VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES."

Transkript

1 VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES Jan Kohout a a Univerzita obrany, Kounicova 65, Brno, ČR, Abstrakt Teplotní závislost nárazové práce při zkoušce rázem v ohybu je rychle zjistitelnou a velmi důležitou charakteristikou konstrukčních materiálů. Pro regresi těchto tzv. tranzitních křivek se nejčastěji používá funkce typu hyperbolický tangens, jejímž grafem je středově symetrická neklesající křivka. Příspěvek navrhuje řadu dalších regresních funkcí, které umožňují popis tranzitních křivek nesymetrických, nemonotónních, s volitelnou křivostí v oblasti jejích ohybů atd. Jejich analytické vyjádření je voleno tak, aby každý z jejich parametrů měl zcela jednoznačný technický či geometrický význam (např. tranzitní teplota, šířka tranzitní oblasti, dolní a horní úroveň nárazové práce, směrnice horní úrovně, parametr asymetrie, parametr křivosti atd.). Použití některých z navržených regresních funkcí je ukázáno při regresi teplotních závislostí konkrétních experimentálních výsledků rázových zkoušek. Abstract Temperature dependence of absorbed energy measured at impact bending test is quickly ascertainable and very important characteristic of structural materials. For regression of these so-called transition curves mostly the function of tangent hyperbolic type is used, whose graph is represented by monotonous centrally symmetric curve. Present contribution proposes many other regression functions, which need not be symmetric or monotonous, with various curvatures at their bends. They are analytically expressed by regression parameters with unambiguous technical or geometrical meaning (e.g. transition temperature, the width of transition region, lower and upper shelf of the curve, the slope of upper shelf, parameter of asymmetry, parameter of curvature etc.). Application of some proposed regression functions is presented by fitting temperature dependences of various impact test results. 1. ÚVOD Při navrhování konstrukcí odolných vůči křehkému porušení se často používá tzv. přístup tranzitní teploty, který zajistí, aby tranzitní teplota materiálu vybraného pro konkrétní aplikaci ležela dostatečně nízko pod oblastí teplot použití navrhované součásti. Jedním z nejběžnějších experimentálních postupů určení tranzitní teploty je rázová zkouška na Charpyho kladivu, při níž je vrubovaná zkušební tyč namáhána rázem v ohybu. Zkoušky se provádějí v dostatečně širokém intervalu teplot a závislost nárazové práce na teplotě se nazývá tranzitní křivka. Zatímco její průběh je u materiálů na bázi kovů s f.c.c. strukturou nevýrazný, u materiálů na bázi kovů s b.c.c. strukturou, popř. i u některých polymerů se nárazová práce mění s teplotou velmi podstatně a tranzitní křivku lze rozdělit na tři teplotní oblasti: nízkoteplotní oblast s křehkým porušením dosahovaným při nízkých hodnotách nárazové práce, přechodovou (tranzitní) oblast s výrazným nárůstem hodnot nárazové práce (a zpravidla i jejich velkým rozptylem) a oblast vyšších teplot s houževnatým lomem zkušebních tyčí, který vyžaduje vysoké hodnoty nárazové práce. Tranzitní křivky však lze konstruovat nejen pro nárazovou práci, ale také pro příčné rozšíření zkušební tyče v bezprostřední blízkosti lomu a pro procentuální podíl křehkého, popř. tvárného porušení na lomové ploše zkušební tyče. 1

