VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES."

Transkript

1 VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES Jan Kohout a a Univerzita obrany, Kounicova 65, Brno, ČR, Abstrakt Teplotní závislost nárazové práce při zkoušce rázem v ohybu je rychle zjistitelnou a velmi důležitou charakteristikou konstrukčních materiálů. Pro regresi těchto tzv. tranzitních křivek se nejčastěji používá funkce typu hyperbolický tangens, jejímž grafem je středově symetrická neklesající křivka. Příspěvek navrhuje řadu dalších regresních funkcí, které umožňují popis tranzitních křivek nesymetrických, nemonotónních, s volitelnou křivostí v oblasti jejích ohybů atd. Jejich analytické vyjádření je voleno tak, aby každý z jejich parametrů měl zcela jednoznačný technický či geometrický význam (např. tranzitní teplota, šířka tranzitní oblasti, dolní a horní úroveň nárazové práce, směrnice horní úrovně, parametr asymetrie, parametr křivosti atd.). Použití některých z navržených regresních funkcí je ukázáno při regresi teplotních závislostí konkrétních experimentálních výsledků rázových zkoušek. Abstract Temperature dependence of absorbed energy measured at impact bending test is quickly ascertainable and very important characteristic of structural materials. For regression of these so-called transition curves mostly the function of tangent hyperbolic type is used, whose graph is represented by monotonous centrally symmetric curve. Present contribution proposes many other regression functions, which need not be symmetric or monotonous, with various curvatures at their bends. They are analytically expressed by regression parameters with unambiguous technical or geometrical meaning (e.g. transition temperature, the width of transition region, lower and upper shelf of the curve, the slope of upper shelf, parameter of asymmetry, parameter of curvature etc.). Application of some proposed regression functions is presented by fitting temperature dependences of various impact test results. 1. ÚVOD Při navrhování konstrukcí odolných vůči křehkému porušení se často používá tzv. přístup tranzitní teploty, který zajistí, aby tranzitní teplota materiálu vybraného pro konkrétní aplikaci ležela dostatečně nízko pod oblastí teplot použití navrhované součásti. Jedním z nejběžnějších experimentálních postupů určení tranzitní teploty je rázová zkouška na Charpyho kladivu, při níž je vrubovaná zkušební tyč namáhána rázem v ohybu. Zkoušky se provádějí v dostatečně širokém intervalu teplot a závislost nárazové práce na teplotě se nazývá tranzitní křivka. Zatímco její průběh je u materiálů na bázi kovů s f.c.c. strukturou nevýrazný, u materiálů na bázi kovů s b.c.c. strukturou, popř. i u některých polymerů se nárazová práce mění s teplotou velmi podstatně a tranzitní křivku lze rozdělit na tři teplotní oblasti: nízkoteplotní oblast s křehkým porušením dosahovaným při nízkých hodnotách nárazové práce, přechodovou (tranzitní) oblast s výrazným nárůstem hodnot nárazové práce (a zpravidla i jejich velkým rozptylem) a oblast vyšších teplot s houževnatým lomem zkušebních tyčí, který vyžaduje vysoké hodnoty nárazové práce. Tranzitní křivky však lze konstruovat nejen pro nárazovou práci, ale také pro příčné rozšíření zkušební tyče v bezprostřední blízkosti lomu a pro procentuální podíl křehkého, popř. tvárného porušení na lomové ploše zkušební tyče. 1

