Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Transkript

1 Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Pracovní listy Funkce jedné proměnné

3 6. Řy 65 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: Kořeny kvadratické rovnice a) x x = 0 b) x x < 0 c) x + 9x 5 0 d) x + x > 0 Řešení Video x, = b ± b ac a

4 7. Řy 66 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = b) x > c) x(x ) > 0 d) (x + )(x ) 0 e) x( x) 5 f) x (x + ) Řešení Video

5 8. Řy 67 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x + x x < 0 b) x + > c) x > 0 d) x + x < 0 e) + x 0 f) x x Řešení Video

6 9. Řy 68 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) 5x 8 5 x < b) (x + )(5 x) x > 0 c) x + x + < x x + d) x x + 5 x Řešení Video

7 50. Řy 69 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = 5 b) x + = 0 c) x < 0 d) x > e) x = 7 f) x < 7 Řešení Video

8 5. Řy 70 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = 5 b) x > 5 c) x = 6 d) x < 6 Řešení Video

9 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = x + c) y = 9 x Zlomek jmenovatel je různý od 0 b) y = x d) y = x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

10 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = x + + x b) y = x x c) y = d) y = x x + x + 5 x x x 5 Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

11 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = ln + x + x x x b) y = ( x) ln x ( c) y = ln + x + 6 ) x d) y = ( x) ln (x ) Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

12 55. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = tan ( x π ) b) y = x sin x c) y = cot x + π 5 d) y = cos x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

13 56. Řy 75 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. ( ) ( x + 6 a) y = arcsin b) y = arcsin x ) x + ( ) x c) y = arccos x ( d) y = arccos ) x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

14 57. Řy 76 - Graf lineární funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný předpis. a) y = b) y = x + c) y = x d) y = x + e) y = x + f) x =.5 Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Který z těchto předpisů není lineární funkcí? Řešení Video Teorie:

15 58. Řy 77 - Graf kvadratické funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = x + b) y = x c) y = x d) y = (x ) e) y = ( 6 x x ) f) y = x x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

16 59. Řy 78 - Graf lineární lomené funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = x b) y = x + c) y = x d) y = x e) y = x + x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = x x Řešení Video Teorie:

17 60. Řy 79 - Graf exponenciální funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. ( ) x ( ) a) y = x b) y = x c) y = x + d) y = (x+) e) y = x f) y = + Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

18 6. Řy 80 - Graf logaritmické funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = log x b) y = log / x c) y = log (x ) d) y = log / x e) y = + log x f) y = log (x + ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

19 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce sinus Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = sin x b) y = sin x c) y = sin ( x π ) d) y = sin x e) y = + sin x f) y = sin ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: 5 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π 5 6 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

20 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce kosinus Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = cos x b) y = cos x c) y = cos x d) y = cos ( x π ) e) y = cos ( x + π 6 ) f) y = cos x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: 5 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π 5 6 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

21 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = tan x b) y = tan ( x + π ) 6 c) y = tan x d) y = cot x e) y = tan x f) y = cot x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

22 65. Řy 8 - Graf lineární funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = x c) y = x + d) y = x e) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = Řešení Video Teorie:

23 66. Řy 85 - Graf lineární funkce s absolutní hodnotou - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x + x b) y = x + x + x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

24 67. Řy 86 - Graf kvadratické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x + x + b) y = x x + c) y = x x + d) y = x x e) y = x f) y = x x + Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

25 68. Řy 87 - Graf lineární lomené funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = x c) y = x x d) y = x x e) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = x x Řešení Video Teorie:

26 69. Řy 88 - Graf exponenciální funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = + x c) y = x+ d) y = x e) y = x f) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

27 70. Řy 89 - Graf logaritmické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = ln x b) y = ln (x) c) y = ln ( + x) d) y = + ln x e) y = ln x f) y = ln x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

28 7. Řy 90 - Graf goniometrické funkce sinus - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = sin x b) y = sin ( x π ) c) y = sin (x) d) y = sin x + e) y = sin ( π x ) f) y = sin x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

