Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných"

Transkript

1 Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody pro ověření rozdělení pravděpodobnosti

2 Opakování analýza rozptylu Proč je výhodnější provést srovnání průměrů spojité veličiny u více než dvou skupin pomocí analýzy rozptylu než pomocí testů pro všechny dostupné dvojice sledovaných skupin? Jak lze řešit situaci, kdy chceme provést více testů zároveň?

3 Opakování princip analýzy rozptylu Jaký je princip analýzy rozptylu? Jaké jsou předpoklady analýzy rozptylu?

4 Opakování normalita dat Jak můžeme seriózně ověřit normalitu dat?

5 . Motivace

6 Matematická biologie modré oči

7 Studenti matematické biologie s modrýma očima Budeme sledovat podíl studentů matematické biologie (současných i bývalých), kteří mají modré oči. Náhodná veličina A modrá barva očí alternativní náhodná veličina. A 0 když student má modré oči když student nemá modré oči P( A ) π P( A 0) π Náhodná veličina X počet studentů matematické biologie s modrýma očima binomická náhodná veličina. Je to součet n alternativních veličin. X n i Ai X ~ Bi( n, π ) Odhad parametru π: ˆ π p X / n

8 Studenti matematické biologie s modrýma očima Budeme sledovat podíl studentů matematické biologie, kteří mají modré oči. Výsledky v tabulce: Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Studenti matematické biologie (současní i bývalí) Odhad parametru π: ˆ π p X / n 7 / 60 0,83

9 Studenti matematické biologie s modrýma očima Budeme se zajímat o to, jestli podíl studentů matematické biologie, kteří mají modré oči, souvisí s obdobím studia. Výsledky v tabulce: Studenti BIMAT Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Současní 3 4 Bývalí 6 8 Celkem

10 . Testování hypotéz o podílech

11 Co nás bude zajímat? Binární data jsou v medicíně i biologii častá výskyt ano/výskyt ne, úspěch/neúspěch, Kromě bodového odhadu nás může zajímat Interval spolehlivosti pro parametr π Test o parametru π proti konstantě π 0 Test o parametru π ve dvou souborech

12 Aproximace na normální rozdělení Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude při své realizaci rovna hodnotě k lze přesně stanovit pomocí vzorce: n P( X k π π k k n k ) ( ) Pro větší n (a tedy větší rozsah možných hodnot k) je jednodušší použít aproximaci normálním rozdělením. Vychází z CLV součty se pro dostatečné n chovají normálně. Předpokladem aproximace na normální rozdělení je součin np i n( p) větší než 5, nebo ještě lépe součin np i n( p) větší než 0. Pak platí: X nπ Z ~ N(0,) nπ ( π )

13 Proč np i n( p) větší než 5? Souvisí s množstvím informace nutné pro dosažení tvaru normálního rozdělení nutné pro vhodnost, respektive přesnost aproximace. Pro π 0,5 je jednodušší dosáhnout tvar normálního rozdělení než pro π 0, nebo π 0,9. Pro π hodně blízká 0 nebo není aproximace vhodná.

14 Interval spolehlivosti pro podíl Máme n studentů Matematické biologie a mezi nimi x s modrýma očima. Rozdělení pravděpodobnosti odhadu parametru π: ˆ π p x / n E ( p) E( x / n) E( x) / n nπ / n π D( p) D( x / n) D( x) / n nπ ( π ) / n π ( π ) / n Při konstrukci intervalu spolehlivosti neznáme hodnotu π, proto je logické ji v odhadu rozptylu (a SE) nahradit odhadem p: SE ( p) D( p) p( p) / n Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením má 00( α)% IS tvar: p z SE p) p ± z p( p) / n ± α / ( α /

15 Příklad s modrýma očima Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 7 s modrýma očima. Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Studenti matematické biologie (současní i bývalí) Odhad parametru π: ˆ π p X / n 7 / 60 Chceme sestrojit 95% IS pro parametr π. 0,83 Splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením: np 60*0,83 7 n( p) 60*( 0,83) 43 Pak SE( p) D( p) p( p) / n 0,83( 0,83) / 60 0,058 95% IS: p ± z α / SE( p) 0,83±,96*0,058 (0,69;0,397)