2 Reprezentace souboru naměřených dat pomocí souvislé křivky vyžaduje vhodný postup vyhlazení. Vedle neparametrických vyhlazovacích metod (v současné době téměř výhradně numerických, např. splajnů [1]) existuje možnost regrese pomocí vhodných regresních funkcí obsahujících regresní parametry, jejichž hodnoty spolu s typem regresní funkce jednoznačně popisují tranzitní křivku. Výběr vhodné regresní funkce zapsané pomocí nejdůležitějších a nejužitečnějších parametrů je cílem tohoto příspěvku. Nejčastěji se pro regresi tranzitních křivek používá regresní funkce typu hyperbolický tangens, např. ve tvaru [2] AE= f ( t) = a+ b tgh[ c ( t d)], (1) kde AE je nárazová práce (absorbovaná energie) a t je teplota. Regresní parametry a, b, c a d (jejich hodnoty a standardní odchylky) jsou výsledkem regresních výpočtů. S jinými typy regresních funkcí se setkáme poměrně zřídka. Siefer a Orths [3] uvádějí funkci 2CS AE = + D, (2) 2 [1 B( t A)] + 4BS( t A) + 1 B( t A) která na rozdíl od středově symetrické funkce (1) umožňuje výběrem hodnoty parametru S volit asymetrii křivky, ovšem ohyby křivky (minimálně jeden z nich) mají pro absolutní většinu experimentálních dat nedostatečnou křivost. Funkce Jourise a Shaffera [4] d b( t+ c) AE= a+ (3) d e+ ( t+ c) je použitelná pouze pro a nad tranzitní oblastí. Omezená použitelnost a nejasný význam některých regresních parametrů jsou nedostatky, které se budeme snažit odstranit. Za regresní parametry budou voleny parametry s úzkým vztahem ke geometrickému tvaru tranzitní křivky, popř. parametry mající technický či praktický význam. Regresní funkce jsou vybírány tak, aby popsaly širokou škálu možných tvarů reálných tranzitních křivek, především křivost jejich ohybů, asymetrii a nekonstantní průběh především horní úrovně nárazové práce. 2. VÝBĚR REGRESNÍCH PARAMETRŮ Parametr a v rovnici (1) představuje průměr dolní a horní úrovně tranzitní křivky, parametr b polovinu jejich rozdílu, parametr c souvisí se strmostí tranzitní křivky v tranzitní oblasti a pouze parametr d je volen vhodně, neboť přestavuje teplotu odpovídající středu symetrie křivky, kterou lze ztotožnit s tranzitní teplotou. Vyjádření téže rovnice ve tvaru L+ H H L 2( t ttr ) AE= + tgh (4) 2 2 t obsahuje parametry, jejichž význam je nejen jasný, ale i jednoduchý: L je dolní a H horní úroveň nárazové práce, t tr je tranzitní teplota a t je šířka tranzitní oblasti. To je důležité při hodnocení výsledků regrese i při odhadu počátečních hodnot parametrů, které vyžaduje nelineární regrese. Dále úzká vazba mezi regresními parametry a tvarem tranzitní křivky vede k nízkým hodnotám standardních odchylek regresních parametrů a chceme-li přesnost některého z parametrů dále zvýšit, jeho vztah k tvaru křivky jednoznačně udává, na kterou oblast tranzitní křivky je třeba se zaměřit (např. pro jaké teploty provést doplňující zkoušky). Jsou-li zkoušky rázem v ohybu prováděny až do teplot vysoko nad tranzitní oblastí, lze parametr H nahradit jednoduchou funkcí, např. lineární či exponenciální. Je-li sledovanou vlastností podíl lomu, volíme v případě houževnatého lomu L = 0 a H = 1, popř. 100 %. S funkcí typu tgh x má srovnatelný tvar křivky funkce typu arkus tangens. Zápis [1] L+ H H L π ( t ttr ) AE= + arctg (5) 2 π t vhodný pro regresi tranzitních křivek obsahuje parametry se zcela totožným významem jako rovnice (4). Rozdíl oproti funkci typu tgh x spočívá v tom, že prochází dále od průsečíků 2

