Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika I: Pracovní listy do cvičení"

Transkript

1 Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Pracovní listy Funkce jedné proměnné

3 6. Řy 65 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: Kořeny kvadratické rovnice a) x x = 0 b) x x < 0 c) x + 9x 5 0 d) x + x > 0 Řešení Video x, = b ± b ac a

4 7. Řy 66 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = b) x > c) x(x ) > 0 d) (x + )(x ) 0 e) x( x) 5 f) x (x + ) Řešení Video

5 8. Řy 67 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x + x x < 0 b) x + > c) x > 0 d) x + x < 0 e) + x 0 f) x x Řešení Video

6 9. Řy 68 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) 5x 8 5 x < b) (x + )(5 x) x > 0 c) x + x + < x x + d) x x + 5 x Řešení Video

7 50. Řy 69 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = 5 b) x + = 0 c) x < 0 d) x > e) x = 7 f) x < 7 Řešení Video

8 5. Řy 70 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = 5 b) x > 5 c) x = 6 d) x < 6 Řešení Video

9 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = x + c) y = 9 x Zlomek jmenovatel je různý od 0 b) y = x d) y = x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

10 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = x + + x b) y = x x c) y = d) y = x x + x + 5 x x x 5 Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

11 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = ln + x + x x x b) y = ( x) ln x ( c) y = ln + x + 6 ) x d) y = ( x) ln (x ) Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

12 55. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = tan ( x π ) b) y = x sin x c) y = cot x + π 5 d) y = cos x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

13 56. Řy 75 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. ( ) ( x + 6 a) y = arcsin b) y = arcsin x ) x + ( ) x c) y = arccos x ( d) y = arccos ) x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

14 57. Řy 76 - Graf lineární funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný předpis. a) y = b) y = x + c) y = x d) y = x + e) y = x + f) x =.5 Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Který z těchto předpisů není lineární funkcí? Řešení Video Teorie:

15 58. Řy 77 - Graf kvadratické funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = x + b) y = x c) y = x d) y = (x ) e) y = ( 6 x x ) f) y = x x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

16 59. Řy 78 - Graf lineární lomené funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = x b) y = x + c) y = x d) y = x e) y = x + x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = x x Řešení Video Teorie:

17 60. Řy 79 - Graf exponenciální funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. ( ) x ( ) a) y = x b) y = x c) y = x + d) y = (x+) e) y = x f) y = + Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

18 6. Řy 80 - Graf logaritmické funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = log x b) y = log / x c) y = log (x ) d) y = log / x e) y = + log x f) y = log (x + ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

19 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce sinus Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = sin x b) y = sin x c) y = sin ( x π ) d) y = sin x e) y = + sin x f) y = sin ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: 5 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π 5 6 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

20 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce kosinus Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = cos x b) y = cos x c) y = cos x d) y = cos ( x π ) e) y = cos ( x + π 6 ) f) y = cos x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: 5 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π 5 6 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

21 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = tan x b) y = tan ( x + π ) 6 c) y = tan x d) y = cot x e) y = tan x f) y = cot x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

22 65. Řy 8 - Graf lineární funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = x c) y = x + d) y = x e) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = Řešení Video Teorie:

23 66. Řy 85 - Graf lineární funkce s absolutní hodnotou - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x + x b) y = x + x + x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

24 67. Řy 86 - Graf kvadratické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x + x + b) y = x x + c) y = x x + d) y = x x e) y = x f) y = x x + Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

25 68. Řy 87 - Graf lineární lomené funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = x c) y = x x d) y = x x e) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = x x Řešení Video Teorie:

26 69. Řy 88 - Graf exponenciální funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = + x c) y = x+ d) y = x e) y = x f) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

27 70. Řy 89 - Graf logaritmické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = ln x b) y = ln (x) c) y = ln ( + x) d) y = + ln x e) y = ln x f) y = ln x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

28 7. Řy 90 - Graf goniometrické funkce sinus - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = sin x b) y = sin ( x π ) c) y = sin (x) d) y = sin x + e) y = sin ( π x ) f) y = sin x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

