Matematická analýza III.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematická analýza III."

Transkript

1 4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010

2 Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi. Co bychom měli znát metody řešení soustav rovnic lokální extrémy funkcí jedné proměnné parciální derivace funkce dané implicitně Klíčová slova kapitoly lokální extrémy, kvadratická forma, Lagrangeův multiplikátor, Taylorův polynom

3 Definice extrémů Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Definice 1 Mějme funkci f dvou proměnných. Říkáme, že v bodě p D(f ) má funkce f lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu p takové, že f (p) je maximální (resp. minimální) hodnota f na U D(f ). Funkce f má v p lokální extrém, jestliže má v p lokální maximum nebo lokální minimum. Nahradíme-li v definici lokálních extrémů slovo maximální slovem největší (resp. slovo minimální slovem nejmenší), dostáváme definici ostrých lokálních extrémů.

4 Kritické body Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.1 (Existence extrémů) Funkce f definovaná na množině A může mít lokální extrém pouze v následujících bodech: 1 v hraničním bodě A, patří-li do definičního oboru; 2 ve vnitřním bodě A, ve kterém f nemá některou z parciálních derivací 1.řádu; 3 ve vnitřním bodě A, kde má f všechny parciální derivace 1.řádu rovny 0. Definice 2 Body popsané v předchozí větě se nazývají kritické body (pro lokální extrémy).

5 Určení extrémů Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.2 (Nutná podmínka) Necht v otevřené množině G má funkce f všechny parciální derivace 1.řádu. Má-li f v bodě p G lokální extrém, jsou v tomto bodě všechny parciální derivace 1.řádu (i směrové) rovny 0, tj. grad f (p) = 0. Důkaz Naopak ale tato věta neplatí! Například funkce f (x, y) = x 3 má v bodě (0, 0) obě parciální derivace rovny 0, ale v tomto bodě lokální extrém nemá. Naopak parciální derivace funkce g(x, y) = x + y v bodě (0, 0) neexistují, a přesto má funkce v tomto bodě lokální extrém. Zdůvodnění

6 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.3 (Postačující podmínky) Necht má funkce f (x, y) spojité parciální derivace 2.řádu v otevřené množině G a pro p G je f f x (p) = y (p) = 0. Označme F(h, k) kvadratickou formu h 2 f xx (p) + 2hk f xy (p) + k 2 f yy (p). 1 Je-li F pozitivně definitní, nabývá f v p ostré lokální minimum. 2 Je-li F negativně definitní, nabývá f v p ostré lokální maximum. 3 Je-li F indefinitní, nenabývá f v p lokální extrém. 4 Je-li F semidefinitní, nelze o lokálním extrému f v p pomocí F rozhodnout. Více o kvadratických formách naleznete v Doplňcích.

7 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Tato věta umožňuje určit definitnost kvadratické formy přímo podle parciálních derivací druhého řádu. Věta 2.4 (Rozeznání definitnosti forem) Kvadratická forma F z předchozí věty je 1 pozitivně definitní právě když f xx (p) > 0 a f xx (p) f yy (p) > f 2 xy(p); 2 negativně definitní právě když f xx (p) < 0 a f xx (p) f yy (p) > f 2 xy(p); 3 indefinitní právě když f xx (p) f yy (p) < f 2 xy(p); 4 semidefinitní právě když f xx (p) f yy (p) = f 2 xy(p); Důkaz

8 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Následující věta udává postačující podmínky pro existenci ostrých extrémů dané funkce. Věta 2.5 (Postačující podmínky pro ostré extrémy) Necht má funkce f (x, y) spojité parciální derivace 2.řádu v otevřené množině G a pro p G je grad f (p) = 0. Jestliže f xx (p) f yy (p) > f 2 xy(p), pak f má v bodě p ostrý lokální extrém (maximum pro f xx (p) < 0, minimum pro f xx (p) > 0). Důkaz

9 Vázané extrémy Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Vázanými extrémy rozumíme největší a nejmenší hodnoty reálné funkce na dané množině (tj. tato množina je tedy vazbou). Předpokládejme, že f je funkce dvou proměnných definovaná na kompaktní množině M, přičemž f je na M spojitá. Potom f na množině M nabývá svého maxima i minima. Hledáme tedy podezřelé body, v nichž funkce f může těchto extrémů nabývat. Podezřelé body jsou dvojího druhu: 1 body z vnitřku množiny M, jsou to kritické body, nebo body, v nichž některá parciální derivace neexistuje 2 body z hranice množiny M, v nichž může být extrém vzhledem k hranici nebo její části Právě hledání podezřelých bodů z hranice množiny M bude předmětem vět v této kapitole.

