Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Transkript

1 Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor a, který je roven lineární kombinaci α u + β v + γ w.. u = 4,,, v = 5,,, w =,,, α =, β =, γ = Najděte vektor, který vyhovuje zadané rovnici u = u + 6v, kde u =,,,, v =,,, 5 Vypočítejte skalární součin zadaných vektorů. Návod: Užijte formuli u v = u v u n v n. 5. u =,,, v = 4,, Vypočítejte, jaký úhel svírají zadané vektory. Návod: Užijte formuli cos ϑ = u v/ u v.. u =,, v =, Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule. 5. u =, α +, v =, + α V následujících příkladech jsou dány vektory z VIE až VIE 4. Zjistěte a zda jsou tyto vektory lineárně závislé nebo lineárně nezávislé, b jaká je dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován a c které vektory tvoří bázi tohoto vektorového prostoru. Rozmyslete si skutečnost, že otázku b by bylo možné také formulovat takto: Jaká je hodnost matice, jejíž řádky nebo sloupce jsou tvořeny danými vektory? 4. u =,, v =, 4. u =,, v =, 44. u =, 4,, v =,, 45. u =, 5,, v =, 5, 5. =, 5, y =,, z = 5, 5 5. =,,, y =,,, z =, 9, 8 5. =,,,, y =,, 5,, z = 4, 6, 5, V následujících příkladech jsou dány vektory z VIE až VIE 4, v jejichž souřadnicích se vyskytují parametry. Zjistěte a pro které hodnoty parametrů jsou tyto vektory lineárně závislé a b jaká je v těchto případech dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován. Návod: Utvořte matici, jejíž řádky jsou tvořeny zadanými vektory. V závislosti na vyskytujících se parametrech vyšetřete hodnost matice. 68. a =,,, b =,,, c = α,, α +, d = α, α, 69. u = k,,, v =, k,, w =,, k 7. u =,, a, v =, a, a, w =,, Vyjádřete vektory a, b jako lineární kombinaci vektorů u, v respektive u, v, w pokud to jde. Je vyjádření jednoznačné? Návod: Vektor a hledejte ve tvaru a = αu + βv. Rozepište toto vyjádření do souřadnic. Obdržíte soustavu rovnic pro neznámé α a β. 7. a =,, 5, b = 5, 6, 7, u =,,, v =,,, w = 5,, 8

2 a Tvoří následující vektory bázi vektorového prostoru V? b Jaká je dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován? Rozmyslete si skutečnost, že otázku b by bylo možné formulovat také takto: Jaká je hodnost matice, jejíž řádky nebo sloupce jsou tvořeny danými vektory? 79. V = VIE, a =, 7,, b = 5,, V následujících příkladech je zadán vektorový prostor V a jeho podmnožina V. Rozhodněte, zda V je podprostorem vektorového prostoru V. 85. V = VIE, V = {a, b, c; a, b, c IR, a + b = } 9. V = VIE 4, V = {u, v, w, ; u, v, w, IR, u v + w } V následujících příkladech je V množinou, jejímiž prvky jsou funkce definované na intervalu I. Součet f +g libovolných dvou funkcí f a g z V je definován takto: f +g = f+g pro I. Součin λ f libovolného reálného čísla λ a libovolné funkce f z V je definován takto: λ f = λ f pro I. Ověřte, zda množina V spolu s uvedenými operacemi je vektorovým prostorem. 9. I =, +, V je množina všech funkcí, které mají tvar α sin + β cos + γ kde α, β, γ IR. 94. I =, +, V je množina všech funkcí, které mají tvar α + β + γ kde α, β, γ IR. I.. Matice, determinanty Vypočítejte matici A B.,,, 4,, 9. A =, B =,,,. A =, B =,,, 5, 5,,,,, 4,,,,,,. A =, B =. A =,,, B =,, 4,,,,,,,,, Proveďte naznačené operace., 7. 4.,,,,,,, T,, V následujících příkladech vypočítejte matici A B B A.,, 4,,,,. A =,,, B = 4,,. A =,,, B =,,,,,, Nalezněte, y IR taková, aby platila rovnice T,, 9. = 4. y + 6, 4, + y, =, y [,,,,,, 4, 5,, ]T, Určete hodnost zadané matice. Je-li matice čtvercová, rozhodněte, zda je regulární či singulární.,,,,,,, 4.,, 48., 6, 9, 4, 4, 49., 9, 5,, 7, 7 4, 8,, 5,, K zadaným maticím spočítejte inverzní matice pokud eistují.

