Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij"

Transkript

1 Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), které ověřují, zda reálné četnosti získané statistickým šetřením se statisticky významně odlišují od očekávaných četností, které vypočteme na základě platnosti nulové hypotézy. Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když se pozorované četnosti n ij budou významně lišit od očekávaných četností e ij.

2 Testovým kritériem je statistika, která má asymptoticky (tj. pro dostatečně velké četnosti) rozdělení χ 2 s (r - 1)(s - 1) stupni volnosti. r s ( nij eij ) 2 χ = e i= 1 j= 1 Stupeň volnosti - je počet řádků (sloupců) tabulky, do kterých je možno vložit libovolnou hodnotu a přitom dodržet stanovený řádkový (sloupcový) součet. Dostatečně velké četnosti jsou takové, kdy všechny očekávané četnosti jsou větší než 1 (>1) a naprostá většina očekávaných četností (alespoň 80%) je > 5. ij 2

3 2 Je-li testovací statistika větší než "kritická" hodnota rozdělení χ pro zvolenou hladinu významnosti, zamítáme nulovou hypotézu o shodě empirického a teoretického rozložení. Riziko, že hypotézu zamítneme neoprávněně, se rovná zvolené hladině významnosti α. V opačném případě přijímáme hypotézu o shodě. PŘÍKLAD: Chceme ověřit, zda hrací kostka je fair, tzn. že všech 6 možných výsledků má stejnou pravděpodobnost. Házíme tedy opakovaně kostkou a zaznamenáme četnosti dosažených výsledků: kód Suma počet hodů Testujeme nulovou hypotézu, že pravděpodobnosti p i = 1/6. Teoretické četnosti e i, které bychom očekávali za platnosti nulové hypotézy ze 120 hodů, vypočtem tedy jako e i = n p i = 120 (1/6) = 20.

4 Nulovou hypotézu zamítneme, když se pozorované četnosti n i budou významně lišit od očekávaných četností e i. k 2 ( ni ei ) Testovým kritériem je statistika X = e kde k je počet možných výsledků. V našem příkladu s hrací kostkou k = 6 Znamená to, že H 0 zamítneme, pokud testová statistika je větší než kritická hodnota rozdělení χ 2 pro zvolenou hladinou významnosti α. Řešení najdete v souboru 6c_hazeni_kostkou.xls (Hodnota testové statistiky je 7,7, kritická hodnota 11,07 - testová statistika neleží v kritickém oboru a nulovou hypotézu nemůžeme zamítnout). i= 1 i

5 Na základě našeho experimentu jsme prokázali, že kostka je fair, tj. že pro ni platí zákonitosti binomického rozdělení a výsledky hodů byly ovlivněny pouze náhodou. Rozdělení χ 2 má ještě jednu zvláštnost: kromě krajně vysoké pravděpodobnosti obsahuje i krajně nízké pravděpodobnosti. Představme si, že bychom při 120 hodech kostkou hodili přesně 20x jedničku, 20x dvojku, 20x trojku, 20x čtyřku, 20x pětku a 20x šestku. Na první pohled vidíme, že by se jednalo o velmi zvláštní náhodu.

6 Vypočtená statistika odchylek by byla 0,0. Počet stupňů volnosti je 5. Podíváme-li se do tabulek distribuční funkce χ 2 na hodnotu funkce pro pravděpodobnost 0,01, najdeme kritickou hodnotu statistiky 0,55 (nebo v programu funkci CHISQ.INV(0,01;5) = 0,554. Vidíme, že naše "vypočtená statistika = 0" nestačí na kritickou hodnotu a že požadovaný výsledek se hodí až příliš dobře, takže nebyl dán prostor náhodě a vzbuzuje to podezření, že se neuplatnilo binomické rozdělení a "hody byly zmanipulovány". Najdete v souboru 6c_hazeni_kostkou.xls na listu Hrací kostka-opačný test