10 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Extrémy na parametrických křivkách Následující věta hovoří o hledání extrémů na hranici (množiny), která je dána parametricky. Věta 2.6 (Extrémy funkcí na křivkách) Necht A je grafem parametricky zadané křivky x = ϕ(t), y = ψ(t), t J. Pak extrémy funkce f definované na A jsou extrémy funkce f (ϕ(t), ψ(t)), t J. Všimněte si, že tato věta převede původní úlohu na hledání extrémů funkce jedné proměnné.

11 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Metoda Lagrangeových multiplikátorů V případě, že hranice množiny je dána implicitně, není vždy možné vyjádřit z její rovnice neznámou y a dosadit ji do funkce f (x, y). Pro tyto případy se využívá tzv. metoda Lagrangeových multiplikátorů. Věta 2.7 (Extrémy na implicitních křivkách) Necht A je grafem implicitně zadané křivky g(x, y) = 0, funkce f je definována na nějaké otevřené množině U obsahující A a platí: 1 f, g mají spojité parciální derivace prvního řádu na U; 2 pro každý bod (x, y) A je bud g g x (x, y) 0 nebo y (x, y) 0. Má-li f v bodě p A lokální extrém, pak existuje reálné číslo λ tak, že (f + λg) (p) = 0, x (f + λg) (p) = 0, g(p) = 0. y

12 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Definice 3 (Lagrangeovy multiplikátory) Za předpokladů předchozí věty se funkce F (x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) nazývá Lagrangeova funkce a parametr λ Lagrangeův multiplikátor. Podrobné vysvětlení a porovnání obou zmíněných metod naleznete v úloze 2.

13 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Protože derivace podle třetí proměnné funkce F(x, y, λ) v příslušné kvadratické formě vypadnou, dostaneme následující postačující podmínky: Věta 2.8 (Postačující podmínky) Za předpokladů předchozí věty označíme H(h, k) = h 2 F xx (p) + 2hk F xy (p) + k 2 F yy (p). V kvadratické formě H nahradíme h nebo k druhou proměnnou z rovnice h g g x (p) + k y (p) = 0 a dostaneme kvadratickou formu H(t) = at 2 jedné proměnné. 1 Je-li a > 0, nabývá f v p ostré lokální minimum. 2 Je-li a < 0, nabývá f v p ostré lokální maximum. 3 Je-li a = 0, nelze o lokálním extrému f v p pomocí H rozhodnout.

14 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Necht např. g gx (p) y (p) 0. Potom k = h g y (p). Kvadratická forma H bude ve tvaru H(h) = h 2 f xx (p) 2h 2 f xy (p) g x(p) g y (p) + h2 f yy (p) g2 x (p) gy 2 (p) = ( = f xx (p) 2f xy (p) g ) x(p) g y (p) + f yy(p) g2 x (p) gy 2 h 2. (p) Koeficient a z předchozí věty se tedy rovná f xx (p) 2f xy (p) g x(p) g y (p) + f yy(p) g2 x (p) g 2 y (p).

15 Extrémy na plochách Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Budeme předpokládat, že všechny parciální derivace 1.řádu používaných funkcí existují a jsou spojité. Hledáme-li extrémy funkce tří proměnných f (x, y, z) na množině A určené rovnicí g(x, y, z) = 0, hledají se extrémy funkce F(x, y, z, λ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z). Předpokladem je nenulovost alespoň jedné z derivací g x, g y, g z v každém bodě A (tj. hodnost 1 matice grad g v každém bodě A).