29 7. Řy 9 - Graf goniometrické funkce kosinus - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = cos x b) y = cos x c) y = cos x d) y = cos x e) y = cos ( x π ) f) y = cos ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

30 7. Řy 9 - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = tan x b) y = cot x c) y = tan x d) y = cot x e) y = tan ( x + π ) f) y = cot ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

31 7. Řy 9 - Vlastnosti funkce: sudá a lichá Zadání Určete, zda je funkce sudá nebo lichá. a) y = x x c) y = ln ( ) x + x e) y = x cos x Určíme definiční obor funkce a ověříme, zdali je souměrný podle počátku reálné osy, tj. jestli platí: b) y = x x d) y = x + x f) y = x x + x + x + je také x D f Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 87, 88 Sudá funkce: x D f. Lichá funkce: f ( x) = f (x) f ( x) = f (x)

32 75. Řy 9 - Složená funkce Zadání Složte funkce v pořadí g f a f g: a) f : y = x, g : y = log x b) f : y = x +, g : y = cos x c) f : y = x, g : y = x + x + d) f : y = sin x +, g : y = x Řešení Video Teorie: 5

33 76. Řy 95 - Inverzní funkce Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = x + b) f : y = x Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f = H f H f = D f Dále platí: ( ) f f (x) = x f ( f (x)) = x

34 77. Řy 96 - Inverzní funkce Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = 5x x + b) f : y = x + 5 Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f = H f H f = D f Dále platí: ( ) f f (x) = x 5 5 f ( f (x)) = x

35 78. Řy 97 - Limity Zadání Vypočítejte limitu a) lim(x x + x + ) b) lim x x x c) lim x x x d) lim x 0 x + cos x Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

36 79. Řy 98 - Limity - racionální funkce Zadání Vypočítejte limitu a) lim x x x b) lim x x x c) lim x x x x x 6 d) lim x x 6x + 5 x x + x x e) lim x + x x f) lim x (x ) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

37 80. Řy 99 - Limity Zadání Vypočítejte limitu sin x a) lim x 0 x x b) lim x 0 tan x x c) lim x 0 x tan x x + sin x d) lim x 0 sin x x e) lim x 0 sin x sin x f) lim x 0 (x cot x) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Platí: resp. sin x lim x 0 x sin kx lim x 0 kx =, =,

38 8. Řy 00 - Limity Zadání Vypočítejte limitu x + a) lim x 5 x x 0 x + b) lim x x + c) lim x 0 x + sin x d) lim x 0 x + 8 Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 sin x Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Zlomek rozšíříme jedničkou ve vhodném tvaru, využijeme bud (a b)(a + b) = a b nebo (a b)(a + ab + b ) = a b.

39 8. Řy 0 - Limity Zadání Vypočítejte limitu x a) lim x x b) lim x 0 x 9 x x + c) lim x ±5 x 5 x + d) lim x (x + ) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Řešíme pomocí jednostranných limit.

40 Pracovní listy Diferenciální počet funkce jedné proměnné

41 8. Řy 0 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = x + ln x c) y = e x sin x e) y = x log x. (e x ) = e x b) y = x 5x + d) y = (x x)(x + x) f) y = (x + ) sin x ln x. (a x ) = a x ln a Řešení Video Teorie: 7, 8, 9 Řešené příklady: 0, 05, 06, (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

42 8. Řy 0 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce: a) y = x 5x x b) y = arccos x x c) y = x log x d) y = 0x + 0 x e) y = cos x x f) y = tan x Řešení Video Teorie: 7, 8, 9 Řešené příklady: 0, 05, 06, 07. (c) = 0. (x n ) = nx n. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

43 85. Řy 05 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = cos 5x c) y = ( + x ) 70 e) y = e x +x. (e x ) = e x b) y = sin(x 5 + x + ) d) y = ln(x + 8) f) y = arctan x. (a x ) = a x ln a Řešení Video Teorie: 0 Řešené příklady: 08, (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