16 Test pro podíl u jednoho výběru Chceme testovat rovnost odhadu parametru π získaného na náhodném výběru n jedinců předem dané hodnotě π 0 : Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením víme, že platí: Z p π SE( p) To za platnosti H 0 znamená: p π π ( π ) / n H 0 : π π 0 ~ N(0,) Z p π 0 p π 0 ~ N(0,) SE p) π ( π ) / n ( 0 0 Vypočteme hodnotu testové statistiky a nulovou hypotézu zamítáme podle toho, jakou máme alternativu a hladinu významnosti α. Pro alternativu Z > z α H : π π 0 zamítáme H 0 když /

17 Příklad s modrýma očima Chceme testovat na hladině významnosti α0,05 rovnost odhadu parametru π získaného na výběru 60 matematických biologů předem dané hodnotě π 0 0,40: H 0 : π 0,4 Splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením máme ověřeno. Testová statistika: p π p π 0 Z SE( p) π 0( π 0) / n Srovnání s kvantilem: 0,83 0,400 0,4( 0,4) / 60 0 Z,85 < z α / z0, 975,96,85 Nezamítáme H 0 : π 0,40.

18 Je rozdíl mezi IS a testem? Pokud ano, v čem?

19 Je rozdíl mezi IS a testem? Ano je Konstrukce IS: Test H 0 : SE ( p) p( p) / n SE p) π ( ) / n ( 0 π 0 Binomické rozdělení má různou variabilitu pro různé hodnoty π největší je pro π 0,5, směrem k 0 a variabilita klesá. Neplatí ekvivalence mezi intervalem spolehlivosti a testem proti π 0 jako tomu bylo v případě průměru jako odhadu střední hodnoty.

20 IS pro podíl ve dvou souborech Máme n studentů Matematické biologie a mezi nimi x s modrýma očima, x je současných a x je již vystudovaných. Zajímá nás interval spolehlivosti pro rozdíl podílů studentů s modrýma očima ve skupině současných a již vystudovaných studentů: π π. Podmínky pro aproximaci normálním rozdělením musí být splněny v obou výběrech. Rozdělení pravděpodobnosti odhadu parametru π v jednotlivých souborech: x x ˆ π p ˆ π p n n Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením má 00( α)% IS tvar: p SE p ( p p) D( p) + D( p) n + n ( p ) p ( p ) p p ± z α / SE( p p) p p ± z α / n + n ( p ) p ( p )

21 Příklad s modrýma očima Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 7 s modrýma očima, je současných a 6 je již vystudovaných. Chceme 95% IS pro π π. Studenti BIMAT Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Současní 3 4 Bývalí 6 8 Celkem Splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením dáno tabulkou. Odhady: π p x / n / 4 0,6 π p x / n 6 /8 0, 333 ˆ p ( p ) p ( p ) 0,6( 0,333( ( ) 0,6) SE p p n + n ˆ 0,333) 0,30 95% IS pro π π : p p ± z α / SE( p p) 0,07±,96*0,30 ( 0,36;0,84)

22 Test pro podíl ve dvou výběrech Chceme testovat rovnost odhadu parametru π získaného na dvou náhodných výběrech n a n jedinců: H 0 : π π π Nejlepším odhadem parametru π je za platnosti H 0 : ˆ π p r n + r + n Odhady pro jednotlivé výběry: Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením (musí být splněny v obou souborech zároveň) víme, že platí: kde p( p) p( p) SE ( p p ) + p( p)( + n n n n Z p p ~ (0,) ( ) N SE p p Pro alternativu H : π π zamítáme H 0 když Z > z α / ˆ π p x / n ˆ π p x / n )

23 Příklad s modrýma očima Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 7 s modrýma očima, je současných a 6 je již vystudovaných. Testujeme Studenti BIMAT Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Současní 3 4 Bývalí 6 8 Celkem Odhady: ˆ π p 0,83 H 0 : π π π π p 0,6 π p 0, 333 ˆ ˆ SE( p p) p( p)( ) 0,83( 0,83)( n ) 0,7 n Testová statistika: p p Z SE( p p ) / 0, 975 0,6 0,333 0,7 0,56 Z 0,56 < z α z,96 Nezamítáme H 0.