16 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, je rovnost grad F(p) = 0. Postačující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H dvou proměnných, která vznikne z kvadratické formy tří proměnných ( H(h, k, l) = h F x dosazením za jednu proměnnou z rovnice h g x ) 2 F F (p) + k (p) + l y z (p) g g (p) + k (p) + l y z (p) = 0.

17 Extrémy na křivkách v prostoru Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Hledáme-li extrémy funkce tří proměnných f (x, y, z) na množině A určené rovnicemi g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0, hledají se extrémy funkce F(x, y, z, λ, µ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z). Předpokladem je hodnost 2 matice s řádky grad g, grad h v každém bodě A.

18 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, je rovnost grad F(p) = 0. Postačující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H jedné proměnné, která vznikne z kvadratické formy tří proměnných ( ) 2 H(h, k, l) = h F F F x (p) + k y (p) + l z (p) dosazením za dvě proměnné z rovnic h g x h h x g g (p) + k (p) + l y z (p) = 0, h h (p) + k (p) + l y z (p) = 0.

19 Taylorův polynom Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.9 (Rozvoj funkce v polynom) Má-li f spojité parciální derivace až do řádu n + 1 v intervalu J okolo bodu (a, b), pak pro (a + h, b + k) J platí f (a + h, b + k) = n (h x + k y )j f (a, b) + j! j=0 + (h x + k y )n+1 f (c, d) (n + 1)!, kde ( h x + k ) j f (a, b) = y j i=0 ( ) j h i k j i i j f x i (a, b). y j i

20 Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Definice 4 Polynom proměnných h, k na pravé straně se nazývá Taylorův polynom funkce f v bodě (a, b) řádu n, poslední člen na pravé straně se nazývá zbytek.

21 Úvod Úloha 1 Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Řešení Úloha 2 Určete vázané lokální extrémy funkce f (x, y) = x 2 + 3y 2 při vazbě x 2y + 7 = 0. Řešení Úloha 3 Rozložte číslo 64 na tři činitele tak, aby jejich součet byl co nejmenší. Řešení

22 Úvod 1 : Jarník Diferenciální počet (II), kap. X. Kopáček Matematická analýza pro fyziky (II), kap Úlohy: Děmidovič Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, kap. VI. Kopáček Příklady z matematiky pro fyziky (II), kap. 3. Pelikán, Zdráhal Matematická analýza funkce více proměnných, cvičení III., kap. 10

23 Kvadratické formy Úvod Definice 5 Je-li A symetrická matice typu n n, pak funkci F : R n R, definovanou předpisem F(h) = n a ij h i h j i,j=1 nazveme kvadratickou formou s maticí A. (Značíme h = (h 1, h 2,... h n ).) Pro účely výpočtů lokálních extrémů budeme využívat kvadratickou formu druhého diferenciálu funkce f v bodě p, tj. matice A bude rovna: ( ) ( ) a11 a A = 12 fxx (p) f = xy (p) a 21 a 22 f yx (p) f yy (p)

24 Dosadíme-li do výrazu v definici kvadratické formy, dostaneme: F (h) = 2 a ij h i h j = f xx (p)h 1 h 1 + f xy (p)h 1 h 2 + f yx (p)h 2 h 1 + f yy (p)h 2 h 2 = i,j=1 = f xx (p)h f xy (p)h 1 h 2 + f yx (p)h 2 h 1 + f yy (p)h 2 2 Protože f má spojité parciální derivace 2. řádu, platí f xy (p) = f yx (p). Tedy F (h) = f xx (p)h f xy (p)h 1 h 2 + f yy (p)h 2 2. Protože h = (h 1, h 2 ), můžeme napsat F(h 1, h 2 ) = f xx (p)h f xy (p)h 1 h 2 + f yy (p)h 2 2. V tomto tvaru budeme kvadratickou formu dále využívat.

