Krystalová mříž, krystalové roviny, Millerovy indexy.

Transkript

1 Krystalová říž, krystalové roviny, Millerovy indexy. Krystalografické soustavy. Bodová syetrie. Title page Bodové grupy - krystalografická oddělení. Translační syetrie, Bravaisovy řížky. Prostorové grupy.

2 Krystalová říž, struktura Mřížový bod: á stejné a stejně orientované okolí Mříž: nožina řížových bodů Mřížové body neusí být totožné s polohou atou. Struktura krystalu: prostorové uspořádání atoů, olekul Mříž vystihuje translační periodicitu tohoto uspořádání. říž + základní otiv (báze) struktura

3 Priitivní a centrované buňky Obsahuje-li rovnob žnost n vyezený základníi translacei pouze jediný ížový bod, je tento rovnob žnost n nazýván priitivní bu ka. Obsahuje-li rovnob žnost n vyezený základníi translacei více ížových rovnob žnost n nazýván centrovaná bu ka. bod, je tento Všechny priitivní bu ky ají stejný obje a tento obje je iniální, jaký že bu ka íže ít. Centrované bu ky ají obje rovný celistvéu násobku objeu priitivní bu ky (podle po tu ížových bod p ipadajících na centrovanou bu ku). Zavedení centrovaných bun k je dáno požadavke, aby syetrie základní bu ky byla stejná jako syetrie celé íže. Výb r bu ky:. Maxiální syetrie syetrie ížky.. Miniální obje jeden ížový bod v p ípad priitivní bu ky. 3. Úhly ezi stranai blízké 9 3

4 Krystalové sěry a roviny řížový vektor : t ua + vb + wc u,v,w celá čísla polohový vektor : r xa + yb + zc x,y,z frakční souřadnice [uvw] : krystalografický sěr (hkl) nožina rovnoběžných ekvidistantních rovin; h,k,l nesoudělná celá čísla () - - () -a -b b a [] - () -a - () -b b r a 4

5 Ortogonální a hexagonální řížka [uvw] : krystalografický sěr <uvw> : soubor ekvivalentních krystalografických sěrů (hkl) : nožina rovnoběžných ekvidistantních rovin {hkl} : soubor syetricky ekvivalentních rovin např. pro tetragonální říž: {}()()(-)(-) Speciálně pro hexagonální soustavu: (hkil) kde i-(h+k) {-}(-)(-)(-) (--)(--)(--) cyklická záěna hki d(hkl)d(-h-k-l) {}()(-)(-)(--)(-)(-) a (b) a (b) a +a a +a a +a a (a) -a a (a) a -a a 3 -a a -a 5

6 Mřížkové paraetry, ezirovinná vzdálenost d(hkl) řížkové vektory : a, b, c řížkové paraetry : a, b, c (Å), α, β, γ ( ) obje buňky : V a. [b c] V abc (+ cosα cosβ cosγ - cos α - cos β - cos γ) / r V a c abc cosγ r r [ b ] cos β cosγ cosα cos β cosα / a a* γ b* reciproká říž : d() V / b c (průět a do sěru kolého na rovinu bc) a* /d(), b* /d(), c* /d(), a* b c / V (průět /a do sěru kolého na rovinu bc) /d(hkl) ha*+kb*+lc* a* bc sinα / V ; cosα* (cosβ cosγ - cosα) / (sinβ sinγ) a*.a, a*.b, a*.c b 6 d()

7 d(hkl), Q(hkl) a a* γ b* b d() r V a c abc cosγ r r [ b ] cos β cosγ cosα cos β cosα / Q(hkl)/d (hkl) (ha*+kb*+lc*) (ha*) +(kb*) +(lc*) +klb*c*+hla*c*+hka*b* Ah + Bk + Cl + Dkl + Ehl + Fhk A(a*), B (b*), C (c*), Db*c*cosα*, Ec*a*cosβ*, Fa*b*cosγ* pro onoklinní soustavu (αβ9 ) : V abc sinγ A /(a sin γ), B /(b sin γ), C /c, D E, F -cosγ/(ab sinγ) 7

8 8 Mezirovinná vzdálenost d(hkl) ( ) c l b k a h c l c l b k a h b k c l b k a h a h l k h hkl d / cos cos / cos / cos / cos cos / cos cos / cos / cos / cos cos / cos cos cos cos cos cos ) ( α β γ γ β α γ β α α β γ α β α γ β γ c b a

9 Krystalografické soustavy triklinická a b c α β γ 9 onoklinická a b c α β 9 γ 9 ortorobická a b c α β γ 9 9

10 Krystalografické soustavy tetragonální a b c α β γ 9 kubická a b c α β γ 9 hexagonální + trigonální a b c α β 9 γ

11 Krystalografické soustavy trigonální (roboedrická) a b c α β γ 9 h r hexagonální a a b b b c c a + b + c a sin( α / ) c 9 sin h a ( α ) h a r r h r r r h r r r /