3 asymptot a tečny v inflexním bodě a že se pozvolněji blíží k asymptotám, má tedy menší křivost v ohybech. Srovnání obou funkcí je uvedeno na obr. 1. Křivky jsou normovány tak, aby měly shodnou dolní i horní úroveň a aby měly společnou tečnu v inflexním bodě. 3. VOLBA KŘIVOSTI OBLOUKŮ Křivost oblouků tranzitních křivek lze měnit v širokých mezích pomocí mocnin (a odmocnin) výchozích funkcí tgh x a arctg x, přičemž exponent n je parametrem udávajícím křivost v ohybu n L+ H H L 2 t ttr AE sgn( t ttr ) tgh 2 2 t = + a (6) L+ AE= 1/ n 1/ n n H H L 2 2 t t π tr + sgn( t ttr ) arctg 2 2 π 2 t, (7) kde x znamená absolutní hodnotu a funkce signum je definována vztahy sgn(x) = 1 pro x < 0, sgn(0) = 0, sgn(x) = +1 pro x > 0. Čím větší je hodnota parametru n, tím blíže průsečíkům tečny v inflexním bodě a asymptot graf funkce prochází a tím větší je jeho křivost v ohybech. Příklady pro typ funkce tgh x a n = 0,5 a 2 jsou uvedeny také na obr. 1. Velmi často experimentální tranzitní křivky vykazují různou křivost horního a dolního oblouku. Pak je možné volit pro t < t tr volit jinou hodnotu exponentu n než pro t > t tr. Poloha inflexního bodu zůstává stále uprostřed mezi horní a dolní úrovní nárazové práce. Obr. 1. Srovnání průběhu funkce typu tgh x a jejích mocnin s funkcí typu arctg x. Fig. 1. Compared function courses of tahh x type and its powers with arctan x type. 4. MIMOSTŘEDOVÁ POLOHA INFLEXNÍHO BODU Při uvolnění inflexního bodu ze středové polohy mezi horní a dolní úrovní musíme rozlišit polohu inflexního bodu t in a polohu t 1/2 definovanou hodnotou nárazové práce (L+H)/2. Zavedeme-li parametr asymetrie p jako podíl šířky t 1 tranzitní oblasti pod teplotou t in a šířky t 2 tranzitní oblasti nad teplotou t in, tj. p = t 2 / t 1 (jejich součet t 1 + t 2 = t udává celkovou šířku tranzitní oblasti), dospějeme pro funkci typu tgh x k následujícím vztahům 3

4 (8) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 2. Obr. 2. Průběh asymetrické funkce typu tgh x pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 2. Course of asymmetric function of tanh x type for various asymmetry parameter values. V případě, že hodnota parametru asymetrie vychází příliš malá či příliš velká, je vhodné volit limitní hodnoty p 0 a p, čímž dostáváme křivky se zlomem na horní či na dolní úrovni nárazové práce. Odpovídající regresní rovnice jsou v prvém případě a ve druhém případě (9) Další možnost, jak nalézt regresní funkci s mimostředovou polohou inflexního bodu, vychází z aproximace funkce tgh x (10) pro a pro. (11) Regresní funkci lze vytvořit ze dvou částí funkcí typu exp(x) a exp( x). S týmž nápadem přišli i Müncner s Piussim [5]. Jejich regresní funkce obsahuje 6 parametrů, z nichž pouze dva mají průhledný význam, význam ostatních je neprůhledný a navíc jsou zřejmě vzájemně závislé. Při skládání regresní funkce ze dvou částí pomocí funkce typu exp(±x) budeme nejdříve požadovat, aby v bodě spojení funkce byla nejen spojitá, ale i hladká (tzn. musí být spojitá její první derivace). Druhá derivace v bodě spojení mění znaménko, proto jej můžeme považovat za jistou analogii inflexního bodu, přestože druhá derivace je nespojitá. Použijeme-li parametry L, H, t in, t a p jako v předcházejícím odstavci, dostaneme regresní funkci (12) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 3. 4

5 Obr. 3. Průběh funkce typu exp(±x) pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 3. Course of function of exp(±x) type for various asymmetry parameter values. I zde lze v případě, že regrese vede k příliš nízkým či příliš vysokým hodnotám parametru asymetrie, uvažovat limitní hodnoty p 0 a p, tzn. křivky se zlomem. Tak dostáváme a dále, (13) Ovšem i funkci složenou z exponenciál může být symetrická, dostaneme ji dosazením parametru asymetrie p = 1 do vztahu (12) (14) (15) pro niž samozřejmě platí rovnost t in = t 1/2 = t tr. Změna křivosti ohybů u křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je snadná u funkcí typu tgh x zavedením exponentu n, viz vztah (6). U funkcí typu exp(±x) však obdobný přístup nevede ke křivkám vhodným pro regresi tranzitních křivek. 5. NEKONSTANTNÍ HORNÍ ÚROVEŇ Jsou-li zkoušky provedeny i při teplotách výrazně nad tranzitní oblastí, je často třeba horní úroveň nárazové práce místo konstantou popsat jednoduchou funkcí, např. H = H 0 k(t t tr ). Regrese je bezproblémová u rovnic (4) až (7), pouze tranzitní teplota t tr ztratí význam polohy inflexního bodu. Příslušná hodnota nárazové práce pro tuto smluvní tranzitní teplotu bude (L+H 0 )/2. U regresní funkce (12) prosté dosazení vztahu H = H 0 k(t t tr ) poruší spojitost a hladkost regresní funkce. Nové odvození zaručující její spojitost a hladkost vede ke vztahům (16) přičemž teplota t tr zde má význam pouze místa, kde na sebe navazují obě exponenciály, lze ji však opět považovat za smluvní tranzitní teplotu. 6. PŘÍKLADY POUŽITÍ NĚKTERÝCH REGRESNÍCH FUNKCÍ 5