25 Vlastnosti kvadratických forem Definice 6 Kvadratická forma se nazývá pozitivně definitní, platí-li pro každou dvojici h, k, kde (h, k) (0, 0), F(h, k) > 0. Kvadratická forma se nazývá negativně definitní, platí-li pro každou dvojici h, k, kde (h, k) (0, 0), F(h, k) < 0. Kvadratická forma se nazývá pozitivně semidefinitní, platí-li pro každou dvojici h, k, F(h, k) 0 a v nějakém nenulovém bodě je F (h, k) = 0. Kvadratická forma se nazývá negativně semidefinitní, platí-li pro každou dvojici h, k, F(h, k) 0 a v nějakém nenulovém bodě je F (h, k) = 0. Kvadratická forma se nazývá indefinitní, jestliže nabývá jak záporných, tak kladných hodnot. zpět

26 Důkaz věty 2.2 Úvod Pro funkce jedné proměnné platí následující věta: Jesliže má funkce g v bodě c lokální extrém, pak g (c) = 0. Protože f x i (p) je dle definice rovna derivaci funkce jedné proměnné f (p 1,..., p i 1, x i, p i+1,..., p n ) v bodě p i, vztahuje se na ni uvedená věta, a tedy je f x i (p) = 0. zpět

27 Důkaz věty 2.4 Úvod Vyjdeme z kvadratické formy F (h, k) = f xx (p)h 2 + 2f xy (p)hk + f yy (p)k 2. Předpokládejme, že k 0. Vytknutím k 2 upravíme kvadratickou formu do tvaru ( ) ) 2 h F (h, k) = k (f 2 xx (p) + 2f h xy(p) k k + f yy(p). Pro zpřehlednění výpočtů položíme f xx (p) = a, f xy (p) = b, f yy (p) = c a h k = x. Kvadratická forma tedy bude mít tvar F (h, k) = k 2 (ax 2 + 2bx + c).

28 1 Aby kvadratická forma byla pozitivně definitní, musí platit F(h, k) > 0 pro všechna x, neboli k 2 (ax 2 + 2bx + c) > 0. To nastane, pokud diskriminant kvadratické rovnice ax 2 + 2bx + c = 0 bude menší než 0 a zároveň a > 0 (parabola bude ležet celá nad osou x ). Platí tedy, že D = 4b 2 4ac < 0, tj. b 2 < ac. Z toho plyne Protože a > 0, je i f xx (p) > 0. f xx (p) f yy (p) > (f xy (p)) 2 Za těchto podmínek je kvadratická forma pozitivně definitní i pro k = 0, nebot nabývá tvaru F(h, k) = h 2 f xx (p) (a f xx (p) > 0).

29 2 Důkaz negativní definitnosti kvadratické formy je analogický s předchozím, opět musí platit D = 4b 2 4ac < 0, ale tentokrát a < 0 (parabola bude ležet celá pod osou x ). Dostáváme tedy podmínky f xx (p) f yy (p) > (f xy (p)) 2 a f xx (p) < 0. 3 Aby kvadratická forma byla indefinitní, musí mít rovnice k 2 (ax 2 + 2bx + c) = 0 dvě řešení, tj. D = 4b 2 4ac > 0, neboli b 2 > ac. Z toho vyplývá podmínka f xx (p) f yy (p) < (f xy (p)) 2. 4 Kvadratická forma semidefinitní, jestliže je bud f (h, k) > 0 a pro nějaký nenulový bod (u, v) je f (u, v) = 0 nebo f (h, k) < 0 a f (u, v) = 0. Platí tedy D = 4b 2 4ac = 0, tj. b 2 = ac. Z toho plyne podmínka f xx (p) f yy (p) = (f xy (p)) 2. zpět

30 Důkaz věty 2.5 Úvod Věta je důsledkem vět 2.3 a 2.4. zpět

31 Zdůvodnění Úvod Parciální derivace funkce f v bodě (0, 0) jsou rovny nule: f x = 3x 2 f, a tedy (0, 0) = 0 x f y = 0, a tedy f (0, 0) = 0 x Z obrázku je ale zřejmé, že funkce f v bodě (0, 0) lokální extrém nemá.