44 86. Řy 06 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = + x x + b) y = x c) y = tan x d) y = ln(x sin x) e) y = ln sin arctan e x f) y = + tan(x + x ) Řešení Video Teorie: 0 Řešené příklady: 08, 09. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

45 87. Řy 07 - Druhá derivace Zadání Vypočítejte druhou derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = + x x b) y = x (sin (ln x) + cos (ln x)) Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 0,,. (c) = 0. (x n ) = nx n. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

46 88. Řy 08 - Derivace - logaritmické derivování Zadání Logaritmickým derivováním vypočítejte derivaci funkce: a) y = x x b) y = x ln x c) y = (sin x) cos x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: Logaritmické derivování y = f (x) g(x) ln y = ln f (x) g(x) ln y = g (x) ln f (x) y y = g (x) ln f (x) + g (x) [ y = y y = f (x) g(x) g (x) ln f (x) + g (x) f (x) f (x) f (x) f (x) [ g (x) ln f (x) + g (x) ] f (x) f (x) ] Druhý způsob, který lze použít, je následující identita: f (x) g(x) = e ln f (x)g(x) g(x) ln f (x) = e

47 89. Řy 09 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: x + x x a) lim x x x b) lim x 0 e x x c) lim x 0 + e x x sin x d) lim x 0 e x cos x e) lim x 0 x sin x x f) lim x 0 ln cos x x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 Limita typu 0 0 pravi- l Hospitalovo dlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) lze realizovat přímo.

48 90. Řy 0 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: Limita typu ± ± ln x a) lim x x b) lim x x x + x 5x + x + ln x c) lim x 0 + cot x d) lim x 0 ln sin x ln x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 pravi- l Hospitalovo dlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) lze realizovat přímo.

49 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: Limita typu 0 a) lim x 0 + x ln x b) lim x e x c) lim log x ln( x) d) x 0 x lim x π (π x) tan x l Hospitalovo pravidlo Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) nelze realizovat přímo. Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 ± 0 nebo ±, lim f (x)g(x) = lim x x 0 x x0 lim f (x)g(x) = lim x x 0 f (x) g(x) g(x) x x0 f (x)

50 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: ( x ) b) lim sin x x 0 + a) lim x 0 + ( x e x ) ( c) lim x 0 x sin x ) x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 Limita typu l Hospitalovo pravidlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 nelze realizovat přímo. f (x) g (x) Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 ± 0 nebo ±, použitím známých algebraických manipulací: vytýkání, převod na společný jmenovatel, násobení jedničkou ve vhodném tvaru, apod.

51 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: ( a) lim + ) x b) lim x x x 0 xx + c) lim x 0 ( + x) x Limita typu 0 0, 0, 0, l Hospitalovo pravidlo Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) nelze realizovat přímo. Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 0 ± nebo ±, použitím následující identity: f (x) g(x) = e g(x) ln f (x).

52 9. Řy - Derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte první derivaci parametricky zadané funkce: a) x = tan t, y = sin t, t 0, π ) b) x = 5 (t cos t), y = 5 ( + sin t), t 0, π Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 6, 7 x = ϕ (t) y = ψ (t) y = ψ(t) ϕ(t) ϕ(t) = 0

53 95. Řy 5 - Derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte druhou derivaci parametricky zadané funkce: a) x = t + t y = t + t t 0, b) x = a cos t, y = b sin t, a, b R, t (0, π) Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 6, 7 x = ϕ (t) y = ψ (t) y = ψ(t) ϕ(t) y = ψ(t) ϕ(t) = 0 ϕ(t) ψ(t) ϕ(t) ( ϕ(t)) ϕ(t) = 0

54 96. Řy 6 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete obecnou rovnici tečny t a normály n v dotykovém bodě T ke grafu funkce f dané předpisem: a) y = 8 + x T = [,?] b) y = ln x, T = [e,?] Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice normály k n = f (x 0 ) obecná rovnice přímky ax + by + c = 0

55 97. Řy 7 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s přímkou p: a) y = x + x 5, p : x + y = 0 b) y = x x, p : y = Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

56 98. Řy 8 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s osou x: a) y = x x b) y = x + x 5 Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