6 Typické tvary tranzitních křivek uvádí obr. 4 s výsledky zkoušek rázem v ohybu pro zkušební tyče s vruby U a V vyrobené z feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. K regresi byly použity jak symetrické regresní funkce typu tgh x a arctg x, tak i asymetrické funkce těchto typů s odlišnými hodnotami exponentu n pro levé a pravé části křivek. Vykresleny jsou křivky odpovídající minimálnímu součtu čtverců odchylek pro symetrické i asymetrické křivky. Použití asymetrických křivek vedlo k různě velkému poklesu součtu čtverců odchylek. Rozdíl v určení tranzitních teplot pomocí symetrických a asymetrických funkcí nepřekročil 3 C a typická hodnota standardní odchylky tranzitní teploty byla asi 5 C. Obr. 4. Regrese tranzitních křivek feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. Fig. 4. Regression of transition curves of ferritic nodular cast iron [6]. Tranzitní křivky s vysokým stupněm symetrie jsou uvedeny na obr. 5. Horní křivka, které příslušejí levá a horní stupnice, uvádí výsledky zkoušek tyčí s vrubem U z bainitické litiny s kuličkovým grafitem [7]. Regrese pomocí asymetrické funkce (12) s 5 parametry vedla k poměrně nízké hodnotě parametru asymetrie p 0,22, proto byla použita i regresní funkce se zlomem (13) obsahující pouze 4 parametry. Druhá regrese vedla ve srovnání s první k navýšení součtu čtverců pouze o 8 %. Jako tranzitní teplota byla uvažována teplota t 1/2, jejíž hodnota na výběru regresní funkce příliš nezávisí: pro funkci (12) dostáváme t 1/2 = 2,7 C, pro funkci (13) velmi blízkou hodnotu t 1/2 = 3,4 C. Protože hodnoty nárazové práce nad teplotou 50 C klesají, byla provedena i regrese pomocí regresní funkce (16), která ve srovnání s regresí pomocí funkce (12) vedla k poklesu součtu čtverců o 23 %. Ovšem její použití by bylo oprávněnější v případě, že by teplotní rozsah zkoušek končil u vyšších teplot. Příklad asymetrické tranzitní křivky s opačnou asymetrií přestavuje dolní křivka na obr. 6, které příslušejí dolní a pravá stupnice. Uvádí výsledky rázových zkoušek tyčí s vrubem V vyrobených z moderní oceli na plechy pro lodní trupy orientované ve směru válcování [8]. I tentokrát byla výchozí regrese provedena s použitím regresní funkce (12) a protože vypočtená hodnota parametru asymetrie byla značně vysoká (p 18), byla pro regresi použita i regresní funkce se zlomem (14). Protože jak rozdíl v průběhu regresních křivek, tak i rozdíly v součtu čtverců i v hodnotách tranzitní teploty t 1/2 (v obou případech t 1/2 0,7 C) jsou zcela zanedbatelné, je vhodnější použít pro regresi funkci (14) obsahující pouze 4 parametry. Obecně lze říci, že v případě hodnoty parametru asymetrie p menší než 0,1 nebo větší než 10 určené z regrese pomocí funkce (12) je vhodné k regresi použít jednodušší funkci se zlomem (13) nebo (14), přičemž rozdíl v určení tranzitní teploty t 1/2 pomocí hladké funkce a funkce se zlomem obvykle nepřesahuje zanedbatelnou hodnotu 0,1 C. Obr. 5. Příklady regrese výrazně asymetrických tranzitních křivek [7, 8]. Fig. 5. Examples of regression of considerable asymmetric transition curves [7, 8]. 7. DISKUSE Zápis regresních funkcí byl volen tak, aby maximální počet parametrů byl společný se stejným významem. U tranzitní teploty je situace složitější: u symetrických křivek inflexní 6

