Planimetrie. Přímka a její části

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Planimetrie. Přímka a její části"

Transkript

1 Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma ůznými body Rovina - značí se malými písmeny řecké abecedy α, β, χ nebo ABC - třemi ůznými body je dána jedna ovina Úsečka - úsečka je půnik polopřímek AB a BA Poloovina - přímka dělí ovinu na dvě navzájem opačné polooviny a je jejich společnou haniční přímkou Vzájemná poloha útvaů: A k bod A leží na přímce k (bod je Incidentní) A ρ - bod A leží v ovině ρ (ovina ρ pochází bodem A) k ρ - přímka k leží v ovině ρ (ovina ρ obsahuje přímku k, pochází přímkou k) A k, A ρ, k ρ - opak (neleží, nepochází) Úhel - úhlem ozumíme buď půnik dvou poloovin s ůznoběžnými haničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel) Vcholové úhly: Dvě ůznoběžky p,q se společným bodem V ozdělí ovinu na čtyři úhly dvě dvojice úhlů jejichž amena jsou opačné polopřímky. Takové úhly nazýváme úhly vcholové. Vcholové úhly jsou shodné. Úhly souhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p II q ; m p. Souhlasnými úhly ozumíme úhly ležící v téže poloovině s haniční přímkou m, přičemž oba jsou záoveň osté nebo tupé. Střídavými úhly ozumíme úhly ležící v opačných poloovinách s haniční přímkou m, přičemž jsou oba záoveň osté nebo oba záoveň tupé. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou shodné. Souhlasné a střídavé úhly lze definovat obecně i mezi přímkami, kteé ovnoběžné nejsou. - souhlasnými úhly ozumíme úhly, kteé leží na stejné staně přímky m (tj. současně vlevo nebo současně vpavo) a na stejných stanách přímek p, q (tj. současně nahoře nebo dole). Přímky p,q pak nemusí být ovnoběžné a souhlasné úhly nemusí být shodné (podobně po úhly střídavé).

2 Tojúhelník Tojúhelníkem ABC (označíme Δ ABC ) ozumíme půnik poloovin Δ ABC = ABC ACB CBA, kde A;B;C jsou navzájem ůzné body, kteé neleží na jedné přímce. Nazýváme je vcholy tojúhelníka. Spojnice vcholů nazýváme stany tojúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = c ; BC = a; AC = b ). Sjednocení stan tojúhelníka nazýváme obvodem tojúhelníka. Konvexní úhly α = < BAC ; β = < ABC ; γ = < ACB jsou vnitřní úhly tojúhelníka, úhly k nim doplňkové jsou pak vnější úhly tojúhelníka. Součet vnitřních úhlů tojúhelníka: α + β + γ = 180. Součet vnějších úhlů tojúhelníka: α'=180 α ; β' = 180 β; γ'=180 γ Tojúhelníky dělíme: 1. podle délek stan na: - ůznostanné - ovnoamenné - ovnostanné. podle velikosti vnitřních úhlů na - tupoúhlé - pavoúhlé - ostoúhlé Tojúhelníková neovnost: Součet délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy větší než délka třetí stany. Rozdíl délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy menší než délka třetí stany. Poti větší staně tojúhelníka leží větší vnitřní úhel. Poti menší staně tojúhelníka leží menší vnitřní úhel. Poti shodným stanám tojúhelníka leží shodné vnitřní úhly. Shodnost tojúhelníků: Tojúhelníky stejně jako jiné útvay jsou shodné pávě tehdy, lze-li jeden na duhý přemístit tak, že splynou. V případě tojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny stany a všechny úhly. Zapisujeme Δ ABC Δ A'B'C'. Vcholy tojúhelníka v tomto zápisu je třeba chápat jako uspořádané tojice. Tento zápis totiž znamená, že shodné jsou pávě stany AB A'B' ; AC A'C'; BC B'C'. a úhly α =α '; β = β '; γ = γ '. Při zjišťování shodnosti tojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stan a záoveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna někteá z postačujících podmínek shodnosti tojúhelníků. Věty o shodnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou shodné pávě tehdy, když se shodují: věta sss: ve všech třech stanách věta sus: ve dvou stanách a v úhlu jimi sevřeném věta ssu: ve dvou stanách a v úhlu poti větší z nich věta usu: v jedné staně a úhlech k ní přilehlých Podobnost tojúhelníků: Dva tojúhelníky Δ ABC ; Δ A'B'C' se nazývají podobné (značíme Δ ABC ~ Δ A'B'C') pávě tehdy, když existuje kladné eálné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že AB = k A'B' ; AC = k A'C' ; BC =k B'C'. Stejně jako v zápisu shodnosti i v zápisu podobnosti je třeba chápat vcholy jako uspořádané tojice. Zápis nás tedy infomuje nejen o podobnosti samotné, ale ovněž o tom, kteé vcholy, stany a úhly si v této podobnosti odpovídají. Podobnost tojúhelníků je tansitivní.

