VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES.
|
|
- Pavla Dana Janečková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VÝBĚR REGRESNÍCH FUNKCÍ PRO POPIS TRANZITNÍCH KŘIVEK A CHOICE OF REGRESSION FUNCTIONS FOR THE DESCRIPTION OF TRANSITION CURVES Jan Kohout a a Univerzita obrany, Kounicova 65, Brno, ČR, jan.kohout@unob.cz Abstrakt Teplotní závislost nárazové práce při zkoušce rázem v ohybu je rychle zjistitelnou a velmi důležitou charakteristikou konstrukčních materiálů. Pro regresi těchto tzv. tranzitních křivek se nejčastěji používá funkce typu hyperbolický tangens, jejímž grafem je středově symetrická neklesající křivka. Příspěvek navrhuje řadu dalších regresních funkcí, které umožňují popis tranzitních křivek nesymetrických, nemonotónních, s volitelnou křivostí v oblasti jejích ohybů atd. Jejich analytické vyjádření je voleno tak, aby každý z jejich parametrů měl zcela jednoznačný technický či geometrický význam (např. tranzitní teplota, šířka tranzitní oblasti, dolní a horní úroveň nárazové práce, směrnice horní úrovně, parametr asymetrie, parametr křivosti atd.). Použití některých z navržených regresních funkcí je ukázáno při regresi teplotních závislostí konkrétních experimentálních výsledků rázových zkoušek. Abstract Temperature dependence of absorbed energy measured at impact bending test is quickly ascertainable and very important characteristic of structural materials. For regression of these so-called transition curves mostly the function of tangent hyperbolic type is used, whose graph is represented by monotonous centrally symmetric curve. Present contribution proposes many other regression functions, which need not be symmetric or monotonous, with various curvatures at their bends. They are analytically expressed by regression parameters with unambiguous technical or geometrical meaning (e.g. transition temperature, the width of transition region, lower and upper shelf of the curve, the slope of upper shelf, parameter of asymmetry, parameter of curvature etc.). Application of some proposed regression functions is presented by fitting temperature dependences of various impact test results. 1. ÚVOD Při navrhování konstrukcí odolných vůči křehkému porušení se často používá tzv. přístup tranzitní teploty, který zajistí, aby tranzitní teplota materiálu vybraného pro konkrétní aplikaci ležela dostatečně nízko pod oblastí teplot použití navrhované součásti. Jedním z nejběžnějších experimentálních postupů určení tranzitní teploty je rázová zkouška na Charpyho kladivu, při níž je vrubovaná zkušební tyč namáhána rázem v ohybu. Zkoušky se provádějí v dostatečně širokém intervalu teplot a závislost nárazové práce na teplotě se nazývá tranzitní křivka. Zatímco její průběh je u materiálů na bázi kovů s f.c.c. strukturou nevýrazný, u materiálů na bázi kovů s b.c.c. strukturou, popř. i u některých polymerů se nárazová práce mění s teplotou velmi podstatně a tranzitní křivku lze rozdělit na tři teplotní oblasti: nízkoteplotní oblast s křehkým porušením dosahovaným při nízkých hodnotách nárazové práce, přechodovou (tranzitní) oblast s výrazným nárůstem hodnot nárazové práce (a zpravidla i jejich velkým rozptylem) a oblast vyšších teplot s houževnatým lomem zkušebních tyčí, který vyžaduje vysoké hodnoty nárazové práce. Tranzitní křivky však lze konstruovat nejen pro nárazovou práci, ale také pro příčné rozšíření zkušební tyče v bezprostřední blízkosti lomu a pro procentuální podíl křehkého, popř. tvárného porušení na lomové ploše zkušební tyče. 1