29 7. Řy 9 - Graf goniometrické funkce kosinus - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = cos x b) y = cos x c) y = cos x d) y = cos x e) y = cos ( x π ) f) y = cos ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

30 7. Řy 9 - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = tan x b) y = cot x c) y = tan x d) y = cot x e) y = tan ( x + π ) f) y = cot ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

31 7. Řy 9 - Vlastnosti funkce: sudá a lichá Zadání Určete, zda je funkce sudá nebo lichá. a) y = x x c) y = ln ( ) x + x e) y = x cos x Určíme definiční obor funkce a ověříme, zdali je souměrný podle počátku reálné osy, tj. jestli platí: b) y = x x d) y = x + x f) y = x x + x + x + je také x D f Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 87, 88 Sudá funkce: x D f. Lichá funkce: f ( x) = f (x) f ( x) = f (x)

32 75. Řy 9 - Složená funkce Zadání Složte funkce v pořadí g f a f g: a) f : y = x, g : y = log x b) f : y = x +, g : y = cos x c) f : y = x, g : y = x + x + d) f : y = sin x +, g : y = x Řešení Video Teorie: 5

33 76. Řy 95 - Inverzní funkce Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = x + b) f : y = x Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f = H f H f = D f Dále platí: ( ) f f (x) = x f ( f (x)) = x

34 77. Řy 96 - Inverzní funkce Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = 5x x + b) f : y = x + 5 Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f = H f H f = D f Dále platí: ( ) f f (x) = x 5 5 f ( f (x)) = x

35 78. Řy 97 - Limity Zadání Vypočítejte limitu a) lim(x x + x + ) b) lim x x x c) lim x x x d) lim x 0 x + cos x Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

36 79. Řy 98 - Limity - racionální funkce Zadání Vypočítejte limitu a) lim x x x b) lim x x x c) lim x x x x x 6 d) lim x x 6x + 5 x x + x x e) lim x + x x f) lim x (x ) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

37 80. Řy 99 - Limity Zadání Vypočítejte limitu sin x a) lim x 0 x x b) lim x 0 tan x x c) lim x 0 x tan x x + sin x d) lim x 0 sin x x e) lim x 0 sin x sin x f) lim x 0 (x cot x) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Platí: resp. sin x lim x 0 x sin kx lim x 0 kx =, =,

38 8. Řy 00 - Limity Zadání Vypočítejte limitu x + a) lim x 5 x x 0 x + b) lim x x + c) lim x 0 x + sin x d) lim x 0 x + 8 Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 sin x Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Zlomek rozšíříme jedničkou ve vhodném tvaru, využijeme bud (a b)(a + b) = a b nebo (a b)(a + ab + b ) = a b.

39 8. Řy 0 - Limity Zadání Vypočítejte limitu x a) lim x x b) lim x 0 x 9 x x + c) lim x ±5 x 5 x + d) lim x (x + ) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Řešíme pomocí jednostranných limit.

40 Pracovní listy Diferenciální počet funkce jedné proměnné

41 8. Řy 0 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = x + ln x c) y = e x sin x e) y = x log x. (e x ) = e x b) y = x 5x + d) y = (x x)(x + x) f) y = (x + ) sin x ln x. (a x ) = a x ln a Řešení Video Teorie: 7, 8, 9 Řešené příklady: 0, 05, 06, (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

42 8. Řy 0 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce: a) y = x 5x x b) y = arccos x x c) y = x log x d) y = 0x + 0 x e) y = cos x x f) y = tan x Řešení Video Teorie: 7, 8, 9 Řešené příklady: 0, 05, 06, 07. (c) = 0. (x n ) = nx n. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

43 85. Řy 05 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = cos 5x c) y = ( + x ) 70 e) y = e x +x. (e x ) = e x b) y = sin(x 5 + x + ) d) y = ln(x + 8) f) y = arctan x. (a x ) = a x ln a Řešení Video Teorie: 0 Řešené příklady: 08, (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

