Aplikovaná matematika III (NMAF073) ZS 2011/12

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Aplikovaná matematika III (NMAF073) ZS 2011/12"

Transkript

1 Aplikovaná matematika III (NMAF73) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) ZS 211/12 15 Maticový a vektorový počet II Úvod Vlastní čísla a vlastní vektory Lineární zobrazení v prostorech se skalárním součinem Lineární, bilineární a kvadratické formy 9 16 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy Úvod - opakování Lineární DR n-tého řádu s (ne)konstantními koeficienty Speciální typy ODR Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu Bernoulliho rovnice Speciální typy rovnic 2. řádu Eulerova rovnice Řešení ODR pomocí Taylorových řad Soustavy ODR 1. řádu Posloupnosti a řady funkcí Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Stejnoměrná konvergence řad funkcí Fourierovy řady Úvod, základní pojmy Bodová konvergence Fourierových řad Derivování a integrování Fourierových řad Aplikace: rovnice vedení tepla Hilbertovy prostory Úvod, základní pojmy Fourierovy řady v Hilbertově prostoru Ortogonální systémy polynomů, operátory 37 2 Funkce komplexní proměnné Holomorfní funkce Křivkový integrál a primitivní funkce Cauchyova věta a Cauchyův vzorec Taylorovy a Laurentovy řady Izolované singularity, rezidua, reziduová věta Věta o jednoznačnosti 47 Bonus : Pomocné a přehledové soubory a tabulky Ortogonální systémy polynomů (ke kap. 19) Použití reziduové věty k výpočtům (ke kap. 2)

2 Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika III (NMAF73), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 211/12 vedl na MFF UK. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a zejména důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobnějším korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese rokyta@karlin.mff.cuni.cz Text je možno nalézt v elektronické podobně na M. Rokyta, 212

3 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp. komplexních matic rozměru m n budeme značit M m n (R) resp. M m n (C). Někdy budeme též používat značení M m n (K), kde K bude značit bud R nebo C. Poznámka. Pro násobení matic (pokud je definováno, tj. souhlasí rozměry matic) platí: A (B C) = (A B) C, A B B A (obecně). Pokud je A B = B A, říkáme, že matice A, B kumutují. Poznámka. Pro sčítání a násobení matic a násobení matic skalárem λ K platí: A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A, λ(a + B) = λa + λb, λ(a B) = (λa) B, pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. zejména souhlasí rozměry matic). Poznámka. Připomeňte si některé základní termíny: jednotková matice I, diagonální matice, inverzní matice (A 1 ), regulární matice, singulární matice, transponovaná matice (A T ).... i některé další základní termíny: symetrická matice: A = A T ortogonální matice: A A T = A T A = I hermitovsky sdružená matice: A H := A T hermitovská matice: A = A H unitární matice: A A H = A H A = I Cvičení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): a pro regulární matice A,B: (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H, (A B) 1 = B 1 A 1. Tvrzení Bud A M n n (K) čtvercová matice. Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dimn A = deta. Zde N A := { x K n ;A x = }, a h(a) označuje hodnost matice A.

4 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 2 Pozn. Obecně pro A M n n (K) platí Začátek 2. ročníku dimn A + h(a) = n. Definice (Norma matice). Bud A M n n (K) čtvercová matice. Pro jakoukoli normu vektoru x K n definujeme odpovídající normu matice A takto: A := sup x K n x Pozn. Zvolíme-li například eukleidovskou normu x 2 = n j=1 x j 2, potom n A 2 a ij 2 < +. i,j=1 Pozn. Přímo z definice normy matice plyne, že Proto je a tedy Speciálně A x A x pro každé x K n. A x x. (1) AB x A B x A B x pro každé x K n, AB A B. A 2 A 2 odkud plyne A n A n n N. Věta 15.2 (O maticových řadách). Necht mocninná řada k= a kz k má poloměr konvergence R >. Bud dále A M n n (K) matice, pro jejíž normu platí A < R. Potom f(a) := a k A k konverguje, f(a) M n n (K). Navíc platí kde číselná řada napravo konverguje. Příklad 1. f(a) k= a k A k, k= Exponenciála matice je definována řadou e A = exp(a) := která konverguje pro každou matici A M n n (K). Pokud matice A,B M n n (K) komutují, platí k= e A e B = e A+B. A k k!, (2) Speciálně tedy vždy platí e A e A = e A+A = I, neboli: každá matice tvaru e A je regulární (at byla A jakákoli čtvercová matice), a e A je matice k ní inverzní. Příklad 2. Ukažte: je-li A diagonální matice, která má na diagonále prvky λ 1,...,λ n, je exp(a) také diagonální matice, mající na diagonále prvky e λ 1,...,e λn.

5 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II Vlastní čísla a vlastní vektory Definice. Řekneme, že číslo λ C je vlastním číslem matice A M n n (K), pokud existuje nenulový vektor x C n takový, že A x = λ x. Vektor x C n pak nazýváme vlastním vektorem matice A, odpovídajícím vlastnímu číslu λ C. Věta Číslo λ C je vlastním číslem matice A M n n (K) právě tehdy, když je kořenem tzv. charakteristického polynomu matice A, tj. řeší rovnici det(a λi) =. P A (λ) := det(a λi), (3) (K důkazu: z tvrzení 15.1 plyne, že det(a λi) rovnice (A λi) x = má pouze nulové řešení.) Poznámka. Každá matice má alespoň jedno vlastní číslo (důsledek základní věty algebry). Různé matice mohou mít stejná vlastní čísla. Pro pevné vlastní číslo λ C platí: Každý násobek jeho vlastního vektoru je opět jeho vlastním vektorem. Součet dvou jeho vlastních vektorů je opět jeho vlastním vektorem.... = pro pevné vlastní číslo λ C je N λ := { x C n ; A x = λ x} (= N A λi ) lineární podprostor C n. Nazýváme jej vlastním podprostorem matice A, příslušným číslu λ. Věta Bud λ C vlastní číslo matice A. Potom 1 dim N λ m(λ), kde m(λ) je násobnost (multiplicita) čísla λ jakožto kořene charakteristického polynomu. Definice. Řekneme, že čtvercové matice stejného stupně A,B M n n (K) jsou si podobné (píšeme A B), pokud existuje regulární matice P M n n (K) taková, že B = P 1 AP. Poznámka. A A A B = B A A B, B C = A C Tvrzení Bud A M n n (K) podobná diagonální matici, tj. necht existují diagonální matice D M n n (K) a regulární matice P M n n (K) takové, že Potom: D = P 1 AP. Diagonála matice D je tvořena vlastními čísly matice A, a tedy matice A a D mají stejná vlastní čísla i stejný charakteristický polynom.