12 Mřížkové paraetry a ezirovinná vzdálenost d(hkl) Q(hkl)/d (hkl) Ah + Bk + Cl + Dkl + Ehl + Fhk A B C D E F V h k l kl hl hk (a*) (b*) (c*) cosα* b*c* cosβ* c*a* cosγ* a*b* b c sin α triclinic V a c sin β V a b sin γ V a bc(cos β cosγ cosα) V ab c(cosα cosγ cos β ) V abc (cosα cos β cosγ ) V cubic /a A A a 3 tetragonal /a A /c a c orthorhobic /a /b /c abc hexagonal 4/3a A /c A a c (3/4) onoclinic /a sin γ /b sin γ /c -cosγ/ab.sin γ abc sinγ V abc (+ cosα cosβ cosγ - cos α - cos β - cos γ) / triklinická a b c, α β γ 9 A B C D E F onoklinická a b c, α β 9, γ 9 A B C F, D E ortorobická a b c, α β γ 9 A B C, D E F tetragonální a b c, α β γ 9 A B C, D E F kubická a b c, α β γ 9 A B C, D E F hexagonální a b c, α β 9, γ A B F C, D E

13 Bodová syetrie operace prvek IS Schönfließ rotace osa,,3,4,6 C,C,C 3,C 4,C 6 inverze st ed i zrcadlení rovina () s rota ní inverze osa 3,4,6 S 3,S 4,S 6 Základní operace: E(),, 3, 4, 6, i(), (),

14 Osové kobinace Osové kobinace jsou vždy složeny ze tří protínajících se os, neboť třetí osa vzniká autoaticky při kobinaci dvou os. Eulerova konstrukce: cos( A, B) cos( γ / ) + cos( α / )cos( β / ) sin( α / )sin( β / ) A α8 úhel(b,c)~(3,4)54.74 B3 β úhel(a,c)~(,4)45 C4 γ9 úhel(a,b)~(,3)35.6 4

15 Reprezentační atice bodové operace syetrie transforace: u u u 3 a a a 3 a a a 3 a a a u u u 3 usí být : lineární, izoetrická podínka izoetričnosti: a ij usí být ortogonální 3 k aika kj δ ij [ ( )] Det ( a ) ( ) T ij a ij a ij Det Det ( ) a ij ( ) a ij rotace inverze, reflexe nebo součin inverze a rotace 5

16 6 Reprezentační atice bodové operace syetrie C C i identita inverze reflexe ( ) P ( ) P ( ) P

17 7 Reprezentační atice bodové operace syetrie cos sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ C ϕ C rotace 3 3 C 3 3 C 3 C 3 3 C 3 C C 6

18 Určení typu atice bodové operace syetrie A. Det(A), tj. rotační osa (- : inverzní osa). Četnost osy: Stopa atice χ a + a + a 33 + cosϕ χ(a), cosϕ -/, ϕ, tj. trojčetná rotační osa 3 χ Det Sěr osy: (je-li det(a)-, tak atici M počítat z A) v a a a3 v a a a3 v a a a3 v M (A) M a a a3 ; Det( M ) v3 a3 a3 a3 v3 a3 a3 a3 pro k,,3 c i (-) i+k M ik M ik inor atice M (deterinant atice M(A) bez i.řádku a k.sloupce) c : c : c3 M 3 : M 3 : M 33 : : :: tj. sěr podél úhlopříčky (příklad výpočtu pro i3) 8

19 Zařazení krystalů do soustav Krystalografické soustavy - Syngonie eleentární buňka axiu syetrie holoedrie x eroedrie Soustava Miniu vnější souěrnosti Triklinická nebo Monoklinická nebo Ortorobická nebo Trigonální 3 nebo 3 Tetragonální 4 nebo 4 Hexagonální 6 nebo 6 Kubická 3 (4x) (podél tělesových úhlopříček) 9

20 Definice grupy : x y z Množina prvků a,b,c,..., ezi niiž je definována operace násobení ( ), a pro které platí. a b je rovněž prvke grupy ( x y z ). existuje jednotkový prvek e, pro který platí a e e a a ( x x ) 3. ke každéu prvku a existuje inverzní a -, pro který platí a a - e ( x x ) 4. Platí asociativní zákon a (b c) (a b) c řád grupy počet prvků podgrupa; index podgrupy řád grupy / řád podgrupy Prvky krystalografických grup jsou operace syetrie, jejich násobení znaená postupné provedení operací syetrie.

