Matematika III přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy
|
|
|
- Klára Horáková
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 S Matematika III přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky
2 Obsah přednášky Řešení rekurencí Q Exponenciální vytvořující funkce n S - = -E -00*0
3 s Doporučené zdroje H. S. Wilf, Generatingfunctionology, Academie Press, druhé vydaní, 1994, (rovněž R. Graham, D. Knuth, 0. Patashnik, Concrete Mathematics, druhé vydání, Addison-Wesley, 1994.
4 s Doporučené zdroje H. S. Wilf, Generatingfunctionology, Academie Press, druhé vydání, 1994, (rovněž R. Graham, D. Knuth, 0. Patashnik, Concrete Mathematics, druhé vydání, Addison-Wesley, Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
5 S Doporučené zdroje H. S. Wilf, Generatingfunctionology, Academie Press, druhé vydaní, 1994, (rovněž R. Graham, D. Knuth, 0. Patashnik, Concrete Mathematics, druhé vydání, Addison-Wesley, Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil, Kapitoly z diskrétní matematiky, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, Praha, 2000, 377 s.
6 Plán přednášky Řešení rekurencí funkce n S - = -E -00*0
7 Mocninné rady jsou velmi silným nástrojem pro resení rekurencí. Tím je míněno vyjádření členu a n jako funkci n. Často se s pomocí řad podaří vyřešit na první pohled velmi složité rekurence. Obvyklý (takřka mechanický) postup pro řešení rekurencí se skládá ze 4 kroků: O Zapíšeme jedinou rovnicí závislost a n na ostatních členech posloupnosti. Tento vztah musí platit pro všechna n G No (předpokládajíce a_i = a_2 = = 0).
8 Mocninné rady jsou velmi silným nástrojem pro resení rekurencí. Tím je míněno vyjádření členu a n jako funkci n. Často se s pomocí řad podaří vyřešit na první pohled velmi složité rekurence. Obvyklý (takřka mechanický) postup pro řešení rekurencí se skládá ze 4 kroků: O Zapíšeme jedinou rovnicí závislost a n na ostatních členech posloupnosti. Tento vztah musí platit pro všechna n G No (předpokládajíce a_i = a_2 = = 0). Q Obě strany rovnice vynásobíme x" a sečteme přes všechna n G No- Na jedné straně tak dostaneme J2 a n n x ", což je vytvořující funkce A(x). Pravou stranu vztahu je pak třeba upravit na výraz rovněž obsahující A(x).
9 Mocninné rady jsou velmi silným nástrojem pro resení rekurencí. Tím je míněno vyjádření členu a n jako funkci n. Často se s pomocí řad podaří vyřešit na první pohled velmi složité rekurence. Obvyklý (takřka mechanický) postup pro řešení rekurencí se skládá ze 4 kroků: O Zapíšeme jedinou rovnicí závislost a n na ostatních členech posloupnosti. Tento vztah musí platit pro všechna n G No (předpokládajíce a_i = a_2 = = 0). Q Obě strany rovnice vynásobíme x" a sečteme přes všechna n G No- Na jedné straně tak dostaneme J2 a n n x ", což je vytvořující funkce A(x). Pravou stranu vztahu je pak třeba upravit na výraz rovněž obsahující A(x). O Zjištěná rovnice se vyřeší vzhledem k A(x).
10 Mocninné rady jsou velmi silným nástrojem pro resení rekurencí. Tím je míněno vyjádření členu a n jako funkci n. Často se s pomocí řad podaří vyřešit na první pohled velmi složité rekurence. Obvyklý (takřka mechanický) postup pro řešení rekurencí se skládá ze 4 kroků: O Zapíšeme jedinou rovnicí závislost a n na ostatních členech posloupnosti. Tento vztah musí platit pro všechna n G No (předpokládajíce a_i = a_2 = = 0). Q Obě strany rovnice vynásobíme x" a sečteme přes všechna n G No- Na jedné straně tak dostaneme J2 a n n x ", což je vytvořující funkce A{x). Pravou stranu vztahu je pak třeba upravit na výraz rovněž obsahující A{x). O Zjištěná rovnice se vyřeší vzhledem k A{x). Q Výsledné A(x) se rozvine do mocninné řady, přičemž koeficient u x" udává a n, tj. a n = [x"]a(x).
11 s Rekurzivně propojené posloupnosti Někdy dokážeme snadno vyjádřit hledaný počet jen pomocí více vzájemně provázaných posloupností.