57 99. Řy 9 - Tečna ke grafu parametricky zadané funkce Zadání Určete rovnici tečny t a normály n cykloidy v dotykovém bodě T, v němž t = π. Parametrické rovnice cykloidy jsou: x = a (t sin t) y = a ( cos t) ; a > 0, t 0, π Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice normály k n = f (x 0 ) obecná rovnice přímky ax + by + c = 0

58 00. Řy 0 - Diferenciál Zadání Vypočítejte diferenciál funkce y = f (x) v obecném bodě x vzhledem k obecnému přírůstku dx: a) y = x b) y = x + x c) y = tan x d) y = arctan e x Diferenciál funkce y = f (x) dy = f (x)dx Řešení Video Teorie: Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

59 0. Řy - Diferenciál Zadání Vypočítejte přibližně s využitím diferenciálu funkčí hodnotu funkce y = x v bodě x 0 =,. Diferenciál funkce y = f (x) Řešení Video Teorie: dy = f (x)dx Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

60 0. Řy - Diferenciál Zadání Vypočítejte diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) v obecném bodě x vzhledem k obecnému přírůstku dx: a) y = x b) y = (x + ) (x ) c) y = sin x Diferenciál funkce y = f (x) dy = f (x)dx Řešení Video Teorie: Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

61 0. Řy - Taylorův polynom Zadání Napište Taylorův polynom n-tého stupně T n (x) na okolí bodu x 0 pro funkci: a) f : y = x, x 0 =, n = b) f : y = ln x, x 0 =, n = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady:, Taylorův polynom n-tého stupně funkce y = f (x) v bodě x 0 T n (x 0 ) = f (x 0 ) + d f (x 0)! + + dn f (x 0 ) n! Taylorův polynom třetího stupně funkce y = f (x) v bodě x 0 T (x 0 ) = f (x 0 ) + d f (x 0)! d f (x 0 )! resp. + d f (x 0 )! + T (x 0 ) = f (x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 )

62 0. Řy - Monotónnost a lokální extrémy funkce Zadání Nalezněte intervaly monotónnosti a lokální extrémy.. Definiční obor. a) f (x) = x + x b) f (x) = x + x x + Řešení Video Teorie: 8 Řešené příklady:,, 5, 6. První derivace a její definiční obor.. Stacionární body, intervaly plus mínus.. Znaménko první derivace. Funkce je rostoucí, jestliže f (x) > 0. Funkce je klesající, jestliže f (x) < Lokální extrémy. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!

63 05. Řy 5 - Monotónnost a lokální extrémy funkce Zadání Nalezněte intervaly monotónnosti a lokální extrémy.. Definiční obor. a) f (x) = x ln (x + ) b) f (x) = x + x + ln x. První derivace a její definiční obor. Řešení Video Teorie: 8 Řešené příklady:,, 5, 6. Stacionární body, intervaly plus mínus.. Znaménko první derivace. Funkce je rostoucí, jestliže f (x) > 0. Funkce je klesající, jestliže f (x) < Lokální extrémy. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!

64 06. Řy 6 - Konvexnost, konkávnost, inflexní body Zadání Najděte intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní, najděte její inflexní body. a) f (x) = x 6x + x b) f (x) = x + x Řešení Video Teorie: 9 Řešené příklady: 7. Definiční obor.. První derivace a její definiční obor.. Druhá derivace a její definiční obor.. Nulové body druhé derivace, intervaly plus mínus. 5. Znaménko druhé derivace. Funkce je konvexní, jestliže f (x) > 0. Funkce je konkávní, jestliže f (x) < Inflexní body.

