Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Transkript

1 Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost, konkávnost a inflení body Asymptoty Průběh funkce shrnutí a příklad Využití derivace k důkazu identit a nerovností 3 Diferenciál Taylorův mnohočlen 4 Rovinné křivky Křivka daná parametricky c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 2 / 46 Základní vlastnosti derivace Základní vlastnosti derivace Definice ( f v bodě) Necht 0 je vnitřním bodem D(f ). Jestliže eistuje ita f () f ( 0 ) 0 0 nazýváme tuto itu derivací funkce f v bodě 0, píšeme f ( 0 ). f () f ( Je-li ita 0 ) 0 0 R řekneme, že funkce f má v bodě 0 vlastní derivaci. f () f ( Je-li ita 0 ) 0 0 = ± řekneme, že funkce f má v bodě 0 nevlastní derivaci + nebo. Definice 2 () Má-li funkce f derivaci v každém bodě intervalu I D(f ), pak se funkce f () nazývá derivace funkce f a značí se f. Definice 3 (Derivace zprava / zleva) f +( 0 ) + 0 f () f ( 0 ) 0, f ( 0 ) 0 Zavedením h jako = 0 + h získáme f f ( + h) f () ( 0 ). h 0 h f () f ( 0 ) 0 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 4 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 5 / 46

2 Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Definice 4 Necht funkce f má v bodě 0 derivaci f ( 0 ), pak se přímka Následující tvrzení jsou přímým důsledkem tvrzení o itách funkcí. Funkce f má v bodě 0 nejvýše jednu derivaci. 2 Derivace v bodě eistuje právě tehdy, když eistují jednostranné derivace a f +( 0 ) = f ( 0 ). 3 Necht funkce f, g mají derivace v bodě 0, pak v 0 mají derivace i funkce: f ± g, f g a je-li g( 0 ) 0 i f /g. Pozor, tvrzení 3 se týká pouze eistence derivace, nikoli její hodnoty. y f ( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) nazývá tečna ke grafu funkce f v bodě [ 0, y 0 ].Přímka procházející bodem [ 0, y 0 ],která je kolmá k tečně v tomto bodě se nazývá normála ke grafu funkce f v bodě [ 0, y 0 ]. Protože součin směrnic dvou vzájemně kolmých přímek je roven, je rovnice normály ke grafu funkce f v bodě 0 (i) pro f ( 0 ) 0 y f ( 0 ) = f ( 0 ) ( 0), c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 6 / 46 (ii) pro f ( 0 ) = 0 = 0. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 8 / 46 Geometrický význam derivace Geometrický význam derivace Má-li funkce f v bodě 0 nevlastní derivace a je v tomto bodě spojitá, potom má v 0 tečnu t : = 0 a normálu n : y = f ( 0 ). (Např. funkce f () = 3 v bodě 0 = 0.) Příklad Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = [ 2 v bodě 2, f 2 ]. ( 2 ) = 2, tedy jedná se o bod grafu funkce. f () = ( ), f 2 = ( ) t : y 2 = 2 t : y = + 2 = c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 9 / 46 n : y f ( 0 ) = f ( 0 ) ( 0) (f ( 0 ) 0) ( ) n : y 2 = 2 n : y = c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 0 / 46

3 Geometrický význam derivace Geometrický význam derivace Geometrický význam derivace Sečna grafu funkce f procházející body [ 0, f ( 0 )] a [ 0 + h, f ( 0 + h)] má směrnici tg ϕ = f ( 0 + h) f ( 0 ). h Jestliže se s bodem 0 + h bĺıžíme k bodu 0 (tj. provádíme itní přechod h 0), přejde tato sečna v tečnu v bodě [ 0, f ( 0 )]. Směrnice tečny ke grafu funkce f v bodě 0 je tedy h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ), h což je přesně derivace funkce f v bodě 0. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 2 / 46 Věta Necht funkce f a g mají v bodě 0 derivaci a necht c R je libovolné. Pak platí (i) (ii) (iii) (iv) (cf ) = cf, (f ± g) = f ± g, (f g) = f g + f g, ( ) f = f g f g g g 2 pro g 0. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 4 / 46 Důkaz (iii). ( ) f ( + h)g( + h) f ()g() f () g() = 0 h 0 h f ( + h)g( + h) f ()g( + h) + f ()g( + h) f ()g() h 0 h f ( + h) f () g( + h) g() g( + h) + f () h 0 h h 0 h f ( + h) f () g( + h) g() g( + h) +f () h 0 h 0 h 0 } {{ } g() } {{ h } f () = f ( 0 )g( 0 ) + f ( 0 )g ( 0 ). (Pro h 0 máme 0.) } {{ h } g () c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 5 / 46

4 Věta 2 Má-li funkce v bodě 0 derivaci (vlastní), pak je v tomto bodě spojitá. Opačné tvrzení neplatí ze spojitosti neplyne eistence derivace. Např. funkce f () = je spojitá na celém R, ale v 0 = 0 nemá derivaci. (f () f ( 0 )) ( 0 ) f () f ( 0) = f () f ( 0 ) ( 0 ) = 0. } 0 0 {{}}{{ 0 } 0 číslo R c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 6 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 7 / 46 Bolzano a Weierstrass sestrojili funkci, která je spojitá v každém bodě, ale v žádném nemá derivaci. f n () = n cos (n2 ), g n () = f () + + f n () Pro n je g n spojitá ( hustá, roztřesená čára ). g 5 () = 5 i= i cos (i 2 ) c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 8 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 9 / 46

5 Věta 3 Necht funkce f má derivaci v bodě 0 a funkce g má derivaci v bodě y 0 = f ( 0 ). Pak složená funkce má derivaci v bodě 0 a platí, že F () = g ( f () ) = (g f )() F ( 0 ) = g ( f ( 0 ) ) f ( 0 ) = g (y 0 ) f ( 0 ). Předpokládejme nejprve, že eistuje P( 0 ) takové, že f () f ( 0 ) pro P( 0 ). F F () F ( 0 ) g(f ()) g(f ( 0 )) ( 0 ) g(f ()) g(f ( 0 )) f () f ( 0) 0 f () f ( 0 ) 0 g(f ()) g(f ( 0 )) f () f ( 0 ) 0 f () f ( 0 ) 0 0 g(y) g(y 0 ) f ( 0 ) = g (y 0 ) f ( 0 ). 0 y y 0 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 20 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 2 / 46 Jestliže neeistuje P( 0 ) takové, že f () f ( 0 ) pro P( 0 ), pak eistuje posloupnost n taková, že f ( n ) = f ( 0 ), tedy pak f f () f ( 0 ) f ( n ) f ( 0 ) ( 0 ) = 0, 0 0 n n 0 F () F ( 0 ) F ( n ) F ( 0 ) 0 0 n n 0 g(f ( n )) g(f ( 0 )) = 0. n n 0 Tedy i v tomto případě vzorec platí, nebot F ( 0 ) = 0 = g (y 0 ) }{{} }{{} 0. konečné číslo =f ( 0 ) c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 22 / 46 Věta 4 Necht funkce f má pro každé I derivaci a f () 0. Pak na intervalu J = f (I ) = {y : I, f () = y} eistuje funkce inverzní a pro její derivaci platí [f ()] = f (f ()). Důkaz (odvození). f (f ()) = derivujeme f (f ()) [f ()] = [f ()] = f (f ()). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 23 / 46