3 6. 68.,, 6.,,,, 7.,,,,,, 66.,,,,,, 7.,,,,,,, 4, 5 cos, sin sin, cos Nalezněte matici X, pro kterou platí,,,, 74. X,, = 4,,, 75. X =,,,,, A =,,,,, B =. Určete matici X, pro kterou platí A X = A B,,. 77. Řešte maticovou rovnici A X B = C, kde A = 78. Je dána matice A =, +, y, + y,. z, + z,,, B = 5,,,, C =.,, Pro jaká, y, z R je matice A regulární? Vypočítejte A pro =, y =, z =. Vypočítejte následující determinanty. 8. cos, sin, 5, sin, cos 85., 7, 4,, 4 a, a, a 9. a, a, a, a,.,,,,,, a, b,,,,, I.4. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercových matic Najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory těchto matic ,, 6., 4 5,,,,, 4.,, 7., a a,,, 4,, 44. 4, 8, 5, 6, 8.,,,,, 5, 6 4, 6, 9, 6, 8 V následujících příkladech předpokládáme, že A je čtvercová matice typu, jejímiž prvky jsou reálná čísla. Rozhodněte, zda je možné, aby matice A měla uvedená vlastní čísla a případně též uvedené odpovídající vlastní vektory. 45. vlastní čísla:,, + i 46. vlastní čísla:, + i, i, vlastní vektory:, + i, i Vypočítejte inverzní matici k matici A a najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory inverzní matice A. Porovnejte výsledky s vlastními čísly a vlastními vektory matice A. 5, 6,,, 4, 5 5. A = 5. A = 5. A = 5. A =,,, 5, 5,,,

4 K zadané čtvercové matici A vypočítejte matici A a najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A. Porovnejte výsledky s vlastními čísly a vlastními vektory matice A.,,,,, 55. A = 56. A = 57. A = 58. A = 5,,,,,,, I.5. Soustavy lineárních algebraických rovnic Pomocí Frobeniovy věty rozhodněte, zda následující soustavy rovnic mají řešení a jaký je jejich počet. 7. y = y = 4 5y = y + z = 9 + 5y + 4z = 5 + y + 6z = y = 5 + 4y + z = 7 + y + 5z = Pomocí Frobeniovy věty vyšetřete, kolik řešení mají v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů následující soustavy. 78. a + y + z = + ay + z = + y + az = 8. a y = a y = 8. y + z + u = + y z + 4u = + 7y 4z + u = λ Ověřte, zda je možné použít při řešení následujících soustav rovnic Cramerovo pravidlo. V kladném případě soustavu pomocí tohoto pravidla řešte. Návod: Cramerovo pravidlo lze použít, je-li matice soustavy regulární. 87. y + z = + y z = 7 4y z = 88. y + z = + y z = + y + z = y z = + y + z = + y + z = Vyšetřete, jaká je v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů dimenze vektorového prostoru všech řešení následujících homogenních soustav lineárních algebraických rovnic.. + y z = y + z = λ + y 4z =. 4 + y z = + y + z = λ + y λz = Řešte Gaussovou eliminační metodou homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic. 8. y + z = + y 5z = + y z = = + 4 = = = = = = + 4 =. + + = + = = = = + 4 = = = Řešte eliminační metodou následující nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic y + z = 4 + y z = + y + z = 8. + y + z = 5 y z = + y + 4z = = 7 = 7 + = + 4 = 6

5 = 4 = + 4 = = = = + 4 = = Řešte následující soustavy lineárních algebraických rovnic s parametry. 48. a + y + z = 4 + y + z = + 4y + z = a y + z = ay + z = y + az = 5. α + y + z = α + + αy + z = + y + αz = Kolik řešení v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů mají následující soustavy lineárních algebraických rovnic? Pro zadané hodnoty parametrů soustavy vyřešte. Návod: Užijte Frobeniovu větu. 59. a + a + y + z = a y + z = + y + z = [ a = ] 6. + y + z = 5 + y + z = k y z = [ k = 5 ] 69. Určete všechny hodnoty parametru λ, pro něž má soustava A X = O nenulové řešení a λ, 4, 7 vypočítejte toto řešení. Matice A má tvar: A =, 4, 5, λ, 4 Návod: Hledané hodnoty λ jsou ty hodnoty, pro které je matice A singulární a její determinant je tudíž roven nule. 7. Cramerovým pravidlem řešte soustavu + y z = 4 4y z = 8 9z =. III. DIFERENCIÁLNÍ POČET III.. Posloupnosti reálných čísel O následujících posloupnostech rozhodněte, zda jsou rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotnní, ryze monotnní, omezené zdola, omezené shora, omezené, neomezené. Předpokládáme, že n =,,,... { 575. } { + n n } { n } { + n } Vypočítejte následující limity. 59. lim + n 599. lim 6. lim 5n n + 5n 4n + n 58. n + { n n lim } n n + 5 n n lim 58. n + { n + 5 } n lim n + + n n + n n 4n + n n lim n n + n 5 n n + n + n +

