Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Petr Beremlijski, Marie Sadowská"

Transkript

1 Počítačová cvičení Pet Beemlijski, Maie Sadowská Kateda aplikované matematik Fakulta elektotechnik a infomatik VŠB - Technická univezita Ostava

2 Cvičení 1 - Matlab - nástoj po matematické modelování Abchom se mohli věnovat numeickému řešení matematických úloh, potřebujeme vhodné postředí, kteé nám to umožní. A tak jako fzik či chemik mají svou laboatoř nebo patolog pitevnu, mají i numeičtí matematici svojí Maticovou laboatoř 1 - Matlab. Podobně se tomuto pacovnímu postředí a jeho příkazům věnuje přiložený Matlabovský slabikář 2. M si v tomto tetu uvedeme pouze stučný přehled matlabovských poměnných a příkazů, kteým se budeme věnovat. Postředí help, demos, into, who, whos, clea, size, length Poměnné Skalá Vekto Matice Příkaz Skalání funkce - sin, cos, tan, ep, log, abs, sqt, ound Vektoové funkce a geneování vektoů - ma, min, sot Maticové funkce a geneování matic - det, and, ones, zeos, ee Skalání opeace - +,,, /, Maticové a vektoové opeace - +,,, (tansponování), \ (A\v = A = v) Opeace po pvcích -.,.,./ 2D gafika (vkeslení gafů funkcí jedné poměnné) - plot, hold on, hold off, figue 3D gafika (vkeslení gafů funkcí dvou poměnných) - meshgid, mesh, contou, hold on, hold off, figue Řídící příkaz - if (podmíněný příkaz) fo, while (příkaz cklu se známým počtem opakování a podmínkou na začátku) 1 MATi LABoato 2 K. Sigmon - MATLAB Pime 1

3 Relace a logické opeace - <, >, <=, >=, ==, =, &,, Skipt a funkce - function Vše si vzkoušíme při řešení následujících úloh. Příklad 1 Kolik členů hamonické řad 3 musíte nejméně sečíst, ab tento částečný součet řad měl hodnotu alespoň 10 (15, 20)? Příklad 2 Zkuste odhadnout s vužitím Matlabu součet řad ( 1 n=1 1 n n+1). Příklad 3 Sestojte gaf následujících funkcí: f() = 2 f() = 1 2 f() = 2 sin ( 1 2 ) f() = Příklad 4 Sestojte gaf následujících funkcí: f(, ) = f(, ) = ( f(, ) = ( ) sin f(, ) = ) 3 Řadou (eálných čísel) ozumíme výaz a 1 + a a n + = n=1 a n, kde po každé n N je a n R. Hamonickou nazýváme řadu n=1 1 n. 2

4 Cvičení 2 - Co dokáže a nedokáže Matlab - řešení jedné úloh s pemutací Pogam po numeické výpočt, mezi něž patří i Matlab, umí vřešit mnoho i velmi komplikovaných úloh v ozumném čase. Nejsou však všemocné a mají své limit. Vhodně to ilustuje tato úloha: Nalezněte nejmenší přiozené číslo n, po kteé největší společný dělitel čísel (n ) a ((n + 1) ) není 1. Pokud bste chtěli tuto úlohu řešit počítačem, čekali bste opavdu dlouho, potože řešením této úloh je n = M si omezení Matlabu uvědomíme dík následujícímu příkladu. V tomto příkladě budeme mít za úkol zjistit pavděpodobnost výsktu daného jevu. Nejjednodušší, ale ne nejméně pacnou, možností, jak vpočíst pavděpodobnost učitého jevu, je zjistit počet příznivých možností a podělit jej počtem všech možností. Příklad 1 Mějme posloupnost přiozených čísel 1, 2, 3,..., n. Poté ji náhodně pomíchejte. Jaká je pavděpodobnost, že ani jedno číslo nebude na své původní pozici? 5 Vřešte pomocí Matlabu. Po jak velké n jste schopni tuto pavděpodobnost zjistit? Nápověda: Po algoitmizaci úloh použijte ekuzi 6. 4 Odhadněte, jak dlouho budete čekat na nalezení řešení, pokud máte počítač, kteý zvládne miliadu opeací za sekundu a předpokládáte, že nalezení největšího společného dělitele po jedno konkétní n se dá dosáhnout jednou opeací. 5 Všimněte si, jaké číslo získáte, pokud vpočtete převácenou hodnotu zjištěné pavděpodobnosti. 6 V pogamování ekuze představuje opakované vnořené volání stejné funkce (podpogamu), takovou funkci pak nazveme ekuzivní. Součástí ekuzivní funkce musí být ukončující podmínka, kteá učuje, kd se má vnořování zastavit. Po použití ekuze je zapotřebí, ab pogamovací jazk umožňoval volání podpogamu ještě před ukončením jeho předchozího volání. Po každém koku volání sebe sama dochází ke zjednodušení poblému, pokud není splněna ukončující podmínka, povede se ekuzivní kok. 3

5 Cvičení 3 - Páce s vekto a maticemi - vhledávání v databázích a tocha geometie navch Podívejme se na dvě aplikace aitmetických vektoů a matic. Vhledávání v databázích Nejpve si zavedeme pojem aitmetický vekto. N-ozměný aitmetický vekto je uspořádaná n-tice čísel, jejíž pvk se nazývají složk. Tto uspořádané n-tice budeme zapisovat do hanatých závoek do řádků nebo sloupců. Připomeňme si skalání součin dvou aitmetických vektoů o n složkách, kteý je definován vztahem u v = u v cos ϕ, kde u = n i=1 u2 i a ϕ je úhel, kteý svíají vekto u a v. u ϕ v O vektoech řekneme, že jsou si blízké, pokud úhel ϕ je blízký 0. Např. na následujícím obázku je vekto u blízký v. u v ϕ1 ϕ2 w Blízkosti vektoů můžeme vužít při vhledávání v databázích. Ilustujme si to na následujícím příkladě. Mějme kuchařku, kteá obsahuje n eceptů, kde každý ecept obsahuje někteou z k suovin. Takovou databázi eceptů můžeme popsat n vekto 1, 2,..., n o k složkách. Pokud chceme vbat ecept se suovinami, kteé nejlépe splňují náš požadovaný výbě, pak můžeme náš požadavek zapsat jako vekto p o k složkách a naším úkolem je najít vekto i z vektoů 1, 2,..., n, kteý je nejbližší vektou p (tj. platí, že i p i p = cos ϕ i je největší ze všech l p l p = cos ϕ l l = 1,..., n). 4

