Planimetrie. Přímka a její části

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Planimetrie. Přímka a její části"

Transkript

1 Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma ůznými body Rovina - značí se malými písmeny řecké abecedy α, β, χ nebo ABC - třemi ůznými body je dána jedna ovina Úsečka - úsečka je půnik polopřímek AB a BA Poloovina - přímka dělí ovinu na dvě navzájem opačné polooviny a je jejich společnou haniční přímkou Vzájemná poloha útvaů: A k bod A leží na přímce k (bod je Incidentní) A ρ - bod A leží v ovině ρ (ovina ρ pochází bodem A) k ρ - přímka k leží v ovině ρ (ovina ρ obsahuje přímku k, pochází přímkou k) A k, A ρ, k ρ - opak (neleží, nepochází) Úhel - úhlem ozumíme buď půnik dvou poloovin s ůznoběžnými haničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel) Vcholové úhly: Dvě ůznoběžky p,q se společným bodem V ozdělí ovinu na čtyři úhly dvě dvojice úhlů jejichž amena jsou opačné polopřímky. Takové úhly nazýváme úhly vcholové. Vcholové úhly jsou shodné. Úhly souhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p II q ; m p. Souhlasnými úhly ozumíme úhly ležící v téže poloovině s haniční přímkou m, přičemž oba jsou záoveň osté nebo tupé. Střídavými úhly ozumíme úhly ležící v opačných poloovinách s haniční přímkou m, přičemž jsou oba záoveň osté nebo oba záoveň tupé. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou shodné. Souhlasné a střídavé úhly lze definovat obecně i mezi přímkami, kteé ovnoběžné nejsou. - souhlasnými úhly ozumíme úhly, kteé leží na stejné staně přímky m (tj. současně vlevo nebo současně vpavo) a na stejných stanách přímek p, q (tj. současně nahoře nebo dole). Přímky p,q pak nemusí být ovnoběžné a souhlasné úhly nemusí být shodné (podobně po úhly střídavé).

2 Tojúhelník Tojúhelníkem ABC (označíme Δ ABC ) ozumíme půnik poloovin Δ ABC = ABC ACB CBA, kde A;B;C jsou navzájem ůzné body, kteé neleží na jedné přímce. Nazýváme je vcholy tojúhelníka. Spojnice vcholů nazýváme stany tojúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = c ; BC = a; AC = b ). Sjednocení stan tojúhelníka nazýváme obvodem tojúhelníka. Konvexní úhly α = < BAC ; β = < ABC ; γ = < ACB jsou vnitřní úhly tojúhelníka, úhly k nim doplňkové jsou pak vnější úhly tojúhelníka. Součet vnitřních úhlů tojúhelníka: α + β + γ = 180. Součet vnějších úhlů tojúhelníka: α'=180 α ; β' = 180 β; γ'=180 γ Tojúhelníky dělíme: 1. podle délek stan na: - ůznostanné - ovnoamenné - ovnostanné. podle velikosti vnitřních úhlů na - tupoúhlé - pavoúhlé - ostoúhlé Tojúhelníková neovnost: Součet délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy větší než délka třetí stany. Rozdíl délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy menší než délka třetí stany. Poti větší staně tojúhelníka leží větší vnitřní úhel. Poti menší staně tojúhelníka leží menší vnitřní úhel. Poti shodným stanám tojúhelníka leží shodné vnitřní úhly. Shodnost tojúhelníků: Tojúhelníky stejně jako jiné útvay jsou shodné pávě tehdy, lze-li jeden na duhý přemístit tak, že splynou. V případě tojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny stany a všechny úhly. Zapisujeme Δ ABC Δ A'B'C'. Vcholy tojúhelníka v tomto zápisu je třeba chápat jako uspořádané tojice. Tento zápis totiž znamená, že shodné jsou pávě stany AB A'B' ; AC A'C'; BC B'C'. a úhly α =α '; β = β '; γ = γ '. Při zjišťování shodnosti tojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stan a záoveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna někteá z postačujících podmínek shodnosti tojúhelníků. Věty o shodnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou shodné pávě tehdy, když se shodují: věta sss: ve všech třech stanách věta sus: ve dvou stanách a v úhlu jimi sevřeném věta ssu: ve dvou stanách a v úhlu poti větší z nich věta usu: v jedné staně a úhlech k ní přilehlých Podobnost tojúhelníků: Dva tojúhelníky Δ ABC ; Δ A'B'C' se nazývají podobné (značíme Δ ABC ~ Δ A'B'C') pávě tehdy, když existuje kladné eálné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že AB = k A'B' ; AC = k A'C' ; BC =k B'C'. Stejně jako v zápisu shodnosti i v zápisu podobnosti je třeba chápat vcholy jako uspořádané tojice. Zápis nás tedy infomuje nejen o podobnosti samotné, ale ovněž o tom, kteé vcholy, stany a úhly si v této podobnosti odpovídají. Podobnost tojúhelníků je tansitivní.