6 Věta 5 (O derivaci elementárních funkcí) Necht n Z, a, b, c, α R, a, b > 0, b. (c) = 0, ( n ) = n n, (e ) = e, (a ) = a ln a, (ln ) =, (log b ) = ln b, ( α ) = α α, (sin ) = cos, (cos ) = sin. (tg ) = cos 2, (cotg ) = sin 2, (arcsin ) = 2, (arccos ) = 2, (arctg ) = + 2, (arccotg ) = + 2. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 24 / 46 (c) = 0, c R: (c) f ( + h) f () c c h 0 h h 0 h ( n ) = n n, n N: ( n ) ( + h) n n h 0 h n + h 0 h 0 ( n ) n h + ( n 2 [ n n + ( n 2 ( n ) = n n, n N: ( n ) ( ) = = 0 n ( n ) h 0 0 = 0. ) n 2 h ( ) n h n n h ] ) n 2 h + + h n = n n. n n n 2n = 2n = n n. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 25 / 46 n (e ) = e : (e ) h 0 e +h e h h 0 e (e h ) h = e e h = e = e. h 0 h (a ) = a ln a, a R + : (a ) = (e ) ln ( a = e ln a) = e ln a ( ln a + 0) = a ln a. ( α ) = α α, α R: ( α ) = ( e α ln ) = e α ln α = α α = α α. (ln ) = (ln ) = f () = ln, f () = e f (f ()) = e ln =. (log b ) = ln b, b R+ {}: ( ) ln (log b ) = = ln b ln b (ln ) = ln b. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 26 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 27 / 46

7 (sin ) = cos : (sin ) sin( + h) sin h 0 h cos sin h h 0 h + cos h sin h 0 h = cos h 0 sin h h + sin h 0 h 0 sin cos h + cos sin h sin h cos h h sin 2 (h/2) = cos 2 sin h 0 h sin(h/2) = cos 2 sin h 0 }{{ h sin(h/2) h 0 } =/2 = cos 0 = cos. (arcsin ) = 2 : (arcsin ) = f () = arcsin, f () = sin f (f ()) = cos(arcsin ) = =. sin 2 (arcsin ) 2 (arccos ) = 2 (arccos ) = arccos = π/2 arcsin = 2. cos podobně, tg a cotg jako derivaci podílu. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 28 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 29 / 46 (arctg ) = + 2 : (arctg ) = f () = arctg, f () = tg f (f ()) = cos 2 (arctg) = + tg 2 (arctg ) = + 2. (arccotg ) = + 2 : (arccotg ) = arctg + arccotg = π/2 = + 2. Obr. : cos = +tg2 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 30 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 3 / 46

8 Věta 6 (Logaritmická derivace) [ f () g()] [ = f () g() g () ln f () + g() f ] () f () [f () g()] = [e ln(f ())g()] = [e g() ln f ()] ] = e [g g() ln f () () ln f () + g() f () f () = f () g() [ g () ln f () + g() f () f () ] Příklad 2 Derivujte a upravte funkci y = 6 ln ( + ) arctg 2 3. y =, R { } 3 + c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 32 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 33 / 46 Definice 5 (Derivace vyších řádů) Příklad 3 f := (f ),..., f (n) = ( f (n )). Odvod te vzorec pro výpočet n-té derivace funkce. f = 2, f = 2 3, f = 2 3 4,..., f (n) = ( ) n n! n+ Indukční krok: [ f (n+) = ( ) n n! ] = ( ) n n!(n + ) n+ (n + )! n+ n+2 = ( ) n+2. Věta 7 (Leibnitzovo pravidlo) Pro n-tou derivaci součinu platí vzorec (f g) (n) = n i=0 ( ) n f (i) g (n i). i c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 34 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 35 / 46

9 Použijeme indukci. n = (fg) = f g + fg = ( ) 0 f g + ( ) fg n n+ [(fg) (n) ] = [ ( ) n 0 f (n) g + ( ) n f (n ) g + + ( ) n n f g (n ) + ( ) n n fg (n) ] = ( ) n 0 [f (n+) g + f (n) g ] + ( n ) [f (n) g + f (n ) g ] + + ( ) n n [f g (n ) + f g (n) ] + ( n n) [f g (n) + fg (n+) ] = ( ) n+ 0 f (n+) g + [ ( ( n 0) + n ) ]f (n) g + }{{} ) ( n+ = + [ ( ( n n ) + n ) n ]f g (n) + ( n+ }{{} n+) fg (n+) = ) i=0 ( n+ = n ( n+ ) i f (n+ i) g (i) Příklad 4 Vypočtěte třetí derivaci funkce f () = e sin 2. f = e sin e cos e sin 2 8 e cos 2 = e (sin cos 2 2 sin 2 8 cos 2) = e ( sin 2 2 cos 2). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 36 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 37 / 46 Věty o střední hodnotě Věty o střední hodnotě Věta 8 (Rolleova věta o střední hodnotě) Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a na otevřeném intervalu (a, b) eistuje její derivace f. Jestliže f (a) = f (b), pak eistuje c (a, b) takové, že f (c) = 0. Je-li f konstantní funkce, je tvrzení triviální (f 0). Necht f není konstantní funkce. Pak podle 2. Weierstrassovy věty, 2 [a, b] takové, že f ( ) = sup{f (), [a, b]}, f ( 2 ) = inf{f (), [a, b]}. Alespoň jeden z bodů, 2 je v (a, b). Předpokládejme, že je to (pro 2 podobně). Podle předpokladu eistuje f ( ). Je-li f ( ) > 0 z definice derivace plyne, že f () > f ( ) v nějakém prstencovém okoĺı P + ( ), což je spor s maimalitou f ( ). Podobně pro f ( ) < 0 P ( ): f () > f ( ), opět spor. Tedy f ( ) = 0, čili = c. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 39 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 40 / 46

