(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení"

Transkript

1 .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému M = Df přiřadí právě jednu hodnotu H f R. Množinu D f budeme nazývat definiční obor funkce f a množinu H f nazveme obor hodnot funkce f. Budeme psát = f( ). Definice... Grafem funkce f nazveme množinu všech bodů (, f( )) v kartézské soustavě souřadnic. Poznámka Funkce f ( ) může být dána různými způsob. Některé nní uvedeme: - = f( ), je z rovnice vjádřeno; říkáme, že funkce je dána eplicitně, - F (, ) = 0, není ze vztahu F (, ) obsahujícího proměnné, že funkce je dána implicitně rovnicí F (, ) = 0, vjádřeno; říkáme, - = ϕ(), t = ψ(), t t M R; říkáme, že funkce je dána parametrick, - grafem, - tabulkou. Úmluva: Bod na ose o souřadnicích (,0), resp. bod na ose o souřadnicích (0, ) budeme při popisu grafů často označovat pouze, resp.. 95

2 Řešené úloh Příklad Mějme funkci = + = { } způsob., D,,. Zadejte tuto funkci výše uvedenými f Řešení:. Eplicitně: a) Vjádření = +, D f = {,, } je eplicitní. b) Zadanou funkci můžeme však také vjádřit eplicitně například ve tvaru = +, {,,}.. Implicitně: Rovnice = 0, {,,} vjadřuje danou funkci implicitně.. Parametrick: Rovnice = + t, = + t, t {,0,} jsou jedním z možných parametrických vjádření dané funkce. 4. Grafem: 4 0 Obr. Z obr. je vidět, že grafem dané funkce jsou izolované bod v kartézské soustavě souřadnic. 96

3 5. Tabulkou: 4 Výklad Definice... Funkce f( ), M a f( ), M se rovnají, jestliže M= M = M a ( ) ( ) M : f = f. Řešené úloh Příklad Je-li f( ) =, (,0) (0, ) a f( ) =, R \{0}, pak f= f. Poznámka Mimo kartézské soustav souřadnic budeme užívat takzvanou polární soustavu souřadnic. V kartézské soustavě souřadnic v rovině E je každý bod X rovin dán jednoznačně uspořádanou dvojicí (, ), kde, R, a naopak. Píšeme X = (, ), viz obr.. Zvolíme nní bod O = (0,0) v E a nazveme jej počátkem polární soustav souřadnic a přímku (osu), O, viz obr.. Každému bodu rovin přiřadíme dvojici E ( ρ ) ϕ, kde ϕ 0, π ) je (kladně) orientovaný úhel přímek OX, aρ = X O 0. Je zřejmé, že korespondence mezi takto utvořenými uspořádanými dvojicemi reálných čísel a bod rovin E je vzájemně jednoznačná. Vztah mezi kartézskými a polárními souřadnicemi je dán vztah = ρ cosϕ, = ρ sinϕ, ( ) viz obr.,. 97

4 X=(,) ρ X ϕ ϕ 0 0 Obr. Obr. Řešené úloh Příklad Grafem funkce + =, D = { <, > : 0} je půlkružnice f =, viz obr. 4. Dosadíme z rovnic () a upravíme: ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ =, ( ) ρ cos ϕ+ sin ϕ =, ρ = ρ =, ϕ < 0, π >. Dostali jsme rovnici ρ = dané půlkružnice v polárních souřadnicích vjádřené v zadání implicitně rovnicí + =. Pokud pro hodnot ϕ, ρ použijeme polární souřadnice, = ρ= 0 Obr. 4 98

5 ρ 0 π ϕ Obr. 5 bude grafem funkce ρ = úsečka, viz obr. 5. Dále si můžeme všimnout, že kružnice + = v kartézské soustavě souřadnic není funkce, např. pro = 0 eistují dvě různé hodnot =±. Vjádříme-li však kružnici v polárních souřadnicích rovnicí ) ρ =, ϕ < 0, π, pak každé hodnotě ϕ je přiřazena právě jedna hodnota ρ = a kružnice je podle definice funkcí. Obdobně se tak může stát i u jiných křivek. Poznámka Podle definice je funkce f zadána definičním oborem D f a předpisem, který každému D přiřazuje právě jedno = f( ) H f R. Často budeme funkci f zadávat pouze předpisem a definičním oborem budeme rozumět množinu všech R, pro něž má daný předpis smsl. f Řešené úloh Příklad Je dána funkce = +, určete její definiční obor. Řešení: Platí 0 0, ( )( + ) 0 0, (( 0 + 0) ( < 0 + < 0)) 0, (( ) ( > < )) 0 <, 0 ) (0, >. 99

6 Graf funkce je na obr Úloh k samostatnému řešení Obr. 6.. Rozhodněte, zda jsou si rovn funkce f a g s maimálními definičními obor D R,D R: a) f g = = b) f = g = ( ) f g :, :, :, :, c) f : =, g: =, d) f g : =, : =.. Určete definiční obor funkcí: a) = +, b) d) =, e). Určete definiční obor funkcí: a) =, b) d) =, 5 e) = 9, c) = + 4 +, = 4, f) = =, ( ), 4 = 4. c) =, f) = g) = ln( ), h) = ln( tg ), i) = + 4 j) = sin + 6, k) = sin ln, l) log(cos ), + = m) =, ln( ) + + n) = ln sin( ) + 6., log( ), 4. Znáte-li graf funkce = f( ), D f, sestrojte graf funkcí a) f : = f ( ) + c, b) f : = f ( ) c, c) f : = f ( + c), d) f : = f ( ), e) f : = f ( ), f) f : = f ( ), g) 4 c 5 f 7 : = f ( c ) + k, kde c > 0, k >

