1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic

Transkript

1 1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma 1.1. (O ekvivalenci diferenciální a integrální rovnice) Nech Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá. Bu (x 0, ) Ω, I otev ený interval, I a x : I R n spojitá. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní 1. x je e²ení (DR) na I spl ující po áte ní podmínku x( ) = x 0 2. x(t) = x 0 + t f(x(s), s) ds, t I V ta 1.2. (Peanova o lokální existenci) Nech Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá, (x 0, ) Ω. Potom δ > 0 a funkce x : ( δ, +δ) R n, která je e²ením (DR) a spl uje x( ) = x 0. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic Denice. ekneme, ºe (DR) má vlastnost lokální jednozna nosti, jestliºe platí: Pokud (x, I), (y, J) jsou e²ení (DR) spl ující x( ) = y( ), I J, potom δ > 0 : x(t) = y(t), t ( δ, + δ) I J. Denice. ekneme, ºe (DR) má vlastnost globální jednozna nosti, jestliºe platí: Pokud (x, I), (y, J) jsou e²ení (DR), I J a x( ) = y( ), potom x(t) = y(t), t I J (na celém spole ném deni ním oboru). V ta 2.1. (Vztah lokální a globální jednozna nosti) (DR) má vlastnost lokální jednozna nosti má vlastnost globální jednozna nosti. Denice. Bu Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá, f = f(x, t). ekneme, ºe f je lokáln lipschitzovská vzhledem k x, jestliºe (x 0, ) Ω, δ > 0 : U(x 0, δ) U(, δ) Ω L > 0, (x, t), (y, t) U(x 0, δ) U(, δ) : f(x, t) f(y, t) L x y V ta 2.2. (Posta ující podmínka lokální jednozna nosti) Bu Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá a lokáln lipschitzovská vzhledem k x. Potom (DR) má vlastnost lokální jednozna nosti. D sledek 2.3. (Picardova v ta) Bu Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá a lokáln lipschitzovská vzhledem k x. Bu (x 0, ) Ω. Pak δ > 0 a funkce x : ( δ, + δ) R n, která je e²ením (DR) spl ující po áte ní podmínku x( ) = x 0. Tato funkce je jediným e²ením (DR)+p.p. na tomto intervalu. Tvrzení 2.4. (Vztah C 1 a lokální lipschitzovskosti) Nech Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá a f x i spojitá pro i = 1,..., n. Potom f je lokáln lipschitzovská vzhledem k x.

2 3 Maximalita e²ení Denice. ekneme, ºe ( x, Ĩ) je prodlouºením e²ení (x, I), jestliºe I Ĩ a x I = x. ekneme, ºe (x, I) je maximální e²ení (DR), jestliºe nemá ºádné netriviální prodlouºení. V ta 3.1. (Existence maximálního prodlouºení) Nech Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá, (x, I) e²ení (DR). Potom (x, I) má aspo jedno maximální prodlouºení. Lemma 3.2. (Posta ující podmínka pro existenci prodlouºení) Bu Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá. Bu x : (a, b) R n e²ením (DR). Potom e²ení x lze prodlouºit za bod b, práv kdyº 1. b < + 2. lim t b x(t) =: x 1 3. (x 1, b) Ω V ta 3.3. (O opu²t ní kompaktu) Bu Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá. Bu (x, I) maximální e²ení (DR), K Ω kompaktní, I, (x( ), ) K. Pak t 1 I, t 1 > : (x(t 1 ), t 1 ) / K t 2 I, t 2 < : (x(t 2 ), t 2 ) / K 4 Závislost na po áte ních podmínkách ϕ(t,, x 0 ) = x(t) pro po áte ní podmínku x( ) = x 0 ϕ(t,, x 0 + ε) = ϕ(t,, x 0 ) + ϕ x 0 (t,, x 0 )ε + o(ε) Denice. Bu Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá a lokáln lipschitzovská vzhledem k x. e²ící funkcí ϕ rovnice (DR) nazveme funkci ϕ : G R n+2 R n denovanou ϕ(t,, x 0 ) := x(t), kde x je maximální e²ení (DR) s po áte ní podmínkou x( ) = x 0 a G = {(t,, x 0 ) R n+2, (x 0, ) Ω a maximální e²ení (DR) s po áte ní podmínkou x( ) = x 0 je denováno aspo na intervalu [, t]}. V ta 4.1. (Gronwallovo lemma) Nech g, w jsou spojité a nezáporné funkce na I, I, K 0. Nech w(t) K + t w(s)g(s) ds, t I. Potom ( t ) w(t) K exp g(s) ds, t I V ta 4.2. (Spojitost e²icí funkce) Mnoºina G z denice e²ící funkce je otev ená a ϕ : G R n je spojité.