7 Testy dobré shody pro spojité veličiny Pro spojité veličiny a spojitá rozdělení je test dobré shody podobný, jen postup o trochu pracnější. Testujeme shodu rozdělení našich pozorovaných hodnot s nějakým spojitým teoretickým rozdělením, známe tedy distribuční funkci F(x) tohoto rozdělení. Potřebujeme zjistit empirické četnosti n i a očekávané četnosti e i, tzn. předtím musíme obor hodnot empirických dat rozdělit na intervaly, v nich zjistit četnosti, spočítat očekávané četnosti a vyhodnotit testové kriterium k 2 ( ni ei ) X = e Současně potřebujeme, aby očekávané četnosti byly větší než 5. (Zjednodušeně - viz dále) V příkladech používáme tuto symboliku: označíme-li očekávané četnosti jako O i a skutečně pozorované četnosti jako P i, k 2 ( Pi Oi ) pak výpočet testovací statistiky T zapíšeme: T = O i= 1 i= 1 i i

8 OBECNÁ KONTINGENČNÍ TABULKA - sdružené rozdělení dvou diskrétních veličin Máme-li dvě nominální veličiny X, Y, kde X může nabývat hodnot x 1,x 2,..., x r a veličina Y může nabývat hodnot y 1, y 2,..., y s, pak rozdělení četností pozorovaných hodnot můžeme vyjádřit kontingenční tabulkou: Proměnná X v řádcích Proměnná Y - ve sloupcích y 1 y 2 y 3 y s Celkem x 1 n 11 n 12 n 13 n 1s n 1. x 2 n 21 n 22 n 23.. n 2. x 3 n 31 n 32 n 3.. n 3. X r n r1.... n rs n r. Celkem n.1 n.2 n.3 n.s n..

9 Hodnoty n ij jsou absolutní četnosti, tzn. počty sledovaných objektů, kdy veličina X má hodnotu x i a současně veličina Y má hodnotu y j. Četnosti v posledním řádku a v posledním sloupci se nazývají marginální a jsou definovány jako řádkové (sloupcové) součty. Obvyklou úlohou statistické analýzy je rozhodnout, zda náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé či mezi nimi existuje nějaký vtah a také nějakou vhodnou charakteristikou případnou závislost kvantifikovat. Test nezávislosti dvou nominálních náhodných veličin X, Y je založen na tom, že můžeme odhadnout četnosti, které bychom pozorovali, kdyby opravdu veličiny X, Y nezávislé byly. Jsou-li X, Y nezávislé, pak pravděpodobnost jevu, že současně nastane jev X = x i a Y = y j lze vyjádřit jako součin P ( X = xi ) ( Y = yj) = P( X = xi ) P( Y = yj) kde i = 1, 2,,r, j = 1, 2,,s

10 Očekávané četnosti vypočteme z marginálních řádkových a sloupcových četností tak, že očekávanou četnost pro i-tý řádek a j-tý sloupec vypočteme jako součin (n i.. n.j ) dělený počtem všech pozorování n Nulovou hypotézu H 0, že veličiny X, Y jsou nezávislé, zamítneme, když se pozorované četnosti n ij budou významně lišit od očekávaných četností e ij. ni. n. j 2 r s 2 ( n r s ij ) ( n Testovým kritériem je statistika ij eij ) 2 n.. χ = = n i= j= eij i= j= i n j n která má asymptoticky (tj. pro dostatečně velké četnosti) rozdělení χ 2 s (r - 1)(s - 1) stupni volnosti. n i. n n... j..

11 Při užití tohoto testu je nutno posoudit, zda je splněna podmínka, že četnosti v tabulce jsou dostatečně velké. Obvykle se pro užití tohoto testu požaduje podmínka, aby všechny očekávané četnosti e ij > 1 a naprostá většina (alespoň 80%) očekávaných četností byla e ij > 5. Kritickým oborem proto tento test nezávislosti je : X Є [ χ 2 (r-1)(s-1) (α) ; + ) Zamítneme-li hypotézu o nezávislosti veličin X a Y, pak nás obvykle zajímá, které pozorované četnosti (která políčka kontingenční tabulky) se od četností očekávaných při nezávislosti veličin významně odchylují. Říkáme, že vyhledáváme zdroje závislosti. Jedna z nejjednodušších metod posouzení těchto zdrojů závislosti je posouzení příspěvků jednotlivých políček tabulky k hodnotě testové statistiky r s 2 ( nij eij ) 2 χ = e i= 1 j= 1 ij