21 Bodové grupy syetrie Mezinárodní Herann-Mauguinův sybol prvky souěrnosti ve význačných sěrech Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Triklinická C C i Monoklinická C b C s C h / / Ortorobická D a b c C v D h / / /

22 Bodové grupy syetrie Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Tetragonální C c a a-b S C 4h 4/ 4/ D C 4v 4 4 D d 4 4 D 4h 4/ / / 4/

23 Bodové grupy syetrie Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Trigonální C c a C 3i 3 3 D C 3v 3 3 D 3d 3 / 3 Kubická T 3 3 c a+b+c a+b T h / 3 3 O T d O h 4/ 3 / 3 3

24 Bodové grupy syetrie Soustava Schöfliesův Mezinárodní sybol význačné sěry sybol úplný zkrácený Hexagonální C c a a-b C 3h 6 6 C 6h 6/ 6/ D C 6v 6 6 D 3h 6 6 D 6h 6/ / / 6/ celke 3 bodových grup (krystalografických oddělení) 4

25 Bodové grupy syetrie 5

26 Speciální bodové grupy Centrické grupy () -, /,, 4/, 4/, -3, -3, 6/, 6/, -3, -3 - obsahují střed syetrie Laueho grupy (grupy difrakční syetrie) - liší se pouze přítoností středu syetrie /,, /,, 3-43, 43, -3 Enancioorfní grupy (),, 3, 4, 6,, 3, 4, 6, 3, 43 - neají střed syetrie ani roviny reflexe Holoedrické grupy (7), /,, 4/, -3, (Bravaisovy řížky) 6/, -3 6

27 Morfologie krystalů Tvar krystalu odpovídá jeho krystalografické bodové grupě. Každá vnější plocha krystalu je rovnoběžná s osnovou řížových rovin. V isotropní prostředí : fora soubor ekvivalentních rovin {hkl} obecná fora : vychází z obecné polohy speciální fora : vychází ze speciální polohy Vnější tvar krystalu je zpravidla průnike několika fore. krystalová t ída -3 speciální fory krystalové t ídy -3 obecná fora krystalové t ídy -3 7

28 Translační syetrie Operace prvek sybol translace translace příka ua+vb+wc kluzný pohyb kluzná a,b,c, n ½a, ½b, ½c, ½(a+b), rovina d ¼(a±b) (pouze I a F grupy) šroubový pohyb šroubová, 3,3 / t, /3 t osa 4,4,4 3 /4 t 6,6,6 3,6 4,6 5 /6 t a,b 4 6 c n d 8

29 Šroubové osy /3 /3 (x/3) /3 (x ) Provedení operací syetrie šroubové osy 3 odpovídá posunu o 4/3 (p i ež z transla ní syetrie plyne, že posun o 4/3/3.) a oto ení o 4 ( ). Šroubovou osu 3 lze proto považovat za levoto ivou ve srovnání s pravoto ivou osou 3. pravotočivé osy: 3, 4, 6, 6 levotočivé osy: 3, 4 3, 6 5, 6 4 9

30 Bravaisovy řížky triklinická a b c α β γ 9 onoklinická a b c α β 9, γ 9 ortorobická a b c α β γ 9 tetragonální a b c α β γ 9 kubická a b c α β γ 9 hexagonální a b c α β 9, γ hexagonální R roboedrická a b c α β γ 9 3

31 Bravaisovy řížky triklinická - P P C roboedrická R (P) onoklinická 3

32 Bravaisovy řížky hexagonální - P P tetragonální I 3

33 Bravaisovy řížky P I C F ortorobická 33

34 Bravaisovy řížky P I F kubická 34

35 Prostorové grupy syetrie Množiny všech operací syetrie krystalové soustavy - bodové prvky syetrie + translace (Bravaisovy říže) + (šroubové osy + kluzné roviny) každá bodová grupa několik prostorových grup (izogonálních) Př. Bodová Schöfliesův Mezinárodní sybol grupa sybol úplný zkrácený C, C P P C P P C 3 C C celke 3 prostorových grup

36 Prostorové grupy syboly Prostorové grupy v krystalografických třídách, Herannovy Mauguinovy syboly: Soustava Kryst.s ry Bodové grupy Centrace buňky buňka triklinická P [-], - X P triklinická onoklinická X b (Xb),, / X P,C,[A,B,I] onoklinická [X c (Xc), X a (Xa)] ortorobická X a b c,, X P,C,I,F,[A,B] ortorobická tetragonální X c a a-b [a+b] 4, -4, 4/, 4, 4, -4, 4/ X P,I tetragonální kubická X a a+b+c a+b 3, -3, 43, -43, -3 X P,I,F kubická hexagonální P c a a-b [a+b] 6, -6, 6/, 6, 6, -6, 6/ X P hexagonální trigonální P c a 3, -3, 3, 3, -3 X P hexagonální R c a H 3, -3, 3, 3, -3 X R hexagonální R a+b+c a-b R 3, -3, 3, 3, -3 X R roboedrická,a,b,c,n,d;, ; 33,3,3 ; 44,4,4,4 3 ; 66,6,6,6 3,6 4,6 5 a (b) a +a a +a a (b) a +a -a a (a) a (a) -(a +a ) -a a -a a -a 36