3 Věty o podobnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou podobné pávě tehdy, když: věta uu: se shodují ve dvou úhlech; věta sus: se shodují v poměu dvou stan a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shodují v poměu dvou stan a úhlu poti větší z nich. Střední příčka - spojnice středů dvou stan. Tojúhelníky Δ ABC a Δ S B S AC se shodují v poměu velikostí dvou stan AC =. S B C BC = S A C a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají společný). Podle věty sus jsou tedy podobné. Znamená to, že i AB =. S a S b a < BAC < S a S b C. Tyto úhly jsou však souhlasné úhly mezi úsečkami AB ; S b S a. Tyto úsečky musí být tedy ovnoběžné. Totéž platí i po zbývající příčky: Každá střední příčka je ovnoběžná se stanou, kteou nepochází, a má poloviční délku. Výška - kolmice spuštěná z vcholu na potější stanu. Všechny výšky se potínají v jednom bodě (tzv. otocentum). V případě tupoúhlého tojúhelníka se tento bod nachází mimo tojúhelník. Těžnice - spojnice vcholu a středu potější stany. Všechny těžnice se potínají v jednom bodě (tzv. těžiště). Těžiště dělí každou těžnici v poměu :1. Kužnice a kuh Kužnice: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) stejnou vzdálenost (tzv. polomě kužnice). Poloměem kužnice nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kužnici značíme nejčastěji k. Kužnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměem. Je-li kužnice k učena středem S a poloměem, zapisujeme k = (S, ). Kuhový oblouk: - dva body kužnice A k; B k ozdělí tuto kužnici na dva kuhové oblouky (kuhový oblouk značíme AB) Tětiva kužnice k = (S,) je libovolná úsečka AB, kde A,B k. Pochází-li středem kužnice, nazýváme ji půměem kužnice. Půmě je tedy nejdelší tětiva kužnice. Podobně jako u poloměu používáme i temín půmě také ve smyslu velikost nejdelší tětivy. Značíme d a platí d =. Kužnice a přímka mají: a) dva společné body (takovou přímku nazýváme sečnou) b) jeden společný bod (přímku nazýváme tečnou, společný bod je bod dotyku, říkáme také, že kužnice se dotýká přímky) c) žádný společný bod (hovoříme o vnější přímce) Pata kolmice vedené ze středu kužnice na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy). Tečna kužnice je kolmá k poloměu, kteý spojuje střed s bodem dotyku. Bodem M ležícím vně kužnice k pocházejí pávě dvě tečny této kužnice. Délka úsečky MT se nazývá délka tečny. Středový a obvodový úhel: Úhel ω = < ASB, jehož vcholem je střed kužnice a amena pocházejí kajními body oblouku AB, nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku. Každý úhel α = <AVB, kde body A,V,B leží na kužnici, nazýváme obvodovým úhlem příslušným k oblouku AB, kteý v tomto úhlu leží. Velikost středového úhlu je ovna dvojnásobku velikosti úhlu obvodového příslušného k témuž oblouku. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné.