12 Velikost tohoto příspěvku je významná, když rozdíl pozorované a očekávané četnosti nelze považovat za náhodný, tj. tehdy, když pro obvykle užívanou hodnotu α = 0,05 je χ 2 = 3,84 (viz tabulky χ 2 rozdělení pro F(x) = 0,95). Pohodlnější je užít tzv. standardizovaná residua nij eij, která mají přibližně normované normální rozdělení, eij tzn. významná jsou políčka s absolutní hodnotou standardizovaných residuí větší než 2. Užijeme-li standardizovaná residua, podle jejich znaménka vidíme, zda pozorovaná četnost je větší či menší než očekávaná. Příklad: Máme posoudit, zda veličiny Lokalita a Odruda (data BI97) jsou nezávislé. Jinými slovy, zda zastoupeni obou odrůd ve všech čtyřech lokalitách můžeme považovat za shodné. Nulová hypotéza H 0 : Lokalita a Odruda jsou nezávislé veličiny. Výpočet provedeme s pomocí programu NCSS.

13 Cross Tabulation Report Counts Section lokal odruda Total Total Expected Counts Assuming Independence Section lokal odruda Total 1 14,8 14, , ,2 5,9 8 6,8 27 Total Chi-Square Contribution Section lokal odruda Total 1 1,83 0,09 0,21 0,30 2,42 2 4,36 0,21 0,50 0,71 5,78 Total 6,19 0,29 0,71 1,01 8,20 Chi-Square Statistics Section Chi-Square 8,2002 Degrees of Freedom 3 Probability Level 0,04205 Reject Ho WARNING: At less one cell had a value less than 5 V řádku Chi-Square vidíme, že hodnota testové statistiky je 8,20, odpovídající p = 0,042, tedy je menší než hladina významnosti a = 0,05. Hypotézu o nezávislosti veličin Lokalita a Odruda můžeme zamítnout, k čemuž nás ostatně nabádá i vysvětlující text ve výstupu, Reject Ho.

14 Všechny očekávané četnosti jsou větší než 5, jak vidíme v části Expected Counts Assuming Independence Section. Podíváme-li se na zdroje závislosti (Chi-Square Contribution Section), vidíme, že pouze v jednom políčku (odruda = 2, lokalita = 1) je hodnota příspěvku políčka větší než 3,84. Celkově můžeme shrnout, že hypotézu o nezávislosti veličin Lokalita a Odruda jsme sice zamítli na hladině významnosti a = 0,05, ale jen s odřenýma ušima (hodnota p = 0,042 je jen o málo menší, než hladina významnosti) a navíc pouze jedno políčko tabulky přispívá významně k celkové hodnotě testové statistiky, takže zjištěnou závislost veličin Lokalita a Odruda můžeme přičítat jen malé četnosti odrůdy 2 v lokalitě 1.

15 Standardizované příspěvky políček odruda Total 1 1,35-0,29-0,46-0,55 0,05 2-2,09 0,45 0,71 0,84-0,08 Total - 0,74 0,16 0,25 0,30-0,03 Pokud příspěvky políček standardizujeme (viz vzorec pro výpočet standardizovaných reziduí), můžeme najít stejné políčko (odrůda 2 v prvním sloupci), kde je příspěvek políčka výrazně vyšší zde znamená odchylku více než 2σ, protože porovnáváme se standardizovaným normálním rozdělením. Jelikož víme, že test je asymptotický, tedy pouze přibližný, je nutno se závěrem, že sledované veličiny nejsou nezávislé, zacházet velmi opatrně.