2 Reprezentace souboru naměřených dat pomocí souvislé křivky vyžaduje vhodný postup vyhlazení. Vedle neparametrických vyhlazovacích metod (v současné době téměř výhradně numerických, např. splajnů [1]) existuje možnost regrese pomocí vhodných regresních funkcí obsahujících regresní parametry, jejichž hodnoty spolu s typem regresní funkce jednoznačně popisují tranzitní křivku. Výběr vhodné regresní funkce zapsané pomocí nejdůležitějších a nejužitečnějších parametrů je cílem tohoto příspěvku. Nejčastěji se pro regresi tranzitních křivek používá regresní funkce typu hyperbolický tangens, např. ve tvaru [2] AE= f ( t) = a+ b tgh[ c ( t d)], (1) kde AE je nárazová práce (absorbovaná energie) a t je teplota. Regresní parametry a, b, c a d (jejich hodnoty a standardní odchylky) jsou výsledkem regresních výpočtů. S jinými typy regresních funkcí se setkáme poměrně zřídka. Siefer a Orths [3] uvádějí funkci 2CS AE = + D, (2) 2 [1 B( t A)] + 4BS( t A) + 1 B( t A) která na rozdíl od středově symetrické funkce (1) umožňuje výběrem hodnoty parametru S volit asymetrii křivky, ovšem ohyby křivky (minimálně jeden z nich) mají pro absolutní většinu experimentálních dat nedostatečnou křivost. Funkce Jourise a Shaffera [4] d b( t+ c) AE= a+ (3) d e+ ( t+ c) je použitelná pouze pro a nad tranzitní oblastí. Omezená použitelnost a nejasný význam některých regresních parametrů jsou nedostatky, které se budeme snažit odstranit. Za regresní parametry budou voleny parametry s úzkým vztahem ke geometrickému tvaru tranzitní křivky, popř. parametry mající technický či praktický význam. Regresní funkce jsou vybírány tak, aby popsaly širokou škálu možných tvarů reálných tranzitních křivek, především křivost jejich ohybů, asymetrii a nekonstantní průběh především horní úrovně nárazové práce. 2. VÝBĚR REGRESNÍCH PARAMETRŮ Parametr a v rovnici (1) představuje průměr dolní a horní úrovně tranzitní křivky, parametr b polovinu jejich rozdílu, parametr c souvisí se strmostí tranzitní křivky v tranzitní oblasti a pouze parametr d je volen vhodně, neboť přestavuje teplotu odpovídající středu symetrie křivky, kterou lze ztotožnit s tranzitní teplotou. Vyjádření téže rovnice ve tvaru L+ H H L 2( t ttr ) AE= + tgh (4) 2 2 t obsahuje parametry, jejichž význam je nejen jasný, ale i jednoduchý: L je dolní a H horní úroveň nárazové práce, t tr je tranzitní teplota a t je šířka tranzitní oblasti. To je důležité při hodnocení výsledků regrese i při odhadu počátečních hodnot parametrů, které vyžaduje nelineární regrese. Dále úzká vazba mezi regresními parametry a tvarem tranzitní křivky vede k nízkým hodnotám standardních odchylek regresních parametrů a chceme-li přesnost některého z parametrů dále zvýšit, jeho vztah k tvaru křivky jednoznačně udává, na kterou oblast tranzitní křivky je třeba se zaměřit (např. pro jaké teploty provést doplňující zkoušky). Jsou-li zkoušky rázem v ohybu prováděny až do teplot vysoko nad tranzitní oblastí, lze parametr H nahradit jednoduchou funkcí, např. lineární či exponenciální. Je-li sledovanou vlastností podíl lomu, volíme v případě houževnatého lomu L = 0 a H = 1, popř. 100 %. S funkcí typu tgh x má srovnatelný tvar křivky funkce typu arkus tangens. Zápis [1] L+ H H L π ( t ttr ) AE= + arctg (5) 2 π t vhodný pro regresi tranzitních křivek obsahuje parametry se zcela totožným významem jako rovnice (4). Rozdíl oproti funkci typu tgh x spočívá v tom, že prochází dále od průsečíků 2