10 Věty o střední hodnotě Věty o střední hodnotě Uvažujme přímku procházející body [a, f (a)] a [b, f (b)] Věta 9 (Lagrangeova) Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a na intervalu (a, b) eistuje derivace f. Pak eistuje c (a, b)takové, že f (b) f (a) = f (c)(b a), tj. f (c) = f (b) f (a). b a a funkci tedy F (a) = 0, F (b) = 0. y = f (a) + [ F () = f () f (a) + f (b) f (a) ( a) b a ] f (b) f (a) ( a), b a Podle věty 8 eistuje c (a, b) takové, že F (c) = 0. Zároveň F () = f ().Pro = c tedy máme f (b) f (a) b a 0 = f (c) f (b) f (a) b a f (c) = f (b) f (a). b a c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 4 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 42 / 46 Věty o střední hodnotě Věty o střední hodnotě Předpoklady vět 8 a 9 nelze zeslabit. Např. předpoklad spojitosti na [a, b] nelze nahradit spojitostí na (a, b) (obr. 2). Nelze ani vypustit předpoklad eistence derivace (obr. 3). Věta 0 (Cauchyova) Necht funkce f a g jsou spojité na [a, b] a na (a, b) eistují jejich derivace a g () 0, (a, b). Pak eistuje c (a, b) takové, že f (b) f (a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Obr. 2: Interval (a, b] Obr. 3: Eistence derivace Uvažujeme funkci F () = [g(b) g(a)][f () f (b)] [f (b) f (a)][g() g(b)] a aplikujeme Rolleovu větu (Věta 8). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 43 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 44 / 46

11 Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo Lagrangeova věta je speciálním případem Cauchyovy věty pro g() =. Rolleova věta je speciálním typem Lagrangeovy věty pro f (a) = f (b). Věta (L Hospitalovo pravidlo) Necht 0 R a necht je splněna jedna z podmínek (i) 0 f () = 0 0 g(), (ii) 0 g() =. Eistuje-li (vlastní nebo nevlastní) f () 0 g (), pak eistuje také f () 0 g() a obě ity jsou stejné. Tvrzení platí i pro jednostranné ity. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 45 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 47 / 46 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Odvození. Detailní rozbor (eistence apod.) viz skriptum. Necht 0 f () = 0 a 0 g() = 0. Změňme (pokud je to nutné) funkce f, g tak, aby f ( 0 ) = 0, g( 0 ) = 0. Pak ita f () 0 g() f () f ( 0 ) 0 g() g( 0 ) = Z Cauchyovy věty o střední hodnotě víme, že c ( 0, ) nebo c (, 0 ) takové, že f (c) 0 g (c) f (c) c 0 g = pokud eistuje = L. (c) Pokud 0 f () = = 0 g(), potom f () 0 g() 0 Tedy g() f () g () g 2 () 0 f () f 2 () f 2 () 0 g 2 () g () 0 f () = 0 f () g() ( ) f () 2 g () 0 g() 0 f (). g () 0 f () =, f () 0 g () f () 0 g() f () 0 g (). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 48 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 49 / 46

12 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Jestliže neeistuje ita derivací, neznamená to, že neeistuje původní ita. Pouze nejde použít L Hospitalovo pravidlo. + sin + cos = + cos sin. Tato ita neeistuje, tedy L Hospitalovo pravidlo nelze použít. Původní itu ale snadno spočítáme. + sin + cos + sin + cos =. L Hospitalovo pravidlo lze používat opakovaně, tj. f () 0 g() = 0 f () 0 0 g () = 0 f () 0 0 g () = Pozor na splnění předpokladů! Příklad 5 e e 2 0 sin 0 e + e 2 cos 0 e e sin 0 e + e cos = 2 = 2 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 50 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 5 / 46 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Neurčité výrazy 0 0,, 0,, 00,, 0. = 0 0 = 0 0 [f ()] g() 0 e g() ln f () = e 0 g() ln f () 0 0 e 0 ( ), e 0, 0 e 0 f g = f g = g f fg = 0 0 =... (tento obrat se téměř nepoužívá - většinou to jde mnohem jednodušeji úpravami) 0 ln ln = 0 ( ) = ( ) = 0 ( ) 0 cotg = ( ) +, ( + ) ( ) ( ) sin cos cos cos + sin = 0 0 sin 0 = 0 0 sin + cos 0 ( ) sin + cos = 0 0 cos + cos sin 2 = 0 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 52 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 53 / 46

13 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 ( + ) sin = 0 0 = e 0 + sin ln = 0 + ln sin ln = 0 ( ) sin = 0 + sin 2 cos = 0 + cos = 0 + sin = 0 0 cos sin 2 = sin cos = 0 = e 0 = c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 54 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 55 / 46 L Hospitalovo pravidlo Etrémy 0 ( sin ) 2 = = e 0 sin 2 ln = 0 sin ln 2 0 = 0 sin cos sin cos sin cos 6 2 ln sin 0 2 = 0 0 cos sin = 0 0 = sin cos 2 0 cos cos + sin 2 = 0 0 = 6 Věta 2 Necht f () > 0 (f () < 0) pro všechna I = (a, b). Pak je funkce f na I rostoucí (klesající). Je-li f () 0 (f () 0) na I, pak je f neklesající (nerostoucí). = e /6 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 56 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 58 / 46

14 Etrémy Etrémy Důkaz (f () > 0). Necht, 2 I, < 2, jsou libovolné. Potřebujeme dokázat, že f ( ) < f ( 2 ). Protože Opačná implikace f je rostoucí f () > 0 obecně neplatí, např. funkce f () = + sin je rostoucí R, ale f () = 0 pro = (2k + )π (k Z). 0 < f ( ) f () f ( ) eistuje δ takové, že f () f ( ) > 0, (, + δ ). Označme y = + δ. Pak platí f (y ) > 0, δ 2 > 0: f () > f (y ) pro (y, y + δ 2 ). Označíme y 2 = y + δ 2,.... Postupujeme tak dlouho, dokud nedoskáčeme k bodu 2, tj. y n : f (y n ) > f (y n ) > > f (y ) > f ( ), δ n > 0 : f () > f (y n ), (y n, y n + δ n ) a 2 (y n, y n + δ n ) f ( 2 ) > f (y n ) > > f ( ). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 59 / 46 Platí: f je rostoucí f () 0 a rovnost nule nenastane na žádném podintervalu intervalu I, kde je funkce rostoucí (tj. na žádném intervalu větším než jeden bod). Kdyby f () = 0 na (, 2 ), < 2, tak podle Lagrangeovy věty c (, 2 ) : f ( 2 ) f ( ) = f (c)( }{{} 2 ) f ( ) = f ( 2 ), což je spor s tím, že je funkce rostoucí. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 60 / 46 =0 Etrémy Etrémy Definice 6 (Lokální etrémy) Řekneme, že funkce f má v bodě 0 lokální maimum (minimum), jestliže eistuje O( 0 ) takové, že f () f ( 0 ) (f () f ( 0 )) pro O( 0 ). Jsou-li nerovnosti pro 0 ostré, mluvíme o ostrém lokálním maimu, resp. minimu. Věta 3 (Nutná podmínka pro lokální etrém funkce mající derivaci) Necht funkce f má v bodě 0 lokální etrém a eistuje f ( 0 ). Pak f ( 0 ) = 0. Případy f ( 0 ) > 0 a f ( 0 ) < 0 vedou ke sporu s faktem, že funkce f má v bodě 0 lokální etrém. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 6 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 62 / 46