6 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 4 Sloupce matice P jsou tvořeny vlastními vektory matice A, uspořádanými ve stejném pořadí jako odpovídající vlastní čísla na diagonále matice D. Poznámka. Pozor, první z výše uvedených tvrzení neplatí obráceně: matice, mající stejné charakteristické polynomy ještě nemusí být podobné. Například ( ) ( ) a. 1 1 (Ukažte to). Tvrzení Vlastní vektory matice A, které odpovídají různým vlastním číslům, jsou lineárně nezávislé. Věta Necht A M n n (K) je matice stupně n. Potom následující výroky jsou ekvivalentní: 1. A je podobná nějaké diagonální matici. 2. V C n existuje báze složená pouze z vlastních vektorů matice A. 3. Pro každé vlastní číslo λ matice A je dimn λ = m(λ). Definice. Řekneme, že A M n n (K) je diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici. Definice. Matici J M n n (C) nazvu Jordanovým blokem stupně (řádu) n, pokud je tvaru λ 1... λ λ λ pro nějaké λ C. Definice. Matici J M n n (C) nazvu Jordanovou maticí stupně (řádu) n, pokud je tvaru J 1... J ,... J k J k kde J 1,..., J k jsou Jordanovy bloky. Čísla na diagonálách bloků J j přitom nemusí být různá pro různé bloky. Věta Matice A M n n (K) je podobná Jordanovu bloku J M n n (C) právě tehdy, když jsou splněny obě následující podmínky: 1. Matice A má jedno n-násobné vlastní číslo λ C; toto λ pak leží na diagonále bloku J. 2. Existují vektory q 1,..., q n, splňující (A λi) q 1 =, q 1, (4) (A λi) q k = q k 1, k = 2,...,n. (5) Definice. Vektory splňující (4) (5) nazýváme řetězcem (řetízkem) délky n, který odpovídá vlastnímu číslu λ C matice A. Vektor q j nazýváme přidruženým vektorem řádu (j 1) matice A.

7 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 5 Pozn.: Vektor q 1 (první vektor řetězce) je zřejmě vlastním vektorem matice A. Vlastní vektor matice je tedy jejím přidruženým vektorem řádu. Věta Vektory, tvořící řetězec, odpovídající jednomu vlastnímu číslu matice A, jsou lineárně nezávislé. Věta Necht je matice A M n n (K) podobná Jordanovu bloku J M n n (C) a necht matice Q M n n (C) splňuje Q 1 AQ = J. Potom sloupce matice Q tvoří řetezec délky n odpovídající n-násobnému vlastnímu číslu λ C matice A. Věta Matice A M n n (K) je podobná Jordanově matici J M n n (C) právě tehdy když v C n existuje báze, složená z řetězců matice A, které jsou přidruženy jejím vlastním číslům. Jestliže pro matici Q M n n (C) platí Q 1 AQ = J, kde J M n n (C) je Jordanova matice s bloky J 1,...J k, pak pak čísla λ j na diagonále bloku J j jsou vlastní čísla matice A (nikoli nutně různá pro různé bloky), a sloupce matice Q jsou tvořeny řetězci, které odpovídají vlastním číslům matice A. Pořadí řetězců ve sloupcích Q přitom odpovídá pořadí bloků v matici J. Věta (O Jordanově kanonickém tvaru matice). podobná nějaké Jordanově matici J M n n (C). (Existence.) Každá matice A M n n (K) je (Jednoznačnost.) Necht je matice A M n n (K) podobná Jordanově matici J 1 M n n (C) i Jordanově matici J 2 M n n (C). Pak se matice J 1, J 2 liší nejvýše pořadím Jordanových bloků na diagonále. Definice. Jordanovým kanonickým tvarem matice A M n n (K) nazvu Jordanovu matici J M n n (C), která je matici A podobná. Poznámka. Podle předchozí věty má každá matice A M n n (K) Jordanův kanonický tvar, který je určen jednoznačně až na pořadí bloků na diagonále. Poznámky k hledání kanonického tvaru matice. Není to úplně snadné: např. trojnásobný kořen λ může generovat 3 bloky řádu 1, nebo blok řádu 1 a blok řádu 2, nebo 1 blok řádu 3. Existují proto různá tvrzení, která pomohou zjistit, o jakou situaci jde: Necht λ je vlastní číslo matice A. Položme (Tedy N (1) λ N (j) λ = N λ ). Potom: jsou podprostory v C n, N (j) λ N (j) λ := { x C n, (A λi) j x = }, j N. N (j+1) λ. N (j+1) λ = N (j) λ { přidružené vektory řádu j matice A}. Existuje číslo p(λ) n takové že N (1) λ N (2) λ N (p(λ)) λ = N (k) λ k p(λ). Tedy: p(λ) je rovno maximálnímu stupni Jordanova bloku (na diagonále Jordanovy matice), který odpovída vlastnímu číslu λ (delší řetězec neexistuje). Přitom: počet všech Jordanových bloků (na diagonále Jordanovy matice), které odpovídají vlastnímu číslu λ, je roven dim N λ.

8 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 6 Pro vlastní čísla λ µ je N (j) λ N(l) µ = {} j,l N. Platí také následující postup, aplikovatelný pro každé vlastní číslo λ matice A: bud te d j := dim N (j) λ = n h((a λi) j ); označme ρ 1 := d 1, ρ j := d j d j 1 pro j = 2,...,p(λ); označme σ p(λ) := ρ p(λ), σ j := ρ j ρ j+1 pro j = 1,...,p(λ) 1. Potom čísla σ j pro j = 1,...,p(λ) určují počet bloků stupně j (na diagonále Jordanovy matice) s λ na diagonále. Cvičení. Ukažte: matice A = a J = jsou podobné. Najděte také matici Q, pro kterou platí Q 1 AQ = J. Pro zjištění, jaké bloky odpovídají vlastnímu číslu 2, zkuste spočítat, že p(2) = 2, d 1 = dimn (1) 2 = 1, d 2 = dimn (2) 2 = 2, ρ 1 = 1, ρ 2 = 1, σ 1 =, σ 2 = 1. Poslední dvě hodnoty tedy říkají, že (pro vlastní číslo λ = 2) je počet bloků stupně jedna roven nule a počet bloků stupně dva roven jedné Lineární zobrazení v prostorech se skalárním součinem Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Věta Bud A M m n (R). Potom zobrazení ϕ : R n R m definované předpisem ϕ( x) := A x (pro všechna x R n ) je lineární. Bud ϕ : R n R m lineární zobrazení. Potom existuje právě jedna matice A A ϕ M m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n. V tomto případě říkáme, že A ϕ reprezentuje zobrazení ϕ. Věta Pokud n = m a A ϕ M n n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R n, platí ϕ je prosté ϕ je "na" A ϕ je regulární. Předchozí dvě věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C. Učivo 2. ročníku Definice. Bud ϕ : V n W m lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory konečné dimenze, se skaláry z K (říkáme též "nad K"), dim V n = n, dimw m = m. Bud dále { v (1),..., v (n) } báze ve V n, { w (1),..., w (m) } báze ve W m. Zobrazení ϕ a zvoleným dvěma bazím lze přiřadit matici A M m n (K), A = (a ij ) i=1,...,m, j=1...,n, předpisem m ϕ( v (j) ) = a ij w (i), i=1 j = 1,...,n. Matici A říkáme matice zobrazení ϕ vzhledem k bazím { v (1),..., v (n) }, { w (1),..., w (m) }.