12 g - = Rekurzivně propojené posloupnosti Někdy dokážeme snadno vyjádřit hledaný počet jen pomocí více vzájemně provázaných posloupností. Příklad Kolika způsoby můžeme pokrýt (nerozlíšenými) kostkami domina obdélník 3 x n?
13 s Rekurzivně propojené posloupnosti Někdy dokážeme snadno vyjádřit hledaný počet jen pomocí více vzájemně provázaných posloupností. Příklad Kolika způsoby můžeme pokrýt (nerozlíšenými) kostkami domina obdélník 3 x n? Snadno zjistíme, že c\ = 0, c-i = 3, C3 = 0, dále klademe CQ = 1 (nejde jen o konvenci, má to svou logiku).
14 Rekurzivně propojené posloupnosti Někdy dokážeme snadno vyjádřit hledaný počet jen pomocí více vzájemně provázaných posloupností. Příklad Kolika způsoby můžeme pokrýt (nerozlíšenými) kostkami domina obdélník 3 x n? Snadno zjistíme, že c\ = 0, c-i = 3, C3 = 0, dále klademe CQ = 1 (nejde jen o konvenci, má to svou logiku). Najdeme rekurzívní vztah - diskusí chování na kraji" zjistíme, že c n = 2r _i + c _2, r n = c _i + r _ 2, r 0 = 0,n = 1, kde r n je počet pokrytí obdélníku 3 x n, ze kterého jsme odstranili levý horní roh.
15 Řešení (pokr.) Hodnoty c n a r n pro několik malých n jsou: n C n r n _ 1) 56
16 Řešení (pokr.) Krok 1: c = 2r _i + c _ 2 + [n = 0], r n = u _i + r _ 2. S - =.= -OQ^O
17 a Krok 1: c n = 2r _i + c _ 2 + [n = 0], r n = u _i + r _ 2. Krok 2: C(x) = 2xR{x) + x 2 C(x) + 1, R{x) = xc(x) + x 2 /?(x). s - = -E -O^O
18 g - = Řešení (pokr.) a Krok 1: c n = 2r _ -i + c n -2 + [n = 0], 0? U n _i + r n _2- Krok 2: C(x) = 2x/?(x) + x 2 C(x) + l, /?(x) = xc(x) + x 2 /?(x). Krok 3: 1 1-x 2 { ' ~ i _- 4x 2 + x 4 ' /?(x) X 1-4x 2 + x 4 '
![Krok 1: c n = 2r _i + c _ 2 + [n = 0], r n = u _i + r _ 2. Krok 2: C(x) = 2x/?(x) + x 2 C(x) + 1, Krok 3: /?(x) = xc(x) + x 2 /?(x). C(X) = 1-4X 2 +X4' ^W = i.](/docs-images/99/142522395/images/19-0.jpg "4,2+,4- Krok 4: Vidíme, že obě funkce jsou funkcemi x 2, ušetříme si práci tím, že uvážíme funkci D(z) = 1/(1 4z + z 2 ), pak totiž C(x) = (l-x 2 )D(x 2 ), tj.")
19 Krok 1: c n = 2r _i + c _ 2 + [n = 0], r n = u _i + r _ 2. Krok 2: C(x) = 2x/?(x) + x 2 C(x) + 1, Krok 3: /?(x) = xc(x) + x 2 /?(x). C(X) = 1-4X 2 +X4' ^W = i.4,2+,4- Krok 4: Vidíme, že obě funkce jsou funkcemi x 2, ušetříme si práci tím, že uvážíme funkci D(z) = 1/(1 4z + z 2 ), pak totiž C(x) = (l-x 2 )D(x 2 ), tj. [x 2 "]C(x) = [x 2 "](l -x 2 )D(x 2 ) = [x"](l -x)d(x), a tedy Qn = d n d n -\.