3 V ta 4.3. (Diferencovatelnost e²icí funkce) Nech Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá a f Cx(Ω). 2 Bu ϕ : G R n e²ící funkce (DR). Potom (t,, x 0 ) G a w R n existuje derivace ϕ v bod (t,, x 0 ) podle x 0 ve sm ru ϕ w, tj.: (t, t 1 w 0, x 0 ) := lim h 0 (ϕ(t, t h 0, x 0 + hw) ϕ(t,, x 0 )). Ozna íme-li (pro, x 0 pevné) x(t) := ϕ(t,, x 0 ), t I a u(t) := ϕ (t, t w 0, x 0 ), potom u spl uje u (t) = [ x f(x(t), t)] u(t), u( ) = w, t I 5 Lineární rovnice s nekonstantními koecienty V ta 5.1. (Globální existence a jednozna nost) Nech (α, β), x 0 R n. Pak (L) má práv jedno maximální e²ení spl ující po áte ní podmínku x( ) = x 0. Toto e²ení je denováno na celém (α, β). Denice. Rovnici (L) nazveme homogenní, pokud b 0. x = A(t)x (H) V ta 5.2. (Prostor e²ení (LR)) Mnoºina v²ech e²ení rovnice (H) je vektorový podprostor C 1 ((α, β), R n ) dimenze n. Denice. Fundamentálním systémem rovnice (H) je kaºdá báze prostoru v²ech e²ení. Je-li ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n FS rovnice (H), pak matici Φ : (α, β) R n n, Φ(t) = (ϕ 1 (t),..., ϕ n (t)), ϕ 1,..., ϕ n sloupcové vektory Φ, nazveme fundamentální maticí rovnice (H). Denice. Nech Φ je fundamentální matice (H), pak funkci w : (α, β) R, w(t) := det(φ(t)) nazveme Wronskiánem rovnice (H) (Wronského determinantem). V ta 5.3. (Liouvilleova formule pro výpo et wronskiánu pomocí stopy matice) Platí ( t ) w(t) = w( ) exp tr(a(s)) ds, kde tr(a) = n i=1 A ii je stopa matice A. V ta 5.4. (Variace konstant) Bu Φ fundamentální matice rovnice (H), (α, β), x 0 R n. Pak e²ení rovnice (L) s po áte ní podmínkou x( ) = x 0 je dáno vzorcem t x(t) = Φ(t)[Φ( )] 1 x 0 + Φ(t) [Φ(s)] 1 b(s) ds 6 Lineární rovnice s konstantními koecienty Denice. Pro A R n n denujme V ta 6.1. (Vlastnosti normy matice) Nech A, B R n n. Pak platí: A = sup{ Ax, x R n, x 1}.

4 1. A 0, A = 0 A = 0 2. λa = λ A, λ R 3. A + B A + B 4. AB A B 5. Ay A y, y R n 6. Ay A 1 1 y, y R n, je-li A regulární V ta 6.2. (Fundamentální matice jakoºto maticová exponenciála) Funkce U(t) := 1 k=0 k! tk A k (A 0 := I, 0 0 := 1) je fundamentální maticí rce (LKH) a platí U(0) = I. D sledek 6.3. (Variace konstant pro konstantní koecienty) e²ení úlohy x = Ax + b(t), x( ) = x 0 lze napsat ve tvaru t ] x(t) = e [e ta t0a x 0 + e sa b(s) ds, t I I R otev ený interval, I, A R n n, b(t) : I R n spojité. e M := k=0 M k k! V ta 6.4. (Vlastnosti maticové exponenciály) Nech A R n n. Potom platí: 1. e λi = e λ I 2. AB = BA e A+B = e A e B 3. e C 1 AC = C 1 e A C, C regulární 4. e A = (e A ) 1, speciáln e A je vºdy regulární V ta 6.5. (O tvaru maticové exponenciály) Nech A R n n, nech A = V JV 1, kde J má Jordan v kanonický tvar, nech (λ 1,..., λ n ) je diagonála J. e λ 1t 0 Potom e ta = V e tj V 1, kde e tj =... P (t), kde P (t) je blokov diagonální 0 e λnt matice se stejn velkými a stejn uspo ádanými bloky jako J, p i emº blok velikosti k je t 1 t 2 t... k 1 2! (k 1)! roven t 1