15 Etrémy Etrémy Definice 7 Body, kde f () = 0, se nazývají stacionární body funkce f. Věta 4 Necht funkce f je spojitá v bodě 0. Jestliže eistuje okoĺı P ( 0 ), v němž je funkce f rostoucí (klesající), a P + ( 0 ), v němž je funkce klesající (rostoucí), pak má funkce f v bodě 0 ostré lokální maimum (minimum). f ( 0 ) > f () v levém i pravém okoĺı bodu 0 (minimum podobně) pozor na spojitost c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 63 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 64 / 46 Etrémy Etrémy Věta 5 Necht je funkce f spojitá v bodě 0. Jestliže eistuje okoĺı P ( 0 ), kde f () > 0 (f () < 0), a P + ( 0 ), kde f () < 0 (f () > 0), pak má funkce f v bodě 0 ostré lokální maimum (minimum). Plyne z vět 2 a 4. Věta 6 Necht bod 0 je stacionárním bodem funkce f (tj. f ( 0 ) = 0), a platí, že f ( 0 ) > 0 (f ( 0 ) < 0). Pak má funkce f v bodě 0 ostré lokální minimum (maimum). f ( 0 ) > 0 f je v 0 rostoucí, tedy P ( 0 ) : f () < f ( 0 ) = 0, P + ( 0 ) : f () > f ( 0 ) = 0. f ( 0 ) eistuje f je spojitá v 0. V P ( 0 ) je f klesající, v P + ( 0 ) je f rostoucí, tedy 0 je ostré lokální minimum. (Pro maimum podobně.) c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 65 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 66 / 46

16 Etrémy Etrémy Věta 7 Definice 8 (Absolutní (globální) etrémy) Bud f : [a, b] R. Řekneme, že funkce f má v bodě 0 [a, b] absolutní maimum (minimum) na intervalu [a, b], jestliže pro všechna [a, b] platí, že f () f ( 0 ) (f () f ( 0 )). Jsou-li nerovnosti pro 0 ostré, mluvíme o ostrých absolutních etrémech funkce na [a, b]. Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b]. Pak funkce f nabývá svého absolutního maima i minima na intervalu [a, b] a to bud v bodě lokálního etrému ležícího v (a, b) nebo v jednom z krajních bodů = a, = b. Podle 2. Weierstrassovy věty eistují, 2 [a, b] takové, že f ( ) = sup{f () : [a, b]}, f ( 2 ) = inf{f () : [a, b]}. Pro = máme možnosti: Bud = a, nebo = b, nebo (a, b), pak je bodem lokálního maima. Analogicky pro 2. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 67 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 68 / 46 Etrémy Etrémy Příklad 6 Do kružnice s poloměrem r vepište rovnoramenný trojúhelník s maimálním obsahem. Tento maimální obsah určete. Globální etrémy spojité funkce f na intervalu [a, b] hledáme takto: Určíme stacionární body a body uvnitř intervalu [a, b], v nichž neeistuje derivace, pak porovnáme funkční hodnoty v těchto bodech s hodnotami f (a) a f (b). P = 2 zv = 2 2 r 2 2 ( + r) = (r + ) r 2 2 ma, [ r, r] P = P(), P( r) = 0 = P(r) P () = r (r + ) = 22 r+r 2 r 2 2 r 2 2 = 0 = r ( r, r), 2 = r/2 (ma. např. z P ) P(r/2) = (r + r/2) r 2 r 2 /4 = 3 4 3r 2 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 69 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 70 / 46

17 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body Definice 9 (Konvení a konkávní funkce) Řekneme, že funkce f je na intervalu I konvení [konkávní], pokud pro každé, 2 I a každé λ [0, ] platí f ( ( λ) + λ 2 ) ( λ)f ( ) + λf ( 2 ) () [ f ( ] ) ( λ) + λ 2 ( λ)f ( ) + λf ( 2 ). Platí-li nerovnost ostře, mluvíme o ostré (ryzí) konvenosti a ostré (ryzí) konkávnosti. Nadgraf (množina {[, y] R 2 : D(f ), y f ()}) konvení funkce je konvení množina. Uvažujme,, 2 I takové, že < < 2. Volbou λ = 2 převedeme nerovnost () na f () f ( ) + f ( 2) f ( ) 2 ( ), (2) což vyjadřuje, že bod [, f ()] je pod úsečkou spojující body [, f ( )] a [ 2, f ( 2 )], popř. na ní. Podobně pro konkávnost a ostré varianty. Jde o ekvivalentní definici. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 72 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 73 / 46 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body Věta 8 Necht funkce f má na intervalu I derivaci a pro libovolné 0 I platí f () f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ), I, (3) tj. graf funkce f leží nad tečnou sestrojenou v libovolném bodě 0 I. Pak je funkce f konvení na intervalu I. Necht, 2 I a λ [0, ] jsou libovolné. Položme 0 = λ + ( λ) 2.Dosazením =, = 2 do (3) dostaneme (a) f ( ) f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) = f ( 0 ) + f ( 0 ) [ λ ( λ) 2 ] (b) f ( 2 ) f ( 0 ) + f ( 0 )( 2 0 ) = f ( 0 ) + f ( 0 ) [ 2 λ ( λ) 2 ] λ(a) + ( λ)(b) λf ( ) + ( λ)f ( 2 ) [ λ + ( λ) ] f ( 0 ) + f ( 0 ) [ λ λ 2 λ( λ) 2 + ( λ) 2 ( λ)λ ( λ) 2 2 ] λf ( ) + ( λ)f ( 2 ) f ( 0 ) + 0 = f ( λ + ( λ) 2 ). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 74 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 75 / 46

18 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body Lemma f () f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ),, 0 I, tj. graf funkce f leží pod tečnou sestrojenou v libovolném bodě 0 I, pak je f na intervalu I konkávní. Uvažujme funkci f definovanou na intervalu I. Necht, 2, 3 I, < 2 < 3. Pak jsou nasledující nerovnosti ekvivalentní. f ( 2 ) f ( ) f ( 3) f ( ), 2 3 (4) f ( 2 ) f ( ) f ( 3) f ( 2 ), (5) f ( 3 ) f ( ) f ( 3) f ( 2 ) (6) c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 76 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 77 / 46 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body Upravme nerovnost (4). f ( 2 )( 3 ) f ( )( 3 ) f ( 3 )( 2 ) f ( )( 2 ), f ( 2 )( ) f ( )( ) f ( 3 )( 2 ) f ( )( 2 ), f ( 2 )( 3 2 ) + f ( 2 )( 2 ) f ( )( 3 2 ) f ( )( 2 ) f ( 3 )( 2 ) f ( )( 2 ), Věta 9 Necht funkce f má na otevřeném intervalu I vlastní derivaci. Pak je f konvení na I právě tehdy, když je f neklesající. Analogicky platí f ostře konvení f rostoucí, f konkávní f nerostoucí, f ostře konkávní f klesající. [f ( 2 ) f ( )]( 3 2 ) [f ( 3 ) f ( 2 )]( 2 ). Tím je dokázána ekvivalence nerovností (4) a (5). Ostatní analogicky. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 78 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 79 / 46