9 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 7 Poznámka. Je-li ϕ( x) = y pro x V n, a jsou-li α K n resp. β K m souřadnice vektorů x resp. y v bazích { v (1),..., v (n) }, resp. { w (1),..., w (m) }, platí β = A α, kde A je matice zobrazení ϕ vzhledem k bazím { v (1),..., v (n) }, { w (1),..., w (m) }. Připomeňme: vektor α K n je vektor souřadnic vektoru x V n vzhledem k bázi { v (1),..., v (n) } prostoru V n, pokud platí n x = α j v (j). j=1 Cvičení. Ukažte, že matice zobrazení ϕ : R 3 R 2 definovaného předpisem ϕ((x,y,z)) = (2x,3y + z) vzhledem k eukleidovským bazím příslušných prostorů, je ( ) 2 A =. 3 1 Tvrzení Bud ϕ : V n V n lineární zobrazení, dim V n = n. Matice, které v různých bazích odpovídají stejnému lineárnímu zobrazení ϕ, jsou si navzájem podobné. Poznámka. Matice a lineární zobrazení si v konečnědimenzionálním případě (a při daných bazích) vzájemně jednoznačně odpovídají. Terminologii, kterou používáme u matic, používáme proto i pro lineární zobrazení, tehdy, když má jeho matice příslušnou vlastnost. Definice. Bud V lineární vektorový prostor (obecně libovolné dimenze) nad K. Řekneme, že na V je definován skalární součin (nebo též: V je prostor se skalárním součinem), pokud je na V definována funkce (, ), která dvojici vektorů z V přiřazuje skalár z K, a která pro všechna x, y, z V a všechna α K splňuje: ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z), (α x, y) = α( x, y), ( x, y) = ( y, x), ( x, x) ( R), ( x, x) = x =. Poznámka. Z definice skalárního součinu lze odvodit, že pro všechna x, y, z V a všechna α K také platí: ( x, y + z) = ( x, y) + ( x, z), ( x, α y) = α( x, y). Příklad 3. Ukažte, že následující výrazy (definované na příslušných vektorových prostorech) splňují všechny vlastnosti skalárního součinu: ( x, y) := n j=1 x jy j, pro x, y C n ; (f,g) := 1 f(x)g(x) dx, pro f,g C(,1 ). Definice. Bud V lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Řekneme, že vektory x, y V jsou kolmé (ortogonální), pokud ( x, y) =, a přitom ani jeden z vektorů x, y není nulový.

10 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 8 Na V je přirozeně definovaná norma předpisem x := ( x, x). Tuto normu nazýváme norma indukovaná skalárním součinem na V. Poznámka (bonusová). Abstraktní (obecná) norma na vektorovém prostoru V nad K je každé zobrazení : V R, splňující pro všechna x, y V a všechna α K x + y x + y (trojúhelníková nerovnost), α x = α x, x, x = x =. Lze snadno ukázat (zkuste to), že každá norma indukovaná nějakým skalárním součinem (ve smyslu předchozí definice) má výše uvedené vlastnosti. Ne každá norma ovšem musí být indukovaná nějakým skalárním součinem. Definice. Bud V lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Řekneme, že množina vektorů M V je ortogonální, pokud platí ( x, y) = pro všechna x y M, a přitom žádný z vektorů z M není nulový. Platí-li navíc x = 1 pro všechna x M, nazvu množinu M ortonormální. Je-li B V báze ve V, která je navíc ortogonální resp. ortonormální množinou vektorů, nazýváme ji ortogonální resp. ortonormální bazí ve V. Úmluva. V dalším textu budeme symbolem V značit lineární vektorový prostor nad C, (obecně libovolné dimenze), se skalárním součinem, zatímco symbolem V n budeme značit lineární vektorový prostor nad C, dimenze n, se skalárním součinem. Definice. Bud ϕ lineární zobrazení z prostoru V opět do V. Zobrazení ϕ : V V nazveme adjungovaným (přidruženým) k ϕ, pokud platí (ϕ( x), y) = ( x,ϕ ( y)), pro všechna x,y V. Tvrzení Adjungované zobrazení, pokud existuje, je určeno jednoznačně. (V prostorech nekonečné dimenze obecně adjungované zobrazení nemusí existovat). V případě konečné dimenze (ϕ : V n V n ) adjungované zobrazení k danému lineárnímu zobrazení ϕ vždy existuje (a tedy existuje právě jedno). Jestliže v nějaké ortonormální bázi { e (1),..., e (n) } odpovídá zobrazení ϕ matice A, odpovídá v téže bázi adjungovanému zobrazení ϕ adjungovaná matice A (=A H ), tedy matice, jejíž prvky a ij splňují rovnost a ij = a ji, i,j = 1,...,n. Definice. Zobrazení ϕ : V V nazvu hermitovským (samoadjungovaným), pokud je ϕ = ϕ ; unitárním, pokud je prosté, a ϕ 1 = ϕ ; normálním, pokud ϕ ϕ = ϕ ϕ (tedy pokud ϕ komutuje s ϕ ). Pozn. Hermitovskou a unitární matici už jsme definovali (viz též opakování na začátku celé kapitoly), obdobně lze definovat, že matice A M n n (K) je normální, pokud A A = A A (tedy pokud A komutuje s A ).

11 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 9 Tvrzení Bud ϕ : V n V n lineární zobrazení konečně dimenzionálního prostoru (nad C) se skalárním součinem do sebe, a bud A jeho matice v pevně zvolené ortonormální bázi. Potom ϕ je hermitovské (samoadjungované) A je hermitovská (ϕ( x), y) = ( x, ϕ( y)) x, y V n ; ϕ je unitární A je unitární (ϕ( x),ϕ( y)) = ( x, y) x, y V n ; ϕ je normální A je normální ve V n existuje ortonormální báze, složená z vlastních vektorů A. Tuto bázi lze volit tak, že její prvky jsou i vlastními vektory A. Poznámka. Vlastní vektor x V lineárního zobrazení ϕ : V V je takový nenulový vektor, pro který existuje λ C takové, že ϕ( x) = λ x. V konečně dimenzionálním případě, kdy ϕ je reprezentováno maticí, splývá pojem vlastního vektoru (vlastního čísla) zobrazení ϕ a jeho matice A. Tvrzení Necht ϕ : V n V n je normální. Potom: Vlastní vektory, odpovídající různým vlastním číslům, jsou ortogonální. Vlastní vektory zobrazení ϕ a ϕ jsou stejné, a odpovídající vlastní čísla zobrazení ϕ jsou komplexně sdružená k odpovídajícím vlastním číslům zobrazení ϕ. Tvrzení Necht ϕ : V n V n je hermitovské. Potom Všechna vlastní čísla zobrazení ϕ (odpovídající matice A) jsou reálná. Je-li matice A zobrazení ϕ reálná (má reálné prvky), pak existuje v C n ortonormální báze, složená z reálných vlastních vektorů matice A. Tato báze je tedy pak i bází v R n. Tvrzení Necht ϕ : V n V n je unitární. Potom Všechna vlastní čísla zobrazení ϕ (odpovídající matice A) jsou v absolutní hodnotě rovna jedné. Je-li matice A unitární (je maticí unitárního zobrazení ϕ), pak platí det A = 1. Definice. Unitátní matici A nazýváme vlastní, pokud je det A = 1, a nevlastní, pokud je det A = 1. Tvrzení Matice A je normální existuje unitární matice P, taková, že P 1 AP je diagonální. Matice A je hermitovská (A je normální & všechna vlastní čísla A jsou reálná) Lineární, bilineární a kvadratické formy Definice. Lineární formou (lineárním funkcionálem) nad (reálným resp. komplexním) vektorovým prostorem V nazvu lineární zobrazení f prostoru V do R resp. C. Věta Necht { e (1),..., e (n) } je báze v n-dimenzionálním vektorovém prostoru V n. Potom každý lineární funkcionál f nad V n je tvaru n f( x) = α j γ j, j=1 kde γ j = f( e (j) ), j = 1,...,n, a α jsou souřadnice vektoru x v bázi { e (1),..., e (n) }, tj. x = n j=1 α j e (j).