2 Reprezentace souboru naměřených dat pomocí souvislé křivky vyžaduje vhodný postup vyhlazení. Vedle neparametrických vyhlazovacích metod (v současné době téměř výhradně numerických, např. splajnů [1]) existuje možnost regrese pomocí vhodných regresních funkcí obsahujících regresní parametry, jejichž hodnoty spolu s typem regresní funkce jednoznačně popisují tranzitní křivku. Výběr vhodné regresní funkce zapsané pomocí nejdůležitějších a nejužitečnějších parametrů je cílem tohoto příspěvku. Nejčastěji se pro regresi tranzitních křivek používá regresní funkce typu hyperbolický tangens, např. ve tvaru [2] AE= f ( t) = a+ b tgh[ c ( t d)], (1) kde AE je nárazová práce (absorbovaná energie) a t je teplota. Regresní parametry a, b, c a d (jejich hodnoty a standardní odchylky) jsou výsledkem regresních výpočtů. S jinými typy regresních funkcí se setkáme poměrně zřídka. Siefer a Orths [3] uvádějí funkci 2CS AE = + D, (2) 2 [1 B( t A)] + 4BS( t A) + 1 B( t A) která na rozdíl od středově symetrické funkce (1) umožňuje výběrem hodnoty parametru S volit asymetrii křivky, ovšem ohyby křivky (minimálně jeden z nich) mají pro absolutní většinu experimentálních dat nedostatečnou křivost. Funkce Jourise a Shaffera [4] d b( t+ c) AE= a+ (3) d e+ ( t+ c) je použitelná pouze pro a nad tranzitní oblastí. Omezená použitelnost a nejasný význam některých regresních parametrů jsou nedostatky, které se budeme snažit odstranit. Za regresní parametry budou voleny parametry s úzkým vztahem ke geometrickému tvaru tranzitní křivky, popř. parametry mající technický či praktický význam. Regresní funkce jsou vybírány tak, aby popsaly širokou škálu možných tvarů reálných tranzitních křivek, především křivost jejich ohybů, asymetrii a nekonstantní průběh především horní úrovně nárazové práce. 2. VÝBĚR REGRESNÍCH PARAMETRŮ Parametr a v rovnici (1) představuje průměr dolní a horní úrovně tranzitní křivky, parametr b polovinu jejich rozdílu, parametr c souvisí se strmostí tranzitní křivky v tranzitní oblasti a pouze parametr d je volen vhodně, neboť přestavuje teplotu odpovídající středu symetrie křivky, kterou lze ztotožnit s tranzitní teplotou. Vyjádření téže rovnice ve tvaru L+ H H L 2( t ttr ) AE= + tgh (4) 2 2 t obsahuje parametry, jejichž význam je nejen jasný, ale i jednoduchý: L je dolní a H horní úroveň nárazové práce, t tr je tranzitní teplota a t je šířka tranzitní oblasti. To je důležité při hodnocení výsledků regrese i při odhadu počátečních hodnot parametrů, které vyžaduje nelineární regrese. Dále úzká vazba mezi regresními parametry a tvarem tranzitní křivky vede k nízkým hodnotám standardních odchylek regresních parametrů a chceme-li přesnost některého z parametrů dále zvýšit, jeho vztah k tvaru křivky jednoznačně udává, na kterou oblast tranzitní křivky je třeba se zaměřit (např. pro jaké teploty provést doplňující zkoušky). Jsou-li zkoušky rázem v ohybu prováděny až do teplot vysoko nad tranzitní oblastí, lze parametr H nahradit jednoduchou funkcí, např. lineární či exponenciální. Je-li sledovanou vlastností podíl lomu, volíme v případě houževnatého lomu L = 0 a H = 1, popř. 100 %. S funkcí typu tgh x má srovnatelný tvar křivky funkce typu arkus tangens. Zápis [1] L+ H H L π ( t ttr ) AE= + arctg (5) 2 π t vhodný pro regresi tranzitních křivek obsahuje parametry se zcela totožným významem jako rovnice (4). Rozdíl oproti funkci typu tgh x spočívá v tom, že prochází dále od průsečíků 2