24 3. Analýza kontingenčních tabulek

25 Kontingenční tabulka Frekvenční sumarizace dvou nominálních nebo ordinálních veličin pomocí tabulky. Proměnné reprezentujeme diskrétními náhodnými veličinami X a Y. Speciální případ: tabulka čtyřpolní tabulka. Př.: Sumarizace pacientů diagnostikovaných s melanomem dle lokalizace onemocnění a roku diagnózy. Období Lokalizace Horní končetina Dolní končetina Trup Hlava a krk Celkem Celkem

26 Kontingenční tabulka hypotézy Kontingenční tabulky umožňují testování různých hypotéz: Nezávislost (Pearsonův chí kvadrát test) Jeden výběr, dvě charakteristiky obdoba nepárového uspořádání Př.: studenti matematické biologie modré oči období studia Shoda struktury (Pearsonův chí kvadrát test) Více výběrů, jedna charakteristika obdoba nepárového uspořádání Př.: pacienti s IM v několika nemocnicích věková struktura Symetrie (McNemarův test) Jeden výběr, opakovaně jedna charakteristika obdoba párového uspořádání Př.: stromy posouzení jejich stavu ve dvou sezónách

27 Značení Proměnné reprezentujeme diskrétními náhodnými veličinami X a Y. Označme n ij počet subjektů, pro které platí, že Xi a Yj (i,..., r; j,..., c). Marginální četnosti: Celkový počet subjektů: c r. j ij. i r c n i n n i j n ij n j n ij Relativní četnosti lze vztahovat: Vzhledem k celkovému n Vzhledem k řádkovým součtům n i. p p ij r ij n n ij ij / n / n i. Vzhledem k sloupcovým součtům n.j p c ij n ij / n. j

28 Pointa testu pro kontingenční tabulku Celkem 7 studentů s modrýma očima 8,3 %. Pokud modré oči nesouvisí s obdobím studia, mělo by stejné zastoupení modrookých platit i v rámci skupin očekávaná četnost za platnosti H 0 o nezávislosti: eij ni. n. j / n Ekvivalentně lze nezávislost vyjádřit následovně: Z toho plyne: e ij n n i.. j npi. p. j n n n Očekávané četnosti v příkladu s modrýma očima: Studenti BIMAT Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Současní,9 30, 4 Bývalí 5,,9 8 Celkem n i. n n p ij pi. p. j. j

29 Příklad melanomy Období veličina X Horní končetina Y Lokalizace veličina Y Dolní končetina Y Trup Y 3 Hlava a krk Y 4 Celkem X 50 n 03 n 6 n 3 7 n 4 76 n X 06 n 57 n 30 n 3 54 n 4 67 n X 3 5 n 3 4 n 3 36 n 33 5 n n 3. Celkem 7 n. 40 n. 74 n.3 3 n.4 58 n Období veličina X Horní končetina Y Lokalizace veličina Y Dolní končetina Y Trup Y 3 Hlava a krk Y 4 Celkem X 8. % 37.3 % 4.03 %.54 % 00 % X 6.9 % 5.04 % % 8.6 % 00 % X %.7 % % 8.3 % 00 % Celkem 7.74 % 6.3 % % 7.40 % 00 %