12 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 Definice. Bilineární formou na (reálném resp. komplexním) vektorovém prostoru V nazvu zobrazení A = A( x, y) z prostoru V V do R resp. C, které splňuje následující požadavky pro všechna x, y, z V a pro všechna α R resp. C: A( x + y, z) = A( x, z) + A( y, z), (6) A( x, y + z) = A( x, y) + A( x, z), (7) A(α x, y) = αa( x, y), (8) A( x, α y) = αa( x, y). (9) Poznámka. Vlastnosti (6) (8) jsou vlastnosti linearity, vlastnost (9) je tzv. antilinearita vzhledem ke druhé složce. Pokud jsou skaláry z R, je bilinearita totéž co linearita v každé z obou složek. Definice. Bilineární forma A( x, y) na V se nazývá hermitovská (resp. symetrická), pokud pro všechna x, y V platí A( x, y) = A( y, x) (resp. A( x, y) = A( y, x)). Poznámka. Příkladem hermitovské bilineární formy je skalární součin na vektorovém prostoru. Je-li A M n n (K), A = (a ij ) n i,j=1, je zobrazení A( x, y) := n a ij x i y j (A x, y), x, y K n, i,j=1 bilineární formou na K n, která je hermitovská právě tehdy, když je hermitovská matice A. Na konečnědimenzionálních prostorech je výše zmíněná situace typická: Věta Bud A( x, y) bilineární forma na V n, dim V n = n. Bud { e (1),..., e (n) } báze ve V n. Potom A( x, y) = (A α, β) = n a ij α i β j, kde pro prvky matice A platí a ij = A( e (i), e (j) ), a α, resp. β jsou souřadnice vektoru x resp. y v bázi { e (1),..., e (n) }. Poznámka. Je-li A M n n (C) hermitovská matice, pak platí (A x, x) R (ukažte to). Pokud je navíc (A x, x) a (A x, x) = x =, je výrazem (A x, y), x, y C n, (kde (, ) je eukleidovský skalární součin v C n ), maticí A definován (určen) jiný skalární součin (bilineární forma A( x, y) = (A x, y) má všechny vlastnosti skalárního součinu). Tento nový skalární součin generuje odpovídající normu, i,j=1 x A := (A x, x), (1) čímž zavádí i nový pojem vzdálenosti (metriky) v C n, ρ A ( x, y) := x y A. Poznámka. Často se používají pojmy "skalární součin", "norma", "metrika" i tehdy, když forma (A x, y) nemá všechny vlastnosti skalárního součinu. Například tzv. Minkowského metrika (používaná v teorii relativity) je definovaná diagonální maticí A M 4 4 (R), mající na diagonále prvky (1,1,1, c 2 ). Odpovídající časoprostorová metrika generuje časoprostorovou "normu" tvaru (x,y,z,t) 2 = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2. Definice (Kvadratická forma). Je-li A( x, y) bilineární forma na vektorovém prostoru V, nazvu zobrazení Q( x) := A( x, x) : V R (C) kvadratickou formou na V, generovanou (vytvořenou) bilineární formou A. Kvadratická forma se nazývá hermitovskou, pokud je vytvořena hermitovskou bilineární formou.

13 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 11 Tvrzení Bilineární forma A( x, y) v komplexním prostoru je hermitovská právě tehdy, když A( x, x) R pro každé x. Tvrzení V reálném prostoru lze každou kvadratickou formu vytvořit pomocí jediné symetrické bilineární formy. Příklad 4. Kvadratická forma Q( x) = x x 1x 2 + 3x 1 x 3 + 2x 2 2 : R3 R může být vytvořena jednak (nesymetrickou) bilineární formou jednak symetrickou formou A N ( x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + 3x 1 y 3 + 2x 2 y 2, A S ( x, y) = x 1 y (x 1y 2 + x 2 y 1 ) (x 1y 3 + x 3 y 1 ) + 2x 2 y 2. Poznámka. Předchozím dvěma bilineárním formám A N resp. A S odpovídají příslušné dvě matice A N = 2, A S = Věta (o převedení na kanonický tvar). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru) V n (dim V n = n) se skalárním součinem existuje ortonormální báze { e (1),..., e (n) } ve V n taková, že Q( x) = n λ j α j 2, pro x = j=1 kde λ j R jsou určena jednoznačně až na pořadí. n α j e (j), (11) Definice (Kanonický tvar). Kanonickým tvarem kvadratické formy Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. v reálném vektorovém prostoru) V n (dim V n = n) se skalárním součinem nazveme tvar Q( x) = n λ j α j 2, pro x = kde { e (1),..., e (n) } ve V n je nějaká báze ve V n a λ j jsou nějaké skaláry. j=1 j=1 n α j e (j), (12) Věta (Zákon setrvačnosti kvadratické formy). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru) V n se skalárním součinem (dim V n = n) existuje (nikoli nutně ortonormální) báze { e (1),..., e (n) } ve V n taková, že n n Q( x) = ρ j α j 2, pro x = α j e (j), (13) j=1 kde ρ j R jsou bud, 1 nebo 1, přičemž počet nul, jedniček a minus jedniček nezávisí na bázi, v níž má Q( x) tvar (13). Poznámka. Podle Tvrzení je matice A hermitovská (resp. ortogonální) (existuje unitární (resp. ortogonální) matice P taková, že P 1 AP je diagonální & všechna vlastní čísla A jsou reálná). Proces hledání kanonického tvaru kvadratické formy je tedy ekvivalentní procesu diagonalizace příslušné matice, která ji vytvořuje. j=1 j=1

14 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 12 Cvičení (na závěr). Bud A M n n (R) reálná symetrická matice a Q( x) := (A x, x), x R n, odpovídající kvadratická forma. Najděte nejmenší a největší hodnotu této kvadratické formy na jednotkové sféře v R n. Pro jaké vektory se tyto hodnoty nabývají? Řešení. Jde o nalezení globálních extrémů funkce Q( x) na kompaktní množině S n := { x R n ; x 2 = 1}. Použitím metody Lagrangeových multiplikátorů zjistíme, že hledáme ty hodnoty x S n, pro které je (A x, x) λ ( x 2 1) =, x k x k k = 1,...,n. Tento systém rovnic je ekvivalentní vektorové rovnici A x = λ x (ukažte to podrobně). Hodnota Q( x) v takových vektorech je pak Q( x) = (A x, x) = (λ x, x) = λ x 2 = λ. Rozmyslete si, že tedy platí: Reálná symetrická matice A M n n (R) má pouze reálná vlastní čísla. Kvadratická forma Q( x) := (A x, x) nabývá na jednotkové sféře největší hodnoty λmax, rovné největšímu vlastnímu číslu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu číslu odpovídá. Kvadratická forma Q( x) nabývá na jednotkové sféře nejmenší hodnoty λ min, rovné nejmenšímu vlastnímu číslu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu číslu odpovídá.