3 asymptot a tečny v inflexním bodě a že se pozvolněji blíží k asymptotám, má tedy menší křivost v ohybech. Srovnání obou funkcí je uvedeno na obr. 1. Křivky jsou normovány tak, aby měly shodnou dolní i horní úroveň a aby měly společnou tečnu v inflexním bodě. 3. VOLBA KŘIVOSTI OBLOUKŮ Křivost oblouků tranzitních křivek lze měnit v širokých mezích pomocí mocnin (a odmocnin) výchozích funkcí tgh x a arctg x, přičemž exponent n je parametrem udávajícím křivost v ohybu n L+ H H L 2 t ttr AE sgn( t ttr ) tgh 2 2 t = + a (6) L+ AE= 1/ n 1/ n n H H L 2 2 t t π tr + sgn( t ttr ) arctg 2 2 π 2 t, (7) kde x znamená absolutní hodnotu a funkce signum je definována vztahy sgn(x) = 1 pro x < 0, sgn(0) = 0, sgn(x) = +1 pro x > 0. Čím větší je hodnota parametru n, tím blíže průsečíkům tečny v inflexním bodě a asymptot graf funkce prochází a tím větší je jeho křivost v ohybech. Příklady pro typ funkce tgh x a n = 0,5 a 2 jsou uvedeny také na obr. 1. Velmi často experimentální tranzitní křivky vykazují různou křivost horního a dolního oblouku. Pak je možné volit pro t < t tr volit jinou hodnotu exponentu n než pro t > t tr. Poloha inflexního bodu zůstává stále uprostřed mezi horní a dolní úrovní nárazové práce. Obr. 1. Srovnání průběhu funkce typu tgh x a jejích mocnin s funkcí typu arctg x. Fig. 1. Compared function courses of tahh x type and its powers with arctan x type. 4. MIMOSTŘEDOVÁ POLOHA INFLEXNÍHO BODU Při uvolnění inflexního bodu ze středové polohy mezi horní a dolní úrovní musíme rozlišit polohu inflexního bodu t in a polohu t 1/2 definovanou hodnotou nárazové práce (L+H)/2. Zavedeme-li parametr asymetrie p jako podíl šířky t 1 tranzitní oblasti pod teplotou t in a šířky t 2 tranzitní oblasti nad teplotou t in, tj. p = t 2 / t 1 (jejich součet t 1 + t 2 = t udává celkovou šířku tranzitní oblasti), dospějeme pro funkci typu tgh x k následujícím vztahům 3
4 (8) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 2. Obr. 2. Průběh asymetrické funkce typu tgh x pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 2. Course of asymmetric function of tanh x type for various asymmetry parameter values. V případě, že hodnota parametru asymetrie vychází příliš malá či příliš velká, je vhodné volit limitní hodnoty p 0 a p, čímž dostáváme křivky se zlomem na horní či na dolní úrovni nárazové práce. Odpovídající regresní rovnice jsou v prvém případě a ve druhém případě (9) Další možnost, jak nalézt regresní funkci s mimostředovou polohou inflexního bodu, vychází z aproximace funkce tgh x (10) pro a pro. (11) Regresní funkci lze vytvořit ze dvou částí funkcí typu exp(x) a exp( x). S týmž nápadem přišli i Müncner s Piussim [5]. Jejich regresní funkce obsahuje 6 parametrů, z nichž pouze dva mají průhledný význam, význam ostatních je neprůhledný a navíc jsou zřejmě vzájemně závislé. Při skládání regresní funkce ze dvou částí pomocí funkce typu exp(±x) budeme nejdříve požadovat, aby v bodě spojení funkce byla nejen spojitá, ale i hladká (tzn. musí být spojitá její první derivace). Druhá derivace v bodě spojení mění znaménko, proto jej můžeme považovat za jistou analogii inflexního bodu, přestože druhá derivace je nespojitá. Použijeme-li parametry L, H, t in, t a p jako v předcházejícím odstavci, dostaneme regresní funkci (12) Odpovídající křivky pro různé hodnoty parametru asymetrie p jsou uvedeny na obr. 3. 4
