný integrál přes měřitelné množiny V prai většinou potřebujeme integrovat přes množiny obecnějšího tvaru, než jsou uzavřené obdélníky. I v tomto případě převádíme dvojný integrál na dvojnásobný, s tím rozdílem, že meze nebudou konstanty. Jako integrační obory dvojných integrálů budeme připouštět pouze měřitelné množiny, neboť většinou se v aplikacích setkáme s dvojnými integrály spojitých funkcí na měřitelných množinách. Pojem míry je zobecněním pojmu obsahu rovinného obrazce (v R ) resp. pojmu objemu tělesa (v R ). Vlastně všechny geometrické útvary, jejichž obsah, resp. objem známe z elementární geometrie jsou měřitelné a jejich míra je rovna jejich obsahu, resp. objemu. Věta.5 Omezená množina M R je měřitelná (v R ), právě když její hranice je tvořena grafy spojitých funkcí jedné proměnné definovaných na uzavřeném intervalu. Poznámka Nejdůležitější z měřitelných množin jsou množiny těchto tří typů (s nimi v praktických případech vystačíme) Elementární obor vzhledem k je množina M (, y) R a, b f ( ) y g( ), kde f a g jsou funkce jedné proměnné definované a spojité na a,b, přičemž pro každé ( a, b) je f ( ) g( ). Elementární obor vzhledem k y je množina M (, y) R y c, d ( y) ( y), kde a jsou funkce jedné proměnné definované a spojité na c,d, přičemž pro každé y c, d je ( y) ( y). Elementární obor je uzavřená množina, kterou lze vyjádřit jako sjednocení konečně mnoha elementárních oborů vzhledem k či y, které se navzájem nepřekrývají. Příklad Na následujícím obrázku je nakreslen obor, který je elementární vzhledem k ose y i vzhledem k ose. Je patrné, že máme více možností jakým způsobem integrační obor vymezit. Poznámka V některých učebnicích se místo pojmu elementární používá pojem normální nebo regulární a místo obor se používá oblast nebo, množina. Věta.6 (Fubiniova věta pro dvojný integrál přes obecnou měřitelnou množinu.) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném elementárním oboru D vzhledem k ( a b, h( ) y g( ) ). Potom b g f, yddy f, ydyd D a h

169 69 DVOJNÝ INTEGRÁL Věta.7 (Fubiniova věta pro dvojný integrál přes obecnou měřitelnou množinu.) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném elementárním oboru D vzhledem k y ( c y d, ( y) ( y) ). Pak Příklad Spočítejte dvojný integrál y Ω ddy, pro Ω:, y. Řešení: Podle obrázku Obr.. určíme meze oblasti Ω. Hodnotu integrálu spočteme podle Fubiniovy věty.6. d y f, yddy f, yddy D c y Obrázek. Oblast Ω y Ω ddy = ( y dy) = 5 [8 8 ] =. d = [ y ] d = (8 6 )d = Poznámka Pořadí integrace na elementárním oboru je třeba volit tak, aby meze v posledním integrálu byly konstanty. Pro výpočet je důležité správné určení mezí. Příklad Když A. A je trojúhelník o vrcholech (,), (,), (,), stanovte meze pro integraci přes obor Řešení Postupujeme následovně: a) Buď je pevné, pak A :,, y,, b) nebo y je pevné, pak A : y,,, y.

170 MATEMATICKÁ ANALÝZA 7 V žádném případě se nemůže jednat o kartézský součin intervalů A : y,,, y, který představuje čtverec a ne trojúhelník. To znamená, že jakmile vypadá integrál takto b d d a c fdy, jde o čtverec nebo obdélník. Transformace do polárních souřadnic Věta.8 (Substituce ve dvojném integrálu) Nechť * R je otevřená, měřitelná množina, funkce (, ), y y(, ) určují prosté regulární zobrazení : * R, kterému přísluší Jacobiova matice J y y, funkce f : R je na spojitá. Pak na f (, y) ddy * f ( (, ), y(, )) detj d d. Poznámka V rovině je možné provádět transformaci do polárních souřadnic, která má tvar cos, y sin, kde,, Jacobián J. (Viz Obr..) Obrázek. Polární souřadnice Příklad Pomocí transformace do polárních souřadnic spočítejte y Ω + y ddy, kde Ω:, y. Řešení: Položíme = ρcosφ, y = ρsinφ; Jakobián J = ρ. Na základě obrázku určíme, že proměnná ρ, a φ =, π. Hodnotu integrálu spočteme podle Věty.8.