6 Příklad 1 Popište následující ecept pomocí vektoů jako v předchozím tetu: Bucht - ingedience: 100 g He, 100 g cuku moučka, 2 vejce, 500 g hladké mouk, 1/4 l mléka, 30 g doždí Čínské placičk - ingedience: 3 silnější kuřecí řízk, 3 vejce, 1 dobně nakájená cibule, 4 lžíce Solamlu, sůl, 4 lžíce oleje, 1 lžíce sojové omáčk, 1 lžíce wocesteové omáčk Čočková polévka - ingedience: 1 lžíce olivového oleje, 1 mkev, 1 cibule, 4 stoužk česneku, 50 g žitné mouk, 450 g čočk, sůl, 1 kostka zeleninového bujónu, podle chuti chilli nebo caenský pepř, majoánka, 10g másla, 2 lžíce plnotučné hořčice, 2 vejce, petželka Domácí bucht - ingedience: 600 g polohubé mouk, 1/4 l mléka, 2 vejce, 10 lžic oleje, 40 g cuku, 1 pášek do pečiva, 1 kostička doždí (42 g), špetka soli Evíkova mňamka - ingedience: 4 kuřecí řízk, 8 plátků anglické slanin, sý podle chuti (eidam, blat ácké zlato, hemelín, niva..., ale vžd jen jeden duh), 1 cibule, sůl, pepř, 50 g másla, 1 lžíce sojové omáčk Chléb - ingedience: 1,5 lžíce octa, 3 lžíce olivového oleje, 10 g cuku, 3 lžičk soli, 360 g hladké mouk pšeničné, 140 g žitné mouk, 75 g celoznné mouk žitné, 75 g celoznné mouk pšeničné, lžíce kmínu, 15 g sušeného doždí Chlebíčková pomazánka - ingedience: 100 g bambo, 1 cibule, 1 lžíce tataské omáčk, sůl, pepř Kokosová hníčková bábovka - ingedience: 200 g hladké mouk, 10 lžic kokosu, 100 g cuku kupice, 1/4 l mléka, 6 lžic oleje, 1 pášek do pečiva, 1 vanilkový cuk, 3 vejce Kuřecí kousk v sýovém těstíčku - ingedience: 4 kuřecích psíček, sůl Těstíčko: 1 vejce, 0,05 l bílého vína, 80 g hladké mouk, stouhaný sý Desink: 100 g bílého jogutu, 5 lžic tatak, mletý bílý pepř, sůl, 2 stoužk česneku Pařížské kostk - ingedience: 440 g polohubé mouk, 220 g cuku, 7 lžic oleje, 1/4 l vlažného mléka, 2-3 lžíce kakaa, 1 pášek do pečiva, 3 celá vejce Peník - ingedience: 1/2 kg polohubé mouk, 350 g cuku kstal, 1/2 l mléka, 10 lžic oleje, 2 celá vejce, 4 lžíce ozředěných povidel, 2-3 lžíce kakaa, 1 lžička jedlé sod, 1 pášek do pečiva, špetka soli, 1 lžička mleté skořice, lze přidat najemno nastouhaná 2-3 jablka Pizza těsto - ingedience: 0,5 kg hladké mouk, 1 lžíce olivového oleje, 1 lžíce soli, 15 g doždí Plněné kuře - ingedience: 1 kuře, 1 velká cibule, 3 plátk anglické slanin, 2 lžíce oleje, sůl Plněný cop - ingedience: 500 g polohubé mouk, 50 g moučkového cuku, 3 žloutk, 100 g ozpuštěného másla, špetka soli, 0,2 l mléka, 40 g doždí Náplň: 5 lžic stouhaných lískových oříšků, 100 g cuku, 3 vejce, špetka skořice, vejce na potření, sekané oříšk na pospání Tatanské pacn - ingedience: 300 g hladké mouk, 250 g He, 100 g moučkového cuku, 1 vejce, 1 lžíce kakaa, 1 lžička skořice, 6 lžic mletých ořechů, oříšků nebo mandlí (může se i namíchat) Tadiční italské lasagne - ingedience: Boloňská omáčka: 1 lžíce olivového oleje, 1 střední cibule, 1 stoužek česneku, 500 g mletého hovězího (kuřecího, sójového masa, jaké kdo má ád), 250 g oloupaných celých či nakájených ajčat v plechovce, 2 lžíce ajčatového potlaku, 4 lžíce čeveného vína, sůl, čestvě namletý pepř Sýová omáčka: 50 g másla, 50 g mouk, 0,6 l mléka, sý na stouhání (Čeda) 12 listů vaječných těstovin - lasagní Vepřová kýta - ingedience: 6 řízků z kýt, 1 lžička soli, 1 lžička pepře, 1/2 lžíce solamlu, 1 lžíce wochestové omáčk, 2 stoužk česneku, 1/2 lžičk majoánk, 2 vejce, 1 lžíce aj. potlaku, 1 lžíce oleje Zkuste na základě blízkosti vhledat, kteé ecept obsahují ingedience nejlépe odpovídající těmto třem požadavkům: 100 gamů cuku, 20 gamů doždí, 100 gamů He, 2 lžíce kakaa, 500 gamů mouk a skořice 5

7 sůl, sý a wocheste 2 stoužk česneku, 1 lžíce hořčice, 3 kuřecí řízk, majoánka, pepř, 2 plátk slanin a sůl Použití matic při zápisu geometických zobazení Začneme zavedením pojmu matice. Necht jsou dán pvk a 11, a 12,..., a mn množin F. Matice tpu (m, n) je obdélníková tabulka a a 1n A =....., a m1... a mn z dané kteá má m n pvků a ij uspořádaných do m řádků i A a n sloupců s A j, takže A A = 1. = [ ] s A 1,..., s A n, A m A i = [a i1,..., a in ], s A j = Stučně píšeme též A = [a ij ]. Nní si zavedeme opeaci násobení matic. K tomu ale potřebujeme nejdříve definovat násobení matice a vektou. Součinem matice A = [a ij ] tpu (m, n) a sloupcového vektou = [ i ] o n složkách nazýváme vekto o m složkách definovaný předpisem Rozepsáním definice po složkách dostaneme a 1j. a mj = A = 1 s A n s A n.. [] i = [A] i = a i a in n = A i. Ted můžeme přejít k násobení matic. Jestliže A je matice tpu (m, p) a B je matice tpu (p, n), pak součin matic A a B je matice AB tpu (m, n) definovaná předpisem AB = [ As B 1,..., As B n ]. Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme [AB] ij = a i1 b 1j + + a ip b pj = A i s B j. 6

8 Než použijeme výše zavedenou opeaci, připomeneme si někteé pojm z oblasti geometických zobazení. Geometickým zobazením nazveme zobazení, kteé každému bodu A útvau U přiřazuje pávě jeden bod A útvau U. Bod A je tzv. vzo a bod A se označuje jako obaz. M se budeme zabývat třemi zobazeními, a to stejnolehlostí, otací a posunutím. Po připomenutí: Stejnolehlost: Mějme v ovině či postou ρ bod S. Geometické zobazení, při němž obazem bodu S je bod S a obazem každého A ρ, A S, je takový bod A ρ, že po vekto SA platí SA = κsa, kde κ R\{0, 1} je pevně zvolené, se nazývá stejnolehlostí (homotetií). Bod S nazýváme středem stejnolehosti a κ koeficientem stejnolehlosti. Stejnolehlost s κ = 1 je středovou souměností. vzo zobazení vzo zobazení stejnolehlost s κ = 2, S = [0, 0] Rotace: Otočení (otace) v ovině je geometické zobazení, kteé je chaakteizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem S, tzv. středem otočení, se změní o stejný úhel ϕ, tzv. úhel otočení, a vzdálenost bodů od středu otočení zůstává nezměněna. vzo zobazení vzo zobazení otace s ϕ = π/4, S = [0, 0] Posunutí: Posunutí (tanslace) je geometické zobazení, kteé je chaakteizováno tím, že všechn bod tansfomované množin bodů změní své katézské souřadnice o stejnou hodnotu, tj. 7