5 Obr. 3. Průběh funkce typu exp(±x) pro různé hodnoty parametru asymetrie. Fig. 3. Course of function of exp(±x) type for various asymmetry parameter values. I zde lze v případě, že regrese vede k příliš nízkým či příliš vysokým hodnotám parametru asymetrie, uvažovat limitní hodnoty p 0 a p, tzn. křivky se zlomem. Tak dostáváme a dále, (13) Ovšem i funkci složenou z exponenciál může být symetrická, dostaneme ji dosazením parametru asymetrie p = 1 do vztahu (12) (14) (15) pro niž samozřejmě platí rovnost t in = t 1/2 = t tr. Změna křivosti ohybů u křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je snadná u funkcí typu tgh x zavedením exponentu n, viz vztah (6). U funkcí typu exp(±x) však obdobný přístup nevede ke křivkám vhodným pro regresi tranzitních křivek. 5. NEKONSTANTNÍ HORNÍ ÚROVEŇ Jsou-li zkoušky provedeny i při teplotách výrazně nad tranzitní oblastí, je často třeba horní úroveň nárazové práce místo konstantou popsat jednoduchou funkcí, např. H = H 0 k(t t tr ). Regrese je bezproblémová u rovnic (4) až (7), pouze tranzitní teplota t tr ztratí význam polohy inflexního bodu. Příslušná hodnota nárazové práce pro tuto smluvní tranzitní teplotu bude (L+H 0 )/2. U regresní funkce (12) prosté dosazení vztahu H = H 0 k(t t tr ) poruší spojitost a hladkost regresní funkce. Nové odvození zaručující její spojitost a hladkost vede ke vztahům (16) přičemž teplota t tr zde má význam pouze místa, kde na sebe navazují obě exponenciály, lze ji však opět považovat za smluvní tranzitní teplotu. 6. PŘÍKLADY POUŽITÍ NĚKTERÝCH REGRESNÍCH FUNKCÍ 5
6 Typické tvary tranzitních křivek uvádí obr. 4 s výsledky zkoušek rázem v ohybu pro zkušební tyče s vruby U a V vyrobené z feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. K regresi byly použity jak symetrické regresní funkce typu tgh x a arctg x, tak i asymetrické funkce těchto typů s odlišnými hodnotami exponentu n pro levé a pravé části křivek. Vykresleny jsou křivky odpovídající minimálnímu součtu čtverců odchylek pro symetrické i asymetrické křivky. Použití asymetrických křivek vedlo k různě velkému poklesu součtu čtverců odchylek. Rozdíl v určení tranzitních teplot pomocí symetrických a asymetrických funkcí nepřekročil 3 C a typická hodnota standardní odchylky tranzitní teploty byla asi 5 C. Obr. 4. Regrese tranzitních křivek feritické litiny s kuličkovým grafitem [6]. Fig. 4. Regression of transition curves of ferritic nodular cast iron [6]. Tranzitní křivky s vysokým stupněm symetrie jsou uvedeny na obr. 5. Horní křivka, které příslušejí levá a horní stupnice, uvádí výsledky zkoušek tyčí s vrubem U z bainitické litiny s kuličkovým grafitem [7]. Regrese pomocí asymetrické funkce (12) s 5 parametry vedla k poměrně nízké hodnotě parametru asymetrie p 0,22, proto byla použita i regresní funkce se zlomem (13) obsahující pouze 4 parametry. Druhá regrese vedla ve srovnání s první k navýšení součtu čtverců pouze o 8 %. Jako tranzitní teplota byla uvažována teplota t 1/2, jejíž hodnota na výběru regresní funkce příliš nezávisí: pro funkci (12) dostáváme t 1/2 = 2,7 C, pro funkci (13) velmi