65 07. Řy 7 - Asymptoty Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce:. Definiční obor. a) y = x x + x + b) y = x x Řešení Video Teorie: 50 Řešené příklady: 8, 9. Určíme v krajních bodech intervalů spojitosti jednostranné limity.. Asymptota bez směrnice existuje v daném bodě pouze v případě, že některá z jednostranných limit vyjde nevlastní.. Asymptota se směrnicí y = kx + q nebo f (x) k = lim x x q = lim ( f (x) kx) x k = q = lim x lim x f (x) x ( f (x) kx)

66 08. Řy 8 - Asymptoty Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce:. Definiční obor. a) y = x x + x b) y = x x Řešení Video Teorie: 50 Řešené příklady: 8, 9. Určíme v krajních bodech intervalů spojitosti jednostranné limity.. Asymptota bez směrnice existuje v daném bodě pouze v případě, že některá z jednostranných limit vyjde nevlastní.. Asymptota se směrnicí y = kx + q nebo f (x) k = lim x x q = lim ( f (x) kx) x k = q = lim x lim x f (x) x ( f (x) kx)

67 09. Řy 9 - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = x x +. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

68 0. Řy 0 - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = ln cos x. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

69 . Řy - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = x ln x. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

70 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f = R. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou f (x) = lim x lim f (x) = x. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [, 0] průsečík s osou y je: [0, ] funkce je kladná na intervalu (, ) záporná na (, ) 5. funkce má lokální maximum v bodě [, 5] a lokální minimum v bodě [, ] je rostoucí na intervalech (, ) a (, ) a klesající na (, ) 6. funkce má inflexní body [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce nemá asymptoty 0 x

71 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f = 0, ). funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim x f (x) = lim x f (x) =. funkce je sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [0, 0] průsečík s osou y je: [0, 0] funkce je kladná na R 5. funkce má lokální minimum v bodě [0, 0] je rostoucí na interval (0, ) a klesajicí na (, 0) 6. funkce má inflexní body [, ] a [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) a (, ) 7. funkce má v a v asymptotu y = 0 x

72 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = (, ) H f = R. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f (x) = x + lim f (x) = x. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [, 0] průsečík s osou y není funkce je kladná na intervalu (, ) záporná na (, ) 5. funkce nemá lokální extrémy je rostoucí na celém D f 6. funkce má inflexní bod [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce má asymptotu x = 0 x

73 5. Řy 5 - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f =, ). funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim x f (x) = lim x f (x) =. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečíky s osou x jsou: [, 0], a [, 0] průsečík s osou y je: [0, ] funkce je kladná na (, ) a (, ) záporná na (, ) 5. funkce má lokální minimum v bodě [, ] je rostoucí na interval (, ) a klesajicí na (, ) 6. funkce má inflexní bod [, 5] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce má v asymptotu y = x + 0 x

74 Pracovní listy Lineární algebra

75 6. Řy 7 - Matice Zadání Vypočtěte matici D danou vztahem: D = A B + C, 0 0 A = , B = 5 0, C = Nejdříve násobíme každý prvek matice A číslem, poté od výsledné matice odečteme matici B, odečítáme vzájemně si odpovídající prvky, nakonec přičteme matici C. Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady:

76 7. Řy 8 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu a poté vypočtěte A B, B A: ( ) ( ) a) A =, B = b) A = 7 0, B = Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

77 8. Řy 9 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu matic a vynásobte matice: 5 ( ) ( ) ( ) a) b) 0 c) 0 Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

78 9. Řy 0 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu matic a vynásobte matice: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) a) b) c) 0 5 Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

79 0. Řy - Matice Zadání Transponujte matice: A = , B = Transpozice: výměna řádků a sloupců matice. A = (a ij ) A T = (a ji ) Řešení Video Teorie: 5, 5, 55

80 . Řy - Hodnost matice Zadání Určete hodnost matice: A = 0 0. Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

81 . Řy - Hodnost matice 0 Zadání Určete hodnost matice: B =. Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

82 . Řy - Hodnost matice Zadání 0 Určete hodnost matice: C = Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

83 . Řy 5 - Hodnost matice Zadání Určete hodnost matice: D = Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

84 5. Řy 6 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty. řádu: 8 a) b) c) 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Determinanty. řádu - křížové pravidlo: Součin prvků na hlavní diagonále mínus součin prvků na vedlejší diagonále. a a A = a a = a a a a