3 Věty o podobnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou podobné pávě tehdy, když: věta uu: se shodují ve dvou úhlech; věta sus: se shodují v poměu dvou stan a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shodují v poměu dvou stan a úhlu poti větší z nich. Střední příčka - spojnice středů dvou stan. Tojúhelníky Δ ABC a Δ S B S AC se shodují v poměu velikostí dvou stan AC =. S B C BC = S A C a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají společný). Podle věty sus jsou tedy podobné. Znamená to, že i AB =. S a S b a < BAC < S a S b C. Tyto úhly jsou však souhlasné úhly mezi úsečkami AB ; S b S a. Tyto úsečky musí být tedy ovnoběžné. Totéž platí i po zbývající příčky: Každá střední příčka je ovnoběžná se stanou, kteou nepochází, a má poloviční délku. Výška - kolmice spuštěná z vcholu na potější stanu. Všechny výšky se potínají v jednom bodě (tzv. otocentum). V případě tupoúhlého tojúhelníka se tento bod nachází mimo tojúhelník. Těžnice - spojnice vcholu a středu potější stany. Všechny těžnice se potínají v jednom bodě (tzv. těžiště). Těžiště dělí každou těžnici v poměu :1. Kužnice a kuh Kužnice: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) stejnou vzdálenost (tzv. polomě kužnice). Poloměem kužnice nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kužnici značíme nejčastěji k. Kužnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměem. Je-li kužnice k učena středem S a poloměem, zapisujeme k = (S, ). Kuhový oblouk: - dva body kužnice A k; B k ozdělí tuto kužnici na dva kuhové oblouky (kuhový oblouk značíme AB) Tětiva kužnice k = (S,) je libovolná úsečka AB, kde A,B k. Pochází-li středem kužnice, nazýváme ji půměem kužnice. Půmě je tedy nejdelší tětiva kužnice. Podobně jako u poloměu používáme i temín půmě také ve smyslu velikost nejdelší tětivy. Značíme d a platí d =. Kužnice a přímka mají: a) dva společné body (takovou přímku nazýváme sečnou) b) jeden společný bod (přímku nazýváme tečnou, společný bod je bod dotyku, říkáme také, že kužnice se dotýká přímky) c) žádný společný bod (hovoříme o vnější přímce) Pata kolmice vedené ze středu kužnice na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy). Tečna kužnice je kolmá k poloměu, kteý spojuje střed s bodem dotyku. Bodem M ležícím vně kužnice k pocházejí pávě dvě tečny této kužnice. Délka úsečky MT se nazývá délka tečny. Středový a obvodový úhel: Úhel ω = < ASB, jehož vcholem je střed kužnice a amena pocházejí kajními body oblouku AB, nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku. Každý úhel α = <AVB, kde body A,V,B leží na kužnici, nazýváme obvodovým úhlem příslušným k oblouku AB, kteý v tomto úhlu leží. Velikost středového úhlu je ovna dvojnásobku velikosti úhlu obvodového příslušného k témuž oblouku. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné.

4 ω = α ω - středový úhel α - obvodový úhel Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkužnici je pavý (neboli všechny úhly nad půměem kužnice jsou pavé). Konvexní úhel < ABX, kde body AB leží na kužnici a X na tečně k této kužnici v bodě A (popř. B ) se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB, kteý v tomto oblouku leží. Úsekový úhel je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku. Mocnost bodu ke kužnici: Je dána kužnice k = (S,) a libovolný bod M. Tímto bodem veďme sečnu p ke kužnici k a označme A, B půsečíky této přímky s kužnicí, tj. A,B k p Po každou takto sestojenou přímku pocházející pevným bodem M je MA MB = MT Je-li bod M vně kužnice k, nazýváme tento součin mocností bodu ke kužnici, je-li uvnitř kužnice, je mocností číslo MA MB. Mocnost bodů ležících na kužnici, je ovna nule. T dotykový bod tečny a kužnice. Kužnice a tojúhelník: Kužnice tojúhelníku opsaná: je kužnice, kteá pochází všemi vcholy tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os stan, polomě značíme obvykle. Kužnice tojúhelníku vepsaná: je kužnice, kteá se dotýká všech stan tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os vnitřních úhlů, její polomě značíme obvykle ρ. Kužnice tojúhelníku vepsaná Kuh: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) vzdálenost menší nebo ovnu danému kladnému číslu (tzv. polomě kuhu). Poloměem kuhu nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kuh značíme nejčastěji K. Kuh nejčastěji zadáváme jeho středem a poloměem. Je-li kuh takto učen, zapisujeme K = (S,). Množinu bodů, jejichž vzdálenost je ovna poloměu, nazýváme hanicí kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je menší, tvoří vnitřní oblast (vnitřek) kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je větší, tvoří vnější oblast (vnějšek) kuhu. Dva poloměy SA, SB ozdělí kuh na dvě kuhové výseče, tětiva AB na dvě kuhové úseče. Je-li AB půmě kuhu, nazýváme úseč půlkuhem.