blízkou hodnotu t 1/2 = 3,4 C. Protože hodnoty nárazové práce nad teplotou 50 C klesají, byla provedena i regrese pomocí regresní funkce (16), která ve srovnání s regresí pomocí funkce (12) vedla k poklesu součtu čtverců o 23 %. Ovšem její použití by bylo oprávněnější v případě, že by teplotní rozsah zkoušek končil u vyšších teplot. Příklad asymetrické tranzitní křivky s opačnou asymetrií přestavuje dolní křivka na obr. 6, které příslušejí dolní a pravá stupnice. Uvádí výsledky rázových zkoušek tyčí s vrubem V vyrobených z moderní oceli na plechy pro lodní trupy orientované ve směru válcování [8]. I tentokrát byla výchozí regrese provedena s použitím regresní funkce (12) a protože vypočtená hodnota parametru asymetrie byla značně vysoká (p 18), byla pro regresi použita i regresní funkce se zlomem (14). Protože jak rozdíl v průběhu regresních křivek, tak i rozdíly v součtu čtverců i v hodnotách tranzitní teploty t 1/2 (v obou případech t 1/2 0,7 C) jsou zcela zanedbatelné, je vhodnější použít pro regresi funkci (14) obsahující pouze 4 parametry. Obecně lze říci, že v případě hodnoty parametru asymetrie p menší než 0,1 nebo větší než 10 určené z regrese pomocí funkce (12) je vhodné k regresi použít jednodušší funkci se zlomem (13) nebo (14), přičemž rozdíl v určení tranzitní teploty t 1/2 pomocí hladké funkce a funkce se zlomem obvykle nepřesahuje zanedbatelnou hodnotu 0,1 C. Obr. 5. Příklady regrese výrazně asymetrických tranzitních křivek [7, 8]. Fig. 5. Examples of regression of considerable asymmetric transition curves [7, 8]. 7. DISKUSE Zápis regresních funkcí byl volen tak, aby maximální počet parametrů byl společný se stejným významem. U tranzitní teploty je situace složitější: u symetrických křivek inflexní 6
7 bod a bod uprostřed dolní i horní úrovně splývají (nejen spolu, ale i se středem symetrie), lze tedy psát rovnost t in = t 1/2 = t tr. U asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu platí tato rovnost také, zatímco u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu je již třeba teploty t in a t 1/2 rozlišovat, přičemž zřejmě je vhodnější za tranzitní teplotu brát teplotu t 1/2. U tranzitních křivek s nekonstantní horní úrovní je situace složitější a teplota t tr představuje spíše jistou smluvní charakteristiku. Asymetrie tranzitních křivek je popsána buď dvojicí hodnot exponentu n (u asymetrických křivek se středovou polohou inflexního bodu), nebo parametrem p (u asymetrických křivek s mimostředovou polohou inflexního bodu). Hladké křivky, u nichž dosahuje parametr p příliš velkých či příliš malých hodnot, je vhodné nahradit křivkami se zlomem. Vedle výše uvedených definic tranzitních teplot (t in, t 1/2 atd.) je užitečné definovat tranzitní teplotu také jako teplotu odpovídající definované hodnotě nárazové práce, např. AE(t tr ) = 50 J. Odhad její standardní odchylky je možné provést podle vztahu kde standardní odchylku sd[ae(t tr )] určíme pomocí hodnot a standardních odchylek parametrů a hodnot kovariančních koeficientů, které jsou také výsledkem regrese. Nelineární regrese tranzitních křivek je možná i v rámci MS Excelu, který nalezneme téměř na každém PC. Pro tento účel slouží aplikace Řešitel poskytující přímo hodnoty regresních parametrů. Jejich standardní odchylky nejsou dostupné přímo, ale jejich výpočet lze naprogramovat pomocí v jazyku Visual Basic implementovaném v MS Excelu. 