19 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body Důkaz. Zvoĺıme libovolně,, 2 I tak, že < < 2.Pak z konvenosti (viz (2)) a lemmatu máme f () f ( ) f ( 2) f ( ) 2 f () f ( 2) 2. V levém zlomku provedeme itní přechod +, v pravém 2.Dle předpokladů věty eistují příslušné derivace, tedy tedy f je neklesající. f ( ) f ( 2 ), Důkaz. f je neklesající na I,,, 2 I tak, že < < 2. Na intervalech [, ] a [, 2 ] lze použít pro f Lagrangeovu větu 9, tedy eistují c (, ), c 2 (, 2 ) takové, že f (c ) = f () f ( ), f (c 2 ) = f ( 2) f (), 2 přičemž c < c 2.Protože f je neklesající, máme f (c ) f (c 2 ), tedy f () f ( ) f ( 2) f (), 2 což je vztah (2) ekvivalentní s definicí konvenosti. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 80 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 8 / 46 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body Věta 20 Necht funkce f má na otevřeném intervalu I vlastní druhou derivaci a platí f () > 0 (f () < 0) I. Pak funkce f je na intervalu I ostře konvení (ostře konkávní). Tvrzení plyne přímo z vět 2 a 9. Definice 0 Předpokládejme, že funkce f má v bodě 0 derivaci f ( 0 ). Řekneme, že funkce f má v bodě 0 inflení bod (graf funkce f má inflení bod), jestliže eistuje okoĺı P ( 0 ), v němž je funkce ryze konvení (konkávní), a okoĺı P + ( 0 ), v němž je f ryze konkávní (konvení). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 82 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 83 / 46

20 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body V definici konvenosti a konkávnosti funkce je neostrá nerovnost, vyhovuje jí i lineární funkce y = a + b, která je konvení i konkávní. Žádný inflení bod ale nemá. Příklad 7 y = 3 má inflení bod 0 = 0, y = sin má inflení body 0 = kπ, k Z. Věta 2 Jestliže 0 je inflení bod funkce f a f ( 0 ) eistuje, pak f ( 0 ) = 0. Kdyby f ( 0 ) > 0, pak je f v okoĺı 0 konvení spor, kdyby f ( 0 ) < 0, pak je f v okoĺı 0 konkávní spor. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 84 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 85 / 46 Konvenost, konkávnost a inflení body Konvenost, konkávnost a inflení body Věta 22 Necht f ( 0 ) = 0 a f ( 0 ) 0, pak funkce f má v bodě 0 inflení bod. Předpokládejme f ( 0 ) > 0 (pro f ( 0 ) < 0 je postup analogický). f ( 0 ) > 0, tj. (f ) ( 0 ) > 0, tedy f je rostoucí v okoĺı 0 a tedy f () < 0(> 0) v levém (pravém) ryzím okoĺı 0 f je vlevo od 0 ryze konkávní a vpravo ryze konvení. Věta 23 Necht funkce f má v bodě 0 derivace po řád n (n N) včetně a f ( 0 ) = 0,..., f (n ) ( 0 ) = 0 a f (n) ( 0 ) 0. Je-li n sudé, má f v 0 lokální etrém, a to minimum pro f (n) ( 0 ) > 0 a maimum pro f (n) ( 0 ) < 0. 2 Je-li n liché, má f v 0 inflení bod. V přístí kapitole ukážeme, že za předpokladů věty se funkce f chová v okoĺı 0 přibližně jako funkce g() = n! f (n) ( 0 )( 0 ) n. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 86 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 87 / 46

21 Asymptoty Asymptoty Definice (Asymptota bez směrnice) Řekneme, že svislá přímka = 0 je asymptotou bez směrnice grafu funkce y = f (), jestliže aspoň jedna z jednostranných it je nevlastní. + 0 f (), 0 f () Příklad 8 Funkce f () = 2 má asymptoty bez směrnice = a =. (Obě jednostranné ity jsou nevlastní.) Příklad 9 Funkce f () = e / má asymptotu bez směrnice = 0. (Jedna jednostranná ita je nevlastní.) Příklad 0 Funkce f () = arctg nemá asymptotu bez směrnice. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 89 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 90 / 46 Asymptoty Asymptoty Definice 2 Řekneme, že přímka y = a + b, a, b R je asymptotou grafu funkce y = f () pro ( ), jestliže [f () (a + b)] = 0 ( ) [f () (a + b)] = 0. Přímka y = a + b se nazývá asymptota se směrnicí. Věta 24 Přímka y = a + b je asymptotou se směrnicí grafu funkce y = f () právě tehdy, když f () a ±, b (f () a), ± přičemž + je pro asymptotu v + a pro asymptotu v. Asymptoty se směrnicí může mít funkce nejvýše dvě (do ± ). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 9 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 92 / 46

22 Asymptoty Asymptoty Přímka je asymptotou jestliže což znamená tedy [f () a] = b, ± [ ] f () b a ± ± = 0, ± [ ] f () = a. Příklad Určete asymptoty se směrnicí f () = +. + a + + ( + ) =, 2 b + ( + ) = 0, a + =, b = 0 asymptota: y =. f () = 2 a 2 ± ± = ± tedy f nemá asymptoty se směrnicí f () = + sin + a sin ± ± ( + sin ) =, 2 b ± ( + sin ) = 0, asymptota y = (pozn.: as. bez směrnice v bodě 0 = 0 není, 0 ( + sin ) = ) c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 93 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 94 / 46 Průběh funkce shrnutí a příklad Průběh funkce shrnutí a příklad Postup při vyšetřování průběhu funkce (i) Přímo z funkce: D(f ), sudost/lichost, periodičnost, průsečíky s osami, kladnost/zápornost, asymptoty (se směrnicí, bez směrnice). (ii) Z první derivace: rostoucí/klesající, lokální etrémy. (iii) Z druhé derivace: konvení/konkávní, inflení body. (iv) Načrtnutí grafu: ke všem výše zmíněným bodům dopočítáme funkční hodnoty a zkombinujeme zjištěné informace. Postupně tedy plníme následující body: a) definiční obor, b) sudost/lichost (periodičnost), c) asymptoty bez směrnice, d) asymptoty se směrnicí, e) průsečíky s osami, f) kladnost/zápornost, g) první derivaci, h) kde je f rostoucí/klesající, i) lokální etrémy, j) druhou derivaci, k) kde je f konvení/konkávní, l) inflení body, m) funkční hodnoty ve významných bodech, n) načrtneme graf. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 96 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 97 / 46