6 69. lim n + n 6. lim n + n lim n nn n 6. lim n n + n 6. lim 5 + 8n n 69. lim 67. lim 64. lim 65. lim + sin n n + n +! + n +! n +! n + 4! n +! n +! 68. lim n + cos n! n lim 654. lim n 9n lim n! + n +! n! + n +! n + n 4 n arctg n n + III.. Funkce základní pojmy a vlastnosti Stanovte definiční obory následujících funkcí. Návod: Pokud definiční obor není eplicitně zadán, je jím množina všech, pro která má výraz, jímž je funkce definovaná, smysl y = 66. y = ln y = arcsin y = ln y = 668. y = ln Jsou dány funkce f a f. Sestavte složené funkce g = f f a h = f f f =, f = sin 675. f = ln +, f = f = + 5, f = sin f = cos +, f = + Které z následujících funkcí jsou sudé a které liché? 687. y = + cos 694. y = y = cos + cos Které z následujících funkcí jsou periodické a s jakou periodou? 698. y = sin + cos 74. y = y = cos / Na základě znalosti grafů elementárních funkcí nakreslete grafy následujících funkcí. 79. y = sin 78. y = arcsin 5 7. y = y = + 7. y = ln 74. y = ln 5 III.. Limita a spojitost funkce Je dána funkce f a kladné číslo ε. Vypočítejte hodnotu L limity lim + f a najděte reálné číslo a takové, že pro všechna a, + je f U ε L. Návod: Užijte definici limity funkce f = +, ε = f = 5 + e, ε =. Vypočítejte následující limity pokud eistují. 79. lim lim lim lim + + / 87. lim lim + 6

7 87. lim tg lim + sin lim + arcsin 88. lim + e e sin sin cos arctg 89. lim 84. lim 86. lim + sin 866. lim lim + e 864. lim arctg 869. lim e + ln cos 89. lim Vypočítejte následující jednostranné limity. 9. lim lim ln 99. lim Limity, které jsou uvedené v následujících příkladech, neeistují. Zdůvodněte, proč tomu tak je. 9. lim 94. lim sin 96. lim + V jakých maimálních intervalech jsou následující funkce spojité? 99. y = y = y = y = e + / 99. y = ln 94. y = e III.4. Derivace funkce a její geometrický i fyzikální význam Vypočítejte derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká je derivace definovaná. a Polynomy, racionální funkce, jejich mocniny a odmocniny. 96. y = y = y = y = y = y = b Goniometrické funkce a pomocí nich vytvořené složené funkce. 99. y = sin 99. y = cos 99. y = sin y = sin + +. y = tg. y = + + sin c Cyklometrické funkce a pomocí nich vytvořené složené funkce. 8. y = arcsin + 9. y = arccos + 6. y = arctg d Eponenciální a logaritmické funkce a složené funkce, které jsou z nich vytvořené. 7. y = e 8. y = e 5 +. y = e. y = e y = ln y = ln + + e Různé další funkce. 47. y = ln y = e + 5. y = arcsin + Najděte derivaci dané funkce f a nakreslete graf funkce f i její derivace f. Návod: Uvědomte si, že = pro >, = pro < a funkce nemá derivaci v bodě =. 7

8 55. f = 56. f = ln 57. f = Vypočítejte f + a f. Návod: Pokud eistuje limita zprava lim + f, má funkce f v bodě derivaci zprava f + rovnou této limitě. Stejné tvrzení platí o derivaci zleva. 58. f =, = 6. f = 4, = 4 Vypočítejte druhé derivace následujících funkcí. Určete, pro jaká je druhá derivace definovaná. Návod: f je rovno derivaci funkce f, tj. derivaci první derivace funkce f. 66. y = y = cotg 7. y = + Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě [, f ]. Návod: Rovnice tečny: y y = k, kde y = f a k = f. Rovnice normály: y y = /k. 9. f = e +, =. f = sin, = π 8. Ve kterém bodě paraboly y = + 4 je její tečna rovnoběžná s osou? Návod: Najděte bod ve kterém je derivace funkce + 4 rovna nule. Dopočítejte y z rovnice paraboly. 9. Ve kterém bodě paraboly y = +5 je její tečna kolmá k ose prvního kvadrantu? Návod: Osou prvního kvadrantu je přímka y =, která má směrnici k =. Najděte bod, ve kterém má funkce + 5 derivaci k =. Dopočítejte y z rovnice paraboly. 5. Pro jaká Df eistuje tečna ke grafu funkce f = ln + v bodě [, f ]? Eistuje tečna rovnoběžná s osou? Najděte rovnici tečny v bodě [, f ] pro = 5. III.5. Užití derivace, průběh funkce Najděte intervaly, ve kterých je daná funkce ryze monotnní. Určete také, je-li zde rostoucí nebo klesající. Návod: O tom, kde je funkce rostoucí nebo klesající, rozhodněte podle znaménka první derivace. 44. f = f = f = e 48. f = 5. f = f = ln Určete definiční obor funkce f, vypočítejte jednostranné limity v krajních bodech intervalů tvořících definiční obor a určete intervaly, kde je funkce f rostoucí nebo klesající. Načrtněte graf funkce f. 6. f = e 6. f = / Rozhodněte, zda funkce f má na intervalu I maimum a minimum. V kladném případě najděte hodnotu těchto etrémů a zjistěte, ve kterých bodech jich funkce f nabývá. 64. f = 4 + 5, I =, 69. f = 5 4, I =, 74. f = + 6 6, I =, f = 4 4, I =, f = +, I =, 79. f = ln 6 +, I =, 6 Najděte lokální i globální etrémy následujících funkcí na jejich definičních oborech. 4. y = ln 9. y = ln 8. y = +

