4. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 4. cvičení z Matematické analýzy října Po funkci fx, y, z xy 2 + z 3 xyz učete v bodě a 0,, 2 deivaci ve měu u, kteý je učen tím, že víá kladnými měy ouřadných o potupně úhly 60, 45 a 60. [Výledky: mě u 2, 2 2, ; 2 u a 0 5. ] 4.2 Pomocí difeenciálu vhodné funkce ve vhodném bodě počtěte přibližnou hodnotu výazu a ln , b [Výledky: a 0.005; b.08. ] 4.3 Najděte tečnou ovinu ke gafu funkce fx, y xy 2 v bodě 2,,?. [Výledky: bod 2,, 2, tečná ovina x + 4y z 4. ] 4.4 Předpokládejme, že výška teénu v R 3 je popána gafem funkce f : R 2 R, fx, y x 2 +2y 2 +. V bodě 2,,? putíme míč. a Učete vekto U R 3, jehož měem e bude míč kutálet, a pojekci u R 2 tohoto vektou do základny, neboli do oviny z 0. Vekto U je učen až na kladný náobek. b Učete úhel, kteý víá tečná ovina v uvedeném bodě ovinou z 0. a Míč e z bodu A 2,, 7 bude kutálet ve měu U u, u 2, u 3 R 3 největšího pádu funkce, tj. vekto u u, u 2 R 2 má mě opačný ke gadientu 2x 4y gadfa x 2 +2y 2 +, 2 x 2 +2y 2 + a2, , 4 49 tedy po jednoduchot ve měu učenému vektoem u,. V potou R 3 pak třetí ouřadnice je učena jako u 3 u 2, gadfa[ u] 8 49, tedy U,, b Úhel α 0, π 2, kteý víá tečná ovina v bodě A 2,, 7 e základnou z 0, je učen jako tgα v a, kde v gadfa gadfa. Neboli tgα v a gadfa[ v ] gadfa a α actg Nalezněte úhel, kteý víají gafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y e xy v bodě, 0,?.

2 Bod je, 0, 0. Nomálové vektoy tečných ovin jou x n x 2 + y 2, y x 2 + y,0 2,, 0, n 2 ye xy, xe xy, 0,, Úhel α 0, π 2, kteý víají gafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými tečnými ovinami a ten je zae učen jejich nomálovými vektoy jako n n 2 co α n n 2 2, tedy α π 3.,0 4.6 Najděte ovnici tečné oviny k elipoidu M : x 2 + 2y 2 + z 2, kteá je ovnoběžná ovinou ϱ : 4x + 2y + z 3. Použijeme větu o tečné ovině k implicitně definované ploše v R 3 : Věta: Necht G je otevřená množina v R 3, Φ : G R je pojitě difeencovatelná na G. Označme M {a G Φa 0}. Jetliže po každé a M platí, že gadφa 0, pak M implicitně definovaná plocha a je to vtevnice funkce Φ. Tečná ovina k M v bodě a 0 x 0, y 0, z 0 M má ovnici x x 0 gadφa 0 y y 0 z z 0 0. V našem případě je fx, y, z x 2 + 2y 2 + z 2 a G R 3. Zřejmě gadφa 2x, 4y, 2z. Takže gadφa 0 pávě když a 0, 0, 0. Ovšem tento bod není v M. Můžeme poto použít uvedenou větu a nomálový vekto tečné oviny v bodě a 0 x 0, y 0, z 0 M je pávě gadφa 0. Tato ovina bude ovnoběžná ϱ, kteá má nomálový vekto n ϱ 4, 2,, pávě když 2x 0, 4y 0, 2z 0 gadφa 0 λ n ϱ λ 4, 2, po nějaké λ R, tedy x 0, y 0, z 0 2λ, λ/2, λ/2. Součaně má také platit, že x y0 2 + z0 2. Po doazení pak dotaneme 2λ 2 + 2λ/2 2 + λ/2 2 tedy λ ±2/ 9. Hledané tečné oviny pak muí mít nomálový vekto n ϱ, tedy ovnici 4x + 2y + z c, kde neznámé hodnoty c R učíme doazením počítaných bodů a 0 ± 9 4,,, kteými tečné oviny muí pocházet. Výledek je 4x + 2y + z 9 a 4x + 2y + z 9. Page 2