3 asymptot a tečny v inflexním bodě a že se pozvolněji blíží k asymptotám, má tedy menší křivost v ohybech. Srovnání obou funkcí je uvedeno na obr. 1. Křivky jsou normovány tak, aby měly shodnou dolní i horní úroveň a aby měly společnou tečnu v inflexním bodě. 3. VOLBA KŘIVOSTI OBLOUKŮ Křivost oblouků tranzitních křivek lze měnit v širokých mezích pomocí mocnin (a odmocnin) výchozích funkcí tgh x a arctg x, přičemž exponent n je parametrem udávajícím křivost v ohybu n L+ H H L 2 t ttr AE sgn( t ttr ) tgh 2 2 t = + a (6) L+ AE= 1/ n 1/ n n H H L 2 2 t t π tr + sgn( t ttr ) arctg 2 2 π 2 t, (7) kde x znamená absolutní hodnotu a funkce signum je definována vztahy sgn(x) = 1 pro x < 0, sgn(0) = 0, sgn(x) = +1 pro x > 0. Čím větší je hodnota parametru n, tím blíže průsečíkům tečny v inflexním bodě a asymptot graf funkce prochází a tím větší je jeho křivost v ohybech. Příklady pro typ funkce tgh x a n = 0,5 a 2 jsou uvedeny také na obr. 1. Velmi často experimentální tranzitní křivky vykazují různou křivost horního a dolního oblouku. Pak je možné volit pro t < t tr volit jinou hodnotu exponentu n než pro t > t tr. Poloha inflexního bodu zůstává stále uprostřed mezi horní a dolní úrovní nárazové práce. Obr. 1. Srovnání průběhu funkce typu tgh x a jejích mocnin s funkcí typu arctg x. Fig. 1. Compared function courses of tahh x type and its powers with arctan x type. 4. MIMOSTŘEDOVÁ POLOHA INFLEXNÍHO BODU Při uvolnění inflexního bodu ze středové polohy mezi horní a dolní úrovní musíme rozlišit polohu inflexního bodu t in a polohu t 1/2 definovanou hodnotou nárazové práce (L+H)/2. Zavedeme-li parametr asymetrie p jako podíl šířky t 1 tranzitní oblasti pod teplotou t in a šířky t 2 tranzitní oblasti nad teplotou t in, tj. p = t 2 / t 1 (jejich součet t 1 + t 2 = t udává celkovou šířku tranzitní oblasti), dospějeme pro funkci typu tgh x k následujícím vztahům 3

4 (8) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 2. Obr. 2. Průběh asymetrické funkce typu tgh x pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 2. Course of asymmetric function of tanh x type for various asymmetry parameter values. V případě, že hodnota parametru asymetrie vychází příliš malá či příliš velká, je vhodné volit limitní hodnoty p 0 a p, čímž dostáváme křivky se zlomem na horní či na dolní úrovni nárazové práce. Odpovídající regresní rovnice jsou v prvém případě a ve druhém případě (9) Další možnost, jak nalézt regresní funkci s mimostředovou polohou inflexního bodu, vychází z aproximace funkce tgh x (10) pro a pro. (11) Regresní funkci lze vytvořit ze dvou částí funkcí typu exp(x) a exp( x). S týmž nápadem přišli i Müncner s Piussim [5]. Jejich regresní funkce obsahuje 6 parametrů, z nichž pouze dva mají průhledný význam, význam ostatních je neprůhledný a navíc jsou zřejmě vzájemně závislé. Při skládání regresní funkce ze dvou částí pomocí funkce typu exp(±x) budeme nejdříve požadovat, aby v bodě spojení funkce byla nejen spojitá, ale i hladká (tzn. musí být spojitá její první derivace). Druhá derivace v bodě spojení mění znaménko, proto jej můžeme považovat za jistou analogii inflexního bodu, přestože druhá derivace je nespojitá. Použijeme-li parametry L, H, t in, t a p jako v předcházejícím odstavci, dostaneme regresní funkci (12) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 3. 4

5 Obr. 3. Průběh funkce typu exp(±x) pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 3. Course of function of exp(±x) type for various asymmetry parameter values. I zde lze v případě, že regrese vede k příliš nízkým či příliš vysokým hodnotám parametru asymetrie, uvažovat limitní hodnoty p 0 a p, tzn. křivky se zlomem. Tak dostáváme a dále, (13) Ovšem i funkci složenou z exponenciál může být symetrická, dostaneme ji dosazením parametru asymetrie p = 1 do vztahu (12) (14) (15) pro niž samozřejmě platí rovnost t in = t 1/2 = t tr. Změna křivosti ohybů u křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je snadná u funkcí typu tgh x zavedením exponentu n, viz vztah (6). U funkcí typu exp(±x) však obdobný přístup nevede ke křivkám vhodným pro regresi tranzitních křivek. 5. NEKONSTANTNÍ HORNÍ ÚROVEŇ Jsou-li zkoušky provedeny i při teplotách výrazně nad tranzitní oblastí, je často třeba horní úroveň nárazové práce místo konstantou popsat jednoduchou funkcí, např. H = H 0 k(t t tr ). Regrese je bezproblémová u rovnic (4) až (7), pouze tranzitní teplota t tr ztratí význam polohy inflexního bodu. Příslušná hodnota nárazové práce pro tuto smluvní tranzitní teplotu bude (L+H 0 )/2. U regresní funkce (12) prosté dosazení vztahu H = H 0 k(t t tr ) poruší spojitost a hladkost regresní funkce. Nové odvození zaručující její spojitost a hladkost vede ke vztahům (16) přičemž teplota t tr zde má význam pouze místa, kde na sebe navazují obě exponenciály, lze ji však opět považovat za smluvní tranzitní teplotu. 6. PŘÍKLADY POUŽITÍ NĚKTERÝCH REGRESNÍCH FUNKCÍ 5

