4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu

Transkript

1 4. Lineární diferenciální rovnice rovnice. ádu y + p( ) y = (4.) L[ y] = y + p( ) y p q jsou spojité na I = (ab) a < b. Z obecné teorie vyplývá že množina všech ešení rovnice (4.) na intervalu I (tzv. obecné ešení) je množina yˆ + ker( L) kde ŷ je libovoln vybrané ešení partikulární (na I ) tj. ešení rovnice s pravou stranou q a ker(l) je množina všech ešení pidružené rovnice homogenní tj. L[ yˆ ] = q (4.2) y ker( L) L[ y ] =. Skutenost že se dále vždy bude jednat o ešení na intervalech spojitosti funkcí p q nebude dále již zdrazována. Dále je známo že dim(ker(l)) = a tedy každé nenulové ešení pidružené homogenní rovnice je bází ker(l). Lze tedy každé ešení rovnice (4.) psát ve tvaru y = yˆ + c y kde y je báze prostoru ker(l) tj. L[ y] = y a c je njaká konstanta. vedenými poznatky jsou motivovány dále uvedené kroky ešení rovnice (4.). Postup ešení lineární diferenciální rovnice. ádu. Vyhledání báze množiny všech ešení homogenní rovnice (stanovení fundamentálního systému) tj. nalezení funkce y L[ y] = y. 2. Stanovení partikulárního ešení ŷ tj. nalezení alespo jedné funkce která eší dif. rovnici s pravou stranou q.. Konstrukce obecného ešení ve tvaru y = yˆ + c y 4. Je-li ešena poátení úloha stanovení konstanty c tak aby ešení vyhovlo poátení podmínce (pizpsobení konstanty).

2 Fundamentální systém. Homogenní diferenciální rovnice. ádu je separovatelná Odtud dostaneme p + y =. y p( ) d + ln y = c a tedy bází ker(l) mže být kterákoliv nenulová funkce z dále uvedené množiny tj. p( ) d y ke y k {}. (4.) Obecné ešení homogenní rovnice je možno zapsat ve tvaru kde c je libovolná konstanta. = c (4.4) Partikulární ešení. Metoda variace konstanty. Ke stanovení partikulárního ešení touto metodou využijeme znalost báze y odvozené v pedchozím kroku. Partikulární ešení hledáme ve tvaru souinu pomocné funkce c() a funkce y () tj. ve tvaru yˆ( ) = c( ). (4.5) Dosazením souinu c() y () do rovnice (4.) za y odvodíme diferenciální rovnici pro pomocnou funkci c(). Vzhledem k tomu že y () je ešení pidružené homogenní rovnice pomocná diferenciální rovnice pro c() bude ešitelná pímou integrací. Název metody má pvod v porovnání formulí (4.4) (4.5). Formule (4.5) vznikne z formule (4.4) zámnou konstanty za nco co je promnné variantní. Dosame (4.5) do (4.). Dostaneme odtud po úprav c( ) + p( ) c( ) = c ( ) + c( ) y ( ) + p( ) c( ) = tedy c ( ) + c( ) y ( ) + p( ) = c ( ) = c ( ) =. (4.6) Pomocnou funkci c() získáme z (4.6) pímou integrací dosazení c() do (4.5) získáme hledané partikulární ešení. Partikulárním ešením je tedy kterákoliv funkce ŷ z dále uvedené množiny:

3 yˆ( ) y( ) d. (4.7) Obecné ešení. Je-li cílem vyhledat množinu všech ešení rovnice (4.) pak úloha koní zápisem formule y( ) = yˆ ( ) + c (4.8) kde funkce ŷ a y byly stanoveny v pedchozích krocích a c je opt libovolná konstanta (reálná nebo komplení). Souhrnn: p( ) d y ke y k {} yˆ( ) y( ) d. (4.9) Poátení podmínka. Je-li navíc zadána poátení podmínka y( ) = y z rovnice (4.8) je dále teba vypoítat konstantu c. Dostaneme pro ni rovnici y = yˆ( ) + c y ( ). (4.) Je teba dát pozor na výbr fundamentálního systému a partikulárního ešení. Ve vzorcích (4.9) je teba vybrat takové funkce ŷ a y které eší dif. rovnici na njakém okolí bodu [ y ]. Tento problém však lze ešit obecn. Vhodný výbr funkcí lze provést takto: y e p t dt = q( t) yˆ( ) = y( ) dt. Pro konstantu c z (4.) pak dostaneme c = y. y ( t) p( t ) dt α Zavedeme-li pomocnou funkci vztahem ( α β ) = e pak ešení poátení úlohy lze psát ve tvaru β y( ) = ( ) y + ( t) q( t) dt. (4.) Jak vyplývá ze vztahu (4.) na lineární diferenciální rovnici se mžeme dívat jako na systém se vstupem q výstupem y a vnitním stavem y v okamžiku který lze úpln charakterizovat funkcí. q y y První len v rovnici (4.) popisuje autonomní chování systému závislé pouze na jeho vnitním stavu y v okamžiku je nezávislé na jeho vstupu q a jeho vývoj lze na výstupu pozorovat pokud q =. Druhý len v rovnici popisuje odezvu systému na vstup q a je

4 nezávislý na vnitním stavu y. vedená interpretace vlastností je ilustrována následujícím obrázkem. y + y q Píklad 4. Stanovte obecné ešení rovnice y + y =. (4.2) Funkce p( ) = a q() = jsou spojité funkce na intervalech ( ) (+ ) na tchto intervalech je zaruena eistence a jednoznanost ešení dané rovnice. ešení homogenní rovnice. p( ) d d ln k Podle (4.) máme y ke = ke = ke =. Z této množiny funkcí vybereme bázi množiny ešení homogenní rovnice (fundamentální systém). Pro > položme k = dostaneme y = pro < položme k = dostaneme opt y =. Za bázi množiny ešení homogenní rovnice lze na obou intervalech zvolit funkci která je urena stejnou formulí y =. ešení partikulární Partikulární ešení hledáme ve tvaru yˆ( ) = c( ) y( ) = c( ) dosazením do rovnice (4.2) nebo použitím odvozeného vzorce nakonec dostaneme yˆ( ) d = d = d = + c = c y( ) Zvolme Obecné ešení: 2 yˆ( ) 2 =. y( ) = + c na intervalech ( ) (+ ).

5 Grafická ilustrace obecného ešení