30 Pearsonův chí kvadrát test nezávislosti Založen na myšlence srovnání pozorovaných a očekávaných četností jednotlivých hodnot, kterých nabývá náhodná veličina X. Pozorované četnosti jednotlivých variant Xi a Yj nám vyjadřují n ij. Za platnosti nulové hypotézy lze očekávané četnosti jednotlivých variant Xi a Yj vypočítat pomocí: Karl Pearson odvodil, že statistika má za platnosti H 0 chí kvadrát rozdělení s (r )(c ) stupni volnosti: Nulovou hypotézu o nezávislosti X a Y zamítáme na hladině významnosti α, když Χ χ ( r )( c ) ( α) e ij ni n n n r c ( nij eij ) Χ e i j.. j n n i. ij n n. j Χ χ ~ ( r )( c )

31 Předpoklady Pearsonova chí kvadrát testu Nezávislost jednotlivých pozorování Alespoň 80 % buněk musí mít očekávanou četnost (e ij ) větší než 5 00 % buněk musí mít očekávanou četnost (e ij ) větší než

32 Příklad melanomy Období veličina X Horní končetina Y Lokalizace veličina Y Dolní končetina Y Trup Y 3 Hlava a krk Y 4 Celkem X 50 n 03 n 6 n 3 7 n 4 76 n X 06 n 57 n 30 n 3 54 n 4 67 n X 3 5 n 3 4 n 3 36 n 33 5 n n 3. Celkem 7 n. 40 n. 74 n.3 3 n.4 58 n Období veličina X Horní končetina Y Lokalizace veličina Y Dolní končetina Y Trup Y 3 Hlava a krk Y 4 Celkem X e e 7.6 e e X e.0 e e e X 3 e e e e Celkem

33 Příklad melanomy Χ Př.: Sumarizace pacientů diagnostikovaných s melanomem dle lokalizace onemocnění a roku diagnózy. Testová statistika: Výpočet: (50 48,95) 48,95 (30 304,47) + 304,47 (03 7,6) + 7,6 (54 46,37) + 46,37 r c ( nij eij ) Χ e (6 34,03) + 34,03 (5 0,85) + 0,85 i j ij (7 0,4) + 0,4 (4 64,43) + 64,43 (06,0) +,0 (36 303,50) + 303,50 (57 64,96) + 64,96 (5 46,) + 46, + 30,4 Kritická hodnota: χ( r )( c ) ( α) χ(6) (0,05),59 Χ χ (6) (0,05) Zamítáme H 0 o nezávislosti.

34 Příklad s modrýma očima Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 7 s modrýma očima, je současných a 6 je již vystudovaných. Testujeme nezávislost. Testová statistika: Výpočet: Χ (,9),9 r c ( nij eij ) Χ e i j (3 30,) + 30, ij (6 5,) + 5, (,9) +,9 0,3 Kritická hodnota: χ( r )( c ) ( α) χ() (0,05) 3,84 Χ < χ () (0,05) Nezamítáme H 0 o nezávislosti.

35 4. Čtyřpolní tabulky

36 Co je čtyřpolní tabulka Nejjednodušší možná kontingenčí tabulka, kdy obě sledované veličiny mají pouze dvě kategorie. Příklad z. přednášky: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření UTZ identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. Přesnost je vztažena k histologickému ověření odebrané tkáně. Vyšetření UTZ Histologické ověření Maligní Benigní Celkem Maligní 3 34 Benigní Celkem Zde jsme závislost neověřovali, ale dokonce předpokládali!

37 Asociace ve čtyřpolní tabulce Můžeme rozhodovat o závislosti/nezávislosti dvou sledovaných veličin nyní. Můžeme rozhodovat i o míře (těsnosti) této závislosti příští přednáška. Veličina X Veličina Y Y Y Celkem X a b a +b X c d c+ d Celkem a+ c b+ d n Při rozhodování o nezávislosti můžeme použít Pearsonůvchí kvadrát test, ale pro malá n je standardem v klinických analýzách tzv. Fisherův exaktní test ( Fisher exact test ).