6 Typické tvary tranzitních křivek uvádí obr. 4 s výsledky zkoušek rázem v ohybu pro zkušební tyče s vruby U a V vyrobené z feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. K regresi byly použity jak symetrické regresní funkce typu tgh x a arctg x, tak i asymetrické funkce těchto typů s odlišnými hodnotami exponentu n pro levé a pravé části křivek. Vykresleny jsou křivky odpovídající minimálnímu součtu čtverců odchylek pro symetrické i asymetrické křivky. Použití asymetrických křivek vedlo k různě velkému poklesu součtu čtverců odchylek. Rozdíl v určení tranzitních teplot pomocí symetrických a asymetrických funkcí nepřekročil 3 C a typická hodnota standardní odchylky tranzitní teploty byla asi 5 C. Obr. 4. Regrese tranzitních křivek feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. Fig. 4. Regression of transition curves of ferritic nodular cast iron [6]. Tranzitní křivky s vysokým stupněm symetrie jsou uvedeny na obr. 5. Horní křivka, které příslušejí levá a horní stupnice, uvádí výsledky zkoušek tyčí s vrubem U z bainitické litiny s kuličkovým grafitem [7]. Regrese pomocí asymetrické funkce (12) s 5 parametry vedla k poměrně nízké hodnotě parametru asymetrie p 0,22, proto byla použita i regresní funkce se zlomem (13) obsahující pouze 4 parametry. Druhá regrese vedla ve srovnání s první k navýšení součtu čtverců pouze o 8 %. Jako tranzitní teplota byla uvažována teplota t 1/2, jejíž hodnota na výběru regresní funkce příliš nezávisí: pro funkci (12) dostáváme t 1/2 = 2,7 C, pro funkci (13) velmi blízkou hodnotu t 1/2 = 3,4 C. Protože hodnoty nárazové práce nad teplotou 50 C klesají, byla provedena i regrese pomocí regresní funkce (16), která ve srovnání s regresí pomocí funkce (12) vedla k poklesu součtu čtverců o 23 %. Ovšem její použití by bylo oprávněnější v případě, že by teplotní rozsah zkoušek končil u vyšších teplot. Příklad asymetrické tranzitní křivky s opačnou asymetrií přestavuje dolní křivka na obr. 6, které příslušejí dolní a pravá stupnice. Uvádí výsledky rázových zkoušek tyčí s vrubem V vyrobených z moderní oceli na plechy pro lodní trupy orientované ve směru válcování [8]. I tentokrát byla výchozí regrese provedena s použitím regresní funkce (12) a protože vypočtená hodnota parametru asymetrie byla značně vysoká (p 18), byla pro regresi použita i regresní funkce se zlomem (14). Protože jak rozdíl v průběhu regresních křivek, tak i rozdíly v součtu čtverců i v hodnotách tranzitní teploty t 1/2 (v obou případech t 1/2 0,7 C) jsou zcela zanedbatelné, je vhodnější použít pro regresi funkci (14) obsahující pouze 4 parametry. Obecně lze říci, že v případě hodnoty parametru asymetrie p menší než 0,1 nebo větší než 10 určené z regrese pomocí funkce (12) je vhodné k regresi použít jednodušší funkci se zlomem (13) nebo (14), přičemž rozdíl v určení tranzitní teploty t 1/2 pomocí hladké funkce a funkce se zlomem obvykle nepřesahuje zanedbatelnou hodnotu 0,1 C. Obr. 5. Příklady regrese výrazně asymetrických tranzitních křivek [7, 8]. Fig. 5. Examples of regression of considerable asymmetric transition curves [7, 8]. 7. DISKUSE Zápis regresních funkcí byl volen tak, aby maximální počet parametrů byl společný se stejným významem. U tranzitní teploty je situace složitější: u symetrických křivek inflexní 6