171 7 DVOJNÝ INTEGRÁL Obrázek. Oblast Ω y Ω ρ π + y ddy = ( ρ sinφ ρ sin φ + ρ cos φ ρdφ) dρ = ( ρ sinφdφ) dρ = π [ cosφ] dρ = ρ dρ = [ ρ4 ] 4 =. 4 π Geometrické aplikace dvojného integrálu Pomocí dvojného integrálu můžeme spočítat Obsah P plochy rovinného uzavřeného obrazce M R ( M je například obdélník, čtverec, elementární obor) je P M ) ( M ddy. Příklad Spočítejte míru rovinné oblasti Ω: + y =, y =, y =. Řešení: Oblast je omezená kružnicí se středem S = (,), osou. a. kvadrantu a osou (viz Obr..4). Obrázek.4 Oblast Ω

172 MATEMATICKÁ ANALÝZA 7 μ = d dy = ( Ω π 4 cosφ π 4 dφ) dφ = cos φdφ = ( + cosφ)dφ = [φ sinφ ] π 4 π 4 = π 4 Objem V válcového tělesa T. Nechť M R a f spojitá nezáporná funkce definovaná na M. Potom válcové těleso T (, y, z) R : (, y) M z f (, y) má objem V ( T) f (, y) ddy. M Příslušné těleso T je ohraničené shora plochou y f (. y), zdola rovinou z a ze stran válcovou plochou, jejímž kolmým průmětem do roviny y je plocha M. Příklad Spočítejte objem přímého válce + y = 4, omezeného rovinami + y + z = 4, z =. Řešení Na obrázku Obr..4 je znázorněno těleso, jehož objem máme spočítat. Obrázek.5 Oblast Ω V = (φ y) Ω = (8 φ φ ) φ ddy = ( (φ y) dy) d = φ d = 8 φ d [4y y y ] φ φ φ d. d = V dalším výpočtu využijeme toho, že integrovaná funkce v. integrálu je sudá a integrovaná

173 7 DVOJNÝ INTEGRÁL funkce ve. integrálu je lichá (tzn.. intergrál=). V = 8 4 π 6 4 subst. = sint π d = costdt = = t = arcsin = = 6 4 4sin t = t = arcsin = π cos π π tdt = 6 ( + cost)dt = [t + sint ] = 6π costdt = Dvojný Riemannův integrál je zobecněním integrálu jednorozměrného definovaného na přímce, na integrál definovaný v rovině. Konstruuje se obdobně jako jednorozměrný: Integrovanou oblast aproimujeme sjednocením disjunktních obdélníků. Pro zvolené dělení určíme horní a dolní součty. Zvolené dělení postupně zjemňujeme. Když provedeme limitní přechod a limity horních a dolních součtů se rovnají, říkáme, že funkce je Riemannovsky integrovatelná v R. Dvojné integrály se řeší převodem na integrály dvojnásobné. Eventuelně se ke zjednodušení integrace využívá transformace do polárních souřadnic.. Jaký je geometrický význam dvojného integrálu?. Jak se převede dvojný integrál na dvojnásobný?. Napište tvar transformace do polárních souřadnic. 4. Spočítejte d dy, když Ω: + y = 9, + y = 4. Ω [Výsledek: 5π.] Základní literatura: [] DRÁBEK, P., MÍKA, S. Matematická analýza II, 4. vyd. Plzeň, ZČU Plzeň,. 69 stran. ISBN X []DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , [] MŠOVÁ, V.: Matematická analýza II..vyd, UP Olomouc 5. 4 stran. ISBN

174 Kapitola Trojný integrál Po prostudování kapitoly budete umět: vysvětlit, jak byl odvozen Riemannův trojrozměrný integrál převést trojný integrál na trojnásobný aplikovat trojný integrál na praktické úlohy Klíčová slova: Trojný integrál, trojnásobný integrál, Fubiniova věta, transformace do cylindrických a sférických souřadnic