20 s Řešení (závěr) Kořeny 1 4x + x 2 jsou 2 + \/3 a 2 \/3 a již standardním způsobem obdržíme = (2 + Všy (2 - Všy C2n 3-^3 3 + VŠ
21 Řešení (závěr) Kořeny 1 4x + x 2 jsou 2 + \/3 a 2 \/3 a již standardním způsobem obdržíme (2 + ^3)" (2-^3)" Qn = + ^3 3 + VŠ Podobně jako u Fibonacciho posloupnosti je druhý sčítanec pro velká n zanedbatelný a pro všechna n leží mezi 0 a 1, proto Qn (2 + ^3)" 3-\/3 Např. C20 =
22 s.an prednášky Exponenciální vytvořující funkce
23 S Exponenciální vytvořující funkce Někdy mívá vytvořující funkce posloupnosti (a n ) komplikované vlastnosti, přičemž posloupnost (a n /n\) má vytvořující funkci daleko jednodušší. V takových případech raději pracujeme s tzv. exponenciálními vytvořujícími funkcemi ^) = E^n>0 Jméno vychází z toho, že vytvořující funkcí základní posloupnosti (1,1,1,1,...) je e\
24 Někdy mívá vytvořující funkce posloupnosti (a n ) komplikované vlastnosti, přičemž posloupnost (a n /n\) má vytvořující funkci daleko jednodušší. V takových případech raději pracujeme s tzv. exponenciálními vytvořujícími funkcemi n>0 Jméno vychází z toho, že vytvořující funkcí základní posloupnosti (1,1,1,1,...) je e\ Zdůrazněme, že exponenciální vytvořující funkce se od obyčejných liší i standardními operacemi. n 3 - = -E -00*0
25 s Vynásobením x získame funkci posloupnosti (na n -i).
26 s Vynásobením x získáme funkci posloupnosti (na _i). Derivací získáme funkci odpovídající posunutí doleva.
27 s Vynásobením x získáme funkci posloupnosti (na _i). Derivací získáme funkci odpovídající posunutí doleva. Integrací získáme funkci odpovídající posunutí doprava.
28 s Vynásobením x získáme funkci posloupnosti (na _i). Derivací získáme funkci odpovídající posunutí doleva. Integrací získáme funkci odpovídající posunutí doprava. Součinem dvou funkcí F(x) a G(x) získáme funkci H(x), která odpovídá posloupnosti h n = J2k ( )fkgn-k, tzv. binomické konvoluci f n a g n.
29 s Vzhledem k rekurentnímu vztahu, který obsahuje binomickou konvoluci posloupností, se zdá vhodné využít exponenciálních vytvořujících funkcí. Označme G(x) příslušnou exponenciální mocninnou řadu. Budeme postupovat v obvyklých čtyřech krocích.
30 s Vzhledem k rekurentnímu vztahu, který obsahuje binomickou konvoluci posloupností, se zdá vhodné využít exponenciálních vytvořujících funkcí. Označme G(x) příslušnou exponenciální mocninnou řadu. Budeme postupovat v obvyklých čtyřech krocích. Krok 1: g n = -2ng n _ x + Y,k>o {k)skgn-k + [n = 1].
31 s Vzhledem k rekurentnímu vztahu, který obsahuje binomickou konvoluci posloupností, se zdá vhodné využít exponenciálních vytvořujících funkcí. Označme G(x) příslušnou exponenciální mocninnou řadu. Budeme postupovat v obvyklých čtyřech krocích. Krok 1: g n = -2ng n _ x + ^>o (kjskgn-k + [n Krok 2: G(x) = -2xG(x) + G(x) 2 +x. 1]
32 Řešení (pokr.) Krok 3: Řešením kvadratické rovnice dostaneme G(x) = 1/2(1 + 2x ± Vl + 4x 2 ). Dosazením x = odpovídá znaménko, proto je řešením funkce 0 vidíme, že G(x) = 1 + 2x - Vl + 4x2
33 Řešení (pokr.) Krok 3: Řešením kvadratické rovnice dostaneme G(x) = 1/2(1 + 2x ± Vl + 4x 2 ). Dosazení m x = 0 vidíme, že odpovídá znaménko, proto je řešením funkce ~, 1 + 2x - VI + 4x 2 G{x) =. Krok 4: Pomocí zobecněné binomické věty rozvineme G(x) do mocninné řady. S využitím vztahů
34 Řešení (pokr.) Krok 3: Řešením kvadratické rovnice dostaneme G(x) = 1/2(1 + 2x ± Vl + 4x 2 ). Dosazení m x = 0 vidíme, že odpovídá znaménko, proto je řešením funkce ~, 1 + 2x - VI + 4x 2 G{x) =. Krok 4: Pomocí zobecněné binomické věty rozvineme G(x) do mocninné řady. S využitím vztahů