15 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 16.1 Úvod - opakování Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 5) Definice. Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c) =, je funkce y(t) = c řešením rovnice. y = g(y) h(t). (1) Na intervalech, kde g(y) uvažte y g(y) = h(t) s následným dy g(y) = h(t) dt. Nutná je diskuse o možnostech navazování řešení předchozích dvou typů! Definice. Lineární ODR prvního řádu je rovnice tvaru kde p,q jsou spojité funkce na daném intervalu (a,b), a,b R, a < b. Návod k řešení: y + p(t)y = q(t), (2) Násobte rovnici výrazem e P(t), kde P je primitivní funkce k p na (a,b). Upravte na levé straně do tvaru derivace součinu. Integrujte. Definice. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty je rovnice tvaru Ay + By + Cy = f(t), (3) kde A, B, C R, A, a funkce f(t) je spojitá na intervalu (a, b). Pokud je f identicky nulová na (a, b), nazýváme rovnici (3) homogenní. Případ I: f, rovnice: Ay + By + Cy =, obecné řešení y h Pokud charakteristická rovnice Aλ 2 + Bλ + C = má: 1. dva různé reálné kořeny λ 1 λ 2 : 2. jeden dvojnásobný reálný kořen λ: 3. dva komplexně sdružené kořeny α ± iβ, β : y h (t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t y h (t) = c 1 e λt + c 2 te λt y h (t) = e αt (c 1 cos βt + c 2 sin βt)

16 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 14 Případ II: f, rovnice: Ay + By + Cy = f(t) Pro řešení y(t) platí: y(t) = y h (t) + y p (t), kde y h (t) je obecné řešení homogenní rovnice (viz předchozí případ) a y p (t) je jedno (jakékoliv), tzv. partikulární řešení rovnice Ay + By + Cy = f(t). Některá partikulární řešení lze "uhodnout" podle tvaru pravé strany. Je-li f(t) = P(t)e αt, kde α R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P, že 1. α λ 1, α λ 2 = y p (t) = Q(t)e αt, 2. α λ 1, α = λ 2 = y p (t) = tq(t)e αt, 3. α = λ 1 = λ 2 = y p (t) = t 2 Q(t)e αt. Je-li f(t) = e αt (P(t)cos βt+r(t)sin βt), (P, R polynomy), existují polynomy Q, S, stupně nejvýše max(st P, st R), takové, že 1. α + iβ λ 1, α + iβ λ 2 = y p (t) = e αt (Q(t)cos βt + S(t)sin βt), 2. α + iβ = λ 1, α + iβ λ 2 = y p (t) = te αt (Q(t)cos βt + S(t)sin βt). Konec opakování Lineární DR n-tého řádu s (ne)konstantními koeficienty Budeme se zabývat rovnicemi tvaru a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a (t)y = f(t), (4) kde a,...,a n a f jsou funkce spojité na daném intervalu (a,b), a n (t) pro t (a,b) (lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s nekonstantními koeficienty). Jsou-li všechny funkce a,...,a n konstantní na intervalu (a, b), jde o lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty, (f(t) nemusí být konstantní). Homogenní rovnicí k rovnici (4) rozumíme rovnici a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a (t)y =. (5) Věta Necht t (a,b) a z,...,z n 1 R. Pak existuje právě jedno maximální řešení y rovnice (4) resp. (5), které splňuje tzv. počáteční podmínky y(t ) = z, y (t ) = z 1,..., y (n 1) (t ) = z n 1. Toto řešení je navíc definováno na celém intervalu (a, b). Věta 16.2 (o struktuře všech řešení). (i) Maximální řešení rovnice (5) jsou definována na celém R a tvoří vektorový podprostor prostoru C n (R) dimenze n. Jeho jakoukoli bázi nazýváme fundamentálním systémem rovnice (5). (ii) Necht y p je maximální řešení rovnice (4). Pak funkce y je jejím maximálním řešením, právě když ji lze zapsat ve tvaru y = y p + y h, kde y h je vhodné řešení rovnice (5).

17 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 15 I. Hledání fundamentálního systému Pro rovnici (5) s konstantními koeficienty lze použít tzv. metodu charakteristického polynomu. Pro rovnici (5), kde alespoň jeden z koeficientů je nekonstatní, nelze obecně explicite najít její fundamentální systém. (V některých speciálních případech to lze, jak uvidíme později). Definice. Necht jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní. Charakteristickým polynomem rovnice (5) rozumíme polynom P(λ) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a. Věta Necht jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní. Necht λ 1,...,λ s jsou všechny různé reálné kořeny charakteristického polynomu P, s násobnostmi r 1,...,r s. Necht α 1 +β 1 i,..., α l +β l i jsou všechny navzájem různé kořeny polynomu P, s kladnou imaginární částí a násobnostmi q 1,...,q l. Pak funkce e λ 1t, te λ 1t,... t r 1 1 e λ 1t,. e λst, te λst,... t rs 1 e λst, e α1t cos β 1 t, te α1t cos β 1 t,... t q1 1 e α1t cos β 1 t, e α1t sin β 1 t, te α1t sin β 1 t,... t q1 1 e α1t sin β 1 t,. e αlt cos β l t, te αlt cos β l t,... t ql 1 e αlt cos β l t, e αlt sin β l t, te αlt sin β l t,... t ql 1 e αlt sin β l t tvoří fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s konstantními koeficienty). II. Hledaní partikulárního řešení Věta 16.4 (o uhodnutí partikulárního řešení). Necht (4) je rovnice s konstatními koeficienty. Necht f(t) = e αt (P(t)cos βt + Q(t)sin βt), kde α, β R a P, Q jsou polynomy. Pak existuje řešení rovnice (4) ve tvaru y p (t) = t m e αt (R(t)cos βt + S(t)sin βt), kde R,S jsou vhodné polynomy stupně ne většího než max{stupeň P, stupeň Q} a m N {} udává, jakou násobnost má číslo α + iβ jakožto kořen charakteristického polynomu. Následující Lemma je základem tzv. metody variace konstant pro hledání partikulárního řešení lineární (nehomohenní) ODR, a to jak s konstantními tak s nekonstantními koeficienty. Lemma Necht y 1,...,y n tvoří fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s obecně nekonstatními koeficienty). Potom matice je regulární pro každé t R. y 1 (t) y 2 (t)... y n (t) y 1 U(t) = (t) y 2 (t)... y n(t) y (n 1) 1 (t) y (n 1) 2 (t)... y n (n 1) (t)

18 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 16 Věta 16.6 (variace konstant). Necht y 1,...,y n tvoří fundamentální systém rovnice (5) (s obecně nekonst. koeficienty), U(t) bud jako v předchozí větě. Necht c 1 (t),...,c n (t) řeší soustavu c 1 (t) Pak funkce je (partikulární) řešení rovnice (4). U(t). c n 1 (t) c n(t) =. f(t)/a n. y p (t) := c 1 (t)y 1 (t) + + c n (t)y n (t) III. Fundamentální systém lineární rovnice s nekonstantními koeficienty, Wronskián Definice. Bud te y 1,...,y n funkce, definované na (a,b) a mající na něm (n 1) vlastních derivací. Determinant y 1 (t) y 2 (t)... y n (t) y 1 W(t) W [y1,...,y n](t) := (t) y 2 (t)... y n(t) y (n 1) 1 (t) y (n 1) 2 (t)... y n (n 1) (t) nazýváme Wronského determinantem (Wronskiánem) funkcí y 1,...,y n. Věta Necht funkce y 1,...,y n řeší na (a,b) lineární homogenní rovnici (a,...,a n C(a,b), a n (t) pro t (a,b)) a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a (t)y =. Bud W(t) Wronskián funkcí y 1,...,y n na (a,b). Potom nastane právě jedna z následujících dvou možností: 1. W(t) = t (a,b) y 1,...,y n jsou LZ na (a,b); 2. W(t) t (a,b) y 1,...,y n jsou LN na (a,b). Věta Necht funkce y 1,...,y n řeší na (a,b) lineární homogenní rovnici (a,...,a n C(a,b), a n (t) pro t (a,b)) a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a (t)y =. Bud W(t) Wronskián funkcí y 1,...,y n na (a,b). Potom a n (t)w (t) + a n 1 (t)w(t) =, t (a,b); ( W(t) = W(t ) exp ) t a n 1 (s) t a n(s) ds, t,t (a,b). Příklad 1. Mějme rovnici ty +(1 t)y y =. Tato rovnice degeneruje pro t =, řešíme ji tedy separátně na t > a t <. Uvažujme například t >. Není příliš obtížné "uhodnout" jedno řešení rovnice, y 1 = e t. V této situaci může pomoci Wronskián nalézt druhý prvek fundamentálního systému, funkci y 2. Příslušný Wronskián je jednak podle definice roven e t (y 2 y 2), jednak platí W(t) = W(1)exp ( t 1 1 s s ) ds = = c et t. Odtud srovnáním dostaneme y 2 y 2 = c/t a řešením této lineární rovnice 1. řádu dostaneme (netriviální) druhý prvek fundamentálního systému původní rovnice. Dořešte úlohu podrobně.

