Planimetrie. Přímka a její části
|
|
- Eliška Ševčíková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma ůznými body Rovina - značí se malými písmeny řecké abecedy α, β, χ nebo ABC - třemi ůznými body je dána jedna ovina Úsečka - úsečka je půnik polopřímek AB a BA Poloovina - přímka dělí ovinu na dvě navzájem opačné polooviny a je jejich společnou haniční přímkou Vzájemná poloha útvaů: A k bod A leží na přímce k (bod je Incidentní) A ρ - bod A leží v ovině ρ (ovina ρ pochází bodem A) k ρ - přímka k leží v ovině ρ (ovina ρ obsahuje přímku k, pochází přímkou k) A k, A ρ, k ρ - opak (neleží, nepochází) Úhel - úhlem ozumíme buď půnik dvou poloovin s ůznoběžnými haničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel) Vcholové úhly: Dvě ůznoběžky p,q se společným bodem V ozdělí ovinu na čtyři úhly dvě dvojice úhlů jejichž amena jsou opačné polopřímky. Takové úhly nazýváme úhly vcholové. Vcholové úhly jsou shodné. Úhly souhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p II q ; m p. Souhlasnými úhly ozumíme úhly ležící v téže poloovině s haniční přímkou m, přičemž oba jsou záoveň osté nebo tupé. Střídavými úhly ozumíme úhly ležící v opačných poloovinách s haniční přímkou m, přičemž jsou oba záoveň osté nebo oba záoveň tupé. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou shodné. Souhlasné a střídavé úhly lze definovat obecně i mezi přímkami, kteé ovnoběžné nejsou. - souhlasnými úhly ozumíme úhly, kteé leží na stejné staně přímky m (tj. současně vlevo nebo současně vpavo) a na stejných stanách přímek p, q (tj. současně nahoře nebo dole). Přímky p,q pak nemusí být ovnoběžné a souhlasné úhly nemusí být shodné (podobně po úhly střídavé).
2 Tojúhelník Tojúhelníkem ABC (označíme Δ ABC ) ozumíme půnik poloovin Δ ABC = ABC ACB CBA, kde A;B;C jsou navzájem ůzné body, kteé neleží na jedné přímce. Nazýváme je vcholy tojúhelníka. Spojnice vcholů nazýváme stany tojúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = c ; BC = a; AC = b ). Sjednocení stan tojúhelníka nazýváme obvodem tojúhelníka. Konvexní úhly α = < BAC ; β = < ABC ; γ = < ACB jsou vnitřní úhly tojúhelníka, úhly k nim doplňkové jsou pak vnější úhly tojúhelníka. Součet vnitřních úhlů tojúhelníka: α + β + γ = 180. Součet vnějších úhlů tojúhelníka: α'=180 α ; β' = 180 β; γ'=180 γ Tojúhelníky dělíme: 1. podle délek stan na: - ůznostanné - ovnoamenné - ovnostanné. podle velikosti vnitřních úhlů na - tupoúhlé - pavoúhlé - ostoúhlé Tojúhelníková neovnost: Součet délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy větší než délka třetí stany. Rozdíl délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy menší než délka třetí stany. Poti větší staně tojúhelníka leží větší vnitřní úhel. Poti menší staně tojúhelníka leží menší vnitřní úhel. Poti shodným stanám tojúhelníka leží shodné vnitřní úhly. Shodnost tojúhelníků: Tojúhelníky stejně jako jiné útvay jsou shodné pávě tehdy, lze-li jeden na duhý přemístit tak, že splynou. V případě tojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny stany a všechny úhly. Zapisujeme Δ ABC Δ A'B'C'. Vcholy tojúhelníka v tomto zápisu je třeba chápat jako uspořádané tojice. Tento zápis totiž znamená, že shodné jsou pávě stany AB A'B' ; AC A'C'; BC B'C'. a úhly α =α '; β = β '; γ = γ '. Při zjišťování shodnosti tojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stan a záoveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna někteá z postačujících podmínek shodnosti tojúhelníků. Věty o shodnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou shodné pávě tehdy, když se shodují: věta sss: ve všech třech stanách věta sus: ve dvou stanách a v úhlu jimi sevřeném věta ssu: ve dvou stanách a v úhlu poti větší z nich věta usu: v jedné staně a úhlech k ní přilehlých Podobnost tojúhelníků: Dva tojúhelníky Δ ABC ; Δ A'B'C' se nazývají podobné (značíme Δ ABC ~ Δ A'B'C') pávě tehdy, když existuje kladné eálné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že AB = k A'B' ; AC = k A'C' ; BC =k B'C'. Stejně jako v zápisu shodnosti i v zápisu podobnosti je třeba chápat vcholy jako uspořádané tojice. Zápis nás tedy infomuje nejen o podobnosti samotné, ale ovněž o tom, kteé vcholy, stany a úhly si v této podobnosti odpovídají. Podobnost tojúhelníků je tansitivní.