32 Při výpočtu parciálních derivací funkce g v bodě (0, 0) budeme postupovat podle definice: g g(0 + h, 0) g(0, 0) h h (0, 0) = lim = lim = lim x h 0 h h 0 h h 0 h Tato limita neexistuje, nebot pro h 0 + je rovna 1 a pro h 0 je rovna 1. Analogicky pro g y. Přesto má funkce g v bodě (0, 0) minimum (viz obrázek).

33 funkce f funkce g Zpět

34 Řešení úlohy 1 Úvod Nejprve určíme parciální derivace funkce f podle obou proměnných: f x = 3x 2 3y f y = 3y 2 3x Nalezneme kritické body, tj. položíme obě parciální derivace rovny 0 a řešíme soustavu rovnic 3x 2 3y = 0 3y 2 3x = 0. Tato soustava má dvě řešení, body A(0, 0) a B(1, 1).

35 Pro zjištění, zda je v A a B lokální extrém, určíme ještě parciální derivace 2. řádu v bodech A a B. 2 f x 2 = 6x 2 f x y = 3 2 f y 2 = 6y 2 f x 2 (A) = 0 2 f x 2 (B) = 6 2 f (A) = 3 x y 2 f (B) = 3 x y 2 f y 2 (A) = 0 2 f y 2 (B) = 6

36 Kvadratická forma v bodě A bude ve tvaru: F (h, k)(a) = h 2 f xx (A) + 2hk f xy (A) + k 2 f yy (A) = = h hk ( 3) + k 2 0 = = 6hk Kvadratická forma v bodě A je indefinitní, nebot pro různá h, k může nabývat jak kladných, tak i záporných hodnot. Funkce f tedy nemá v bodě A lokální extrém (bod A je sedlovým bodem).

37 Analogicky určíme kvadratickou formu v bodě B: F(h, k)(b) = h 2 f xx (B) + 2hk f xy (B) + k 2 f yy (B) = = h hk ( 3) + k 2 6 = = 6h 2 6hk + 6k 2 = = 3h 2 + 3k 2 + 3h 2 6hk + 3k 2 = = 3h 2 + 3k 2 + 3(h 2 2hk + k 2 ) = = 3h 2 + 3k 2 + 3(h k) 2 Kvadratická forma v bodě B je pozitivně definitní, nebot pro libovolná h, k, kde (h, k) (0, 0), nabývá pouze kladných hodnot. Funkce f má tedy v bodě B lokální minimum.

38 Graf funkce f vypadá takto (je znázorněn ze dvou pohledů): zpět

39 Řešení úlohy 2 Úvod Uvědomte si, že množinou, na níž hledáme extrémy, je pouze křivka (v našem případě jde dokonce o přímku). Při řešení této úlohy můžeme postupovat dvěma způsoby. Ukážeme oba. 1 Tento postup se opírá o větu 2.6 (extrémy na parametrických křivkách). Z rovnice vazby vyjádříme x, tj. x = 2y 7 a dosadíme do předpisu funkce f (x, y). Dostaneme funkci g jedné proměnné y: g(y) = (2y 7) 2 + 3y 2 = 7y 2 28y Hledáme tedy extrémy funkce jedné proměnné g(y) pro y R. Využijeme např. diferenciálního počtu.

40 Derivace funkce g je rovna g (y) = 14y 28. Položíme g (y) = 0, tj. 14y 28 = 0, odkud plyne, že bod y = 2 je kritickým bodem. Protože g (y) = 14, a tedy g (2) = 14 > 0, má funkce g v bodě y = 2 minimum. Z rovnice vazby pak plyne, že x = = 3 Tudíž při dané vazbě má funkce f vázané lokální minimum v bodě ( 3, 2). Poznámka: Při určování extrémů funkce g se obejdeme i bez diferenciálního počtu. Stačí si uvědomit, že grafem funkce g je parabola, která má minimum (nebot koeficient u y 2 je větší než 0). Souřadnice bodu, v němž je minimum, určíme snadno úpravou na čtverec 7y 2 28y + 49 = 7[(y 2 4y + 4) + 3] = 7(y 2) Minimum je pak v bodě y = 2.