44 86. Řy 06 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = + x x + b) y = x c) y = tan x d) y = ln(x sin x) e) y = ln sin arctan e x f) y = + tan(x + x ) Řešení Video Teorie: 0 Řešené příklady: 08, 09. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

45 87. Řy 07 - Druhá derivace Zadání Vypočítejte druhou derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = + x x b) y = x (sin (ln x) + cos (ln x)) Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 0,,. (c) = 0. (x n ) = nx n. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

46 88. Řy 08 - Derivace - logaritmické derivování Zadání Logaritmickým derivováním vypočítejte derivaci funkce: a) y = x x b) y = x ln x c) y = (sin x) cos x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: Logaritmické derivování y = f (x) g(x) ln y = ln f (x) g(x) ln y = g (x) ln f (x) y y = g (x) ln f (x) + g (x) [ y = y y = f (x) g(x) g (x) ln f (x) + g (x) f (x) f (x) f (x) f (x) [ g (x) ln f (x) + g (x) ] f (x) f (x) ] Druhý způsob, který lze použít, je následující identita: f (x) g(x) = e ln f (x)g(x) g(x) ln f (x) = e

47 89. Řy 09 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: x + x x a) lim x x x b) lim x 0 e x x c) lim x 0 + e x x sin x d) lim x 0 e x cos x e) lim x 0 x sin x x f) lim x 0 ln cos x x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 Limita typu 0 0 pravi- l Hospitalovo dlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) lze realizovat přímo.

48 90. Řy 0 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: Limita typu ± ± ln x a) lim x x b) lim x x x + x 5x + x + ln x c) lim x 0 + cot x d) lim x 0 ln sin x ln x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 pravi- l Hospitalovo dlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) lze realizovat přímo.

49 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: Limita typu 0 a) lim x 0 + x ln x b) lim x e x c) lim log x ln( x) d) x 0 x lim x π (π x) tan x l Hospitalovo pravidlo Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) nelze realizovat přímo. Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 ± 0 nebo ±, lim f (x)g(x) = lim x x 0 x x0 lim f (x)g(x) = lim x x 0 f (x) g(x) g(x) x x0 f (x)

50 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: ( x ) b) lim sin x x 0 + a) lim x 0 + ( x e x ) ( c) lim x 0 x sin x ) x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 Limita typu l Hospitalovo pravidlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 nelze realizovat přímo. f (x) g (x) Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 ± 0 nebo ±, použitím známých algebraických manipulací: vytýkání, převod na společný jmenovatel, násobení jedničkou ve vhodném tvaru, apod.

51 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: ( a) lim + ) x b) lim x x x 0 xx + c) lim x 0 ( + x) x Limita typu 0 0, 0, 0, l Hospitalovo pravidlo Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) nelze realizovat přímo. Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 0 ± nebo ±, použitím následující identity: f (x) g(x) = e g(x) ln f (x).

52 9. Řy - Derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte první derivaci parametricky zadané funkce: a) x = tan t, y = sin t, t 0, π ) b) x = 5 (t cos t), y = 5 ( + sin t), t 0, π Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 6, 7 x = ϕ (t) y = ψ (t) y = ψ(t) ϕ(t) ϕ(t) = 0

53 95. Řy 5 - Derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte druhou derivaci parametricky zadané funkce: a) x = t + t y = t + t t 0, b) x = a cos t, y = b sin t, a, b R, t (0, π) Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 6, 7 x = ϕ (t) y = ψ (t) y = ψ(t) ϕ(t) y = ψ(t) ϕ(t) = 0 ϕ(t) ψ(t) ϕ(t) ( ϕ(t)) ϕ(t) = 0

54 96. Řy 6 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete obecnou rovnici tečny t a normály n v dotykovém bodě T ke grafu funkce f dané předpisem: a) y = 8 + x T = [,?] b) y = ln x, T = [e,?] Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice normály k n = f (x 0 ) obecná rovnice přímky ax + by + c = 0

55 97. Řy 7 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s přímkou p: a) y = x + x 5, p : x + y = 0 b) y = x x, p : y = Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

56 98. Řy 8 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s osou x: a) y = x x b) y = x + x 5 Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