9 vzo zobazení vzo zobazení posunutí s vektoem posunutí [1, 1] ke každému bodu přičteme stejný vekto posunutí. Nní si ukážeme, jak lze pomocí elementáních maticových opeací zapsat výše uvedená zobazení. Zapišme souřadnice vzou geometického zobazení, tj. bodu z R 2 či R 3, do sloupcového vektou. Pokud vzoem zobazení je více bodů, zapíšeme je jako sloupcové vekto do matice P. Obaz bodů ve stejnolehlosti s koeficientem κ a středem v počátku zapíšeme jako součin tansfomační matice T tpu (n, n), kde n je ozmě postou, ve kteém zobazujeme (2 nebo 3), a matice P. Matice T má všechn pvk na hlavní diagonále ovn koeficientu stejnolehlosti κ. Všechn další pvk jsou nulové. Obaz bodů v otaci s úhlem otočení ϕ a středem otočení v počátku zapíšeme jako součin tansfomační matice R tpu (2, 2) a matice P, kde [ ] cos ϕ sin ϕ R =. sin ϕ cos ϕ Posunutí s vektoem posunutí pos ealizujeme tak, že ke každému sloupci matice P přičteme sloupcový vekto pos. Příklad 2 Implementujte geometická zobazení - stejnolehlost, otaci a posunutí. Nalezněte obaz tojúhelníku s vchol [1, 1], [2, 0] a [1, 1] ve stejnolehlosti se středem v počátku a s koeficientem stejnolehlosti 2, v otaci se středem otočení v počátku a úhlem otočení π/2 a v posunutí s vektoem posunutí [1, 1]. Zobazte vzo a jednotlivé obaz (použijte funkce plot a patch). 8

10 Cvičení 4 - Monte Calo Hledejme obsah kuhu o poloměu (představme si, že neznáme příslušný vzoec a nic nevíme o číslu π). Pvním nápadem b mohlo být zhotovení válcových nádob s ůznými polomě podstav (např. s polomě o délce 1 a 2 jednotek) a jednotkovou výškou. v=1 v=1 =1 =2 Objem vod, kteý se do takových nádob vejde, je oven obsahu podstav válce, tj. obsahu kuhu s poloměem. Rchle si všimneme, že pokud zvětšíme polomě podstav dvakát, zvětší se objem čtřikát a následně odvodíme, že obsah kuhu je přímo úměný duhé mocnině poloměu. Také zjistíme, že duhou mocninu poloměu kuhu musíme vnásobit vhodnou konstantou, abchom dostali spávnou hodnotu obsahu daného kuhu. Tuto konstantu označíme π. Eistuje mnoho možností, jak tuto konstantu odhadnout. Snad nejjednodušší způsob, jak stanovit meze po π, je vepsat do kuhu o poloměu čtveec a stejnému kuhu opsat jiný čtveec. Potože je snadné spočítat obsah daných čtveců, zjistíme, že π (2, 4) (délka stan menšího čtvece je 2, délka stan většího čtvece je 2). Mnohem ozumnější výsledek získáme, pokud budeme danému kuhu vepisovat n-úhelník a počítat jejich obsah. Tuto metodu nazýváme včepávací (ehaustní) a pavděpodobně pvní ji použil Eudoos 7. Než se budeme věnovat odhadům čísla π, podívejme se kátce na výpočet obvodu kuhu. Jistě víme, že obvod kuhu je přímo úměný dvojnásobku jeho poloměu, ale abchom dostali spávnou hodnotu, je nutno 2 vnásobit vhodnou konstantou. Na následujícím obázku povedeme přeuspořádání kuhu na útva, kteý se po zjemňující se dělení kuhu blíží obdélníku. Poovnáním obsahu kuhu a vzniklého obdélníku je názoně vidět, že tato konstanta je opět π. 7 Eudoos (410 nebo 408 př. n. l. 355 nebo 347 př. n. l.) řecký astonom, matematik a fzik, student Platóna 9

11 o = 2k k k zjemnění dělení k k = π Nní si ukážeme několik způsobů, jak nalézt přibližnou hodnotu čísla π. Buffonova metoda Řešením tzv. Buffonova poblému s jehlou 8 je apoimace čísla π. Úloha spočívá v opakovaném házení jehl o délce l na ovinu, na kteé máme vznačenu sít ovnoběžek o vzdálenosti s l. Jestliže jehlu hodíme n-kát a -kát nám během těchto pokusů po dopadu zkříží někteou z ovnoběžek, pak v případě, že s = 2l, číslo n apoimuje s danou přesností číslo π. V oce 1975 pánové Pelman a Wichea publikovali tento výsledek týkající se přesnosti Buffonov metod: S pavděpodobností 95 pocent nemá chba apoimace hodnotu větší než 5/ n. Tzn. například po pokusů nám s pavděpodobností 95 pocent chba nepřekočí hodnotu 0, 05. Příklad 1 Implementujte Buffonovu metodu a použijte ji k apoimaci čísla π. Poovnejte vaši apoimaci se skutečnou hodnotou čísla π a učete chbu apoimace. 8 G. L. Buffon ( ) fancouzský příodovědec 10

12 Metoda Monte Calo Monte Calo je třída výpočetních algoitmů založená na povádění náhodných epeimentů. Této metod se často používá po simulaci fzikálních a matematických sstémů. Výsledkem povedení velkého množství epeimentů je obvkle pavděpodobnost učitého jevu. Na základě získané pavděpodobnosti a známých vztahů pak spočítáme potřebné výsledk. Potože metoda vžaduje geneování velkého soubou náhodných dat, je vhodné po její implementaci použití počítače. Metod Monte Calo se používá v případě, kd je příliš pacné nebo nemožné nalézt přesný výsledek jiným způsobem. Její výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou elativně malá přesnost. Metoda bla vtvořena skupinou fziků pacujících na pojektu jadené pum v Los Alamos, jméno metod blo navženo v oce 1940 von Neumannem 9. V matematice se Monte Calo používá zejména po výpočet učitých integálů (zejména vícenásobných učitých integálů), kteé je obtížné či nemožné včíslit analtick nebo jinou vhodnou numeickou metodou. Např. obsah ploch ohaničené shoa gafem funkce = 2 na intevalu 0, 1 (tj d) je možné metodou Monte Calo vpočíst následujícím způsobem. Necht náš pogam geneuje náhodně dvojice čísel [, ], přičemž každé z čísel a je vbáno nezávisle z intevalu 0, 1. Tuto dvojici budeme chápat jako souřadnice bodu, kteý je náhodně zvolen ve čtveci 0, 1 0, 1. Pavděpodobnost toho, že bod leží uvnitř zadaného čtvece, je 1. Pavděpodobnost toho, že bod leží uvnitř podmnožin E jednotkového čtvece (tj. čtvece, jehož stana má jednotkovou velikost), je ovna obsahu ploch E. Takže obsah ploch, kteá je podmnožinou jednotkového čtvece, můžeme odhadnout jako pavděpodobnost, že náhodně zvolený bod leží v této podmnožině. = 2 E Příklad 2 Implementujte metodu Monte Calo po výpočet d. Po odhad přesnoti metod Monte Calo platí: S pavděpodobností 95 pocent nemá chba apoimace hodnotu větší než 1/ n. Tzn. například po pokusů nám s pavděpodobností 95 pocent chba nepřekočí hodnotu 0, 01. Pokud chceme použít metodu Monte Calo k apoimaci čísla π, vpočteme d. Snadno si uvědomíme, že tímto způsobem získáme apoimaci hodnot π/4. 9 John von Neumann ( ) mad aský matematik 11