3 Věty o podobnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou podobné pávě tehdy, když: věta uu: se shodují ve dvou úhlech; věta sus: se shodují v poměu dvou stan a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shodují v poměu dvou stan a úhlu poti větší z nich. Střední příčka - spojnice středů dvou stan. Tojúhelníky Δ ABC a Δ S B S AC se shodují v poměu velikostí dvou stan AC =. S B C BC = S A C a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají společný). Podle věty sus jsou tedy podobné. Znamená to, že i AB =. S a S b a < BAC < S a S b C. Tyto úhly jsou však souhlasné úhly mezi úsečkami AB ; S b S a. Tyto úsečky musí být tedy ovnoběžné. Totéž platí i po zbývající příčky: Každá střední příčka je ovnoběžná se stanou, kteou nepochází, a má poloviční délku. Výška - kolmice spuštěná z vcholu na potější stanu. Všechny výšky se potínají v jednom bodě (tzv. otocentum). V případě tupoúhlého tojúhelníka se tento bod nachází mimo tojúhelník. Těžnice - spojnice vcholu a středu potější stany. Všechny těžnice se potínají v jednom bodě (tzv. těžiště). Těžiště dělí každou těžnici v poměu :1. Kužnice a kuh Kužnice: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) stejnou vzdálenost (tzv. polomě kužnice). Poloměem kužnice nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kužnici značíme nejčastěji k. Kužnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměem. Je-li kužnice k učena středem S a poloměem, zapisujeme k = (S, ). Kuhový oblouk: - dva body kužnice A k; B k ozdělí tuto kužnici na dva kuhové oblouky (kuhový oblouk značíme AB) Tětiva kužnice k = (S,) je libovolná úsečka AB, kde A,B k. Pochází-li středem kužnice, nazýváme ji půměem kužnice. Půmě je tedy nejdelší tětiva kužnice. Podobně jako u poloměu používáme i temín půmě také ve smyslu velikost nejdelší tětivy. Značíme d a platí d =. Kužnice a přímka mají: a) dva společné body (takovou přímku nazýváme sečnou) b) jeden společný bod (přímku nazýváme tečnou, společný bod je bod dotyku, říkáme také, že kužnice se dotýká přímky) c) žádný společný bod (hovoříme o vnější přímce) Pata kolmice vedené ze středu kužnice na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy). Tečna kužnice je kolmá k poloměu, kteý spojuje střed s bodem dotyku. Bodem M ležícím vně kužnice k pocházejí pávě dvě tečny této kužnice. Délka úsečky MT se nazývá délka tečny. Středový a obvodový úhel: Úhel ω = < ASB, jehož vcholem je střed kužnice a amena pocházejí kajními body oblouku AB, nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku. Každý úhel α = <AVB, kde body A,V,B leží na kužnici, nazýváme obvodovým úhlem příslušným k oblouku AB, kteý v tomto úhlu leží. Velikost středového úhlu je ovna dvojnásobku velikosti úhlu obvodového příslušného k témuž oblouku. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné.
4 ω = α ω - středový úhel α - obvodový úhel Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkužnici je pavý (neboli všechny úhly nad půměem kužnice jsou pavé). Konvexní úhel < ABX, kde body AB leží na kužnici a X na tečně k této kužnici v bodě A (popř. B ) se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB, kteý v tomto oblouku leží. Úsekový úhel je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku. Mocnost bodu ke kužnici: Je dána kužnice k = (S,) a libovolný bod M. Tímto bodem veďme sečnu p ke kužnici k a označme A, B půsečíky této přímky s kužnicí, tj. A,B k p Po každou takto sestojenou přímku pocházející pevným bodem M je MA MB = MT Je-li bod M vně kužnice k, nazýváme tento součin mocností bodu ke kužnici, je-li uvnitř kužnice, je mocností číslo MA MB. Mocnost bodů ležících na kužnici, je ovna nule. T dotykový bod tečny a kužnice. Kužnice a tojúhelník: Kužnice tojúhelníku opsaná: je kužnice, kteá pochází všemi vcholy tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os stan, polomě značíme obvykle. Kužnice tojúhelníku vepsaná: je kužnice, kteá se dotýká všech stan tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os vnitřních úhlů, její polomě značíme obvykle ρ. Kužnice tojúhelníku vepsaná Kuh: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) vzdálenost menší nebo ovnu danému kladnému číslu (tzv. polomě kuhu). Poloměem kuhu nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kuh značíme nejčastěji K. Kuh nejčastěji zadáváme jeho středem a poloměem. Je-li kuh takto učen, zapisujeme K = (S,). Množinu bodů, jejichž vzdálenost je ovna poloměu, nazýváme hanicí kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je menší, tvoří vnitřní oblast (vnitřek) kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je větší, tvoří vnější oblast (vnějšek) kuhu. Dva poloměy SA, SB ozdělí kuh na dvě kuhové výseče, tětiva AB na dvě kuhové úseče. Je-li AB půmě kuhu, nazýváme úseč půlkuhem.