57 99. Řy 9 - Tečna ke grafu parametricky zadané funkce Zadání Určete rovnici tečny t a normály n cykloidy v dotykovém bodě T, v němž t = π. Parametrické rovnice cykloidy jsou: x = a (t sin t) y = a ( cos t) ; a > 0, t 0, π Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice normály k n = f (x 0 ) obecná rovnice přímky ax + by + c = 0

58 00. Řy 0 - Diferenciál Zadání Vypočítejte diferenciál funkce y = f (x) v obecném bodě x vzhledem k obecnému přírůstku dx: a) y = x b) y = x + x c) y = tan x d) y = arctan e x Diferenciál funkce y = f (x) dy = f (x)dx Řešení Video Teorie: Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

59 0. Řy - Diferenciál Zadání Vypočítejte přibližně s využitím diferenciálu funkčí hodnotu funkce y = x v bodě x 0 =,. Diferenciál funkce y = f (x) Řešení Video Teorie: dy = f (x)dx Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

60 0. Řy - Diferenciál Zadání Vypočítejte diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) v obecném bodě x vzhledem k obecnému přírůstku dx: a) y = x b) y = (x + ) (x ) c) y = sin x Diferenciál funkce y = f (x) dy = f (x)dx Řešení Video Teorie: Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

61 0. Řy - Taylorův polynom Zadání Napište Taylorův polynom n-tého stupně T n (x) na okolí bodu x 0 pro funkci: a) f : y = x, x 0 =, n = b) f : y = ln x, x 0 =, n = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady:, Taylorův polynom n-tého stupně funkce y = f (x) v bodě x 0 T n (x 0 ) = f (x 0 ) + d f (x 0)! + + dn f (x 0 ) n! Taylorův polynom třetího stupně funkce y = f (x) v bodě x 0 T (x 0 ) = f (x 0 ) + d f (x 0)! d f (x 0 )! resp. + d f (x 0 )! + T (x 0 ) = f (x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 )

62 0. Řy - Monotónnost a lokální extrémy funkce Zadání Nalezněte intervaly monotónnosti a lokální extrémy.. Definiční obor. a) f (x) = x + x b) f (x) = x + x x + Řešení Video Teorie: 8 Řešené příklady:,, 5, 6. První derivace a její definiční obor.. Stacionární body, intervaly plus mínus.. Znaménko první derivace. Funkce je rostoucí, jestliže f (x) > 0. Funkce je klesající, jestliže f (x) < Lokální extrémy. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!

63 05. Řy 5 - Monotónnost a lokální extrémy funkce Zadání Nalezněte intervaly monotónnosti a lokální extrémy.. Definiční obor. a) f (x) = x ln (x + ) b) f (x) = x + x + ln x. První derivace a její definiční obor. Řešení Video Teorie: 8 Řešené příklady:,, 5, 6. Stacionární body, intervaly plus mínus.. Znaménko první derivace. Funkce je rostoucí, jestliže f (x) > 0. Funkce je klesající, jestliže f (x) < Lokální extrémy. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!

64 06. Řy 6 - Konvexnost, konkávnost, inflexní body Zadání Najděte intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní, najděte její inflexní body. a) f (x) = x 6x + x b) f (x) = x + x Řešení Video Teorie: 9 Řešené příklady: 7. Definiční obor.. První derivace a její definiční obor.. Druhá derivace a její definiční obor.. Nulové body druhé derivace, intervaly plus mínus. 5. Znaménko druhé derivace. Funkce je konvexní, jestliže f (x) > 0. Funkce je konkávní, jestliže f (x) < Inflexní body.