4 ω = α ω - středový úhel α - obvodový úhel Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkužnici je pavý (neboli všechny úhly nad půměem kužnice jsou pavé). Konvexní úhel < ABX, kde body AB leží na kužnici a X na tečně k této kužnici v bodě A (popř. B ) se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB, kteý v tomto oblouku leží. Úsekový úhel je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku. Mocnost bodu ke kužnici: Je dána kužnice k = (S,) a libovolný bod M. Tímto bodem veďme sečnu p ke kužnici k a označme A, B půsečíky této přímky s kužnicí, tj. A,B k p Po každou takto sestojenou přímku pocházející pevným bodem M je MA MB = MT Je-li bod M vně kužnice k, nazýváme tento součin mocností bodu ke kužnici, je-li uvnitř kužnice, je mocností číslo MA MB. Mocnost bodů ležících na kužnici, je ovna nule. T dotykový bod tečny a kužnice. Kužnice a tojúhelník: Kužnice tojúhelníku opsaná: je kužnice, kteá pochází všemi vcholy tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os stan, polomě značíme obvykle. Kužnice tojúhelníku vepsaná: je kužnice, kteá se dotýká všech stan tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os vnitřních úhlů, její polomě značíme obvykle ρ. Kužnice tojúhelníku vepsaná Kuh: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) vzdálenost menší nebo ovnu danému kladnému číslu (tzv. polomě kuhu). Poloměem kuhu nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kuh značíme nejčastěji K. Kuh nejčastěji zadáváme jeho středem a poloměem. Je-li kuh takto učen, zapisujeme K = (S,). Množinu bodů, jejichž vzdálenost je ovna poloměu, nazýváme hanicí kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je menší, tvoří vnitřní oblast (vnitřek) kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je větší, tvoří vnější oblast (vnějšek) kuhu. Dva poloměy SA, SB ozdělí kuh na dvě kuhové výseče, tětiva AB na dvě kuhové úseče. Je-li AB půmě kuhu, nazýváme úseč půlkuhem.

5 Dvojice kužnic: Dvě kužnice o ůzných poloměech mohou mít nejvýše dva společné body. Mají-li dvě kužnice společný střed, nazýváme je soustředné. Soustředné kužnice buď nemají žádný společný bod nebo mají všechny body společné (splynou). Dvě soustředné kužnice k = (S;); l = (S; ) > učují tzv. mezikuží. Číslo nazýváme šířkou mezikuží. Půnik středového úhlu a mezikuží se nazývá výseč mezikuží. Kužnice, kteé nemají společný střed, se nazývají nesoustředné. Mnohoúhelníky - mnohoúhelníkem nazýváme uzavřenou lomenou čáu spolu s částí oviny ohaničenou touto lomenou čáou - n -úhelník nazýváme konvexní pávě tehdy, když leží v jedné z poloovin učených kteoukoli stanou lze definovat jako půnik poloovin Úhlopříčka je spojnice dvou vcholů, kteé spolu nesousedí. Počet úhlopříček v n úhelníku je {(n 3) * n } / Součet vnitřních úhlů je součtem vnitřních úhlů všech tvořících tojúhelníků, tj. (n ) 180 Pavidelný n -úhelník je n -úhelník, kteý lze zapsat jako sjednocení n ovnoamenných tojúhelníků, kteé mají společný hlavní vchol a vždy pávě dva mají pávě jedno společné ameno. Speciálně místo pavidelný tojúhelník používáme název ovnostanný tojúhelník a místo pavidelný čtyřúhelník používáme název čtveec. Speciální čtyřúhelníky: Lichoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě jednu dvojici ovnoběžných stan. Stany, kteé ovnoběžné nejsou, nazýváme amena. Lichoběžník, jehož amena jsou shodná, se nazývá ovnoamenný. Rovnoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě dvě dvojice ovnoběžných stan. Na připojeném obázku je Δ ACD Δ CAB podle věty usu (stana AC je společná, úhly k ní přilehlé jsou střídavé mezi ovnoběžkami). Znamená, to, že AB CD; BC DA. Dále tedy Δ ABS Δ CDS (opět věta usu, neboť AB CD a přilehlé úhly jsou opět střídavé úhly mezi ovnoběžkami). To znamená, že AS SC ; BS SD. Potější stany v ovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky ovnoběžníka se půlí. Kosočtveec: je ovnoběžník, kteý má shodné i sousední stany. V tom případě je Δ ADS Δ CDS (usu), a poto <ASD < CSD. Tyto úhly jsou ale úhly vedlejší, poto musejí být pavé: Úhlopříčky v kosočtveci jsou na sebe kolmé. Obdélník: je ovnoběžník, jehož stany jsou na sebe kolmé. Čtveec: je obdélník se shodnými stanami (popř. kosočtveec s kolmými stanami). Obecný ovnoběžník (tj. ovnoběžník, kteý není obdélníkem, čtvecem ani kosočtvecem) nazýváme kosodélník.