9 4. y = 9 7. y = y = + 4. Je dána funkce f = + e. Vyšetřete její definiční obor, vypočítejte jednostranné limity v krajních bodech definičního oboru a vyšetřete lokální etrémy. Vyšetřete, na jakých maimálních intervalech jsou následující funkce konvení a konkávní a určete jejich inflení body. Návod: O tom, kde je funkce konvení nebo konkávní, rozhodněte pomocí znaménka druhé derivace. 55. y = y = y = + 6. y = ln + 6. y = ln y = arctg Vyšetřete, zda a jaké asymptoty mají následující funkce. 67. y = y = 7. y = y = + 7. y = + arctg 75. y = + ln Vyšetřete průběh následujících funkcí. 77. y = y = 79. y = e 8. y = y = 4 9. y = + e / 9. y = 95. y = + 8. y = e 7. y = arccos + 9. y = ln 4. y = + arccotg III.6. Taylorova věta Sestavte Taylorův polynom n tého stupně funkce f v bodě. Napište, jak lze vyjádřit zbytek po n tém členu.. f = e, n = 5, =. f = e, n = 5, =. f = e, n = 4, = 7. f = sin, n = 7, = 46. f = ln +, n = 7, = 5. f =, n = 4, = 5. f = +, n =, = 54. f =, n = 4, = Vypočítejte přibližně s přesností ε tj. s chybou nepřevyšující ε následující hodnoty. Návod: Máme vypočítat přibližně hodnotu funkce f v bodě, který se nachází,,blízko jiného bodu, ve kterém je hodnota f známá. Stanovte n tak velké, aby zbytek R n+ byl menší nebo roven ε na nějakém intervalu, obsahujícím. Poté hodnotu f vyjádřete přibližně Taylorovým polynomem T n. 6. /e, ε = 6. cos 5 o, ε = 65. ln., ε = 76. Určete Taylorův polynom T funkce f = + v bodě =. Pomocí Lagrangeova tvaru zbytku odhadněte shora výraz f T. 9

10 IV. NEURČITÝ INTEGRÁL IV.. Základní vlastnosti neurčitých integrálů, tabulkové integrály Pomocí tabulkových integrálů vypočítejte: d 45. d 45. d 454. d 455. d 458. u du d 46., +,8 5,8 d d 464. d d 47. d 47. cos 474. cos sin d 475. sin d IV.. Integrace metodou per partes cos + cos d d Metodou per partes vypočítejte: 48. e d arctg d n ln d, n e sin d 56. ln d 48. cos d ; 486. arctg d 5. e 7 cos 5 d 5. sin d e d arcsin t dt + e d IV.. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů Užitím substituční metody vypočítejte následující integrály: e 54. d 55. d e d d 5. ln 5. cos sin d 54. d d 555. e d d 58. d arcsin sin 65. d 6. d 65. ecos d 666. ln cos cos d 688. cotg d cos sin d cos d + d 4 d + d 5 e d

11 IV.4. Integrace racionálních funkcí Vypočítejte neurčité integrály: 7. 8 d 7. 4 d 74. d Pomocí rozkladu na parciální zlomky vypočítejte následující neurčité integrály: u u du 7. + u d d d d d d d d d + d + 5 d IV.5. Integrace goniometrických funkcí a jejich mocnin Vypočítejte následující neurčité integrály goniometrických funkcí. 84. sin 7 d 85. sin d 8. sin cos 5 d 8. sin cos 5 d 88. sin d 8. sin cos d sin 4 5 d 858. sin d 87. sin + cos + cos d sin sin d cos cos d 87. cos sin 4 d IV.6. Integrály typu R a + b, S c + d d. Vypočítejte neurčité integrály: d d d + d d

12 V. URČITÝ RIEMANNŮV INTEGRÁL V.. Základní vlastnosti určitých integrálů, Newtonova Leibnizova formule Pomocí tabulky neurčitých integrálů a Newtonovy Leibnizovy formule vypočítejte následující určité integrály: π/4 e + 5 d 986. cos d 99. d. a 8 a d 989. d 99. π d sin d d d V.. Výpočet určitého integrálu substituční metodou a metodou per partes. Užitím substituční metody a metody integrace per partes vypočítejte následující určité integrály: d. + d 7. + π/ sin t cos t dt. + e ln d 5. d 9. arcsin d 44. π e sin d. + ln d. arctg z + z dz. e d 6. 4 ln d 4. e / d 5 ln + d t 5 + 4t dt ln e d π/ arctg d sin d V.. Nevlastní Riemannův integrál Ověřte, zda následující nevlastní integrály konvergují, a pokud ano, určete jejich hodnoty. 5. e ln d 5. 4 d d d d ln d d 6. π/ tg d V.4. Některé geometrické aplikace určitého integrálu Určete obsahy P křivočarých lichoběžníků ohraničených osou a křivkami o rovnicích: 67. y =, =, = 68. y = 4, =, = 6