65 07. Řy 7 - Asymptoty Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce:. Definiční obor. a) y = x x + x + b) y = x x Řešení Video Teorie: 50 Řešené příklady: 8, 9. Určíme v krajních bodech intervalů spojitosti jednostranné limity.. Asymptota bez směrnice existuje v daném bodě pouze v případě, že některá z jednostranných limit vyjde nevlastní.. Asymptota se směrnicí y = kx + q nebo f (x) k = lim x x q = lim ( f (x) kx) x k = q = lim x lim x f (x) x ( f (x) kx)

66 08. Řy 8 - Asymptoty Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce:. Definiční obor. a) y = x x + x b) y = x x Řešení Video Teorie: 50 Řešené příklady: 8, 9. Určíme v krajních bodech intervalů spojitosti jednostranné limity.. Asymptota bez směrnice existuje v daném bodě pouze v případě, že některá z jednostranných limit vyjde nevlastní.. Asymptota se směrnicí y = kx + q nebo f (x) k = lim x x q = lim ( f (x) kx) x k = q = lim x lim x f (x) x ( f (x) kx)

67 09. Řy 9 - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = x x +. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

68 0. Řy 0 - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = ln cos x. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

69 . Řy - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = x ln x. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

70 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f = R. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou f (x) = lim x lim f (x) = x. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [, 0] průsečík s osou y je: [0, ] funkce je kladná na intervalu (, ) záporná na (, ) 5. funkce má lokální maximum v bodě [, 5] a lokální minimum v bodě [, ] je rostoucí na intervalech (, ) a (, ) a klesající na (, ) 6. funkce má inflexní body [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce nemá asymptoty 0 x

71 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f = 0, ). funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim x f (x) = lim x f (x) =. funkce je sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [0, 0] průsečík s osou y je: [0, 0] funkce je kladná na R 5. funkce má lokální minimum v bodě [0, 0] je rostoucí na interval (0, ) a klesajicí na (, 0) 6. funkce má inflexní body [, ] a [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) a (, ) 7. funkce má v a v asymptotu y = 0 x

72 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = (, ) H f = R. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f (x) = x + lim f (x) = x. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [, 0] průsečík s osou y není funkce je kladná na intervalu (, ) záporná na (, ) 5. funkce nemá lokální extrémy je rostoucí na celém D f 6. funkce má inflexní bod [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce má asymptotu x = 0 x

73 5. Řy 5 - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f =, ). funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim x f (x) = lim x f (x) =. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečíky s osou x jsou: [, 0], a [, 0] průsečík s osou y je: [0, ] funkce je kladná na (, ) a (, ) záporná na (, ) 5. funkce má lokální minimum v bodě [, ] je rostoucí na interval (, ) a klesajicí na (, ) 6. funkce má inflexní bod [, 5] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce má v asymptotu y = x + 0 x

74 Pracovní listy Lineární algebra

75 6. Řy 7 - Matice Zadání Vypočtěte matici D danou vztahem: D = A B + C, 0 0 A = , B = 5 0, C = Nejdříve násobíme každý prvek matice A číslem, poté od výsledné matice odečteme matici B, odečítáme vzájemně si odpovídající prvky, nakonec přičteme matici C. Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady:

76 7. Řy 8 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu a poté vypočtěte A B, B A: ( ) ( ) a) A =, B = b) A = 7 0, B = Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

77 8. Řy 9 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu matic a vynásobte matice: 5 ( ) ( ) ( ) a) b) 0 c) 0 Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

78 9. Řy 0 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu matic a vynásobte matice: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) a) b) c) 0 5 Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

79 0. Řy - Matice Zadání Transponujte matice: A = , B = Transpozice: výměna řádků a sloupců matice. A = (a ij ) A T = (a ji ) Řešení Video Teorie: 5, 5, 55

80 . Řy - Hodnost matice Zadání Určete hodnost matice: A = 0 0. Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

81 . Řy - Hodnost matice 0 Zadání Určete hodnost matice: B =. Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

82 . Řy - Hodnost matice Zadání 0 Určete hodnost matice: C = Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

83 . Řy 5 - Hodnost matice Zadání Určete hodnost matice: D = Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

84 5. Řy 6 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty. řádu: 8 a) b) c) 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Determinanty. řádu - křížové pravidlo: Součin prvků na hlavní diagonále mínus součin prvků na vedlejší diagonále. a a A = a a = a a a a