6 Řešení pavoúhlého tojúhelníku Euklidova věta o výšce obsah čtvece sestojeného nad výškou tojúhelníka se ovná obsahu obdélníka sestojeného z obou úseků na přeponě v c = c a c b Euklidova věta o odvěsně obsah čtvece sestojeného nad odvěsnou se ovná obsahu obdélníka sestojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně b = c c b a = c c a Pythagoova věta součet obsahů čtveců nad odvěsnami se ovná obsahu čtvece nad přeponou c = a + b Odvození - sečtením Euklidových vět: b = c c b a + b = c. c b + c c a a = c c a a + b = c. ( c a + c b ) Obvody a obsahy ovinných obazců Tojúhelník: O = a + b + c S = Heonův vzoec: S = s( s a)( s b)( s c) a v a s = a + b + c Obdélník: O = ( a + b) S = ab d c a b Rovnoběžník: O = ( a + b) S = a v a d a c v b Lichoběžník: O = a + b + c + ( a + c ) v S = d d a c v b Pavidelný n-úhelník: S = n S ABS n-kát obsah jednoho tojúhelníka Kuh: O = π S = π Mezikuží: S = π 1 π 1 Oblouk: O = ϕ úhel v adiánech Výseč: S = ϕ Úseč: 1 S = ϕ sin ϕ obsah výseče mínus obsah tojúhelníka

7 Množiny bodů dané vlastnosti Množinou všech bodů dané vlastnosti V je množina M bodů, kteé splňují tyto požadavky: 1. každý bod množiny M má danou vlastnost V,. každý bod, kteý má danou vlastnost V, patří do množiny M. Chceme li dokázat, že nějaká množina bodů je množina všech bodů dané vlastnosti, musíme ověřit obě podmínky. Duhou podmínku lze nahadit podmínkou ekvivalentní každý bod, kteý do množiny M nepatří, nemá danou vlastnost Kužnice - vzdálenost každého bodu kužnice k od středu S je ovna - každý bod oviny, jehož vzdálenost os středu S je ovna, leží na kužnici k kužnice k je množina všech bodů oviny, kteé mají od daného bodu S danou vzdálenost K (S;) = {x δ ; XS = } Osa úsečky - množina všech bodů, kteé mají od daných bodů A, B stejnou vzdálenost O = {x δ ; XA = XA } Při zjišťování jaký geometický útva je množinou bodů dané vlastnosti postupujeme: 1. sestojíme několik bodů, kteé mají danou vlastnost. vyslovíme hypotézu (domněnku), jaký geometický útva je množinou všech bodů dané vlastnosti 3. vyslovenou hypotézu dokážeme Množina všech bodů, kteé mají od dané přímky b vzdálenost v > 0, je dvojice přímek a, a' ovnoběžných s přímkou b, ležících v opačných poloovinách učených přímkou b ve vzdálenosti v od ní. {X δ ; Xb = v } = a U a' Množina všech bodů daného konvexního úhlu AVB, kteé mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho amena, je osa tohoto úhlu. o = {x < AVB; X VA = X VB } Množina všech bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ůznoběžek a, b, jsou osy o 1 ', o 1 ", o ', o " úhlu sevřených ůznoběžkami a, b, přitom o 1 ' U o 1 " = o 1 ; o ' U o " = o {X δ ; Xb = Xa } = (o 1 ' U o 1 ") U ( o ' U o ") Množina bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ovnoběžek a, b (a b), je osa o pásu (a, b) {X δ ; Xb = Xa } = o Množina vcholů všech pavých úhlů, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme danou úsečku AB pod pavým úhlem, je kužnice s půměem AB komě bodů A, B (Thaletova kužnice) {x δ; < AVB = 90} = T AB Množina vcholů o velikosti α, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů z nichž vidíme danou úsečku AB pod daným úhlem α, jsou dva shodné otevřené kužnicové oblouky k 1, k s kajními body A, B {x δ; < AVB = α} = k 1 U k