8. ZÁVĚRY 1. Všechny navržené regresní funkce pro popis tranzitních křivek jsou zapsány tak, aby jejich regresní parametry měly jednoduchý a jednoznačný geometrický nebo technický význam. 2. Všechny navržené regresní funkce jsou založeny na funkcích typu tgh x, arctg x a exp(±x). Umožňují popisovat křivky s různou asymetrií, různou křivostí v ohybech křivky a případně i nekonstantní horní úrovní. Z navržených funkcí lze vybrat regresní funkci uspokojivě popisující prakticky libovolný tvar experimentálně získané tranzitní křivky. 3. U symetrických funkcí je tranzitní teplota definována přirozeným způsobem jako střed symetrie. U nesymetrických funkcí se nejlépe osvědčuje definice pomocí střední hodnoty nárazové práce mezi horní a dolní úrovní, která je prakticky nezávislá na výběru regresní funkce. Někdy se tranzitní teplota definuje smluvní hodnotou nárazové práce. 4. Pro výrazně asymetrické tranzitní křivky je vhodnější použít regresní funkci se zlomem. Poděkování Příspěvek vznikl za podpory Ministerstva obrany České republiky v rámci výzkumného záměru MO0 FVT Poděkování patří i autorům původních prací [6, 8], jejichž experimentální výsledky byly využity v regresních výpočtech. LITERATURA [1] KOHOUT, J. Závěrečná práce PGS. Brno : OVC VUT, [2] ROLC, S. Kandidátská disertační práce. Brno : VAAZ, [3] SIEFER, W. a ORTHS, K. Giesserei-Forschung, 1997, roč. 29, s [4] JOURIS, D.M. a SHAFFER, D.H. Int. J. Press. Vess. & Piping, 1978, roč. 6, s. 3. [5] MÜNCNER, L. a PIUSSI, V. Zváranie, 2000, roč. 49, č , s [6] POUCHA, J. Výzkumná zpráva Z , Praha : SVÚM, (17) 7
8 [7] KOHOUT, J. Kandidátská disertační práce. Brno : VUT FS, [8] LEIGHLY, H.P., BRAMFITT, B.L. a LAWRENCE S.J. Pract. Failure Analysis, 2001, roč. 1, č. 2, s
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceÚloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté
Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
VíceZkouška rázem v ohybu. Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer. Jméno: St. skupina: Datum cvičení:
BUM - 6 Zkouška rázem v ohybu Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer Jméno: St. skupina: Datum cvičení: Úvodní přednáška: 1) Vysvětlete pojem houževnatost. 2) Popište princip zkoušky
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
VíceNEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL. Ladislav Kander Karel Matocha
NEKONVENČNÍ VLASTNOSTI OCELI 15NiCuMoNb5 (WB 36) UNCONVENTIONAL PROPERTIES OF 15NiCuMoNb (WB 36) GRADE STEEL Ladislav Kander Karel Matocha VÍTKOVICE Výzkum a vývoj, spol s r.o., Pohraniční 31, 706 02 Ostrava
VíceMODEL TVÁŘECÍHO PROCESU
MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU Zkouška tlakem na válcových vzorcích 2 Vyhodnocení tlakové zkoušky Síla F způsobí změnu výšky H a průměru D válce. V každém okamžiku při stlačování je přetvárný odpor definován
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceNAUKA O MATERIÁLU I. Zkoušky mechanické. Přednáška č. 04: Zkoušení materiálových vlastností I
NAUKA O MATERIÁLU I Přednáška č. 04: Zkoušení materiálových vlastností I Zkoušky mechanické Autor přednášky: Ing. Daniela ODEHNALOVÁ Pracoviště: TUL FS, Katedra materiálu ZKOUŠENÍ mechanických vlastností
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceTest A 100 [%] 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná.