41 2 Napodruhé budeme tuto úlohu řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů, tj. v souladu s větou 2.7. Předpoklady této věty jsou splněny, nebot derivace obou funkcí jsou spojité na R 2 a pro každý bod (x, y) A je g y = 2 0. Má-li f v bodě p A lokální extrém, pak existuje reálné číslo λ tak, že (f + λg) (p) = 0, x (f + λg) (p) = 0, g(p) = 0. y Hledáme tedy bod p = (x, y) A a λ tak, aby platily předchozí podmínky.

42 Lagrangeova funkce má tvar F(x, y, λ) = x 2 + 3y 2 + λ(x 2y + 7) Parciální derivace funkce F jsou rovny: F x = 2x + λ F = 6y 2λ y Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých x, y a λ: 2x + λ = 0 6y 2λ = 0 x 2y + 7 = 0

43 Vyjádříme-li z prvních dvou rovnic x, resp. y a dosadíme-li do třetí rovnice, má soustava řešení λ = 6, x = 3 a y = 2. Bod p podezřelý z extrému má tedy souřadnice ( 3, 2). To, zda je v p lokální extrém, můžeme zjistit např. metodou kvadratických forem. Protože 2 f x 2 (p) = 2 2 f x y (p) = 0 2 f (p) = 6, y 2 kvadratická forma v bodě p má tvar H(h, k) = 2h 2 + 6k 2, je tedy pozitivně definitní a v bodě p = ( 3, 2) nabývá funkce f při dané vazbě lokální minimum.

44 Obrázek znázorňuje geometrickou interpretaci výpočtů hledáme extrémy na parabole, která vznikla jako řez funkce f (paraboloidu) rovinou kolmou na rovinu xy a obsahující přímku x 2y + 7 = 0. zpět

45 Řešení úlohy 3 Úvod Označíme a, b, c jednotlivé činitele, na něž máme rozložit číslo 64. Součet a + b + c označíme S. Protože součet S má být co nejmenší, hledáme minimum funkce S = a + b + c při vazbě a b c = 64. Opět budeme postupovat dvěma způsoby. 1 Budeme postupovat podle věty 2.6. Z rovnice vazby vyjádříme např. neznámou c c = 64 ab (a, b 0) a dosadíme ji do předpisu funkce. Dostaneme S = a + b + 64 ab, jde tedy o funkci dvou proměnných.

46 Parciální derivace funkce S jsou rovny S a = b ( 1) 1 a 2 = 1 64 a 2 b S b = 1 64 ab 2 Pro určení kritických bodů položíme obě parciální derivace rovny nule a po úpravách dojdeme k soustavě rovnic 64 = a 2 b 64 = ab 2 Z první rovnice vyjádříme např. b ( ) b = 64 b a dosadíme do druhé. 2 Po úpravách dostaneme ( ) = a a 2 a 3 = 64 a = 4.

47 Protože a = 4, plyne z poslední soustavy, že i b = 4. Kritickým bodem je tedy bod (a, b) = (4, 4). Ověříme, zda je v tomto bodě lokální minimum. Parciální derivace druhého řádu jsou rovny: 2 S a 2 = 128 a 3 b 2 S a b = 64 a 2 b 2 2 S b 2 = 128 ab 3 Příslušné funkční hodnoty v bodě (4, 4) jsou 2 S a 2 (4, 4) = S a b (4, 4) = S b 2 (4, 4) = 1 2

48 Při určení, zda je v bodě (4, 4) lokální minimum, se opřeme o větu 2.5. Funkce S má v rovině kromě os x a y spojité parciální derivace druhého řádu (dle předpokladu je a, b 0) a navíc pro ně platí S aa (4, 4) S bb (4, 4) > S 2 ab(4, 4), nebot > ( 1 4) 2. Předpoklady věty jsou splněny a funkce S má tedy v bodě [4, 4] ostrý lokální extrém. Protože je jde o ostré lokální minimum. S aa (4, 4) = 1 2 > 0, Rozklad čísla 64 na tři činitele má tedy nejmenší součet pro a = b = c = 4.