85 6. Řy 7 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty. řádu: a) b) c) 0 d) Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Determinanty. řádu - Sarrusovo pravidlo: Opíšeme první řádky. Prvky ležící na úhlopříčkách vynásobíme, přičemž těm, které směřují zleva doprava (hlavní diagonála) přiřadíme znaménko + a těm, které směřují zprava doleva (vedlejší diagonála) přiřadíme znaménko -. a a a A = a a a a a a a a a a a a =a a a + a a a + a a a (a a a + a a a + a a a )

86 7. Řy 8 - Determinanty Zadání 8 Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce. Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vhodný řádek (sloupec) je ten, který obsahuje co nejvíce nul. Laplaceův rozvoj pro matici A řádu n: a) rozvoj determinantu podle i-tého řádku A = a i â i + a i â i + + a in â in, respektive A = n j= ( ) i+j a ij A ij, b) rozvoj determinantu podle j-tého sloupce A = a j â j + a j â j + + a nj â nj. respektive A = n i= ( ) i+j a ij A ij, kde matice A ij vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

87 8. Řy 9 - Determinanty Zadání Vypočtěte determinant 0 převodem na trojúhelníkový tvar. 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vlastnosti determinantů: A = A T A B = A B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: B = A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak B = k A, c) přičtením k-násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: B = A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak A = 0. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály.

88 9. Řy 50 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinant: 0. 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vlastnosti determinantů: A = A T A B = A B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: B = A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak B = k A, c) přičtením k-násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: B = A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak A = 0. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály.

89 0. Řy 5 - Determinanty Zadání x 0 x Pro která x je determinant 0 x 0 roven 0? x Pro sestavení rovnice s neznámou x použijte Sarrusovo pravidlo. Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: -

90 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: ( ) ( ) 0 6 a) b) Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

91 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: 7 0 a) 5 b) 8 0 Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

92 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

93 . Řy 55 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) užitím determinantu a proved te zkoušku: A = 5. 7 Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, A = A (Aalg ) T,

94 5. Řy 56 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: a) x + y = x y = 7 b) 5x 6x = x + x = 7 c) x 6x = x 9x = Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

95 6. Řy 57 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: x + x + x = x x + x =. x + 6x x = 0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

96 7. Řy 58 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x + x + x + x = x + x + x + x = 8 Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x + x x = x + x + x x = 0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

97 8. Řy 59 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x + x x + x = 0 x x + x x = Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x x + x = x + x + x = Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

98 9. Řy 60 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x x + x x = x + x x + x = 5 Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x x + x = 7 x x x x = Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

99 0. Řy 6 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku: x x + x =0 x + x x =0. x x + x =0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou, nebo zde přímo za pomoci determinantu soustavy (proč?).

100 . Řy 6 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání 5x x + 7x x x 5 =0 x + x x x 5 =0 Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x + x + x x 5 =0 x x + x x + x 5 =0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou.

101 . Řy 6 - Soustavy lineárních rovnic - Cramerovo pravidlo Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a proved te zkoušku: 5x + x x =9 x + x 5x =. x x x = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady: 5 Cramerovo pravidlo:. jen pro soustavy s regulární maticí soustavy A, tj. A = 0,. určí se determinanty A, A i (nahradí se příslušný sloupec pravou stranou),. určí se složky řešení x i = A i A.

102 . Řy 6 - Maticová rovnice Zadání Řešte rovnici pro neznámou matici X a proved te zkoušku: 0 7 X = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady: 55 Maticová rovnice ve tvaru A X = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy X = A B.