7 bod a bod uprostřed dolní i horní úrovně splývají (nejen spolu, ale i se středem symetrie), lze tedy psát rovnost t in = t 1/2 = t tr. U asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu platí tato rovnost také, zatímco u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je již třeba teploty t in a t 1/2 rozlišovat, přičemž zřejmě je vhodnější za tranzitní teplotu brát teplotu t 1/2. U tranzitních křivek s nekonstantní horní úrovní je situace složitější a teplota t tr představuje spíše jistou smluvní charakteristiku. Asymetrie tranzitních křivek je popsána buď dvojicí hodnot exponentu n (u asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu), nebo parametrem p (u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu). Hladké křivky, u nichž dosahuje parametr p příliš velkých či příliš malých hodnot, je vhodné nahradit křivkami se zlomem. Vedle výše uvedených definic tranzitních teplot (t in, t 1/2 atd.) je užitečné definovat tranzitní teplotu také jako teplotu odpovídající definované hodnotě nárazové práce, např. AE(t tr ) = 50 J. Odhad její standardní odchylky je možné provést podle vztahu kde standardní odchylku sd[ae(t tr )] určíme pomocí hodnot a standardních odchylek parametrů a hodnot kovariančních koeficientů, které jsou také výsledkem regrese. Nelineární regrese tranzitních křivek je možná i v rámci MS Excelu, který nalezneme téměř na každém PC. Pro tento účel slouží aplikace Řešitel poskytující přímo hodnoty regresních parametrů. Jejich standardní odchylky nejsou dostupné přímo, ale jejich výpočet lze naprogramovat pomocí v jazyku Visual Basic implementovaném v MS Excelu. 8. ZÁVĚRY 1. Všechny navržené regresní funkce pro popis tranzitních křivek jsou zapsány tak, aby jejich regresní parametry měly jednoduchý a jednoznačný geometrický nebo technický význam. 2. Všechny navržené regresní funkce jsou založeny na funkcích typu tgh x, arctg x a exp(±x). Umožňují popisovat křivky s různou asymetrií, různou křivostí v ohybech křivky a případně i nekonstantní horní úrovní. Z navržených funkcí lze vybrat regresní funkci uspokojivě popisující prakticky libovolný tvar experimentálně získané tranzitní křivky. 3. U symetrických funkcí je tranzitní teplota definována přirozeným způsobem jako střed symetrie. U nesymetrických funkcí se nejlépe osvědčuje definice pomocí střední hodnoty nárazové práce mezi horní a dolní úrovní, která je prakticky nezávislá na výběru regresní funkce. Někdy se tranzitní teplota definuje smluvní hodnotou nárazové práce. 4. Pro výrazně asymetrické tranzitní křivky je vhodnější použít regresní funkci se zlomem. Poděkování Příspěvek vznikl za podpory Ministerstva obrany České republiky v rámci výzkumného záměru MO0 FVT Poděkování patří i autorům původních prací [6, 8], jejichž experimentální výsledky byly využity v regresních výpočtech. LITERATURA [1] KOHOUT, J. Závěrečná práce PGS. Brno : OVC VUT, [2] ROLC, S. Kandidátská disertační práce. Brno : VAAZ, [3] SIEFER, W. a ORTHS, K. Giesserei-Forschung, 1997, roč. 29, s [4] JOURIS, D.M. a SHAFFER, D.H. Int. J. Press. Vess. & Piping, 1978, roč. 6, s. 3. [5] MÜNCNER, L. a PIUSSI, V. Zváranie, 2000, roč. 49, č , s [6] POUCHA, J. Výzkumná zpráva Z , Praha : SVÚM, (17) 7

8 [7] KOHOUT, J. Kandidátská disertační práce. Brno : VUT FS, [8] LEIGHLY, H.P., BRAMFITT, B.L. a LAWRENCE S.J. Pract. Failure Analysis, 2001, roč. 1, č. 2, s

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Zkouška rázem v ohybu. Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer. Jméno: St. skupina: Datum cvičení:

Zkouška rázem v ohybu. Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer. Jméno: St. skupina: Datum cvičení: BUM - 6 Zkouška rázem v ohybu Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer Jméno: St. skupina: Datum cvičení: Úvodní přednáška: 1) Vysvětlete pojem houževnatost. 2) Popište princip zkoušky

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU Zkouška tlakem na válcových vzorcích 2 Vyhodnocení tlakové zkoušky Síla F způsobí změnu výšky H a průměru D válce. V každém okamžiku při stlačování je přetvárný odpor definován

Více

NEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL. Ladislav Kander Karel Matocha

NEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL. Ladislav Kander Karel Matocha NEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL Ladislav Kander Karel Matocha VÍTKOVICE Výzkum a vývoj, spol s r.o., Pohraniční 31, 706 02 Ostrava

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná.