13 Určete obsahy rovinných obrazců ohraničených křivkami o rovnicích: 69. y =, y = 7. y =, y = 74. Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kuželosečky o rovnici 4 + 9y 6 = a kolem osy, b kolem osy y. 75. Určete objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích y = 8, y = a kolem osy, b kolem osy y. Určete délku oblouku křivky, která je grafem zadané funkce. Návod: Užijte vzorec l = b a [f ] + d. 77. y = pro, 8 V.5. Další příklady Načrtněte obrazec, který je ohraničen danými křivkami a vypočítejte jeho obsah.. y =, y =. y =, y = /. y = e, y = e, y = e 4. y = +, y = 5. Vypočítejte ové souřadnice průsečíků grafů daných funkcí f a g, resp. f a h, resp. g a h: f = /8, g = 8/, h = 8/. Načrtněte obrázek a určete obsah obrazce, který je omezen grafy těchto tří funkcí. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací dané křivky kolem osy. Načrtněte obrazec, který je ohraničen danou křivkou a osou. 6. y = sin,, π/ 7. y =,, 8. y = e,, 9. y =,, π/4 cos. y = sin + cos,, π/. Určete objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích y =, y = / kolem osy. Určete délky oblouků křivek, které jsou grafy daných funkcí.. y = ln 4 pro, 4. y = pro, 4 Určete střední hodnotu funkce na daném intervalu, tj. hodnotu µf = b a 4. f = sin,, π 5. f = sin,, π b a f d.

14 VÝSLEDKY I.. Vektory, vektorové prostory. a = 7,, 8. =,,, o 5. α =, 4. LN, ; u, v 4. LZ, ; např. u 44. LN, ; u, v 45. LZ, ; např. u 5. LZ, ; např. 5. LZ, ; např., y 5. LN, ;, y, z 68. pro všechna α; dim = pro α =, dim = pro α 69. k =,, ; dim = 7. a =, ; dim = 7. např. a = u + v, vyjádření není jednoznačné, b vyjádřit nelze 79. ne, 85. ano 9. ne 9. ano 94. ano I.. Matice, determinanty, 6,, 5,, 9.., 4, 7..,, 5, 7., 9, 5,, 5,,,, 4, 7 4, 4, 4 6, 4.. 6, 4, 4. 4,, 9. = 4, y = 4. = 4, y =, 5 5, 5, 4, 4, 4,,, 4., regulární 48., singulární 49., singulární 6. 6.,,,.5 9,,,,,, 4,,, neeistuje 68., 5, 7.,,,,, 7., 9,, 4, 6, 4,,, 4,,,, 74. 4, 5,.5,.5 5, 9 8, ,.5.5, 4.5 9, 5,,.5,, y, z, y z,.5,,.5.5,,.5 8. cos a a +. a b I.4. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercových matic 5. λ =, X = α, λ =, X = β 4 6. λ = 7, X = α, λ =, X = β 5 7. λ = ai, X = α, λ i = ai, X = β i 8. λ =, X = α + β, α, β C, α + β = 4. λ =, X = α β, λ =, X = α γ γ, α, β C, α, β, α, β C, α, β, α, β C, α, β, α, β, γ C, α + β =, γ 4