49 2 Podruhé budeme tuto úlohu řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů, tj. budeme se opírat o větu 2.7. Rovnici vazby převedeme do implicitního tvaru, tj. a b c 64 = 0. Předpoklady věty jsou splněny, nebot derivace obou funkcí jsou spojité na R 3 a pro každý bod (a, b, c) A je g c = ab 0, protože rozklad nemůže obsahovat nulu.

50 Lagrangeova funkce má tvar F (a, b, c, λ) = a + b + c + λ(abc 64) Parciální derivace funkce F jsou rovny F a = 1 + λbc F b = 1 + λac F c = 1 + λab F = abc 64. λ

51 Řešíme tedy soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých 1 + λbc = λac = λab = 0 abc 64 = 0. Stručně nastíníme postup řešení. Z poslední rovnice vyjádříme a (a = 64 bc ) a dosadíme do druhé a třetí rovnice. Získáme soustavu třech rovnic o třech neznámých: 1 + λbc = λ 64 b c c = λ 64 bc b = 0

52 Z druhé rovnice vyjádříme b (b = 64λ), ze třetí rovnice c (c = 64λ) a dosadíme do první rovnice: Potom b = c = 4 a a = λ ( 64λ) ( 64λ) = λ 3 = 0 λ = 1 16 Bod podezřelý z extrému má souřadnice (4, 4, 4).

53 Zkontrolujeme správnost našeho výsledku. Možné rozklady čísla 64 (nehledíme-li na pořadí činitelů) jsou znázorněny v následující tabulce. Druhý sloupec udává součet těchto čísel. Rozklad Součet I z tabulky je patrné, že nejmenšího součtu dosáhneme pro rozklad 64 = zpět

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f. I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n

Více

Funkce více proměnných

Funkce více proměnných Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................

Více

Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.

Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2. Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v

Více

Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )

Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 ) . Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového

Více

Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné

Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální

Více

Kvadratické rovnice pro učební obory

Kvadratické rovnice pro učební obory Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické

Více

2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou

2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou .. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.

Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč. Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování

Více

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}

4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]} 1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:

Více

Kvadratické rovnice pro studijní obory

Kvadratické rovnice pro studijní obory Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické

Více

10. Polynomy a racionálně lomenné funkce

10. Polynomy a racionálně lomenné funkce 10 Polynomy a racionálně lomenné funkce A Polynomy Definice 101 Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0, kde a 1,, a n R, a n 0, která každému komplexnímu

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/14

Kapitola 7: Integrál. 1/14 Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k

Více

1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I

1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I .. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme

Více

( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501

( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501 ..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x

derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x 11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny

Více

ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.

ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1. 1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou .8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)

Více

Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady

Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Příklad: Základem pro analýzu je časová řada živě narozených mezi lety 1970 a 2005. Prvním úkolem je vybrat vhodnou trendovou funkci pro vystižení

Více

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme

Více

MONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)

MONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x) 11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti,

Více

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715 .7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme

Více

= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)

= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen) .8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149

Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149 Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149

Více

STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113

STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113 STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu

Více

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková .. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.

Více

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2 Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané

Více

15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů

15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů 5 s Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý

Více

1 Průběh funkce. Pomůcka pro cvičení: 1. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet

1 Průběh funkce. Pomůcka pro cvičení: 1. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet Pomůcka pro cvičení:. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet Průběh funkce balíček: plots Při vyšetřování průběhu funkce využijte dosavadních příkazů z Maple, které znáte. Nové příkazy budou postupně

Více

65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B

65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.

{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. 9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme

Více

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE

EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

3. Ve zbylé množině hledat prvky, které ve srovnání nikdy nejsou napravo (nevedou do nich šipky). Dát do třetí

3. Ve zbylé množině hledat prvky, které ve srovnání nikdy nejsou napravo (nevedou do nich šipky). Dát do třetí DMA Přednáška Speciální relace Nechť R je relace na nějaké množině A. Řekneme, že R je částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. V tom případě značíme relaci a řekneme,

Více

9.2.5 Sčítání pravděpodobností I

9.2.5 Sčítání pravděpodobností I 9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava

Více

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11 1. Je dána funkce f(x,y,z) x 2 + y + 2z 2. Potom pro funkční hodnoty f(1,0,0), f(0,-1,0) a

Více

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).