16 KONTINGENČNÍ TABULKA 2 x 2 Kontingenční tabulky často používáme v EPIDEMIOLOGII. Velmi často používáme právě tabulku 2 x 2 k zjištění, zda - výskyt vybrané diagnózy závisí na uvažované expozici - léčba nebo změna životního stylu má vliv na zdraví jedince - osvětové programy ovlivnily zdraví populace Náhodná veličina Y - např. onemocnění Náhodná veličina X - obvykle expozice ANO NE Celkem ANO a b a + b NE c d c + d Celkem a + c b + d a + b + c + d = n

17 K popisu četností v této tzv. čtyřpolní tabulce používáme pouze 4 hodnoty, proto je i pro zápis zjednodušeného výpočtu označujeme a, b, c, d χ 2 test nezávislosti v tabulce 2 x 2 Vzorec pro výpočet statistiky chí-kvadrát se zjednoduší na tvar: 2 2 ( ad bc) χ = n ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) Na příkladu testování vrozené vady kyčlí u dívek a chlapců (viz "6d_vady_kycli.xls") vidíme, že pro velké počty pozorovaných (a očekávaných) hodnot vychází CHITEST stejně jako výpočet podle zjednodušeného vzorce.

18 Pro malé pozorované (očekávané) četnosti můžeme test nezávislosti zpřesnit tzv. Yatesovou korekcí. Yatesova korekce 2 χ n 2 ( ad bc ) = 2 ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) n Tato veličina má opět rozdělení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti

19 Fischerův exaktní test Oba předchozí testy byly pouze přibližné a pro malé četnosti nejsou vhodné. V případě, že nejméně jedna očekávaná četnost je < 5 používáme Fischerův exaktní faktoriálový test. Spočívá v tom, že sestrojíme všechny možné tabulky, které mají stejné marginální četnosti jako původní tabulka a vybereme z nich ty, které jsou "vzdálenější" od hypotézy nezávislosti než původní tabulka, tj. jsou méně pravděpodobnější, pokud skutečně platí hypotéza nezávislosti. Sečteme-li pravděpodobnosti těchto tabulek, získáme tak součet P, který je hodnotou Fischerova testu. V praxi se tento přesný test používá opravdu pro malé četnosti, protože s rostoucím n roste dramaticky i počet možných tabulek. Pokud i nejmenší hodnota ve čtyřpolní tabulce je dostatečně velká (> 5), zmíněné testy chí-kvadrát nebo Yatesova korekce jsou pro tyto četnosti dostatečně blízké přesnému testu.

20 Princip Fisherova exaktního testu si ukážeme na příkladu této tabulky: Sportuje ano ne Suma ano ne Suma ano ne Suma ano ne Suma Kouří ano ano ano ano ne ne ne ne Suma Suma Suma Suma V první tabulce jsou naměřené četnosti u 32 studentů právnické fakulty a chceme zjistit, zda spolu souvisí sport a kouření u studentů. Četnosti jsou pro test chí-kvadrát malé - nelze jej použít. Vypočteme proto pravděpodobnost pro všechny tabulky podle vzorce: ( a + b)!( c + d)!( a + c)!( b + d)! p i = n! a! b! c! d!, kde n je celková četnost v tabulce a a,b,c,d je označení políček zleva doprava a dolů. Výsledná pravděpodobnost se určí jako součet pravděpodobností ve všech tabulkách, tj. p p = i

21 V našem příkladu je to p = 0, , , , = 0,041 Vypočtený výsledek nám sděluje, že první tabulka a tabulky ještě méně příznivé pro platnost hypotézy H 0 mohou nastat s pravděpodobností 0,041, tj. 4,1 %. Na hladině významnosti α = 0,05 tedy zamítáme nulovou hypotézu a přijímáme alternativní hypotézu, že sportování a kouření u studentů spolu souvisí.

22 MÍRY VZTAHU DVOU ALTERNATIVNÍCH VELIČIN Předchozí teorie testovala jen závislost nebo nezávislost dvou diskrétních veličin. Neříkala však nic o míře závislosti. Uvažujme opět čtyřpolní tabulku. a Vzorcem a + b vypočteme pravděpodobnost onemocnění u skupiny exponovaných, vzorcem c c + d u neexponovaných. Náhodná veličina Y - např. onemocnění Náhodná veličina X - obvykle expozice ANO NE Celkem ANO a b a + b NE c d c + d Celkem a + c b + d a + b + c + d

23 RELATIVNÍ RIZIKO Relativní riziko RR je podíl pravděpodobnosti onemocnění u exponovaných a neexponovaných: RR = a a + b c c + d = a ( c + d) c ( a + b) Pokud platí model nezávislosti, je očekávaná četnost v prvním políčku ( a + b)( a + c) O11 = a + b + c + d, analogicky vypočteme očekávané četnosti v ostatních polích a dosadíme je do vzorce pro relativní riziko. Dostaneme RR=1. Pokud nemoc nezávisí na expozici, RR -> 1. Pokud je onemocnění u exponovaných osob častější než u neexponovaných, je RR > 1. Opačně RR < 1 by znamenalo, že onemocnění nastalo častěji u osob neexponovaných.