5 Dvojice kužnic: Dvě kužnice o ůzných poloměech mohou mít nejvýše dva společné body. Mají-li dvě kužnice společný střed, nazýváme je soustředné. Soustředné kužnice buď nemají žádný společný bod nebo mají všechny body společné (splynou). Dvě soustředné kužnice k = (S;); l = (S; ) > učují tzv. mezikuží. Číslo nazýváme šířkou mezikuží. Půnik středového úhlu a mezikuží se nazývá výseč mezikuží. Kužnice, kteé nemají společný střed, se nazývají nesoustředné. Mnohoúhelníky - mnohoúhelníkem nazýváme uzavřenou lomenou čáu spolu s částí oviny ohaničenou touto lomenou čáou - n -úhelník nazýváme konvexní pávě tehdy, když leží v jedné z poloovin učených kteoukoli stanou lze definovat jako půnik poloovin Úhlopříčka je spojnice dvou vcholů, kteé spolu nesousedí. Počet úhlopříček v n úhelníku je {(n 3) * n } / Součet vnitřních úhlů je součtem vnitřních úhlů všech tvořících tojúhelníků, tj. (n ) 180 Pavidelný n -úhelník je n -úhelník, kteý lze zapsat jako sjednocení n ovnoamenných tojúhelníků, kteé mají společný hlavní vchol a vždy pávě dva mají pávě jedno společné ameno. Speciálně místo pavidelný tojúhelník používáme název ovnostanný tojúhelník a místo pavidelný čtyřúhelník používáme název čtveec. Speciální čtyřúhelníky: Lichoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě jednu dvojici ovnoběžných stan. Stany, kteé ovnoběžné nejsou, nazýváme amena. Lichoběžník, jehož amena jsou shodná, se nazývá ovnoamenný. Rovnoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě dvě dvojice ovnoběžných stan. Na připojeném obázku je Δ ACD Δ CAB podle věty usu (stana AC je společná, úhly k ní přilehlé jsou střídavé mezi ovnoběžkami). Znamená, to, že AB CD; BC DA. Dále tedy Δ ABS Δ CDS (opět věta usu, neboť AB CD a přilehlé úhly jsou opět střídavé úhly mezi ovnoběžkami). To znamená, že AS SC ; BS SD. Potější stany v ovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky ovnoběžníka se půlí. Kosočtveec: je ovnoběžník, kteý má shodné i sousední stany. V tom případě je Δ ADS Δ CDS (usu), a poto <ASD < CSD. Tyto úhly jsou ale úhly vedlejší, poto musejí být pavé: Úhlopříčky v kosočtveci jsou na sebe kolmé. Obdélník: je ovnoběžník, jehož stany jsou na sebe kolmé. Čtveec: je obdélník se shodnými stanami (popř. kosočtveec s kolmými stanami). Obecný ovnoběžník (tj. ovnoběžník, kteý není obdélníkem, čtvecem ani kosočtvecem) nazýváme kosodélník.