19 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy Speciální typy ODR Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu Obecná rovnice 1. řádu s vyřešenou 1. derivací: y = f(x,y) lze formálně psát takto: obecněji: dy = f(x,y) dx = f(x,y) dx dy = P(x,y) dx + Q(x,y) dy =? dφ(x,y) = Φ Φ (x,y) dx + (x,y) dy = dφ(x,y) x y Definice. Řekneme, že rovnice P(x, y) dx + Q(x, y) dy = je ve tvaru totálního diferenciálu na oblasti G R 2, pokud existuje Φ C 1 (G) taková, že Φ = (P,Q) v G. Řešení je poté: dφ(x,y) = = Φ(x,y) = c. Poznámka. Rovnici ve tvaru totálního diferenciálu říkáme také exaktní rovnice. Pozorování 1. Pokud je P,Q C 1 (G), je nutná podmínka pro to, aby rovnice P(x,y) dx+q(x,y) dy = byla exaktní, rovnost P Q y (x,y) = x (x,y) v G. Příklad 2. Uvažujte rovnici 2xy dx + (x 2 y 2 ) dy =. Máme P y = 2x = Q x. Potenciálem je funkce Φ = x 2 y y3 3. Všechna řešení původní rovnice jsou tedy tvaru x 2 y y3 3 = c. Všimněte si, že v původní rovnici je role proměnných x, y rovnocenná, že tedy lze uvážit jak y = y(x) a mít rovnici y = 2xy, ale také x = x(y), a x = y2 x 2 y 2 x 2 2xy. Dopočtěte, včetně určení definičních oborů řešení v obou případech, a provedení zkoušky dosazením. Obrázek: Množiny bodů [x,y] v rovině, splňující vztah x 2 y y3 3 = c pro hodnoty c =.1, 2, 5,.1, 2, 5.

20 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 18 Definice. Řeknu, že µ = µ(x,y) je integračním faktorem rovnice P(x,y) dx + Q(x,y) dy = v oblasti G R 2, pokud je rovnice µ(x,y)p(x,y) dx + µ(x,y)q(x,y) dy = (6) exaktní v G. Poznámka. Nutná podmínka exaktnosti rovnice (6) je rovnost (µp) y = (µq) x, tedy µ y P + µp y = µ x Q + µq x. Nalezení integračního faktoru je obecně těžká úloha, proto se často předpokládá, že integrační faktor závisí pouze na x nebo pouze na y, nebo na výrazu (x+y), případně na xy atd. Cvičení. Řešte rovnici y = y 2 + y x metodou převedení na exaktní tvar pomocí integračního faktoru, víte-li, že integrační faktor závisí pouze na proměnné y. Návod k řešení. Zjistěte nejprve, že daná rovnice není exaktní. Najděte integrační faktor µ(y) = 1 y 2. Najděte potenciál Φ(x,y) = x2 2 + x y rovnice, přenásobené integračním faktorem, a odvod te odtud, že řešeními původní rovnice jsou funkce y(x) = 2x, c R. Udělejte kontrolu dosazením. Nezapomeňte diskutovat definiční obory pro řešení s různými 2c x 2 c. Cvičení. Řešte následující rovnice: a) xy 2 dx + (x 2 y x) dy = b) x 2 y 3 + y + (x 3 y 2 x)y = víte-li, že integrační faktor µ závisí pouze na součinu xy. Řešení. a) xy ln y = c; b) x 2 y 2 + 2ln = c. x y Bernoulliho rovnice Definice. Bernoulliovou rovnicí nazýváme ODR tvaru kde a,b C(J), J R je otevřený interval. y + a(t)y = b(t)y n, n Z, n / {,1}, (7) Návod k řešení: Pro n = nebo n = 1 jde o lineární ODR 1. řádu. Pro jiná celá n zavedeme novou funkci z = z(t) substitucí y(t) = z(t) 1 1 n, která převede rovnici (7) na lineární ODR 1. řádu. Cvičení. Řešte rovnici y = y 2 + y t jako Bernoulliovu. Porovnejte s postupem z přechozího paragrafu. Prohlédněte si grafy řešení, y(t) = 2t, pro hodnoty c = 1,, 1. 2c t 2

21 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy Speciální typy rovnic 2. řádu Pro obecnou rovnici 2. řádu (vyřešenou vzhledem k nejvyšší derivaci), tj. pro rovnici tvaru y = f(t,y,y ) (8) nelze obecně stanovit postup pro řešení. Pokud je však funkce f na pravé straně vztahu (8) jednodušší (speciálně není-li závislá na některém z výše uvedených argumentů), lze v některých případech řešení rovnice (8) najít. Níže uvedená tabulka navrhuje postup řešení v případě, že rovnice y = f(t,y,y ) nabývá některého z jednodušších tvarů. Ne vždy je však zaručeno, že se řešení explicite najde (že úloha lze "dopočítat"). V f(t,y,y )... Tvar rovnice (8) Návod k řešení 1) "nechybí" nic y = f(t,y,y ) obecně není 2) "chybí" t y = f(y,y ) polož y (t) = p(y) 3) "chybí" y y = f(t,y ) polož y (t) = u(t) 4) "chybí" y y = f(t,y) obecně není 5) "chybí" t,y y = f(y ) polož y (t) = u(t) 6) "chybí" t,y y = f(y) násob 2y 7) "chybí" y,y y = f(t) dvakrát integruj 8) "chybí" t,y,y y = c dvakrát integruj Komentář k některým výše zmíněným případům: ad 2): y (t) = p(y) = y (t) = dy (t) dt = dp(y) dt = dp(y) dy dy(t) dt = p p. Tedy y = f(y,y ) p p = f(y,p). Dostáváme rovnici 1. stupně pro p = p(y). Ta však nemusí být vždy řešitelná. ad 6): y (t) = f(y) 2y 2y y (t) = 2y f(y) ( (y ) 2) = (2F(y)) (y ) 2 = 2F(y) + c. (F je primitivní k f.) Dostáváme (po odmocnění) rovnici 1. řádu v separovaných proměnných.