24 KŘÍŽOVÝ POMĚR, PODÍL ŠANCÍ, SÁZKOVÝ POMĚR - anglicky ODDS RATIO Tato charakteristika (častěji používaná v anglosaských zemích) není založena na pojmu pravděpodobnosti, ale na pojmu ŠANCE NA ONEMOCNĚNÍ. Termín je převzat z oblasti sázek, kde se nepoužívá termín pravděpodobnost výhry, ale ŠANCE NA VÝHRU, tj. poměr mezi "výhrou" a "prohrou". Vypočteme podíl nemocných a zdravých a c u exponovaných osob i neexponovaných osob. Křížový poměr je b d Křížový poměr, podobně jako relativní riziko, je roven jedné, pokud jsou sledované veličiny nezávislé. a OR = b = c d ad bc

25 Jinak se ale hodnoty RR a OR liší: OR nabývá v případě kladné závislosti (vzniku onemocnění na expozici) vyšší hodnoty než než RR. V případě, že onemocnění nastalo častěji u osob neexponovaných, je OR nižší než RR (obě hodnoty jsou menší než jedna).

26 HYPOTÉZA SYMETRIE Mc Nemar Zatím jsme se zabývali hypotézou nezávislosti, ale v praxi nás zajímají i jiné hypotézy. Chceme například porovnat efekt léčby. Vlastně chceme pomocí tabulky četností provést obdobu "párového" testu, přestože nemáme jednotlivé páry hodnot, ale pouze počty naměřených hodnot. Na rozdíl od hypotézy nezávislosti zde naopak víme, že veličiny jsou závislé, protože jsme měřili na stejných datech. Představme si, že zjišťujeme, zda u dětí vybraného okresu závisí výskyt infektů horních cest dýchacích na věku. Výskyt onemocnění byl zjišťován v šesti měsících a ve třech letech věku.

27 Použití testu nezávislosti chí-kvadrát by bylo zcela chybné. U dětí, které byly zdravé v 6 měsících je zřejmě vyšší pravděpodobnost, že budou zdravé i ve 3 letech a naopak. Příslušné pozorované hodnoty jsou v tabulce: Onemocnění v 3. roce věku Onemocnění v 6. měsíci věku ANO NE Celkem ANO NE Celkem Nás spíše zajímá, zda jsou stejné pravděpodobnosti že děti, které byly zdravé v 6 měsících, jsou nemocné ve 3 letech a že děti, které byly nemocné v 6 měsících, jsou zdravé ve 3 letech. Porovnáváme tedy políčka b a c v kontingenční tabulce.

28 Hypotéza vlastně ověřuje, zda je tabulka symetrická kolem hlavní úhlopříčky - platí-li p 12 = p 21. Takováto hypotéza je odlišná od hypotézy nezávislosti. Navíc nás v podstatě nezajímají hodnoty v polích a, d (p 11 a p 22 ), zajímají nás pouze případy, kdy došlo ke změně v jednom nebo druhém směru. 2 ( b c) K tomuto testu používáme tzv. Mc Nemarův test symetrie: M = b + c, kde M má rozložení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti viz 6e_symetrie_mcnemar.xls. Pokud test vyjde statisticky významný, znamená to, že tabulka není symetrická podle hlavní osy významně převažují děti, kterých je více (které nebyly nemocné ve 3 měsících, ale byly nemocné ve 3 letech).