175 75 TROJNÝ INTEGRÁL Definice trojného Riemannova integrálu Odvození trojrozměrného Riemannova integrálu je obdobné jako u integrálu jednorozměrného a dvojrozměrného. Tentokrát se ale integruje přes integrační obor a integrandem je obecně funkce tří proměnných. Integrál se pak definuje jako společná limita posloupnosti dolních a horních součtů pro zjemňující se dělení. Popřípadě je také možné definovat integrál jako limitu integrálních součtů pro zjemňující se dělení. Definujme nyní trojný integrál Výpočet trojného integrálu Věta. (Integrace přes hranol) Nechť funkce je na hranolu riemannovsky integrovatelná, pak R )., ( z y f u Q k k D Q n i m j r k k k j j i i ijk ijk ijk k i ijk k k j j i i r k m i j n k k j j i i ijk r m n f D G z y z y f z z y y f f D G r k m j n i r k m j n i Q z z y y D r k m j n i z z y y Q D q z z p d y y c b a q p d c b a z y f u,, lim d d d ),, (,,,...,,,...,,,..., :,...,,,...,,,...,, ),, ( ma ) (,...,,,...,,,...,,,, :...,...,...,,, Q funkce na - omezená ),, ( ) ( j!!. d d d,, d d )d,, ( y z z y f z y z y f d c b a q p Q

176 MATEMATICKÁ ANALÝZA 76 Příklad Spočítejte Q ( y z)ddydz, Q :, y, z. Řešení ( y + z) Q = ( [y + y ddydz = ( [( y)z + z ] + 9 [y] ) ] d = ( ( ) + 9 ) dy) d = ( (( y) 9 ) dy) d = d = 6 d = 6 [ ] =. Věta. (Fubiniova integrace přes normální oblast) Nechť funkce f R() je na oblasti, y, z) R : (, y) G, z (, y) z z (, y), kde G označuje průmět do roviny, y, a eistuje ( z (, y) f (, y, z)dz pro (, y) G, pak eistuje také trojný integrál z (, y) f (, y, z)ddydz G z (, z (, y) f (, y, z)dz dyd. y) Příklad Spočítejte ( y )ddydz, : y z,, y, z Řešení Oblast tvoří čtyřstěn (viz obrázek Obr..). Můžeme se na ní dívat jako na oblast normální vzhledem k ose, která je vymezena nerovnostmi, y, z y. Zadaný trojný integrál pomocí Věty. převedeme na trojnásobný a spočteme. Obrázek. Oblast

177 77 TROJNÝ INTEGRÁL ( + y ) Ω y ddydz = ( ( ( + y) dz) dy) d = ( [z + y z] y dy) d = ( ( y + y y y ) dy) = t ( )4 ) d = d = dt = = t = ( ( t)t t4 ) = t = 5. d = ( ( ) + dt = [ t t4 4 ] [t5 5 ] = Věta. (Substituce v trojném integrálu) Nechť a funkce f : R je na spojitá, pak * R kde je Jacobiova matice transformace. je otevřená měřitelná množina, funkce (,, ), y y(,, ), z z(,, ) určují prosté regulární zobrazení : * na R f (, y, z) ddydz f ( (,, ), y(,, ), z(,, )) detj ddd, J y z y z y z * Poznámka Transformace do cylindrických souřadnic má tvar,, z R. Jacobián J. (Viz Obr..) cos, y sin, z z, kde z z M y Obrázek. Cylindrické souřadnice

178 MATEMATICKÁ ANALÝZA 78 a transformace do sférických souřadnic cos sin, y sin sin, z sin, kde,,. Jacobián J sin. z M y Obrázek. Sférické souřadnice Příklad Spočítejte y ddydz, : y 4, z Řešení Oblast, přes kterou se integruje je válec (viz Obr..4). Bude výhodné provést transformaci do cylindrických souřadnic cos, y sin, z z, kde,, z. Jacobián J. Obrázek.4 Oblast