22 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 2 Příklad 3 (k případu "2)"). Rovnici y = (y ) 2 y + 3y převede navrhovaná úprava na rovnici p py = 3yp 1, což je Bernoulliho rovnice. Jejím řešením dostaneme p 2 (y) = ce y2 3, a po zpětném dosazení tedy (y ) 2 = ce y2 3, c R. Jde (po odmocnění) o rovnici v separovaných proměnných. Její řešení však nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Rovnici y y = (y ) 2 půjde uvedenou metodou zcela vyřešit. Výsledek (spočtěte): y(t) = c 1 e c 2t, c 1,c 2 R Eulerova rovnice Definice. Eulerovou rovnicí nazýváme lineární ODR s nekonstantními koeficienty tvaru a n t n y (n) + a n 1 t n 1 y (n 1) + a 1 ty + a y = f(t), n N, (9) kde a,...a n R, a n, f C(J), J R je otevřený interval neobsahující nulu. Poznámka. Pro t = rovnice (9) degeneruje. Rovnici tedy uvažujeme separátně pro t > a pro t <. Poznámka. Jde o lineární rovnici (i když s nekonstantními koeficienty), pro její řešení proto platí příslušná teorie. Jde tedy o nalezení n prvkového fundamentálního systému pro homogenní rovnici (s f = ), a poté o nalezení jednoho (partikulárního) řešení rovnice s pravou stranou. Pro nalezení partikulárního řešení lze použít např. metodu variace konstant. Eulerova rovnice tedy bude vyřešena, nalezneme-li její fundamentální systém. Metoda nalezení FS Eulerovy rovnice Použijeme ansatz y = t λ, který vede k tzv. charakteristickému polynomu pro Eulerovu ODR. Je-li λ R kořenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamentálního systému funkce t λ ln k t, k =,...,p 1. Je-li α + iβ (β > ) kořenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamentálního systému funkce t α ln k t cos(β ln t ), t α ln k t sin(β ln t ), k =,...,p 1. Poznámka. Eulerovu rovnici dostaneme např. při hledání sféricky symetrických řešení Laplaceovy rovnice u = v celém R n, n 2. Je-li u sféricky symetrická, je u(x) = w(r), kde r = x >. Funkce w pak (jak lze ukázat) splňuje Eulerovu rovnici r 2 w (r) + (n 1)r w (r) =. Jejím řešením (proved te) a zpětným dosazením dostaneme (c 1,c 2 R): n = 2 = u( x ) = c 1 + c 2 ln x, x R 2 \ {}, n > 2 = u( x ) = c 1 + c 2 x n 2, x Rn \ {}.

23 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy Řešení ODR pomocí Taylorových řad Věta Uvažujme lineární rovnici n-tého řádu, a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a (t)y = f(t) (1) na intervalu J R, t J. Dají-li se koeficienty a pravá strana rovnice (1) rozložit do Taylorových řad na nějakém okolí U δ (t ), přičemž a n (t ), lze každé řešení rovnice (1) rozložit na nějakém okolí U η (t ) do Taylorovy řady. Řešení: Uvážíme ansatz y(t) = k= a k(t t ) k, který formálně n-krát proderivujeme člen po členu a dosadíme do rovnice. Jsou-li k (1) zadány počáteční podmínky (v bodě t ), dosadíme uvedený ansatz i do nich. Poznámky k řešení: Nejsou-li koeficienty a j a pravá strana f ve tvaru mocninné řady, je potřeba rozložit do řady i je. Po formálním provedení všech algebraických operací s řadami porovnáme koeficienty u stejných mocnin t. Tím dostaneme soustavu nekonečně mnoha rovnic pro nekonečně mnoho koeficientů a k, k = N {}. Jejím vyřešením nalezneme hledanou funkci y(t) ve tvaru mocninné řady. Na závěr určíme poloměr konvergence této řady. V případě homogenní rovnice (f ) můžeme různou volbou okrajových podmínek obdržet různá řešení. Jejich lineární (ne)závislost je možno ověřit např. pomocí Wronskiánu Soustavy ODR 1. řádu Uvažujme soustavu (obecných) diferenciálních rovnic 1. řádu, vyřešených vzhledem k 1. derivaci, ve tvaru x 1 = f 1(t,x 1,x 2,...,x n ), x 2 = f 2(t,x 1,x 2,...,x n ),. x n = f n(t,x 1,x 2,...,x n ), (11) kde f j, j = 1,...,n, jsou dané funkce definované na jisté neprázdné otevřené množině G R R n. Vektorový tvar soustavy (11): x (t) = f(t, x(t)), kde x(t) = ( x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t) ), x (t) = ( x 1 (t),x 2 (t),...,x n(t) ), f = ( f 1,f 2,...,f n ). Definice. Řešením soustavy (11) rozumíme vektorovou funkci x = ( ) x 1,...,x n definovanou na otevřeném neprázdném intervalu J R s hodnotami v R n takovou, že pro každé t J existují vlastní derivace x j (t), j = 1,...,n, a platí (11). Počáteční úlohou pro (11) rozumíme úlohu, kdy hledáme řešení x soustavy (11) splňující navíc předem zadanou podmínku x(t ) = x, kde [t, x ] je daný bod z G (tzv. počáteční podmínka). Maximální řešení soustavy (11) je takové řešení x definované na intervalu J, které již nelze prodloužit, tj. je-li y řešení definované na intervalu I, J I a y(t) = x(t) pro každé t J, pak J = I.

24 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 22 Věta 16.1 (Peanova věta o existenci). Necht G R R n je otevřená neprázdná množina, f : G R n je spojitá na G. Pak pro každé [t, x ] G existuje maximální řešení rovnice (11) splňující x(t ) = x. Věta (Picardova věta o existenci a jednoznačnosti). Necht G R R n je otevřená neprázdná množina, f : [t, x] f(t, x) R n je spojité zobrazení na G a je "lokálně lipschitzovské v x", tj. pro každý bod [t, x] G existuje ε R,ε >, a L R takové, že pro každé dva body [s, x 1 ], [s, x 2 ] z U ε ([t, x]) máme f(s, x 1 ) f(s, x 2 ) L x 1 x 2. Jestliže [t, x ] G, potom existuje právě jedno maximální řešení rovnice (11) splňující x(t ) = x. Uvažujme nyní soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ve tvaru x 1 = a 11 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t), x 2 = a 21(t)x a 2n (t)x n + b 2 (t),. x n = a n1 (t)x a nn (t)x n + b n (t), (12) kde n N, a ij : (α,β) R, b i : (α,β) R, i,j {1,...,n}, jsou spojité funkce. Vektorový tvar lineární soustavy (12) je: x = A(t) x + b(t), kde a 11 (t)... a 1n (t) a 21 (t)... a 2n (t) b 1 (t) A(t) =....., b(t) =.. b a n1 (t)... a nn (t) n (t) Věta (o existenci a jednoznačnosti řešení). Necht α,β R, α < β, t (α,β) a x R n. Necht A : (α,β) M n n (R), b : (α,β) R n jsou spojitá zobrazení. Potom existuje právě jedno maximální řešení x soustavy (12) splňující x(t ) = x. Toto řešení je definováno na celém intervalu (α,β). Definice. Homogenní soustavou k soustavě (12) rozumíme soustavu x = A(t) x. (13) Věta Necht n N, α,β R, α < β, a A : (α,β) M n n (R) je spojité zobrazení. Potom množina všech maximálních řešení soustavy (13) tvoří vektorový podprostor prostoru C 1 ((α,β), R n ). Dimenze tohoto podprostoru je rovna n. Jakoukoli bázi tohoto podprostoru, (složenou z vektorových funkcí y 1,..., y n ), nazýváme fundamentálním systémem rovnice (13). Věta Necht α,β R, α < β a x R n. Necht A : (α,β) M n n (R), b : (α,β) R n jsou spojitá zobrazení. Necht y P je jedno (partikulární) řešení (12) na intervalu (α,β). Potom každé řešení x soustavy (12) na intervalu (α,β) má tvar y P + y H, kde y H je jisté řešení homogenní soustavy (13). Definice. Necht vektorové funkce y 1,..., y n tvoří fundamentální systém rovnice (13). Označme y1 1 (t)... yn 1 (t) y2 1 Φ(t) = (t)... yn 2 (t) yn 1(t)... yn n (t) Matici Φ pak nazýváme fundamentální maticí soustavy (13).