85 6. Řy 7 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty. řádu: a) b) c) 0 d) Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Determinanty. řádu - Sarrusovo pravidlo: Opíšeme první řádky. Prvky ležící na úhlopříčkách vynásobíme, přičemž těm, které směřují zleva doprava (hlavní diagonála) přiřadíme znaménko + a těm, které směřují zprava doleva (vedlejší diagonála) přiřadíme znaménko -. a a a A = a a a a a a a a a a a a =a a a + a a a + a a a (a a a + a a a + a a a )

86 7. Řy 8 - Determinanty Zadání 8 Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce. Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vhodný řádek (sloupec) je ten, který obsahuje co nejvíce nul. Laplaceův rozvoj pro matici A řádu n: a) rozvoj determinantu podle i-tého řádku A = a i â i + a i â i + + a in â in, respektive A = n j= ( ) i+j a ij A ij, b) rozvoj determinantu podle j-tého sloupce A = a j â j + a j â j + + a nj â nj. respektive A = n i= ( ) i+j a ij A ij, kde matice A ij vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

87 8. Řy 9 - Determinanty Zadání Vypočtěte determinant 0 převodem na trojúhelníkový tvar. 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vlastnosti determinantů: A = A T A B = A B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: B = A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak B = k A, c) přičtením k-násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: B = A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak A = 0. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály.

88 9. Řy 50 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinant: 0. 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vlastnosti determinantů: A = A T A B = A B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: B = A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak B = k A, c) přičtením k-násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: B = A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak A = 0. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály.

89 0. Řy 5 - Determinanty Zadání x 0 x Pro která x je determinant 0 x 0 roven 0? x Pro sestavení rovnice s neznámou x použijte Sarrusovo pravidlo. Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: -

90 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: ( ) ( ) 0 6 a) b) Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

91 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: 7 0 a) 5 b) 8 0 Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

92 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

93 . Řy 55 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) užitím determinantu a proved te zkoušku: A = 5. 7 Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, A = A (Aalg ) T,

94 5. Řy 56 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: a) x + y = x y = 7 b) 5x 6x = x + x = 7 c) x 6x = x 9x = Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

95 6. Řy 57 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: x + x + x = x x + x =. x + 6x x = 0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

96 7. Řy 58 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x + x + x + x = x + x + x + x = 8 Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x + x x = x + x + x x = 0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

97 8. Řy 59 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x + x x + x = 0 x x + x x = Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x x + x = x + x + x = Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

98 9. Řy 60 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x x + x x = x + x x + x = 5 Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x x + x = 7 x x x x = Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

99 0. Řy 6 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku: x x + x =0 x + x x =0. x x + x =0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou, nebo zde přímo za pomoci determinantu soustavy (proč?).

100 . Řy 6 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání 5x x + 7x x x 5 =0 x + x x x 5 =0 Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x + x + x x 5 =0 x x + x x + x 5 =0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou.

101 . Řy 6 - Soustavy lineárních rovnic - Cramerovo pravidlo Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a proved te zkoušku: 5x + x x =9 x + x 5x =. x x x = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady: 5 Cramerovo pravidlo:. jen pro soustavy s regulární maticí soustavy A, tj. A = 0,. určí se determinanty A, A i (nahradí se příslušný sloupec pravou stranou),. určí se složky řešení x i = A i A.

102 . Řy 6 - Maticová rovnice Zadání Řešte rovnici pro neznámou matici X a proved te zkoušku: 0 7 X = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady: 55 Maticová rovnice ve tvaru A X = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy X = A B.