37 Hexagonální a trigonální soustava trigonální a (b) hexagonální a (b) a (a) a (a) a 3 a 3 /3, /3, /3 soustava, centrace Prost. grupa buňka hexagonální P P6.. hexagonální P trigonální P P3. hexagonální P trigonální R R3. hexagonální R roboedrická P /3, /3, /3 /3, /3, /3 37 /3, /3, /3

38 38 Seitzovy atice Maticová reprezentace operací syetrie obsahujících translaci: t t t t M S r t x x x x x x x t t t x x x t Mx x r r + M atice rotace (inverze, zrcadla) t vektor translace t t t x x x x x x Seitzova atice:

39 Hallovy syboly prostorových grup S.R. Hall: Space-Group Notation with an Explicit Origin ; Acta Cryst. A37, (98). Hallovy syboly jsou založeny na iniální počtu operací syetrie (generátorů) ve forě Seitzových atic. Obsahují explicitní určení počátku. Jsou výhodné pro autoatické generování operací syetrie prostorových grup. Srovnání Herannových Mauguinových a Hallových sybolů: Číslo H.-M. Hall. 5 F -3 -F 4 3 (Znaénko ínus na začátku Hallova sybolu znaená přítonost četnost grupy: četnosti generátorů četnosti generátorů středu inverze) (z H.-M. sybolu nevyplývají všechny potřebné generátory) 96! 9 9 P P ac ab (Z H.-M. sybolu nevyplyne, že je počátek posunut do bodu ¼,¼,¼. V Hallově sybolu je posun počátku explicitně uveden). Generátory prostorové grupy: Mřížková translace Centrace buňky (není-li P) Vybrané operace syetrie (v počtu -3) Inverze (pro centrosy. grupy) 39

40 Generátory prostorové grupy Herannův Mauguinovův sybol: Hallův sybol: P4 P 4 ~ 4 x Obecná poloha: xyz xyz yxz yxz xyz xyz yxz yxz 4 : xyz xyz yxz yxz x : xyz xyz yxz yxz : yxz yxz xyz xyz : yxz yxz xyz xyz 4 y, x, z x, y, z x, y, z x x, y, z shodné s již vytvořenýi polohai Generátory prostorové grupy: Mřížková translace Centrace buňky (není-li P) Vybrané operace syetrie (v počtu -3) Inverze (pro centrosy. grupy) x, y, z y, x, z xy 4

41 Ekvivalentní polohy P-4 četnost Wyckoff syetrie souřadnice 8 l 4 k 4 j 4 i 4 h g f e d 4 c 4 b 4 a 4 xyz, xyz, xyz, xyz, yxz, yxz, yxz, x xz, xz, xz, xz xx xx, xx, xx, xx z, z z, z z, z z,, x xx z,, xz, xx, xx xz a j j j j yxz 4

42 4 Transforace řížkových vektorů c b a c b a Hex Rho Det M v r r r r r : 3 Transforační atice M M : řížkové paraetry a, indexy hkl a M a, a M - a (M T ) - : polohy atoů x, reciproké řížkové paraetry a*, sěr v řížce uvw x (M T ) - x, x (M T ) x M T : transponovaná M - : inverzní 4 F P Det M 4 / P F DetM I P DetM / P I DetM

43 Podgrupy podnožiny všech operací syetrie dané grupy, které say splňují definici grupy I (t) - translationengleiche zachovány pouze translace II (k) - klassengleiche zůstává zachována bodová I4/c (-I 4 c ) P4/c P4/cc P4 /c atd... C/ k P/ grupa, zěna translační grupy IIa zěna centrace, zachování paraetrů IIb znásobení eleentární buňky IIc i (izoorfní) jako IIb, stejný sybol t C i 3 (b 3b) C/ Index inverzní hodnota podílu operací podgrupy ke vše operací grupy je-li prvočíslo axiální podgrupa 43

44 Podgrupy α-as rodokeny grup R3 P3 k a a a 3 t α-po 4 t R3 GeTe ½ (a + a 3 ) ½ (a + a 3 ) ½ (a + a ) t F3 t 4 R3 NaCl -¼ -¼ -¼ a -a 3 -a +a a +a +a 3 R3 k c P3 CaTiO 3 t4 k a a a 3 R3c LaAlO 3, α-al O 3 F3 t 4 ½ (a -a 3 ) ½ (-a +a ) a +a +a 3 t a +a t t 3 R3c C/c R3 LiNbO 3 44

45 Podgrupy F3 (fccccp) I3 (bcc) P6 3 /c (hcp) 45

46 Podgrupy 46