Více

Důkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Důkazové metody. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Buď (T, +, ) těleso. Pak soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,................................... a m1 x 1 + a m2 x

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83 Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL,

INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL, INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL, URČITÝ INTEGRÁL Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve

Více

Dopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Dopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 9 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Distribuční úlohy Budeme se zabývat 2 typy distribučních úloh dopravní úloha přiřazovací problém Dopravní úloha V dopravním problému se v typickém případě

Více

( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208

( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208 .. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÉ

Více

10.1.13 Asymptoty grafu funkce

10.1.13 Asymptoty grafu funkce .. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu

4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu 4.6.6 Složený sériový LC obvod střídavého proudu Předpoklady: 41, 4605 Minulá hodina: odpor i induktance omezují proud ve střídavém obvodu, nemůžeme je však sčítat normálně, ale musíme použít Pythagorovu

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Lineární algebra. Vektorové prostory

Lineární algebra. Vektorové prostory Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Př. 3: Dláždíme čtverec 12 x 12. a) dlaždice 2 x 3 12 je dělitelné 2 i 3 čtverec 12 x 12 můžeme vydláždit dlaždicemi 2 x 3.

Př. 3: Dláždíme čtverec 12 x 12. a) dlaždice 2 x 3 12 je dělitelné 2 i 3 čtverec 12 x 12 můžeme vydláždit dlaždicemi 2 x 3. 1..20 Dláždění III Předpoklady: 01019 Př. 1: Najdi n ( 84,96), ( 84,96) D. 84 = 4 21 = 2 2 7 96 = 2 = 4 8 = 2 2 2 2 2 D 84,96 = 2 2 = 12 (společné části rozkladů) ( ) n ( 84,96) = 2 2 2 2 2 7 = 672 (nejmenší

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem

2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem .7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

4. R O V N I C E A N E R O V N I C E

4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4. R O V N I C E A N E R O V N I C E 4.1 F U N K C E A J E J Í G R A F Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) Definiční obor funkce (definice, značení)

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel. Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například

Více

Rovnice kuželoseček Petr Rys a Tomáš Zdráhal

Rovnice kuželoseček Petr Rys a Tomáš Zdráhal Rovnice kuželoseček Petr Rys a Tomáš Zdráhal ABSTRACT: The fact conic sections can be gained as an envelope of one-parametric system of lines in the plane is well known. The aim of this paper is to show

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

3.2.4 Podobnost trojúhelníků II

3.2.4 Podobnost trojúhelníků II 3..4 odobnost trojúhelníků II ředpoklady: 33 ř. 1: Na obrázku jsou nakresleny podobné trojúhelníky. Zapiš jejich podobnost (aby bylo zřejmé, který vrchol prvního trojúhelníku odpovídá vrcholu druhého trojúhelníku).

Více

když n < 100, n N, pak r(n) = n,

když n < 100, n N, pak r(n) = n, Zúžená aritmetika úvod Nad a Stehlíková Autorem netradiční aritmetické struktury, v rámci které se budeme nadále pohybovat, je Prof. Milan Hejný. Nejdříve si zavedeme základní pojmy. Základem zúžené aritmetiky

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

CHOVÁNÍ FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Z HLEDISKA EXTRÉMŮ

CHOVÁNÍ FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Z HLEDISKA EXTRÉMŮ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS CHOVÁNÍ FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Z HLEDISKA

Více

Jan Paseka. Masarykova Univerzita Brno. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57

Jan Paseka. Masarykova Univerzita Brno. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57 Abstrakt přednášky Abstrakt V této kapitole se seznámíme se soustavami lineárních rovnic nad obecným

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1. . Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:

IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy: IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Variace. Kvadratická funkce

Variace. Kvadratická funkce Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel. Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více