103 . Řy 65 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved te zkoušku: 5x + x x =9 x + x 5x =. x x x = Řešení Video Teorie: 65 Řešené příklady: 56 Soustavu můžeme napsat v maticovém tvaru A x = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy x = A B

104 5. Řy 66 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved te zkoušku: 5x x x =9 x + x + x =0. x x + x = 7 Řešení Video Teorie: 65 Řešené příklady: 56 Soustavu můžeme napsat v maticovém tvaru A x = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy x = A B

105 Pracovní listy Analytická geometrie

106 6. Řy 68 - Skalární součin vektorů Zadání Vypočtěte skalární součin a odchylku vektorů u, v. Jsou tyto vektory na sebe kolmé? a) u = (,, ), v = (,, ), b) u = (,, ), v = (, 6, 8). Skalární součin: u v = u v + u v + u v, Odchylka vektorů: Řešení Video Teorie: 69 cos ϕ = u v u v Velikost vektoru: u = u + u + u POZOR: Co je výsledkem skalárního součinu? Kolmost vektorů: u v u v = 0

107 7. Řy 69 - Vektorový součin Zadání Vypočtěte vektorový součin vektorů u, v. Určete obsah rovnoběžníku určeného vektory u a v. a) u = (,, ), v = (,, ), b) u = (,, ), v = (, 6, 5). Vektorový součin: u v = i j k u u u v v v, Řešení Video Teorie: 70 kde i = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, ) jsou jednotkové vektory ve směru os kartézské soustavy souřadnic. Nebo ( ) u u u v = v v, u u v v, u u. v v POZOR: Co je výsledkem vektorového součinu? Obsah rovnoběžníku: S = u v.

108 8. Řy 70 - Smíšený součin Zadání Vypočtěte smíšený součin trojice vektorů a, b, c ( tedy [a, b, c] = a (b c) ). Určete objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a, b, c. a) a = (,, ), b = (,, ), c = (,, ), b) a = (, 0, ), b = (0,, 5), c = (,, ). Smíšený součin: [a, b, c] = a (b c) = a a a b b b c c c. Řešení Video Teorie: 7 POZOR: Co je výsledkem smíšeného součinu? Objem rovnoběžnostěnu: V = [a, b, c].

109 9. Řy 7 - Rovnice přímky Zadání a) Zjistěte zda body A = [,, ], B = [,, 5], C = [, 0, ] leží na přímce p : b) Určete rovnici přímky p určené bodem M = [,, ] a směrem a = (5,, ). x = + t y = t z = + t Bod leží na přímce, jestliže jeho složky vyhovují rovnici přímky. Směrový vektor přímky p je také směrovým vektorem rovnoběžné přímky q. c) Určete rovnici přímky q procházející bodem R = [,, ] a rovnoběžné s přímkou p : x = + t y = t z = + 5t. Řešení Video Teorie: 7

110 50. Řy 7 - Vzájemná poloha dvou přímek Zadání Určete vzájemnou polohu dvou přímek, p = {A, u}, q = {B, v}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [0, 5, ], v =(, 6, ) b) A = [,, ], u =(,, ) B = [, 0, ], v =(0,, ) Řešení Video Teorie: 7 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, q = {B, v}, u v AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) mimoběžná - nemají společný směr ani bod, d) totožná - mají společné všechny body.

111 5. Řy 7 - Vzájemná poloha dvou přímek Zadání Určete vzájemnou polohu dvou přímek, p = {A, u}, q = {B, v}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [0,, ], v =(,, ) b) A = [0,, ], u =(, 0, ) B = [,, ], v =(,, ) Řešení Video Teorie: 7 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, q = {B, v}, u v AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) mimoběžná - nemají společný směr ani bod, d) totožná - mají společné všechny body.

112 5. Řy 7 - Rovnice roviny Zadání a) Zjistěte zda body A = [,, 5], B = [,, 0], C = [,, ] leží v rovině α : x 5y + 6z = 0. b) Sestavte symbolickou, parametrickou a obecnou rovnici roviny ρ = {B = [,, ], v = (,, ), w = (,, )}. Řešení Video Teorie: 7, 75 Řešené příklady: 58, 59 a) Dosad te jednotlivé body do rovnice a zjistětě, zda ji splňují. b) Sestavíme jednotlivé typy rovnic. Jak se přechází od parametrického vyjádření roviny k obecnému?