7 5. Nakreslete graf funkce a) = + 4 4, b) = +, c) = Ze znalosti grafu funkce = nakreslete graf funkce a) =, b) = +, c) = ( + ), d) = ( ), e) =, f) = ( + ). 7. Ze znalosti grafu funkce = nakreslete graf funkce a) =, b) =, c) = +, d), e) = + = + +, f) =. 8. Ze znalosti grafu funkce = log nakreslete graf a určete definiční obor funkce a) = log( ), b) = log( ), c) = log, d) = log, e) = + log( + ), f) = log. Výsledk úloh k samostatnému řešení. a) ne, neboť g : = = ; b) ne, neboť D = R,D =< 0, ; c) ano; d) ano. f g ). a) ; b) tj. <, > ; c) < 4, 0 > ; d) ; e) tj. R (,) ; f) < 0, 4 >.. a) R ; b) <,) ; c) < 0, 9 > ; d) (, ) (,5) (5, ) ; e) < 0, > (4, ) ; f) D f = φ ; g) < 4,6 > ; h) k) π π ( + k π, + kπ), k Z ; i) (,0) (,) (, ) ; j) < 4, π > < 0, π > ; 4 π π (, ; ) l) ( + k π, + kπ), k Z ; m) <,0) (0, ) ; 6 6 n) ( π, π) (, 4 >. 4. Graf funkcí f až f dostaneme transformací grafu funkce f (). 7 a) Graf funkce f : = f ( ) + c, D f =. Graf funkce dostaneme posunutím Df f grafu funkce f v kladném směru os. Velikost posunutí je c (obr. a). b) Graf funkce f : = f ( ) c, D f =. Graf funkce dostaneme posunutím D f f grafu funkce f v záporném směru os. Velikost posunutí je c (obr. a). 0

8 c) Graf funkce f : = f ( + ), c D f = { R ; + c D f }. Graf funkce dostaneme posunutím grafu funkce f v záporném směru os. Velikost posunutí je c (obr. b). d) Graf funkce f 4 : = f ( c), D f = { R ; c D f }. Graf funkce dostaneme posunutím grafu funkce f v kladném směru os. Velikost posunutí je c (obr. b). e) Graf funkce f : = f ( ), 5 Df 5 =. Graf funkce je souměrně sdružený Df s grafem funkce f v osové souměrnosti podle os, neboť f5( ) = f ( ) (obr. c). f) Graf funkce f : = f ( ), 6 6 f 5 D f = { R ; - D f }. Graf funkce je souměrně sdružený s grafem funkce f v osové souměrnosti podle os, neboť f6 ( ) = f ( ) (obr. d). g) Graf funkce f : = f ( c ) + k 7. D f = { R ; c D f }. Graf funkce 7 dostaneme postupně transformacemi tpu f), c), a). To znamená, že nejprve sestrojíme graf souměrně sdružený s grafem funkce f v osové souměrnosti podle os, následuje posunutí grafu v záporném směru os o hodnotu c a nakonec posunutí grafu v kladném směru os o hodnotu k. (obr. e). Transformace grafu funkce: f 6 f f 4 f 7 c f()+c f() f(+c) f() f(-c) f() - c c - c f()-c -f() Řešení: a) b) c) 0

9 f(-) f() f(c-)+k f() - c k d) e) + 5. a) = ( + ) 8; b) = ( ) ; c) = ( + ). Graf dostaneme transformacemi grafu funkce = (viz příklad..4). 6. Graf viz příklad Graf viz příklad Graf viz příklad..4; a) c) { } Df = R 0 ; d) D f = (0, ) ; e) D f = (, ); f) D f = (0, ). + D f = (,0); b) D f = (, ) ; 0

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá 4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro

Více

4.2. Graf funkce více proměnných

4.2. Graf funkce více proměnných V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

4.2.9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus

4.2.9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus 4..9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 408 Grafy funkcí y = sin a y = cos, které jsme získali vynesením hodnot v minulé hodině. 0,5-0,5 - Obě křivky jsou stejné, jen kosinusoida je o π napřed

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

MIŠ MAŠ. 47 POJEM funkce,d,h notebook. February 04, Základní škola Nýrsko, Školní ulice, příspěvková organizace.

MIŠ MAŠ. 47 POJEM funkce,d,h notebook. February 04, Základní škola Nýrsko, Školní ulice, příspěvková organizace. Základní škola Nýrsko, Školní ulice, příspěvková organizace (www.sumavanet.cz/zsskolni/projekt zakladni.asp) Název projektu: MIŠ MAŠ Moderní Interaktivní Škola Možností a Šancí (pro každého žáka) Číslo

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.

Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4. .. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 = /7 GONIOMETRIE Základní pojm: Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu Graf a základní hodnot gon. fcí Goniometrické vzorce Úprav

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více