6 Řešení pavoúhlého tojúhelníku Euklidova věta o výšce obsah čtvece sestojeného nad výškou tojúhelníka se ovná obsahu obdélníka sestojeného z obou úseků na přeponě v c = c a c b Euklidova věta o odvěsně obsah čtvece sestojeného nad odvěsnou se ovná obsahu obdélníka sestojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně b = c c b a = c c a Pythagoova věta součet obsahů čtveců nad odvěsnami se ovná obsahu čtvece nad přeponou c = a + b Odvození - sečtením Euklidových vět: b = c c b a + b = c. c b + c c a a = c c a a + b = c. ( c a + c b ) Obvody a obsahy ovinných obazců Tojúhelník: O = a + b + c S = Heonův vzoec: S = s( s a)( s b)( s c) a v a s = a + b + c Obdélník: O = ( a + b) S = ab d c a b Rovnoběžník: O = ( a + b) S = a v a d a c v b Lichoběžník: O = a + b + c + ( a + c ) v S = d d a c v b Pavidelný n-úhelník: S = n S ABS n-kát obsah jednoho tojúhelníka Kuh: O = π S = π Mezikuží: S = π 1 π 1 Oblouk: O = ϕ úhel v adiánech Výseč: S = ϕ Úseč: 1 S = ϕ sin ϕ obsah výseče mínus obsah tojúhelníka

7 Množiny bodů dané vlastnosti Množinou všech bodů dané vlastnosti V je množina M bodů, kteé splňují tyto požadavky: 1. každý bod množiny M má danou vlastnost V,. každý bod, kteý má danou vlastnost V, patří do množiny M. Chceme li dokázat, že nějaká množina bodů je množina všech bodů dané vlastnosti, musíme ověřit obě podmínky. Duhou podmínku lze nahadit podmínkou ekvivalentní každý bod, kteý do množiny M nepatří, nemá danou vlastnost Kužnice - vzdálenost každého bodu kužnice k od středu S je ovna - každý bod oviny, jehož vzdálenost os středu S je ovna, leží na kužnici k kužnice k je množina všech bodů oviny, kteé mají od daného bodu S danou vzdálenost K (S;) = {x δ ; XS = } Osa úsečky - množina všech bodů, kteé mají od daných bodů A, B stejnou vzdálenost O = {x δ ; XA = XA } Při zjišťování jaký geometický útva je množinou bodů dané vlastnosti postupujeme: 1. sestojíme několik bodů, kteé mají danou vlastnost. vyslovíme hypotézu (domněnku), jaký geometický útva je množinou všech bodů dané vlastnosti 3. vyslovenou hypotézu dokážeme Množina všech bodů, kteé mají od dané přímky b vzdálenost v > 0, je dvojice přímek a, a' ovnoběžných s přímkou b, ležících v opačných poloovinách učených přímkou b ve vzdálenosti v od ní. {X δ ; Xb = v } = a U a' Množina všech bodů daného konvexního úhlu AVB, kteé mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho amena, je osa tohoto úhlu. o = {x < AVB; X VA = X VB } Množina všech bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ůznoběžek a, b, jsou osy o 1 ', o 1 ", o ', o " úhlu sevřených ůznoběžkami a, b, přitom o 1 ' U o 1 " = o 1 ; o ' U o " = o {X δ ; Xb = Xa } = (o 1 ' U o 1 ") U ( o ' U o ") Množina bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ovnoběžek a, b (a b), je osa o pásu (a, b) {X δ ; Xb = Xa } = o Množina vcholů všech pavých úhlů, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme danou úsečku AB pod pavým úhlem, je kužnice s půměem AB komě bodů A, B (Thaletova kužnice) {x δ; < AVB = 90} = T AB Množina vcholů o velikosti α, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů z nichž vidíme danou úsečku AB pod daným úhlem α, jsou dva shodné otevřené kužnicové oblouky k 1, k s kajními body A, B {x δ; < AVB = α} = k 1 U k

8 Konstukce - tojúhelník je dán vhodně zvolenými 3 pvky: 1. tojúhelník je dán třemi stanami. jsou dány dvě stany a úhel, kteý svíají 3. je dána stana a k ní dva přilehlé úhly 4. dány dvě stany a úhel poti větší z nich - konstukce čtyřúhelníků jde obvykle o konstukce tojúhelníků, na kteé je čtyřúhelník ozdělen úhlopříčkami - k učovacím pvkům čtyřúhelníku patří jeho stany, úhly, úhlopříčky, výšky a úhly úhlopříček - konstukce kužnic - požadujeme li, aby kužnice pocházela daným bodem, dotýkala se dané přímky nebo dané kužnice a kombinujeme li tyto podmínky po třech dostáváme tzv. Apolloniovy úlohy úloh je 10 (BBB, pbb, ppb, ppp, kbb, kkb, Bkp, ) - jestliže jeden z daných bodů leží na dané přímce nebo na dané kužnici, mluvíme o úlohách Pappových úloh je 6 ( (pb)b, (kb)b, (pb)p, (kb)p, (pb)k, (kb)k ) Příklady: 1. Jsou dány dvě ůznoběžné přímky a, b a přímka c, kteá je ovnoběžky potíná. Sestojte kužnici, kteá se dotýká všech daných přímek.. Sestojte tojúhelník, je li dáno t a, t b, t c 3. Je dána úsečka AB = 7 cm. Sestojte všechny ovnoběžníky ABCD, v nichž AC = 10 cm, v a = 4 cm. Konstukce na základě výpočtu: - při ozbou řešení konstukční úlohy hledáme vztah mezi délkami daných úseček a délkami úseček hledaného tvau, tento vztah vyjádříme užitím známých geometických vět ovnicí nebo soustavou ovnic ovnice řešíme Úlohy typu: 1. Obdélník má stany o délkách a, b. Sestojte čtveec o stejném obsahu. Jsou dány dvě úsečky o délkách a, b (a < b). Sestojte úsečku po kteou platí: x = a + b 3. Úsečku AB ozdělte na dvě části tak, aby pomě menší části k větší byl stejný jako pomě větší části k celé úsečce