13 = 1 2 E Příklad 3 Implementujte metodu Monte Calo po výpočet d a použijte ji k apoimaci čísla π. Poovnejte vaši apoimaci se skutečnou hodnotou čísla π a učete chbu apoimace. Řad Poslední možností k apoimaci čísla π, kteou si v tomto přehledu ukážeme, je vužití řad 10. K této apoimaci použijeme Gegoho řadu 11, kteá ozvíjí funkci actg : actg = Tato řada má konečný součet po 1, 1 (říkáme, že konveguje), navíc platí, že čím je menší než 1, tím méně členů řad potřebujeme použít k nahazení actg s uspokojivou přesností. Pvní možností, jak apoimovat π, je tudíž nahadit actg 1 Gegoho řadou (actg 1 = π/4). Apoimaci s chlejší konvegencí získáme, pokud použijeme ovnost actg 1 = actg (1/2) + actg (1/3). 10 Řadou (eálných čísel) ozumíme výaz a 1 + a a n + = n=1 a n, kde po každé n N je a n R. 11 James Gego ( ) skotský matematik a astonom 12

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

Žitné mouky T 960 Žitná chlebová T 1700 Žitná celozrnná

Žitné mouky T 960 Žitná chlebová T 1700 Žitná celozrnná Pšeničné mouky 00 Pšeničná mouka hladká světlá T 400 Pšeničná výběrová polohrubá T 405 je umletá ze zrna, které má odstraněný klíček a obal (otrubu) a je vlastně nejsvětlejší a tedy nejmíň celozrnná. T

Více

Ceník r. 2014 EXPRES MENU, s.r.o. TRUTNOV HOTOVÉ JÍDLO STERILOVANÉ 5 porcí bez přílohy

Ceník r. 2014 EXPRES MENU, s.r.o. TRUTNOV HOTOVÉ JÍDLO STERILOVANÉ 5 porcí bez přílohy Ceník r. 2014 EXPRES MENU, s.r.o. TRUTNOV HOTOVÉ JÍDLO STERILOVANÉ 5 porcí bez přílohy Hlavní jídla Složení a charakteristika 100g masa/porce cena bez DPH 150 g/porce Maso kuřecí stehenní - kousky: Kuřecí

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

2 lžíce bambusových výhonků 1 lžíce sezamového oleje (lze použít i slunečnicový) III VII VIII

2 lžíce bambusových výhonků 1 lžíce sezamového oleje (lze použít i slunečnicový) III VII VIII 8 plátků toustového chleba 200 ml mléka ¼ lžičky mleté skořice 1 balení vanilkového cukru muškátový oříšek špetka soli moučkový cukr máslo sezonní ovoce 2 hrnky ovesných vloček 1 hrnek slunečnicových semínek

Více

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2

Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2 Uvedené pogamy kolegy velmi zaujaly. Všichni by je ádi ve výuce alespoň občas používali, ale poblém pávem viděli ve finanční náočnosti licencování uvedeného softwae jak po školu, tak po žáky (pokud by

Více

Ze všech surovin uhněťte těsto. Přikryjte a nechejte 3 hodiny odstát. Poté vyválejte a zpracujte.

Ze všech surovin uhněťte těsto. Přikryjte a nechejte 3 hodiny odstát. Poté vyválejte a zpracujte. ZÁKLADNÍ RECEPTY NA TĚSTO Křehké těsto na paštiky 1,5 kg mouky 15 g soli 250 g másla nebo sádla 3/8 l vody Ze všech surovin uhněťte těsto. Přikryjte a nechejte 3 hodiny odstát. Poté vyválejte a zpracujte.

Více

Boloňské špagety, sýr (Al.: 1, 3, 7) Jablková žemlovka (Al.: 1, 3, 7) Boloňské špagety, sýr (Al.: 1, 3, 7)

Boloňské špagety, sýr (Al.: 1, 3, 7) Jablková žemlovka (Al.: 1, 3, 7) Boloňské špagety, sýr (Al.: 1, 3, 7) .0.06 Boloňské špagety, sýr (Al.:,, 7) Jablková žemlovka (Al.:,, 7) Boloňské špagety, sýr (Al.:,, 7).0.06 Grilovaná krkovička, šťouchané brambory (Al.: ) Kuskus s kuřecím masem a zeleninou (Al.: 7) Grilovaná

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Jídelní lístek Menza UPOL

Jídelní lístek Menza UPOL 1..016 -..016 1 VEG 0, l Polévka kapustová A 1 00g Salát zeleninový (výdej u minutek) 10g Salát mrkvový s jablky a pomerančem 1/ ks Salát hlávkový s ředkvičkami 1ks Tatarská omáčka (kečup) A 1,, 6, 10

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Pondělí Kuřecí vývar se zeleninou a smaženým hráškem

Pondělí Kuřecí vývar se zeleninou a smaženým hráškem Pondělí 2.1.2017 Kuřecí vývar se zeleninou a smaženým hráškem - Kuřecí skelety, mrkev, celer, petržel, sůl, pepř mletý, kmín meletý, petželová nať, smažený hrášek Podkrkonošské kyselo - Směs smíšených

Více

PRODUKTOVÁ NABÍDKA. od 1.3.2015

PRODUKTOVÁ NABÍDKA. od 1.3.2015 PZP MERLIN s.r.o. s radostí vyrábíme pro vás Wilsonova 97, 53901 Hlinsko v Čechách tel/fax : 469 312 066, mob : 607 022 066, 774 999 727 e-mail : objednavky@pzpmerlin.com www.pzpmerlin.cz PRODUKTOVÁ NABÍDKA

Více

od do Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Vánoční prázdniny Vánoční prázdniny

od do Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Vánoční prázdniny Vánoční prázdniny Pondělí 2.1.2017 Úterý 3.1.2017 2 Středa 4.1.2017 2 Čtvrtek 5.1.2017 2 Pátek 6.1.2017 2 Vánoční prázdniny Vánoční prázdniny Med, máslo, chléb, rohlík, kakao / čaj (A: 01,03,07,12) Kmínová s kapáním (A:

Více

Čtvrtek 01.10.2015. Pátek 02.10.2015

Čtvrtek 01.10.2015. Pátek 02.10.2015 Čtvrtek..25 Masová s kapáním/dušená játra, rýže, jogurt, čaj, voda s citronem (obsahuje al. :,,,, ) Masová s kapáním/vepřová kotleta přírodní, brambory, zeleninová obloha, jogurt, čaj, voda s citronem

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

Vývar s masem a nudlemi 32,00 Česneková se šunkou a sýrem 32,00 Dle denního menu 32,00

Vývar s masem a nudlemi 32,00 Česneková se šunkou a sýrem 32,00 Dle denního menu 32,00 JÍDELNÍ LÍSTEK POLÉVKY Vývar s masem a nudlemi 32,00 Česneková se šunkou a sýrem 32,00 Dle denního menu 32,00 PŘEDKRMY TATARÁKY Hovězí tatarák 150g 215,00 čerstvě připravený, namíchaný a podáváme se čtyřmi

Více

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu

Kinematika. Hmotný bod. Poloha bodu Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény

Více

do Pátek

do Pátek Pátek 1.4.2016 rohlík grahamový, pomazánka cizrnová se zeleninou, zel.obloha, dětské cappucino obsahuje alergeny: 01a,01b,01c,03,06,07,09,10 polévka zabíjačková jemná, kynuté borůvkové knedlíky se strouhaným

Více

Alibábovka. Ingredience. Postup

Alibábovka. Ingredience. Postup Alibábovka 1 Hera, 1/2 sklenice vody (hořčicové), 1 a 3/4 sklenice cukru moučka, 1 vanilkový cukr, 2 sklenice hladké mouky, 1 prášek do pečiva, 4 žloutky, hrst nasekaných ořechů, 2 lžíce kakaa, sníh ze

Více

Jídelníček na 8. týden

Jídelníček na 8. týden Jídelníček na 8. týden ŽENA S NADVÁHOU (energetický příjem 1600 až 1700 kcal) Tyto recepty jsou určeny pro ženu s nadváhou. Pro vaši orientaci uvádíme následující přibližné parametry: střední věk 170 cm

Více

Pondělí 11:30-14:00. Vepřová plec na smetaně se šunkou a sterilovaným okurkem. Kuřecí prsa plněná listovým špenátem s nivovou omáčkou

Pondělí 11:30-14:00. Vepřová plec na smetaně se šunkou a sterilovaným okurkem. Kuřecí prsa plněná listovým špenátem s nivovou omáčkou 1. Pondělí Hamburská vepřová plec Vepřová plec na smetaně se šunkou a sterilovaným okurkem Kuřecí vějíř, ozdoba Kuřecí prsa plněná listovým špenátem s nivovou omáčkou Hovězí roštěná s mladou karotkou a

Více

Obědy - ZŠ a MŠ Dětenice

Obědy - ZŠ a MŠ Dětenice Pondělí 4.1.2016 Přesnídáv. houska ks, pomazánka vitamínová, paprika - zelenina příloha, čaj Polévka polévka bramborová s krupkami Oběd 1 těstoviny zapékané se sýrem a vejcem obsahuje alergeny: 03,07 Svačina

Více

Kniha receptur. Příloha č. 6 OBSAH. Úvod. Seznam zkratek a definice pojmů. Seznam použitých zkratek Přílohy k jídlům Vývary. Polévky.

Kniha receptur. Příloha č. 6 OBSAH. Úvod. Seznam zkratek a definice pojmů. Seznam použitých zkratek Přílohy k jídlům Vývary. Polévky. Kniha receptur OBSAH Seznam zkratek a definice pojmů Seznam použitých zkratek Přílohy k jídlům Vývary Polévky Hlavní jídla 1. cenová hladina - nadstandard (minutka) 2. cenová hladina - 2. a 3. jídlo s

Více

J í d e l n í l í s t e k

J í d e l n í l í s t e k Týden: 45. od: 2.11. do: 6.11. Po Polévka: Kuřecí vývar s pohankovými vločkami Rohlík Hlavní jídlo: Kuřecí perkelt Špecle (bramborové těstoviny) Út Smetanový krém Bobík Polévka: Z míchaných luštěnin Hlavní

Více

Restaurace Na Svaté Svatá 31 Zdice 314/003 699

Restaurace Na Svaté Svatá 31 Zdice 314/003 699 Studené předkrmy: 100g Pikantní salátek z olomouckých tvarůžků, pečivo 65.- 100g Talíř sušené šunky 75.- 100g Variace sýrů- niva, hermelín, olomoucké tvarůžky, máslo, pečivo 85.- 1ks Domácí nakládaný hermelín,

Více

1 Utopenec v octovém nálevu s cibulí a feferonkou, pečivo 47,- 2 Bramborák s klobásou 57,- 3 Nakládaný plněný hermelín v oleji, pečivo 64,-

1 Utopenec v octovém nálevu s cibulí a feferonkou, pečivo 47,- 2 Bramborák s klobásou 57,- 3 Nakládaný plněný hermelín v oleji, pečivo 64,- Před jídlem (k pivu a vínu) 1 Utopenec v octovém nálevu s cibulí a feferonkou, pečivo 47,- 2 Bramborák s klobásou 57,- 3 Nakládaný plněný hermelín v oleji, pečivo 64,- 5 Paštika s husími játry a mandlemi,

Více

Přesnídáv. slunečnicový chléb, pomazánka mrkvová, paprika - zelenina příloha, čaj / bílá káva obsahuje alergeny: 01,07

Přesnídáv. slunečnicový chléb, pomazánka mrkvová, paprika - zelenina příloha, čaj / bílá káva obsahuje alergeny: 01,07 Čtvrtek 1.12.2016 Přesnídáv. slunečnicový chléb, pomazánka mrkvová, paprika - zelenina příloha, čaj / bílá káva Polévka polévka hrstková,09 Oběd 1 špagety se zeleninovou omáčkou, jablka - příloha,06,09

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

od 02.09.2015 do 04.09.2015 Středa 2.9.2015 Čtvrtek 3.9.2015 Pátek 4.9.2015 rohlík, sýrová pomazánka, bílá káva obsahuje alergeny: 01,07,51,52,53

od 02.09.2015 do 04.09.2015 Středa 2.9.2015 Čtvrtek 3.9.2015 Pátek 4.9.2015 rohlík, sýrová pomazánka, bílá káva obsahuje alergeny: 01,07,51,52,53 od 02..25 do..25 Středa 2.9.25 Čtvrtek 3.9.25 Pátek 4.9.25 rohlík, sýrová pomazánka, bílá káva krupicová s vejcem obsahuje alergeny:,,,, sekaná pečeně, brambor, červená řepa, džus chléb, tuňáková pomazánka,