15 4. λ =, X = α, λ =, X = β 6, α, β C, α, β 44. λ =, X = α, α C, α 45. ne 46. ne p q, X p =, p, q C, p, q q 5. A: vl. čísla λ =, λ =,, vl. vektory X = /, / A =, vl. čísla η = /λ = /,, vl. vektory X /, / η = /λ =,, X 5. A: vl. čísla λ = 7, p 4q vl. vektory X λ =, =, X p = 5q /4, 4/4 A =, vl. čísla η = /λ = /7, vl. vektory X 5/4, /4 η = /λ = /,, X 5. A: vl. čísla λ = i 5, λ = i 5,, /5 A = /5, p pi vl. vektory X =, vl. čísla η = /λ = i/5, η = /λ = i/5,, X =, p, q C, p, q q qi, p, q C, p, q vl. vektory X, X λ 5. A: vl. č. =, λ, = ± vl. vektory X, = p p, X, = ± q ± q, p, q q /,, / A = η, /, /, vl. čísla = /λ = / η /,, /, = /λ, = / ±,, vl. vektory X, X, p q, X p =, p, q C, p, q q 55. A: vl. čísla λ =, λ =,, vl. vektory X = 5, 4 A =, vl. čísla η = λ = 9, 4, A: vl. čísla λ =, λ =,, vl. vektory X =, A =, vl. čísla η = λ =, 9, 4 η = λ =,, vl. vektory X, X p, X p = q η = λ = 4,, vl. vektory X, X 57. A: vl. čísla λ = i, p q λ = i,, vl. vektory X =, X pi = qi 4, A =, vl. číslo η = λ, 4 = λ = 4, vl. vektory X, X 58. A: vl. číslo λ =, vl. vektory X = p, p C, p p p,, A = 8, 4, 5, vl. číslo η = λ =, vl. vektory X,,, p, q C, p, q, p, q C, p, q I.5. Soustavy lineárních algebraických rovnic 7. ano 75. ano, 76. ano, 78. a,... řešení, a =... řešení, a =... řešení 8. a... řešení, a =... řešení, 8. λ 5... řešení, λ = 5... řešení 87. ne 88. ano, =, y =, z = ne. pro λ =, pro λ. pro λ =, pro λ 8. =, y =, z = 9. =, =, =, 4 = 5

16 . = p, = p, = 7p, p IR 6. =, =, =, 4 = 7. = 5p + q, = q, = p, 4 = 6p, p, q IR 4. řešení neeistuje 8. =, y =, z =. = p, = p, = 7p, p IR 7. =, y =, z = 5, v = 4 8. = 8, = 6, =, 4 = 48. pro a = řešení neeistuje, pro a je = a, y =, z = 4a 7 a 49. pro a = řešení neeistuje, pro a = je = 6p + 4, y = p +, z = p, p IR, pro a, a je = y = z = /a 5. pro α = řešení neeistuje, pro α = je = p + 4, y = p, z = p, p IR, pro α, α je = α/ α, y =, z = / α 59. pro a = 5 řešení neeistuje, pro a 5 eistuje jediné řešení, pro a = je =, y =, z = 6. pro k 5 řešení neeistuje, pro k = 5 eistuje nekonečně mnoho řešení: = p +, y = 7p +, z = 5p, p IR 69. λ =... 6p 7p 4p, λ =... III.. Posloupnosti reálných čísel q q q, p q 7. = 45 6, y = 6, z 4 6 rost. kles. nerost. nekles. mon. ryze zdola shora omez. neomez. mon. omez. omez e / III.. Funkce základní pojmy a vlastnosti 657., 4, + 66., 5 66., ,, ,,, , 5/ + 5/, g = sin, h = sin 675. g = ln 5 +, h = 5 ln g = sin sin +, h = sin g = cos +, h = cos, lichá 694. lichá 695. sudá 698. ano, π 74. ne 77. ano, π supremum infimum maimum minimum shora zdola omez. omez. omez. 79. ano ano ano 78. π/ π/ π/ π/ ano ano ano 7. + neeistuje ne ano ne neeistuje ne ano ne 7. + neeistuje neeistuje ne ne ne neeistuje neeistuje ne ne ne 6

17 III.. Limita a spojitost funkce 767. L =, např. a = 768. L =, např. a = ln π/ 865. π/ e limita zleva je různá od limity zprava zvolíme-li například n = π/ + πn, je n +, ale lim sin n neeistuje, protože sin n = n 96. limita zleva je různá od limity zprava + 99.,,, + 9.,,, + 9.,,,,, + 97.,,, + 99.,,, + 94.,,, + III.4. Derivace funkce a její geometrický i fyzikální význam ,, ,, ,, ,, 5 5, ,, / ,,, cos,, sin,, sin6 cos6,, cos + + +,, +. tg + cos, π/ + kπ, +π/ + kπ, k celé + cos. + + sin,, +, kde je řešení rovnice + + sin = 8. +,, 9.,, ,, + 7. e,, + 8. e 5 +,, +. e/,, +. e 5 + e 5 +,, + 7.,, ,, ,, e e +,, + 5. sgn,,, f = sgn, 56. f = /, 57. f = sgn,, f + =, f = 6. f +4 = 4, f 4 = /,, + cos 68. sin, kπ, k celé 7. 4, 9. y =, =. y = π π, y = π/π 8. [, 4 ] 9. [, 7 4 ] 5. tečna eistuje pro >, tečna rovnoběžná s osou je v bod [, f ], rovnice tečny v bodě [ 5, f 5 ] je y ln / 5 = 5/6 5 7