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

Geometrie v rovině 2

Geometrie v rovině 2 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Geometrie

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013

18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013 18. Shodnost a podobnost trojúhelníků Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometie RND. Yvetta Batáková Gymnázium, OŠ a VOŠ Ledeč nad ázavou Objemy a povchy těles otační válec a kužel VY_3_INOVACE_05_3_17_M Gymnázium, OŠ a VOŠ Ledeč nad ázavou 1 Objemy a povchy těles A) Rotační

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi 5.3.4 Využití intefeence na tenkých vstvách v paxi Předpoklady: 5303 1. kontola vyboušení bousíme čočku, potřebujeme vyzkoušet zda je spávně vyboušená (má spávný tva) máme vyobený velice přesný odlitek

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Monika Urbancová Datum 28. 8. 2014 Ročník 6. ročník Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Příklady k opakování učiva ZŠ

Příklady k opakování učiva ZŠ Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Přímková a rovinná soustava sil

Přímková a rovinná soustava sil STAVEBNÍ STATIKA Ing. Lenka Lausová LH 47/1 tel. 59 73 136 římková a ovinná soustava sil lenka.lausova@vsb.c http://fast1.vsb.c/lausova Základní pojmy: Jednotková kužnice 1) Souřadný systém 1 sin potilehlá

Více

3.7. Magnetické pole elektrického proudu

3.7. Magnetické pole elektrického proudu 3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Pavlína

Více

1.7.10 Střední příčky trojúhelníku

1.7.10 Střední příčky trojúhelníku 1710 Střední příčky trojúhelníku Předpoklady: Př 1: Narýsuj libovolný trojúhelník (zvol ho tak, aby se co nejvíce lišil od trojúhelníku, který narýsoval soused) Najdi středy všech stran S a, S b a S c

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2 Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t

Více

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR ÚHEL ÚHEL = část rviny hraničená dvěma plpřímkami (VA, VB) se splečným pčátkem (V) úhel AVB: V vrchl úhlu VA, VB ramena úhlu Pznámka: Dvě plpřímky se splečným pčátkem rzdělí rvinu na dva úhly úhel knvexní,

Více

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ Poznámka autora Následující studijní materiál slouží jako pomůcka

Více

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku Matematika Vyučovací předmět navazuje na učivo matematiky I. stupně. Časová dotace předmětu je v 6., 7.,8. ročníku 4 hodiny, v 9. ročníku 5 hodin. Třída se na matematiku nedělí. Vyučovací předmět poskytuje

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!!

OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!! ZS1MP_PDM2 Didaktika matematiky 2 Katedra matematiky PedF MU v Brně Růžena Blažková, Milena Vaňurová OBVODY A OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ!Text je pracovní obrázky je potřeba spravit a doplnit!!! Text vychází

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV)

Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV) Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV) Školní výstupy Učivo Vztahy počítá zpaměti i písemně s přirozenými čísly dokáže analyzovat text jednoduchých slovních úloh vyjadřuje část celku pomocí zlomků

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková

Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování Mgr. Dana Pavlíková Brno 2012 Obsah KAPITOLA 1 Planimetrie... 4 KAPITOLA 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků.... 20 KAPITOLA 3 Kružnice a kruh. Obvodové

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce:

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: OSOVÁ SOUMĚRNOST Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: EVOKACE Metoda: volné psaní Každý žák obdrží obrázek zámku Červená Lhota. Obrázek je také možné promítnout na interaktivní

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01)

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů. 01: Stažení, instalace, nastavení programu, tvorba základních entit (IV/2_M1_01) ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché

Více