23 Průběh funkce shrnutí a příklad Průběh funkce shrnutí a příklad Příklad 2 Vyšetřete průběh funkce f () = 2 + Řešení: a) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že + 0. Proto máme D(f ) = R \ { }. b) O sudosti/lichosti funkce snadno rozhodneme dosazením. Poněvadž platí f ( ) = 2 ±f (), + není zadaná funkce ani lichá, ani sudá (což je vidět už z nesymetrie definičního oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 98 / 46 c) Asymptoty bez směrnice popisují itní chování funkce v bodech nespojitosti (nebo na okraji definičního oboru), proto přímým výpočtem ihned dostaneme = 2 = (+ ) =, = ( ) =. + Funkce má jednu svislou asymptotu =. d) Pomocí vzorců určíme asymptoty se směrnicí (pokud eistují). a = b = 2 ± 2 + =, 2 ± + + = ± + =. Funkce f () má tedy v + i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = +. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 99 / 46 Průběh funkce shrnutí a příklad Průběh funkce shrnutí a příklad e) Určíme průsečíky s osou ( y = 0): tedy P = [0, 0], a s osou y ( = 0): tedy P y = [0, 0] = P. f () = 0 2 = 0 = 0, y = 02 = 0 y = 0, 0 + f) Nyní získáme intervaly, kde je funkce f () kladná a záporná: (, ) (, 0) (0, ) sgn f + f kladná záporná záporná c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 00 / 46 g) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f () = 2 2 ( + ) 2, D(f ) = R \ { }. h) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f () = 0 ( + 2) = 0 = 0, 2 = 2. (, 2) ( 2, ) (, 0) (0, ) sgn f + + f i) Z tabulky vidíme, že funkce má v = 2 lokální minimum a v = 0 lokální maimum. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 0 / 46

24 Průběh funkce shrnutí a příklad Průběh funkce shrnutí a příklad j) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f () = 2 2 ( + ) 4 = 2 ( + ) 3, D(f ) = R \ { }. k) Určíme kritické body a intervaly konvenosti a konkávnosti, tj. f () = 0 2 = 0, což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout, že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována (tj. v dírách jejího definičního oboru). l) Funkce nemá žádný inflení bod ( D(f )). m) Zrekapitulujme význačné body a spočtěme v nich funkční hodnoty. Průsečíky s osami P = P y = [0, 0]. Lokální minimum v = 2, f ( 2) = 4, tedy jde o bod [ 2, 4]. Lokální maimum v = 0, f (0) = 0, tedy jde o bod [0, 0]. (, ) (, ) sgn f + f c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 02 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 03 / 46 Průběh funkce shrnutí a příklad Využití derivace k důkazu identit a nerovností n) Nyní zkombinujeme všechny získané informace a obdržíme graf funkce Věta 25 Necht funkce f, g mají na intervalu I derivaci a I platí f () = g (). Pak c R takové, že f () g() = c, I. F () = f () g(). Pak F () = 0, I, a tedy pro libovolné, 2 I podle Lagrangeovy věty platí F ( 2 ) F ( ) = F (ξ)( 2 ) = 0, kde ξ leží mezi hodnotami, 2. Tedy F () = c, I f () g() = c. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 04 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 06 / 46

25 Využití derivace k důkazu identit a nerovností Využití derivace k důkazu identit a nerovností Příklad 3 Dokažte pro 0 identitu ( arcsin ( arccos arcsin = arccos ) + 2 = (+2 ) /2 2 =, 2 (+ 2 ) ) + 2 = + 2 kde jsme využili 0 =. Dosad me =. 2 ( + 2 ) 3/2 2 = arcsin 2 = π 4 = arccos =, (+ 2 ) 3/2 + 2 V jednom bodě z intervalu nabývají stejné hodnoty a derivace mají stejné, tedy identita platí na celém intervalu I = [0, ). Příklad 4 Dokažte arctg = arccotg. Pro která R identita platí? f () = + 2, g () = + ( )2 2 = + 2 V = 0 je funkce arccotg nespojitá. Dosadíme = a =. arctg = π 4 = arccotg, arctg ( ) = π 4, arccotg ( ) = 3π 4. Identita tedy platí pro (0, ). Pro (, 0) jsou funkce různé o π. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 07 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 08 / 46 Využití derivace k důkazu identit a nerovností Diferenciál Příklad 5 Dokažte, že pro všechna R platí 2 arctg ln( + 2 ). a spočítáme minimum na R. F () := 2 arctg ln( + 2 ) F () = 2 arctg = 2 arctg, + 2 F () = 0 = 0, F () = 2 > 0, R, + 2 tedy = 0 je lokální minimum. F () 0, R, rovnost nastává pro = 0. Definice 3 Necht je funkce f definovaná v O( 0 ) a pro h R platí 0 + h O( 0 ). Pak číslo h nazýváme přírůstek nezávisle proměnné a rozdíl f ( 0 ) = f ( 0 + h) f ( 0 ) nazýváme přírůstek závisle proměnné (popř. detailněji f ( 0 )(h) jako přírůstek funkce f v bodě 0 s krokem h). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 09 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46

26 Diferenciál Diferenciál Definice 4 Řekneme, že funkce f je diferencovatelná v bodě 0 R, jestliže eistuje O( 0 ) takové, že f ( 0 + h) f ( 0 ) = A h + τ(h), kde A R je vhodné číslo a τ(h) je funkce s vlastností τ(h) = 0. h 0 h Je-li f v 0 diferencovatelná, nazýváme výraz A h diferenciál funkce f a píšeme df ( 0 ), popř. df ( 0 )(h). Diferenciál funkce je lineární funkce přírůstku nezávisle proměnné h. f ( 0 ) := f ( 0 + h) f ( 0 ), f ( 0 ) := A h + τ(h), A = tg α c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 2 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 3 / 46 Diferenciál Diferenciál Věta 26 Funkce f je v bodě 0 diferencovatelná právě tehdy, když v tomto bodě eistuje vlastní derivace f ( 0 ). Přitom platí df ( 0 ) = f ( 0 ) h. Tedy A = f ( 0 ). Často se používá značení d = h, tj. Diferenciál v obecném bodě df ( 0 ) = f ( 0 ) d. df () = f () d. y = f () dy = df () f () }{{} Newton Derivace inverzní funkce = f (y) d dy =. dy d = dy. }{{} d Leibnitz Derivace složené funkce F () = (g f )(), kde f () = y, g(y) = z dz d = dz dy dy d. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 4 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 5 / 46