Více

Složení nebalených výrobků Studené kuchyně Srnín

Složení nebalených výrobků Studené kuchyně Srnín Složení nebalených výrobků Studené kuchyně Srnín Alergeny ve složení jsou vyznačeny tučně dle přílohy č.1, vyhlášky č.113/2005 Sb. Výrobky obsahují lepek, korýše, vejce, ryby, podzemnice, sojové boby,

Více

J Í D E L N Í L Í S T E K

J Í D E L N Í L Í S T E K Zařízení: VLRZ, Magnitogorská 2, 0 00 Praha 0 VK Vyškov - středisko Moravská Třebová 26.0.205 2:0 Snídaně Přídavek J Í D E L N Í L Í S T E K Hlavní činnost - vzs - žáci na dny 2..205-3..205 Pondělí 2..205

Více

ZELENINOVÝ VÝVAR S KUSKUSEM

ZELENINOVÝ VÝVAR S KUSKUSEM 31.8. - 4.9.2015 HLAVNÍ PRÁZDNINY polévka z červených fazolí s tomatem I. zeleninové rizoto, strouhaný sýr, pórkový salát s mrkví II. nevaří se z provozních důvodů polévka z rybího filé s houskou I. kuřecí

Více

Pondělí. Polévka Hlavní jídlo číslo 1 číslo 2 MŠ-R MŠ-O. Úterý. Polévka Hlavní jídlo číslo 1 číslo 2 MŠ-R MŠ-O. Středa

Pondělí. Polévka Hlavní jídlo číslo 1 číslo 2 MŠ-R MŠ-O. Úterý. Polévka Hlavní jídlo číslo 1 číslo 2 MŠ-R MŠ-O. Středa Pondělí Úterý Středa Čtvrtek 1.5.2014 STÁTNÍ SVÁTEK Pátek 2.5.2014 ŘEDITELSKÉ VOLNO Pondělí 5.5.2014 Slepičí vývasr s nudlemi Buchtičky se šodo Kuskus se zeleninou a kuřecím masem Rohlík, pl. Uzený sýr,

Více

DENNÍ MENU

DENNÍ MENU 28. 11. 2016 Zelná s bramborem Codfish with coconut milk and curry (treska s kokosovým mlékem a kari) Kuře pečené na česneku a anglické slanině Vepřové medailonky s mexickou zeleninovou salsou Cuketové

Více

J Í D E L N Í Č E K Od pondělí do pátku

J Í D E L N Í Č E K Od pondělí do pátku Od pondělí 2. 1. do pátku 6.1. 2017 Alergeny: Polévka: Zeleninová 1,9 Strakův pekáč / kys.zelí, vepř kýta, rýže, smetana/ 7 Polévka: Skelná 1,3,9 Špagety po italsku, hlávkový salát 1 Pečené kuře, vařené

Více

Škola- srpen do Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek

Škola- srpen do Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Pondělí 1.8.2016 Úterý 2.8.2016 Středa 3.8.2016 Čtvrtek 4.8.2016 Pátek 5.8.2016 kaše jáhlová, meruňky - ovoce příloha, čaj gulášová polévka květák na mozeček, brambory m.m., anglická dušená zelenina -

Více

Složení nabalených lahůdkářských výrobků + alereny

Složení nabalených lahůdkářských výrobků + alereny Výrobce: Marie Cejnková - Jihlavské lahůdky, Žižkova 18, Jihlava 586 01 Složení nabalených lahůdkářských výrobků + alereny Všechny výrobky skladujte při teplotě od 0 do + 5 C. Číslo Název Hmotnost g MJ

Více

PŘEDKRMY. Dále polévky dle denní nabídky

PŘEDKRMY. Dále polévky dle denní nabídky PŘEDKRMY 1. Tatarák z lososa 100g losos, limetka, tousty 2. Tatarský biftek 200g mletá hovězí svíčková, vejce, česnek, topinky TOPINKY 3. Topinka s kuřecí směsí a sýrem 100g 2 ks topinky, kuřecí maso,

Více

Restaurace Horského hotelu EXCELSIOR. Jídelní lístek

Restaurace Horského hotelu EXCELSIOR. Jídelní lístek Restaurace Horského hotelu EXCELSIOR Jídelní lístek Dle nařízení Evropského parlamentu a Rady EU č. 1169/2011 jsme povinni informovat naše zákazníky o tom, že naše pokrmy a nápoje mohou obsahovat látky

Více

Modely produkčních systémů. Plánování výroby. seminární práce. Autor: Jakub Mertl. Xname: xmerj08. Datum: ZS 07/08

Modely produkčních systémů. Plánování výroby. seminární práce. Autor: Jakub Mertl. Xname: xmerj08. Datum: ZS 07/08 Modely podukčních systémů Plánování výoby seminání páce Auto: Jakub Metl Xname: xmej08 Datum: ZS 07/08 Obsah Obsah... Úvod... 3 1. Výobní linky... 4 1.1. Výobní místo 1... 4 1.. Výobní místo... 5 1.3.

Více

J í d e l n í l í s t e k

J í d e l n í l í s t e k Týden: 22. od: 30.5. do: 3.6. Po Polévka: Kmínová s kapáním Domácí koláč Hlavní jídlo: Kuřecí řízek smažený Nápoj: Kakao Nápoj: Čaj/ džus Nápoj: Čaj/džus Polévka: Kuřecí vývar s hvězdičkami Út Ovocná přesnídávka

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

J Í D E L N Í Č E K ZŠ

J Í D E L N Í Č E K ZŠ Pondělí 2.5.2016 rajská s rýží obsahuje alergeny: 01,01a,07 Čínská masová směs, Rýže dušená, Čaj s citrónem obsahuje alergeny: 01,06,09,10 Fazole chilli con carne, Chléb,Čaj s citrónem obsahuje alergeny:

Více

MŠ a ZŠ do Pátek

MŠ a ZŠ do Pátek Pátek 1.4.2016 Přesnídáv. chléb s pomazánkovým máslem, paprika - zelenina příloha, čaj Polévka polévka vločková s brambory a zeleninou Oběd 1 kuřecí řízek smažený, brambory m.m., salát zeleninový s jablky,03,07,09

Více

Dle denní nabídky 35.-

Dle denní nabídky 35.- Studené předkrmy: 100g Zvěřinová paštika s brusinkovou omáčkou, pomerančem a opečeným toastem 47.- 100g Tlačenka s cibulí 30.- 100g Niva s jablky a vlašskými ořechy 45.- Polévka: Dle denní nabídky 35.-

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Předkrmy 69,-- 79,-- 69,-- 75,-- 49,-- 69,--

Předkrmy 69,-- 79,-- 69,-- 75,-- 49,-- 69,-- Předkrmy 100g Pomazánka z vepřových výpečků s cibulkou, čerstvý chléb 90g Uzené pstruží filátko, bylinkové máslo, toast 120g Špízky z baby mozzarellky a cherry rajčátek na čerstvém salátu 150g Kuřecí ragů

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Dle denní nabídky 35. 150g Uzené maso z naší udírny, křen, hořčice, pečivo 62.- 150g Pečené papriky plněné sýrem 68.-