35 Řešení (pokr.) Krok 3: Řešením kvadratické rovnice dostaneme G(x) = 1/2(1 + 2x ± Vl + 4x 2 ). Dosazení m x = 0 vidíme, že odpovídá znaménko, proto je řešením funkce G(x) 1 + 2x - Vl + 4x 2 Krok 4: Pomocí zobecněné binomické věty rozvineme G(x) do mocninné řady. S využitím vztahů -1/2 k 2/c k
36 Řešení (pokr.) Krok 3: Řešením kvadratické rovnice dostaneme G(x) = 1/2(1 + 2x ± Vl + 4x 2 ). Dosazení m x = 0 vidíme, že odpovídá znaménko, proto je řešením funkce G(x) 1 + 2x - Vl + 4x 2 Krok 4: Pomocí zobecněné binomické věty rozvineme G(x) do mocninné řady. S využitím vztahů -1/2 k 2/c k postupně dostaneme 1/2 k 1 2T -1/2 k-1
37 Řešení (pokr.) Krok 3: Řešením kvadratické rovnice dostaneme G(x) = 1/2(1 + 2x ± Vl + 4x 2 ). Dosazení m x = 0 vidíme, že odpovídá znaménko, proto je řešením funkce G(x) 1 + 2x - Vl + 4x 2 Krok 4: Pomocí zobecněné binomické věty rozvineme G(x) do mocninné řady. S využitím vztahů -1/2 k 2/c k postupně dostaneme 1/2 k 1 2T -1/2 k-1
38 Řešení (dokončení)
39 Řešení (dokončení) k>l v 7 x 2k. Odtud, protože E ^ = w n> x - Vl + 4x2 máme g 2 k+i = 0
40 Řešení (dokončení) k>l v 7 x 2k. Odtud, protože E ^ = w n> x - Vl + 4x2 máme g2k+i = 0 a ^=(-D'-Kl'iVw
41 Řešení (dokončení) k>l v 7 x 2k. Odtud, protože E ^ = w n> x - Vl + 4x2 máme g2fc+i = 0 a ^2/c = (-l) k K^lf) ' (2^)! = ("I)" ' (2/c)! C k _i, kde C n je n-té Catalanovo číslo.
42 Připomeňme, že jsme již dříve dokázali, že počet stromů na n vrcholech je n{k n ) = n n ~ 2. Dokážeme tento výsledek ještě jednou pomocí exponenciálních vytvořujících funkcí. Označme pro jednoduchost t n = n{k n ). Již dříve jsme viděli, že ři = Í2 = 1, Í3 = 3. Lze rovněž snadno spočítat U = 16.
43 Připomeňme, že jsme již dříve dokázali, že počet stromů na n vrcholech je n{k n ) = n n ~ 2. Dokážeme tento výsledek ještě jednou pomocí exponenciálních vytvořujících funkcí. Označme pro jednoduchost t n = n{k n ). Již dříve jsme viděli, že ři = Í2 = 1, Í3 = 3. Lze rovněž snadno spočítat U = 16. Rekurentní vztah získáme tak, že zafixujeme jeden vrchol v a možné případy rozdělíme podle počtu komponent v grafu, který dostaneme z koster K n tak, že odstraníme vrchol v a hrany s ním incidentní.
44 Cayleyho formule Připomeňme, že jsme již dříve dokázali, že počet stromů na n vrcholech je n{k n ) = n n ~ 2. Dokážeme tento výsledek ještě jednou pomocí exponenciálních vytvořujících funkcí. Označme pro jednoduchost t n = n{k n ). Již dříve jsme viděli, že ři = Í2 = 1, Í3 = 3. Lze rovněž snadno spočítat U = 16. Rekurentní vztah získáme tak, že zafixujeme jeden vrchol v a možné případy rozdělíme podle počtu komponent v grafu, který dostaneme z koster K n tak, že odstraníme vrchol v a hrany s ním incidentní. Pak pro n > 1 " - E mi E m>0 ki-\ \-k m=n-l k\,..., k n k\ k m ř fcl tk n
45 Cayleyho formule Připomeňme, že jsme již dříve dokázali, že počet stromů na n vrcholech je n{k n ) = n n ~ 2. Dokážeme tento výsledek ještě jednou pomocí exponenciálních vytvořujících funkcí. Označme pro jednoduchost t n = n{k n ). Již dříve jsme viděli, že ři = Í2 = 1, Í3 = 3. Lze rovněž snadno spočítat U = 16. Rekurentní vztah získáme tak, že zafixujeme jeden vrchol v a možné případy rozdělíme podle počtu komponent v grafu, který dostaneme z koster K n tak, že odstraníme vrchol v a hrany s ním incidentní. Pak pro n > 1 m>0 k 1 +-+k m =n-l =n-l \ " i» "»"'"/ ' V Ll m/ Např. pro n = 4 máme U = 3ř3 + 6řiř2 + ř?