103 . Řy 65 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved te zkoušku: 5x + x x =9 x + x 5x =. x x x = Řešení Video Teorie: 65 Řešené příklady: 56 Soustavu můžeme napsat v maticovém tvaru A x = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy x = A B

104 5. Řy 66 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved te zkoušku: 5x x x =9 x + x + x =0. x x + x = 7 Řešení Video Teorie: 65 Řešené příklady: 56 Soustavu můžeme napsat v maticovém tvaru A x = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy x = A B

105 Pracovní listy Analytická geometrie

106 6. Řy 68 - Skalární součin vektorů Zadání Vypočtěte skalární součin a odchylku vektorů u, v. Jsou tyto vektory na sebe kolmé? a) u = (,, ), v = (,, ), b) u = (,, ), v = (, 6, 8). Skalární součin: u v = u v + u v + u v, Odchylka vektorů: Řešení Video Teorie: 69 cos ϕ = u v u v Velikost vektoru: u = u + u + u POZOR: Co je výsledkem skalárního součinu? Kolmost vektorů: u v u v = 0

107 7. Řy 69 - Vektorový součin Zadání Vypočtěte vektorový součin vektorů u, v. Určete obsah rovnoběžníku určeného vektory u a v. a) u = (,, ), v = (,, ), b) u = (,, ), v = (, 6, 5). Vektorový součin: u v = i j k u u u v v v, Řešení Video Teorie: 70 kde i = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, ) jsou jednotkové vektory ve směru os kartézské soustavy souřadnic. Nebo ( ) u u u v = v v, u u v v, u u. v v POZOR: Co je výsledkem vektorového součinu? Obsah rovnoběžníku: S = u v.

108 8. Řy 70 - Smíšený součin Zadání Vypočtěte smíšený součin trojice vektorů a, b, c ( tedy [a, b, c] = a (b c) ). Určete objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a, b, c. a) a = (,, ), b = (,, ), c = (,, ), b) a = (, 0, ), b = (0,, 5), c = (,, ). Smíšený součin: [a, b, c] = a (b c) = a a a b b b c c c. Řešení Video Teorie: 7 POZOR: Co je výsledkem smíšeného součinu? Objem rovnoběžnostěnu: V = [a, b, c].

109 9. Řy 7 - Rovnice přímky Zadání a) Zjistěte zda body A = [,, ], B = [,, 5], C = [, 0, ] leží na přímce p : b) Určete rovnici přímky p určené bodem M = [,, ] a směrem a = (5,, ). x = + t y = t z = + t Bod leží na přímce, jestliže jeho složky vyhovují rovnici přímky. Směrový vektor přímky p je také směrovým vektorem rovnoběžné přímky q. c) Určete rovnici přímky q procházející bodem R = [,, ] a rovnoběžné s přímkou p : x = + t y = t z = + 5t. Řešení Video Teorie: 7

110 50. Řy 7 - Vzájemná poloha dvou přímek Zadání Určete vzájemnou polohu dvou přímek, p = {A, u}, q = {B, v}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [0, 5, ], v =(, 6, ) b) A = [,, ], u =(,, ) B = [, 0, ], v =(0,, ) Řešení Video Teorie: 7 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, q = {B, v}, u v AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) mimoběžná - nemají společný směr ani bod, d) totožná - mají společné všechny body.

111 5. Řy 7 - Vzájemná poloha dvou přímek Zadání Určete vzájemnou polohu dvou přímek, p = {A, u}, q = {B, v}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [0,, ], v =(,, ) b) A = [0,, ], u =(, 0, ) B = [,, ], v =(,, ) Řešení Video Teorie: 7 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, q = {B, v}, u v AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) mimoběžná - nemají společný směr ani bod, d) totožná - mají společné všechny body.

112 5. Řy 7 - Rovnice roviny Zadání a) Zjistěte zda body A = [,, 5], B = [,, 0], C = [,, ] leží v rovině α : x 5y + 6z = 0. b) Sestavte symbolickou, parametrickou a obecnou rovnici roviny ρ = {B = [,, ], v = (,, ), w = (,, )}. Řešení Video Teorie: 7, 75 Řešené příklady: 58, 59 a) Dosad te jednotlivé body do rovnice a zjistětě, zda ji splňují. b) Sestavíme jednotlivé typy rovnic. Jak se přechází od parametrického vyjádření roviny k obecnému?

