Naivní teorie množin. Naivní pojem množiny Funkce jako nálepkovací schéma Konečnost, nekonečnost Spočetnost, nespočetnost

Transkript

1 Naivní teorie množin Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 1/16

2 Definice Množinou A rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v naší mysli. Těmto objektům říkáme prvky množiny A. aa Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Obvyklé značení 1 x A (x je prvkem A) 2 x / A (x není prvkem A) 3 A B (A je podmožinou B, pro každé x A platí x B) 4 A B (průnik A a B, x A B iff x A a současně x B) 5 A B (sjednocení A a B, x A B iff x A nebo x B) 6 exp(a) (potence množiny A, M exp(a) iff M A) 7 Atd. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 2/16

3 Pricip extensionality A = B iff A B a současně B A Russellův paradox Množina všech množin neexistuje. Důsledek není konsistentní. Východisko Axiomatická teorie množin: Gödel-Bernays, Zermelo-Fraenkel, non-well-founded set theory,... Nestudujeme teorii množin budeme používat naivní teorii. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 3/16

4 Definice f je funkce z množiny A do množiny B, a pokud platí f A B a současně pro každé x A existuje právě jedno y B tak, že (x, y) f. Toto jednoznačně určené y značíme f (x). Funkci značíme f : A B. a Slova funkce a zobrazení jsou synonyma. Příklad funkce (teorie integrálu) 1 b, jestliže x = a b je racionální číslo a a a b jsou nesoudělná celá čísla f (x) = 0, jestliže x je iracionální Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 4/16

5 Příklady a značení 1 Funkce id A : A A, a a, pro každé a A. Říkáme jí identita na množině A. 2 Prázdná funkce :. 3 Pro f : A B, g : B C je g f : A C (složená funkce), kde g f (a) = g(f (a)). Vlastnosti skládání 1 Asociativita skládání: platí h (g f ) = (h g) f, a to pro všechna f : A B, g : B C, h : C D. 2 Neutralita identit: platí id B f = f = f id A. Vlastnosti plynou z pohledu na funkci jako na deterministický výpočet. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 5/16

6 Definice Řekneme, že funkce f : A B je: 1 injektivní (také se říká injekce nebo prostá funkce), když platí: jestliže f (x) = f (x ), potom x = x, a to pro všechna x, x z množiny A. 2 surjektivní (také se říká surjekce nebo funkce na), když platí: pro každé y z množiny B existuje x z množiny A tak, že platí y = f (x). 3 bijektivní (také se říká bijekce), když f je surjektivní a injektivní současně. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 6/16

7 Platí: 1 Identita na množině A je bijekce. 2 Prázdná funkce : je bijekce. 3 Složení injekcí je injekce. 4 Složení surjekcí je surjekce. 5 Složení bijekcí je bijekce. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 7/16

8 Definice Ať A a B jsou dvě množiny. Řekneme, že 1 množiny A a B mají stejnou mohutnost (také se říká stejnou kardinalitu), když existuje bijekce f : A B. Značíme carda = cardb. 2 množina A má nanejvýš stejnou mohutnost jako množina B, když existuje injekce f : A B. Značíme carda cardb. 3 množina A má menší mohutnost než množina B, když platí carda cardb a neplatí carda = cardb. Tento fakt značíme carda < cardb. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 8/16

9 Příklady 1 card{u, w, F, m} = card{z, n, k, s}. 2 cardn = cardz. 3 card( π 2, π 2 ) = cardr. 4 cardn < cardr. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 9/16

10 Platí: Ať A, B a C jsou jakékoli množiny. Pak: 1 carda = carda. 2 Jestliže carda = cardb, pak cardb = carda. 3 Jestliže carda = cardb a současně cardb = cardc, pak carda = cardc. 1 carda carda. 2 Jestliže carda cardb a současně cardb cardc, pak carda cardc. 3 Jestliže carda cardb a současně cardb carda, pak carda = cardb. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 10/16

11 Cantorova věta Ať A je jakákoli množina. Označme B = expa. Potom platí carda < cardb. Důkaz. Viz skripta a přednáška. Bude vyžadován u zkoušky. Důsledek Škála mohutností není omezena! Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 11/16

12 Definice Řekneme, že množina A je 1 konečná, když je buď prázdná nebo existuje kladné přirozené číslo n tak, že carda = card{1,..., n}. 2 nekonečná, když není konečná. Důsledek Každá množina je buď konečná nebo nekonečná! Příklady 1 {a, w, x, U} je konečná. 2 N je nekonečná. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 12/16

13 Definice Řekneme, že množina A je 1 spočetná, když platí carda = cardn. 2 nespočetná, když je nekonečná a není spočetná. Důsledek Každá nekonečná množina je buď spočetná nebo nespočetná! Příklady 1 Z je spočetná. 2 expn je nespočetná (Cantorova věta). 3 R je nespočetná (netriviální). Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 13/16

14 Definice Stream znaků 0 a 1 je nekonečná posloupnost znaků 0 a 1. Množinu všech streams znaků 0 a 1 značíme {0, 1} ω. Cantorův diagonální trik Množina {0, 1} ω je nespočetná. Důkaz. Viz skripta a přednáška. Bude vyžadován u zkoušky. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 14/16

15 Definice Slovo nad konečnou abecedou Σ je konečná posloupnost znaků ze Σ. Množinu všech slov nad Σ značíme Σ. Mohutnost množiny formálních jazyků Ať Σ je konečná abeceda. Pak platí: 1 Σ je spočetná množina. 2 expσ je nespočetná množina. Důkaz. Viz skripta a přednáška. Bude vyžadován u zkoušky. Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 15/16

16 Další fakta viz 1 skripta na 2 M. Demlová a B. Pondělíček, Matematická logika, skriptum FEL ČVUT, Praha, 1997 Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 16/16