5 D sledek 6.6. (R st maticové exponenciály) Bu a = max{rλ, λ σ(a)}, nech m je velikost nejv t²í Jordanovy bu ky p íslu²né vlastnímu íslu s Rλ = a. Pak M > 0 tak, ºe e ta Mt m 1 e at, pro t 0. Dále ã > a M tak, ºe e ta Meãt, t 0. Podobn : pro t 0 platí e ta M t m 1 eāt, ā = min{rλ, λ σ(a)}, n je velikost nejv t²í Jordanovy bu ky p íslu²né vlastnímu íslu s Rλ = ā. V ta 6.7. (Asymptotické chování e²ení (LKH) na podprostorech) (i) [stabilní sm ry] c > 0, α > 0 x 0 X A : e ta x 0 ce αt x 0, t 0 (ii) [nestabilní sm ry] c > 0, β > 0 x 0 X A +: e ta x 0 ce βt x 0, t 0 (iii) [centrální sm ry] ε > 0 c > 0 x 0 X A c : e ta x 0 ce ε t x 0, t R 7 Stabilita Denice. Bu Ω R n+1 otev ená, f : Ω R n spojitá, lokáln lipschitzovská v x, I := [τ, + ), f(0, t) = 0, t τ. Pak nulové e²ení rovnice (DR) je 1. stabilní, jestliºe I, ε > 0, δ > 0 : x 0 < δ ϕ(t,, x 0 ) < ε, t I. 2. nestabilní, jestliºe není stabilní. 3. lokální atraktor, jestliºe I, η > 0 : x 0 < η ϕ(t,, x 0 ) 0 pro t. 4. asymptoticky stabilní, jestliºe 1 & unirmn stabilní, jestliºe ε > 0, δ > 0, I : x 0 < δ ϕ(t,, x 0 ) < ε, t 6. uniformn asymptoticky stabilní, jestliºe 5 & η > 0, ε > 0, T > 0, I platí x 0 < η ϕ(t,, x 0 ) < ε, t + T. V ta 7.1. (Stabilita (LKH)) Nulové e²ení (LKH) je 1. asymptoticky stabilní Rλ < 0 λ σ(a) 2. stabilní Rλ 0 λ σ(a) a je-li Rλ = 0, pak p íslu²né Jordanovy bu ky mají velikost jedna. Lemma 7.2. (Stabilita poru²ené (LKH)) Dána rovnice x = Ax + g(x, t), kde A R n n, e ta < Ke αt pro n jaká K, α > 0 a t 0 a g je spojitá na R n+1 a platí g(x, t) γ x, x R n a n jaké pevné γ < α K. Pak x 0 je uniformn asymptoticky stabilní. V ta 7.3. (Linearizovaná stabilita) Dána rovnice x = F (x), F t ídy C 1 na okolí x 0 R n, F (x 0 ) = 0. Jestliºe Rλ < 0 λ σ(a), A = F (x 0 ), pak e²ení x(t) = x 0 je uniformn asymptoticky stabilní.