38 Fisherůvexaktní test Určen zejména pro čtyřpolní tabulky, je vhodný i pro tabulku s malými četnostmi pro ty, které nesplňují předpoklad Pearsonova testu. Založen na výpočtu přesné p hodnoty, která zde hraje roli testové statistiky. Pointa je ve výpočtu pravděpodobnosti, se kterou bychom získali čtyřpolní tabulky stejně nebo více odchýlené od nulové hypotézy při zachování marginálních četností. Pravděpodobnost konkrétní tabulky (s pevně zvolenou hodnotou a při zachování marginálních četností) lze získat: p a a+ c b+ d a b n a+ b Pointa spočítáme p a všech možných tabulek při zachování marginálních četností a výsledná p hodnota je součtem p a menších nebo stejných jako p a, která přísluší pozorované tabulce. ( a + b)!( a + c)!( c + d)!( b + d)! n! a! b! c! d!

39 Příklad s modrýma očima Sledujeme vztah modrých očí a období studia matematické biologie. Pomocí Fisherova exaktního testu chceme testovat H 0 o nezávislosti. Studenti BIMAT Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Současní 3 4 Bývalí 6 8 Celkem Pravděpodobnost pozorované tabulky: p a ( a + b)!( a + c)!( c + d)!( b + d)! n! a! b! c! d! 4!7!8!43! 60!!3!6!! 0,05 Tento výsledek sám o sobě znamená, že nezamítáme H 0, protože p a > 0,05.

40 Příklad s modrýma očima Vypočítejme pravděpodobnosti pro jednotlivé možnosti kontingenční tabulky: Studenti BIMAT Modrá barva očí Jiná barva očí Celkem Současní a b 4 Bývalí c d 8 Celkem p a a+ c b+ d a b n a+ b ( a + b)!( a + c)!( c + d)!( b + d)! n! a! b! c! d!

41 Příklad s modrýma očima Možnosti a b c d p a , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 0 4 p a 0,45 0,755 Nezamítáme H 0

42 Fisherův Pearsonůvtest Pearsonůvchí kvadrát test lze použít na jakoukoliv kontingenční tabulku, ALE je nutné hlídat předpoklady: 80 % e ij větších než 5 u čtyřpolní tabulky to znamená 00 %. Nedodržení předpokladů pro Pearsonůvchí kvadrát test může stejně jako u t testu a analýzy rozptylu vést k nesmyslným závěrům! Situace s malými n ij a tedy i e ij jsou ale v medicíně i biologii velmi časté Fisherůvexaktní test je klíčový pro hodnocení čtyřpolních tabulek.

43 Test hypotézy o symetrii McNemarův test Mám 0 pacientů, u každého opakovaně sleduji výskyt otoků před podáním a po podání léku. Která tabulka je správně? Před podáním léku Po podání léku Celkem Bez otoku (úspěch) 7 9 S otokem (neúspěch) 3 8 Celkem Po podání bez otoku Po podání s otokem Celkem Před podáním bez otoku 5 7 Před podáním s otokem Celkem 8 0

44 McNemarůvtest Je to obdoba párového testu (test symetrie pro čtyřpolní tabulku). Zaměřuje se pouze na pozorování, u kterých jsme při opakovaném měření zaznamenali rozdílné výsledky za platnosti H 0 by jejich četnosti (označeny b a c) měly být stejné. Testová statistika pro čtyřpolní tabulku: Za platnosti H 0 má statistika chí kvadrát rozdělení s stupněm volnosti. Nulovou hypotézu o nezávislosti X a Y zamítáme na hladině významnosti α, když Χ χ ( α) Χ ( b c b + c ) Testová statistika pro obecnou kontingenční tabulku: Χ ( nij n ji ) i< j nij + n ji

45 Příklad McNemarův test Mám 0 pacientů, u každého opakovaně sleduji ústup otoků po podání léku A aléku B. Zajímá mě rozdíl v četnosti otoků. Po podání bez otoku Po podání s otokem Celkem Před podáním bez otoku 5 7 Před podáním s otokem Celkem 8 0 Testová statistika pro čtyřpolní tabulku: Χ ( b c) b + c ( 7) + 7,78 Kritická hodnota: χ ( α) χ (0,05) ( ) () 3,84 Χ < χ () (0,05) Nezamítáme H 0 o tom, že není rozdíl ve výskytu otoků před a po podání léku.