27 Diferenciál Diferenciál Předpokládejme, že funkce f je diferencovatelná v bodě 0, pak f ( 0 + h) f ( 0 ) = Ah + τ(h) f ( 0 + h) f ( 0 ) h = A + τ(h) h f ( 0 + h) f ( 0 ) h 0 h h 0 A + τ(h) }{{ h } 0 f ( 0 ) = A + 0 = A. Využití diferenciálu pro přibližný výpočet funkčních hodnot: tedy f ( 0 ) = f ( 0 + h) f ( 0 ) = f ( 0 ) h + τ(h), f ( 0 + h) f ( 0 ) + f ( 0 )h. Předpokládejme, že eistuje derivace f ( 0 ) = A R a položme τ(h) = f ( 0 + h) f ( 0 ) f ( 0 )h. Pak ( ) τ(h) f (0 + h) f ( 0 ) f ( 0 ) = f ( 0 ) f ( 0 ) = 0. h 0 h h 0 h c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 6 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 7 / 46 Diferenciál Taylorův mnohočlen Příklad 6 Vypočtěte pomocí diferenciálu přibližně f () = 3, 0 = 8, h = 0 = 0., f () = ( 0.) = = 2 20 = =.996. Motivace Máme dánu funkci f a chceme sestrojit polynom stupně n N, který v okoĺı bodu 0 nejlépe aproimuje funkci f. Pro n = : P() = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ), viz diferenciál. P() má s funkcí f () v 0 stejnou funkční hodnotu a hodnotu první derivace. Najdeme polynom P() = a n ( 0 ) n + + a ( 0 ) + a 0, mající s funkcí f () v bodě 0 stejnou funkční hodnotu a derivace až do řádu n. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 8 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 20 / 46

28 Taylorův mnohočlen Hledáme polynom P() = a n ( 0 ) n + + a ( 0 ) + a 0 splňující P (i) ( 0 ) = f (i) ( 0 ), i = 0,,..., n, tedy f ( 0 ) = P( 0 ) = a 0, f ( 0 ) = P ( 0 ) = a, f ( 0 ) = P ( 0 ) = 2 a 2, f (3) ( 0 ) = P (3) ( 0 ) = 3 2 a 3,. f (n ) ( 0 ) = P (n ) ( 0 ) = (n )! a n, f (n) ( 0 ) = P (n) ( 0 ) = n! a n. Taylorův mnohočlen Definice 5 Předpokládejme, že funkce f má v bodě 0 derivace až do řádu n N včetně. Taylorovým polynomem stupně n funkce f v bodě 0, značíme jej T n (, 0 ), rozumíme polynom, který má v bodě 0 stejnou funkční hodnotu a stejnou hodnotu prvních n derivací jako funkce f, tj. f ( 0 ) = T n ( 0, 0 ), f ( 0 ) = T n( 0, 0 ),..., f (n) ( 0 ) = T (n) n ( 0, 0 ). Odtud ihned a 0 = f ( 0 ), a = f ( 0 )!, a 2 = f ( 0 ) 2!,..., a n = f (n ) ( 0 ) (n )!, a n = f (n) ( 0 ) n!. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 2 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 22 / 46 Taylorův mnohočlen Taylorův mnohočlen Věta 27 (Taylorova věta) Necht má funkce f v okoĺı bodu 0 vlastní derivace až do řádu n + pro nějaké n N {0}. Pak pro všechna z tohoto okoĺı platí f () = f ( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) 2 + 2! R n () = f (n+) (ξ) (n + )! ( 0) n+, kde ξ je vhodné číslo ležící mezi 0 a. + f (n) ( 0 ) ( 0 ) n + R n (), n! Zbytek R n () je uveden v Lagrangeově tvaru. Vynecháme-li zbytek R n (), obdržíme Taylorův polynom: f () n i=0 f (i) ( 0 ) ( 0 ) i. i! Pokud v položíme 0 = 0, získáme tzv. Maclaurinův polynom: f () n i=0 f (i) (0) i. i! Vzorec uvedený ve větě se nazývá Taylorův vzorec. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 23 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 24 / 46

29 Taylorův mnohočlen Taylorův mnohočlen Příklad 7 Určete Taylorův polynom 4. řádu se středem v bodě 0 = funkce f () = ln. f () = + ln, f () =, f () = 2, f (4) () = 2 3. Tedy f () = 0, f () =, f () =, f () =, f (4) () = 2. T () = 0 +! ( ) + 2! ( )2 + 3! ( ) ! ( )4 = 2 ( ). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 25 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 26 / 46 Taylorův mnohočlen Taylorův mnohočlen Věta 28 Maclaurinovy polynomy pro e, sin a cos : e ! + 3 3! + + n n!, sin 3 3! + 5 2n 5! + + ( )n (2n )!, cos 2 2! + 4 2n 4! + + ( )n (2n)!. Přímým výpočtem. Příklad 8 Určete počet členů Maclaurinova polynomu funkce f () = e, abychom číslo e spočítali s chybou menší než 0 3. R n () = e c (n + )! n+, c mezi, 0 e = + 2! 3! + 4! 5! + + ( )n + n! e c (n+)! ( )n+ < 0 3, c (, 0),tedy e c (n + )! ( )n+ e c (n + )! ( )n+ < e 0 (n + )! < (n + )! > 000 n = 6, 000 e 2! 3! + 4! 5! + 6! toto vyjádření je s chybou menší než 0 3. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 27 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 28 / 46

30 Taylorův mnohočlen Taylorův mnohočlen Věta 29 Maclaurinovy vzorce pro e, sin a cos (n N, c mezi 0 a ): e = ! + + n n! + ec (n+)! n+, cos c sin = 3 2n 3! + + ( )n (2n )! + ( )n (2n+)! 2n+, cos c cos = 2 2n 2! + + ( )n (2n)! + ( )n+2 (2n+2)! 2n+2. (e ) (i) = e, i N 0, tedy R n () = ec (n+)! n+, (sin ) (2i) = ( ) i sin =0 = 0, (sin ) (2i+) = ( ) i cos =0 = ( ) i, i N 0, tedy R 2n () = ( ) n cos c (2n+)! 2n+, (cos ) (2i) = ( ) i cos =0 = ( ) i, (cos ) (2i+) = ( ) i+ sin =0 = 0, i N 0, tedy R 2n+ () = ( ) n+2 cos c (2n+2)! 2n+2. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 29 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 30 / 46 Taylorův mnohočlen Taylorův mnohočlen (Eulerova identita eponenciální tvar kompleního čísla) cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ, = iϕ e iϕ = + iϕ! + (iϕ)2 + (iϕ)3 + + (iϕ)n + 2! 3! n! = + i ϕ! ϕ2 2! i ϕ3 3! + ϕ4 4! + = ϕ2 2! + ϕ4 4! + +i ϕ }{{}! ϕ3 3! + }{{} cos ϕ sin ϕ = cos ϕ + i sin ϕ c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 3 / 46 Taylorův (Maclaurinův) rozvoj dalších elementárních funkcí pro (, ) ln(+) = n n+ + +( )n+ 3 n +( )n+2 (n + )( + c) n+ pro α R, (, ), nebo α N, R ( + ) α = + α + α(α ) 2! 2 + α(α )(α 2) 3! α(α ) (α n+) n! n + α(α ) (α n) (n+)! n+ ( + c) α n ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α = n + n+ ( + c) α n 2 n n + kde jsme (pro α R, n N) použili zobecněný binomický koeficient ( ) α α(α ) (α n + ) :=. n n! c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 32 / 46

