3.2.8 Oblouková míra. Předpoklady:

Transkript

1 3..8 Oblouková mía Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina zabee přibližně jednu a půl vyučovací hodiny. Na 45 minut je možné hodinu zkátit buď vynecháním někteých převodů na konci (vzhledem k tomu, že je studenti budou pobíat ještě jednou na začátku goniometie to není žádná tagédie) nebo přeskočením úvodního odvozování (nedopoučuji). Opakování: obvod kužnice o = plný úhel: pavý úhel: 90 Př. : Uči obvod kuhu s poloměu = 5cm. Dosadíme do vzoce: o = = 5 cm = 0 cm = 3, 4 cm Kuh o poloměu 5 cm má obvod přibližně 3,4 cm. k S =5 cm A B Př. : Uči na kužnici o poloměu = 5cm délku kužnicového oblouku se středovým úhlem 90. Pavý úhel je čtvtinou plného úhlu délka kužnicového oblouku bude čtvtinou obvodu o 5 kuhu o stejném poloměu d = = = cm = 7,8cm Př. 3: Uči na kužnici o poloměu délku kužnicového oblouku se středovým úhlem: a) 0 b) α. obvod celé kužnice o = a) 0 použijeme přímou úměnost: 0 x

2 x 0 = x = = 0 9 Oblouk se středovým úhlem 0 má délku 9 b) α použijeme přímou úměnost: α x x α = α x α = = 80 α Oblouk se středovým úhlem α má délku 80 Př. 4: Doplň tabulku: středový úhel [otáčky] středový úhel [ ] poloměu otáčka půlotáčka 90 desetina otáčky 0 poloměu středový úhel [otáčky] středový úhel [ ] poloměu otáčka půlotáčka 80 čtvt otáčky 90 desetina otáčky 36 5 osmnáctina otáčky 0 9 poloměu 5 9 postřehy: výpočet délky oblouku ze středového úhlu ve stupních není zovna pohodlný. Hodnotu ve stupních vydělíme 80 a získaným číslem vynásobíme výaz výazy po délky oblouků jsou u obou poloměů naposto stejné, liší se pouze v dosazované hodnotě poloměu oběma obloukům v jedné řádce odpovídá stejný středový úhel výazy před poloměem jsou velikostí středového úhlu učenou v nové jednotce (ale po učování úhlu jde o přiozenou jednotku, umožňující snadný výpočet délky oblouku podle vzoce s = ϕ ). Jednotka úhlu umožňujíc výpočet délky oblouku vzocem s = ϕ se nazývá adián.

3 Př. 5: Najdi v tabulce převodní vztah mezi stupni a adiány. Každá řádka nám umožňuje napsat takový vztah: = ad, 80 = ad, 90 = ad, 36 = ad atd. 5 Platí: otáčka = = ad Pokud udáváme velikost úhlu v adiánech, říkáme, že používáme obloukovou míu (adiány usnadňují výpočet délky oblouku). Rozlišujeme: α velikost úhlu v míře stupňové acα velikost úhlu v míře obloukové Pedagogická poznámka: Bavíme se ze studenty o tom, poč je nejlepší z uvedených vztahů po převádění stupňů a adiánů vztah = ad (je v něm schována myšlenka adiánů jako snadného výpočtu délky oblouku, výaz vpavo je přece téměř vzocem po obvod kužnice). Př. 6: Je dána kužnice o poloměu. Uči délku oblouku této kužnice se středovým úhlem: a) ad b) 0,5 ad c) 0, ad Středový úhel je v adiánech použijeme vzoec s = ϕ. a) ad: s = ϕ = = b) 0,5ad : s = ϕ = 0,5 = 0,5 c) 0, ad : s = ϕ = 0, = 0, Opavdu nejde o obtížné počítání. Ze vzoce s = ϕ vychází i definice adiánu: adián je středový úhel kteý na kužnici s poloměem vytkne oblouk o délce. Př. 7: Vypočti velikost adiánu ve stupních. = ad /: ad = 57, 95 Př. 8: Vypočti velikost stupně v adiánech. = ad /: = ad = ad 0, 0745 ad 80 3

4 Mnozí se bání používání adiánů, potože po lidské uvažování není přiozenou jednotkou. I když není jednoduché si představit ozdělení kuhu na 6, částí, adián není o nic méně představitelný než jeden stupeň, jak ukazuje následující obázek: výseč se středovým úhlem stupeň výseč se středovým úhlem adián Sestavit celý kuh je dokonce značně jednodušší pomocí adiánových výsečí než pomocí výsečí stupňových: Poslední výseč postě není celá. Př. 9: Převeď 60 na adiány. Výsledek vyjádři v přesném tvau pomocí čísla. = ad = ad 0 60 = 60 = = ad 3 Př. 0: Vyjádři v adiánech v přesném tvau pomocí : a) 45 b) 90 c) 0 a) b) c) = 45 = = ad = 90 = = ad = 0 = = ad 6 4

5 Př. : Vyjádři ve tvau desetinného čísla s přesností na dvě desetinná místa v adiánech velikosti úhlů: a) 70 b) 358 c) 8 a) = 70 = =, ad 36 b) = 358 = 6, 5 ad c) 8 8 = 8 = 3,6 ad Př. : Vyjádři ve stupních ad 6. = ad = ad 80 ad = = = Př. 3: Vyjádři ve stupních: a) ad 3 b) 3 ad c) 5 ad 6 = ad = ad a) ad 3 ad = = = b) 3 ad ad = = = 70 4 c) 5 ad ad = = =

6 Př. 4: Vyjádři ve tvau desetinného čísla s přesností na dvě desetinná místa ve stupních velikosti úhlů: a) ad b), ad c) 5ad d) 0,5ad 5 a) ad 5 ad = = 5 5 b), ad, ad =, = 98 c) 5ad 5 ad = 5 = 86, 48 d) 0,5ad 0, 5ad = 0, 5 = 4,3 Př. 5: Petáková: stana 40/cvičení α ) ω ) stana 40/cvičení α ) stana 40/cvičení 3 x stana 40/cvičení 4 y ) y 4 ) Shnutí: Oblouková mía (adiány) umožňuje při výpočtu délky oblouku používat vzoec s = ϕ. 6