Dle denní nabídky 35. 150g Uzené maso z naší udírny, křen, hořčice, pečivo 62.- 150g Pečené papriky plněné sýrem 68.- Studené předkrmy: 100g Pikantní salátek z olomouckých tvarůžků,pečivo 55.- 100g Talíř sušené šunky 75.- 200g Variace sýrů- niva, hermelín, olomoucké tvarůžky, máslo, pečivo 75.- 1ks Nakládaný hermelín,

Více

65 minut 4 porce VEPŘOVÝ VRABEC S DÝŇOVÝM ZELÍM

65 minut 4 porce VEPŘOVÝ VRABEC S DÝŇOVÝM ZELÍM VEPŘOVÝ VRABEC S DÝŇOVÝM ZELÍM 65 minut 600 g vepřové plece, 200 g cibule, 1 dýně Hokaido (váha cca 500 g), 100 g brambor, česnek, ocet, sůl, pepř. Dýni Hokaido opláchneme, rozkrojíme a zbavíme jader a

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Jídelníček na 9. týden

Jídelníček na 9. týden Jídelníček na 9. týden ŽENA S NADVÁHOU (energetický příjem 1600 až 1700 kcal) Tyto recepty jsou určeny pro ženu s nadváhou. Pro vaši orientaci uvádíme následující přibližné parametry: střední věk 170 cm

Více

III. Ol ČTVRTEK Polévka: Bramborová I. Vepřová krkovička na žampionech, vařené brambory, okurkový salát PÁTEK

III. Ol ČTVRTEK Polévka: Bramborová I. Vepřová krkovička na žampionech, vařené brambory, okurkový salát PÁTEK J Í D E L N Í L Í S T E K od 1. - 5.9.2014 Hovězí vývar se zeleninou a těstovinami Přírodní vepřová kotleta, vařené brambory, míchaný zeleninový salát Ol Žampionová Srbské rizoto syp.sýrem, steril.okurek

Více

200 g Hemenex 70,00 Kč 120 g Míchaná vejce 50,00 Kč

200 g Hemenex 70,00 Kč 120 g Míchaná vejce 50,00 Kč Studené předkrmy 100 g Škvarky s chlebem, cibule 45,00 Kč 80 g Šunková rolka s křenem 50,00 Kč 200 g Sýrový mix (niva, eidam, hermelín, uzený sýr) 75,00 Kč 80 g Hovězí carpaccio 95,00 Kč Teplé předkrmy

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

JÍDELNÍČEK D 3, 9 PŘEJEME VŠEM DOBROU CHUŤ

JÍDELNÍČEK D 3, 9 PŘEJEME VŠEM DOBROU CHUŤ JÍDELNÍČEK 21. 2016 D 3, 9 PŘEJEME VŠEM DOBROU CHUŤ Snídaně Svačina Oběd Svačina Večeře II. Večeře Sladké, kakao, Zeleninová polévka Chléb,, Vepřové po italsku, Salám, máslo, Hukvaldský závitek, rýže,

Více

JÍDELNÍČEK Vývařovna Rudolf Volf Blansko

JÍDELNÍČEK Vývařovna Rudolf Volf Blansko od 28.11.2016 do 4.12.2016 Den Polévka 1.jídlo 2.jídlo Dieta č 2 VÁHY PŘÍLOH 28.11 1a,7 1a,1b,7 1a,7 Koprová 29.11 Houbová s mlékem Provensálský vepřový plátek, Pečené kuřecí stehno, jasmínová 1a,7 Zeleninový

Více

Jídelní lístek. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště dopravní Čáslav, příspěvková organizace

Jídelní lístek. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště dopravní Čáslav, příspěvková organizace 1.6.2015 2.6.2015 3.6.2015 4.6.2015 5.6.2015 Snídaně Džem, med, máslo, pečivo, čaj Polévka Slepičí s těstovinou Oběd 1 Čevabčiči, brambory, hořčice, cibule Oběd 2 Rizoto pražského uzenáře Večeře Gulášová

Více

Před jídlem (k pivu a vínu)

Před jídlem (k pivu a vínu) Před jídlem (k pivu a vínu) 1 Utopenec v octovém nálevu s cibulí a feferonkou 47,- 2 Bramborák s klobásou 57,- 3 Nakládaný plněný hermelín v oleji 72,- 4 Škvarková pomazánka s chlebem 79,- 5 Paštika s

Více

od 14.9.2015 do 18.9.2015

od 14.9.2015 do 18.9.2015 od 14.9.2015 do 18.9.2015 Pondělí 14.9.2015 Polévka ZELENINOVÁ S RÝŽÍ obsahuje al.: 01,03,07,09 Oběd 1 ČUFTY V RAJSKÉ OMÁČCE, TĚSTOVINY obsahuje al.: 01,03,07,09 Oběd 2 ZELENINOVÉ PLACIČKY, BRAMBOROVÁ

Více

Jídelní lístek 5. 5. 9. 5. 2014

Jídelní lístek 5. 5. 9. 5. 2014 5. 5. 9. 5. 2014 Pondělí: Slepičí vývar s noky Zelené fazolky, smetanová omáčka, brambory, čaj : : Celerová pomazánka, toustový chléb, mléko, čaj Vločková polévka Čevapčiči, bramborová kaše, zeleninová

Více

Hladká mouka. Pepř mletý. Vepřové kostky. Knedlík bramborový - menší. Mazací sýr (Veselá kráva)

Hladká mouka. Pepř mletý. Vepřové kostky. Knedlík bramborový - menší. Mazací sýr (Veselá kráva) 470+370 - Norsko + přechod - 24.6. - 6.7. - jídelníček 40 osob + 2 řidiči (před zájezdem bude upraveno dle skutečného počtu) K jednotlivým večeřím dodělejte saláty dle uvážení (šopák, rajčatový, okurkový,

Více

6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot

6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot 6 Pokyny ke zpacování naměřených hodnot Při numeických výpočtech nesmíme zapomínat, že naměřené hodnoty veličin jsou pouze přibližná, neúplná čísla. Platné cify (číslice) daného čísla jsou všechny od pvní

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Leden týden 6.1. až 12.1.

Leden týden 6.1. až 12.1. týden 6.1. až 12.1. pondělí 6.1.2014 polévka zeleninová s bramborami čočka na kyselo, vejce, chléb, okurek, čaj chléb, medové máslo, ovoce, sirup úterý 7.1.2014 Přesnídávka: chléb, játrová pomazánka, okurek,

Více

Jídelníček na 5. týden

Jídelníček na 5. týden Jídelníček na 5. týden ŽENA S NADVÁHOU (energetický příjem 1600 až 1700 kcal) Tyto recepty jsou určeny pro ženu s nadváhou. Pro vaši orientaci uvádíme následující přibližné parametry: střední věk 170 cm

Více

Jídla připravil a dobrou chuť Vám přeje personál školní jídelny pod vedením vedoucí kuchařky Ivany Gottwaldové!