5 Dvojice kužnic: Dvě kužnice o ůzných poloměech mohou mít nejvýše dva společné body. Mají-li dvě kužnice společný střed, nazýváme je soustředné. Soustředné kužnice buď nemají žádný společný bod nebo mají všechny body společné (splynou). Dvě soustředné kužnice k = (S;); l = (S; ) > učují tzv. mezikuží. Číslo nazýváme šířkou mezikuží. Půnik středového úhlu a mezikuží se nazývá výseč mezikuží. Kužnice, kteé nemají společný střed, se nazývají nesoustředné. Mnohoúhelníky - mnohoúhelníkem nazýváme uzavřenou lomenou čáu spolu s částí oviny ohaničenou touto lomenou čáou - n -úhelník nazýváme konvexní pávě tehdy, když leží v jedné z poloovin učených kteoukoli stanou lze definovat jako půnik poloovin Úhlopříčka je spojnice dvou vcholů, kteé spolu nesousedí. Počet úhlopříček v n úhelníku je {(n 3) * n } / Součet vnitřních úhlů je součtem vnitřních úhlů všech tvořících tojúhelníků, tj. (n ) 180 Pavidelný n -úhelník je n -úhelník, kteý lze zapsat jako sjednocení n ovnoamenných tojúhelníků, kteé mají společný hlavní vchol a vždy pávě dva mají pávě jedno společné ameno. Speciálně místo pavidelný tojúhelník používáme název ovnostanný tojúhelník a místo pavidelný čtyřúhelník používáme název čtveec. Speciální čtyřúhelníky: Lichoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě jednu dvojici ovnoběžných stan. Stany, kteé ovnoběžné nejsou, nazýváme amena. Lichoběžník, jehož amena jsou shodná, se nazývá ovnoamenný. Rovnoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě dvě dvojice ovnoběžných stan. Na připojeném obázku je Δ ACD Δ CAB podle věty usu (stana AC je společná, úhly k ní přilehlé jsou střídavé mezi ovnoběžkami). Znamená, to, že AB CD; BC DA. Dále tedy Δ ABS Δ CDS (opět věta usu, neboť AB CD a přilehlé úhly jsou opět střídavé úhly mezi ovnoběžkami). To znamená, že AS SC ; BS SD. Potější stany v ovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky ovnoběžníka se půlí. Kosočtveec: je ovnoběžník, kteý má shodné i sousední stany. V tom případě je Δ ADS Δ CDS (usu), a poto <ASD < CSD. Tyto úhly jsou ale úhly vedlejší, poto musejí být pavé: Úhlopříčky v kosočtveci jsou na sebe kolmé. Obdélník: je ovnoběžník, jehož stany jsou na sebe kolmé. Čtveec: je obdélník se shodnými stanami (popř. kosočtveec s kolmými stanami). Obecný ovnoběžník (tj. ovnoběžník, kteý není obdélníkem, čtvecem ani kosočtvecem) nazýváme kosodélník.