113 5. Řy 75 - Rovnice roviny Zadání a) Určete rovnici roviny procházející bodem M = [,, ] a kolmé na vektor a = (,, ). b) Určete rovnici roviny procházející bodem Q = [,, ] a kolmé k ose x. c) Určete rovnici roviny procházející bodem M = [,, ] a rovnoběžně s rovinou α : x y + z = 0. Zjistěte normálový vektor dané roviny a pak dosazením bodu M (resp. Q) do obecné rovnice roviny, tj. ax + by + cz + d = 0 dopočítejte absolutní člen d. Řešení Video Teorie: 7, 75 Řešené příklady: 58, 59

114 5. Řy 76 - Vzájemná poloha přímky a roviny Zadání Určete vzájemnou polohu přímky p = {A, u} a roviny ρ = {B, v, w}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [,, 0], v =(,, ), w = (,, ) b) A = [,, ], u =(,, 0) B = [,, ], v =(,, ), w = (,, ) Řešení Video Teorie: 76 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, ρ = {B, v, w}, u v w AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

115 55. Řy 77 - Vzájemná poloha přímky a roviny Zadání Určete vzájemnou polohu přímky p = {A, u} a roviny ρ = {B, v, w}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [0,, ], u =(,, ) B = [,, ], v =(,, ), w = (,, 0) b) A = [,, 0], u =(,, ) B = [,, ], v =(, 0, 0), w = (,, ) Řešení Video Teorie: 76 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, ρ = {B, v, w}, u v w AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

116 56. Řy 78 - Vzájemná poloha dvou rovin Zadání Určete vzájemnou polohu roviny α = {B, v, w} a roviny β = {B, v, w }. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečnici. a) B = [,, ], v =(,, ), w =(0,, ) B = [0, 0, 0], v =(,, ), w =(,, ) b) B = [, 0, ], v =(,, ), w =(,, ) B = [,, ], v =(,, ), w =(,, 5) Řešení Video Teorie: 77 Sestavíme klasifikační matici α = {B, v, w}, β = {B, v, w }, v w v w BB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

117 57. Řy 79 - Vzdálenost útvarů v E Zadání Vzdálenost bodu od přímky: a) Určete vzdálenost bodu M = [,, ] od přímky p dané body P = [,, ], Q = [,, 0]. d(m, p) = u AM, u b) Určete vzdálenost bodu M = [,, ] od roviny ρ : x + y z + 5 = 0. Řešení Video Teorie: 78 Řešené příklady: 60, 6 kde u je směrový vektor přímky a A je bod na této přímce. AM = M A. Vzdálenost bodu od roviny: d(m, ρ) = am + bm + cm + d a + b + c.

118 58. Řy 80 - Vzdálenost útvarů v E Zadání a) Určete vzdálenost dvou rovnoběžek p : x = t 7 y = t z = t q : x = 6s + y = 8s 5 z = s +. Vzdálenost rovnoběžek: Zvolíme bod na jedné z rovnoběžek a úlohu převedeme na hledání vzdálenosti bodu od přímky. b) Určete vzdálenost rovnoběžných rovin α : x + 7y z + = 0, β : x 7y + z + 0 = 0. Řešení Video Teorie: 78 Řešené příklady: 60, 6 Vzdálenost rovnoběžných rovin: α : ax + by + cz + d = 0, β : ax + by + cz + d = 0: d(α, β) = d d a + b + c.

119 59. Řy 8 - Odchylky útvarů v E Zadání x = t + x = r + a) Určete odchylku dvou přímek p : y = t + z =, q : y = r + t + 5 z =. r x = t b) Určete odchylku přímky p : y = t + od roviny ρ : x y z + 6 = 0. z = t 5 c) Určete odchylku rovin α : x y + z + = 0, β : x + y + z = 0. Řešení Video Teorie: 78 Odchylka ϕ dvou přímek p, q: cos ϕ = u v u v, kde u, v jsou směrové vektory přímek p, q. Odchylka ϕ přímky p od roviny ρ: sin ϕ = u n u n, kde u je směrový vektor přímky p, n je normálový vektor roviny ρ. Odchylka ϕ dvou rovin α, β: cos ϕ = n α n β n α nβ, kde n α, n β jsou normálové vektory rovin α, β.

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829, 1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více