31 Taylorův mnohočlen Taylorův mnohočlen Využití Taylorova a Maclaurinova polynomu přibližný výpočet funkčních hodnot, výpočet it. Příklad 9 Pomocí Taylorova polynomu 2. řádu vypočtěte přibližně f () f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + 2 f ( 0 )( 0 ) 2 f () = 3, 0 = 8, h = 0 = 0., f () = 3 2/3, f () = 2 9 5/3 Příklad =? ( + t) /2 = + ( ) ( /2 t + /2 ) 2 t 2 + použijeme pro t = 2, tedy + 2 = ( + t) /3 = + ( ) ( /3 t + /3 ) 2 t 2 + použijeme pro t = 3, tedy = Odtud (0.) (0.)2 = = ? ( ) 2 = 2 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 33 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 34 / 46 Taylorův mnohočlen Rovinné křivky Křivka daná parametricky (Diferenciály vyšších řádů) f ( + h) f () = Ah + τ(h) = d f ()(h) + τ(h) = f ()h + τ(h), V rozvoji f ( + h) = f () + f ()h + τ(h) }{{}}{{} d f ()(h) R () Zadáme-li např. graf funkce sinus po souřadnicích, y, dostaneme množinu bodů [, y] = [, sin ], R, protože je nezávisle proměnná a y = f () je závisle proměnná. označme f ( + h) = f () + f ()h + f () 2! h f (n) () h n + R n () n! f ()h 2 = d 2 f ()(h), f ()h 3 = d 3 f ()(h),..., f (n) ()h n = d n f ()(h). Tím dostaneme Obr. 4: y = sin, [ π, π] f ( + h) = f () + d f ()(h) + 2! d 2 f ()(h) + + n! d n f ()(h) + zbytek. c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 35 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 37 / 46

32 Body o souřadnicích = cos t, y = sin t, t [0, 2π] dávají jednotkovou kružnici 2 + y 2 =. Rovinné křivky Křivka daná parametricky Body o souřadnicích = cosh t, y = sinh t, t R dávají pravou větev a body = cosh t, y = sinh t, t R levou větev hyperboly 2 y 2 =. Definice 6 Rovinné křivky Křivka daná parametricky Necht ϕ a ψ jsou funkce, které zobrazují interval [α, β] do R. Pak množina bodů [, y] R 2 takových, že = ϕ(t), y = ψ(t), t [α, β] se nazývá křivka parametricky zadaná dvojicí ϕ a ψ. Jsou-li funkce ϕ a ψ spojité, nazývá se křivka jimi určená, spojitá. Mají-li funkce ϕ a ψ navíc na intervalu [α, β] derivace a řekneme, že křivka je hladká. t [α, β] : [ϕ ] 2 + [ψ ] 2 > 0, c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 38 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 39 / 46 Rovinné křivky Křivka daná parametricky Rovinné křivky Křivka daná parametricky V roce 890 sestrojil G. Peano příklad spojitých funkcí ϕ, ψ : [0, ] R takových, že množina [ϕ(t), ψ(t)], tj. křivka s parametrizací ϕ, ψ, vyplnila celý jednotkový čtverec [0, ] [0, ]. Křivka = ϕ(t) = { t 2 t < 0 t 2 t 0, y = ψ(t) = t2, t R má ϕ (0) = 0, ψ (0) = 0, tedy není hladká na žádném intervalu obsahujícím nulu. (Jde o y =.) Věta 30 Necht C = {[, y] R 2 : = ϕ(t), y = ψ(t), t [α, β]} je hladká křivka a v bodě t 0 [α, β] platí ϕ (t 0 ) 0. Pak směrnice tečny ke křivce C v bodě [ 0, y 0 ] = [ϕ(t 0 ), ψ(t 0 )] je k = ψ (t 0 ) ϕ (t 0 ). Tečnou ke křivce rozumíme, podobně jako pro graf funkce y = f (), itní polohu sečen. Směrnice sečny je ψ(t) ψ(t 0 ) ϕ(t) ϕ(t 0 ) = (podle Cauchyho věty) = ψ (c) ϕ (c), kde c leží mezi t, t 0. Limitním přechodem t t 0 dostáváme, že k = ψ (t 0 ) ϕ (t 0 ). c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 40 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 4 / 46

33 Rovinné křivky Křivka daná parametricky Rovinné křivky Křivka daná parametricky Příklad 2 Určete směrnici tečny ke kružnici = cos t, y = sin t v bodě [ 2, 2 ]. t 0 = π 4 k = cos π 4 sin π 4 2 = =. 2 Věta 3 Necht C = {[, y] R 2, = ϕ(t), y = ψ(t), t [α, β]}, ϕ, ψ mají na [α, β] druhé derivace a ϕ (t 0 ) 0. Pak v okoĺı bodu [ 0, y 0 ] = [ϕ(t 0 ), ψ(t 0 )] je křivka C totožná s grafem jisté funkce y = f () a pro její druhou derivaci v bodě 0 = ϕ(t 0 ) platí f ( 0 ) = ψ (t 0 )ϕ (t 0 ) ψ (t 0 )ϕ (t 0 ) ϕ 3. (t 0 ) c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 42 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 43 / 46 Rovinné křivky Křivka daná parametricky Rovinné křivky Křivka daná parametricky Protože ϕ (t 0 ) 0, je ϕ v okoĺı t 0 prostá, tedy eistuje inverzní funkce t = ϕ (). Pak f () = (f ()) = y = ψ(t) = ψ(ϕ ()) =: f (). f () = ψ (ϕ ()) (ϕ ) () }{{}}{{} t ϕ (t) ( ψ (ϕ ) ()) ϕ (ϕ ()) = ψ (t)ϕ (t) ψ (t)ϕ (t) ϕ 2 (t) = ψ (t) ϕ (t), (ϕ ) () = ψ (t)ϕ (t) ψ (t)ϕ (t) ϕ 3 (t) Příklad 22 = cos t, y = sin t, t 0 = π/4 tedy f () = (sin t) (cos t) (cos t) (sin t) sin t( sin t) ( cos t)(cos t) = = (cos t) 3 ( sint) 3 sin 3 t, f ( 2 ) = ( ) 3 = c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 44 / 46 c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 45 / 46

34 Rovinné křivky Křivka daná parametricky Příklad 23 Cykloida má parametrizaci = t sin t, y = cos t, t [0, 2π]. V okoĺı bodu daného hodnotou parametru t = π/2 zadává jistou funkci y = f (). Určete hodnotu první a druhé derivace funkce f v tomto bodě. f () = ( cos t) (t sin t) = sin t cos t f ( 0 ) = cos t( cos t) sin2 t ( cos t) 3 t= π 2 = +cos t ( cos t) 3 t= π 2 = 0 =, = +0 ( 0) 3 = Obr. 5: Cykloida pro t [0, 4π] c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) 46 / 46