46 5. Testy o rozdělení náhodné veličiny

47 Testy o rozdělení náhodné veličiny Kolmogorovův Smirnovovůvtest založen na srovnání výběrové distribuční funkce s teoretickou distribuční funkcí odpovídající rozdělení, které chceme testovat. K S test hodnotí maximální vzdálenost mezi těmito dvěma distribučními funkcemi. Pearsonův chí kvadrát test chí kvadrát test dobré shody i pro testování shody s teoretickým rozdělením je založen na myšlence srovnání pozorovaných a očekávaných četností jednotlivých hodnot, kterých nabývá náhodná veličina X. Q Q plot zobrazuje proti sobě kvantily pozorovaných hodnot a kvantily teoretického rozdělení pravděpodobnosti.

48 Chí kvadrát test dobré shody Předpokládejme, že náhodná veličina X může nabývat r různých hodnot B, B,,B r, každé s pravděpodobností p, p,, p r s tím, že r p i i Uvažujme n pozorování náhodné veličiny X: pokud je pravděpodobnostní model správný, měl by se počet pozorování jednotlivých variant, ν i, blížit r hodnotě np i s tím, že ν n i i

49 Chí kvadrát test dobré shody Označme pozorovanou četnost ité varianty náhodné veličiny o i ( observed ) a očekávanou četnost ité varianty náhodné veličiny e i ( expected ). Opět platí, že statistika má za platnosti H 0 chí kvadrát rozdělení s r stupni volnosti: Nulovou hypotézu o shodě rozdělení veličiny X s předpokládaným rozdělením zamítáme na hladině významnosti α, když Χ r ( oi i ) i e e i Χ Χ χ( r ) χ ~ ( r ) ( α) Když H 0 specifikuje pouze typ rozdělení, ale ne jeho parametry, pak musí být tyto parametry odhadnuty z pozorovaných hodnot. Za každý takto odhadnutý parametr se počet stupňů volnosti testové statistiky snižuje o.

50 Chí kvadrát test pro spojité veličiny Spojitá veličina samozřejmě může nabývat nespočetně mnoho hodnot v určitém intervalu. Chí kvadrát test dobré shody lze použít i pro spojité veličiny, které však musíme kategorizovat rozdělit obor možných hodnot do r disjunktních intervalů. B B B r B r

51 Příklad melanom a normální rozdělení Chceme zjistit, jestli věk u pacientů s melanomem vykazuje normální rozdělení. N( μ 56,, σ 8,4) Věk (roky) Věk i tý interval o i e i o i e i 0,0 8, ,3 6, ,7 5, ,0 33, ,3 4, ,7 50, ,0 58, ,3 66, ,7 75, ,0 83, ,3 9, ,7 00,

52 Příklad melanom a normální rozdělení Chceme zjistit, jestli věk u pacientů s melanomem vykazuje normální rozdělení. N( μ 56,, σ 8,4) Χ r i ( o i e e i 56,6 df r 9 i ) Odhad parametrů μ a σ z dat. Χ 56,6 χ p < 0,00 ( r ) ( α) χ (9) (0,05) 6,9 Věk (roky) Zamítáme H 0 o normalitě rozdělení věku pacientů s melanomem.

53 Příklad Poissonovo rozdělení Chceme ověřit, že počet pacientů, kteří přijdou ve všední den na zubní pohotovost se řídí Poissonovým rozdělením. Jednotkou času bude 30 minut. Celkem byly zaznamenány údaje za 00 půlhodinových úseků. H 0 : Počet příchodů pacientů během 30 minut má Poissonovo rozdělení. H : Počet příchodů pacientů během 30 minut nemá Poissonovo rozdělení. Neznáme parametr λ, je třeba ho odhadnout z dat: r ˆ λ x n ( K+ 0 ) i i xi n 00 S odhadem λ lze vypočítat pravděpodobnosti pro jednotlivé hodnoty X: Kvůli splnění předpokladu pro aproximaci na normální rozdělení sloučíme kategorie 8, 9, 0 a pacientů. p i P( X xi λ e xi ) x! i λ ,80