7 bod a bod uprostřed dolní i horní úrovně splývají (nejen spolu, ale i se středem symetrie), lze tedy psát rovnost t in = t 1/2 = t tr. U asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu platí tato rovnost také, zatímco u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je již třeba teploty t in a t 1/2 rozlišovat, přičemž zřejmě je vhodnější za tranzitní teplotu brát teplotu t 1/2. U tranzitních křivek s nekonstantní horní úrovní je situace složitější a teplota t tr představuje spíše jistou smluvní charakteristiku. Asymetrie tranzitních křivek je popsána buď dvojicí hodnot exponentu n (u asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu), nebo parametrem p (u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu). Hladké křivky, u nichž dosahuje parametr p příliš velkých či příliš malých hodnot, je vhodné nahradit křivkami se zlomem. Vedle výše uvedených definic tranzitních teplot (t in, t 1/2 atd.) je užitečné definovat tranzitní teplotu také jako teplotu odpovídající definované hodnotě nárazové práce, např. AE(t tr ) = 50 J. Odhad její standardní odchylky je možné provést podle vztahu kde standardní odchylku sd[ae(t tr )] určíme pomocí hodnot a standardních odchylek parametrů a hodnot kovariančních koeficientů, které jsou také výsledkem regrese. Nelineární regrese tranzitních křivek je možná i v rámci MS Excelu, který nalezneme téměř na každém PC. Pro tento účel slouží aplikace Řešitel poskytující přímo hodnoty regresních parametrů. Jejich standardní odchylky nejsou dostupné přímo, ale jejich výpočet lze naprogramovat pomocí v jazyku Visual Basic implementovaném v MS Excelu. 8. ZÁVĚRY 1. Všechny navržené regresní funkce pro popis tranzitních křivek jsou zapsány tak, aby jejich regresní parametry měly jednoduchý a jednoznačný geometrický nebo technický význam. 2. Všechny navržené regresní funkce jsou založeny na funkcích typu tgh x, arctg x a exp(±x). Umožňují popisovat křivky s různou asymetrií, různou křivostí v ohybech křivky a případně i nekonstantní horní úrovní. Z navržených funkcí lze vybrat regresní funkci uspokojivě popisující prakticky libovolný tvar experimentálně získané tranzitní křivky. 3. U symetrických funkcí je tranzitní teplota definována přirozeným způsobem jako střed symetrie. U nesymetrických funkcí se nejlépe osvědčuje definice pomocí střední hodnoty nárazové práce mezi horní a dolní úrovní, která je prakticky nezávislá na výběru regresní funkce. Někdy se tranzitní teplota definuje smluvní hodnotou nárazové práce. 4. Pro výrazně asymetrické tranzitní křivky je vhodnější použít regresní funkci se zlomem. Poděkování Příspěvek vznikl za podpory Ministerstva obrany České republiky v rámci výzkumného záměru MO0 FVT Poděkování patří i autorům původních prací [6, 8], jejichž experimentální výsledky byly využity v regresních výpočtech. LITERATURA [1] KOHOUT, J. Závěrečná práce PGS. Brno : OVC VUT, [2] ROLC, S. Kandidátská disertační práce. Brno : VAAZ, [3] SIEFER, W. a ORTHS, K. Giesserei-Forschung, 1997, roč. 29, s [4] JOURIS, D.M. a SHAFFER, D.H. Int. J. Press. Vess. & Piping, 1978, roč. 6, s. 3. [5] MÜNCNER, L. a PIUSSI, V. Zváranie, 2000, roč. 49, č , s [6] POUCHA, J. Výzkumná zpráva Z , Praha : SVÚM, (17) 7

8 [7] KOHOUT, J. Kandidátská disertační práce. Brno : VUT FS, [8] LEIGHLY, H.P., BRAMFITT, B.L. a LAWRENCE S.J. Pract. Failure Analysis, 2001, roč. 1, č. 2, s