113 5. Řy 75 - Rovnice roviny Zadání a) Určete rovnici roviny procházející bodem M = [,, ] a kolmé na vektor a = (,, ). b) Určete rovnici roviny procházející bodem Q = [,, ] a kolmé k ose x. c) Určete rovnici roviny procházející bodem M = [,, ] a rovnoběžně s rovinou α : x y + z = 0. Zjistěte normálový vektor dané roviny a pak dosazením bodu M (resp. Q) do obecné rovnice roviny, tj. ax + by + cz + d = 0 dopočítejte absolutní člen d. Řešení Video Teorie: 7, 75 Řešené příklady: 58, 59

114 5. Řy 76 - Vzájemná poloha přímky a roviny Zadání Určete vzájemnou polohu přímky p = {A, u} a roviny ρ = {B, v, w}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [,, 0], v =(,, ), w = (,, ) b) A = [,, ], u =(,, 0) B = [,, ], v =(,, ), w = (,, ) Řešení Video Teorie: 76 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, ρ = {B, v, w}, u v w AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

115 55. Řy 77 - Vzájemná poloha přímky a roviny Zadání Určete vzájemnou polohu přímky p = {A, u} a roviny ρ = {B, v, w}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [0,, ], u =(,, ) B = [,, ], v =(,, ), w = (,, 0) b) A = [,, 0], u =(,, ) B = [,, ], v =(, 0, 0), w = (,, ) Řešení Video Teorie: 76 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, ρ = {B, v, w}, u v w AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

116 56. Řy 78 - Vzájemná poloha dvou rovin Zadání Určete vzájemnou polohu roviny α = {B, v, w} a roviny β = {B, v, w }. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečnici. a) B = [,, ], v =(,, ), w =(0,, ) B = [0, 0, 0], v =(,, ), w =(,, ) b) B = [, 0, ], v =(,, ), w =(,, ) B = [,, ], v =(,, ), w =(,, 5) Řešení Video Teorie: 77 Sestavíme klasifikační matici α = {B, v, w}, β = {B, v, w }, v w v w BB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

117 57. Řy 79 - Vzdálenost útvarů v E Zadání Vzdálenost bodu od přímky: a) Určete vzdálenost bodu M = [,, ] od přímky p dané body P = [,, ], Q = [,, 0]. d(m, p) = u AM, u b) Určete vzdálenost bodu M = [,, ] od roviny ρ : x + y z + 5 = 0. Řešení Video Teorie: 78 Řešené příklady: 60, 6 kde u je směrový vektor přímky a A je bod na této přímce. AM = M A. Vzdálenost bodu od roviny: d(m, ρ) = am + bm + cm + d a + b + c.

118 58. Řy 80 - Vzdálenost útvarů v E Zadání a) Určete vzdálenost dvou rovnoběžek p : x = t 7 y = t z = t q : x = 6s + y = 8s 5 z = s +. Vzdálenost rovnoběžek: Zvolíme bod na jedné z rovnoběžek a úlohu převedeme na hledání vzdálenosti bodu od přímky. b) Určete vzdálenost rovnoběžných rovin α : x + 7y z + = 0, β : x 7y + z + 0 = 0. Řešení Video Teorie: 78 Řešené příklady: 60, 6 Vzdálenost rovnoběžných rovin: α : ax + by + cz + d = 0, β : ax + by + cz + d = 0: d(α, β) = d d a + b + c.

119 59. Řy 8 - Odchylky útvarů v E Zadání x = t + x = r + a) Určete odchylku dvou přímek p : y = t + z =, q : y = r + t + 5 z =. r x = t b) Určete odchylku přímky p : y = t + od roviny ρ : x y z + 6 = 0. z = t 5 c) Určete odchylku rovin α : x y + z + = 0, β : x + y + z = 0. Řešení Video Teorie: 78 Odchylka ϕ dvou přímek p, q: cos ϕ = u v u v, kde u, v jsou směrové vektory přímek p, q. Odchylka ϕ přímky p od roviny ρ: sin ϕ = u n u n, kde u je směrový vektor přímky p, n je normálový vektor roviny ρ. Odchylka ϕ dvou rovin α, β: cos ϕ = n α n β n α nβ, kde n α, n β jsou normálové vektory rovin α, β.