Test A 1. Čím je charakteristická plastická deformace? - Je to deformace nevratná. 2. Co je to µ? - Poissonův poměr µ poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných
VíceSOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404
SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
VíceVýpočtová i experimentální analýza vlivu vrubů na omezenou životnost součástí
Výpočtová i experimentální analýza vlivu vrubů na omezenou životnost součástí Martin Laštovka. Úvod Predikce životnosti je otázka, kterou se zabývají inženýři již dlouho dobu. Klasické přístupy jsou zvládnuty,
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceCREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON
METAL 9 9... 9, Hradec nad Moravicí CREEP AUSTENITICKÉ LITINY S KULIČKOVÝM GRAFITEM CREEP OF AUSTENITIC DUCTILE CAST IRON Vlasák, T., Hakl, J., Čech, J., Sochor, J. SVUM a.s., Podnikatelská, 9 Praha 9,
VíceDiskrétní řešení vzpěru prutu
1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough
VíceVYHODNOCENÍ LABORATORNÍCH ZKOUŠEK
VYHODNOCENÍ LABORATORNÍCH ZKOUŠEK Deformace elastomerových ložisek při zatížení Z hodnot naměřených deformací elastomerových ložisek v jednotlivých měřících místech (jednotlivé snímače deformace) byly
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceZKOUŠKY MECHANICKÝCH. Mechanické zkoušky statické a dynamické
ZKOUŠKY MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ MATERIÁLŮ Mechanické zkoušky statické a dynamické Úvod Vlastnosti materiálu, lze rozdělit na: fyzikální a fyzikálně-chemické; mechanické; technologické. I. Mechanické vlastnosti
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceREGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB
62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceK OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy
Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceKristýna Bémová. 13. prosince 2007
Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
VíceSTATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ
STATISTICKÉ PARAMETRY OCELÍ POUŽÍVANÝCH NA STAVBU OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ Lubomír ROZLÍVKA, Ing., CSc., IOK s.r.o., Frýdek-Místek, tel./fax: 555 557 529, mail: rozlivka@iok.cz Miroslav FAJKUS, Ing., IOK s.r.o.,
VíceCVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VícePoznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceVÝZKUM VLASTNOSTÍ SMĚSI TEKBLEND Z HLEDISKA JEJÍHO POUŽITÍ PRO STAVBU ŽEBRA
Vladimír Petroš, VŠB Technická univerzita Ostrava, 17. listopadu 15/2172, 708 33 Ostrava, Poruba, tel.: +420 597325287, vladimir.petros@vsb.cz; Jindřich Šancer, VŠB Technická univerzita Ostrava, 17. listopadu
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceMATEMATIKA A Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceNewtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
Více1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceČíselné charakteristiky a jejich výpočet
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VícePřehled matematického aparátu
Přehled matematického aparátu Ekonomie je směsí historie, filozofie, etiky, psychologie, sociologie a dalších oborů je tak příslovečným tavicím kotlem ostatních společenských věd. Ekonomie však často staví
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Vícealgoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V
Hledání lokálního maxima funkce algoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V Č R Abstrakt : Lokální maximum diferencovatelné funkce je hledáno postupnou změnou argumentu. V
VíceZákony hromadění chyb.
Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceNESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1
NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceAPROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce
VíceGRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceČásti a mechanismy strojů 1 KKS/CMS1
Katedra konstruování strojů Fakulta strojní Části a mechanismy strojů 1 KKS/CMS1 Podklady k přednáškám část A4 Prof. Ing. Stanislav Hosnedl, CSc. a kol. Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním
VíceDyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics
Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí
VíceKapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)
Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
VícePlánování experimentu
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Plánování experimentu 05/06 Ing. Petr Eliáš 1. NÁVRH NOVÉHO VALIVÉHO LOŽISKA 1.1 Zadání Při návrhu nového valivého ložiska se v prvotní fázi uvažovalo pouze o změně designu věnečku (parametr
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
Více