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Zkouška rázem v ohybu. Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer. Jméno: St. skupina: Datum cvičení:

Zkouška rázem v ohybu. Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer. Jméno: St. skupina: Datum cvičení: BUM - 6 Zkouška rázem v ohybu Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer Jméno: St. skupina: Datum cvičení: Úvodní přednáška: 1) Vysvětlete pojem houževnatost. 2) Popište princip zkoušky

Více

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

NEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL. Ladislav Kander Karel Matocha

NEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL. Ladislav Kander Karel Matocha NEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL Ladislav Kander Karel Matocha VÍTKOVICE Výzkum a vývoj, spol s r.o., Pohraniční 31, 706 02 Ostrava

Více

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná.

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. Test A 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. 2. Co je to µ? - Poissonův poměr µ poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON

CREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON METAL 9 9... 9, Hradec nad Moravicí CREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON Vlasák, T., Hakl, J., Čech, J., Sochor, J. SVUM a.s., Podnikatelská, 9 Praha 9,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB 62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup

Více

STATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ

STATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ STATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ Lubomír ROZLÍVKA, Ing., CSc., IOK s.r.o., Frýdek-Místek, tel./fax: 555 557 529, mail: rozlivka@iok.cz Miroslav FAJKUS, Ing., IOK s.r.o.,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB Pomůcky: LabQuest, sonda čidlo polohy (sonar), nakloněná rovina, vozík, který se může po nakloněné rovině pohybovat Postup: Nakloněnou rovinu umístíme tak, aby svírala s vodorovnou

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza Výzkumný ústav stavebních hmot, a.s. Hněvkovského, č.p. 30, or. 65, 617 00 BRNO zapsaná v OR u krajského soudu v Brně, oddíl B, vložka 3470 Aktivační energie rozkladu vápenců a její souvislost s ostatními

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Přehled matematického aparátu

Přehled matematického aparátu Přehled matematického aparátu Ekonomie je směsí historie, filozofie, etiky, psychologie, sociologie a dalších oborů je tak příslovečným tavicím kotlem ostatních společenských věd. Ekonomie však často staví

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb 16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

Kalibrace odporového teploměru a termočlánku

Kalibrace odporového teploměru a termočlánku Kalibrace odporového teploměru a termočlánku Jakub Michálek 10. dubna 2009 Teorie Pro označení veličin viz text [1] s výjimkou, že teplotní rozdíl značím T, protože značku t už mám vyhrazenu pro čas. Ze

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Náhradní ohybová tuhost nosníku

Náhradní ohybová tuhost nosníku Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail: jiri.podesva@vsb.cz Anotace: Výpočty ocelových výztuží

Více

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Sklářské a bižuterní materiály 2005/06

Sklářské a bižuterní materiály 2005/06 Sklářské a bižuterní materiály 005/06 Cvičení 4 Výpočet parametru Y z hmotnostních a molárních % Vlastnosti skla a skloviny Viskozita. Viskozitní křivka. Výpočet pomocí Vogel-Fulcher-Tammannovy rovnice.

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě

Více

Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica)

Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica) Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica) Obsah: 1. Úvod 4 2. Statické tabulky 6 2.1. Vlnitý profil 6 2.1.1. Frequence 18/76 6 2.2. Trapézové profily 8 2.2.1. Hacierba 20/137,5

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Ing. Michal Lattner (lattner@fvtm.ujep.cz) Fakulta výrobních technologií a managementu Věda pro život, život pro vědu CZ.1.07/2.3.00/45.