18 III.5. Užití derivace, průběh funkce 44. f je rostoucí na, a na, +, klesající na, 45. f je rostoucí na, a na, +, klesající na,,,,, 46. f je rostoucí na, a na, +, klesající na, 48. f je rostoucí na,, klesající na, a na, + 5. f je klesající na, a na, +, rostoucí na, 56. f je rostoucí na, a na, +, klesající na, a na, 6. Df =,,, +, lim f =, lim f = + lim + f =, lim f =, lim + f = +, lim + f = + f je rostoucí na,,, a na +, +, klesající na, a na, + 6. Df =, +, lim + f =, lim + f = f je rostoucí na, e, klesající na e, ma I f = f = f =, min I f = f = f = ma I f = f =, min I f = f = 74. ma I f = f4 = 4, min I f = f = ma I f = f =, min I f = f = 77. ma I f = f = 4, min I f = f = 79. ma I f neeistuje, min I f = f6 = ln 6 4. absolutní minimum y = ln v bodě = 9. absolutní maimum y = /e v bodě = e. lokální minimum y = v bodě =, lokální maimum y = v bodě =. lokální minimum y = v bodě =, lokální maimum y = v bodě = 7. absolutní minimum y = v bodě =, absolutní maimum y = v bodě = 8. absolutní minimum y = v bodě = 4. Df =, +, lim f =, lim + f = +, f nemá lokální etrémy 55. konkávní na, a na,, konvení na, a na, +, inflení body,, 56. konkávní na, a na,, konvení na, a na, +, inflení body,, 59. konvení na, + 6. konvení na,, konkávní na, a na, +, inflení body ± 6. konvení na,, konkávní na, konvení na, šikmá asymptota y = pro i pro +, svislé asymptoty =, = 68. šikmá asymptota y = pro i pro +, svislá asymptota = 7. šikmé asymptoty y = π/ pro a y = + π/ pro + 7. šikmá asymptota y = pro i pro +, svislá asymptota = 74. šikmá asymptota y = pro i pro +, svislá asymptota = 75. šikmá asymptota y = pro +, svislá asymptota = 77. Df =,,, +, f je spojitá na,,, a na, +, f je sudá, lim f =, lim f =, lim + f = +, lim + f = +, lim ++ f =, lim + f =, f = 4 pro Df, 8

19 f je klesající na, a na,, rostoucí na, a na, +, f má lokální minimum y = 4 v bodě =, f = pro Df, f je konkávní na, a na, +, konvení na,, f má asymptotu y = pro a pro + a svislé asymptoty = a =. 78. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = +, lim + f =, f = pro,, +, f je klesající na, a na 8 7, +, rostoucí na, 8 7, f má lokální minimum y = v bodě = a lokální maimum y = 4 7 v bodě = 8 7, f = 9 pro,, +, 4 f je konkávní na, a na, +, f nemá asymptoty 79. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = lim + f =, f = e pro Df, f je rostoucí na, a klesající na, +, f má absolutní maimum y = v bodě =, f = + 4 e pro Df, f je konvení na, / a na /, +, konkávní na /, /, f má asymptotu y = pro a pro + 8. Df =, +, f je spojitá na, +, sudá, lim f = lim + f =, f = pro Df, f je rostoucí na, a na,, klesající na, a na, +, f má absolutní maimum y =.5 v bodech = ±, lokální minimum y = v bodě =, graf protíná osu v bodech ± +, f = 6 pro Df, f je konkávní na, / a na /, +, konvení na /, /, f nemá asymptoty 8. Df =, +, f je spojitá na, +, sudá, lim f = lim + f = +, f = 4 4 pro Df, f je klesající na, a na,, rostoucí na, a na, +, f má absolutní minimum y = v bodech = ±, lokální maimum y = v bodě =, graf protíná osu v bodech ± a dotýká se jí v bodě =, f = 4 pro Df, f je konvení na, / a na /, +, konkávní na /, /, f nemá asymptoty 9. Df =,, +, f je spojitá na, a na, +, f =, lim f =, lim f = +, lim f = +, lim f / + = e + pro,, +, + f je rostoucí na, a na, +, klesající na, a na,, f má lokální maimum y = e v bodě =, lokální minimum y = 4 e v bodě = f / 5 + = e pro,, +, 4 f je konkávní na, 5, konvení na 5, a na, +, f má svislou asymptotu = a šikmou asymptotu y = + pro a pro + 9. Df =, +, f je spojitá na, +, f =, lim + f = +, f = pro, +, f je rostoucí na, +, klesající na,, f má absolutní minimum y = v bodě =, 9