54 Příklad Poissonovo rozdělení Počet pacientů Pozorovaná četnost Očekávaná četnost x i o i e i np i , ,3 8 86, , , , , ,54 8 a více 9,75 Celkem Χ df r 9 Χ r i ( o e e ) r 7 8,50 < i i i χ( r ) 8,50 ( α) χ (7) Nezamítáme H 0 o tom, že data pochází z výběru s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti. (0,05) 4,07

55 Poděkování Rozvoj studijního oboru Matematická biologie PřFMU Brno je finančně podporován prostředky projektu ESF č. CZ..07/..00/ Víceoborová inovace studia Matematické biologie a státním rozpočtem České republiky

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová ADDS cvičení 7 Pavlína Kuráňová Analyzujte závislost věku obyvatel na místě kde nejčastěji tráví dovolenou. (dotazník dovolená, sloupce Jaký je Váš věk a Kde nejčastěji trávíte dovolenou) Analyzujte závislost

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA Medicína založená na důkazu - Modul 3B OBSAH: Úvodní definice... 2 Ověření homogenity pomocí Q statistiky... 3 Testování homogenity studií pomocí I 2 indexu... 6 Výpočet

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Vícerozměrné statistické metody

Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Průběh výuky 13 přednášek

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII

ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII Tomáš Katrňák Fakulta sociálních studií Masarykova univerzita Brno SOCIOLOGIE A STATISTIKA nadindividuální společenské struktury podmiňují lidské chování (Durkheim)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Projekt z předmětu Statistika

Projekt z předmětu Statistika Projekt z předmětu Téma: Typologie hráče české nejvyšší hokejové soutěže VŠB-TU Ostrava:Fakulta Elektrotechniky a informatiky jaro 2011 Martin Dočkal doc068 dockal.martin@gmail.com 1 Obsah 2 Zadání...

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Test obsahoval 7 otevřených otázek a 2 uzavřené alternativní otázky s možností volby ano, ne.

Test obsahoval 7 otevřených otázek a 2 uzavřené alternativní otázky s možností volby ano, ne. ! Cílem vysílání v rámci projektu ŠIK je také předávání praktických informací z oblasti rizikového chování. Vycházíme z přesvědčení, že člověk, který má dostatek pravdivých informací, má také větší "#$%&&%

Více

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů?

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? Dnes se podíváme na zoubek speciální třídě grafů, podle názvu článku a případně i ilustračního obrázku vpravo jste jistě již odhadli, že půjde o třídu pravděpodobnostních

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Přednáška 10. Analýza závislosti

Přednáška 10. Analýza závislosti Přednáška 10 Analýza závislosti Analýza závislosti dvou kategoriálních proměnných Analýza závislosti v kontingečních tabulkách Analýza závislosti v asociačních tabulkách Simpsonův paradox Analýza závislosti

Více

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy.

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Z pastí na daném území byla odhadnuta abundance několika druhů: myšice lesní 250, myšice křovinná 200, hraboš polní 150,

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY učební text Jan Famfulík Jana Míková Radek Krzyžanek Ostrava 2007 Recenze: Prof. Ing. Milan Lánský, DrSc. Název: Teorie údržby Autor: Ing.

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Statistika. Semestrální projekt

Statistika. Semestrální projekt Statistika Semestrální projekt 18.5.2013 Tomáš Jędrzejek, JED0008 Obsah Úvod 3 Analyzovaná data 4 Analýza dat 6 Statistická indukce 12 Závěr 15 1. Úvod Cílem této semestrální práce je aplikovat získané

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Statistika II distanční studijní opora Marie Budíková Brno 2006 Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES

Více

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat Jiří Šafr vytvořeno 29. 6. 2009 Dva základní typy statistiky 1. Popisná statistika: metody pro zjišťování a sumarizaci informací grfy, tabulky, popisné chrakteristiky