Ing. Michal Lattner (lattner@fvtm.ujep.cz) Fakulta výrobních technologií a managementu Věda pro život, život pro vědu CZ.1.07/2.3.00/45. Ing. Michal Lattner (lattner@fvtm.ujep.cz) Fakulta výrobních technologií a managementu Věda pro život, život pro vědu CZ.1.07/2.3.00/45.0029 Statické zkoušky (pevnost, tvrdost) Dynamické zkoušky (cyklické,

Více

http://www.fch.ft.utb.cz/ps_lab_grafika.php

http://www.fch.ft.utb.cz/ps_lab_grafika.php Grafické zpracování závislostí laboratorní cvičení z FCH II Než začnete zpracovávat grafy, prostudujte si níže uvedený odkaz, na kterém jsou obecné zásady vyhodnocení experimentálně zjištěných a vypočtených

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

OVMT Mechanické zkoušky

OVMT Mechanické zkoušky Mechanické zkoušky Mechanickými zkouškami zjišťujeme chování materiálu za působení vnějších sil, tzn., že zkoumáme jeho mechanické vlastnosti. Některé mechanické vlastnosti materiálu vyjadřují jeho odpor

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty

Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty Kontaktní prvky Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty Základní myšlenka Modelování posunu po smykové ploše, diskontinuitě či na rozhraní konstrukce a okolního

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Spoje pery a klíny. Charakteristika (konstrukční znaky)

Spoje pery a klíny. Charakteristika (konstrukční znaky) Spoje pery a klíny Charakteristika (konstrukční znaky) Jednoduše rozebíratelná spojení pomocí per, příp. klínů hranolového tvaru (u klínů se skosením na jedné z ploch) vložených do podélných vybrání nebo

Více

VLIV TECHNOLOGIE ŽÁROVÉHO ZINKOVÁNÍ NA VLASTNOSTI ŽÁROVĚ ZINKOVANÝCH OCELÍ

VLIV TECHNOLOGIE ŽÁROVÉHO ZINKOVÁNÍ NA VLASTNOSTI ŽÁROVĚ ZINKOVANÝCH OCELÍ Transfer inovácií 2/211 211 VLIV TECHNOLOGIE ŽÁROVÉHO ZINKOVÁNÍ NA VLASTNOSTI ŽÁROVĚ ZINKOVANÝCH OCELÍ Ing. Libor Černý, Ph.D. 1 prof. Ing. Ivo Schindler, CSc. 2 Ing. Petr Strzyž 3 Ing. Radim Pachlopník

Více

STŘEDNÍ PŘIROZENÉ DEFORMAČNÍ ODPORY PŘI TVÁŘENÍ OCELÍ ZA TEPLA - VLIV CHEMICKÉHO A STRUKTURNÍHO STAVU

STŘEDNÍ PŘIROZENÉ DEFORMAČNÍ ODPORY PŘI TVÁŘENÍ OCELÍ ZA TEPLA - VLIV CHEMICKÉHO A STRUKTURNÍHO STAVU STŘEDNÍ PŘIROZENÉ DEFORMAČNÍ ODPORY PŘI TVÁŘENÍ OCELÍ ZA TEPLA - VLIV CHEMICKÉHO A STRUKTURNÍHO STAVU MEAN EQUIVALENT STRESS VALUES DURING HOT FORMING OF STEELS - INFLUENCE OF CHEMICAL AND STRUCTURE STATE

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Zhodnocení dopadů inovace na studijní výsledky

Zhodnocení dopadů inovace na studijní výsledky Zhodnocení dopadů inovace na studijní výsledky Zpracoval: doc. Ing. Josef Weigel, CSc. hlavní řešitel projektu Hodnocené studijní programy: - Bakalářský studijní program Geodézie a kartografie v prezenční

Více

Stanovení měrného tepla pevných látek

Stanovení měrného tepla pevných látek 61 Kapitola 10 Stanovení měrného tepla pevných látek 10.1 Úvod O teple se dá říci, že souvisí s energií neuspořádaného pohybu molekul. Úhrnná pohybová energie neuspořádaného pohybu molekul, pohybu postupného,

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

PROBLEMATICKÉ SVAROVÉ SPOJE MODIFIKOVANÝCH ŽÁROPEVNÝCH OCELÍ

PROBLEMATICKÉ SVAROVÉ SPOJE MODIFIKOVANÝCH ŽÁROPEVNÝCH OCELÍ PROBLEMATICKÉ SVAROVÉ SPOJE MODIFIKOVANÝCH ŽÁROPEVNÝCH OCELÍ doc. Ing. Petr Mohyla, Ph.D. Fakulta strojní, VŠB TU Ostrava 1. Úvod Snižování spotřeby fosilních paliv a snižování škodlivých emisí vede k

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více