Test A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. Test A 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. 2. Co je to µ? - Poissonův poměr µ poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných

Více

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem

Více

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Diskrétní řešení vzpěru prutu 1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

CREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON

CREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON METAL 9 9... 9, Hradec nad Moravicí CREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON Vlasák, T., Hakl, J., Čech, J., Sochor, J. SVUM a.s., Podnikatelská, 9 Praha 9,

Více

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB 62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ZKOUŠKY MECHANICKÝCH. Mechanické zkoušky statické a dynamické

ZKOUŠKY MECHANICKÝCH. Mechanické zkoušky statické a dynamické ZKOUŠKY MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MATERIÁLŮ Mechanické zkoušky statické a dynamické Úvod Vlastnosti materiálu, lze rozdělit na: fyzikální a fyzikálně-chemické; mechanické; technologické. I. Mechanické vlastnosti

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

STATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ

STATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ STATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ Lubomír ROZLÍVKA, Ing., CSc., IOK s.r.o., Frýdek-Místek, tel./fax: 555 557 529, mail: rozlivka@iok.cz Miroslav FAJKUS, Ing., IOK s.r.o.,

Více

Interpolace, aproximace

Interpolace, aproximace 11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1 NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.

Více

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb 16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Přehled matematického aparátu

Přehled matematického aparátu Přehled matematického aparátu Ekonomie je směsí historie, filozofie, etiky, psychologie, sociologie a dalších oborů je tak příslovečným tavicím kotlem ostatních společenských věd. Ekonomie však často staví

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce

Více

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici) Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Vytyčení polohy bodu polární metodou

Vytyčení polohy bodu polární metodou Obsah Vytyčení polohy bodu polární metodou... 2 1 Vliv měření na přesnost souřadnic... 3 2 Vliv měření na polohovou a souřadnicovou směrodatnou odchylku... 4 3 Vliv podkladu na přesnost souřadnic... 5

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Laboratorní testování rázové þÿ h o u~ e v n a t o s t i dy e v a

Laboratorní testování rázové þÿ h o u~ e v n a t o s t i dy e v a DSpace VSB-TUO http://www.dspace.vsb.cz þÿx a d a s t a v e b n í / C i v i l E n g i n e e r i n g S e r i e s þÿx a d a s t a v e b n í. 2 0 1 0, r o. 1 0 / C i v i l E n g i n e e r i n g Laboratorní

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Obyčejné diferenciální rovnice (ODE)

Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice N tého řádu převádíme na soustavy N diferenciálních rovnic prvního řádu. V rovnici f x, y, y ', y '',, y N =gx se substituují y '=z 1,

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Křivky a plochy technické praxe

Křivky a plochy technické praxe Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2 Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové

Více

Wöhlerova křivka (uhlíkové oceli výrazná mez únavy)

Wöhlerova křivka (uhlíkové oceli výrazná mez únavy) Únava 1. Úvod Mezním stavem únava je definován stav, kdy v důsledku působení časově proměnných zatížení dojde k poruše funkční způsobilosti konstrukce či jejího elementu. Charakteristické pro tento proces

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Semestrální práce. 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat

Semestrální práce. 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Semestrální práce 1 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Ing. Ján Lengyel, CSc. Centrální analytická laboratoř Ústav jaderného výzkumu Řež, a. s. Husinec Řež 130 250 68 Řež V Řeži, únor

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality. Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat

Více

Aproximace a vyhlazování křivek

Aproximace a vyhlazování křivek Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Autor: Přednášející: Prof. Ing. Jiří Militký, Csc 1. SLEDOVÁNÍ ZÁVISLOSTI HODNOTY SFM2 NA BARVIVOSTI

Více