3 4.7 Nalezněte úhel, kteý víají plochy M : x 2 + y 2 + z 2 8 a N : x 2 + y z v bodě 2, 0, 2. Gadienty funkcí a Φ x, y, z x 2 + y 2 + z 2 8 Φ 2 x, y, z x 2 + y z 3 2 6, zadávajících implicitně definované plochy M a N, mají v bodě A 2, 0, 2 hodnoty n 2 gad Φ 2 A n gad Φ A 2x, 2y, 2z A 4, 0, 4 2x, 2y 2, 2z 3 2, 4, 2. A Úhel α 0, π 2 je dán jako co α n n2 n 0, tedy α π n Tanfomujte výaz a x y b x2 y pomocí poláních ouřadnic. + 2 pomocí poměnných a t takových, že x t a y t +. Vyvětlení: Co to znamená vyjádřit nějaký výaz případně ovnici v jiných ouřadnicích? Předtavme i to tak, že v R n žije funkce f tj. f : R n R. Poto R n nebo jeho čát můžeme ale popiovat také pomocí jiných křivočaých ouřadnic Φ : G R n, kde G R n je vhodná množina. Je to podobné, jako když nějaké území na Zemi zachycujeme na ůzných mapách. A tejně jako nějaká oblat na Zemi vypadá na ůzných mapách vždy tochu jinak, tejně tak e funkce f vyjádřená pomocí ouřadnicového popiu Φ bude také pokaždé jevit jinak půjde totiž o funkci f Φ : G R. Pokud např. v případě a funkci f : R 2 R přiřadíme funkci x y : R2 R popanou katézkými ouřadnicemi, pak chceme vědět, jak bude vypadat odpovídající přiřazení v poláních ouřadnicích pomocí tanfomace Φ, kdy funkci F : f Φ : G R přiřazujeme funkci x Φ : G R. y Poledně zmíněnou funkci ovšem chceme vyjádřit pomocí deivací funkce F podle nových ouřadnic. Jak je vidět, i pře ložení funkce f e zobazením Φ, jde vlatně pořád o tentýž objekt, tj. tutéž funkci na potou R 2. Poznámka: Tanfomace ouřadnic je bijektivní zobazení. Po difeencovatelnou tanfomaci, pak požadujeme, aby definiční obo i obo hodnot byly obě otevřené množiny a invezní zobazení bylo také difeencovatelné. a Máme polání ouřadnice Φ : 0, + 0, 2π R 2 \ {x, 0 x 0}, ϕ x, y Page 3

4 ve fomě x co ϕ y in ϕ. Není těžké zjitit, že e jedná kutečně o bijekci tj. Φ je poté a ujektivní a invezní zobazení je také difeencovatelné. Definiční obo tanfomace Φ i můžeme náledně vzít i jiný např. 0, + π, π abychom pak pokyli další čát R 2, kteou jme mueli vynechat při pvní volbě definičního obou tanfomace. Ovšem bod x, y 0, 0 budeme muet v obou hodnot vynechávat vždycky, potože tam by tanfomace nebyla bijektivní. Nyní potřebujeme vyjádřit hodnoty x, y Φ, ϕ a F, ϕ fx, y. Vezmeme i tedy ovnot a použijeme na ní a neboli čímž dotaneme x, y a F, ϕ f co ϕ, in ϕ x, y pomocí hodnot a f co ϕ, in ϕ co ϕ + in ϕ f co ϕ, in ϕ in ϕ + co ϕ co ϕ in ϕ in ϕ co ϕ, ϕ a, ϕ, kde Odud vypočítáme např. invetováním matice nebo analogicky vynáobením ovnic tak, abychom zíkali výaz co 2 ϕ + in 2 ϕ : co ϕ in ϕ in ϕ + co ϕ Takže po doazení a vyjádření x a y pomocí a ϕ dotáváme x y co ϕ in ϕ + co ϕ in ϕ co ϕ in ϕ b Budeme potupovat tejně jako v příkladu a. Položíme F f Φ po Φ, t x, y a tedy F, t f x, t, y, t a dotáváme + + neboli t 2 Page 4

5 takže máme t 2 Po doazení a vyjádření x a y pomocí a t dotáváme 2 t+ t+ 2 t+ t t+ t 2 2 t + t + t t x 2 y t + t + t t + + t t t + + t t + +. Poznámka: Měli bychom ještě zjitit jakým zobazením Φ jme vlatně pacovali, tj. najít definiční obo a obo hodnot tak, aby zobazení bylo bijektivní atd.: Definiční obo e učitě muí vyhnout přímce 0. Dále zjitíme, kteé body x, y můžeme jednoznačně popat pomocí, t, neboli ze vztahu x t a y t + učíme a t. Máme x t a y x + x + tedy y a t xy x + x + pokud x. Dale po t 0 zřejmě je x t y t + 0. Tudíž vzoy bodu x, y, 0 jou body, po 0 R. Jetliže i ted zvolíme definiční obo zobazení Φ jako pak jeho bijektivním obazem bude obo hodnot D Φ {, t R t 0} H Φ {x, y R 2 x y 0} Obě tyto množiny jou otevřené a navíc e obě ozpadají na 4 dijunktní ouvilé otevřené množiny. Zobazení Φ je tedy učené vým předpiem a tím odkud a kam jde Φ : D Φ H Φ. Co e týče difeencovatelnoti zobazení Φ i jeho inveze, tu už jme vlatně zkontolovali výše a je vidět, že pávě ty výazy ve jmenovatelích, kteé by nám vadily, jme odtanili při volbě definičního obou Φ. Page 5