46 g - = Ošklivě vypadající rekurenci zjednodušíme substitucí u n = nt n. Dostáváme pro n > 1 u n _ ^-^ 1 ^-^ m>0 ki-\ \-k m =n-l Uki ki\ a je vidět, že vnitřní sumu dostaneme jako koeficient u x" m-té mocnině řady U{x) = J2 u n^\- 1 v
47 g - = Ošklivě vypadající rekurenci zjednodušíme substitucí u n = nt n. Dostáváme pro n > 1 u n _ ^-^ 1 ^-^ ^q ki\'k m \ m>0 ki-\ \-k m =n-l U km a je vidět, že vnitřní sumu dostaneme jako koeficient u x" m-té mocnině řady U{x) = J2 u n^\- Proto je a tedy ÍH^E^M" m>0 1 v U{x) = e x U (x)
48 s - =. -o<\(y Pro dokončení výpočtu budeme potřebovat tvzení, které uvedeme bez důkazu. Definice Zobecněnou exponenciální mocninnou řadou t{x) nazýváme řadu Stix) = J>/c + I)*" 1 k\ k>0
49 Pro dokončení výpočtu budeme potřebovat tvzení, které uvedeme bez důkazu. Definice Zobecněnou exponenciální mocninnou řadou t{x) nazýváme řadu Stix) = J>/c + I)*" 1 k\ k>0 Snadno je vidět, že Q = e x, dále označujeme {x) = \{x). n S - = -E -00*0
50 Pro dokončeni výpočtu budeme potřebovat tvzení, které uvedeme bez důkazu. Definice Zobecněnou exponenciální mocninnou řadou t{x) nazýváme řadu e t { x ) = Y,{tk + i) k - lx k\' k>0 Snadno je vidět, že Q = e x, dále označujeme {x) = Fakt: ln t (x) = x t (x), tj. spec. (x) = e x W. Srovnáním tohoto vztahu s výše uvedeným U(x) = e xu^ že U{x)=x {x). \{x). vidíme,
51 Pro dokončeni výpočtu budeme potřebovat tvzení, které uvedeme bez důkazu. Definice Zobecněnou exponenciální mocninnou řadou t{x) nazýváme řadu Stix) = J>/c + I)*" 1 k\ k>0 Snadno je vidět, že Q = e x, dále označujeme {x) = Fakt: \n t {x) = x t (x), tj. spec. (x) = e x W. Srovnáním tohoto vztahu s výše uvedeným U(x) = e xu^ že U{x)=x {x). Proto \{x). Un n\ tn = f = -[x n ]U(x) = {n- l)\[x n - l \S{x) = n n-2 vidíme,
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Symetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
Funkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
a a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
Logaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vytvořující funkce. Zuzka Safernová
Vytvořující funkce Zuzka Safernová Definice Nechť(a 0 a a 2 jeposloupnostreálnýchčíselpotomvytvořující funkcí posloupnosti rozumíme mocninnou řadu a(x= a i x i = a 0 + a x+a 2 x 2 + Operace s posloupnostmi
Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
diferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
Numerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu
0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce
5 Časové řady. Definice 16 Posloupnost náhodných veličin {X t, t T } nazveme slabě stacionární, pokud
5 Časové řady Časovou řadou rozumíme posloupnost reálných náhodných veličin X 1,..., X n, přičemž indexy t = 1,..., n interpretujeme jako časové okamžiky. Někdy však uvažujeme i nekonečné posloupnosti
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
2016 Česká republika ŽENY (aktuální k )
2016 Česká republika ŽENY (aktuální k 27. 11. 2017) věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002462 0.997538 100 000.00 246.23 99787 8205207 82.05 100 000.00 243.07 5 066 877.57 34 975.90 176 922
Česká republika - ŽENY
2012 Česká republika - ŽENY věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002338 0.997662 100000 234 99804 8088058 80.88 100 000.00 229.43 4 164 194.04 22 355.11 130 483 842.84 1 731 180.86 1 0.000144
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně
MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 7 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: 3 + 12 + 27 = n. 1 bod 2 Doplňte
Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2016/17 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 6/7 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
Globální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,
Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
Základy teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky
Limita ve vlastním bodě
Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................