6 Řešení pavoúhlého tojúhelníku Euklidova věta o výšce obsah čtvece sestojeného nad výškou tojúhelníka se ovná obsahu obdélníka sestojeného z obou úseků na přeponě v c = c a c b Euklidova věta o odvěsně obsah čtvece sestojeného nad odvěsnou se ovná obsahu obdélníka sestojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně b = c c b a = c c a Pythagoova věta součet obsahů čtveců nad odvěsnami se ovná obsahu čtvece nad přeponou c = a + b Odvození - sečtením Euklidových vět: b = c c b a + b = c. c b + c c a a = c c a a + b = c. ( c a + c b ) Obvody a obsahy ovinných obazců Tojúhelník: O = a + b + c S = Heonův vzoec: S = s( s a)( s b)( s c) a v a s = a + b + c Obdélník: O = ( a + b) S = ab d c a b Rovnoběžník: O = ( a + b) S = a v a d a c v b Lichoběžník: O = a + b + c + ( a + c ) v S = d d a c v b Pavidelný n-úhelník: S = n S ABS n-kát obsah jednoho tojúhelníka Kuh: O = π S = π Mezikuží: S = π 1 π 1 Oblouk: O = ϕ úhel v adiánech Výseč: S = ϕ Úseč: 1 S = ϕ sin ϕ obsah výseče mínus obsah tojúhelníka
7 Množiny bodů dané vlastnosti Množinou všech bodů dané vlastnosti V je množina M bodů, kteé splňují tyto požadavky: 1. každý bod množiny M má danou vlastnost V,. každý bod, kteý má danou vlastnost V, patří do množiny M. Chceme li dokázat, že nějaká množina bodů je množina všech bodů dané vlastnosti, musíme ověřit obě podmínky. Duhou podmínku lze nahadit podmínkou ekvivalentní každý bod, kteý do množiny M nepatří, nemá danou vlastnost Kužnice - vzdálenost každého bodu kužnice k od středu S je ovna - každý bod oviny, jehož vzdálenost os středu S je ovna, leží na kužnici k kužnice k je množina všech bodů oviny, kteé mají od daného bodu S danou vzdálenost K (S;) = {x δ ; XS = } Osa úsečky - množina všech bodů, kteé mají od daných bodů A, B stejnou vzdálenost O = {x δ ; XA = XA } Při zjišťování jaký geometický útva je množinou bodů dané vlastnosti postupujeme: 1. sestojíme několik bodů, kteé mají danou vlastnost. vyslovíme hypotézu (domněnku), jaký geometický útva je množinou všech bodů dané vlastnosti 3. vyslovenou hypotézu dokážeme Množina všech bodů, kteé mají od dané přímky b vzdálenost v > 0, je dvojice přímek a, a' ovnoběžných s přímkou b, ležících v opačných poloovinách učených přímkou b ve vzdálenosti v od ní. {X δ ; Xb = v } = a U a' Množina všech bodů daného konvexního úhlu AVB, kteé mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho amena, je osa tohoto úhlu. o = {x < AVB; X VA = X VB } Množina všech bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ůznoběžek a, b, jsou osy o 1 ', o 1 ", o ', o " úhlu sevřených ůznoběžkami a, b, přitom o 1 ' U o 1 " = o 1 ; o ' U o " = o {X δ ; Xb = Xa } = (o 1 ' U o 1 ") U ( o ' U o ") Množina bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ovnoběžek a, b (a b), je osa o pásu (a, b) {X δ ; Xb = Xa } = o Množina vcholů všech pavých úhlů, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme danou úsečku AB pod pavým úhlem, je kužnice s půměem AB komě bodů A, B (Thaletova kužnice) {x δ; < AVB = 90} = T AB Množina vcholů o velikosti α, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů z nichž vidíme danou úsečku AB pod daným úhlem α, jsou dva shodné otevřené kužnicové oblouky k 1, k s kajními body A, B {x δ; < AVB = α} = k 1 U k
8 Konstukce - tojúhelník je dán vhodně zvolenými 3 pvky: 1. tojúhelník je dán třemi stanami. jsou dány dvě stany a úhel, kteý svíají 3. je dána stana a k ní dva přilehlé úhly 4. dány dvě stany a úhel poti větší z nich - konstukce čtyřúhelníků jde obvykle o konstukce tojúhelníků, na kteé je čtyřúhelník ozdělen úhlopříčkami - k učovacím pvkům čtyřúhelníku patří jeho stany, úhly, úhlopříčky, výšky a úhly úhlopříček - konstukce kužnic - požadujeme li, aby kužnice pocházela daným bodem, dotýkala se dané přímky nebo dané kužnice a kombinujeme li tyto podmínky po třech dostáváme tzv. Apolloniovy úlohy úloh je 10 (BBB, pbb, ppb, ppp, kbb, kkb, Bkp, ) - jestliže jeden z daných bodů leží na dané přímce nebo na dané kužnici, mluvíme o úlohách Pappových úloh je 6 ( (pb)b, (kb)b, (pb)p, (kb)p, (pb)k, (kb)k ) Příklady: 1. Jsou dány dvě ůznoběžné přímky a, b a přímka c, kteá je ovnoběžky potíná. Sestojte kužnici, kteá se dotýká všech daných přímek.. Sestojte tojúhelník, je li dáno t a, t b, t c 3. Je dána úsečka AB = 7 cm. Sestojte všechny ovnoběžníky ABCD, v nichž AC = 10 cm, v a = 4 cm. Konstukce na základě výpočtu: - při ozbou řešení konstukční úlohy hledáme vztah mezi délkami daných úseček a délkami úseček hledaného tvau, tento vztah vyjádříme užitím známých geometických vět ovnicí nebo soustavou ovnic ovnice řešíme Úlohy typu: 1. Obdélník má stany o délkách a, b. Sestojte čtveec o stejném obsahu. Jsou dány dvě úsečky o délkách a, b (a < b). Sestojte úsečku po kteou platí: x = a + b 3. Úsečku AB ozdělte na dvě části tak, aby pomě menší části k větší byl stejný jako pomě větší části k celé úsečce
5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
Více1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině
1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma
VíceÚvod. Cílová skupina: 2 Planimetrie
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matemati ky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VícePRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceTROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik
TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající
Vícen =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram
4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme
VíceTrojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.
Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceÚlohy krajského kola kategorie B
61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceTrojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011
MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více3.2.2 Shodnost trojúhelníků II
3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků
VíceÚsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.
Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceZobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru
Geometie Zoazovací metody Zoazení kužnice v pavoúhlé axonometii Zoazení kužnice ležící v souřadnicové ovině Výklad v pavoúhlé axonometii lze poměně snadno sestojit půmět kužnice dané středem a poloměem,
VíceM - Planimetrie pro studijní obory
M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
Víceod zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
VícePlanimetrie úvod, základní pojmy (teorie)
Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
67. očník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategoie A 1. Pavel střídavě vpisuje křížky a kolečka do políček tabulky (začíná křížkem). Když je tabulka celá vyplněná, výsledné skóe spočítá
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceZáklady geometrie - planimetrie
Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme
VícePlanimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s.
Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). bstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy bod přímka Bod Body označujeme velkými
VíceI. kolo kategorie Z9
68. očník Matematické olympiády I. kolo kategoie Z9 Z9 I 1 Najděte všechna kladná celá čísla x a y, po kteá platí 1 x + 1 y = 1 4. Nápověda. Mohou být obě neznámé současně větší než např. 14? (A. Bohiniková)
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceObrázek 13: Plán starověké Alexandrie,
4 Geometrické útvary v rovině Obrázek 13: Plán starověké Alexandrie, https://commons.wikimedia.org Jestliže rovinu chápeme jako množinu bodů, potom uvažované geometrické útvary jsou jejími podmnožinami.
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceUNIVERZITA KARLOVA V PRAZE
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Výuka rovinné geometrie na středních školách Plane geometry teaching at secondary schools Autor: Bc. Lucie Machovcová
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
Více29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES
9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u
Více2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.
2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální
Více6. Úhel a jeho vlastnosti
6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol
VíceVýukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceSyntetická geometrie I
Podobnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním
VíceVlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Bakalářská práce Vlastnosti kružnice Vypracoval: Veronika Šulová Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. České Budějovice
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
49. očník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategoie B 1. Po kteá eálná čísla t má funkce f(x) = 5x + 44 + t x 3 x t maximum ovné 0? Daná funkce je lineání lomená, potože obsahuje dva výazy s absolutní
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Čtyřúhelníky PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Diplomová práce. Katedra matematiky. Brno Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc.
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Čtyřúhelníky Diplomová práce Brno 2008 Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc. Autor práce: Mgr. Marta Mrázová 1 Prohlášení Prohlašuji, že
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
VíceMáme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.
8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VícePočítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek
Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha
VíceTechnická univerzita v Liberci. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY. Pomocný učební text
Technická univezita v Libeci Fakulta příodovědně-humanitní a pedagogická Kateda matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY Pomocný učební text Peta Piklová Libeec, leden 04 V tomto textu si budeme všímat
VíceSčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444
ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceZákladní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VíceKaždá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.
Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od
VíceGEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné
Více9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
Více66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceFebruary 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název
Více16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013
16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání
VíceKuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...
O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P
VíceGeometrické vyhledávání
mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
58. očník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategoie C 1. Honza, Jika, Matin a Pet oganizovali na náměstí sbíku na dobočinné účely. Za chvíli se u nich postupně zastavilo pět kolemjdoucích.
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceÚhly a jejich vlastnosti
Úhly a jejich vlastnosti Pojem úhlu patří k nejzákladnějším pojmům geometrie. Zajímavé je, že úhel můžeme definovat několika různými způsoby, z nichž má každý své opodstatnění. Definice: Úhel je část roviny
Více4.3.3 Podobnost trojúhelníků I
.. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 000 Př. 1: Trojúhelník je podobný trojúhelníku KLM s koeficientem podobnosti k =,5. Urči délky stran trojúhelníku, jestliže pro trojúhelník KLM platí: k = 6 cm,
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
VíceStřední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem
Více