Více

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium

Více

Z metodologie známe dělení proměnných do několika skupin. Nejčastěji se užívá dělení dle S. Stevense. Nicméně nám postačí dělení jednodušší:

Z metodologie známe dělení proměnných do několika skupin. Nejčastěji se užívá dělení dle S. Stevense. Nicméně nám postačí dělení jednodušší: Slovo úvodem Ne všechno, co si řekneme v tomto kurzu, je pravda. Není to proto, že by mým záměrem bylo před posluchači něco tajit nebo je uvádět ve zmatek. Problematika testování statistických hypotéz

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Spokojenost se životem

Spokojenost se životem SEMINÁRNÍ PRÁCE Spokojenost se životem (sekundárních analýza dat sociologického výzkumu Naše společnost 2007 ) Předmět: Analýza kvantitativních revize Šafr dat I. Jiří (18/2/2012) Vypracoval: ANONYMIZOVÁNO

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový

Více

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21 Příklad 1 Soutěž o nelepší akost výrobků obeslali čtyři výrobci A, B, C, D celkem 26 výrobky. Porota sestavila toto pořadí (uveden pouze původ výrobku od nelepšího k nehoršímu): Pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8

Více

ANALÝZA OBTÍŽNOSTI TESTU STUDIJNÍCH PŘEDPOKLADŮ NA EKONOMICKO SPRÁVNÍ A PRÁVNICKÉ FAKULTĚ MASARYKOVY UNIVERZITY V ROCE 2004.

ANALÝZA OBTÍŽNOSTI TESTU STUDIJNÍCH PŘEDPOKLADŮ NA EKONOMICKO SPRÁVNÍ A PRÁVNICKÉ FAKULTĚ MASARYKOVY UNIVERZITY V ROCE 2004. ANALÝZA OBTÍŽNOSTI TESTU STUDIJNÍCH PŘEDPOKLADŮ NA EKONOMICKO SPRÁVNÍ A PRÁVNICKÉ FAKULTĚ MASARYKOVY UNIVERZITY V ROCE 04 Marie Budíková Katedra aplikované matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76 1 / 76 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

1) Jsou normy v ČR závazné a jaká je jejich úloha? normy nejsou v ČR závazné od roku 2000 od roku 2000 mají pouze doporučující charakter

1) Jsou normy v ČR závazné a jaká je jejich úloha? normy nejsou v ČR závazné od roku 2000 od roku 2000 mají pouze doporučující charakter NORMY A STANDARDY KVALITY 1) Jsou normy v ČR závazné a jaká je jejich úloha? normy nejsou v ČR závazné od roku 2000 od roku 2000 mají pouze doporučující charakter pokud u výrobku, který byl vyroben podle

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky

Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky Jiří Šafr FHS UK poslední revize 31. srpna 2010 Logika kontingenčních tabulek... 2 Postup vytváření kontingenčních tabulek v PSPP (SPSS)....

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen společnost) stanoví k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen osvědčení) následující

Více

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35 Obsah 1 Popisná statistika 4 1.1 bas stat........................................ 5 1.2 mean.......................................... 6 1.3 meansq........................................ 7 1.4 sumsq.........................................

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky STATISTIKA V SPSS Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček 2014 Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček STATISTIKA V SPSS 1. vydání

Více

IKTA : analýza dat 2009-2012 IC Nemocnice Chomutov (1) MUDr. Jiří Neumann MUDr. Ján Macko

IKTA : analýza dat 2009-2012 IC Nemocnice Chomutov (1) MUDr. Jiří Neumann MUDr. Ján Macko IKTA : analýza dat 2009-2012 IC Nemocnice Chomutov (1) MUDr. Jiří Neumann MUDr. Ján Macko Iktové centrum - Neurologické oddělení Krajská zdravotní a.s. Nemocnice Chomutov o.z. NÁRODNÍ REGISTR CMP Lokální

Více

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní

Více

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Západočeská univerzita v Plzni Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady Martina Litschmannová 1. strana ze 159 1 Explorační analýza

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více