6 V ta 7.4. (Linearizovaná nestabilita) Dána rovnice x = F (x), F t ídy C 1 na okolí x 0 R n, F (x 0 ) = 0. Jestliºe λ σ(a), A = F (x 0 ) takové, ºe Rλ > 0, pak e²ení x(t) = x 0 je nestabilní. V ta 7.5. (Stabilita (LR)) Nech Φ je libovolná fundamentální matice rovnice (LR). Potom nulové e²ení je: 1. stabilní Φ(t) je omezená (na [τ, + )) 2. uniformn stabilní Φ(t)Φ(s) 1 je omezená (tj. c > 0 t s τ : c) 3. asymptoticky stabilní Φ(t) 0 4. uniformn asymptoticky stabilní α, c > 0 t s τ : Φ(t)Φ(s) 1 ce α(t s) 8 První integrál Denice. Funkci U : Ω R nazveme prvním integrálem (AR) v Ω jestliºe 1. U není konstantní v Ω. 2. t U(x(t)) je konstantní x e²ení (AR) v Ω. V ta 8.1. (O orbitální derivaci) Nech U : Ω R je t ídy C 1. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní 1. e²ení x rovnice (AR) je U(x(t)) konstantní. 2. U(ξ) f(ξ) = 0, ξ Ω Denice. ekneme, ºe první integrály U 1,..., U k jsou nezávislé v bod x 0, jestliºe U i (x 0 ), i = 1,..., k jsou lineárn nezávislé vektory. ekvivalentn : hodnost matice ( U i x j ) i=1,...,k j=1,...,n je k. V ta 8.2. (O sníºení ádu) Nech U 1,..., U k jsou 1. integrály (AR), nezávislé v x 0. Pak e²ení procházející bodem x 0 lze popsat systémem (n k) rovnic. (z = g(z), z R n k, g : R n k R n k ) V ta 8.3. (Existence lineárn nezávislých prvních integrál ) Nech f C 1 (U(x 0 )), f(x 0 ) 0. Potom (AR) má na okolí x 0 (n 1) 1. integrál, které jsou nezávislé v x 0. 9 Ljapunovské funkce a stabilita Denice. Funkci ω : Ω R nazveme pozitivn denitní, jestliºe je spojitá, ω(0) = 0, ω(x) > 0, x Ω\{0}. Denice. Funkci V : I Ω R nazveme ljapunovskou funkcí (DR), jestliºe 1. V je spojitá, V (t, 0) = 0, t I.

7 2. V je nerostoucí podél e²ení (tj. t V (t, x(t)) je nerostoucí x e²ení (DR) v I Ω). 3. ω pozitivn denitní v Ω taková, ºe V (t, ξ) ω(ξ), ξ Ω. V ta 9.1. (Stabilita) Nech existuje ljapunovská funkce pro rovnici (DR) v Ω. Pak nulové e²ení je stabilní. V ta 9.2. (Asymptotická stabilita) ljapunovská funkce V, ω, λ, η pozitivn denitní funkce, ºe λ(x) V (x, t) ω(x, t), x Ω, t I d V (x(t), t) η(x(t)), e²ení x rovnice (DR) v Ω dt Potom nulové e²ení je asymptoticky stabilní. V ta 9.3. (Ekvivalentní podmínky pro (LKH)) Máme x = Ax, A R n n. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní 1. 0 je uniformn asymptoticky stabilní 2. Rλ < 0 λ σ(a) 3. α, c > 0 : e ta ce αt, t 0 4. symetrická pozitivn denitní matice B, ºe A T B + BA = I (Ljapunova rovnice) 10 Rovnice vy²²ích ád Denice. ekneme, ºe y : I R je e²ením (DRV), jestliºe y (n) (t), t I & (y (n 1) (t), y (n 2) (t),..., y(t), t) Ω, t I & y (n) (t) = g(y (n 1) (t),..., y(t), t), t I. V ta (P evod na systém rovnic prvního ádu) Bu Ω R n+1 otev ená, g : Ω R spojitá. Denujeme f : Ω R n p edpisem x 2 x 3 f(x, t) =. x n g(x n, x n 1,..., x 1, t) Pak f je spojitá a platí: 1. Je-li y : I R e²ení (DRV) s po áte ní podmínkou y( ) = y 0, y ( ) = y 1,..., y (n 1) ( ) = y n 1, pak x : I R n denované p edpisem y(t) y (t) x(t) =. y (n 1) (t) je e²ením (DR) s po áte ní podmínkou x( ) = y 0. y n 1.