8 Konstukce - tojúhelník je dán vhodně zvolenými 3 pvky: 1. tojúhelník je dán třemi stanami. jsou dány dvě stany a úhel, kteý svíají 3. je dána stana a k ní dva přilehlé úhly 4. dány dvě stany a úhel poti větší z nich - konstukce čtyřúhelníků jde obvykle o konstukce tojúhelníků, na kteé je čtyřúhelník ozdělen úhlopříčkami - k učovacím pvkům čtyřúhelníku patří jeho stany, úhly, úhlopříčky, výšky a úhly úhlopříček - konstukce kužnic - požadujeme li, aby kužnice pocházela daným bodem, dotýkala se dané přímky nebo dané kužnice a kombinujeme li tyto podmínky po třech dostáváme tzv. Apolloniovy úlohy úloh je 10 (BBB, pbb, ppb, ppp, kbb, kkb, Bkp, ) - jestliže jeden z daných bodů leží na dané přímce nebo na dané kužnici, mluvíme o úlohách Pappových úloh je 6 ( (pb)b, (kb)b, (pb)p, (kb)p, (pb)k, (kb)k ) Příklady: 1. Jsou dány dvě ůznoběžné přímky a, b a přímka c, kteá je ovnoběžky potíná. Sestojte kužnici, kteá se dotýká všech daných přímek.. Sestojte tojúhelník, je li dáno t a, t b, t c 3. Je dána úsečka AB = 7 cm. Sestojte všechny ovnoběžníky ABCD, v nichž AC = 10 cm, v a = 4 cm. Konstukce na základě výpočtu: - při ozbou řešení konstukční úlohy hledáme vztah mezi délkami daných úseček a délkami úseček hledaného tvau, tento vztah vyjádříme užitím známých geometických vět ovnicí nebo soustavou ovnic ovnice řešíme Úlohy typu: 1. Obdélník má stany o délkách a, b. Sestojte čtveec o stejném obsahu. Jsou dány dvě úsečky o délkách a, b (a < b). Sestojte úsečku po kteou platí: x = a + b 3. Úsečku AB ozdělte na dvě části tak, aby pomě menší části k větší byl stejný jako pomě větší části k celé úsečce

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

3.2.2 Shodnost trojúhelníků II

3.2.2 Shodnost trojúhelníků II 3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s.

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s. Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). bstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy bod přímka Bod Body označujeme velkými

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Výuka rovinné geometrie na středních školách Plane geometry teaching at secondary schools Autor: Bc. Lucie Machovcová

Více

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Podobnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Bakalářská práce Vlastnosti kružnice Vypracoval: Veronika Šulová Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. České Budějovice

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 58. očník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategoie C 1. Honza, Jika, Matin a Pet oganizovali na náměstí sbíku na dobočinné účely. Za chvíli se u nich postupně zastavilo pět kolemjdoucích.

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem Číselné obory 1. Přirozená čísla vyjadřují počet. 1,2,3, 2. Celá čísla Kladná: nula Záporná: Kladná + nula = nezáporná čísla Celá čísla = přirozená + nula + záporná celá 3. Racionální čísla = celá čísla

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

3.1.2 Polorovina, úhel

3.1.2 Polorovina, úhel 3.1.2 Polorovina, úhel Předpoklady: 3101 Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí (hraniční přímkou). p Hraniční přímka patří do obou polorovin. ody, které neleží

Více

Úhly a jejich vlastnosti

Úhly a jejich vlastnosti Úhly a jejich vlastnosti Pojem úhlu patří k nejzákladnějším pojmům geometrie. Zajímavé je, že úhel můžeme definovat několika různými způsoby, z nichž má každý své opodstatnění. Definice: Úhel je část roviny

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

pravidelné konvexní mnohostěny

pravidelné konvexní mnohostěny PLATÓNOVA TĚLESA pavidelné konvexní mnohostěny Platónova tělesa Stěny Počet stěn S vcholů V han H Čtyřstěn tetaed ovnostanný tojúhelník 4 4 6 Šestistěn(Kychle) hexaed čtveec 6 8 12 Osmistěn oktaed ovnostanný

Více

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I .. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 01 Shodné útvary je možné je přemístěním ztotožnit, lidově řečeno jsou stejné Co splňují útvary, které jsou podobné? Mají stejný tvar, ale různou velikost. Kdybychom

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Trojúhelník. Jan Kábrt

Trojúhelník. Jan Kábrt Trojúhelník Jan Kábrt Co se učívá ve školách Výšky, jejich průsečík ortocentrum O Těžnice, jejich průsečík těžiště T Osy stran, střed kružnice opsané S o Osy úhlů, střed kružnice vepsané S v Někdy ještě

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Praha, března 2015

64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Praha, března 2015 64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Praha, 22. 25. března 2015 O 1. Najděte všechna čtyřmístná čísla n taková, že zároveň platí: i) číslo n je součinem tří různých prvočísel; ii) součet

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Metody neanalytických výpočtů v eukleidovské geometrii

Metody neanalytických výpočtů v eukleidovské geometrii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Mgr. Barbora HAVÍŘOVÁ Metody neanalytických výpočtů v eukleidovské geometrii Disertační práce Školitel: doc. RNDr. Jaromír ŠIMŠA, CSc. Brno, 2011 Prohlašuji,

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

Geometrie v rovině 2

Geometrie v rovině 2 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník

Více