29 Na podobném principu jako Yatesova korekce je založena přesnější varianta Mc 1 2 ( b c ) Nemarova testu: M = 2 b + c, kde M má opět rozložení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti. Testujeme vlastně hypotézu, zda pravděpodobnosti π 1, jejíž odhad je a π 2, jejíž odhad je c p2 = b + c, se rovnají. p 1 = b b + c Protože π 1 +π 2 = 1, testujeme hypotézu, že π 1 = 0,5 O Mc Nemarově testu se často hovoří jako o testu pro "párová" data.

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Analýza dat z dotazníkových šetření

Analýza dat z dotazníkových šetření Analýza dat z dotazníkových šetření Cvičení 6. Rozsah výběru Př. Určete minimální rozsah výběru pro proměnnou věk v souboru dovolena, jestliže 95% interval spolehlivost průměru proměnné nemá být širší

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Epidemiologické ukazatele Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz 6. Testování statistických Testování statistických Princip: Ověř ěřování určit itého předpokladu p zjišťujeme, zda zkoumaný výběr r pochází ze základnz kladního souboru, který mám určit ité rozdělen lení

Více

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6 1. Příklad Byly sledovány rodinné stavy nevěst a ženichů při uzavírání sňatků a byla vytvořena následující tabulka četností. Stav Svobodný Rozvedený Vdovec Svobodná 37 10 6 Rozvedená 8 12 8 Vdova 5 8 6

Více

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová ADDS cvičení 7 Pavlína Kuráňová Analyzujte závislost věku obyvatel na místě kde nejčastěji tráví dovolenou. (dotazník dovolená, sloupce Jaký je Váš věk a Kde nejčastěji trávíte dovolenou) Analyzujte závislost

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Úkol 1.: Testování nezávislosti nominálních veličin V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů.

Úkol 1.: Testování nezávislosti nominálních veličin V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů. Téma 10: Analýza závislosti dvou nominálních veličin Úkol 1.: Testování nezávislosti nominálních veličin V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů. barva očí barva vlasů světlá

Více

Ranní úvahy o statistice

Ranní úvahy o statistice Ranní úvahy o statistice Neúplný návod ke čtení statistických výsledků Dušan Merta květen 2016 Co nás čeká 1 Základní pojmy 2 Testování hypotéz 3 Confidence interval 4 Odds ratio 2 / 26 Základní pojmy

Více

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích

Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha. Hypotézy o populacích Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Hypotézy o populacích Příklad IQ test: Předpokládejme, že z nějakého důvodu ministerstvo školství věří, že studenti absolventi středních škol v Hradci Králové

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Testy založené na χ 2 rozdělení V přehledu významných rozdělení jsme si uvedli, že Poissonovým rozdělením se modeluje počet událostí, které nastanou

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu.

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. Analýza rozptylu Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry většího počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky

Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky Jiří Šafr FHS UK poslední revize 31. srpna 2010 Logika kontingenčních tabulek... 2 Postup vytváření kontingenčních tabulek v PSPP (SPSS)....

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů 1) Test na homoskedasticitu Nalezneme jej v několika submenu. Omezme se na submenu Základní statistiky a tabulky základního menu Statistika. V něm

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy.

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Z pastí na daném území byla odhadnuta abundance několika druhů: myšice lesní 250, myšice křovinná 200, hraboš polní 150,

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 12 Testování hypotéz Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

IBM SPSS Exact Tests. Přesné analýzy malých datových souborů. Nejdůležitější. IBM SPSS Statistics

IBM SPSS Exact Tests. Přesné analýzy malých datových souborů. Nejdůležitější. IBM SPSS Statistics IBM Software IBM SPSS Exact Tests Přesné analýzy malých datových souborů Při rozhodování o existenci vztahu mezi proměnnými v kontingenčních tabulkách a při používání neparametrických ů analytici zpravidla

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination.

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Neparametricke testy (motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Andrew Lang) 1. Příklad V následující tabulce jsou

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Přednáška 10. Analýza závislosti

Přednáška 10. Analýza závislosti Přednáška 10 Analýza závislosti Analýza závislosti dvou kategoriálních proměnných Analýza závislosti v kontingečních tabulkách Analýza závislosti v asociačních tabulkách Simpsonův paradox Analýza závislosti

Více