8 2. Je-li x : I R n e²ní rovnice (DR) s po áte ní podmínkou x( ) = y 0. y n 1, pak y(t) := x 1 (t) je e²ením (DRV) na I s po áte ní podmínkou y( ) = y 0,..., y (n 1) ( ) = y n 1. V ta (Existence) Bu (ξ, ) Ω. Pak δ > 0 a funkce y : ( δ, +δ), která je e²ením (DRV) s po áte ní podmínkou y (j) ( ) = ξ j+1, j = 0,..., n 1. V ta (Jednozna nost a spojitá závislost) Je-li g navíc lokáln lipschitzovská vzhledem k 1.-n-té prom nné, platí lokální jednozna nost (globální) pro (DRV) a spojitá závislost na po áte ních podmínkách. V ta (Existence pro lineární rovnice) Nech (α, β) a y 0,..., y n 1 R. Pak! maximální e²ení y rovnice (LRV) spl ující po áte ní podmínky y( ) = y 0,..., y (n 1) ( ) = y n 1. Toto e²ení je denováno na celém (α, β). V ta (Prostor e²ení homogenní lineární rovnice) Mnoºina v²ech maximálních e²ení (LRV) s b = 0 je vektorový prostor dimenze n. V ta (Variace konstant) Bu ψ(t, s) e²ení (LRV) homogenní (tj. b = 0) spl ující po áte ní podmínky ψ(s, s) = y(s) = 0, y (s) = 0,..., y (n 2) (s) = 0, y (n 1) (s) = 1. Potom funkce y p (t) := t ψ(t, s)b(s) ds je e²ení (LRV) s pravou stranou b spl ující po áte ní podmínky y p ( ) = 0 = y p( ) = = y (n 1) p ( ). 11 Sturmova srovnávací v ta Lemma (O nulových bodech e²ení) Nech x je netriviální e²ení (LR2). Pak platí 1. x( ) = 0 x ( ) 0 2. x( ) = 0 a y je jiné e²ení (LR2), pro které y( ) = 0, pak λ R : y(t) = λx(t), t I 3. Mnoºina N(x) := {t I, x(t) = 0} nemá hromadný bod v intervalu I. Lemma (O p evedení rovnice do jiného tvaru) Rovnice (LR2) je vzájemn p evoditelná na rovnici (p(t)x ) + q(t)x = 0, p, p, q spojité na I, p 0

9 V ta (Srovnávací (nulové body e²ení r zných rovnic)) Nech x je netriviální e²ení (T1), p, p, q C(I), p(t) > 0 t I. Nech y je e²ení rovnice (T2) (p(t)y ) + q 2 (t)y = 0, kde q 2 C(I). Nech t 1, t 2 I, t 1 < t 2 jsou sousední nulové body funkce x a q 2 (t) q(t) t [t 1, t 2 ]. Potom bu (i) y má v (t 1, t 2 ) nulový bod nebo (ii) q 2 = q na [t 1, t 2 ] a λ R : y(t) = λx(t) t [t 1, t 2 ] V ta (Sturmova (nulové body lineárn nezávislých e²ení)) Nech {u, v} je fundamentální systém rovnice (T1) a N(u), N(v) jsou mnoºiny nulových bod funkcí u a v. Potom N(u) N(v) = a mezi kaºdými dv ma sousedními body z N(u) je práv jeden bod z N(v). 12 Floquetova teorie Lemma (O logaritmu matice) Nech A R n n je regulární matice. Pak existuje matice B tak, ºe e B = A. (B je obecn komplexní, není jednozna n ur ena) V ta (Floquetova) Nech Φ(t) je fundamentální matice rovnice (1), nech navíc Φ(0) = I. Potom existuje spojitá regulární T-periodická matice Q(t) a konstantní matice B tak, ºe Φ(t) = Q(t)e Bt D sledek (O stabilit periodických rovnic) V ta (O matici monodromie) Dána soustava x = A(t)x(t)+b(t), A(t), b(t) spojité, T-periodické v R. Nech C je matice monodrmie. Potom je ekvivalentní: 1. Rovnice (1) má práv jedno T-periodické e²ení. 2. Homogenní rovnice má pouze triviální T-periodické e²ení / σ(c)