25 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 23 Lemma Necht Φ je fundamentální matice soustavy (13). Pak Φ(t) je regulární pro každé t (α, β). Věta (variace konstant). Necht α,β R, α < β, t (α,β) a y R n. Pak maximální řešení y rovnice (12) s počáteční podmínkou y(t ) = y má tvar y(t) = Φ(t)Φ 1 (t ) y + Φ(t) kde Φ je fundamentální matice soustavy (13). t t Φ 1 (s) b(s) ds, t (α,β), Věta (regularita řešení lineární homogenní rovnice s konstantními koeficienty). Necht A M n n a vektorová funkce x : R R n je řešením soustavy x = A x. Pak x je třídy C a pro každé k N platí x (k) (t) = A k x(t) pro t R. Vztah mezi soustavou rovnic 1. řádu a jednou rovnicí vyššího řádu Necht y (n) = f(t,y,y,...,y (n 1) ) (14) je rovnice n-tého řádu a necht je y(t) její řešení pro t J R. Potom je vektorová funkce x(t) = ( y(t),y (t),...,y (n 1) (t) ) řešením soustavy x (t) = F(t, x), (15) na intervalu J, kde F j (t, x) = x j+1, j = 1,...,n 1, F n (t, x) = f(t,x 1,x 2,...,x n ). (A) Řešení soustav lineárních rovnic pomocí upravování Soustavu rovnic upravujeme takovým způsobem, abychom získali jednu rovnici vyššího řádu s jednou neznámou funkcí. Tento způsob je vhodný pro soustavy s nemnoha (např. se dvěma) rovnicemi, nebo tehdy, obsahuje-li matice soustavy rovnic hodně nulových prvků (je tzv. řídká). Uvedeným způsobem je možno řešit i nehomogenní soustavy. Příklad 4. Najděte všechne maximální řešení soustavy y z = 3y 5z 3e t = y z e t (B) Řešení soustav lineárních rovnic pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů Věta Necht matice A M n n (R) má n lineárně nezávislých vlastních vektorů q 1,... q n, které po řadě přísluší vlastním číslům λ 1,...,λ n. Potom funkce e λ 1t q 1,...,e λnt q n (16) tvoří fundamentální systém lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty) x = A x. Věta Necht v 1,... v k, je řetězec vektorů, přidružený vlastnímu číslu λ matice A M n n (R). Potom funkce ( ) t e λt v 1,e λt (t v 1 + v 2 ),...,e λt k 1 (k 1)! v t v k 1 + v k (17) jsou lineárně nezávislá řešení lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty) x = A x. Poznámka. Tvrzení předchozích dvou vět umožní sestavit fundamentalní systém dané lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty), která je reprezentována maticí A M n n (R) tak, že převedeme matici A na Jordanův kanonický tvar, a nalezneme příslušné vlastní vektory resp. jejich řetězce. Prvky fundamentalního systému pak dostaneme jako sjednocení všech funkcí tvaru (16) resp. (17), které odpovídají všem blokům v Jordanově kanonickém tvaru matice A.

26 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 17: Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice. Necht M je množina, f,f n : M R m, m,n N. Řekneme, že posloupnost {f n } n=1 konverguje bodově k f na M, jestliže lim n + f n (x) = f(x) pro každé x M, neboli x M ε > n N n N,n n : f n (x) f(x) < ε. Značíme f n f na M. Definice. Necht M je množina, f,f n : M R m, m,n N. Řekneme, že posloupnost {f n } n=1 konverguje stejnoměrně k f na M, jestliže ε > n N x M n N,n n : f n (x) f(x) < ε. Značíme f n f na M. Obr.: Konvergence posloupnosti funkcí x n pro x,1. Definice. Necht f,f n : M R k R m, m,k,n N. Řekneme, že posloupnost {f n } n=1 konverguje lokálně stejnoměrně k f na M, jestliže pro každý kompakt K M konverguje {f n K } n=1 k f K stejnoměrně na K. Značíme f n loc f na M. Věta Necht M je neprázdná množina, f,f n : M R m, m,n N. Označme Pak platí σ n := sup f n (x) f(x). x M f n f na M lim n σ n =.

27 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 17: Posloupnosti a řady funkcí 25 Věta 17.2 (Moore Osgood). Necht M R k, x M a necht funkce f,f n z M do R, n N, splňují (i) f n f na M P r (x ) pro jisté r >, (ii) lim x x,x M f n (x) = a n R pro každé n N. Potom existují vlastní limity lim n a n, lim x x,x M f(x) a jsou si rovny. Tedy lim n lim f n(x) = lim lim f n(x). x x,x M x x,x M n Věta Necht f,f n : M R k R m, k,m,n N, přičemž f n loc f na P. Jsou-li f n spojitá zobrazení, pak f je také spojité. Věta Necht (a,b) je omezený interval, f n : (a,b) R, n N. Necht (i) f n mají vlastní derivaci na intervalu (a,b), n N, (ii) existuje x (a,b) takové, že {f n (x )} n=1 konverguje, (iii) {f n} konverguje stejnoměrně na (a,b). Potom existuje funkce f taková, že f n f na (a,b), f má vlastní derivaci na (a,b) a platí f n f na (a,b). Tedy speciálně pro všechna x (a, b) platí ( ) lim f n(x) = lim f n n n(x). Věta Necht f n f na neprázdném omezeném intervalu (a,b) a f n N(a,b), n N. Potom f N(a,b) a platí b f n = (N) b lim (N) n a a lim f n. n Věta 17.6 (Dini). Necht K R m je kompaktní množina. Necht {f n } : K R je monotónní posloupnost spojitých funkcí, která konverguje bodově ke spojité funkci f : K R. Pak f n f na K. Věta 17.7 (Weierstrassova o aproximaci). Necht f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu a,b. Pak pro každé ε > existuje polynom P : R R takový, že 17.2 Stejnoměrná konvergence řad funkcí x a,b : f(x) P(x) < ε. Definice. Necht M je množina, f,f n : M R m, m,n N. Řekneme, že řada funkcí n=1 f n je bodově konvergentní na M, jestliže posloupnost funkcí { m k=1 f k} m=1 je bodově konvergentní na M. Pojmy stejnoměrné konvergence a lokálně stejnoměrné konvergence řady n=1 f n se definují analogicky. Věta 17.8 (Weierstrassovo kritérium). Necht n=1 f n je řada funkcí definovaných na neprázdné množině M R s hodnotami v R a necht pro S n = sup{ f n (x) ; x M} platí n=1 S n <. Potom n=1 f n konverguje stejnoměrně na M.

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

16 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

16 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap 16: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 13 16 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 161 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,

Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Leden 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193

Více