20 f + = 4 pro, +, f je konvení na, +, f nemá asymptoty 95. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f =, lim + f =, f + = + pro, +, + f je rostoucí na.5, +, klesající na,.5, f má absolutní minimum y = 5/ 5 v bodě =.5, f = 4 + pro, +, + 5/ f je konkávní na, + 4/8 a na + 4/8, +, konvení na + 4/8, + 4/8, f má asymptotu y = pro a y = pro + 8. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = lim + f =, f = e pro, +, f je rostoucí na,, klesající na, +, f má absolutní maimum y = e v bodě =, f = e 4 + pro, +, f je konkávní na /, + /, konvení na, /, + /, +, f má asymptotu y = pro a pro + 7. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = f = sgn + pro,, +, f je klesající na,, rostoucí na, +, f má absolutní minimum y = v bodě =, f 4 sgn = + pro,, +, f je konkávní na,, konvení na, +, f má asymptotu y = π pro a pro + lim f = π, + 9. Df =,, f je spojitá na,, sudá, lim f = lim f =, + + f = 4 pro,, f je rostoucí na,, klesající na,, f má absolutní maimum y = ln 4 v bodě =, f 8 = 4 pro,, f je konkávní na,, f má svislé asymptoty = a =. Df =, +, f je spojitá na, +, lichá, lim f =, lim f = +, f = + + pro, +, f je rostoucí na, +, f = + pro, +, f je konkávní na,, konvení na, +, f má asymptotu y = + π/ pro a y = pro + III.6. Taylorova věta. T 5 = +! !, R 6 = eξ 6 6!. T 5 = e + e e ! 5! 5, R 6 = eξ 6 6!

21 . T 4 = + + +!! 7. T 7 =! + 5 5! 7 7!, R 8 = sin ξ 8 8! + 4 ln 5, R 5 = ξ 5 4! 5! 46. T 7 = , R 8 = 8 ξ T 4 = , R 5 = 7 56 ξ 9/ 5 5. T = , R = 8 ξ + 7/ 54. T 4 = + + 4, R 5 = 5 /ξ 6 6. e = + +! +! + 4 4! + 5 5! + 6 = 65 6! = 7 = cos 5 o = = π! =π/6 59 = ln. = ln + =. = + =.86 =. 76. T = + 9, f T 5 8 IV.. Tabulkové integrály, základní vlastnosti neurčitých integrálů C,, C C C C,, u u + C C 46., + 5,, 6,8 + C,, ln + C , ln, 5 + C 4 + C,, ln C 468. ln + C 474. C cotg tg 475. sin + C tg + + C, k π, k + π, k je celé číslo IV.. Integrace metodou per partes 48. e + C ln + C,, sin cos + C 484. [ + arctg ] + C 485. sin + cos + C 486. e + + C n n + ln n + + C,, arctg ln + + C 5. t arcsin t + t arcsin t t + C, t, 54. e sin e cos + C e 7 7 cos sin C, při integraci volte u = e 7 5. e C 74 IV.. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů 54. ln +C 55. ln + e +C 56. ln sin +C, kπ, k+π, k je celé číslo C C 5. sin + C 5. C 6 5 cos5 54. ln + C,, C sin 546. ln C [ 555. C e 57. ln + ] + C,,,, C 4 4 ln,,,, arctg +C

22 [ ln 5 ] + C,,,, + arcsin ln + C,, 6. e cos + C 65. ln + + C,, ln C 666. tg lncos + tg + C, π + kπ, π + kπ, k je celé číslo 688. C e IV.4. Integrace racionálních funkcí 8 7. ln + C,,,, ln + + C u C,,,, + 7. ln + C u ln 6 ln 7. + C 6 ln 4 ln C,,,, 4, 4, ln C,,,,,, + 8 ln C,, 5 5,,,,, ln + C 75. arctg + ln + ln + C,,,, ln + + C,,,, arctg + C 76. ln + + arctg + C ln + + C,,,,,, ln + arctg + C,,,, + IV.5. Integrace goniometrických funkcí a jejich mocnin 84. cos cos cos5 5 cos6 6 sin + cos cos cos + C 85. cos + C +C 8. cos6 sin +C 88. +C sin + + C 6 tg/ + 4 arctg5 + C, π + kπ, π + kπ, k je celé číslo tg 864. ln 4 cotg + C, kπ, k + π, k je celé číslo 865. ln sin + cos + C, π 4 + kπ, π 4 + kπ, k je celé číslo 87. sin 5 + sin cos 6 cos + C C 4 4 sin 8 +C

23 IV.6. Integrály typu R a + b, S c + d d arctg 4 + C,, C,, ln C,,,, ln C ln 8 + C,,,, + + V.. Základní vlastnosti určitých integrálů, Newtonova Leibnizova formule 985. / a 4 / / / /5. 7/6 V.. Výpočet určitého integrálu substituční metodou a metodou per partes. ln /. π. 5. π/ /6 4. 8/. π /. ln /. ln 4/ 5. π/6 6. π/ 8. / 9. ln /4 4. / 4. π/ 44. e e V.. Nevlastní Riemannův integrál 5. diverguje / 56. /8 57. ln π 6. diverguje V.4. Některé geometrické aplikace určitého integrálu 67. / 68. Součet obsahů obou částí: 76/ 69. / 7. Součet obsahů obou částí: / 74. a V = π 4/99 d = 6π, b V y = π 9/44 y dy = 4π 75. a V = 9, 6π, b V y = 4, 8π V.5. Další příklady. /. / ln. 4. π / 5. 8 ln π /4 7. 9π 8. e π/ 9. π. π + π /. 8π/. 6 + ln /4. 8 /