Jídla připravil a dobrou chuť Vám přeje personál školní jídelny pod vedením vedoucí kuchařky Ivany Gottwaldové! 1. 9. 2016 - čtvrtek ALERGENY polévka špenátová s opečenou houskou 1,3,7,9 zapečené těstoviny s vepřovým masem, rajčatový salát voda se sirupem, voda 1,3,7,9 2. 9. 2016 - pátek ALERGENY polévka slepičí

Více

125,- Kč. 280,- Kč. 55,- Kč. 60,- Kč. 60,- Kč. 50,- Kč POLÉVKY. 25,- Kč. 25,- Kč. 280,- Kč

125,- Kč. 280,- Kč. 55,- Kč. 60,- Kč. 60,- Kč. 50,- Kč POLÉVKY. 25,- Kč. 25,- Kč. 280,- Kč PŘEDKRMY 1.Tatarák z lososa 100g losos, limetka, tousty 2.Tatarský biftek 200g mleté hov. svíčková, vejce, česnek, topinky 3.Krabí koktejl 100g krabí tyčinky se zeleninou a majonézou 55,- Kč TOPINKY 4.Topinka

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Duben 2010. týden 1.4. až 4.4. čtvrtek 1.4.2010. pátek 2.4.2010. Velikonoční prázdniny. Velikonoční prázdniny

Duben 2010. týden 1.4. až 4.4. čtvrtek 1.4.2010. pátek 2.4.2010. Velikonoční prázdniny. Velikonoční prázdniny týden 1.4. až 4.4. čtvrtek 1.4.2010 pátek 2.4.2010 Velikonoční prázdniny Velikonoční prázdniny změna jídelníčku vyhrazena Strana 1 http://www.zspribram.cz pondělí 5.4.2010 Duben 2010 týden 5.4. až 11.4.

Více

100g Grilovaný hermelín s brusinkovou omáčkou na ledovém salátě (7) 95,-Kč. 120g Grilovaná mozarella v parmské šunce se sušenými rajčaty (7) 95,-Kč

100g Grilovaný hermelín s brusinkovou omáčkou na ledovém salátě (7) 95,-Kč. 120g Grilovaná mozarella v parmské šunce se sušenými rajčaty (7) 95,-Kč Předkrmy 100g Formagi misti (míchaný sýrový talíř) (7) 80,-Kč 100g Grilovaný hermelín s brusinkovou omáčkou na ledovém salátě (7) 95,-Kč 120g Grilovaná mozarella v parmské šunce se sušenými rajčaty (7)

Více

Třená bábovka. Bábovka. Bábovka z oleje. Bábovka DIA. Maková bábovka. Mramorová bábovka. Bábovka z pomazánkového másla. Bábovka

Třená bábovka. Bábovka. Bábovka z oleje. Bábovka DIA. Maková bábovka. Mramorová bábovka. Bábovka z pomazánkového másla. Bábovka Bábovky a buchty Třená bábovka 25 dkg hrubé mouky, 18 dkg cukru, 12 dkg tuku, 3 vejce, mléka dle potřeby, citr. kůra, vanilka, prášek do pečiva. Bábovka 20 dkg másla, 1/4 kg cukru moučky, 1/2 kg výběr.

Více

J Í D E L N Í L Í S T E K PONDĚLÍ Polévka: Hovězí vývar se zeleninou a těstovinami 1,9 I. Vepřová pečeně, vařené brambory, ratatouille 50 g 1

J Í D E L N Í L Í S T E K PONDĚLÍ Polévka: Hovězí vývar se zeleninou a těstovinami 1,9 I. Vepřová pečeně, vařené brambory, ratatouille 50 g 1 J Í D E L N Í L Í S T E K 29.2. PONDĚLÍ Hovězí vývar se zeleninou a těstovinami 1,9 Vepřová pečeně, vařené brambory, ratatouille 50 g 1 Ol 1.3. ÚTERÝ Vločková se zeleninou 1,9 Čočka s kuřecím masem (50g)

Více

DENNÍ MENU 21. 9. 2015

DENNÍ MENU 21. 9. 2015 21. 9. 2015 Dršťková polévka Kuřecí prsa na grilované paprice, pepřová omáčka Domácí sekaná plněná vejcem, sterilovaná okurka Pivovarský guláš Zapečené šunkofleky s uzeným masem, sterilovaná okurka Listový

Více

Kolik denně sníte syrové stravy( ovoce, zelenina, semena, ořechy..)? Nic Méně než 1/3 1/3

Kolik denně sníte syrové stravy( ovoce, zelenina, semena, ořechy..)? Nic Méně než 1/3 1/3 PŘÍLOHA 1 Anketa pro užší výběr probandek Myslíte si, že se stravujete racionálně? Jíte každý den ovoce a zeleninu? Kolik denně sníte syrové stravy( ovoce, zelenina, semena, ořechy..)? Nic Méně než 1/3

Více

Jídelníček na 1. týden

Jídelníček na 1. týden Jídelníček na 1. týden ŽENA S OBEZITOU (energetický příjem 2000 až 2100 kcal) Tyto recepty jsou určeny pro ženu s obezitou. Pro vaši orientaci uvádíme následující přibližné parametry: střední věk 170 cm

Více

Marinády - maso: Hořčičná marináda: Jogurtová marináda: Medová marináda: Kari marináda: Švestková marináda: Bylinková marináda: Meruňková marináda:

Marinády - maso: Hořčičná marináda: Jogurtová marináda: Medová marináda: Kari marináda: Švestková marináda: Bylinková marináda: Meruňková marináda: Marinády - maso: Tyto marinády jsou určeny převážně na kuřecí, vepřová a hovězí masa,můžou být však použity i na maso klokaní. Všechny níže uvedené ingredience smícháme, omyté,nakrájené maso na plátky

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Studené předkrmy 50g Krabí koktejl (ananas, jablko, celer, majonéza) 48,- Kč

Studené předkrmy 50g Krabí koktejl (ananas, jablko, celer, majonéza) 48,- Kč Studené předkrmy 50g Krabí koktejl (ananas, jablko, celer, majonéza) 48,- Kč 50g 50g Kuřecí koktejl (mrkev, jablko, mandarinky, kys. Smetana) Kuřecí salát (kuřecí maso, hrášek, kukuřice, kapie, majonéza)

Více

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho

Více

JÍDELNÍČEK BŘEZEN 2015

JÍDELNÍČEK BŘEZEN 2015 JÍDELNÍČEK BŘEZEN 2015 2.3.PO*Květáková polévka se zeleným hráškem/1,3,7 1. Smetanové fusilli s kuřecím na rozmarýnu a jarní zeleninou/brokolice, sladký hrášek a kukuřice/1,3,7 5. / GF, V/ Květáková polévka

Více

JÍDELNÍ LÍSTEK Penzion Pod Rozhlednou

JÍDELNÍ LÍSTEK Penzion Pod Rozhlednou JÍDELNÍ LÍSTEK Penzion Pod Rozhlednou Studený předkrm: Cena Kč Utopenec, chléb 35,- Chléb se sádlem (cibule, okurek), pečivo 25,- Nakládaný Camembert, pečivo 39,- Talíř se třemi druhy sýrů, pečivo 49,-

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více