179 79 TROJNÝ INTEGRÁL + y Ω π ( ρ dφ) π π ddydz = ( ( ρ dz) dφ) dρ = ( [ρ z] dφ) dρ = dρ = ρ [φ] πdρ = πρ dρ = 6π [ ρ ] = 6π. Příklad Spočítejte y ddydz, : y z a, y z, a. Řešení Oblast, přes kterou se integruje, tvoří koule se středem v počátku a poloměrem a, ze které je odstraněn vnitřek kuželu, který má vrchol v počátku jeho průnik s kulovou plochou je kružnice y a / na ploše z a / (viz Obr..5). Obrázek.5 Oblast Integrál transformujeme do sférických souřadnic J sin. cos sin, y sin sin, z cos, Z rovnice kulové plochy máme cos sin sin sin cos a (sin cos ) a a a tedy a. Z rovnice kuželové plochy cos sin sin sin sin cos tg a tedy. 4 cos

180 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Současně. + y ddydz = Ω π ( π 4 a ( ρsin ρ sin dρ) d ) π dφ = ( 4 4 a 4 sin d ) dφ π = ( 4 4 a 4 ( cos ) d dφ = 4 4 a = 6 π(π ) ) 4 a π 4 4 a 4 π = π( π sin ( 4 4 ) Aplikace trojného integrálu Geometrické aplikace Míra oblasti R je ddydz Příklad Spočítejte objem čtyřstěnu vymezeného nerovnostmi 4, y 4, 4 y. Řešení Na obrázku Obr..6 je zadaný čtyřstěn. Obrázek.6. Oblast

181 8 TROJNÝ INTEGRÁL ddydz Ω y dy) d = y 4 = ( ( dz) dy) d = ( y 4y y 4 d y [z] 8 4 d dy) d = ( Fyzikální aplikace Nejprve označme h funkci hustoty tělesa R (v příkladech bývá často h ). Pak hmotnost tělesa je m h (, y, z) d dy dz.. Statické momenty tělesa vzhledem k souřadným rovinám jsou h(, y, z) z d dy dz, M z M yz M M z y Souřadnice těžiště T tělesa : T, yt, zt, T ( T, yt, zt ). m m m Příklad Stanovte souřadnice těžiště homogenního tělesa y, z 4., které je omezené plochami Řešení Na obrázku Obr..7 je nakreslené zadané těleso. Těžiště spočteme použitím vzorců pro výpočet těžiště homogenního tělesa. h, y, z) y d dy dz, h(, y, z) d dy dz. ( M zy R M y Obrázek.7 Homogenní těleso m = d Ω 4 dydz = ( [y] d = 4 4 [ ( ) ] =. ( dz) dy) d = ( [z] 4 dy) d = ( 4 dy) d =

182 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 M yz = ( 4 ( dz) dy) d = ( )d = 4 [ ] = 4 = 6 M z = ( 4 ( y )d = [ + ] = M y = ( 8 4 ( z dz) dy) d = ( dz) dy) d = ( 4dy) y 4dy) [ z ] [y] d = (8 8)d = [8 4 ] = 4 Těžiště tělesa T = (,, ). d = d = 4 [ y ] 4[y] d = 4 ( d = dy) d = ( 8 dy) d = ( + Trojný integrál je zobecněním jednorozměrného Riemannova integrálu do trojrozměrného prostoru. Jeho výpočet lze realizovat převedením na integrál trojnásobný na základě Fubiniovy věty. Výpočet trojného integrálu přes složitější oblasti lze zjednodušit použitím transformace do křivočarých souřadnic (cylindrických nebo sférických).. Vysvětlete, jak se liší konstrukce trojného Riemannova integrálu od konstrukce integrálu dvojného.. Na základě jakého tvrzení lze převést trojný integrál na trojnásobný? Vyslovte příslušnou matematickou větu.. Vyslovte větu o transformaci trojného integrálu do křivočarých souřadnic. 4. Spočítejte objem tělesa omezeného plochami z = 4 y, z = y +, =, =. 5. Stanovte souřadnice těžiště homogenního tělesa R, které je omezené plo- chami y z, z.

183 8 TROJNÝ INTEGRÁL Základní literatura: [] DRÁBEK, P., MÍKA, S. Matematická analýza II, 4. vyd. Plzeň, ZČU Plzeň,. 69 stran. ISBN X [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MŠOVÁ, V.: Matematická analýza II..vyd, UP Olomouc 5. 4 stran. ISBN